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神奇的数字排列
神奇的数字排列神秘的”7“字之谜看完让你爱上数学，数学竟然是如此神奇的东西/网络圆周率之源数学之骚美&|&不懂数学也能明白傅里叶分析和感受数学之美数学如此简单!老师为什么没这么教?(留着以后教孩子)&&神奇的数字排列&& & 公元1514年，一位青年把一个正方形分成16个相等的小正方形，然后将1、2、3……14、15、16等十六个数字，分别写在每一个小方格里。他写了又擦、擦了再写，最后写成了这个样子。&& & 他高兴得发狂，因为他成功了！他写出了一个神奇的数学魔板。不信，你把每一个横排的数字相加起来，每一排的结果都是34。&& & 你再把每一个竖排的数字相加起来，每一列的结果也都是34。&还有奇怪的是：你把大方块对角线方向的四个数相加，结果也是34。&& & 大方块另一个对角线方向的四个数相加，其结果依然等于34。&你把这四个带颜色的数字相加一下，看看结果是不是34？&& & 你再转一个方向把四个带颜色的数字相加一下，结果还是34。&改变一下，你把这四个带颜色的数字相加一下，看看结果是不是34？&& & 你再转一个方向把四个带颜色的数字相加一下，结果还是34。&& & & & &再试试这几个？为什么四个数相加的和都是34？他是怎么想到的？&原来1+2+3+……+14+15+16=136；把136平均分成四份，每份就是34。&神秘的”7“字之谜——&& 01:49:02|&&分类：&&&&&本文转载自云鹏润峰&&&&&&&——&。&——&&&——&这些还不算，如果把“7”&这个数字分开呢？；；；；；。。。。，。&——&。【在线学习】看完让你爱上数学，数学竟然是如此神奇的东西/网络&& 10:19:57|&&分类：&&&&大家或许都听说过幻方这玩意儿，但不知道幻方中的一些美妙的性质。例如，任意一个三阶幻方都满足，各行所组成的三位数的平方和，等于各行逆序所组成的三位数的平方和。对于上图中的三阶幻方，就有816^2 + 357^2 + 492^2 = 618^2 + 753^2 + 294^2利用线性代数，我们可以证明这个结论。&从 1/19 到 18/19 这 18 个分数的小数循环节长度都是 18。把这 18 个循环节排成一个 18×18 的数字阵，恰好构成一个幻方——每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是 81 （注：严格意义上说它不算幻方，因为方阵中有相同数字）。&定理：在 Farey 序列中，对于任意两个相邻分数，先算出前者的分母乘以后者的分子，再算出前者的分子乘以后者的分母，则这两个乘积一定正好相差1 ！这个定理有从数论到图论的各种证明。甚至有一种证明方法巧妙地借助 Pick 定理，把它转换为了一个不证自明的几何问题！圆周率之源&&圆周率的故事&圆，是人类最早认识的一种曲线，也是用途最广的一种曲线。还在遥远的古代，火红的太阳、皎洁的月亮、清晨的露珠，以及动物的眼睛，水面的波纹，都给人以圆的启示。现代，从滚动的车轮到日常用品，从旋转的机器到航天飞船，到处都有圆的身影。人们的生活与圆早已结下了不解之缘。圆，以它无比美丽的身影带给人们无限美好的遐想。圆满、团圆，这些美妙的词语寄托了人们多少美好和幸福的憧憬！圆周率是圆的灵魂，是圆的化身，可是这位仙子，却迟迟不肯揭开她那神秘的面纱。　　人们对圆周率的认识经历了漫长的历史岁月，许多数学家为此献出了毕生的精力。现在，就让我们穿过时间隧道，与这些伟大的数学家作一次亲密接触吧！&早在三千多年以前的周朝，我们的祖先就从实践中认识到圆的周长大约是直径的3倍，所以在距今2000多年前的西汉初年，在我国最古老的数学著作《周髀算经》里就有了“周三径一”的记载。随着生产的发展和文明的进步，对圆周率精确度的要求越来越高。西汉末年，数学家刘歆提出把圆周率定为3.1547。到了东汉，张衡——就是那位发明候风地动仪的天文学家，建议把圆周率定为3.1622。但是，这两种建议都因为缺乏科学依据而很少有人采用。一直到了公元263年，三国时期魏国的刘徽创立了割圆术，才使圆周率的计算走上了科学的道路。什么是割圆术呢？原来，刘徽在整理我国古老的数学著作《九章算术》时发现，所谓的“周三径一”，实质上是把圆的内接正6边形的周长作为圆的周长的结果。于是他想到：如果用圆的内接正12边形、24边形、48边形、96边形……的周长作为圆的周长，岂不是更加精确。这就是割圆术。用他自己的话说就是：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”但是，因为计算过程随着边数的增加越来越复杂，限于当时的条件，刘徽只计算到圆的内接正96边形，使圆周率精确到两位小数，得到3.14。后来，刘徽又算到圆的内接正3072边形，使圆周率精确到四位小数，得到3.1416。还记得，我们那一代人上小学的时候，圆周率用的就是这个值。&&又过了大约200年，到了南北朝的时候，我国出了一位大数学家，也是天文历算学家祖冲之。祖冲之于公元429年4月20日，出生于范阳郡遒县（现在的河北省涞水县）。他小时候没上过什么学，也没得到过什么名师指点，但是他自学非常刻苦，尤其是对天文、数学有着浓厚的兴趣。他广泛搜集认真阅读了前人有关天文、数学的许多著作，却从来不盲目接受，总要亲自进行测量和推算。公元460年，他采用刘徽的割圆术，一直算到圆的内接12288边形，推算出圆周率应该在3.1415926到3.1415927之间。同时，他还提出用两个分数作为圆周率的近似值，一个是22/7，叫“疏率” ，约等于3.142857；另一个是355/113，叫“密率”，约等于3.1415929。祖冲之对圆周率的计算，开创了一项世界纪录，比欧洲早了一千多年。国际上为了纪念这位伟大的中国数学家，把3.1415926称为“祖率”，并把月球上的一座环形山命名为“祖冲之山”。这是我们中华民族的骄傲。　　&向往完美，向往精确是人类的天性。尽量把圆周率算得准确一点，一直成为人们的不懈追求。&在古希腊，人们也是把圆周率取为3。后来也发现了疏率22/7，直到1573年，德国数学家奥托才发现了密率355/113，比祖冲之晚了1113年。&在古埃及的纸草书（以草为纸写的书）中，有一道计算圆形土地面积的题目，所用的方法是：圆的面积等于直径减去直径的1/9，然后再平方。如果我们假设半径为1，直径就是2，圆的面积就是2÷9×8再平方，约等于3.16，也就是说圆周率约等于3.16。（因为S＝πr2，当r＝1时，S＝π。）&1593年，荷兰数学家罗梅，用割圆术把圆周率算到了小数点后15位，虽然打破了祖冲之的纪录，但是已时隔1133年。&1610年，德国数学家卢道夫，用割圆术使π值精确到小数点后第35位，几乎耗费了他一生的大部分心血。　 　随着数学的发展，人们又陆续发明了另外一些计算圆周率的方法。&1737年，经过瑞士大数学家欧拉的倡导，人们开始广泛地使用希腊字母π表示圆周率。&1761年，德国数学家兰伯特证明了π是一个无限不循环小数。&1873年，英国的向克斯，用了20年的精力，把π值计算到小数点后707位。可惜后来有人用电脑证明，向克斯的计算结果，在小数点后第528位上发生了错误，以致后面的179位毫无意义。一个数字之差使向克斯白白耗费了十多年的精力！他的失误警示人们，科学上容不得半点疏忽。这个教训值得我们永远记取。随着电脑的不断升级换代，π值的计算不断向前推进，早在上个世纪80年代末，日本人金田正康已将π值算到了小数点后位。当代，π 值的计算已经成为评价电子计算机性能的指标之一。&&最后，还有两件与圆周率有关的趣事不能不谈。&第一件：1777年，法国数学家布丰，用他设计的，看似与圆周率毫无关系的“投针试验”，求出圆周率的近似值是3.12。1901年，意大利数学家拉兹瑞尼，用“布丰投针试验”求出圆周率的近似值是3.1415929。至于什么是“布丰投针试验”，请看拙文“布丰投针试验的故事”。&第二件：用普通的电子计算器，就能算出圆周率的高精度近似值。算式是：　　&1.×1.×1.×1.≈3.…&这几个小数很好记，如果不看小数点的话，四个因数都是对称的，中间是5个9，前面两位分别是10、11、13、16，后面两位分别是01、11、31、61。至于是什么道理，不清楚。据我猜测，很可能是某位有心人，殚精竭虑编出的一道趣味数学题。&无独有偶，下面这些由十个不同数字组成的算式，也可以算出圆周率的高度近似值。&&&&&&&&76591÷24380　&&&&95761÷30482　&&　39480÷12567&&&&&&&&97468÷31025&&&&&&37869÷12054&&&&&&95147÷30286&&&&&&&&49270÷15683　&&　83159÷26470　　&&78960÷25134&显然，这些题目中的数字是凑出来的，渗透了创编者的良苦用心。&&在分享了上面这些算式带给我们的惊喜和启迪之余，不禁要对这两位数学爱好者，表示崇高的敬意！&几千年来，圆周率精确值，不断推进的过程，反映了人类崇高的科学精神，闪烁着人类智慧的光芒，同时也让热爱数学、甘愿为数学献身的人们，充分感受到数学的无比美妙，享受到数学给予他们的无限幸福。&在相当长的一段历史时期内，人们往往用圆周率的精确程度，作为衡量一个国家、一个民族数学发展水平的标志。我国古代数学一直处于世界领先的地位，作为炎黄子孙，我们一定要继承祖先的光荣传统。而作为小学数学教师，一定要教育我们的学生，学无止境，科学的发展也没有止境，一座座科学高峰正等待着他们去攀登。刘徽、祖冲之、卢道夫……这些光辉的名字，永远是鼓舞全人类前进的榜样。数学之骚美&|&不懂数学也能明白傅里叶分析和感受数学之美这篇文章的核心思想就是：　　要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。　　傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。　　————以上是定场诗————　　下面进入正题：　　抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……　　一、嘛叫频域　　从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。　　先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：　　在你的理解中，一段音乐是什么呢？　　这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同学们再见。　　是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。　　现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。　　将以上两图简化：时域：频域：　　在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。　　所（前方高能！~~~~~~~~~~~非战斗人员退散~~~~~~~）　　以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能预警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~）　　你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。　　（众人：鸡汤滚出知乎！）　　抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。　　而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。　　二、傅里叶级数(Fourier Series)　　还是举个栗子并且有图有真相才好理解。　　如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：　　第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos（x）　　第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)　　第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加　　第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加　　随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？　　（只要努力，弯的都能掰直！）　　随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）　　不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。　　还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：　　在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为 0 的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。　　这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。　　好了，关键的地方来了！！　　如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。　　对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。　　（好吧，数学称法为——基。在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解释，后面还有正交基这样的词汇我会说吗?）　　时域的基本单元就是“1 秒”，如果我们将一个角频率为的正弦波 cos（t）看作基础，那么频域的基本单元就是。　　有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。　　接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。　　正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆　　　以及这里：　　File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif　　点出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 写的哪有这里的文章这么没节操是不是。　　介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：这是什么奇怪的东西？　　这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——　　再清楚一点：　　可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。　　动图请戳：　　File:Fourier series and transform.gif　　老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。　　但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？　　我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……数学如此简单!老师为什么没这么教?(留着以后教孩子)&&&1x8+1=912x8+2=98123x8+3=987=9876=98765+6=987654+7=9876543+8=+9=1x9+2=1112x9+3=111123x9+4=1111=11111=111111+7=1111111+8=+9=+10=9x9+7=8898x9+6=888987x9+5=8888=88888=888888+2=8888888+1=+0=很炫，是不是?再看看这个对称式：1x1=111x11=121111x111=1232134321=111=65432121&&&&这可能也是有规律的，真好玩。我小时候在十万个为什么上看到，15X15=225,25x 25=625,35X35=1225，45X45=2025,55X55=3025,65X65=4225,75X75=5625……都是有规律的，它们都是个位数相乘，十位数前一位不变，后一个加1后相乘即可，以后碰到类似的数字乘法就算的快了，有时候，知道一个数字算法的规律真的很好，用起来方便多了。
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