数学中求函数极值的方法步骤是什么?
1：对函数求一阶导数；然后另一阶导数值为零,求出函数值为零的点假定为X.2：还没完哩,并判断在X的两侧导函数值的符号,若左侧导函数值0则为极小值,若右侧导函数值.0,则为极大值.二：求出一阶导数,同样求出一阶导数=0时X的取值,然后求二阶导数,将上一步中X的值代入二阶导数中,若二阶导数值>0,则为极小值,二阶导数值
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关于一元函数极值求法的几点思考
2011年第52期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　摘 要： 函数极值推动微积分发展的重要动力之一，在科学技术和社会生活的各个领域中，充满了函数极值问题。极值问题是微积分产生和发展的重要动力之一。诸如成本最小、距离最短、时间最短等问题，都可以转化为函数极值问题。根据职业院校学生的特点，结合自己的教学实践，本文作者仅针对一元函数展开分析，就如何求解函数的极值点问题进行初步的探讨。 中国论文网 /9/view-963137.htm　　关键词： 函数极值点 函数极值 一元函数 MATLAB 　　 　　函数极值是推动微积分发展的重要动力之一，在科学技术和社会生活的各个领域中，充满了函数极值问题.极值问题是微积分产生和发展的重要动力之一.诸如能量最小、最佳拟合、最短路径、时间最短等问题，都可以转化为函数极值问题.确切地说，这里讨论的只是“局域极值”问题，“全域最小”问题要复杂得多。至今没有一个“系统性”的方法可求解一般的“全域最小”问题.对于一元、二元函数，可以作图观察，利用函数单调性，等等，但更多元的函数，就很难利用这些方法.因此，根据职业学校学生的特点，结合自己的教学实践，我仅针对一元函数展开分析，就如何求解函数的极值点问题进行初步的探讨. 　　一、利用一阶导数，根据函数极值的第一充分条件列表求函数的极值点 　　定理1（极值的第一充分条件）设函数y=f（x）在x的一个领域内可微（在x处可以不可微，但必须连续），若当x在该邻域内由小于x连续地变为大于x时，其导数f′（x）改变符号，则f（x）为函数的极值.x为函数的极值点，并且 　　（1）若导数f′（x）由正值变为负值，则x为函数的极大值点； 　　（2）若导数f′（x）由负值变为正值，则x为函数的极小值点； 　　（3）若导数f′（x）不变号，则x不是函数的极值点. 　　运用该定理求函数极值点的一般步骤是： 　　（1）确定函数定义域并找出所给函数的驻点和导数不存在的点； 　　（2）考察上述点两侧导数的符号，确定极值点； 　　（3）求出极值点处的函数值，得到极值. 　　例1.求f（x）=（x-1）x的极值 　　解：函数定义域为（-∞，+∞）， 　　寻求驻点和导数不存在的点.因为 　　f′（x）=x+（x-1）&#8226;x=&#8226; 　　令f′（x）=0，得x=；当x=0，f′（x）不存在. 　　列表判别得： 　　所以，x=0是极大值点，其极大值为f（0）=0； 　　x=是极小值点，其极小值为f（）=-0.33. 　　二、利用二阶导数，根据函数极值的第二充分条件列表求函数的极值点 　　定理2（极值的第二充分条件）：设函数y=f（x）在x处的二阶导数存在，若f′（x）=0，且f″（x）≠0，则x为函数的极值点，f（x）为函数的极值，并且 　　（1）当f″（x）>0时，则x为函数的极小值点，f（x）为函数的极小值； 　　（2）当f″（x）<0时，则x为函数的极大值点，f（x）为函数的极大值. 　　运用该定理求函数极值点的一般步骤是： 　　（1）确定函数定义域，并找出所给函数的全部驻点； 　　（2）考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点. 　　例2.求f（x）=x-2x-5的极值 　　解：函数定义域为（-∞，+∞）. 　　因为f′（x）=4x-4x=4x（x+1）（x-1）， 　　所以由f′（x）=0可得该函数的三个驻点：x=-1，0，1. 　　因为f″（x）=12x-4， 　　所以有f″（-1）=8>0;f″（0）=-40; 　　故由定理2可知x=-1，x=1为极小值点，x=0为极大值点. 　　由上述定理1和定理2可知，极值的这两个充分条件在处理极值问题时各有独到之处，定理1充分利用了函数单调性的特点，从函数图形来研究函数的极值，容易被读者接受，但是求解过程过于繁琐；定理2充分运用二阶导数，计算起来比定理1简捷，容易运算，很多时候，我们选择用定理2来求解函数的极值点，但定理2读者不容易理解和记忆.因此在将这两个充分条件教授给学生时，要注意将这两个定理本身的内容解释清楚. 　　同时，大家可以看到，从理论上讲，假如函数y=f（x）“光滑”，那么它的极值点可以根据定理1和定理2确定，于是求y=f（x）的极值问题就转化为求该函数一阶导数的零点问题.显然，这种方法只能处理完全“光滑”的函数. 　　现在数学教学应遵循“以应用为目的，理论知识以必需、够用为度”原则，淡化概念，注重应用.因此，在教学过程中可以将新的解决方法例如计算机软件引入课堂，引导学生运用现代信息技术手段解决问题. 　　三、利用MATLAB中的fminbnd程序，求解一元函数极值问题 　　因为y=f（x）的极小值问题等价于y=-f（x）的极大值问题，所以MATLAB的Toolbox函数中只有处理极小值的指令.鉴于此，我在这里只讨论极小值问题. 　　Fminbnd指令具体如下： 　　X=fminbnd（fun，x1，x2）*求函数在区间（x1，x2）中极小值的指令最简格式； 　　［x，fval，exitflag，output］=fminbnd（fun，x1，x2，options，P1，P2，…） 　　*求函数在区间（x1，x2）中极小值的指令最简格式； 　　［说明］ 　　Fun表示被解函数. x1，x2分别表示被研究区间的左、右边界. 　　X，fval分别表示所求的极小值点坐标和函数值. 　　调用Fminbnd指令，求解函数极值的一般步骤： 　　（1）将别解函数构造成一个内联函数对象y=inline（′（fun′，′x′）; 　　（2）x1=区间左边界；x2=区间右边界; 　　（3）直接调用指令［x，fval，exitflag，output］=fminbnd（y，x1，x2）. 　　现在我们来重新求解例1. 　　程序如下： 　　y=inline（′（x-1）*x^（2/3）′，′x′）; 　　x1=- 　　x2=+ 　　［x，fval，exitflag，output］=fminbnd（y，x1，x2） 　　结果输出 　　x=0.4000 　　fval=-0.3257 　　exitflag=1 　　output=iterations：30 　　funcCount：33 　　algorithm：′golden section search，parabolic interpolation′ 　　我认为，以上三种求解函数的极值点问题的方法，各有优势与独到之处，教师在教学过程中不应拘泥于单一的解题思路，而要引导学生开拓思维、积极思考，结合自身的特点进行探究性学习，使自己与学生在探究学习的过程中共同成长，在帮助学生培养思维能力的同时，让学生学会运用适当的方法分析问题和解决问题，这才是数学教学的最终目的. 　　 　　参考文献： 　　［1］盛祥耀.高等数学.高等教育出版社［M］，2001. 　　［2］邹杨.Mathematica软件在经济函数最值中的运用.科技信息（学术研究），2008，（14）. 　　［3］叶子祥.经济应用数学［M］.高等教育出版社，2003. 　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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基础数学（75）
今天来讨论多元函数求极&#20540;问题，在Logistic回归用牛顿迭代法求参数会用到，所以很有必要把它研究清楚。
回想一下，一元函数求极&#20540;问题我们是怎样做的？比如对于凹函数，先求一阶导数，得，
由于极&#20540;处导数一定为零，但是导数等于零的点不一定就有极&#20540;，比如。所以还需要进一步判断，对
函数继续求二阶导得到，因为在驻点处二阶导数成立，所以
在处取得极小&#20540;，二阶导数在这里的意义就是判断函数局部的凹凸性。
在多元函数中求极&#20540;的方法类&#20284;，只是在判断凹凸性这里引入了一个矩阵，叫做Hessian矩阵。
如果实&#20540;多元函数在定义域内二阶连续可导，那么我们求它的极&#20540;，首先对所有求偏导，即
得到个方程如下
&&&&&&&&&&
通过这个方程可以解得驻点，这个驻点是一个长度为的一维向量。但是我们仅仅得到这个驻点，其实在这
个驻点有3种情况，分别是：局部极大&#20540;，局部极小&#20540;和非极&#20540;。
所以接下来要做的事就是判断这个驻点属于这3个中的哪一个。所以就引入了Hessian矩阵，也就是说它用来
判断在多元函数的凹凸性问题。
Hessian矩阵是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率，常用于牛顿迭代法解决优化问题。
例如对于上面的多元函数，如果它的二阶偏导数都存在，那么Hessian矩阵如下
如果函数在定义域内二阶连续可导，那么的Hessian矩阵在定义域内为对称矩阵，因为如果函数连
续，则二阶偏导数的求导顺序没有区别，即
有了Hessian矩阵，我们就可以判断上述极&#20540;的3种情况了，结论如下
&&（1）如果是正定矩阵，则临界点处是一个局部极小&#20540;
& （2）如果是负定矩阵，则临界点处是一个局部极大&#20540;
&&（3）如果是不定矩阵，则临界点处不是极&#20540;
接下来继续学习如何判断一个矩阵是否是正定的，负定的，还是不定的。
一个最常用的方法就是顺序主子式。实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的各顺序主子式都大于零。
由于这个方法涉及到行列式的计算，比较麻烦！ 对于实二次型矩阵还有一个方法，描述如下
实二次型矩阵为正定二次型的充要条件是的矩阵的特征&#20540;全大于零。为负定二次型的充要条
件是的矩阵的特征&#20540;全小于零，否则是不定的。
参考知识库
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