华东师大 常微分方程 讲义_甜梦文库
华东师大 常微分方程 讲义
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( y′) , ? y′ = ? dx ? ?(1.1.1)(1.1.2)( x + y )dx + ( x ? y )dy = 0 ,(1.1.3)1? dx ? dt = f1 (t , x, y ) , ? dy ? = f 2 (t , x, y ) ? dt? 2u ? 2u ? 2u + + =0. ?x 2 ?y 2 ?z 2(1.1.4)(1.1.5)必须注意, 一个微分方程可以形式上不显含自变量和未知函数, 例如方程(1.1.1)和 (1.1.5), 但必须实质上含有未知函数的导数(或微分), 否则, 它不能称为微分方程. 2. 常微分方程与偏微分方程 未知函数是单变量的微分方程称为常微分方程(ordinary differential equation), 而 未 知 函 数 是 多 变 量 且 含 有 对 各 变 量 的 偏 导 数 的 微 分 方 程 称 为 偏 微 分 方 程 (partial differential equation). 例如, 方程(1.1.1)―(1.1.4)都是常微分方程, 而方程(1.1.5) 是偏微分方程. 3. 微分方程的阶 在微分方程中, 必定实质上含有未知函数的导数(或微分), 其中出现的最高阶数就称为 该微分方程的阶(order). 例如方程(1.1.1)-(1.1.3)是一阶方程, 方程(1.1.5)是二阶方程. 微分方程的阶对微分方程的解法及其解的性质都起着实质性的作用. 一阶常微分方程的一般形式可以表示为F (t , y, y ′) = 0(1.1.6)其中 F 是其变元的已知函数， t 是自变量(常微分方程的自变量常用 t 或 x 表示)， y 是未 知函数， y ′ = dy / dt . 习惯上称(1.1.6)为一阶隐式常微分方程. 解出 y′ 的形式的正规型方程 我们常常讨论(1.1.6)中y ′ = f (t , y ) .(1.1.7)以后在不会混淆时我们简称“常微分方程”为“微分方程”或“方程”. 一阶方程有时写成 微分形式M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 ,这时并没有规定哪个是自变量. 一般 n 阶微分方程有如下形式F (t , u, u ′, &, u ( n ) ) = 0(1.1.8)其中 F 是其变元的已知函数. 但在实际中常常讨论最高阶导数已解出的正规形(normal form)方程u ( n ) = f (t , u, u ′, & , u ( n ?1) ) .2 n(1.1.9)(n)…, D u = u 有时用算子形式来表示求导运算更为方便， 定义 Du := u ′ ， D u := u ′′ ，2.n 阶微分方程可以作为 n 维一阶方程组(即 n 个一阶方程的联立方程组)的特殊情形进行处 理. 我们称方程组中一阶方程的个数为它的维数(dimension). n 维一阶方程组的正规形式为? dy1 ? dt = f1 (t , y1 ,& , y n ) ? dy ? 2 = f 2 (t , y1 ,& , y n ) ? dt ? # ? dy n = f n (t , y1 ,& , y n ) ? ? dt或者写成向量形式(1.1.10)dy = f (t , y ) dt其中 y = ( y1 , &,(1.1.11)y n ) T 是未知函数向量, f = ( f 1 , &,f n ) T 是已知函数向量. 在方 表示 y 关于 t 的导数. 程组或高阶方程的情况习惯上用 t 表示自变量. 当 t 表示时间时常用 y至于如何把 n 阶微分方程(1.1.9)转化为 n 维一阶方程组(1.1.10)的特殊情形将在第四章详 细讨论. 4. 线性和非线性 如果在方程(1.1.8)中的函数 F 关于未知函数 u 及其各阶导数 u ′, &, u 式, 则称方程是线性的(linear). n 阶线性方程的一般形式是( n)是一次有理整u ( n ) + a1 (t )u ( n ?1) + & + a n ?1 (t )u ′ + a n (t )u = f (t )(1.1.12)其中 a1 (t ), & , a n (t ) 和 f (t ) 都是自变量 t 的已知函数. 而 n 维一阶线性常微分方程组的一般 形式为dy = A(t )y + f (t ) dt(1.1.13)其中 f (t ) 是 n 维已知的函数列向量, y 是 n 维未知列向量, A(t ) 是已知的 n 阶函数方阵. 不是线性的微分方程就称为非线性方程. 例如,方程(1.1.1), (1.1.3), (1.1.5)都是线 性方程, 而方程(1.1.2), (1.1.4)一般来说是非线性的(nonlinear). 5. 微分方程的解 微分方程的基本问题之一就是要求出其中的未知函数, 这个函数就称为微分方程的解. 为确定起见, 以 n 阶微分方程(1.1.9)为例. 如果函数 u = u (t ) 在区间 I 上有直到 n 阶的导 数, 而把 u = u (t ) 代入微分方程(1.1.9)后, 能得到在区间 I 上的恒等式u ( n ) (t ) ≡ f (t , u (t ), u ′(t ),& , u ( n ?1) (t )) ,3则称 u ? u (t ) 为方程(1.1.9)在区间 I 上的一个解.注意在解的定义中解的定义区间不是一般的集合而是一个区间 I . 区间(interval)的定义是实数集合 R 上的一个多于一点的连 通子集. 它可以是开的，闭的，半开半闭的，有界或无界的. 而且显然一个解在定义区间的 子区间上的限制也是解. 同样解也可能在更大的一个区间上有定义. 如果从函数方程U (t , u ) ? 0 能确定(一个或几个)函数 u ? u (t ) 是方程(1.1.9)的解, 则 U (t , u ) ? 0 称为方程(1.1.9)的隐式解(implicit solution), 或称为积分(integral). 若方程的解是由参数形式 表示的, 则称之为参数形式的解. 今后, 对于微分方程的用显函数(explicit function)表 示的解、隐式解、 和参数形式的解不加以区别, 统称为方程的解. 例 1.1: 方程 y? ?y2t 1? eyy2将它化为 (1 ? e )dy ? 2tdt ? 0 , 由观察可见它等价于 d ( y ? e ? t ) ? 0 , 因此有隐式 解 y ? e ? t ? C ， 虽然它没有初等函数形式的显式解，解的定义区间也不明确，但是对y2于确定的常数 C ? y0 ? ey02 ，根据隐函数定理，在某个包含 t0 的区间 I 上，存在惟一的 ? t0满足 y (t0 ) ? y0 的显式解. 例 1.2 方程 1 ? t y? ? t ? 02令 t ? sin s , s ? [ ?? / 2, ? / 2] , 则 y? ? dy / dt ? (dy / ds ) /(dt / ds ) ? (dy / ds ) / cos s , 方程化为 dy / ds ? sin s ? 0 , 即得参数形式的解 ?2?t ? ? y ? cos s ? C2s ? [?? / 2, ? / 2] ;或者直接解出 y? ? ?t / 1 ? t , 积分得显式解 y ? 1 ? t ? C ， t ? [ ?1,1] . 6. 通解与特解, 初值问题 我们看到在例 1.1， 1.2 中， 由于积分一次， 得到的解会产生一个任意常数， 一般而言， n 阶微分方程若通过 n 次积分得到的解就有 n 个任意常数, 这种解称为方程的通解. 对于二 阶微分方程, 用熟悉的自由落体方程y ?? ? ? g .为例, 方程两端相继积分两次得到(1.1.14)1 y ? ? gt 2 ? C1t ? C 2 2(1.1.15)其中 C1 和 C 2 是通过两次不定积分分别产生的任意常数, 我们认为它们是相互独立的. 表达 式(1.1.15)是自由落体方程(1.1.14)的通解, 它描述了自由落体运动的普遍规律. 要获得特 定的运动规律, 必须知道运动的初始状态. 设初始时刻 t ? 0 时, 物体离地面高度为 y0 ? 0 ,4初始速度为 v0 , 则初始状态为? y ( 0) = y 0 . ? ? y ′(0) = v0于是求自由落体运动规律归结为求如下初值问题(1.1.16)? y ′′ = ? g ? ? y (0) = y 0 , y ′(0) = v0(1.1.17)的解. 将条件(1.1.16)代入通解(1.1.15)中可确定 C1 = v0 , C 2 = y 0 . 于是初值问题 (1.1.17)的解为y (t ) = ? gt 2 / 2 + v0 t + y 0 , t ∈ [0, T ]其中 T & 0 为落体落地的时刻,即 y (T ) = 0 . 这是大家熟知的物理公式.(1.1.18)因此若在微分方程的解中, 含有相互独立的任意常数的个数等于此微分方程的阶数, 则 称此解为微分方程的通解(general solution). 在通解中的任意常数取确定的值时所得到的 解或不含任意常数的解, 称为微分方程的特解(particular solution). 这里的所谓“相互 独立”直观来讲是指取不同的一组常数 C1 , C 2 , & , C n 应该得到不同的解. 如 y = C1e 两个常数不是独立的，因为取 C = C1et C2 t +C2的时，这个函数就是可表示为只含一个任意常数的函数 y = Ce . 另外要注意，任意常数中“任意的”指的是在一定的范围内的任意，如方程 就要求 C & 0 . 还要注意， 对于 m 个未知函数的 m 个 xdx + ydy = 0 的隐式解 x 2 + y 2 = C ， 微分方程组成的方程组， 若其中的最高阶数是 n ， 则通解应是含有 m × n 个独立的任意常数. *7. ：而数学上“相互独立” 的严格意义是： 对于 n 阶方程(1.1.9), 我们称含有 n 个 相互独立的(在一定范围内任意取值的)任意常数 C1 , C 2 , & , C n 的 n 阶方程(1.1.9)的解u = u (t , C1 , C 2 , &, C n )(1.2.19)为其通解. 同样可以定义 n 阶方程(1.9)的隐式通解(或通积分). 数学上, 称函数 u 关于C1 , C 2 ,& , C n 相 互 独 立 是 指 函 数 u 的 雅 可 比 (Jacobi,C.G.J.[ 德 ]) 行 列 式 在 t , C1 , C 2 ,& , C n 的某定义域 G 中满足5? (u, u ′,&, u ( n ?1) ) ? (C1 , C 2 ,& , C n ) G?u ?C1 ?u ′ = ?C1 # ?u ( n ?1) ?C1?u ?C 2 ?u ′ ?C 2 # ?u ( n ?1) ?C 2?u ?C n ?u ′ & ?C n % # ?u ( n ?1) & ?C n&≠0(1.1.20)G其中 u( j)d ju = j ( j = 1,&, n ? 1 ). 值得注意的是通解不一定包含方程所有的解. 例如克莱 dt2 2罗 (Clairant, A.C.[ 法 ]) 方 程 y = xy′ ? ( y′) 有 通 解 y = xc ? c , 又 有 特 解y=x2 . 显然该特解(抛物线)不包含在其通解(直线族)之中. 4对 于 n 维 一 阶 方 程 组 (1.1.11), 其 通 解 的 一 般 形 式 为 y = y (t , C) ， 其 中C = (C1 ,..., C n ) T 是一个任意常向量; 写成分量形式即为：? y1 = y1 (t , C1 , C 2 , & , C n ) ? y = y (t , C , C , & , C ) ? 2 2 1 2 n , ? # ? ? ? y n = y n (t , C1 , C 2 , & , C n )(1.1.21)其中 C1 , & , C n 是 n 个相互独立的任意常数, 其含义是对于 n 个函数 y1 , &, y n 的 Jacobi 行 列式在 t , C1 , & , C n 的某定义域 G 中满足? ( y1 ,&, y n ) ? (C1 ,&, C n ) G?y1 ?C1 ?y 2 = ?C1 # ?y n ?C1?y1 ?C 2 ?y 2 ?C 2 # ?y n ?C 2?y1 ?C n ?y 2 & ?C n # # ?y n & ?C n &≠ 0.(1.1.22)G当 n 阶方程(1.1.9)转化为 n 维一阶方程组(1.1.10)时, 任意常数 C1 , C 2 , & , C n 相互独立性 的定义(1.1.20)和(1.1.22)是一致的. 8. n 阶方程(1.1.9)的初始条件(initial condition)的一般形式是: 当 t = t 0 时,( n ?1) ′ ，…, u ( n ?1) (t 0 ) = u 0 u (t 0 ) = u 0 , u ′(t 0 ) = u 0 ，(1.1.23)6′ , &, u 0 其中 u 0 , u 0( n ?1)是预先给定的 n 个常数. 于是 n 阶微分方程(1.1.9)的初值问题(initial value problem)提法为:? u ( n ) = f (t , u , u ′, & , u ( n ?1) ), ? ( n ?1) ′ , & , u ( n ?1) (t 0 ) = u 0 . ?u (t 0 ) = u 0 , u ′(t 0 ) = u 0(1.1.24)因为在 19 世纪中期, 正是柯西(Cauchy,A.L[法])卓有成效地研究了微分方程的初 值问题,为纪念他, 人们习惯又称初值问题为 Cauchy 问题. 一般来说, 求初值问题(1.1.24)的解时, 如果能求出方程(1.1.9)的通解(1.1.19), 那 么依次求出它关于 t 的直到 n ? 1 阶的各阶导数, 再将初始条件(1.1.23)代入, 得到方程组? u 0 = u (t 0 , C1 , & , C n ), ? u ′ = u ′(t , C , & , C ), ? 0 0 1 n . ? # ? ( n ?1) ( n ?1) ? (t 0 , C1 ,& , C n ) . ?u 0 = u(1.1.25)这是一个由 C1 , & , C n 作为 n 个未知量的非线性方程组, 函数 u 关于 C1 , & , C n 的相互独立 性 能 够 保 证 上 述 方 程 组 (1.1.25) 在 t 0 , C1 , C 2 , & , C n 的 某 邻 域 中 有 惟 一 解0 . 因此得到初值问题(1.1.24)的解 C1 = C10 , & , C n = C n 0 u = u (t , C10 , &, C n ).(1.1.26)显然, 它是方程(1.1.9)的特解. 还有其它确定任意常数的定解条件, 例如边值条件. 求方程满足给定条件的解的问题称 为定解问题. 初值问题只是其中一类常见的定解问题, 还有其它定解问题, 例如边值问题等, 它是微分方程一个重要的研究领域. 由于本书不涉及而不展开讨论. 习题 1.1 1．判断下列微分方程的阶： (1) y ′′′ ? 5ty ′ = e + 1 ；t(2) ty ′′ + t y ′ ? (sin t ) y = t ? t + 1 ；2 2 ( 4)(3)dn y = y 2 + 1； n dt?t(4) y+ ty ′′′ + t 2 y ′′ + ty ′ ? sin y = 0 .2．判断函数 y (t ) = 2e+ te ? t 是否是方程 y ′′ + 2 y ′ + y = 0 的解.3．证明 y = ln t 在区间 (0,+∞) 上是方程 ty′′ + y′ = 0 的解. 4．求初值问题 y ′ + y = 0, 数. 答案： y = 2e3? ty (3) = 2 的解，已知其通解为 y = Ce ? t ，其中 C 为任意常.5 ． 求 初 值 问 题 y ′′ + 4 y = 0 ， y (0) = 0 ， y ′(0) = 1 的 解 ， 已 知 其 通 解 为7y (t ) = C1 sin 2t + C 2 cos 2t ， C1 ， C 2 为任意常数. 答案： y (t ) = (sin 2t ) / 2 .6．在 xOy 平面上求有下列性质的曲线的方程所满足的微分方程：它在上面任一点P( x, y ) 的切线均与过坐标原点 O 与该点的直线垂直. 答案： dy / dx = ? x / y .7．一曲线，其上每一点的切线的斜率为该点横坐标的二倍，且通过点 P(3,4) ，求此曲 线的方程所满足的微分方程及定解条件. 答案：dy = 2 x ， y (3) = 4 . dx8．一个质量为 m 的质点在水中由静止开始下沉，设下沉时水的阻力与速度成正比(比例 系数为 k )，试求质点运动规律所满足的微分方程及初始条件. 答案：d 2 y k dy + = g ， y (0) = 0 ， y ′(0) = 0 . dt 2 m dt9．设一个容器内开始时装有 100 升盐水，其中含有 10 千克的盐. 现在以每分钟 3 升的 速度注入净水使盐水冲淡，同时以每分钟 2 升的流量让盐水流出. 假定容器中盐水的浓度在 任何时刻都是均匀的，求出任意时刻 t 容器中净盐量 y 所满足的微分方程和定解条件. 答案： y ′ = ?2y ， y (0) = 10 . 100 + t8§1.2 一阶方程解的几何解释 1. 积分曲线 考虑一阶微分方程dy = f (t , y ) dt(1.2.1)其中 f (t , y ) 在 tOy 平面上的区域 D 中连续. 设函数 y = y (t ) , ( t ∈ I )为方程(1.2.1)的解, 它的图像是 D 中的一条光滑曲线, 我们称它为方程(1.2.1)的积分曲线(integral curve)或 解 曲 线 (solution curve). 设 方 程 (1.2.1) 的 通 解 为 含 有 一 个 任 意 常 数 C 的 函 数y = y (t , C ) ，对于每一个 C ，就有一个图像，所有这些图像(graph)形成 D 中的一族光滑曲线, 称之为方程(1.2.1)的积分曲线族. 方程(1.2.1)满足初始条件 y (t0 ) = y0 的解的图像, 是积分曲线族中通过点 (t0 , y0 ) ∈ D 的一条积分曲线. 由于方程(1.2.1)的解和积分曲线是同一函数的不同表示形式(解析表示和几何表示), 因此, 我们认为微分方程的解和微分方程的积分曲线是一样的. 微分方程（1.2.1）的积分曲线与函数 f (t , y ) 的关系. 设曲线 l 是方程(1.2.1)的一条积 分曲线, 那么表示这条曲线的函数 y = y (t ) ( t ∈ I )是方程(1.2.1)的解, 故在区间 I 上有恒 等式y′(t ) ≡ f (t , y (t )) .(1.2.2)在曲线 l 上任一点 (t , y (t )) 处, 其斜率 y′(t ) 恰好等于函数 f (t , y ) 在该点处的值 f (t , y (t )) ; 反之, 如果对于 D 中任一条光滑曲线 y = y (t ) , 其上每一点 (t , y (t )) 处的切线斜率 y′(t ) 等 于函数 f (t , y ) 在该点处的值 f (t , y (t )) , 则此曲线必定是方程(1.2.1)的一条积分曲线. 因 此, 曲线 l 是方程(1.2.1)的积分曲线的充要条件是: 其上每一点 (t , y ) 处的斜率恰好等于函 数 f (t , y ) 在该点 (t , y ) 的值.2. 方向场 在 D 中每一点 (t , y ) 处画上斜率为 f (t , y ) 的一个“小直线段”, 我们把每一点处都具 有这种“小直线段”的区域 D 称为微分方程(1.2.1)的方向场(direction field). 这样, 给 定一个微分方程(1.2.1), 它的几何意义就是确定了区域 D 的方向场. 于是求方程(1.2.1) 过点 (t0 , y0 ) ∈ D 的积分曲线,根据积分曲线与函数 f (t , y ) 的关系可知, 当且仅当积分曲线 上的每一点的切线方向和方向场在该点的方向一致. 因此可以从方向场出发近似地画出方 程(1.2.1)的积分曲线.9在方向场中, 具有相互平行小直线段的点的几何轨迹称为等倾线(isoclines). 为 k 的等倾线方程为斜率f (t , y ) = k .(1.2.3)适当选取参数 k 的值时, 可以得到足够密集的等倾线族, 利用这些等倾线族有助于作出方程 (1.2.1)的近似积分曲线. 例 1.1 画出 Riccati 方程dy 2 = t + y2 dt的方向场草图,并作出过原点的近似积分曲线.2 2 2(1.2.4)解: 考虑该方向场中的等倾线, 令 t + y = k , 其中 k & 0 是参数. 这是一族以原点 为中心, 以 k 为半径的同心圆, 这些圆周都是等倾线, 其上任一点的“小直线段”的斜线为k . 如图 1 所示, 适当画出一些同心圆(如取 k = 0.25, 0.75,1.25,1.75, 2.25 ), 在圆周上作出相同斜率的“小直线段”, 利用等倾线族, 就可画出方向场草图. 过原点, 沿着方向场中 的“小直线段”, 就可描绘出过原点的一条近似积分曲线. 当今, 数学软件发展迅速, 上述画出方向场草图和作近似积分曲线的繁琐工作可以在计 算机上实现, 而且非常“精确”. 我们利用 MATLAB 软件来处理上述例子. 在 MATLAB 的命令窗口键入如下命令: (%及%后的内容是注释，不用输入) [T,Y]=meshgrid(-1.5:.1:1.5,-1.5:.1:1.5); % 生成坐标格子 DX=ones(size(T)); F=T.^2+Y.^2; % DY./DX=F=f(t,y) contour(T,Y,F, [.25:.5:2.25]); % 生成等位线， hold on； % 让以后生成的图叠加在已有的图上 quiver(T,Y,DX,F); % 生成方向场 hold on； % 各轴等尺度 则得到等倾线. 见图 1. 其中过原点的近似解的图像是另外画上去的. 如要用 MATLAB 画,可 在以上语句后加上如下语句: sol=ode45(@riccati,[0 1.5],0) % 调用解常微分方程的程序 ode45 tint=linspace(0,1.5,31)； % 给定解的定义区间[0,1.5], 其上取 31 个点 y=deval(sol,tint)； % 求出这些点上解的值 y plot(tint,y,'k')； % 画出解的图像,‘k’表示‘黑色’ 另外, 要编写一个 m 文件,(文件名为 riccati)表示方程(1.2.4)右边的函数的子程序: function f = riccati (t,y) f=t.^2+y.^2；%注意一定要用点运算. 编写方法为:依次打开菜单 File/New/M-file, 输入以上语句后保存即可.101.52.252.251.751.251.7 50.7512. 25 1. 751. 255 2.20. 750.51. 250.251.750.7502.251.25-0.50. 75-12. 251.7 51.2 50. 7575 1.1.251.755 2.2-1.5 -1.52. 25-1-0.500.51图 1 等倾线和方向场 小 结 本章的内容是介绍与微分方程有关的一些基本概念. 首先给出微分方程的概念, 注意它与其它方程的区别. 给出了诸如常微分方程与偏微分 方程, 微分方程的阶, 线性和非线性等概念. 对微分方程进行了分类, 引进了微分方程 的解, 通解, 特解以及初值问题和定解问题等概念. 给出了微分方程的几何解释, 即积分曲线, 方向场, 等斜线等概念. 几何解释不仅提供 了直观理解, 而且能从中获得证明方法的启发, 例如在解的存在性证明中所采用的 Euler 折线法就来自于方向场的几何直观. 利用计算机作近似积分曲线. 有利于微分方程的近似求解和解的性质的研究. 微分方程课程的内容包括: 求出微分方程的精确解或者近似解以及不通过求解来研究解 的性质. 习题 1.2 1．利用 MATLAB 画出方程1.2.3. 4.dy = t 的方向场，并近似画出方程过点 (0,0) 的积分曲线。 dt dy 2．利用 MATLAB 画出方程 = y 的方向场，并近似画出方程分别过点 (0,0) ， (0,1) ， dt(0,-1) 的积分曲线.112.2 55 0.21. 251.750.251.5第二章 初等积分法 求解微分方程的自然想法是设法把解表示成初等函数(elementary function)的积分, 这类方法称为初等积分法. 本章主要介绍若干可用初等积分法求解的方程类型(称为可积类 型)及其解法. 虽然这些方程的类型很有限, 但掌握这些方程的基本解法和技巧却十分重要. §2.1 一阶显方程 一阶显方程的正规形式为dy = f (t , y ) dt(2.1.1)其中 f (t , y ) 是区域 D 上的连续函数. 我们已知, 一般情况下无法用初等积分法求解. 我们 将介绍若干个可积类型. 1. 可分离变量方程(separable equation) 可以写成形如dy = f (t ) g ( y ) dt(2.1.2)的微分方程称为可分离变量方程, 其中 f (t ) 和 g ( x) 是连续函数. 此类方程的特点是右端函 数为 t 的函数和 y 的函数的乘积. 若 g ( y ) ≠ 0 , 则方程(2.1.2)可写成如下微分形式dy ? f (t )dt = 0 . g ( y)(2.1.3)这时每个微分项只含一个变量,这个过程称为“分离变量” (separating variables). 设G( y) = ∫dy 1 和 F (t ) = ∫ f (t )dt 分别表示 和 f (t ) 的一个原函数(不带有积分常 g ( y) g ( y)数!), 则(2.1.3)式可写成d(G ( y ) ? F (t )) = 0积分得隐式通解(2.1.4)G ( y ) ? F (t ) = C其中 C 是使(2.1.5)式有意义的任意积分常数. 因为 G′( y ) =(2.1.5)1 ≠ 0 , 由隐函数存在定 g ( y)理可知(2.1.5)式确定了一个函数 y = y (t ) , 代入得到恒等式 G ( y (t )) ? F (t ) ≡ C , 两边对 t 求导得到 G′( y (t )) y′(t ) ? F ′(t ) =y′(t ) ? f (t ) ≡ 0 . 因此, (2.1.5)式即为隐式通解. g ( y (t ))12如果存在 y0 , 使 g ( y0 ) = 0 , 则直接验证可知 y = y0 是方程(2.1.2)的特解. 一般而言， 它不包含在(2.1.5)形式的通解中. 因此可分离变量方程总是可积的. 上述的求解方法称为 分离变量法. 注意通解(2.1.4)中的积分未必是初等函数。 例如概率积分 erf(t) =t2exp(? s π ∫0t2) ds ,(本课程有时用 exp(t)表示指数函数)正弦积分函数 Si (t ) =∫sin s ds 等, 它们都是初等函数 s 0的积分，虽然它们没有初等的原函数，但我们仍然认为方程(2.1.2)已经得到通解. 但通常 约定, 在求解过程中, 如果 G ( y ) 和 F ( x) 是初等函数, 应该将其求出. 例 2.1 求解方程 y′ = y cos t ,并求满足初始条件 y (0) = 1 的解.2解: 显然 y = 0 是方程的特解. 当 y ≠ 0 时, 分离变量可得dy = cos tdt , 两边积分得 y2?1 1 = C + sin t , 因此通解为 y = ? , 其中 C 是任意常数. 为了求出初值问题的 y C + sin t解,不难看出解 y = 0 不满足初始条件. 因此只能在通解中去找出. 为此在通解中令t = 0 , y = 1 , 即得 C = ?1 , 于是所求初值问题的解为 y =1 ， t ∈ ( ?π / 2, π / 2) . 1 ? sin t数学实验: 在求解中的求不定积分的工作可以利用 MATLAB 中的符号运算来做,以上题 为例,语句如下: syms t y % 构造符号对象(symbalic objects) t, y，t与y之间只能用空格分开 -2 int(y^(-2),y) % 关于变量y求 y 的不定积分(integral) int(cos(t),t) % 求 cos (t) 关于变量t的不定积分 但是也可以用 MATLAB 的符号求解常微分方程的程序 dsolve 直接求解: y = dsolve('Dy=y^2*cos(t)','y(0)=1','t') % 自变量默认为 t,如自变量不是t，则必需 指定. 正确的解是: y = 1/(-sin(t)+1).注意MATLAB不会给出解的定义区间. 例 2.2 线性齐次方程dy ? p(t ) y = 0 dx其中 p (t ) 为 t ∈ I 上的连续函数. 它描述了增长率为 p (t ) 的过程. 解: 显然 y = 0 是线性方程(2.1.6)的特解. 当 y ≠ 0 时, 分离变量可得 两边积分得隐式通解 ln( y / C ) =(2.1.6)dy = p (t ) y∫ p(t )dt , 其中13C 为任意非零实常数. 特解 y = 0 不包含在隐式通解中. 将隐式通解化为显式通解得? ?t y = Cexp? ∫ p( s )ds ? ， t ∈ I ? ?t ? ?0(2.1.7)其中 t0 是函数 p 的定义域 I 中任意一点. 如果允许(2.1.7)中任意常数 C = 0 , 则特解y = 0 包含在通解(2.1.7)之中. 因此(2.1.7)式为包含了线性方程(2.1.6)的所有解的通解.以后遇到线性方程, 可直接利用(2.1.7)式求解. 注: (2.1.7)的另一种推导法是将(2.1.6)写成? t ?? d? ? y exp? ? ∫ p ( s )ds ?? = 0 , ? t ?? dt ? ? 0 ?? ?积分得? ? t y exp? ? ∫ p( s)ds ? = C ， t ∈ I . ? ? t ? ? 02. 齐次方程(homogeneous equation) 称可写为形如y y′ = g ( ) t(2.1.8)的方程为齐次方程, 其中 g (u ) 是 u 的连续函数. 例如以下一阶微分方程的微分形式：M (t , y )dt + N (t , y )dy = 0 ， 当 其 中 M (t , y ) 和 N (t , y ) 都 是 同 次 (degree) 的 齐 次 函 数(homogeneous function)时，就可化为形如(2.1.8)的方程，因而得名齐次方程. 注 ： 一 个 函 数 f (t , y ) 称 为 是 n 次 齐 次 函 数 当 且 仅 当 对 于 任 意 正 数 k ， 恒 有f (kt , ky) ≡ k n f (t , y ) , 易见 g ( y / t ) 是零次齐次函数). 齐次方程(2.1.8)的特点是在方程中的变量 t , y 同乘以一个正数 k 后作为新的变量，方程的形式不变. 齐次方程的这个特点说明 了它的一条积分曲线除了可能是从原点出发的射线外，放大或缩小后是另一条积分曲线. 如 何判别给定方程(2.1.1)右端函数 f (t , y ) 是否为零次齐次函数? 根据定义, 其充要条件是f (kt , ky) ≡ f (t , y ) 对任意 k & 0 成立. 因此，取 k = 1 / t ， 得 f (t , y ) ≡ f (1, y / t ) ，即零次齐次函数常可写成 y / t 的函数. 例如 f (t , y ) =y y + tan 是零次齐次函数. t t下面讨论齐次方程的一种常用的解法, 其解法特点是对未知函数进行变量替换, 把方程 (2.1.8)化成可分离变量方程. 然后, 利用分离变量法求解. 为此令u=y , t14(2.1.9)即 y = tu , 于是dy du . =u+t dt dt将(2.1.9)和(2.1.10)代入方程(2.1.8)即得(2.1.10)du g (u ) ? u . = dt t因为(2.1.11)是一个可分离变量方程. 因此齐次方程(2.1.8)总是初等可解的.(2.1.11)例如, 当 g (u ) ? u ≠ 0 时, 可以把(2.1.11)写成一个以 u 为自变量的线性方程,dx x . = du g (u ) ? u记 G (u ) =(2.1.12)u0∫ g ( s) ? s ,uds由(2.1.7)得,x = Cexp(G(u)) , 回代变量 u =y , 可得原方程 t(2.1.8)的隐式通解t = Cexp(G( y/t)) .(2.1.13)若存在 u1 使 g (u1 ) ? u1 = 0 , 则 u = u1 是方程(2.1.11)的特解, 从而两条射线 y = u1t ，(t ≠ 0) 是方程(2.1.8)的特解. 注意在实际求解(2.1.11)时可能有多种解法, 不必拘泥于以上解法. 这种通过变量替换将原方程转化为已知类型的方程的想法, 是微分方程求解中的 常用方法, 称为变量替换法(the method of substitution). 希望读者细心观察, 积累经验. 例 2.3 求解方程 y′ =y y + tan . t td(sin u ) sin u . 将 sin u 作为新的 = dt t 未知函数后就是形如(2.1.6)的线性方程, 按公式(2.1.17)得其通解为 sin u = Ct , y y 回代变量 u = , 可得原方程的隐式通解: sin = Ct , 它包含了所有的解. 显式解是多 t t解: 令 y = tu , 代入方程得 tu′ = tan u . 又可化为 值函数: y = t (arcsin(Ct ) + 2kπ ) ， y = t (? arcsin(Ct ) + (2k + 1)π ) ， k ∈ Z . 可以看出过(0,0) 点的积分曲线有无数条.注意，对于齐次方程，还有一种用积分因子的解法，将在§2.2 中介绍. 数学实验 用MATLAB求解例2.3: y=dsolve('Dy=y/t+tan(y/t)','t') % 不加初始条件， 解中有任意常数 C1 答案是: y = asin(t*C1)*t. 这个结果实际上是少了很多解. 这是因为 sin 的反函数 Arcsin是多值的. 因此, 我们不能完全相信计算机计算的结果, 因为软件也是人编的, 难免 有 bug.153. 线性分式方程 称形如y′ =a1t + b1 y + c1 a2t + b2 y + c2(2.1.14)的方程为线性分式方程,其中 | a1 | + | b1 |≠ 0 , | a2 | + | b2 |≠ 0 ， c1 , c2 都是已知常数. 它是利 用变量替换法可化为齐次方程的一类可用初等方法求解的方程. 分三种情况讨论: 1) 当 c1 = c2 = 0 时, 此时方程(2.1.14)已经是齐次方程, 故可解;不然 2) 当a1 a2? a t + b1 y + c1 = 0 ≠ 0 时, 此时线性代数方程组 ? 1 b2 ?a2t + b2 y + c2 = 0 b1必存在惟一解 t = α , y = β . 于是 a1t + b1 y + c1 = a1 (t ? α ) + b1 ( y ? β ) ，?ξ = t ? α a2t + b2 y + c2 = a2 (t ? α ) + b2 ( y ? β ) ，作平移变换 ? , 则原方程(2.1.14)化为 η y β = ? ?齐次方程dη a1ξ + b1η = , 因而初等可积; dξ a2ξ + b2ηa1 a2 b1 = 0 时, 此时必有 a1 = a2 k , b1 = b2 k , 这时方程(2.1.14)可写成 b23) 当y′ =k (a2t + b2 y ) + c1 := f (a2t + b2 y ) . a2t + b2 y + c2 du = a2 + b2 f (u ) , 这显然是可分离变量方程类型. dt令 u = a2t + b2 y , 则原方程(2.1.14)为总之, 线性分式方程可用初等积分法求解. 上述变换方法有着明显的几何解释: 令线性分式方程(2.1.14)的分子分母分别为零, 得 到两条直线. 对于齐次方程,两条直线过原点. 平移变换的作用是将交点移到原点. 对于第 3 种情况, 这两条直线平行. 例 2.4 求解方程 y′ =t ? y +1 . t + y ?3 ?t ? y + 1 = 0 的解 t = 1 , y = 2 . 于是作平移变换 ?t + y ? 3 = 0 ? ξ = t ?1 , ? ?η = y ? 2解: 首先求出线性代数方程组 ?则原方程化为16dη ξ ? η = . dξ ξ + η这是齐次方程. 再令η = ξ u , 则方程(2.1.15)化成(2.1.15)du 1 ? 2u ? u 2 = . dξ (1 + u )ξ又可化为(2.1.16)d (u 2 + 2u ? 1) 2(u 2 + 2u ? 1) 2 =? ， 它是关于未知函数 u ? 2u + 1 的线性方程 dξ ξ由(2.1.7)直接得解： 则方程(2.1.16)的通解为:u 2 + 2u ? 1 = Cξ ?2 .回代变量(2.1.17)η = ξ u 即 得 方 程 (2.1.15) 的 通 解 η 2 + 2ξη ? ξ 2 = C ; 再 回 代 变 量ξ = t ? 1 ,η = y ? 2 得原方程的隐式通解 ( y ? 2) 2 + 2(t ? 1)( y ? 2) ? (t ? 1) 2 = C ，因它是一个 y 的二次方程，显式解有二个不同的表达式 y = 3 ? t ±2(t ? 1) 2 + C ，说明了这个方程的任意一个初值问题的解都不是惟一的. 注：由于本题的特殊性, 有另一种简单解法：将方程写成微分形式(t + y ? 3)dy ? (t ? y + 1)dt = 0 , 然后分组为 (tdy + ydt ) + ( y ? 3)dy ? (t + 1)dt = 0 ，可见其中每一项都可以写成某个函数的全微分. 即 d (ty ) + d ( y / 2 ? 3 y ) ? d (t / 2 + t ) = 0 ，2 2积分得隐式积分~ ty + y 2 / 2 ? 3 y ? t 2 / 2 ? t = C . 这种方法称为凑全微分法, 但对于(2.1.14)类型的方程并不一定都可以这样做. 数学实验: 用MATLAB求解例2.4: y = dsolve('Dy=(t-y+1)/(t+y-3)','t') 答案是显式解: y = 2-((t-1)*C1-(2*(t-1)^2*C1^2+1)^(1/2))/C1, 其中任意常数 C1= 1/C, 因此 MATLAB 的通解中少了通解中 C = 0 时的特解. 4. 线性非齐次方程 形如y′ ? p(t ) y = q(t )的方程称为一阶线性方程, 其中 p (t ) 和 q (t ) 在 t ∈ I 上连续. 当 q (t ) ≡ 0 , t ∈ I 时, 方程(2.1.18)称为线性齐次方程.(2.1.18)根据例 2.2, 它有通解17(2.1.7). 否则, 方程(2.1.18)称为线性非齐次方程. 下面求解该方程. 类似于例 2.2 的注那样，只要将(2.1.18)写成? t ?? ? t ? d? ? ? ? y exp ? ∫ p ( s )ds ? = q (t ) exp? ? ∫ p ( s )ds ? ? t ?? ? t ? dt ? ? 0 ?? ? 0 ? ?即得t ?t ?? ? u ? ? y = exp? ∫ p( s )ds ?? C + ∫ q (u ) exp? ? ∫ p ( s )ds ?du ? . ?t ?? ? t ? ? t1 ?0 ?? ? 0 ? ?(2.1.19)其中 t1 ∈ I 是任意的，一般可取 t1 = t0 . 仔细观察通解公式(2.1.19), 这个通解公式由 两项的和组成, 一项是相应的线性齐次方程通解(2.1.7), 另一项是线性非齐次方程的特解y p (在(2.1.19)中令 C = 0 即得).? ?t ?du . y p = ∫ q(u ) exp? p ( s ) d s ? ?∫ t1 ? ?ut因此有结论: 线性非齐次方程的通解等于相应线性齐次方程的通解与线性非齐次方程 的一个特解之和. 我们称这个结论为线性非齐次方程的通解结构. 不难验证, 方程(2.1.18)满足初始条件 y (t0 ) = y0 的解为t ?t ?? ? u ? ? y = exp? ∫ p ( s )ds ?? y0 + ∫ q (u ) exp? ? ∫ p ( s )ds ?du ? . ?t ?? ? t ? ? t0 ?0 ?? ? 0 ? ?(2.1.20)公式(2.1.19)和(2.1.20)都称为常数变易公式. 例 2.5 求解方程 y′ ? 2ty = e cos t . 解 : 我 们 建 议 直 接 利 用 常 数 变 易 公 式 (2.1.20) 来 求 解 . 此 时 ,t2p (t ) = 2t ,? ?t ? = exp(t 2 ) 把它们代入公式(2.1.20), 即得通解 q(t ) = exp t 2 cos t , 取 h(t ) = exp? 2 s d s ∫ ? ? ? ?0( )t ? exp( s 2 ) cos( s) ? 2 y = h(t )? C ds ? + ∫ ? = exp(t )(C + sin t ) . ? h ( s ) 0 ? ?甚至, 当求出相应线性齐次方程通解 y = Cexp(t ) 后, 如果能够观察到一个线性非齐2次方程的一个特解 y p (t ) = exp t sin t (一般不容易), 则利用通解结构即得线性非齐次方2( )程的通解:y = exp(t 2 )(C + sin t ) .数学实验: 用MATLAB求解例2.5: y=dsolve('Dy=2t*y+exp(t^2)*cos(t)','t'); y=factor(y) % 分解因式18答案是: y = exp(t^2)*(sin(t)+C1). 例 2.6 求方程dy y 的通解. = dt t + y 3解: 解法一: 显然这个方程关于 y 是非线性的, 也不能变量分离. 但把 t 看成 y 的函数 有dt t + y 3 1 = = t + y2 , y ≠ 0 . y y dy这是关于 t 的线性方程, 取 h( y ) = exp?? y ds ? ? ? ∫ s ? = y ，则它的通解为 1 ? ? ? y2 ? ?. y? C + ? 2 ? ? ?y 2 ? ? s ? t = y C + ∫ ds ? = ? s ? 0 ? ?它是原方程的隐式通解. 注意, y = 0 也是原方程的特解, 显然它不包含在通解之中. 解法二: 将方程化为微分形式(tdy ? ydt ) + y 3dy = 0 ，除了特解 y = 0 外，方程可改写为?t? 3 y 2 d? ? y? ? + y dy = 0 ， ? ?两边除以 y 后积分得通解2t y2 + = C ，它也不包含特解 y = 0 . y 2数学实验: 用MATLAB求解例2.6: x = dsolve('Dx=x/y+y^2','y') 答案是: x = (1/2*y^2+C1)*y. 有些方程本来不是线性方程,但通过变量替换可以化为线性方程, 伯努利(Jacob Bernoulli[瑞士] )方程就是这样一类方程:y′ = p(t ) y + q(t ) y n , n ≠ 0,1其中 p (t ) 和 q (t ) 在 t ∈ I 上连续. 为了求解方程(2.1.21), 当 y ≠ 0 时，方程的两边同除以 y 得到n(2.1.21)y ? n y′ = p(t ) y1? n + q(t ) . 令 u = y1? n , 则原方程化为线性方程:u′ = (1 ? n) p(t )u + (1 ? n)q(t ) . 它是可积的. 注意:当 n & 0 时, Bernoulli 方程(2.1.21)还有解 y = 0 .19例 2.7 求解 ty′ = ? y + ty ln t .2解: 除了特解 y = 0 ，通解的解法一： 这是 n = 2 的 Bernoulli 方程, 把它改写成1 1 y ? 2 y′ = ? y ?1 + ln t , y ≠ 0 . 作变换 u = y ?1 , 则 u′ = ? y ?2 y′ , 代入上式有 u′ = u ? ln t . t t ? t ds ? h t 这是线性方程. 取 ( ) = exp? ∫ ? = t 它的通解为 ? s ? ?1 ?t ? ln s ? ? 1 ? = t ? C + ln 2 t ? u = h(t )? C d s ? ?. ∫ ? ? ? s 2 ? 1 ? ?回代原变量, 得到原方程的隐式通解: 通解的解法二：将方程写为微分形式1 t (ln t ) 2 = Ct + . 此外, 还有特解 y = 0 . y 2d(ty ) ? ty 2 ln tdt = 0 ，除了特解 y = 0 外可进而写成d(ty ) ln tdt ? = 0， (ty ) 2 t积分得通解1 ln 2 t ? =C. ty 2数学实验: 用MATLAB求解例2.7: y=dsolve('Dy=-y/t+log(t)*y^2','t') 答案是: y = 2/(-log(t)^2+2*C1)/t 5. Riccati 方程 形如y′ = p(t ) y 2 + q(t ) y + r (t )(2.1.22)的方程称为 Riccati 方程, 其中 p , r 不恒等于零.且 p( x) , q ( x) 和 r ( x) 是在 x ∈ I 上连 续的已知函数. 例 如 对 于 Riccati 方 程 ， y′ = ay + bt2 m, a, b ≠ 0 是 常 数 ， 当 且 仅 当m = ?2, ?4k 4k ,? , k ∈ N 时有初等积分. 这里, 我们不打算详细讨论, 有兴趣者可 2k + 1 2k ? 1参考[1]. 我们只给出一个结论: 如果已知 Riccati 方程(2.1.22)的一个特解, 则它是有初 等积分的.20设已知方程(2.1.22)的一个特解为 y p (t ) , 则令 u = y ? y p (t ) , 代入方程(2.1.22)得u′ + y′p (t ) = p (t )(u + y p (t )) 2 + q (t )(u + y p (t )) + r (t ) = p(t )u 2 + 2 p (t ) y p (t )u + q (t )u + p (t ) y 2 p (t ) + q (t ) y p (t ) + r (t ) , ′ 注意到 y′ p (t ) ≡ p (t ) y p (t ) + q (t ) y p (t ) + r (t ) , 有 u = p (t )u + [ 2 p (t ) y p (t ) + q (t )] u .2 2[]这是 n = 2 时的 Bernoulli 方程, 只要求它的非零解即得原方程除特解 y p (t ) 以外的通解. 例 2.8 求解 t y′ = y + t y ? t .3 2 2 2解: 这是 Riccati 方程. 容易观察出 y p (t ) = t 是它的一个特解. 于是作变换 u = y ? t , 代入原方程, 化简后可得u′ =?11 2 2 1 u + ( 2 + )u . 3 t t t(2.1.23)作变换 z = u , 代入方程(2.1.23), 有z ′ = ?(解此线性方程, 取 h(t ) = exp ?22 1 1 + )z ? 3 . 2 t t t21 ? 2 1? dt = e t , 得 ∫? t2 + t ? t ?21 ?C 1 1 ? 2? ? 1 t ? ∫ 2 exp? ? ?dt ? z = h(t )[C ? ∫ 3 dt ] = e t ? ? ? = 2t (Ce ? 1) , t h(t ) t ?2 t t ? ? ? ? ? 2 ? Ce t + 1 ? 回代变量得原方程的通解为 y = t ? ? .特解 y = t 不包含在这个通解中. 2 ? Ce t ? 1 ? ? ?数学实验: 用 MATLAB 求解例 2.8 y = dsolve('t^3*Dy=y^2+t^2*y-t^2’,’t’) 答案是: y = -tanh((-1+C1*t)/t)*t 另一个必须强调的是, 本节用初等积分法可求解的方程都必须首先认定自变量和未知 量, 然后根据方程类型求解. 这是本节求解方法的特点. 习题 2.1 1．求下列可分离变量型方程的解：dy = y ln t ； 答案： y = Ct t e ?t . dt dy (2) = y ln y ； 答案： y = exp(Cet ) ,如果认为 0 ln 0 = 0 ，则还有特解 y = 0 . dt(1)21(3) 1 ? y dt + y 1 ? t dy = 0 ；答案： 1 ? y = arcsin t + C ; 特解 y = ±1 ; t = ±1 .2 2 2(4)dy = et ? y ； 答案： et ? e y = C dtdy t ? e ? t 2 2 y ?t = ； 答案： y ? t + 2(e ? e ) = C y dt y + e?s(5)de ? s ? ds ? (6) e ?1 + = e ? s ? 1 ，解得 s = ? ln(1 + Ce t ) ? = 1 ； 答案：化为 dt ? dt ?(7) 3e tan ydt + (1 ? e ) sec ydy = 0 ， y (1) = π / 4 ；t t2答案：化为 ? 3 tan yd(1 - e ) + (1 ? e )d tan y = 0 ，t t当 t ≠ 0 时可以表示为d[(1 ? et ) ?3 tan y ] = 0 ， 通解为 (1 ? et ) ?3 tan y = C ，由初值 t ?4 (1 - e )3? et ? 1 ? 条件确定 C ，得 y = arctan? ? e ?1 ? ? ? ?(8) t 1 + y + y 1 + t2 2dy = 0 ， y (0) = 1 ； dt答案： y =t 2 ? 2(1 + 2 ) 1 + t 2 + 3 + 2 2(9) (1 + t ) ydt + t (1 ? y )dy = 0 ， y (2) = 0 ； 答案：易见 y = 0 是方程的解，且满足初 值条件. 而通解为 ln(Cty ) + t ? y = 0 ，其中 y ≠ 0 .2(10) ty (1 + t )dy = 1 + y 2 ， y (1) = 0 . 答案：可化为 dtd (1 + y 2 ) 1 + y2 = , 解此线性方程得通解 d (t 2 ) t 2 (t 2 + 1)2 ? t d( s 2 ) ? ?=C t , 由初值条件得, C = 2 , 所以解为 1 + y = C exp? ∫ 2 2 ? 1 s ( s + 1) ? t2 +1 ? ?22y2 =t2 ?1 t2 +12．求下列方程的解： (1) t y′ = ty ? y ；2 2答案：是 Bernoulli 方程, y = y = 0; ln(Ct )22(2) (t + ty )dy = y dt ； 答案：化为 t ? ? dy + yd? t ? ? ? = 0 ,通解为 y = C exp? ? t ? ; ? ?? ? ? ?2 2 2?? y ???y?还有特解 t = 0 ; (3) ty′ ? y = (t + y ) lnt+y y? y ? y? ? ； 答案：化为 td?1 + ? = (1 + ) ln?1 + ?dt , t t? t t? ? ?? ? y ?? d? ? ? ln?1 + t ? ? y? ? ?? 1 ? ? = ln?1 + ? , 积分得通解 当 t + y ≠ 0 时, 进而化为线性方程 t ? t? dty? ? ln?1 + ? = Ct , 即 y = t (eCt ? 1) ; 还有特解 y = ?t . t? ?(4) y + t2 2dy dy = ty ； dt dt答案：化为 t ? ? dy ? yd?2? ?? y ?? ?? ? = 0 , 进一步化为线性方 ? t ??dy 程, = y , 积分得 y = Ce t ? y? d? ? ?t?(5) (1 + e )dt + e ? ?1 ?t y t yy? ?dt du eu (u ? 1) t? ? = + = u u y ； 答案：令 t = yu , 得 , d y = 0 y? dy dy e +1 ?ydu eu + u d (e u + u ) ) eu + u =? u =? , 进一步化为线性方程 , 积分得通解 y dy dy e +1t ye + u = C / y , 即 t + ye = Cu(6)dy 2t ? y + 1 2 2 = ； 答案：写成微分形式后凑微分: t ? ty + y + t ? y = C dt t ? 2 y + 1答案：线性分式方程. 通解为(7) (2t + y + 1)dt ? (4t + 2 y ? 3)dy = 0 ；2t + y ? 1 = Ce 2 y ? t(8) (2t + 3 y ? 7)tdt ? (3t + 2 y ? 8) ydy = 0 ；2 2 2 2答 案 ： 令 t ,y22为 新 的 变 量 , 可 化 为 线 性 分 式 方 程 . 通 解 是C (t 2 + y 2 ? 3) = (t 2 ? y 2 ? 1)5 ; t 2 + y 3 = 3 是特解.23? 2 arctan ? y+2 ? dy t ?3 ? = 2? (9) ； 答案：通过坐标平移化为齐次方程. y + 2 = C e ? t + y ?1? dt ? ?2y+2(10)dy y y =2 + ， y (1) = 4 ； 答案：Bernoulli 方程. y = x(ln x + 2) 2 dt t t(11) xy ′ ? y =x 2 ? y 2 ，y (1) = d( y / t ) 1 ? ( y / t)21 2 ? y? 2 2 ； 答案： 可化为 t d? ? = t ? y dt ,当 y ≠ ±t 2 ?t?时, 进一步化为=dt y , 积分得 arcsin = sign (t ) ln(Ct ) , |t | t由初值条件得解 arcsin (12) y′ =y π = + ln t . t 6y y ln ， y (1) = 1 . 答案：齐次方程. y = te1? t t t3．求解下列微分方程： (1)dy n = y ； n 是常数. 答案： y ≡ 0 是特解. n & 1 时通解为 y = C1t n ， t & 0 ；及 dt ty = C2 (?t ) n ， t & 0 ； n & 1 时解的表达式同前，只是定义域包括 t = 0 ； 当 n = 1 时，定义域为 R 的通解是 y = Ct ；因此，只要当 t ≤ 0 时 t 有意义， y = Ct 是解，但在 n & 1 时不n n能表示所有的解. (2)dy y = + 2(t ? 2) 2 ； 答案：线性方程. y = (t ? 2)(C + t 2 ? 4t ) dt t ? 2答案：线性方程. y = sin t + C cos t(3) y′ + y tan t = sec t ； (4)ds 1 = ? s cos t + sin 2t ； 答案：线性方程. s = sin t ? 1 + Ce ? sin t dt 2(5) y ln ydt + (t ? ln y )dy = 0 ； 答案：除了特解 y = 1 ; y = 0 外，可化为以 t 为未知 函数的线性方程. t =C ln y + . ln y 2(6) y′ =y ； 答案：除了特解 y = 0 外。可化为以 t 为未知函数的线性方 2 y ln y + y ? t程. t =C + y ln y . y ?3 ? ; y = 0; ? ?1? 1 dy (7) + 2ty + ty 4 = 0 ； 答案：Bernoulli 方程. y = ? 3t 2 1 ? dt ? ? 2 + Ce24(8)1 y = 0. + y = y 2 (cos t ? sin t ) ； 答案：Bernoulli 方程. y = t Ce ? sin t dtdy y 2 ? t 2 = ； 答案：提示: 两边乘以 2 y , 化为以 y 为未知函数的线性方程, dt 2ty(9)y 2 = t ln(C1 / t ) . t & 0 ； y 2 = t ln(C2 / t ) . t & 0 .(10) ( y ln t ? 2) ydt = tdy . 答案：Bernoulli 方程. y =1 ; y = 0; Ct + (1 + 2 ln t )2 1 44．求初值问题 y′ + y = Q(t ),?2， 0 ≤ t ≤ 1 y (0) = 0 的连续解，其中 Q(t ) = ? ?0， t & 1 .?t ? ?2(1 ? e ), 0 ≤ t ≤ 1 答案： y = ? ?t ? ?2(e ? 1)e , t & 1 .5．设 f (t ) 在 [0, ∞) 上连续，且 lim f (t ) = b ，又 a & 0 ，求证：对于方程t →∞b dy + ay = f (t ) 的一切解 y (t ) ，均有 lim y (t ) = . t → ∞ a dt答案: 一切解可以写成形式 y = ? C +t? ?b? ? exp(?at ) + ∫ exp(a ( s ? t )) f ( s )ds a? 0t我们只要证明 lim exp(a ( s ? t ))( f ( s ) ? b)ds = 0 即可. 由题目条件, 可设 | f (t ) |≤ M , 任t →∞0∫? 2M ? ? ? ln aε ,0 ?, 使得 t & R 时, | f (t ) ? b |& aε / 2 , 于是 t & 2 R 给定 ε & 0 , 存在 R & max? ? ? a ? ? ? ?时∫ exp(a(s ? t ))( f (s) ? b)ds ≤ ∫ exp(a(s ? t ) | M + b | ds + ∫ exp(a(s ? t )εds0 0tRtR≤exp(?aR) M ε + ≤ ε . 证毕. a 2 dy + y = f (t ) 在 R 上存在惟一有界解，求 dt6．设 f (t ) 在 R 上连续，且 f (t ) ≤ M . 证明：出这个解. 并证明：若函数 f (t ) 是周期为 T 的连续函数，则这个解也是周期为 T 的函数. 答案: 设有界解为 y = C exp(?t ) + exp( s ? t ) f ( s )ds , 易证对于任意 C , 当 t & 0 时解是0∫t25有界的, 当 t ≤ 0 时, 取 C = ? lim exp( s ) f ( s )ds ,于是 y =t → ?∞0 0∫t?∞∫ exp(s ? t ) f (s)ds 就是有界t解.作平移后, 也可写成 y =?∞∫ exp(s) f (s + t )ds ,易证这就是所求的惟一有界解. 并且当f (t ) 是周期为 T 的连续函数，则这个解也是周期为 T 的连续函数.7．已知下列 Riccati 方程的一个特解 ? (t ) ，试求其通解： (1) y′e?x+ y 2 ? 2 yet = 1 ? e 2t ， ? (t ) = et ； 答案： y = et +2 21 . e +Ct(2) y′ + y ? 2 y sin t = cos t ? sin t ， ? (t ) = sint ； 答案： y = sin t +2 21 t +C 1 1 1 ； 答案： y = ? . 2t t ln(C / t ) 2t(3) 4t ( y′ ? y ) = 1 ， ? (t) = ?1 1 3t 2 2 ′ . (4) t y + (ty ? 2) = 0 ， ? (t ) = . 答案： y = + 3 t t t +C226§2.2 全微分方程与积分因子 在本节及下一节中我们常用微分方程的微分形式，不指定哪个变量是自变量，故不用 t 来表 示自变量，而用两个变量 x, y 的微分形式表示方程. 1. 全微分方程 例：考虑方程dy xy . =? 2 dx x + 3y 42(2.2.1)虽然(2.2.1)可以化为以 y 为新的未知函数的齐次方程或以 y 为自变量的 Bernoulli 方程来 求解， 但如把这方程改写为x( ydx + xdy ) + 3 y 4 dy = 0 ，两边乘以 y ，进一步写成形式( xy )d( xy ) + 3 y 5 dy = 0 ，积分很快就得方程的通解1 ( xy ) 2 + y 6 = C . 2上述例子启发我们, 有时把一阶显方程写成微分形式[]M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 ,来求解更为方便. 其中二元函数 M ( x, y ) , N ( x, y ) 在区域 D 上连续可微. 如果方程(2.2.2)的左端恰好是某个二元可微函数 U ( x, y ) 的全微分时, 亦即(2.2.2)dU =?U ?U dx + dy = M ( x, y )dx + N ( x, y )dy , ?( x, y ) ∈ D ?x ?y(2.2.3)则称方程(2.2.2)为全微分方程(total differential equation), 又称为恰当方程(exact equation) . 若方程(2.2.2)是全微分方程, 此时(2.2.3)可写成 dU = 0 , 因此(2.2.2)的隐式通解 为U ( x, y ) = C .(2.2.4)C 是积分常数. 称(2.2.4)甚至称 U ( x, y ) 为方程(2.2.2)的积分. 容易验证由 U ( x, y ) = C所确定的隐函数 y ( x) 或 x( y ) 都是方程(2.2.2)的解. 要解决方程(2.2.2)的求解问题, 自然 需要解决如下二个问题: 1) 如何根据二元函数 M ( x, y ) , N ( x, y ) 来判断方程(2.2.2)是否为全微分方程？ 2) 如果方程(2.2.2)是全微分方程, 又如何求出函数 U ( x, y ) ？27事实上, 上述两个问题在数学分析中已经解决([2]), 现以定理形式归纳如下，设 D 是R 2 上的一个单连通区域.定理 2.1 方程(2.2.2)是全微分方程的充要条件是在 D 上满足?M ?N ≡ . ?y ?x当条件(2.2.5)成立时, 因为由(2.2.3)，有(2.2.5)?U ≡M ?x ?U ≡N ?y(2.2.6)(2.2.7)不妨先从关系式(2.2.6)入手, 固定 y (注意积分中的微元记号用 ?x 代替 dx 的写法强调了 这一点)对 x 积分得U ( x, y ) = ∫ M ( x, y )?x + C ( y ) .其中 C ( y ) 是 y 的某个函数. 将(2.2.8)两边对 y 求偏导并利用(2.2.7)，有(2.2.8)?U ? =N= M ( x, y )?x + C ′( y ) . ?y ?y ∫即得到确定 C ( y ) 的微分方程C ′( y ) = N ( x, y ) ?? M ( x, y )?x . ?y ∫(2.2.9)由于(2.2.9)的左边与 x 无关，故(2.2.9)的右边必然也与 x 无关, 从而关于 y 积分可得C ( y ) . 代入(2.2.8)式后即可求得 U ( x, y ) .如果先从关系式(2.2.7)入手, 类似地也可求得 U ( x, y ) ，请读者自行推导.2x y 2 ? 3x 2 dy = 0 . 例 2.9 求解齐次微分方程 3 dx + y y4解: 容易验证 M ( x, y ) =2x y 2 ? 3x 2 N ( x , y ) = , 在上或下半平面上的单连通域 D 内 y4 y3连续可微,并且满足条件(2.2.5), 所以它是全微分方程. 设积分为 U ( x, y )28从关系式?U 2x ≡ M = 3 出发, 对 x 积分有 ?x y U ( x, y ) = ∫ 2x x2 ? x + C ( y ) = + C ( y) . y3 y3上式两边对 y 求偏导有?U 3x 2 y 2 ? 3x 2 . = ? 4 + C ′( y ) = N = ?y y y4由此得到 C ′( y ) =x2 1 1 1 , 积分得 , 所以方程的通解为 U ( x , y ) = ? =C. ( ) = ? C y y y3 y y2注 1： 在很多情况下, 可以通过凑微分的方法较快地得出 U ( x, y ) . 对于例 2.9， 因 为? 2x 2x y 2 ? 3x 2 3x 2 ? 1 ? + = ? d x d y d x dy ? 4 ? y3 ? + y 2 dy y3 y4 y ? ? ? x2 ? ? 1 ? = d? ? ? ? = 0, ? y3 ? ? ? d? ? ? ? y?所以方程的通解为x2 1 ? =C. y3 y注 2：由于本题是一个齐次的全微分方程，实际上可以证明若 xM + yN 不是常数，则xM + yN = C 是解.注意我们在本例的凑微分过程中把同类项用括号括起成一组(在此同类项的定义中把微分项 作为一次项). 然后利用微分恒等式 d ( x y ) = mxm n m ?1y n dx + nx m y n ?1dy 来凑微分. 这是分项组合法的技巧之一，分项组合法也可用来求解非全微分方程的一阶方程. 要掌握凑微分的 方法要求读者熟悉二元函数的微分公式和相关的性质. 2. 积分因子 全微分方程可以通过积分求得通解, 那么非全微分方程能否转变成全微分方程呢? 由 本节开头的例可见，方程两边乘以 y 后就可以积分了. 为此, 我们引进积分因子的概念. 如果存在连续可微非零函数 μ =μ ( x, y ) ，使得(2.2.10)μ ( x, y )[M ( x, y )dx + N ( x, y )dy ] = 0为全微分方程, 亦即存在函数 U ( x, y ) 使得29dU ( x, y ) =?U ?U dx + dy = μ ( x, y )[M ( x, y )dx + N ( x, y )dy ] , ?x ?y(2.2.11)则称 μ ( x, y ) 为方程(2.2.2)的积分因子. 这时U ( x, y ) = C为方程(2.2.10)的通解,(2.2.12)当积分因子 μ ( x, y ) ≠ 0 时， (2.2.12)也是方程(2.2.2)的通解.注意 μ ( x, y ) = 0 确定的函数有可能不是(2.2.2)的解, 要加以验证. 同样 μ ( x, y ) = ∞ 确定 的函数有可能是(2.2.2)的解, 但可能不包含在通解中. 根据条件(2.2.5), 函数 μ ( x, y ) 为方程(2.2.2)的积分因子的充要条件是? ( μM ) ? ( μN ) ≡ , ?x ?y亦即 μ ( x, y ) 应满足如下的一阶线性偏微分方程N ( x, y )?μ ?μ ? ?M ( x, y ) ?N ( x, y ) ? μ. ? M ( x, y ) = ? ?x ?y ? ?x ? ? ?y ?(2.2.13)它的解是存在的(参见第六章). 尽管这在理论上说明了积分因子的存在性, 但是一般而言， 偏微分方程的求解比求常微分方程(2.2.2)的求解更困难. 然而，在一些特殊情况下, 还是 可以求出方程(2.2.13)的一个非零特解作为积分因子. 如果存在只与 x 有关的积分因子 μ ( x) , 则有?μ = 0 ,于是方程(2.2.13)成为 ?ydx ,(2.2.14)dμμ=M y ( x, y ) ? N x ( x , y ) N ( x, y )由此即见, 为了使得方程(2.2.2)存在只与 x 有关的积分因子 μ ( x) , 当且仅当(2.2.14)右端 的系数与 y 无关, 即M y ( x, y ) ? N x ( x, y ) N ( x, y )= ? ( x) .(2.2.15)如果这个条件成立, 即可得方程(2.2.2)的一个只与 x 有关的积分因子μ ( x) = e ∫? ( x ) dx.(2.2.16)同理, 为使方程(2.2.2)存在只与 y 有关的积分因子 μ ( y ) , 当且仅当N x ( x , y ) ? M y ( x, y ) M ( x, y )30= ψ ( y)(2.2.17)与 x 无关. 如果这个条件成立, 即得μ ( y) = e ∫例 2.10 求解方程 xdy ? ydx = 0 .ψ ( y ) dy.(2.2.18)解: 虽然此例是我们已学过的齐次方程，也可化为线性方程,也可用凑微分法求解，但 我们还是拿它作为一个用积分因子求解的例子. 显然 M ( x, y ) = ? y , N ( x, y ) = x . 由此计 算得 M y ( x, y ) ? N x ( x, y ) = ?2 ,所以 方程有只与 x 有关的积分因子? dx 1 μ ( x) = e ∫ x = 2 .2M y ( x , y ) ? N x ( x, y ) N ( x, y )=?2 , 即(2.2.16)成立, 于是 xx当 x ≠ 0 时，原方程化为xdy ? ydx ? y? = 0 , 即 d ? ? = 0 , 故得通解 y = Cx . 注意由于方 2 x ?x?程是微分形式，变量 x 和变量 y 是平等的，所以 x = 0 也应看作是解，它不包含在通解中是 因为在 x = 0 时方程乘上积分因子相当于除以零，从而失去了这个解. 同样, 因为N x ( x , y ) ? M y ( x, y ) M ( x, y )=?2 , 故有只与 y 有关的积分因子 yμ ( y) = e?∫ y dx2=x xdy ? ydx 1 . 于是原方程为 = 0 , 即 d( ) = 0 , 故得通解 x = Cy . 失 2 2 y y y去的特解是 y = 0 . 积分因子也可以通过观察获得. 事实上, 容易知道积分因子的任意非零 函数还是积分因子，如 ( x + y ) , ( x ? y ) 也是积分因子. 找积分因子的关键是熟悉2 2 2 ?1 2 ?1二元函数的微分公式. 例如取积分因子 ( x + y )22 ?1, 则原方程化为xdy ? ydx = 0, 当 x2 + y2y y x ≠ 0 时， 即 d (arctan ) = 0 , 故通解为 arctan = C (失去特解 x = 0 ). 尽管它形式上 x x y ~ 与 y = Cx 不同, 但作为积分曲线族, 它们是一样的. 实际上, arctan = C 可化为 y = C x , x ~ 其中 C = tan C 仍为任意常数.数学实验: 用 MATLAB 求解例 2.10: y=dsolve('x*Dy=y','x') 答案是: y = C1*x 对于较复杂的方程, 往往不容易直接求得它的积分因子. 在这种情况下, 如果把它的左31端分成几组, 例如分成两组:( M 1 dx + N 1 dy ) + ( M 2 dx + N 2 dy ) = 0 .(2.2.19)然后, 分别求得各组的积分因子 μ1 和 μ 2 , 和相应的积分 U1 和 U 2 . 用这样的方法, 常常可 以 求 得 整 个 方 程 的 积 分 因 子 . 因 为μ1?1 (U1 )( M 1dx + N1dy ) = ?1 (U1 )dU1 ，μ 2? 2 (U 2 )( M 2dx + N 2dy ) = ? 2 (U 2 )dU 2 ， 其中连续函数 ? 1 和 ? 2 有着广泛选择的可能性.如果能找到 ?1 和 ? 2 使 μ =μ1?1 (U1 ) = μ 2? 2 (U 2 ) , 则 μ 是分别是方程(2.2.19)每个组的积分 因 子 , 因 此 是 方 程 (2.2.19) 的 积 分 因 子 . (2.2.19) 乘 以 这 积 分 因 子 后 成 为?1 (U1 )dU1 + ? 2 (U 2 )dU 2 = 0 ， 积分得通解 U = ∫ ?1 (U1 )dU1 + ∫ ?2 (U 2 )dU 2 = C .例 2.11 求解方程 (y x3 + 3x 2 )dx + (1 + )dy = 0 . x y x3 ? ?y ? ? 2 dx + dy ? + ? 3 d dy ? = 0 . 即 + x x ? y ? ?x ? ? ? U1 = xy ,解: 将方程按同类项分为二组： ?d ( xy ) d ( x 3 y ) + =0 . x y即μ1 = x , μ 2 = y ,U 2 = x3 y .为 使x?1 ( xy ) = y? 2 ( x 3 y ) 成立, 取 ?1 (U1 ) = U12 , ? 2 (U 2 ) = U 2 即可. 于是整个方程的积分因子为 μ = x y , 乘以方程两端, 原方程化为 ( xy ) d ( xy ) + ( x y )d ( x y ) = 0 . 积分立得3 2 2 3 3U ( x, y ) =x3 y3 x6 y 2 ( xy ) 3 ( x 3 y ) 2 + , 于是, 原方程的通解为: + = C . 注意通解中 3 2 3 2x = 0 和 y = 0 不是解, 它们是由积分因子 μ = x 3 y 2 = 0 产生的增解.习题 2.2 1． 验证下列方程是全微分方程，并求出方程的解： (1) 2 xydx + ( x ? y )dy = 0 ；2 2 2 2 2答 案 ： 分 组 得 ( 2 xydx + x dy ) ? y dy = 0 ， 即2 2y3 =C. d( x y ) ? y dy = 0 ，积分得通解 x y ? 3(2) e dx ? ( xe?y ?y+ 2 y )dy = 0 ； 答案：分组得 (e ? y dx + xde ? y ) ? 2 ydy = 0 ，即d(xe ? y ) - 2 ydy = 0 ，积分得通解： xe ? y ? y 2 = C .32(3)y dx + ( y 3 + ln x)dy = 0 ； 答案：分组得 ( yd ln x + ln xdy ) + y 3 dy = 0 ，积分得： x y4 =C. 4答案：分组得y ln x +2(4) (1 + y sin 2 x)dx ? y cos 2 xdy = 0 ；dx ?1 2 y2 y d (cos 2 x) + cos 2 xd( y 2 ) = 0 ，积分得 x ? cos 2 x = C . 2 2x ?y()(5) ( ye ? e)dx + ( xe ? y + e x )dy = 0 ； 答案：分组得：( yde x + e x dy ) ? ( xde ? y + e ? y dx) = 0 ，积分得： ye x ? xe ? y = C .(6) (e sin y ? 2 y sin x)dx + (e cos y + 2 cos x)dy = 0 ； 答 案 ： 分 组 得 ：x x(sin yde x + e x d sin y ) + 2( yd cos x + cos xdy ) = 0 ， 积分得：答案： e sin y + 2 y cos x = Cx2． 求下列方程的解： (1) ( x + y )dx ? xy dy = 0 ；答案：分组得 x dx + ( y dx ? xy dy ) = 0 ， 凑微分得4 4 3 4 4 31 ? y? ?y? x dx ? x ? ? d? ? = 0 ，故 μ ( x) = 5 ； y 4 = 4 x 4 ln(Cx) ； x = 0 . x ? x? ?x?4 53(2) (e + 3 y )dx + 2 xydy = 0 ；答案：分组得 e dx + (3 y dx + 2 xydy ) = 0 ，凑微分得x2x2e x dx +1 d( x 3 y 2 ) = 0 ，故 μ ( x) = x 2 ，通解为 ( x 2 ? 2 x + 2)e x + x 3 y 2 = C . 2 x(3) ( y ? 1 ? xy )dx + xdy = 0 ；答案：分组得 d ( xy ) ? (1 + xy )dx = 0 ，当 dx ≠ 0 时可化 为线性方程2d(1 + xy ) = 1 + xy ，通解为 1 + xy = Ce x .还有特解 x = 0 . dx3(4) (2 x y + 2 y + 5)dx + (2 x + 2 x)dy = 0 ；答案：原方程化为2(1 + x 2 )( ydx + xdy ) + 5dx = 0 ， μ ( x) =(5) (2 xy ? y )dx + ( y + y + x)dy = 0 ；2 21 ，通解为 2 xy + 5 arctan x = C . 1+ x2答案：分组得? 2 ? x ?? 1 2 y2? ? y? ?? ? d x ? d? ? + ( y + y )dy = 0 , 故 μ ( y ) = y 2 ，通解为 ? ?? ?( )33x2 ?x + y + ln( y / C ) = 0 ; 还有特解 y = 0 ; y(6) ( y cos x ? x sin x)dx + ( y sin x + x cos x)dy = 0 ； 答案：利用(2.2.18)式得 μ ( y ) = e ， x cos xe + ( y ? 1) sin xe = C .y y y(7) e dx + (e cot y + 2 y cos y )dy = 0 ；x x答案：利用(2.2.18)式得 μ ( y ) = sin y ， e sin y ?x x x 或用凑微分法， ? ? d (e ) + e1 1 y cos 2 y + sin 2 y = C 2 4? ?d sin y ? ? + 2 y cos ydy = 0 ，可见积分因子可取为 sin y . sin y ? ?2(8) (5 xy ? 3 y )dx + (3 x ? 7 xy )dy = 0 ；答案：原方程可写成3 21 1 d( x 5 y 3 ) ? 2 4 d ( x 3 y 7 ) = 0 , 由于 2 x y x y3x 3 y 2 ( x 5 y 3 ) ?1 / 2 = x 2 y 4 ( x 3 y 7 ) ?1 / 2 = ( xy )1 / 2 是积分因子，原方程化为 ( x 5 y 3 ) ?1 / 2 d( x 5 y 3 ) ? ( x 3 y 7 ) ?1 / 2 d ( x 3 y 7 ) = 0 ，积分得通解 x 5 y 3 ? x 3 y 7 = C .(9) ydx ? ( x + y + x)dy = 0 ； 答案： 当 y ≠ 0 时可分组得 y d? ? ? ( x + y )dy = 0 , ? y? ? ?2 2 2 2 2?x?故μ =x 1 ，通解为 arctan ? y = C ; 特解为 y = 0 ; 2 y x +y2 3 2(10) ydx + ( x ? 3 x y )dy = 0 ；答案：化为 d ( xy ) ? 3( xy ) 3 1 dy = 0 ，故 μ = 3 3 ; 通 x y y解为?1 y ? 3 ln( ) = 0 ; 还有两个特解 x = 0 ; 2 C 2( xy )y = 0.3． 设函数 f (u ) ， g (u ) 连续可微，且 f (u ) ≠ g (u ) ，试证方程yf ( xy)dx + xg ( xy)dy = 0 有积分因子 μ = [ xy( f ( xy) ? g ( xy))]?1 .答案: 求形如 μ = ? ( xy ) 的积分因子,参见本习题第 4,5 题. 4． 设 ? ( x, y ) 是 连 续 可 微 函 数 ， 证 明 方 程 M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 具 有 形 如μ = μ (? ( x, y )) 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 为 存 在 连 续 可 微 函 数 f (?) ，34? ?M ?N ?? ?? ?? ? ? = f [? ( x, y )] . 并求出这个积分因子. ? ? ? N M ? ? ? ?y ?x ?? ?x ?y ? ? ?? ?答案： μ[? ( x, y )] = e ∫f (? ( x , y )) d ??1.5． 试导出方程 M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 具有形如 μ (? ) 的积分因子的充要条件. 其中 ? 分别是 x + y ， xy 和 x ? y .2 2答案： 1) ? ?? ?M ?N ? ? ( N ? M ) ?1 = f ( x + y ) .2) ? ? ?x ? ? ?y? ?M ?N ? ?1 ? ?( Ny ? Mx) = f ( xy) ? ?y ? ?x ? ? ?3) ? ?? ?M ?N ? ?1 2 2 ? ? ?(2 xN + 2 yM ) = f ( x ? y ) . 其中 f (?) 为连续可微函数. y x ? ? ? ?积分因子为 μ = exp(∫ f (? )d? ).n?n ? (1? n ) P ( x ) dx6． 试求 Bernoulli 方程(2.2.4)的微分形式 ( P ( x) y + Q ( x) y )dx ? dy = 0 的积分因子. 答案：(考虑如何从积分推出对应的微分方程) μ = y e *7. 求下列方程的积分 1) ( x + y )dx + ( x + y )dy = 03 3∫.? 1 d( x 2 + y 2 ) 1 ? 答案：化为 = 0 ,即 + ( xy ) 3 d? + 2? 2 ? 2 y ? ?x ? ? x2 + y2 d ( x 2 + y 2 ) ? ( xy) 3 d? ? ( xy ) 2 ? ? ? ? = 0 , 积分因子为 ??sign ( xy ) ? x 2 + y 2 ? 2 ( xy ) 3 ? ? ( xy )?? ? ? ??3 2= (x 2 + y 2 ) 2 , 积分全微分方程3?? 1 1 ? ? 1 1 ? ( x 2 + y 2 ) d( x 2 + y 2 ) ? sign ( xy )? ? = 0 得通解 ? d? ? x2 + y2 ? ? x2 + y2 ? ? ? ? ?3 23 2xy ? 1 x2 + y2=C.2) y ( xdy ? ydx) + ( xdx + ydy ) = 0 答案: 用分组法得 2 yx d ( y / x) + d ( x + y ) = 0 ,积分因子为2 2 235? sign( x) y ? y (1 + ( ) 2 ) 2 = ( x 2 + y 2 ) 2 ， 得全微分方程 2 x x yx33sign ( x)d(1 + ( y / x) 2 )2 3( 1 + ( y/x) ) ( x+d( x 2 + y 2 )2+y2)3= 0 ， 积分得 x + 1 = C x 2 + y 2 .*8. 证明齐次方程 M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 当 xM + yN ≠ 0 时有积分因子μ=1 . xM + yN36§2.3 一阶隐式方程 实际问题中, 经常出现导数未解出的一阶隐式方程, 它的一般形式为F ( x, y, y′) = 0 .(2.3.1)对于此类方程, 求解原则是设法使它转化为一阶显方程, 然后再用以前介绍的适当方 法求解. 如果能够从(2.3.1)中直接求出导数 y′ , 那么即为一阶显方程的求解问题. 如果无 法求出导数 y′ , 或虽能求出导数，但不易求解, 这时我们采用引进参变量的方法, 使之成 为按参变量来说是易解的一阶显方程. 一般来说, 即使一阶显方程, 也不一定能用初等积 分法求解, 一阶隐方程也不例外. 首先, 我们讨论引进参变量的一般想法. 若记 y′ = p , 则方程(2.3.1)可写成F ( x, y , p ) = 0 .(2.3.2)根据几何知识, 方程(2.3.2)表示三维空间的一个曲面, 而(2.3.1)的解 y = ? ( x) 是表示在 曲面(2.3.2)上的满足条件:p = ? ′( x) .(2.3.3)的一条曲线。所以方程(2.3.1)的求解问题相当于在曲面(2.3.2)上寻求满足关系式dy = pdx的曲线问题. 设空间曲面(2.3.2)可以用如下双参数表示(2.3.4)x = ? (u, v) , y = ψ (u.v) , p = ω (u, v) .由(2.3.4)式得(2.3.5)?ψ ?ψ ?? ? ? ?? du + dv = ω (u, v)? du + dv ? . ?u ?v ?v ? ? ?u这是变量 u 和 v 的微分形式的一阶方程, 如果能够求得它的通解(2.3.6)v = g (u , C ) ,则原方程的参数形式的通解为(2.3.7)? x = ? (u, g (u , C )) ? ? y = ψ (u , g (u , C ))(2.3.8)其中 u 是参数, C 是任意常数. 由此可以看出, 变量替换法不但可以求解许多一阶显方程,37而且也可以在求解一阶隐方程中发挥重要的作用. 在本教程中我们只讨论一类只需引进单 参数就能求解的一阶隐方程. 这类方程的基本解法是设法把(2.3.1)写成 I. ? 或 II. ?? y = f ( x, t ), ? y′ = ? (t ). ? x = f ( y, t ), . ? y′ = ? (t ).(2.3.9)(2.3.10)的形式，它们的解法分述如下: 对于形式 I (它实际上是以 ( x, t ) 为双参数,只是省略了方程 x ≡ x 而已) ,按(2.3.6)式 得?f ?f dx + dt = ? (t )dx . 即: ?x ?t ?f ? ?f ? ? ? (t ) ? ?dx ? dt = 0 . ?x ? ?t ?(2.3.11)如果能够求得其通解 U ( x, t , C ) = 0 , 则得到隐式的以 t 为参数的解?U ( x, t , C ) = 0, ? ? y = f ( x, t ).(2.3.12)当能从(2.3.11)中或从(2.3.12)中解出 t = g ( x, C ) 时, 则(2.3.9)的通解为显式解y = f ( x, g ( x, C )) ,其中 C 是任意常数. 而当只能解出 x = h(t , C ) 时, 则原方程的通解表示为以 t 为参数形式的 解? x = h(t , C ), ? ? y = f (h(t , C ), t ).同样, 对于第 II 类型的方程，? x = f ( y, t ). ? ? y′ = ? (t ),(它实际上是以 ( y, t ) 为双参数,只是省去了表达式 y ≡ y 而已). 按(2.3.6)式得dy = ? (t )( f y dy + f t dt ) .38以下求解过程类似, 从略. 例 2.11 求解方程 y = ( y′) ? xy′ +2x2 . 2解: 将方程化为参数形式? x2 2 y t xt = ? + , ? 2 ? ? y′ = t . ?对参数微分第一式，并利用第二式的关系式 dy = tdx 得(2t ? x)dt + ( x ? t )dx = tdx ,或者写成(2t ? x)(dt ? dx) = 0 . 由此即得 t = x + C 或 t = x / 2 , 这里 C 是任意常数. 将2x2 x2 x2 + Cx + C 2 和特解 y = . 注 它们分别代入 y = t ? xt + 中, 可得原方程通解 y = 2 4 2意: 在这特解的积分曲线上每一点 ( x 0 , y 0 ) ,有通解中取积分常数 C = ? x0 / 2 的解对应的积 分曲线与这特解在点 ( x0 , y 0 ) 相切. 这种特解称为奇解. 在奇解的每一点上解的惟一性被破 坏. 对于奇解的概念以下还会进行讨论. 注意: 在求解一阶隐方程时常犯一种错误, 例如, 求出 t = x / 2 之后, 再利用 y′ = t , 然后x2 求积分得到 y = + C , 经检验可知当积分常数 C ≠ 0 时它不是解. 为什么会产生增解呢? 4原因是我们在推导时先作了微分运算, 然后再积分就多了一个积分常数的缘故. 例 2.12 求解方程 ( y′) ? 4 xyy′ + 8 y = 0 .3 2解: 当 y ≠ 0 时, 将方程写成参数形式? t2 2y = + , x ? 4y t ? ? y′ = t . ?(2.3.13)39由第二式的关系式 dy = pdx ，再对第一式求微分, 得 dy = ? ? 2 ? 4 y2 ? ?dy + ? ? 2y ? t ? ?dt , ? ? ? ??t3 ?? t22y ?dy 2 y t 3 ? 4 y 2 ? 2d t d y ? 3 2 ? = 0 . 由此推出 和 t ? 4 y = 0 . 由线性 = 经整理可得 ? ? ? ? 4y ? t dt t y?方程dy 2 y 2 可得通解 y = Ct . 与(2.3.13)联立即得原方程以 t 为参数的通解 = dt t? 1 t2 2y x = + = + 2Ct ? 4y 4C t ? , ? 2 ? y = Ct ? ?(2.3.14)消去参数 t 可得显式通解:~ ~ y = C (x ? C)2 , ~~(2.3.15)其中 C = 1 /( 4C ) 为任意非零常数. 但由于 y = 0 也是解, 因此(2.3.15)中 C 可以是任意常 数. 由 t ? 4 y = 0 可得特解: t = 4 y , 与(2.3.13)联立得原方程特解3 2 3 2? t2 2y + ?x = 4y t . ? ? t3 = 4 y2 ?第一式两边乘以 4 y ， 并利用第二式， 得到 4 xy = 3t ， 消去参数 t 可得特解 y =2(2.3.16)4 3 x . 显 27然,它不包含在通解(2.3.15)之中. 以上求法的难点是如何将微分方程化为 I(2.3.9)或 II 型(2.3.10). 一旦这种表示成功 了, 就能得到关于双参数的一阶显方程. 例 2.13 求解方程x 3 + ( y′)3 ? 3xy′ = 0 .解: 令 y ′ = t x , 代入方程得 x + t x ? 3tx = 0 , 由此解得 x =3 3 3 23t . 并将此代入 1 + t33t 2 y ′ = t x ,即 y ′ = , 故所求参数形式的方程为 1+ t3403t ? x= ? ? 1+ t3 . ? 2 ? y ′ = 3t ? 1+ t3 ?利用 dy = y ′dx , 求出 dy =9(1 ? 2t 3 )t 2 dt , 从而 (1 + t 3 ) 3? 3(1 + 4t 3 ) 3 ? + = d ( 1 ) t + C . 因此原方程 ? 2(1 + t 3 ) 2 ?y=∫? 9(1 ? 2t 3 )t 2 3 2 dt = 3∫ ? ? 3 3 3 3 ? (1 + t ) (1 + t 3 ) 2 ? (1 + t )有参数形式的通解3t ? x= , ? ? 1+ t3 ? 3(1 + 4t 3 ) ?y = + C. ? 2(1 + t 3 ) 2 ?其中 C 是任意常数. 在此我们用 t 表示参数. 例 2.14 求解方程 y ( y′ ? 1) = ( 2 ? y′) .2 2解 : 令 2 ? y ′ = yt , 代 入 方 程 得 y ( y ′ ? 1) = y t , 由 此 解 得 y ′ = 1 + t . 所 以2 2 2 21 y = ?t . 得 参 数 形 式 的 方 程 为 t2? y = 1/ t ? t, . 利 用 dy = y ′dx 消 去 y , 可 得 ? 2 ′ y 1 t = + ?1 (1 + t 2 ) (1 + t )dx = ? dt . 积分得 x = + C , 故原方程有参数形式的通解 2 t t1 ? ?x = t + C , ? 1 ? y = ?t t ?其中 C 是任意常数. 显式解为y = x?C ?1 . x ?C下面讨论的方程是一类重要的一阶隐方程, 它与奇解(singular solution)和包络 (envelope)的概念紧密相连. 例 2.15 求解 Clairaut 方程y = xy′ + ? ( y′) ,(2.3.17)41其中 ? (t ) ∈ C ( I ) 且关于 t 有不为零的二阶导数.2解: 令 y′ = t , 原方程为 y = xt + ? (t ) , 这是 y 可解出的类型 I. 由（2.3.11）得[ x + ? ′(t )]dt = 0 .由此得 t = C 和 x + ? ′(t ) = 0 , 这里 C 是任意常数. 将它们分别代入 y = xt + ? (t ) 中,可得 (2.3.17)的通解y = Cx + ? (C )和以 t 为参数形式的特解(2.3.18)? x = ?? ′(t ), ? ? y = ?t? ′(t ) + ? (t )t∈I.(2.3.19)下面说明特解(2.3.19)不含于通解(2.3.18)之中, 并且有几何性质: (P)特解(2.3.19)所确定的积分曲线上每一点处, 都有通解(2.3.18)所确定的积分曲线族中 的一条积分曲线在该点与之相切. 若特解(2.3.19)是通解(2.3.18)中的一个, 则存在一个常数 C , 使得特解所对应的积 分曲线的斜率 dy / dx = C , 但由(2.3.19),dy dy dt ? ? ′(t ) ? t? ′′(t ) + ? ′(t ) = t ≠ const. . = = dx dx ? ? ′′(t ) dt(2.3.20)此矛盾说明了特解(2.3.19)不在特解中. 任意取定一点 p ∈ I , 另外对于特解所对应的积分 曲线上的点 ( x(t ), y (t )) , 已证其斜率为(2.3.20), 由(2.3.19)可见 y = xt + ? (t ) 是通解中 过点 ( x(t ), y (t )) 且斜率也等于 t 的一个特解. 例如取2? (t ) = ? t 2 , 则 Clairaut 方程的通解为 y = Cx ? C 2 ,它是直线族; 而特解1 41 4为 y = x , 它是抛物线. 显然它不含在通解之中. 按照微分几何的说法, 它是直线族的包 络, 见图 2.从微分方程的角度,具有性质(P)的特解称为方程的奇解(singular solution). (读作 qijie) 因为过奇解上的每一点上都破坏惟一性, 并且有无穷多个方程的解通过该点. 因此奇解而得名. 所以, Clairaut 方程的通解是直线族, 奇解是通解的包络. 数学实验 用 MATLAB 求解例 2.1542y=dsolve('y=x*Dy-(Dy)^2','x') clf, ezplot(y(1),[-6,6,-4,8],1); hold on, cc=get(gca,'Children'); set(cc,'Color','r','LineWidth',5)% clear current figure. % drow curve of y(1) = 1/4*x^2 at % figure 1 by ezplot(easy plot) % Hold current graph. % gca is the handle of current axes, %Image is the Children of axes % Set the Image Color in red with % LineWidth 5for k=-2:0.5:2; ezplot(subs(y(2),'C1',k), [-6,6,-4,8],1); % y(2)=x*C1-C1^2 end hold off, title('\fontname{隶书}\fontsize{16}通解和奇解') 运行得两个解: y= [1/4*x^2] [x*C1-C1^2] 其中第一个解是奇解， 并且得到图如下:通解和奇解86420-2-4 -6-4-20 x246最后, 我们用举一个双参数变换求隐方程的例子来结束本节. 注意这个例子不是按 (2.3.9) (2.3.10)的模式做的，这里得到的还是一个隐方程. 例 2.16 求解方程( y′) 2 cos 2 y + y′ sin x cos x cos y ? sin y cos 2 x = 0 .解:记 y′ = p , 则原方程成为 p cos y + p sin x cos x cos y ? sin y cos x = 0 . 引进双2 2 2参数变换 u = sin y ， v = sin x , 则 du = cos ydy , dv = cos xdx , p =cos x du ? . cos y dv43代入方程, 得 (du 2 du ? u = 0 , 这是未知函数 u 的 Clairaut 方程. 所以有通解 ) +v dv dv?v = ?2t u = Cv + C 2 , 而原方程通解为 sin y = C sin x + C 2 . 还有奇解: ? 2 ? u = vt + t消去参数 t 可得 4u + v = 0 , 故原方程有奇解 4 sin y + sin x = 0 .2 2数学实验: 用 MATLAB 求解例 2.16 并与以上结果作对比. 习题 2.3 1． 求解下列方程： (1) ( y ′) = 4 y (1 ? y ) ；2 3当 y ≠ 0 ，y ≠ 1 答案： 解法一： 解出 y ′ = ±2 y y (1 ? y ) ，时分离变量化为，?1? d? ? y? ? ? ? = ? dx ， 1 2 ?1 y积 分 得1 ? 1 = ? ( x ? C ) =| x ? C | ， 解 出 显 式 解 yy=1 ；还有解 y = 0 ； y = 1 (奇解).(因为在解 y = 1 的积分曲线的每一点 1 + (x ? C)2( x 0 ,1) 上有通解中取 C = x0 的一条积分曲线在此点相切).2 解法二：令 y ′ = 2 y t ， y = 0 是特解, 当 y ≠ 0 时，解得参数形式的微分方程：y = 1 /(1 + t 2 ) ， y ′ = 2t /(1 + t 2 ) 2 ，解得 t = 0 ，得特解 y = 1 ；还有 t = ?( x ? C ) ，得通解 y = 1 /(1 + ( x ? C ) ) .2(2) y = ( y ′ ? 1)e ；答案： y = ( x + C ) lny′x+C , y = ?1 (奇解). (因为在解 y = ?1 的 e积分曲线的每一点 ( x 0 ,?1) 上有通解中取 C = 1 ? x0 的一条积分曲线在此点相切). (3) y = 2 xy ′ +x2 + ( y ′) 2 ； 2x2 x2 2 + xC + C ； y = ? (奇解). 答案： y = ? 4 244(4) 2 xyy ′ = ( y ′) + 4 y ； 答 案 ： y =3 2C ( x ? C )2 ； y = 2 x 3 ( 奇 解 ) ( 因 为 在 解 2 27y=2 3 2 3 ) 上有通解中取 C = x0 / 3 的一条积分曲线在 x 的积分曲线的每一点 ( x0 , x 0 27 272 2此点相切). (5) y (1 + y ′ ) = 1 ； 答案： 解出 yy ′ = ± 1 ? y , y ≠ ±1 时,积分得 1 ? y2 2=| x ? C | ,显式解为 y = ± 1 ? ( x ? C ) ; y = ±1 (奇解).2(6) ( y ′) + ( y ′) ? y ′ + 1 = 0 ； 答案： y = -1.16 x + C3 2(7) x + ( y ′) = 1 ；2 2答案：令 x = sin t , t ∈ [?π / 2, π / 2] , 解得? x = sin t , t ∈ [?π / 2, π / 2], 1 ? 2 显式解为 y = ± (arcsin x + x 1 ? x ) + C ? ? t sin 2t ? 2 ? y = ±? 2 + 4 ? + C . ? ? ? ? x = t + 2 arctan t + C , ? ; y = 0 (奇解). (8) ( y ′) ? y ( a ? y ′) = 0 ； 答案： 令 y = ty ′ ,得 ? at 3 . ?y = 1+ t2 ?3 2(9) ( y ′) ? x (1 ? y ′) = 0 ；答案：令 y ′ = tx , 得 y ′ = 1 ? t , x = (1 ? t ) / t ,关于 y 求3 3 3 3? 1? t3 x= ? ? t 微分 ,可得 ? 2 ?y = 1 ? t + 2 t5 + C ? t 2 5 ?(10) y = xy ′ + y ′ + ( y ′) ；答案： y = C ( x + 1) + C ； y = ?2 2( x + 1) 2 (奇解). 4(11) x =2y 1 y2 2 + x = ? ；答案： x = yC + C ； (奇解). y ′ ( y ′) 2 43 2(12) 4 x y = 2 x y ′ ? a ( y ′) .2 2答案： y = Cx ? aC ； y =2 21 x (奇解). 4a(13) (dy / dx) = y ( 4 ? 2 y ) . 提 示 ， 除 了 特 解 y = 0 和 特 解 y = 2 以 外 ， 分 别 令y = 2sech 2t 及 y = ?2csch 2t ， 对 第 一 个 变 换 得 dy / dt = 2 sinh t / cosh 3 t ，45dy / dx = ±2 sinh t / cosh 3 t ， 所 以 dx / dt = ±1 ， 即 x = ±(t ? C ) ， 故 解 为 y = 2sech 2 (± x + C ) . 对第二个变换类似地可得 y = ?2csch 2 (± x + C ) .2． 求下列微分方程的奇解： (1) y ′ = 1 ? y2 2答案：通解 y = sin( x ? C ) , | x ? C |≤ π / 2 ,特解 y = ±1 是奇解.(2) xp + 2 xp ? y = 0 ,dy ? ? ?p= ? . dx ? ?答案：通解 x = C / t , y = C (1 ? 2 / t ) , 特解2y = ? x ,在此特解的积分曲线的每一点 ( x 0 , y 0 ) 与通解中的 C = x0 的积分曲线相切.因此此特解是奇解.2dy ? dy ? +? ? (3) y = 2 x dx ? dx ?答案：令 y′ = t , 当 t ≠ 0 时,通解为 ??x = C / t ? t, ? y = 2C ? t2特解为y = 0 , 通解的导数 y′ = 2t 3 /(C + t 2 ) ≠ 0 , 而特解的导数恒等于零, 因此这个特解不是奇解, 所以原方程没有奇解. (4) y + xy ′ = x ( y ′) ； 答 案 ： 令 y′ = t , 得 方 程 (1 ? 2 x t )(2tdx + xdt ) = 0 , 解 得4 2 3x 2t = C , 得通解为 y = ?C / x + C 2 , 由 1 ? 2 x 3t = 0 得特解 4 x 2 y + 1 = 0 ,在此特解的积分曲线的每一点 ( x0 , y 0 ) 与通解中的 C = 2 / x 0 的积分曲线相切. 因此是奇解. (5) xp ? 3 yp + 9 x = 0 ，2 2dy ? ? 2 ? p = ? . 答 案 ： 将 方 程 化 为 y = x / 3 + 3x / t , dx ? ?? t 3x ? dy / dx = t ，得 ? ? ?(2tdx ? xdt ) = 0 , 积分得 t = Cx 2 , 通解是 y = Cx 3 / 3 + 3 / C , ?3 t ?特解是 y = 4 x . 在此特解的积分曲线的每一点 ( x 0 , y 0 ) 上与通解中的 C = 6 / y 0 的积2 3分曲线相切. 因此是奇解.46§2.4 几类可降阶的高阶方程 高阶方程(1.9)没有一般的求解方法, 处理的基本原则是降阶. 但也不是所有高阶方程 都能降阶的, 本节介绍几类可降阶的高阶方程(1.9)的类型. 1. y(n)= f (t ) 求解此类方程, 只需要将等式两边对自变量 t 积分 n 次即可.(k )2. F (t , y, y ( k +1) ,&, y ( n ) ) = 0 . 如果 k = 1 , 这是不显含未知函数 y 的类型. 令z = y ( k ) , 则原方程可降阶为未知量 z 的 n ? k 阶方程F (t , z, z′,&, z ( n ? k ) ) = 0 .如果能够求得方程(2.4.1)的通解(2.4.1)z = ? (t , C1 , C2 ,&, Cn ? k ) ,回代变量(2.4.2)y ( k ) = ? (t , C1 , C2 ,&, Cn ? k )这是类型 1 的形式, 经过 k 次积分即可求得原方程通解. 例 2.17 求解方程 y 解: 令 z = y( 3) ( 4)(2.4.3)1 ? y ( 3) = 0 . t, 则原方程化为一阶线性方程dz z ? = 0. dt t积分得 z = C t , 回代变量得 y( 3)= C t . 相继积分 3 次可得原方程通解 y = C1t 4 + C2t 2 + C3t + C4 ,其中 C1 , C 2 , C 3 , C 4 为任意常数. 3. F ( y, y′,&, y( n))=0这是不显含自变量 t 的类型. 视 y 为自变量, 令 z ( y ) = y ′ 为新的未知函数, 则方程可降低一阶. 事实上,? dy ? d? ? d y dz dy dz dt = ? ?= = z, 2 dt dt dy dt dy2? d2 y ? ? d ? ? dt 2 ? d3 y ?= ? = dt 3 dt? dz ? d? ? dy ? dy z ? ? ? dz ? 2 d 2 z ? ? ? + 2 = z? ? ?? dy dt dy ? ? dy ? ?47? z ? , &, ? ?可见 y 对 t 的各阶导数可以用 z 对 y 的低阶的导数来表示， 阶数减少了一次， 代入原方程, 得 到 n ? 1 阶方程(其中用撇号表示对 y 求导)H ( y, z , z ′& , z ( n ?1) ) = 0 .例 2.18 求解方程 y y ′′ ? ( y ′) = 0 .2解: 这是不显含自变量 t 的二阶微分方程. 视 y 为自变量, 令 z ( y ) = y ′ 为 y 的函数, 则y ′′ = z? dz ? dz dz ? z2 = z? y ? z? , 于是原方程为 z y ? ? = 0. dy dy ? dy ?dz ? z = 0 , 积分得 dy由 z = y ′ = 0 可得含一个任意常数的解 y = C . 由一阶线性方程 yz = C1 y . 回代变量得一阶线性方程dy = C1 y . 再积分可得原方程的通解 dxy = C2exp(C1t ) ,其中 C1 , C 2 为任意常数. 例 2.19 求解方程 y ′′ = f ( y ) . 解: 这是不显含自变量 t 的二阶微分方程. 视 y 为自变量, 令 z = y′ , 则原方程为z z′ = f ( y ) . 凑微分得 d( z 2 ) = 2 f ( y )dy . 积分得 z 2 = 2 F ( y ) + C1其中 F ( y ) = 一阶方程 (2.4.4)∫ f ( y)dy 是 f ( y) 的一个原函数,C1 为任意常数. 回代变量, 化(2.4.4)为( y ′) 2 = 2 F ( y ) + C1 .开方后分离变量, 再积分可得原方程通解 其中 G ( y, C1 ) =(2.4.5)G ( y, C1 ) = ±t + C2 ,∫dy 2 F ( y ) + C1, C1 , C 2 为任意常数.注意, 在实际求解中, G ( y , C1 ) 不一定是初等函数, 例如, 当 F ( y ) 是一个三次多项式 时, 它要用椭圆积分来表示 . 数学实验： 用 MATLAB 求解例 2.1848dsolve('y*D2y-(Dy)^2=0','t') 运行得 ans = [ 0] [ exp(C1*t)*C2] 实际上其中第一个解可以包括在第二个通解中. 本章所举的例子只要能用初等积分求出解的， 一般都能用 MATLAB 的 dsolve 求出精确解 的表达式. 无初等积分的只能用 MATLAB 的数值求解方法来求. 有一些类型的方程，如本节 的隐方程大多不能直接利用计算机得到解， 需要读者先用分析的方法简化问题后再用计算机 求解. 我们已经对本章的一些例子给出了求解的语句, 请读者上机实验一下，对那些没有给 出的以及本章的习题由读者自己给出语句进行实验，并和用分析方法得到的解做比较. 小 结 本章的内容是介绍了若干类型的一阶方程的初等积分法. 1. 一阶显方程的求解方法主要有四种:分离变量法,积分因子法, 常数变易法和变量替换法. 分离变量法和积分因子法是最基本的,而常数变易法和变量替换法, 则概括了两类最具代表 性的求解过程,但最终仍要归纳为分离变量或求积分因子解决问题. 2. 一阶隐方程的求解方法主要有两种: 微分法和参数法, 主要思想还是将其转化为一阶显 方程的求解. 3. 高阶方程的求解一般总是设法进行降阶. 一般认为, 低阶方程总比高阶方程容易求解. 本 章介绍的降阶方法是基本的, 今后会进一步介绍可降阶的方程类型及其相应的降阶技巧. 4.本章的重点是掌握初等积分法求解微分方程,难点在于是如何将方程转化为可初等可积的 类型, 采用那种方法最简便等, 这需要不断实践,积累经验. 习题 2.4 求解以下方程(皆以 t 为自变量， x 为未知变量): 1 ． x ′′ = 1 /( 2 x ′) ， 答 案 : 方 程 可 化 为d ( x ′) 2 = 1 , 积 分 得 ( x ′) 2 = t + C1 dt解出x ′ = ± t + C1 , 再积分得: x = ±2 (t + C1 ) 3 + C 2 ；注: 虽然本题也可以作为不显含未知 3函数的方程来做，但没有以上做法简单. 2. x ′′ + 2( x ′) /(1 ? x) = 0 ;2答案： 不显含自变量 t ， 以 x 为自变量，z ( x) = x ′ 为因变量，x ′′ = zdz / dx ，原方程化为? dz ? z? + 2 z /(1 ? x) ? = 0 ， 解 一 阶 线 性 方 程 得 ： ? dx ?z = x ′ = ?C1 ( x ? 1) 2 ，再积分得 x = 1 + 1 /(C1t + C 2 ) ; (解 x = C ≠ 1 包含在通解中).3. x ′′ = 1 + ( x ′)[2 3/ 2]; 答案不显含自变量 t ， 以 x 为自变量， z = x′ 为因变量，x′′ = zdz / dx = (1 + z 2 ) 2 / 3 ， 积分一次得方程 x = C1 ? 1 / 1 + z 2 , 解出 z 后再积分一次得 x = C1 ? 1 ? (t ? C 2 ) 2 ,在 t - x 平面上积分曲线是一个半径为 1 的下半圆，考虑曲率的表49达式，从微分方程可以直接看出. 4. x ′′ ? x ′ / t + ( x ′) = 0 ; 答案：不显含未知函数 x ，以 z (t ) = x ′ 为新的未知函数，方程2化 为 Bernoulli 方 程z′ ? z / t + z 2 = 0 ， 当 z ≠ 0 时 ， 进 而 化 为 一 阶 线 性 方 程1 C1 + t 2 2 = ， 再积分得通解 x = C 2 + ln(±(C1 + t )) ; 还 z 2t2(1 / z )′ = ?(1 / z ) / t + 1 解为有解 x = C . 综合得一般解的表达式 x = ln(C1 + C 2 t ) . 5.x ′ = tx ′′ + ( x ′′) 2 ; 答案不显含未知函数 x ，以 z (t ) = x ′ 为新的未知函数，方程化为22 2 2Clairaut 方程，解得 z = C1t + C1 ，及 z = ?t / 4 ，再积分得 x = C1t / 2 + C1 t + C 2 ;x = ?t 3 / 12 + C ;50第三章 微分方程的基本理论 与微分方程有关的实际问题中, 所需要的往往是求满足某些定解条件的特解. 初值问 题的研究在微分方程理论中是一个基本问题. 这里首先需要解决的是解的存在惟一性问题. 其它问