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高等数学习题集及解答
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高等数学习题集及解答
官方公共微信作业1.1；1．设f(x)?；，记f1(x)?f(x)，fn(x)?f[fn?；）.求fn(x)（n?2,3,；的表达式，并指出其定义域.；x1f(x)；解：f2(x)?f[f(x)]?，D(f2)?{；1?2x21?f(x)1?x；1?x；x11；假设fk(x)?，D(fk)?{x|x?R,x?；1?kx2k；fk(x)xk?1kkk?，且?f(x)?f[
1．设f(x)?
，记f1(x)?f(x)，fn(x)?f[fn?1(x)]，（n?32,1?x
）.求fn(x)（n?2,3,
的表达式，并指出其定义域.
解：f2(x)?f[f(x)]?，D(f2)?{x|x?R,x?1,. ??
1?2x21?f(x)1?x
假设fk(x)?，D(fk)?{x|x?R,x?1,,,}，则
fk(x)xk?1kkk?，且?f(x)?f[f(x)]?f(x)?1， x?D(f)k1?(k?1)x1?f(x)1?
由fk(x)?1可知x?. 所以f(x)?，D(f)?{x|x?R,x?1,,,}.
3．已知f(x)?
f[f(x?5)],x?8
解：f(5)?f[f(10)]?f(7)?f[f(12)]?f(9)?6.
4．设f(x)的定义域是[0,1]，求下列函数的定义域： （3）f(x?a)?f(x?a)(a?0).
?0?x?a?1??a?x?1?a
?0?x?a?1?a?x?1?a
当0?a?1/2时，a?1?a，所求定义域为D?[a,1?a]； 当a?1/
2时，a?1?a，所求定义域为D??.
解：由f(x)的定义域知?
5．设f(x)?x，证明： （1）f(x)在(0,??)内有上界； （2）f
(x)在(0,??)内单调增加. 证明：（1）当x?0时，
f(x)?x?x?1，
(x)在(0,??
)内的一个上界.
（2）当x?0时，
1在(0,??)内单调减少，所以f(x)在(0,??)内单调增加.
6．证明f(x)?xcosx在(??,??)内无界. 证明：对任意一个正数M，取正整数k?M，则
f(2k?)?2k?cos2k??2k??k?M，
所以f(x)在(??,??)内无界.
，证明数列{xn}没有极限. 2
证明：考虑子数列{x2k}和{x4k?1}，我们有
4．设xn?(1?)sin
limx2k?0，limx4k?1?lim(1?
)?1， 4k?1
所以数列{xn}没有极限.
5．利用夹逼法求下列极限：、 （1
limlim5(3)?5?3?5，
因此由夹逼法知?5.
???]； 222n??(n?1)(n?2)(n?n)111
解： 记xn:?n[???]，则
(n?1)2(n?2)2(n?n)2
?)， xn?yn:?n[???]?n(
n?12n?1(n?1)(n?2)(n?2)(n?3)2n(2n?1)
xn?zn:?n[???]?，
n(n?1)(n?1)(n?
2)(2n?1)2n2
容易算得limyn?，因此由夹逼法知limxn?.
（2）limn[
（3）limn解：令an1?0，则
n?(1?an)n?1?nan?
．设x1?1,xn?1?
?0，因此由夹逼法知liman?0，从而?1.
1,2,)，证明数列{x
证明：x2??x1；假设xn?1?xn，则
所以数列{xn}单调增加.
x1?1?3；假设xn?3，则
所以数列{xn}有上界3.
因此，由单调有界收敛准则知数列{xn}收敛.
1．当x?2时，y?x2?4. 问?等于多少，使当|x?2|??时，|y?4|?0.001？ 解：因x?2，不妨设1?x?3，于是
|y?4|?|x2?4|?|x?2|?|x?2|?5|x?2|.
要|y?4|?0.001，只要5|x?2|?0.001，即|x?2|?0.0002. 所以可取??0.0002.
6．已知lim?6，求a,b的值. 2x?1x?1
lim(x?ax?b)?lim?lim(x2?1)?0， 2x?1x?1x?1x?1
得1?a?b?0，于是x2?ax?b?(x?1)(x?b)，因此
x2?ax?bx?b1?b
， 6?lim?lim?
x?1x?1x?1x2?12
得b??11，从而a?10.
sinxx?sinx
?？说明理由，并计算lim.
x??x??2x?sinxx
?0. 解：当x??时，为无穷小，而sinx有界，所以也为无穷小，即lim
x?sinx?1. lim?limx??2x?sinxx??sinx2
3．计算下列极限： （2
?)； （4）lim(x
3ex?1|x|3?e?x
?)?lim(?1)?2， 解：lim(x
?xx???e?1x???x1?e
3ex?1|x|3ex?1lim(?)?lim(x?1)?2， x???ex?1x???e?1x
?)?2. 所以lim(x
6．计算下列极限： （3
tanx?(1?cosx)?3. 解：原式?lim?lim
x?02x?02x?xx?sinx
（4）lim；
x?0secx?cosx
cosxln(1?x2)ln(1?x2)x2
解：原式?lim?lim?lim2?1.
x?0x?0x?0x1?cos2xsin2x
解：原式?x?0
111?lim?. ?2x?02x?0x?1sin2x2
．设f(x)?. 问常数a为何值时，f(x)在(??,??)内连续？
解：要f(x)在(??,??)内连续，只要f(x)在点x?0处连续，于是
f(0)?limf(x)?lim?lim?4. ?x?0?x?0?x?01x
4．求下列函数的间断点，并判别其类型：
（1）f(x)??；
2?x,|x|?1?
解：由初等函数的连续性知f(x)的间断点只可能是x?1和x??1. 由
limf(x)?limx?1，limf(x)?lim(2?x)?1， ????
知limf(x)?1?f(1)，所以f(x)在点x?1处连续. 由
lim?f(x)?lim?(2?x)?3，lim?f(x)?lim?x2?1，
知x??1为f(x)的跳跃间断点.
解：由初等函数的连续性知该函数y的间断点为x?k?和x?k??
因为limy?1，limy?0，所以x?0和x?k??
，其中k?Z.
为函数y的可去间断点.
因为limy??（k?0），所以x?k?（k?0）为函数y的无穷间断点.
sin； x?1x
??1，且x?0为sin的振动间断点，知x?0为函数y的振动间断点. x?1x
解：由初等函数的连续性知该函数y的间断点为x?0和x?1.
1?(x?1)1?1?(x?1)
?lim???， sin?limsin
x?1x?1x?1xx?1xx?1x
所以x?1为函数y的可去间断点.
解：由初等函数f(x)在其定义域内处处连续知f(x)的间断点为x?0，x??1和x?1.
limf(x)??limf(x)?，， x?0?2x?0?2
所以x?0为f(x)的跳跃间断点.
limf(x)??，
（4）f(x)?arctan
所以x??1为f(x)的无穷间断点.
limf(x)?lim(arctan?)??lim??1， x?1x?1xlnx4x?1ln[1?(x?1)]4
所以x?1为f(x)的可去间断点.
x的连续性，若有间断点，判别其类型. 5．讨论函数f(x)?lim
解：当|x|?1时，limx?0；当|x|?1时，limx???. 由此可知
?x,|x|?11?x2n??f(x)?limx?0,|x|?1. n??1?x2n
???x,|x|?1
f(x)的间断点只可能是x?1和x??1.
limf(x)?limx?1，limf(x)?lim(?x)??1， ???
limf(x)?lim?(?x)?1，lim?f(x)?lim?x??1，
故x?1和x??1为f(x)的跳跃间断点. f(x)在(??,?1)、(?1,1)和(1,??)内连续.
3．若f(x)在[a,b]上连续，a?x1?x2?
?xn?b，则在(a,b)内至少有一点?，使
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学年第一学期 《高等数学(上...判断x=0 是函数f(x)={x-1,x0 的何种间断点?
lim(x→0-)f(x)=lim(x→0-)(x-1)=-1而lim(x→0+)f(x)=lim(x→0+)(x+1)=1故lim(x→0+)f(x)≠lim(x→0-)f(x)≠f(0)f(x)在x=0处为第一类间断点中的跳跃型间断点.
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