狄利克雷函数为什么是处处不可导的连续函数连续的

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-12-07 15:07 标签： 狄利克雷函数
如何证明狄利克雷函数是一个连续函数
哈哈哈哈_557
这是个间断函数,不是连续函数
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扫描下载二维码狄利克雷函数为什么是处处不连续的?狄利克雷函数为什么处处不连续?既然实数具有连续性,而有理数不连续,两个相邻有理数之间的无理数这一段不是连续的吗?这想法哪里有问题?
狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为的不连续函数.当自变量为有理数时,； 自变量为无理数时,.狄利克雷函数的图像关于轴成轴对称,是一个偶函数；它处处不连续；处处极限不存在；不可积分.这是一个处处不连续的可测函数 √2代表 根号2证明过程我写得很啰嗦,尤其是前面三个命题,可能有些人会认为太显而易见了,但为了严谨我还是写出来了,高人可以略过其证明过程前提：1、任何有理数均可写成既约分数 p/q (p,q∈Z 且q≠0)2、任何无理数据不可写成这样的形式,且均可写成无限不循环小数3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类,且不能同时属于两类数命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数证明：假设命题不成立设 p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数X为任意无理数则 p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0)X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)则根据前提1,X为有理数,与假设矛盾故假设不成立,命题1成立命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数证明：假设命题不成立 设 p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数 X为任意无理数则 X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=(p*m)/(q*n)则根据前提1,X为有理数,与假设矛盾故假设不成立,命题2成立 命题3：√2为无理数证明：假设命题不成立则√2为有理数,设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0)2=(p*p)/(q*q)则p必须是偶数∵p/q是既约分数∴q是奇数∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)∵2*q*q=p*p∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n 而m,n∈Z时本式不能成立故假设不成立,命题3成立 命题4：任何有限小数都是有理数证明：显而易见~下面进入本证明的关键部分首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet Function） f(x)= 1(x为有理数) 0(x为无理数)命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数 证明：设 p/q、m/n (p,q,m,n∈Z 且q≠0,n≠0)为任意两个有理数,不妨设 p/q＜m/n 则 m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数 设Q为正有理数,且满足√2＜Q(mq-np)/(nq) 则 0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq) p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n 根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数∴命题5成立 命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数 证明：设X,Y为任意两个无理数,且X＜Y将X,Y写成小数形式,从最高位开始比较两个数直到找到一位X,Y不一样的位数,那一位上的数必然是X＜Y去掉Y在那一位以后的所有位,得到一个有限小数,记为Z显而易见X＜Z＜YZ为有理数,命题6成立 根据命题5、6,任意有理数都不连续,任意无理数也都不连续,根据前提3,则狄利克雷函数在全体实数上处处不连续.
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实数的确连续。但任意两个相差无限小的无理数之间都有无限个有理数，而由狄利克雷函数定义，在这两个无理数之间，其值在0和1之间跳跃无限次，显然不连续。事实上，不但不连续，其图形也无法做出。那相邻有理数之间的一段为什么不是连续？一样的道理啊，任意相差无限小的两个有理数之间，也会有无限个无理数，函数值照样无限跳跃，怎么能连续。相邻有理数之间不是仅有无理数吗，这一段定义不是连续的吗？函数值也不变啊。。。...
一样的道理啊，任意相差无限小的两个有理数之间，也会有无限个无理数，函数值照样无限跳跃，怎么能连续。
相邻有理数之间不是仅有无理数吗，这一段定义不是连续的吗？函数值也不变啊。。。
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如何证明狄利克雷函的不连续
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3秒自动关闭窗口狄利克雷函数为什么以任何有理数为周期,且任何无理数均不是他的周期?
我爱依琳0189
假设Q={有理数},则P=R\Q={无理数}.如果T为任意一个有理数,则有Q+T=Q,P+T=P,故根据狄利克雷函数的定义T为的它的周期.另一方面,如果T为无理数,则Q+T=P,故此时T不是狄利克雷函数的周期.
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