中学数学研究 ２ ０ ０ ９年第 ９期 三 角 形“ 五 心” 坐标 的 “ 三 角 ＂表 示 江苏省兴化市戴 南高级 中学 （ ２ ２ ５ ７ ２ １ ） 朱传 美 笔者 曾在文 ［ １ ］给出 了三 角形 “ 五 心 ”的 向量 形 式 的充 要…1三角形外心 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。 性质： 1（1）锐角三角形的外心在三角形内； （2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形…维普资讯
三 角形¨ 五 心 。 向 量 方 程 的 一 般 式 （ 湖南省冷水江市涟邵二中 本 文 拟用 以下 引 理 给 出三 角 形 “ 五 心”向量 ４ １ ７ ５ ０ ０ ） 邓赞武 所 以 ① 式…
平面几何：有关三角形五心的经典试题 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) PA分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′==NC，故点M是△P′BPBCN是△P′PC的外心.有 P
∠BP′P=∠BMP=∠BAC，
∠PP′C=∠PNC=∠BAC.∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.
由于P′P平分∠BP′C，显然还有
P′B:P′C=BP:PC.例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)A分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP， K△CSQ的外心，作出六边形O2O1PO2QO3S后再由外 BCQ12121212心性质可知
∠PO1S=2∠A，
∠QO2P=2∠B，
∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.
∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K
=(∠O2O1S+∠SO1K)
=(∠O2O1S+∠PO1O2)
=∠PO1S=∠A；同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. 二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的A和.A'E
(第26届莫斯科数学奥林匹克) 分析：设G为△ABC重心，直线PG与BP，BC相交.从A，C，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A′，C′， D′，E′，F′.12121212易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，
∴EE′=DD′+FF′.
有S△PGE=S△PGD+S△PGF.两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.222(1)a，b，c成等差数列?△∽△′.
若△ABC为正三角形，易证△∽△′.
不妨设a≥b≥c，有
AD=12a2?2b2?c2212c2?2a2?b2212b2?2c2?a22222， ， .将a+c=2b，分别代入以上三式，得
CF=333a，BE=b，AD=c. 2223a:b:c 222∴CF:BE:AD ==a:b:c.故有△∽△′.222(2)△∽△′?a，b，c成等差数列.
当△中a≥b≥c时，
△′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′，
∴S?'S?＝(CFa).2据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有CF2
∴2a3434S?'S?2=.222234=?3a=4CF=2a+b-c?a2+c=2b.22三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. 例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.
(1992，全国高中联赛) 1A分析：连接A2H1，A1H2，H1H2为R.由△A2A3A4知A2H1 sin?A2A3H1=2R?A2H1=2Rcos∠A3A2A34由△A1A3A4得A1H2=2Rcos∠A3A1A4.但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.∥=
易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1
A1H2，∥=2
A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，
故得H1H故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.例6．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2
(1989B2AC1分析：只须证明AA=BBA1EA211=CC1即可.BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外BC接圆半径为R，⊙H的半径为r1连HA2B11，AH交EF于M.AA2=AM2+A222211M=AM+r-MH
=r2+(AM2-MH2)，
又AM2-HM2=(1AH21)-(AH-1AH2221)=AH·AH221-AH=AH2·AB-AH=cosA·bc-AH2，
而AH2sin?ABH=2R?AH=4R2cos2A,asinA=2R?a2=4R2sin2A. ∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2.
由①、②、③有AA2=r2+b2?c2?a22212bc·bc-(4R-a)=12222(a+b+c)-4R2+r2.① ② ③同理，BB12=(a+b+c)-4R+r，CC12=121222222(a+b+c)-4R+r.22222故有AA1=BB1=CC1. 四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心D(内心的等量关系之逆同样有用). C例7．ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，BA△CDA的内心O1， O2，O3， O4.求证：O1O2O3O4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题) 证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AC.当AB≠AC，怎样证明呢？如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ=rsin?.MEBA∵QK·AQ=MQ·QN，MQ?QN∴QK=AQN CK=(2R?r)?rr/sin?=sin??(2R?r).由Rt△EPQ知PQ=sin??r.∴PK=PQ+QK=sin??r+sin??(2R?r)=sin??2R.
∴PK=BK.?利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).1∵p(p-c)=21=4121(a+b+c)·222O(a+b-3cKO2[(a+b)-c]rb1aC=ab；(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)
=[c-(a-b)]=ab.∴p(p-c)=(p-a)(p-b).
① 观察图形，可得1422121212ra=AF-AC=p-b， rb=BG-BC=p-a， rc=CK=p.而r=(a+b-c)=p-c. ∴r+ra+rb+rc=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p
=4p-(a+b+c)=2p. 由①及图形易证.例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明：r1q112·r2q2=.rq(IMO-12)分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知OD=OA′·sinA'2AC'B'A'
=A′B′··sin 2sin?A'O'B'sinsinA'B'?sinA'?B'sin2cosB'O'=A′B′·，O′E= A′B′·A'B'cosA'?B'sin2.∴ODA'B'?tgtg. O'E22亦即有r1q1·r2q2=tgA?CMA?CNBBtgtgtg 2222ABrtg=22q=tg.六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.
(1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，
再由△BDF，..易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，ErdosA利用
不等式有：FBI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS). B不难证明IE=2IP，IA=2IQ，E∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.C∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)
=AD+BE+CF.I就是一点两心.例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD.(加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM为高亦为中线，取AC中点 AF，E必在DF上且DE:EF=2:1.设 EFCD交AM于G，G必为△ABC重心OBC连GE，MF，MF交DC于K.DG:GK=1DC:(1?1)DC=2:1.323∴DG:GK=DE:EF?GE∥MF.∵OD丄AB，MF∥AB，∴OD丄MF?OD丄GE.但OG丄DE?G又是△ODE之垂心.
易证OE丄CD.例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE.(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K.
易证△AID≌△AIB≌△EIB，D∠AID=∠AIB=∠EIB. ACI
利用内心张角公式，有
∠AIB=90°+∠C=105°，12B∴∠DIE=360°-105°×3=45°.
∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+(∠BAC-∠BAO)1212=30°+(∠BAC-60°)
=∠BAC=∠BAI=∠BEI.∴AK∥IE.由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.
同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.
由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心A到三边距离和为d外，重心到三边距H离和为d重，垂心到三边距离和为GOOG求证：1·d垂+2·d外=3·d重. H分析：这里用三角法.设△ABCOGHCB半径为1，三个内角记为A，B， C. 易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，∴2d外=2(cosA+cosB+cosC).
∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC，
同样可得BH2·CH3.∴3d重=△ABC三条高的和=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB)
②2221111212∴BHsin?BCH=2，∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.
同样可得HH2，HH3.
∴d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)
③欲证结论，观察①、②、③，须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.练
题1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′， B′，C ′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克)2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克) 4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7) 6.△ABC的边BC=(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克) 8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形. 9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.中学数学几何问题：有关三角形五心的经典试题 12三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例1．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的A和.A'E
(第26届莫斯科数学奥林匹克) 分析：设G为△ABC重心，直线PG与BP，BC相交.从A，C，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A′，C′， D′，E′，F′.易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，
∴EE′=DD′+FF′.
有S△PGE=S△PGD+S△PGF.两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.例2．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.222(1)a，b，c成等差数列?△∽△′.
若△ABC为正三角形，易证△∽△′.
不妨设a≥b≥c，有
CF=12a2?2b2?c22，BE=
AD=12c2?2a2?b2212b2?2c2?a22222， .将a+c=2b，分别代入以上三式，得
CF=333a，BE=b，AD=c. 222∴CF:BE:AD =a:b:c222=a:b:c.故有△∽△′.222(2)△∽△′?a，b，c成等差数列.
当△中a≥b≥c时，
△′中CF≥BE≥AD.
∵△∽△′，
∴S?'S?＝(CFa).2据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有CF2
∴2a3434S?'S?2=.222234=?3a=4CF=2a+b-c?a2+c=2b.22二、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. 例3．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛)分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由△A2A3A4知A2H1sin?A2A3H1A124=2R?A2H1=2Rcos∠A3A2A4；A
由△A1A3A4得A1H2=2Rcos∠A3A1A4.但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.∥=
易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1
A1H2，∥=2
A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，
故得H1H故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.例4．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) B1A分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设 EA2A1BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外 BC1接圆半径为R，⊙H的半径为r.
连HA1，AH交EF于M. 2B122222AA12=AM+A1M=AM+r-MH
222=r+(AM-MH)，
①又AM-HM=(AH1)-(AH-AH1)=AH·AH1-AH=AH2·AB-AH2=cosA·bc-AH，
而AHsin?ABH2222122122=2R?AH=4RcosA,222a222=2R?a=4RsinA. sinA∴AH+a=4R，AH=4R-a.
③ 由①、②、③有222222AA=r212b2?c2?a2+2bc222·bc-(4R-a)2222=(a+b+c)-4R+r. 同理，BB12=(a+b+c)-4R+r，CC12=12122222212(a+b+c)-4R+r.22222故有AA1=BB1=CC1. 三、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例5．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) PA分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=BPC=NC，故点M是△P′BP的外心，点 N是△P′PC的外心.有
∠BP′P=∠BMP=∠BAC，
∠PP′C=∠PNC=∠BAC.∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.
由于P′P平分∠BP′C，显然还有
P′B:P′C=BP:PC.例6．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)A分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP， K△CSQ的外心，作出六边形OO1PO2QO3S后再由外 BC心性质可知
∠PO1S=2∠A，
∠QO2P=2∠B，
∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.
∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K
=(∠O2O1S+∠SO1K)121212121212=(∠O2O1S+∠PO1O2)
=∠PO1S=∠A；同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. 四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心D(内心的等量关系之逆同样有用). C例7．ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，BA△CDA的内心O1， O2，O3， O4.求证：O1O2O3O4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题) 证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AC.当AB≠AC，怎样证明呢？如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线1212上.易知AQ=rsin?.MEBA∵QK·AQ=MQ·QN，MQ?QN∴QK=AQN CK=(2R?r)?rr/sin?=sin??(2R?r).由Rt△EPQ知PQ=sin??r.∴PK=PQ+QK=sin??r+sin??(2R?r)=sin??2R.
∴PK=BK.?利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).1∵p(p-c)=21=4121(a+b+c)·222O(a+b-3cKO2[(a+b)-c]rb1aC=ab；(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)
=[c-(a-b)]=ab.∴p(p-c)=(p-a)(p-b).
① 观察图形，可得1422121212ra=AF-AC=p-b， rb=BG-BC=p-a， rc=CK=p.而r=(a+b-c)=p-c. ∴r+ra+rb+rc=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p
=4p-(a+b+c)=2p. 由①及图形易证.例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明：r1q112·r2q2=.rq(IMO-12)分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知OD=OA′·sinA'2AC'B'A'
=A′B′··sin 2sin?A'O'B'sinsinA'B'?sinA'?B'sin2cosB'O'=A′B′·，O′E= A′B′·A'B'cosA'?B'sin2.∴ODA'B'?tgtg. O'E22亦即有r1q1·r2q2=tgA?CMA?CNBBtgtgtg 2222ABrtg=22q=tg.六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.
(1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，
再由△BDF，..易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，ErdosA利用
不等式有：FBI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS). B不难证明IE=2IP，IA=2IQ，E∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.C∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)
=AD+BE+CF.I就是一点两心.例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD.(加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM为高亦为中线，取AC中点 AF，E必在DF上且DE:EF=2:1.设 EFCD交AM于G，G必为△ABC重心OBC连GE，MF，MF交DC于K.DG:GK=1DC:(1?1)DC=2:1.323∴DG:GK=DE:EF?GE∥MF.∵OD丄AB，MF∥AB，∴OD丄MF?OD丄GE.但OG丄DE?G又是△ODE之垂心.
易证OE丄CD.例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE.(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K.
易证△AID≌△AIB≌△EIB，D∠AID=∠AIB=∠EIB. ACI
利用内心张角公式，有
∠AIB=90°+∠C=105°，12B∴∠DIE=360°-105°×3=45°.
∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+(∠BAC-∠BAO)1212=30°+(∠BAC-60°)
=∠BAC=∠BAI=∠BEI.∴AK∥IE.由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.
同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.
由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心A到三边距离和为d外，重心到三边距H离和为d重，垂心到三边距离和为GOOG求证：1·d垂+2·d外=3·d重. H分析：这里用三角法.设△ABCOGHCB半径为1，三个内角记为A，B， C. 易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，∴2d外=2(cosA+cosB+cosC).
∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC，
同样可得BH2·CH3.∴3d重=△ABC三条高的和=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB)
②2221111212∴BHsin?BCH=2，∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.
同样可得HH2，HH3.
∴d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)
③欲证结论，观察①、②、③，须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.练
题1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′， B′，C ′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克)2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克) 4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7) 6.△ABC的边BC=(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克) 8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形. 9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。12证明一三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。
证明：过E作EH平行BF。
∵AE=BE且EH//BF∴AH=HF=1/2AF（中位线定理）
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF∴EG=1/2CG（⊿CFG∽⊿CHE）2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高H1，H可知OH1=1/3AH 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）
证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时
上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2最终得出结论。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（z1+z2+z3）/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）8、相同高三角形面积比为底的比，相同底三角形面积比为高的比。
证明方法：∵D为BC中点，
∴BD=CD,又∵h△ABD=h△ACD，h△BOD=h△COD，
∴S△ABD=S△ACD，S△BOD=S△COD，即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD,∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE.
同理，∵E为AC中点，∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD.
∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD.又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE,
即S△BOF=S△AOF。
∴BF=AF，∴CF为AB边上的中线，即三角形的三条中线相交于一点。
编辑本段编辑本段重心顺口溜三条中线必相交，交点命名为“重心”
重心分割中线段，线段之比二比一；
编辑本段向量关系O是重心，向量OA+向量OB+向量OC=零向量向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇天津四中：刘晖一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）????O是?ABC的重心.证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)?(x?x)?(x2?x)?(x3?x)?0OA?OB?OC?0??1?(y1?y)?(y2?y)?(y3?y)?0x1?x2?x3?x???3???y?y1?y2?y3?3? ?O是?ABC的重心.证法2：如图?OA?OB?OC?OA?2OD?0?AO?2ODAD ?A、O、D三点共线，且O分为2：1?O是?ABC的重心（2）??????O为?ABC的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.????(?)???0 ??同理OA?BC，OC?AB ?O为?ABC的垂心
BDC（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是?ABC的内心a?b?c??O为?ABC的内心.ABAC分别为、方向上的单位向量， cb平分?BAC, ??cbbcABAC)，令?? ????(a?b?ccb证明：???bc（?) a?b?ccb化简得(a?b?c)?b?c??a?b?c?（4???O为?ABC的外心。典型例题：例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足???(?)，???0,??? ，则点P的轨迹一定通过?ABC的（
D．垂心分析：如图所示?ABC，D、E分别为边BC、AC的中点.???2BDC?OP?OA?2?AD ??? ??2? ?//?点P的轨迹一定通过?ABC的重心，即选C. 例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足????，???0,??? ，则点P的轨迹一定通过?ABC的（
D．垂心分析：分别为方向上的单位向量，??平分?BAC,?点P的轨迹一定通过?ABC的内心，即选B. 例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足????，???0,??? ，则点P的轨迹一定通过?ABC的（
D．垂心分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，CD、E是垂足.??BC??=?=0?点P的轨迹一定通过?ABC的垂心，即选D.三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足???，若实数?满足：AB?AC??AP，则?的值为（
）?ABC 练习： 1．已知A．2
D．62．若?ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，???，则??(
D．?3．点O在?ABC内部且满足OA?2OB?2OC?0，则?ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（
D．4．?ABC的外接圆的圆心为O，若???，则H是?ABC325443121232的（
D．垂心5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若222???，则O是?ABC的（
D．垂心 6．?ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，?m(??)， 则实数m =OA?BC?OB222→→ABAC→→7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足( +·→BC=0→→|AB||AC|→→ABAC1且 · = , 则△ABC为(
)→||AC→|2|ABA．三边均不相等的三角形
B．直角三角形C．等腰非等边三角形
D．等边三角形8．已知?ABC三个顶点A、B、C，若??????，则?ABC为（
）A．等腰三角形
B．等腰直角三角形C．直角三角形
D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C三角形心的性质及其应用主讲老师：刘汉斌一、基础知识：1. 设G是△ABC的重心，AG交BC于D，则2⑴BD＝DC；⑵AG∶AD＝2∶3；1222⑶AD＝4(2AB＋2AC－BC)；(三角形中线公式)21⑷3S△ABC＝S△GBC2. 设⊙O(R)是△ABC的外接圆，则⑴OA＝OB＝OC＝R；⑵∠BOC＝2∠A或2(180?－∠A)abc⑶S△ABC＝4R3. 设△ABC的内切圆⊙I(r)与AB切于P,AI的延长线交外接圆于D，?A则：⑴∠BIC＝90?＋2；?Ab?c?aa?b?c?⑵AP＝r·ctg2?－a； 22⑶DB＝DI＝DC； 1⑷S△ABC＝2ahaa?b?c＝pr＝·r(p为三角形的半周长) 2＝p(p?a)(p?b)(p?c)(海伦公式) 111＝2ab·sinC＝2bc·sinA＝2ac·sinBabc＝4R4. 设O、G、H分别是△ABC的外心、重心和垂心，OD⊥BC于D，AH的延长线交外接圆于H1，则： ⑴AH＝2 OD；⑵H与H1关于BC成轴对称； ⑶S⊙HBC＝S⊙ABC；⑷O、G、H三点共线，且OG∶GH＝1∶2(欧拉定理)5. 设△ABC在∠A内的旁切圆⊙I1(r1)与边AB的延长线切于P1，则：?A⑴∠BI1C＝90?－2；b?c?a?Aa?b?c?⑵S△ABC＝r1·；⑶AP； 1＝r1ctg222a?b?c?C(4)BP1＝；⑸∠AI1B＝2 2二、例题例1. 设凸四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，△OAB、△OBC、△OCD、△ODA的重心分别为E、F、G、H，则SEFGH∶SABCD＝__________. 解：如图，设E'，F'，G'，H'分别是 边AB，BC，CD，DA的中点， 连结E'F'，F'G'，G'H'，H'E'. 则四边形EFGH∽四边形SEFGH224?()?且SE'F'G'H'391由图易见，SE'F'G'H'＝2SABCDE'SEFGH于是SABCD4SE'F'G'H'2??2SE'F'G'H'9例2. 已知BD和CE是△ABC的两条中线，92求证：BD＋CE＞8BC22证法一：设BC＝a，AC＝b，AB＝c则由三角形中线公式1222BD＝4(2AB＋2BC－AC)21222CE＝4(2AC＋2BC－AB)21222∴ BD＋CE＝4(4BC＋AB＋AC)22a＋b＋c)a＋(b＋c)＋(b－c)] 122≥8[8a＋(b＋c)]19222＞8(8a＋a)＝8a
(∵ b＋c＞a) 92即
BD＋CE＞8BC22证毕！ 证法二：设CE、BD交于G，连结AG并延长交BC于F，则在△GBC中，由三角形中线公式1222GF＝4(2BG＋2CG－BC)2CFB12得
BG＋CG＝2GF＋2BC22212即
(BD)＋(CE)＝2GF＋2BC3322222412222∴
9(BD＋CE)＝2GF＋2BC 922∴
BD＋CE＝8(4GF＋BC)2292＞8BC证毕！例3. 凸四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于P，△PAB与△PCD的外心分别为O1、O2，求证：四边形PO1OO2为平行四边形.证明：如图，延长O2P交AB于E，作O2H⊥PD于H，O2G⊥PC于G 则DH＝PH，PG＝CG 连结HG，则HG∥CD ∴ ∠3＝∠PHG 又O2、H、P、G四点共圆 所以：∠PHG＝∠PO2G即∠3＋∠4＝90?
但∠4＝∠2，∠3＝∠1∴ ∠1＋∠2＝90? ∴ PE⊥AB由O、O1是AB得：OO1⊥AB ∴ PO2∥OO1同理可证：PO1∥OO2即证得：PO1OO2是平行四边形 证毕！例4. △ABC中，若∠A、∠B、∠C的平分线与外接圆分别交于P、Q、R，则AP＋BQ＋CR＞BC＋CA＋AB证明：(利用三角形两边之和大于第三边) ∵ AI＋BI＞AB(I为△ABC之内心)
BI＋CI＞BC
CI＋AI＞AC∴ 2(AI＋BI＋CI)＞AB＋BC＋CA
⑴又∵ PB＝PI＝PC
(内心性质)∴ 2PI＞BC，2QI＞AC，2RI＞AB
⑴＋⑵:AP＋BQ＋CR＞BC＋CA＋AB 证毕！ ⑵ P例5. 设I是△ABC的内心，CI的延长线与边AB和外接圆分别交于D和K，求证: 111??IDIKCICIID⑵??1IDDK⑴证明：⑴连结KB，如图有 ∠2＝∠3＝∠1 ∠BKD＝∠BKC于是可得：△KDB∽△KBC DKBD∴ BK?BC，而BK＝IKDKBD∴ IK?BC
,,,,,,,,⑴ 又在△BDC中，BDID由内分定理BC?IC
,,,,,,,,⑵DKIDIK?ID1?，即?由⑴⑵:IKICIK?IDIC111?
证毕！CIIKCIDK?IDID?，即??1?⑵由⑴证得：IDDKIDDKDKCIID∴ ID?DK＝1证毕！例6. 已知△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，试求∠A的度数.解：⑴如果垂心在三角形内，如图⑴ 作OD⊥BC于D，111由OD＝2AH＝2BO＝2R可知
∠OBD＝30? 从而
∠BOD＝60? 即
∠A＝60?⑵如果垂心在三角形外， 如图⑵作OD⊥BC于D11由OD＝2AH＝2R连结BO并延长交⊙O于E可知
∠OBD＝30? ∴
∠BEC＝60? 从而
∠BAC＝∠A＝180?－∠BEC
＝180?－60?
＝120?例7. 已知△ABC的内切圆⊙I与BC边切于D，DE是⊙I的直径，AE的延长线交BC边于F，求证：BD＝CF.A证明：设AB＝c,AC＝b,BC＝a1则BD＋b＝2(a＋b＋c) 1∴ BD＝2(a＋c－b)
⑴1下面仅需证明
CF＝2(a＋c－为此，作FI1⊥BC交AII1G⊥AC于G，即仅需证明I1是△ABC事实上，由I1FAI1I1G??(H是AC边与⊙I的切点) IEAIIH1但
I1F＝I1G 即I1确是旁心1∴ CF＝2(a＋c－b)即 BD＝CF 证毕！例8. 若从⊙O的外切四边形的各顶点向⊙O的任一切线作垂线AA'?CC'AO?COAA’、BB’、CC’、DD’，则BB'?DD'?BO?DO 证明：设切线l与AB、CD、BC分别交于E、F、G，则(由共边比例定理)：AA'AE?BB'BES?AEA'S?OAE??S?BEA'S?OBEOAsin?AOE　　(1OBsin?BOECC'CF同理?DD'DFSOCsin?COF??OCF?　(　2)S?OCDODsin?DOF?(1)?(2)AA'?CC'OA?OCsin?AOE?sin?COF?BB'?DD'OB?ODsin?BOE?sin?DOF而∠AOE＝∠AOB＋∠BOE
∠DOF＝∠DOC－∠COF
∠BOE＝∠COF∴ ∠AOE＋∠DOF＝∠AOB＋∠DOC＝180?∴ sin∠COF＝sin∠BOE
sin∠AOE＝sin∠DOFAA'?CC'AO?CO即得BB'?DD'?BO?DO 证毕！例9. 已知⊙I1是△ABC在∠A内的旁切圆，与AB、AC、BC的切点分别为D、E、F，且I1F交DE于N，AN交BC于M. 求证：BM＝MCBMS?ABM证明：∵ MC?S
,,,,,,,,⑴?ACMABsin?sin?ACB?sin?＝ACsin??sin?ABC?sin?(正弦定理) 而I1DBF与I1ECF分别共圆 ∴ ∠ABC＝∠DI1F ∠ACB＝∠EI1FDNS?ADNAD?sin?又????NES?AENAE?sin?DNS?DI1Nsin?ABC且????NES?EI1Nsin?ACBAD?sin?sin?ABC由⑵⑶?AE?sin?sin?ACBABM代入⑴得：MC＝1 即：BM＝MC 证毕！三、练习题1. 设P是△ABC内任意一点，G是它的重心，若PG的延长线分别与边BC、CA、AB或其延长线交于A'、B'、C'，则在A'PB'PC'P,,A'GB'GC'G中至少有一个不大于1，也至少有一个不小于1.A'PB'PC'P证明：命题结论可转化为证明：A'G?B'G?C'G＝3 为此，连结PA、PB、PC 则由共边比例定理：A'PS?PBC3S?PBC??A'GS?GBCS?ABCB'P3S?PAC?B'GS?ABCC'PS?PBC'S?PAB3S?PAB????C'GS?GBC'S?GABS?ABC三式相加： A'PB'PC'P3???A'GB'GC'GS?ABC(S△PBC＋S△PAC＋S△PAB)3?ABC＝SS△ABC＝3证毕！2. 已知H是△ABC的垂心，且AH＝BC，试求∠A的度数.223. 设⊙O(R),⊙I(r)分别是△ABC的外接圆和内切圆，则IO＝R－2Rr.(欧拉定理)4. 设G、I分别是△ABC的重心和内心，且CI⊥GI，又BC＝a,CAa?b?c2ab?＝b,AB＝c，求证：3a?b.5. 已知/\ABC内接于⊙O，P、Q、R依次是圆弧BC、CA、AB的中点，PR交AB于D，PQ交AC于E. 求证：DE＝BD＋CE6. 设△ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B＝60°,∠A＜∠C，∠A的外角平分线交⊙O于E. 求证：IO＝AE7. 在边长为a、b、c的△ABC中，作它的内切圆，并平行于于它的各边作这个圆的切线，再在这些切线从原三角形中截出的三个新三角形中分别作内切圆，试求这四个圆的面积的和.余弦定理 222a＝b＋c－2bacosA 222b＝a＋c－2accosB 222c＝a＋b－2abcosC 在△ABD中， 222AB＝AD＋BD－2AD·BDcos∠ADB 在△ACD中， 222AC＝AD＋CD－2AD·CDcos∠ADC 而∠ADB＋∠ADC＝180° ∴ cos∠ADB＝－cos∠ADC2222于是AB＋AC＝2AD＋2BDB 11222∴ AD＝2(AB＋AC－2BC)正弦定理：2sinCsinAsinB??cababc???2R sinAsinBsinCa＝2RsinA
c＝2RsinCS?ABC1?absinC21?ab1?cos2C2?a?b?c1?ab1???22ab?222????21a2?b2?2ab?c2c2?a2?b2?2ab?ab22ab2ab 1?(a?b?c)(a?b?c)(c?a?b)(c?a?b)41?2p(2p?2c)(2p?2b)(2p?2a)41S△ABC＝2absinCc1＝2ab2R三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍． 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径．锐角三角形的外心在三角形内；AC直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．内切圆半径r的计算：1S设三角形面积为S，并记p=a+b+c)，则r=．2p1特别的，在直角三角形中,有 r=a+b－c)．2AMBHKAFBDCE3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心． 上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四a个点称为一个“垂心组”． 5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)． 每个三角形都有三个旁切圆．CE例1 证明重心定理。证法1 如图，D、E、F为三边中点，设BE、CF1 ∥交于G，连接EF，显然EF=BC，由三角形2AFBDCE相似可得GB＝2GE，GC=2GF．又设AD、BE交于G'，同理可证G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE上从B到E的三分之二处的点，故G'、G重合．即三条中线AD、BE、CF相交于一点G．证法2 设BE、CF交于G，BG、CG中点为H、I．连EF、FH、HI、IE， 11∥，HI =∥BC， 因为EF =22
所以 EFHI为平行四边形．所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF． 同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点． 即定理证毕．C
平面几何：有关三角形五心的经典试题 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN …一 、常见数学符号的正确读法 二、常用数学公式 22 (a?b)(a?b)?a?b(1)平方差公式： 222(a?b)?a?2ab?b(2)完全平方公式： (a?b)2?a2?2ab?b2 3322a?b?(a?b)(a?ab?b) (3) 立方和公…武 基 功 本 手 术 抄 班级： 雄 报 英 基 本 学校： 姓名： 功 武术基本功是练习武术必须具 备的身体活动能力、技术技巧能力 以及心理素质等基础。基本功训练 时，有一系列专门的综合性练习人 体内、外各部位功能的方法和手 段，这些方法和手段，… 学年度第一学期五谷城小学 武术社团活动计划 中华武术历史悠久，是我国广大人民喜闻乐见的民族传统体育项目。为弘扬中华民族这一传统文化，为进一步提高少年儿童的身体素质和运动技能增强学生体质特制订计划如下 一、指导思想： 武术队训练是…就爱阅读网友整理上传,为您提供最全的知识大全,期待您的分享，转载请注明出处。
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