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线性代数-矩阵2(1)
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贴数:35&分页:rock发信人: Cracker (rock), 信区: Mathematics
标&&题: Re: [求助]方阵A，B，A-B都正定，证明B逆-A逆正定
发信站: 水木社区 (Fri May 16 22:37:58 2014), 站内 && wwkk的写法每一步都是有根据的
比如为什么从X&I有inv(X)&I
为什么可以有B的平方根 && 只不过他简单这样写
对于有一点矩阵知识的都知道是什么意思
不知道的话推一下不复杂 && 【 在 gtgtjing (大兴style) 的大作中提到: 】
: 要是允许这么写，那我干脆直接写b逆乘（a-b）乘a逆&0就得了
&&&& -- && ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 123.114.59.*]
哦发信人: gtgtjing (大兴style), 信区: Mathematics
标&&题: Re: [求助]方阵A，B，A-B都正定，证明B逆-A逆正定
发信站: 水木社区 (Fri May 16 22:40:26 2014), 站内 && 对了，B^1/2是啥，我只记得正定矩阵B可以写为P*P^T，这个二分之一次方是这个P的意思吗？如果是的话原证明有个笔误，没写转置，然后加上你的解释应该就完全通了
-- && ※ 来源:·水木社区 ·[FROM: 117.136.2.*]
哦发信人: gtgtjing (大兴style), 信区: Mathematics
标&&题: Re: [求助]方阵A，B，A-B都正定，证明B逆-A逆正定
发信站: 水木社区 (Fri May 16 22:46:43 2014), 站内 && 矩阵这块的东西，因为它和数的相似性和区别，如果不详细写，太容易产生似是而非的逻辑了
-- && ※ 来源:·水木社区 ·[FROM: 117.136.2.*]
龙的心发信人: dragonheart6 (龙的心), 信区: Mathematics
标&&题: Re: [求助]方阵A，B，A-B都正定，证明B逆-A逆正定
发信站: 水木社区 (Fri May 16 22:48:41 2014), 站内 && 设B的特征值分解是UDU^T, 那么B^{1/2}=UD^{1/2}U^T,也是对称的，
正定矩阵B有唯一的正定的B^{1/2}
因为对称，所以不需要写转置。 && 【 在 gtgtjing (大兴style) 的大作中提到: 】
: 对了，B^1/2是啥，我只记得正定矩阵B可以写为P*P^T，这个二分之一次方是这个P的意思吗？如果是的话原证明有个笔误，没写转置，然后加上你的解释应该就完全通了
&&&& -- && ※ 修改:·dragonheart6 于 May 16 22:50:28 2014 修改本文·[FROM: 108.36.255.*]
※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 108.36.255.*]
哦发信人: gtgtjing (大兴style), 信区: Mathematics
标&&题: Re: [求助]方阵A，B，A-B都正定，证明B逆-A逆正定
发信站: 水木社区 (Fri May 16 22:52:55 2014), 站内 && 明白了
-- && ※ 来源:·水木社区 ·[FROM: 117.136.2.*]
色即是空发信人: bsxfun (色即是空), 信区: Mathematics
标&&题: Re: [求助]方阵A，B，A-B都正定，证明B逆-A逆正定
发信站: 水木社区 (Sat May 17 14:20:47 2014), 站内 && 命题：&&X & I &=&&&inv(X) & I
命题&&&&A & B &=& inv(A) & inv(B)
难道不是等价的吗？ && 就像需要证明： x^2 + y^2 &= 2xy，你用均值不等式去证明一样。
虽然没错，但提问的人显然是不知道均值不等式的。 &&&& 我认为kuma的思路更符合楼主的要求。 && Let \(C=A^{-1/2}BA^{-1/2}\). Since \(C\) is symmetric, there exist an orthogonal matrix \(S\) and a diagonal matix \(\Gamma\) such that:
$$S'CS=\Gamma,\quad S'S = I$$ && Now define \(P=A^{1/2}S\). Since \(A=PP', \; B=P\Gamma P'\), we have && $$A-B = P(I-\Gamma)P',\quad B^{-1}-A^{-1}=P'^{-1}(\Gamma^{-1}-I)P^{-1}$$. && It follows that \(I-\Gamma\) is positive definite and hence \(0&\gamma_i&1\). This implies that \(\Gamma^{-1}-I\) is positive definite and hence that \(B^{-1}-A^{-1}\) is positive definite.
【 在 Cracker 的大作中提到: 】
: wwkk的写法每一步都是有根据的
: 比如为什么从X&I有inv(X)&I
: 为什么可以有B的平方根
: ...................
All models are wrong, but some are useful.
※ 修改:·bsxfun 于 May 17 14:50:29 2014 修改本文·[FROM: 101.231.71.*]
※ 来源:·水木社区 ·[FROM: 101.231.71.*]
色即是空发信人: bsxfun (色即是空), 信区: Mathematics
标&&题: Re: [求助]方阵A，B，A-B都正定，证明B逆-A逆正定
发信站: 水木社区 (Sat May 17 19:01:29 2014), 站内 && 再来一个证明思路：使用正定矩阵的定义 && 先给出一个引理：给定正定矩阵\(M,N\)，\(\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_p&0\)为\(N^{-1}M\)的特征值，以及\(\displaystyle f(x) = \frac{x'Mx}{x'Nx},\;x\in\mathbb{R}^n,x\neq0\)，则
$$\min f(x) = \lambda_p$$，等号当且仅当\(x\)为\(N^{-1}M\)的特征值\(\lambda_p\)对应的特征向量。 && 证明不难，使用矩阵的相关知识，或者直接使用 Lagrange 乘数法都可以证明。 && 现在由题设\(\displaystyle f_1(x) = \frac{x'Ax}{xBx} & 1,\;\forall x\neq 0\)，因此\(B^{-1}A\)的所有特征值都大于1，从而可知
\(\displaystyle f_2(x) = \frac{x'B^{-1}x}{xA^{-1}x} & 1,\;\forall x\neq 0\)，故\(x'(B^{-1}-A^{-1})x&0,\;\forall x\neq 0\)，从而命题得证。 &&&& --
All models are wrong, but some are useful.
※ 修改:·bsxfun 于 May 17 19:01:43 2014 修改本文·[FROM: 180.166.85.*]
※ 来源:·水木社区 ·[FROM: 180.166.85.*]
酷妈发信人: kuma (酷妈), 信区: Mathematics
标&&题: Re: [求助]方阵A，B，A-B都正定，证明B逆-A逆正定
发信站: 水木社区 (Sat May 17 20:46:26 2014), 站内 && 龙兄这是要彻底破除“正定”束缚的节奏啊 && 【 在 dragonheart6 (龙的心) 的大作中提到: 】
: 比如A-B&0 ==& B^{-1/2}(A-B)B^{-1/2)&0即B^{-1/2}AB^{-1/2}&I
: 这题不难，难在用较基本的证法
: 就像A，B方阵，AB=I ==》 BA=I
: ...................
美源于和谐，形之美、音之美、数之美、、美普遍存在，也存于心。 &&&& ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 211.99.222.*]
龙的心发信人: dragonheart6 (龙的心), 信区: Mathematics
标&&题: Re: [求助]方阵A，B，A-B都正定，证明B逆-A逆正定
发信站: 水木社区 (Sun May 18 03:33:46 2014), 站内 && 你看看我的分析对不对： && X & I&&&& ==&&&&&X^{-1} & I
X & B & 0&& ===& X^{-1} & B^{-1}
我认为是不同的 && 1）先看一个例子 && 下面两个矩阵，A的第i个特征值大于B的第i个特征值，且都大于0
eig(A)=13.7082&&&&0.2918
eig(B)=10.9083&&&&0.0917
但是A-B不是正定，所以从条件‘A的第i个特征值大于B的第i个特征值’
并不能推出A-B正定？
也就是说虽然A-B正定可以推出A的第i个特征值大于B的第i个特征值，
但是反过来不行？
原因是A，B非同时对角化，即不是A=U*D1*U^T, B=U*D2*U^T的情况。
然而，你看到X和I必定同时对角化的。 && A= &&&& 10&&&&-6 &&&& -6&&&& 4 && B= &&&&&&1&&&&-3 &&&& -3&&&&10 && 2）我们看X & I&&==& X^{-1} & I
由X & I, 我们知道X的特征值都大于1，那么X^{-1}的特征值都小于1大于0，
所以X^{-1} & I, 这没有问题。 && 我们再看X & B & 0&&==&&&X^{-1} & B^{-1}
我们得到X^{-1}的第i个特征值均小于B^{-1}的第i个特征值，
用什么来推出X^{-1} & B^{-1}呢 && 所以我认为要用这个思路证明X & B & 0 ==& X^{-1} & B^{-1},
要化成X & I ==& X^{-1} & I,&& 也就是两者不等价。 &&&& 【 在 bsxfun (色即是空) 的大作中提到: 】
命题：&&X & I &=&&&inv(X) & I
命题&&&&A & B &=& inv(A) & inv(B)
难道不是等价的吗？ && 就像需要证明： x^2 + y^2 &= 2xy，你用均值不等式去证明一样。
虽然没错，但提问的人显然是不知道均值不等式的。 &&&& 我认为kuma的思路更符合楼主的要求。 && Let \(C=A^{-1/2}BA^{-1/2}\). Since \(C\) is symmetric, there exist an orthogonal matrix \(S\) and a diagonal matix \(\Gamma\) such that:
$$S'CS=\Gamma,\quad S'S = I$$ && Now define \(P=A^{1/2}S\). Since \(A=PP', \; B=P\Gamma P'\), we have && $$A-B = P(I-\Gamma)P',\quad B^{-1}-A^{-1}=P'^{-1}(\Gamma^{-1}-I)P^{-1}$$. && It follows that \(I-\Gamma\) is positive definite and hence \(0&\gamma_i&1\). This implies that \(\Gamma^{-1}-I\) is positive definite and hence that \(B^{-1}-A^{-1}\) is positive definite.
【 在 Cracker 的大作中提到: 】
: wwkk的写法每一步都是有根据的
: 比如为什么从X&I有inv(X)&I
: 为什么可以有B的平方根
: ...................
All models are wrong, but some are useful.
※ 修改:·bsxfun 于 May 17 14:50:29 2014 修改本文·[FROM: 101.231.71.*] &&&& -- && ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 71.23.234.*]
龙的心发信人: dragonheart6 (龙的心), 信区: Mathematics
标&&题: Re: [求助]方阵A，B，A-B都正定，证明B逆-A逆正定
发信站: 水木社区 (Sun May 18 03:41:10 2014), 站内 && 搭车么 那是一个常见的问题 常见5-10种解法 && 【 在 kuma (酷妈) 的大作中提到: 】
: 龙兄这是要彻底破除“正定”束缚的节奏啊
&&&& -- && ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 71.23.234.*]
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