求数列极限例题的高中题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-09-11 17:59 标签： 数列极限例题
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八类求数列极限的常见题型
来源:《高中生》杂志 作者:田发胜
14:00:20.0
&&& 编者按& 数列是高中数学的主干知识，并且是后续学习的基础，在高考数学中一直占有非常重要的位置.同时，它又是历年高考的重点和难点之一.本期刊登的3篇文章，分别从数列的通项、求和及高考命题趋势3个方面着手，对数列的相关知识进行了归纳，希望能给同学们的复习带来帮助.
&&& 数列的极限是数学中的一个重要内容，也是高考重要的知识点之一，在历年的高考中几乎都有涉及.下面归纳介绍数列极限的常见题型及相应的求解策略，供同学们在学习过程中作为参考.
&&& 一、分式型
&&& 策略& 求分子、分母都是关于n的多项式的有理分式的极限，应先将分子、分母同除以n的最高次幂，再运用极限的运算法则来求解.一般而言，若P（n）=am·nm+a m-1·n m -1 + … + a1·n + a 0，Q（n） = bt·nt+ bt-1·nt-1+ … + b1·n + b0，则■■=■（m=t），0（m&t），不存在（m&t）.
&&& 二、指数型
&&& 策略& 求分子、分母都是指数形式的极限，应先将分子、分母同除以底数绝对值最大、指数最高的指数式，再运用公式■qn=0（|q|&1）计算.
&&& 三、混合型
&&& 策略& 同时运用以上两种策略.
&&& 四、根式型
&&& 策略& 求含有根式的极限，一般应先把分子或分母有理化，再运用极限的运算法则来求解.
&&& 五、和（积）型
&&& 策略& 求无限多项的和或积的极限时，应先把无限多项的和或积转化为有限项的形式去求，即应遵循“先求和（积），再求极限”的原则.
&&& 六、等差数列型
&&& 策略& 利用等差数列的通项公式、前n项和公式及等差数列相应的性质求解.
&&& 七、等比数列型
&&& 策略& 利用等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列相应的性质求解.（注意：当公比的绝对值小于1时，可直接利用公式S=■来求解.）
&&& 八、参数型
&&& 策略& 当要求的极限中含有参数时，要注意对参数的范围进行讨论.
&& （祥见《高中生》杂志2005年10期下半月刊复习指导版）
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今年上海数学高考题填空中求数列极限用洛必达法则做
今年上海数学高考题填空中求数列极限用洛必达法则做,求最值那题用拉格朗日乘数来解。大题目里的立体几何,第一题用格林公式，第二小题用高斯定理，第三问试试斯托克斯公式。倒数第二题解析几何对隐函数求偏导，最后一题数列综合题,掌握了泰勒公式和傅立叶级数，三步出答案~各位幸亏我们考得早啊.第页
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&2016 开心网编辑点评：为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面：首先对极限的总结如下：极限的保号性很重要,就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。
解决极限的方法如下：
1、等价无穷小的转化
只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2、洛必达法则
（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x），没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！
当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。
3、泰勒公式
(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa，展开ln1+x，对题目简化有很好帮助。
4、无穷大比上无穷大
面对无穷大比上无穷大形式的解决办法，取大头原则最大项除分子分母！！！看上去复杂，处理很简单！
5、无穷小于有界函数
无穷小于有界函数的处理办法，面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！
6、夹逼定理
主要对付的是数列极限！这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
7、等比等差数列公式应用
对付数列极限（q绝对值符号要小于1）。
8、各项的拆分相加
（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。
9、求左右极限的方式
（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。
10、两个重要极限的应用
这两个很重要！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限）。
11、趋近于无穷大
还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！x的x次方快于x！快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）！当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。
12、换元法
换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。
13、四则运算
假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。
14、数列极限
还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。
15、单调有界
单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性！
16、导数的定义
直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减某个值）加减f（x）的形式,看见了要特别注意）（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义！
【求极限的一般题型】
1、求分段函数的极限，当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了！当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候，就要分情况讨论应为E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的！
2、极限中含有变上下限的积分如何解决嘞？说白了，就是说函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉！
【解决办法】
1、求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了，这不是很容易么？但是！有2个问题要注意！问题1：积分函数能否求导？题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的！！！！问题2：被积分函数中既含有t又含有x的情况下如何解决？
解决1的方法：就是方法2微分中值定理！微分中值定理是函数与积分的联系！更重要的是他能去掉积分符号！
解决2的方法：当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数！！当x与t是除的关系或者是加减的关系,就要换元了！（换元的时候积分上下限也要变化！）
3、求的是数列极限的问题时候：夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候，就考虑x趋近的时候函数值,数列极限也满足这个极限的。当所求的极限是递推数列的时候：首先判断数列极限存在极限的方法是否用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义！数列是离散的，只能用前后项的比较（前后项相除相减），数列极限是否有界可以使用归纳法最后对xn与xn+1两边同时求极限,就能出结果了！
4、涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题。
解决办法：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。因为例如:当x趋近0时候f（x）比x=3的函数,分子必须是无穷小，否则极限为无穷，还有洛必达法则的应用，主要是因为当未知数有几个时候，使用洛必达法则，可以消掉某些未知数，求其他的未知数。高中数学-数列、极限、数学归纳法?求数列的极限?教案-中国.大学.资讯 chinese university information-教学专题频道
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