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武汉2014《反比例函数中的面积问题》专题训练精选.doc 13页
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反比例函数中的面积问题专题练习
太仓市浮桥中学
由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。这类反比例函数与一次函数的交点问题以及相交后求围成三角形的面积的题型难度很大，并且属于学生在计算中的难点问题，归纳起来有两个方面：1、函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究取何值时，一次函数与反比例函数值的大小比较；2、相交时所围成的三角形的面积问题。现以近年中考试题为例加以分析，希望能对同学自主学习有所帮助。
知识点回顾：
1．反比例函数的定义：一般地，形如y＝（）（k为常数，k____0）的函数叫做反比例函数．
2．反比例函数的性质：反比例函数y＝（k≠0）的图象是___
___．当k&0时，两分支分别位于第__
___象限内，且在每个象限内，y随x的增大而_______；当k&0时，两分支分别位于第_______象限内，且在每个象限内，y随x的增大而_______．
3．反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心为_______；反比例函数还是_______图形，它有两条_______，分别是直线__
4．在双曲线y＝上任取一点P向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于_______．
5．因在反比例函数的关系式y＝（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的关系式，因而一般只要给出一组x、y的值或图象上任意一点的坐标，然后代入y＝中即可求出_______的值，进而确定出反比例函数的关系式．
6、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题。设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|?。从而得：
结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|。
对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
结论2：在直角三角形ABO中，面积S=。
结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|。
结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|。
题型归类：
题型一：已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）?
【例1】 如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝　　　　．
分析：由图象知,k&0,由结论及已知条件得，
【例2】如图，已知双曲线（）经过矩形OABC的边AB，BC的中点F、E，且四边形OEBF的面积为2，则??????? ．
分析：连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点
而 ，由四边形OEBF的面积为2得，解得 k=2。
评注：第①小题中由图形所在象限可确定k&0，应用结论可直接求k值。第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。
如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3．
（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．
（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．
题型二：已知反比例函数解析式，求图形的面积
【例3】（1） 在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（?
A．?????????????
??? B．????????????
???? C．??????????
分析：因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B、C、D的面积易求。对于A：S=4，对于B：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故S=；对于C：S=4，对于D：S=4 故选（B）
(2009年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则?????
题型三：利用数形结合思想求点的坐标，注意分类讨论
【例4】已知一次函数y=kx+b(k≠o)和反比例函数y=的图象交于点A(1，1)．
(1)求两个函数的解析式’
(2)若点B是x轴上一点，且△AOB是直角三角形，求B点的坐标．
解：（1）∵点A（1，1）在反比例函数的图象上，∴k=2，∴反比例函数的解析式为： 。设一次函数的解析式为：y=2x+b，∵点A（1，1）在一次函数y
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255页228页147页250页314页162页279页158页486页86页已知一次函数y1=x+5的图象与反比例函数y2=$\frac{k}{x}$的图象交于A.B两点.已知点A的横坐标为1．(1)求反比例函数的解析式,(2)求点B的坐标.并直接写出当y1＜y2时x的取值范围,(3)当x＞1时.在反比例图象上有一点C.使得△ABC的面积为21.求点C的坐标． 题目和参考答案——精英家教网——
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2．已知一次函数y1=x+5的图象与反比例函数y2=$\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，已知点A的横坐标为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并直接写出当y1＜y2时x的取值范围；（3）当x＞1时，在反比例图象上有一点C，使得△ABC的面积为21，求点C的坐标．
分析 （1）由点A在直线y1=x+5的图象上，可求出点A的纵坐标，结合点A的坐标以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论；（2）将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中得到关于x的一元二次方程，解方程即可求出点B的横坐标，将其代入到反比例函数解析式中即可求出点B的坐标；结合两函数图象即可得出当y1＜y2时x的取值范围；（3）过点C作CD∥y轴交直线AB于点D，设点C的坐标为（m，$\frac{6}{m}$）（m＞1），则点D的坐标为（m，m+5），根据S△ABC=S△BCD-S△ACD=21即可得出关于m的方程，解之经检验后即可得出m的值，将其代入点C的坐标中即可得出结论．解答 解：（1）令一次函数y1=x+5中x=1，则y1=1+5=6，∴k=x•y1=1×6=6．∴反比例函数的解析式为y2=$\frac{6}{x}$．（2）将y1=x+5代入到y2=$\frac{6}{x}$中得：x+5=$\frac{6}{x}$，即x2+5x-6=0，解得：x1=-6，x2=1．当x=-6时，y2=$\frac{6}{-6}$=-1．∴点B的坐标为（-6，-1）．结合函数图象可知：当x＜-6或0＜x＜1时，y1＜y2，∴当y1＜y2时x的取值范围为x＜-6或0＜x＜1．（3）过点C作CD∥y轴交直线AB于点D，如图所示．设点C的坐标为（m，$\frac{6}{m}$）（m＞1），则点D的坐标为（m，m+5）．∵点A（1，6），点B（-6，-1），∴S△ABC=S△BCD-S△ACD=$\frac{1}{2}$（m+5-$\frac{6}{m}$）[m-（-6）-（m-1）]=21，整理得：m2-m-6=0，解得：m=3或m=-2（舍去），经检验m=3是原方程的解，∴点C的坐标为（3，2）．点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数系数k的几何意义、两点间的距离公式、三角形的面积公式以及解分式方程，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）解关于x的一元二次方程求出点B的横坐标；（3）解关于m的方程求出m的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，得出关于x的一元二次方程，解该方程求出交点坐标是关键．
练习册系列答案
科目：初中数学
题型：解答题
12．如图，在⊙O中，AB为直径，PC为弦，且PA=PC，PC交AB于M，若∠APC=45°，求$\frac{AM}{BM}$的值．
科目：初中数学
题型：解答题
13．如图形似“w”的函数是由抛物线y1的一部分，其表达式为：y1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x2-2x-3）（x≤3）以及抛物线y2的一部分所构成的，其中曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称，A、B是曲线y1与x轴两交点（A在B的左边），C是曲线y1与y轴交点．（1）求A，B，C三点的坐标和曲线y2的表达式；（2）我们把其中一条对角线被另一条对角线垂直且平分的四边形称为筝形．过点C作x轴的平行线与曲线y1交于另一个点D，连接AD．试问：在曲线y2上是否存在一点M，使得四边形ACDM为筝形？若存在，计算出点M的横坐标，若不存在，说明理由．
科目：初中数学
题型：解答题
10．如图①，已知矩形ABCD中，AB=60cm，BC=90cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t=$\frac{60}{23}$s时，△BPQ为等腰三角形；（2）当BD平分PQ时，求t的值；（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G．探索：是否存在实数t，使得AF=EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由．
科目：初中数学
题型：解答题
17．若以圆内接四边形ABCD的各边为弦作任意圆，求证：这些圆相交的四点共圆．
科目：初中数学
题型：解答题
7．一座拱型桥，桥下水面宽度AB是16米，拱高CD是4米，大雨过后，桥下水面宽度EF是12米，求水面上涨了多少米？（1）若把它看作是抛物线的一部分，在坐标系中（如图1），可设抛物线的表达式为y=ax2+c，请你求出此时水面上涨了多少米？（2）若把它看作是圆的一部分，则可构造图形（如图2），请你求出此时水面上涨了多少米？
科目：初中数学
题型：填空题
14．已知：如图，AB∥CD，若∠A=66°∠B=45°，则∠1=66°，∠2=45°．
科目：初中数学
题型：解答题
11．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO的周长为23cm，AD比CD长2cm，AC与BD的和为34cm，求?ABCD的周长．
科目：初中数学
题型：填空题
17．如图，点A在函数y=-$\frac{1}{x}$（x＜0）的图象上，将线段AO绕点O按顺时针方向旋转180°后，得到线段CO，若点B、D在y轴上，且AD∥BC∥x轴，则四边形ABCD的面积等于2．
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已知图中的曲线是反比例函数（m为常数）图象的一支．（1）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？（2）若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象内限的交点为A，过A点作y轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求点B的坐标及反比例函数的解析式．
分析：（1）根据反比例函数的性质即可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可；（2）根据题意画出函数图象，设出A点坐标，再根据三角形的面积求出A点坐标，利用带定系数法求出反比例函数的解析式即可．解答：解：（Ⅰ）这个反比例函数图象的另一支在第三象限．∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，∴m+5＞0，解得m＞-5．（Ⅱ）如图，由第一象限内的点A在正比例函数y=x的图象上，设点A的横坐标为a，∵点A在y=x上，∴点A的纵坐标为a，而AB⊥x轴，则点B的坐标为（a，0）∵S△OAB=4，∴×a•a=4，解得a=4或-4（负值舍去）∴点A的坐标为（4，2）．（6分）又∵点A在反比例函数y=的图象上，∴2=，解得m=3．∴反比例函数的解析式为y=．点评：本题考查的是反比例函数的性质和反比例函数y=中k的几何意义，反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
练习册系列答案
科目：初中数学
已知图中的曲线是反比例函数（m为常数）图象的一支（1）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求此反比例函数的解析式；（3）设直线y=2x与反比例函数的另一个交点为C，求△ACB的面积S的值．
科目：初中数学
已知图中的曲线是反比例函数（m为常数）图象的一支．（1）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？（2）在这个反比例函数图象的某一支上任取点M（a1，b1）和点N（a2，b2），若a1＜a2，则b1与b2有怎样的关系？（3）若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的关系式．
科目：初中数学
已知图中的曲线是反比例函数（m为常数）图象的一支．（I）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？（II）若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及m值．
科目：初中数学
已知图中的曲线是反比例函数（m为常数）的图象的一支．（1）这个反比例函数的图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？（2）若该函数的图象与正比例函数y=-2x的图象在第二象限的交点为A，过A作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及此时m的值．
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如图，已知反比例函数y=的图象经过点A（1，-3），一次函数y=kx+b的图象经过点A与点C（0，-4），且与反比例函数的图象相交于另一点B（3，n）．（1）试确定这两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图形直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围．
分析：（1）根据A的坐标求反比例函数解析式，从而可求出B点坐标；根据A、C坐标求一次函数解析式；（2）S△AOB=S△COB-S△AOC；（3）看在哪些区间反比例函数的图象在一次函数图象的上方．解答：解：（1）∵的图象经过点A（1，-3）∴即m=-3∴反比例函数解析式为：（2分）又∵∴，即：B点坐标为（3，-1）将A（1，-3）、B（3，-1）代入y=kx+b得：解得：．∴一次函数解析式为：y=x-4；（5分）（2）S△AOB=S△COB-S△COA=B|-12•OC•|xA|==4；（8分）（3）由图象可知：当x＜0或1＜x＜3时，反比例函数值大于一次函数值．（10分）点评：根据函数图象解不等式时需从交点看起，图象在上方的函数值大．
练习册系列答案
科目：初中数学
如图，已知反比例函数1=kx和一次函数y2=ax+b的图象相交于点A和点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为-1．过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1．（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（2）若一次函数y2=ax+b的图象与x轴相交于点C，求∠ACO的度数．（3）结合图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围．
科目：初中数学
如图，已知反比例函数图象与一次函数y=kx+b的图象均经过A（-1，4）和B（a，）两点，（1）求B点的坐标及两个函数的解析式；（2）若一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点C，求C点的坐标．
科目：初中数学
如图，已知反比例函数（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且S△AOB=3．若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求AO：AC的值．
科目：初中数学
如图，已知反比例函数y=的图象经过第二象限内的点A（-1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数y=的图象上另一点C（n，一2）．（1）求直线y=ax+b的解析式；（2）设直线y=ax+b与x轴交于点M，求AM的长；（3）在双曲线上是否存在点P，使得△MBP的面积为8？若存在请求P点坐标；若不存在请说明理由．
科目：初中数学
如图，已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象交于M（2，m）和N（-1，-4）两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）求△MON的面积；（3）请判断点P（4，1）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．
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