（2013o日照）问题背景：
如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．
（1）实践运用：
如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为____．
（2）知识拓展：
如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置．根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；
（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．
解：（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P
此时PA+PB最小，且等于AE．
作直径AC′，连接C′E．
根据垂径定理得弧BD=弧DE．
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠C′AE=45°，
又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，
∴∠C′=∠C′AE=45°，
∴C′E=AE= √22?&&AC′=2 √2?&，
即AP+BP的最小值是2 √2?&．
故答案为：2√2?& ；&
（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，
则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短） & & & & & & & & & & & & & & & & & &
在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，
∴B′F=AB′osin45°=ABosin45°=10×√22?&& =5√2?& ，
∴BE+EF的最小值为5√2?& ．（1）学习了平行线以后，王玲同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且b∥a，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，无需写画法； ②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的
垂 线． （2）已知，如图3，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD． 求证：BE∥CF 要求：请你阅读小宁同学如下的证明过程，圈处他证明中的错误，并在右侧的空白处改正，若有跳步，请在下面方框内补充完整并将其标记到证明过程中的相应位置，可如下所示使用修改替换符号
∴∠ABC=∠BCD（同位角相等，两直线平行） ∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知） ∴∠2=∠3（角平分线的定义） ∴BE∥CF（两直线平行，内错角相等）_作图—应用与设计作图 - 看题库
（1）学习了平行线以后，王玲同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且b∥a，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，无需写画法；②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的垂线．（2）已知，如图3，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．求证：BE∥CF要求：请你阅读小宁同学如下的证明过程，圈处他证明中的错误，并在右侧的空白处改正，若有跳步，请在下面方框内补充完整并将其标记到证明过程中的相应位置，可如下所示使用修改替换符号证明：&&&&&& ∴∠ABC=∠BCD（同位角相等，两直线平行）∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知）∴∠2=∠3（角平分线的定义）∴BE∥CF（两直线平行，内错角相等）
解：（1）如图2所示；②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的垂线；（2）证明：& ∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等），∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知）∴∠2=∠ABC，∠3=∠BCD（已证），∴∠ABC=∠BCD（等式的性质），∴∠2=∠3（等量代换），∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）．
（1）①首先折直线a的垂线，并且使a的垂线经过点P，再折出直线a的垂线的垂线b，并且过点P；②根据作图可得折平行线的过程实际就是寻找过点P的直线a的垂线；（2）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠ABC=∠BCD，进而得出∠2=∠3即可得出答案．
其它关于的试题:当前位置：
＞＞＞问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使..
问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为______．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于AE．作直径AC′，连接C′E．根据垂径定理得BD=DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，∴∠AOE=90°，∴∠C′AE=45°，又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，∴∠C′=∠C′AE=45°，∴C′E=AE=22AC′=22，即AP+BP的最小值是22．故答案为：22；（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．∵AD平分∠BAC，∴∠B′AM=∠BAM，在△B′AM和△BAM中AB′=AB∠B′AM=∠MABAM=AM，∴△B′AM≌△BAM（SAS），∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，∴B′F=AB′osin45°=ABosin45°=10×22=52，∴BE+EF的最小值为52．
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据魔方格专家权威分析，试题“问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使..”主要考查你对&&轴对称&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等；（3）关于某直线对称的两个图形是全等图形。轴对称的判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。这样就得到了以下性质： 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。　 4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。
轴对称作用:可以通过对称轴的一边从而画出另一边。 可以通过画对称轴得出的两个图形全等。 扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。
轴对称的应用:关于平面直角坐标系的X,Y对称意义如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。 相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。
关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c 则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a
在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等。另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。
发现相似题
与“问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使..”考查相似的试题有：
117739162171908041741070344127391655考点：二次函数综合题,两点间的距离,点到直线的距离,勾股定理
专题：代数几何综合题,探究型
分析：（1）m记为P点的横坐标．m=0时，直接代入x=0，得P（0，-1），则OP，PH长易知．当m=4时，直接代入x=4，得P（4，3），OP可有勾股定理求得，PH=yP-（-2）．（2）猜想OP=PH．证明时因为P为所有满足二次函数y=x24-1的点，一般可设（m，m24-1）．类似（1）利用勾股定理和PH=yP-（-2）可求出OP与PH，比较即得结论．（3）考虑（2）结论，即函数y=x24-1的点到原点的距离等于其到l的距离．要求A、B两点到l距离的和，即A、B两点到原点的和，若AB不过点O，则OA+OB＞AB=6，若AB过点O，则OA+OB=AB=6，所以OA+OB≥6，即A、B两点到l距离的和≥6，进而最小值即为6．
解答：（1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．如图1，记PH与x轴交点为Q，当m=0时，P（0，-1）．此时OP=1，PH=1．当m=4时，P（4，3）．此时PQ=3，OQ=4，∴OP=PQ2+OQ2=5，PH=yP-（-2）=3-（-2）=5．（2）猜想：OP=PH．证明：过点P作PQ⊥x轴于Q，∵P在二次函数y=x24-1上，∴设P（m，m24-1），则PQ=|m24-1|，OQ=|m|，∵△OPQ为直角三角形，∴OP=PQ2+OQ2=(m24-1)2+m2=(m24)2+m22+1=(m24+1)2=m24+1，& PH=yP-（-2）=（m24-1）-（-2）=m24+1，∴OP=PH．（3）解：如图2，连接OA，OB，过点A作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，此时AC即为A点到l的距离，BD即为B点到l的距离．①当AB不过O点时，连接OA，OB，在△OAB中，OA+OB＞AB=6，由上述结论得：AC=OA，BD=OB，∴AC+BD＞6；②当AB过O点时，AC+BD=OA+OB=AB=6，所以AC+BD的最小值为6，即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6．
点评：本题考查了学生对函数与其图象的理解，另外涉及一些点到直线距离，利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点，总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣，非常值得学生练习．
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科目：初中数学
如图，点A在双曲线y=（x＞0）上，点B在双曲线y=（x＜0）上，且OA⊥OB，∠A=30°，则k的值是．
科目：初中数学
已知：E是线段AC上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点D，使得∠EDB=∠EAB，联结AD．（1）若直线EF与线段AB相交于点P，当∠EAB=60°时，如图1，求证：ED=AD+BD；（2）若直线EF与线段AB相交于点P，当∠EAB=α（0°＜α＜90°）时，如图2，请你直接写出线段ED、AD、BD之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）若直线EF与线段AB不相交，当∠EAB=90°时，如图3，请你补全图形，写出线段ED、AD、BD之间的数量关系，并证明你的结论．
科目：初中数学
如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小；（3）求证：=．
科目：初中数学
如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是度和度；（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中有个黄金等腰三角形．
科目：初中数学
某校积极开展“促进有效学习”课堂教学改革实验，班内各个学习小组共设四个评价项目每月都要评奖：自主学习，课堂展示，互动点评，反馈检测，每个项目得分都按一定百分比折算后计入总分．下表为繁星、新月、初阳三个小组的得分情况（单位：分）自主学习课堂展示互动点评反馈检测繁星80504070新月40809035初阳40958535（1）月底，繁星组组长猜测自主学习，课堂展示，互动点评，反馈检测这四项得分分别按10%，30%，20%，40%折算计入总分，根据猜测，求出繁星组的总分；（2）学校决定，总分为60分以上（包括60分）的学习小组获得优秀小组称号．现获悉新月、初阳两组的总分分别是64.5分，69.5分，繁星组的自主学习，反馈检测两项得分折算后的分数和是29分，问：繁星组能否获得优秀？
科目：初中数学
计算：÷2-1+•[2+（-）3]．
科目：初中数学
已知半径为5的⊙O中，弦AB=5，C是圆弧AB上的任意一点，则∠ACB等于（　　）
A、30°B、150°C、30°或150°D、30°或120°
科目：初中数学
如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，点D是⊙O上的一点，连接AD，DO，CD，且有∠A=∠C=30°．（1）求证：CD是⊙O的切线；&（2）若半径OB=3，求AD的长．
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【解直角】在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．如图，在&Rt△ABC&中，∠C&为直角，∠A，∠B&，∠C&所对的边分别为&a，b，c，那么除直角&C&外的&5&个元素之间有如下关系：①&三边之间的关系：{{a}^{2}}{{+b}^{2}}{{=c}^{2}}（）；②&两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；③&边角之间的关系：sinA={\frac{∠A的对边}{斜边}}={\frac{a}{c}}，cosA={\frac{∠A的邻边}{斜边}}={\frac{b}{c}}&，tanA={\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}}={\frac{a}{b}}&．利用这些关系，知道其中&2&个元素（至少有一个是边），就可以求出其余&3&个未知元素．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找...”，相似的试题还有：
我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题、请你参考小明的思路解答下列问题：(1)当直线l与方形环的对边相交时(如图1)，直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；(2)当直线l与方形环的邻边相交时(如图2)，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出\frac{MM′}{N′N}的值(用含α的三角函数表示)．
我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题、请你参考小明的思路解答下列问题：(1)当直线l与方形环的对边相交时(如图1)，直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；(2)当直线l与方形环的邻边相交时(如图2)，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值(用含α的三角函数表示)．
我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题、请你参考小明的思路解答下列问题：(1)当直线l与方形环的对边相交时(如图1)，直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；(2)当直线l与方形环的邻边相交时(如图2)，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值(用含α的三角函数表示)．