系统的稳定性
一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳 定的系统。稳定性是控制系统的首要问题。 稳定性的一般意义： 当系统受到外界干扰后,它的平衡被破坏，但在外扰 去掉以后，它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。
控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：
外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外 部状态，即由系统的输入和输出关系所定义的外部 稳定性。具体说，零状态下，有界的输入作用下， 若系统所产生的输出也是有界的，就称该动态系统 是外部稳定的，或有界输入有界输出（BIBO）稳定。 外部稳定性只适用于线性系统。 提示：非线性系统稳定性与输入大小相关的。
提示：在经典控制理论中定义的传递函数正是表征 了系统在零初始条件下，输出量与输入量两者间的 关系。利用传递函数极点判定稳定性，是典型的外 部稳定性。
内部稳定性：系统在零输入条件下通过其内部状 态变化所定义的内部稳定性。即状态稳定。内部稳定 性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。 现代控制理论讨论的稳定性主要为内部稳定性。
内部稳定性和外部稳定性在满足一定条件下是等 价的（后面讨论）。
经典理论判稳方法及局限性 ?间接判定：方程求解－(对非线性和时变通常很 难) ?直接判定：单入单出中，基于特征方程的根是 否都分布在复平面虚轴的左半部分；以及采用劳 斯判据、奈魁斯特频率判据等。局限性是仅适用 于线性定常，不适用于非线性和时变系统。
现代控制理论判稳方法： 李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于 各种系统。 ? 李亚普诺夫第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质
判定稳定性－－间接法。
? 李亚普诺夫第二法：直接判定稳定性。思路：构造一个李
亚普诺夫函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对任何复
杂系统都适用。
李雅普诺夫稳定性相关概念
?平衡态 ?李雅普诺夫意义下的稳定性 ?渐近稳定性 ?大范围渐近稳定性 ?不稳定性 ?平衡态稳定性与输入输出稳定性的关系
5.2.1平衡态 设系统的状态方程为
? ? f ( x, t ) x
提示：自治系统。
x — n 维状态向量； 式中， f ( x, t ) — x1 , x2, ?, xn和t的n维向量函数，它可以 是线性、非线性、定常或时变的。
若系统存在状态 xe ，对所有的 t 都满足
称 xe 为系统的平衡状态。
从定义可知，平衡态即指 状态空间中状态变量的导数向 量为零向量的点(状态)。 由于导数表示的状态的运 动变化方向，因此平衡态即指 能够保持平衡、维持现状不运 动的状态，如右图所示。
李雅普诺夫稳定性研究的 平衡态附近(邻域)的运动变化 问题。 ? 若平衡态附近某充分小邻 域内所有状态的运动最后 不稳定 都趋于该平衡态，则称该 平衡态 平衡态是渐近稳定的; ? 若发散掉则称为不稳定的， 若能维持在平衡态附近某 个邻域内运动变化则称为 稳定的。
渐近稳定 平衡态 稳定 平衡态
对于线性定常系统，状态方程为 平衡方程为
当系统矩阵A 为非奇异矩阵时，系统存在唯一 一个平衡状态 xe ? 0，即坐标原点。 当系统矩阵A 为奇异矩阵时，系统存在无穷多 个平衡状态， xe ? 0 必定是其中一个。
例如，对于非线性系统
?1 ? ? x1 ?x ? 3 ? x ? x ? x ? x 1 2 2 ? 2 其平衡态为下列代数方程组
?? x1 ? 0 ? 3 x ? x ? x ? 1 2 2 ?0
的解，即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态。
?0 ? xe,1 ? ? ? ?0 ?
?0? ?? ? ?1?
?0? ?? ? ?? 1?
5.2.2 李雅普诺夫稳定 定义：若状态方程
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5.系统的稳定性
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岩体稳定性分析与评价1工程岩体的定义在工程地质中，把工程作用范围内具有一定的岩石成分、结构特征及赋存于某种地质环境中的地质体称为岩体。岩体是在内部的联结力较弱的层理、片理和节理、断层等切割下，具有明显的不连续性。这是岩体的重要特点，使岩体结构的力学效应减弱和消失。使岩体...
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第四章李雅普诺夫稳定性理论
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第六章李亚普诺夫稳定性分析
第六章李雅普诺夫稳定性分析Page 1空中交通管理学院马兰第六章 李雅普诺夫稳定性分析? 自动控制系统最重要的特性是稳定性，它表示系统能妥善地 保持预定工作状态，耐受各种不利因素的影响。 ? 稳定性问题实质
上是控制系统自身属性的问题。在经典控制 理论中，基于特征方程的根是否分布在根平面左半部分，即 可得出稳定性的结论。仅适用于线性定常系统，对于时变系 统和非线性系统，这种方法判定稳定性通常是很困难的。 ? 1892年，俄国学者李雅普诺夫在“运动稳定性一般问题” 一文中，提出了著名的李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为 稳定性判据的通用方法，适用于各类系统。该理论成为现代 控制理论的一个重要组成部分。Page 2空中交通管理学院马兰第六章 李雅普诺夫稳定性分析? 李雅普诺夫的稳定性理论，主要阐述了判断系统稳定性 的两种方法。 ? 第一种方法的基本思路是仅求解系统的微分方程，然后 根据解的性质判断系统的稳定性。这种方法为间接法。? 第二种方法的基本思路是不必通过求解系统的微分方程，而是构造一个李雅普诺夫函数，根据这个函数的性质来 判别系统的稳定性。这种思想由于不用求解方程就能直 接判断，故称为直接法，并且这种方法不局限于线性定 常系统，对于任何复杂系统都是适用的。Page 3空中交通管理学院马兰§6-1 李雅普诺夫稳定性定义一、 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部 描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。1. 外部稳定性 1)定义（外部稳定性）： 若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的， 则称该系统是外部稳定的。 (外部稳定性也称为BIBO（Bounded Input Bounded Output）稳定性)说明： （1） 所谓有界是指如果一个函数 ，在时间区间[0，∞] 中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的t∈ [0 ∞] ，恒有|h(t)| ≤ k ≤ ∞成立。 （2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。Page 4 空中交通管理学院 马兰§6-1 李雅普诺夫稳定性定义2)系统外部稳定性判据线性定常连续系统 ∑ (A,B,C) 的传递函数矩阵为G(s) ? C(sI ? A) ?1 B当且仅当 极点都在s的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO稳定）的。 【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为?0 6 ? ? ? 2? ? x?? ? x ? ? 1 ?u ?1 ? 1? ? ?解：系统为SISO系统，传递函数为y ? ?0 1?x 试分析系统的外部稳定性。s?2 ? 6 ? ? ? 2? ?s ?1 ? G(s) ? C(sI ? A) B ? ?0 1?? ( s ? 2)(s ? 3) ? 1 s ? 1? ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? s?3由于传递函数的极点位于s左平面，故系统是外部稳定的。 Page 5 空中交通管理学院 马兰?1§6-1 李雅普诺夫稳定性定义2.内部稳定性 对于线性定常系统? x ? Ax ? Bux(t0 ) ? x0y ? Cx如果外部输入u(t) = 0，初始条件x0为任意，且由x0引起的零 输入响应为x(t ) ? ? (t , t 0 ) x0满足lim ? (t , t 0 ) x0 ? 0t ??则称系统是内部稳定的，或称为系统是渐近稳定的。说 明：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中 的稳定性一致。 Page 6 空中交通管理学院 马兰§6-1 李雅普诺夫稳定性定义【例6.1.２】已知受控系统状态空间表达式为?0 6 ? ? ?2? ? x?? ? x ? ? 1 ?u, ?1 ?1? ? ? y ? ?0 1? x试分析系统的内部稳定性。 解：该系统为线性定常系统，其特征方程为：?I ? A ? ?(? ? 1) ? 6 ? (? ? 2)(? ? 3) ? 0于是系统的特征值为?1 ? 2,?2 ? ?3故系统不是内部稳定（渐近稳定）的。?e ?1t ? 0 ? ? ? ? ? (t ) ? ? ? ? ? 0 ? e ?n t ? ? ?空中交通管理学院 马兰Page 7§6-1 李雅普诺夫稳定性定义3.内部稳定性与外部稳定性的关系 1)若系统是内部稳定（渐近稳定）的，则一定是外部稳定 （BIBO稳定）的。 2)若系统是外部稳定（BIBO稳定）的，且又是可控可观测的， 则系统是内部稳定（渐近稳定）的。此时内部稳定和外部稳定 是等价的。Page 8空中交通管理学院马兰§6-1 李雅普诺夫稳定性定义§6.1. 李雅普诺夫稳定性定义稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的 性质。因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。6.1.1 平衡状态考察系统自由运动状态。令输入 u=0。设系统的状态方程为：? x ? f ( x, t ) ? xi ? fi ( x1, x2 ,?, xn , t ), i ? 1,2,?, nx(t0 ) ? x0x(t ) ? ?(t, x0 , t0 ) Page 9 空中交通管理学院 马兰§6-1 李雅普诺夫稳定性定义 1. 平衡状态的定义? 若对所有t，状态x满足 x ? 0 ，则称该状态x为平衡状态，记为 x e ，故有下式成立:f(xe ,t) = 0（5-2）由平衡状态在状态空间中所确定的点xe ，称为平衡点。2.平衡状态的求法（1）线性定常系统? x = Ax其平衡状态xe满足Ax=0A非奇异，则存在唯一的一个平衡状态xe =0 。 （2）非线性系统 方程 f(x,t)= 0 的解可能有多个。 Page 10 空中交通管理学院 马兰§6-1 李雅普诺夫稳定性定义6.1.2 范数的概念范数的定义 n维状态空间中，向量x的长度称为向量的范数， 用||x|| 表示：x ? x ? x ??? x ? x x2 1 2 2 2 n T1 2x ? xe向量的距离 长度 ||x -xe ||称为向量x与xe的距离。写成x ? xe ? ( x1 ? xe1 )2 ? ( x2 ? xe2 )2 ? ? ? ( xn ? xen )2当 x ? xe 的范数限定在某一范围之内，则记x ? xe ? ? , ? ? 0 Page 11 空中交通管理学院 马兰§6-1 李雅普诺夫稳定性定义x ? xe ? ? , ? ? 0在三维状态空间中表示以 xe 为球心、以??为半径的一个球域，可记为 S (? )图5-1 球域 S (? )Page 12空中交通管理学院马兰§6-1 李雅普诺夫稳定性定义6.1.3 李雅普诺夫稳定性定义1. 李雅普诺夫意义下的稳定性(稳定和一致稳定) 定义 对于系统? x ? f ( x, t ) ，若任意给定实数 ? ? 0,都存在另一实数? (? , t ) ? ? , 使当 x ? xe ? ? 时， 从任意初始状态 x0 出发的x的解 ?(t, x0 , t0 ) 满足?(t, x0 , t0 ) ? xe ? ? ,????t ? t0 ?则称系统的平衡状态xe是稳定的，其中 ? (? , t0 ) 和 t0 有关的实数；x ? xe ? ? , ? ? 0是与 ?若 ? 与 t0 无关，则称 xe 是一致稳定的。 Page 13 空中交通管理学院 马兰§6-1 李雅普诺夫稳定性定义二维空间的几何意义：Page 14空中交通管理学院马兰§6-1 李雅普诺夫稳定性定义稳定范围 如图5-3a）局部稳定b）大范围稳定如图5-3李雅普诺夫意义下的稳定性示意图 2.古典理论稳定性定义(渐近稳定性)设 xe 是系统? x ? f ( x, t ), x(t0 ) ? x0 , t ? t0的一个孤立平衡状态，如果（1） xe 是李雅普诺夫意义下稳定的； （2） limt ??x( x0 , t 0 ) ? xe ? 0Page 15则称此平衡状态是渐近稳定的。空中交通管理学院 马兰§6-1 李雅普诺夫稳定性定义x2?s(? )?xe?x0xex1初始状态 平衡状态s(? )图6-2 二维空间渐近稳定性的几何解释示意图实际上，渐近稳定即为工程意义下的稳定，也就是经典控制理论中所讨论的稳定性。当δ与 t0 无关时，称平衡状态 xe 是一致渐近稳定的 Page 16 空中交通管理学院 马兰§6-1 李雅普诺夫稳定性定义3. 大范围（全局）渐近稳定当初始条件扩展到整个状态空间，且具有渐近稳定性时，称此平衡状态xe是大范围渐近稳定的。 对于严格线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围渐近稳定性，这是因为线性系统稳定性与初始条件的大小无关。一般非线性系统的稳定性与初始条件的大小密切相关，其δ总是有限的，故通常只能在小范围内渐近稳 定。当δ与t0无关时，称平衡状态xe是大范围一致渐近稳定。4.不稳定不管把域S (δ)取得多么小，也不管把域S (ε)取得如何的大，只要在S (δ) x0，使得有x0出发的运动轨迹超出域以外，则称平衡状态xe是不稳定的。 Page 17 空中交通管理学院 马兰§6-1 李雅普诺夫稳定性定义x2?s(? )x0 x1初始状态x1?s(? )图6-3 二维空间不稳定的几何解释示意图线性系统的平衡状态不稳定，表征系统不稳定。非线性系统的平衡状态 不稳定，只说明存在局部发散的轨迹，至于是否趋于无穷远，要看S(ε)域外 是否存在其它平衡状态，若存在，如有极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义 下稳定的。 下面介绍李雅普诺夫理论中判断系统稳定性的方法。 Page 18 空中交通管理学院 马兰§6-2李雅普诺夫稳定性理论§6-2李雅普诺夫稳定性理论6.2.1二次型函数的定义及其表达式(1)二次型函数的定义 代数式中常见的―种多项式函数为 f ( x, y) ? ax2 ? 2bxy ? cy 2 定义 设R是n维实空间e1,e2,…,en是它的一组基， R ? x ，且x = x1e1 + x2e2 +.....+ xnen则变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式v(x1 ,x2 ,.....,xn )Page 19空中交通管理学院马兰§6-2李雅普诺夫稳定性理论v(x1 ,x2 ,.....,xn )2 = a11 x1 + a12 x1 x2 + ....+ a1n x1 xn 2 +a21 x2 x1 + a22 x2 + .....+ a2n x2 xn+.....2 +an1 xn x1 + an2 xn x2 + .....+ ann xn= ? aij xi x ji, j=1n即称为R内关于基 e1,e2,…,en的一个二次齐次式或称二次型。Page 20空中交通管理学院马兰§6-2李雅普诺夫稳定性理论(2)二次型的矩阵表达式v(x1 ,x2 ,.....,xn )2 = a11 x1 + a12 x1 x2 + ....+ a1n x1 xn 2 +a21 x2 x1 + a22 x2 + .....+ a2n x2 xn+..... +an1 xn x1 + an2 xn x2 + .....+ a x? a11 ?a ... xn ? ? 21 ? ... ? ? an1 a12 a22 ... an22 nn n即：v(x1 ,x2 ,.....,xn )= xT Ax= ? x1x2... a1n ? ? x1 ? ... a2n ? ? x2 ? ?? ? ... ... ? ? ... ? ?? ? ... ann ? ? xn ?= x T Ax Page 21 空中交通管理学院 马兰§6-2李雅普诺夫稳定性理论即： v(x,x2 ,.....,xn )= xT Ax 1? a11 ?a A = ? 21 ? ... ? ? an1 aij = a ji A = AT a12 a22 ... an2 ... a1n ? ... a2n ? ? ... ... ? ? ... ann ?式中Page 22空中交通管理学院马兰§6-2李雅普诺夫稳定性理论例题5-1v(x1 ,x2 )= 10x ? 4x2 ? 2x1 x22 1 2v(x1 ,x2 ) = 10 x12 ? x1 x2 ? x2 x1 ? 4 x2 2 ?10 1 ? ? x1 ? ? ? x1 ,x2 ? ? 1 4 ? ? x2 ? ? ?? ?（3）二次型的标准型 只含有平方项的二次型称为二次型的标准型．如2 2 2 a1 x1 +a2 x2 +.....+an xn它是二次型中最简单的一种形式。Page 23空中交通管理学院马兰§6-2李雅普诺夫稳定性理论根据线性代数理论，二次型具有以下性质； 1)二次型经线性变换后变成另一个二次型，但它们的矩阵都 是对称矩阵，且秩相同。 2)任意一个二次型都可以经过非奇异线性变换化成标准型。 标准型的矩阵是对角阵。 3)二次型的标准型不是唯一的，与所做的非奇异线性变换有 关。 4)二次型函数xTAx(设A是实对称阵)，必存在一个正交矩阵P, 通过 x = Px 变换使之化为 ?? ? ? ? ? ?? v(x) = x T Ax = x T P T APx = x T P -1 APx = x T Ax ??1 ? ?2 T ? ? =x ? ? ? ? ? ?x ? ... ? ? ?n ?其中?i (i ? 1, 2,..., n)空中交通管理学院 马兰为矩阵A的特征值，且均为实数。Page 24§6-2李雅普诺夫稳定性理论2．标量函数V(x)的定号性设x是欧氏状态空间中非零向量， V(x)是向量x的标量函数。(1)如果对所有在欧氏状态空间中的非零向量x，有 V(x)&0,且在x＝0处才有 V(x)=0,则在欧氏状态空间内称V(x)为正定 2 2 的，即 例如： v(x) ? x ? 2 xv( x ) ? 0, x ? 0 v( x ) ? 0, x ? 012V(x)为正定的。（2）如果标量函数V(x)除了在原点以及某些状态等于零， 在欧氏空间内其余状态处都是正的，则称V(x)为半正定的， 即v( x ) ? 0, x ? 0 v( x ) ? 0, x ? 0 Page 25v( x) ? ( x1 ? x2 )2V(x)为正半定的。空中交通管理学院 马兰§6-2李雅普诺夫稳定性理论（3）如果 -V(x) 是正定的，则V(x)称为负定的，即v( x ) ? 0, x ? 0 v( x ) ? 0, x ? 0例如： v( x) ? ?( x1 ? 2 x2 ) , V(x)为负定的。2 2（4）如果 -V(x) 是正半定的，则V(x)称为负半定的，即v( x ) ? 0, x ? 0 v( x ) ? 0, x ? 0例如： v( x) ? ?( x1 ? x2 )2, V(x)为负半定的。Page 26空中交通管理学院马兰§6-2李雅普诺夫稳定性理论（5）如果在欧氏空间内，V(x)即可正也可负，则V(x)称为不 定 的，即例如：v( x) ? x1x2 ? x2 2, V(x)为不定的。3. 二次型标量函数定号性判别准则（重要概念！）对于A为实对称矩阵的二次型函数 V(x)的定号性，可以用下列准 则来判定。 （1）正定 二次型函数 V(x)为正定的充要条件是，A阵的所有各 阶主子行列式均大于零。即?1 ? a11 ? 0, a11 a12 ?2 ? ? 0, a21 a22a11 ? a1n? n ? ? ? ? ? 0, an1 ? annPage 27 空中交通管理学院 马兰§6-2李雅普诺夫稳定性理论（2）负定 二次型函数V(x)为负定的充要条件是，A阵的所有各 阶主子行列式满足(?1)k ?k ? 0, k ? 1,2,..., n ?? 0, k为奇数 k k ? 1, 2,..., n 即 ( ?1) ? k ? ?? 0, k为偶数（3）正半定 二次型函数V(x)为正半定的充要条件是，A阵的所 有各阶主子行列式是非负的，即?k ? 0k ? 1,2,..., nPage 28 空中交通管理学院 马兰§6-2李雅普诺夫稳定性理论（3）负半定 二次型函数V(x)为负半定的充要条件是，A阵的所 有各阶主子行列式满足：(?1) ?k ? 0, ?? 0, k ( ?1) ?k ? ?? 0,kk ? 1,2,..., nk为奇数k为偶数k ? 1, 2,..., n实对称矩阵A的定号性 二次型 V(x)的定号性由A矩阵的主子式来判别．故定义A阵的 定号性与 V(x)一致．则A阵定号性的讨论可代表 V(x)定号性 的讨论。设二次型函数V(x) =xTAx，则定义如下：Page 29空中交通管理学院马兰§6-2李雅普诺夫稳定性理论当 V(x)是正定时，称A是正定的，记为 A&0; 当 V(x)是负定时，称A是负定的，记为 A&0; 当 V(x)是正半定时，称A是正半定的，记为 A≥0; 当 V(x)是负半定时，称A是负半定的，记为 A≤0; 例题4-2 已知v(x1 ,x2 )= 10x ? 4x2 ? 2x1 x22 1 2试判定 是否正定的。解v(x1 ,x2 ) = 10 x12 ? x1 x2 ? x2 x1 ? 4 x2 2 ?10 1 ? ? x1 ? ? ? x1 ,x2 ? ? 1 4 ? ? x2 ? ? ?? ?所以是V(x)正定的。?1 ? 10 ? 0,?2 ? 10 1 1 4 ? 0,马兰Page 30空中交通管理学院§6-2.2李雅普诺夫稳定性判别方法6.2.2李雅普诺夫稳定性判别方法一、李雅普诺夫第一法（间接法）? 利用状态方程解的特性判别系统稳定性；? 适用于线性定常、线性时变以及非线性函数可线性化的情况。? 线性定常系统的特征值判据： 对于线性定常系统， ? Ax , ? xx(0) ? x0 , t ? 0，有（1）系统的平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充分必 要条件是，的所有特征值 均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为的最小多项式的单根。（2）系统的惟一平衡状态是渐近稳定的充分必要条件是， 的所有特征值 均具有负实部。 Page 31 空中交通管理学院 马兰§6-2.2李雅普诺夫稳定性判别方法??1 0 0 0 ? ?0 ? 0 0 ? 2 ? P ?1 AP ? ? ? ? ? 0 0 ... 0 ? ? ? ? 0 0 0 ?n ??e?1t 0 ? ?2t At ?0 e ? (t ) ? e ? P ?0 0 ? ?0 00? ? 0 0 ? ?1 P ... 0 ? ?n t ? 0 e ? 0? x ? Ax的解为:x(t ) ? eAt x(0) ? ?(t )x(0)线性定常系统是渐近稳定的，意味着是一致渐近稳定且是大范 围内一致渐近稳定。Page 32空中交通管理学院马兰§6-2.2李雅普诺夫稳定性判别方法二、李雅普诺夫第二法（直接法）? 根据古典力学中的振动现象，若系统能量（含动能与位能）随时间推 移而衰减，系统迟早回到达平衡状态，但要找到实际系统的能量函数 表达式并非易事。 ? 李雅普诺夫提出，可虚构一个能量函数（后来被称为李雅普诺夫函 数），一般它与x0 ,x1,…, xn及 t 有关，记为V(x , t)。若不显含t，则记 为V(x) 。 ? 它是一个标量函数，考虑到能量函数总是大于零，故为正定函数。 ? 能量衰减特性用V(x , t)或V(x)表示。 ? 李雅普诺夫第二法利用V及V的符号特征，直接对平衡状态稳定性作 出判断，无需求出系统状态方程的解，故称直接法。 ? 用此方法解决了一些用其它稳定性判据难以解决的非线性系统的稳定 性问题，遗憾的是对一般非线性系统仍未形成构造李雅普诺夫函数的 通用方法。对于线性系统，通常用二次型函数xT Px作为李雅普诺夫 函数。 Page 33 空中交通管理学院 马兰§6-2.2李雅普诺夫稳定性判别方法1、标量函数符号性质的几个定义 （1）正定性 标量函数V(x) 在域 s 中对所有非零状态（x≠0）有 V(x) & 0 且 V(0) =0 ，则 称V(x)在域内正定。 如 V(x) = x12+x22是正定的。 （2）负定性 标量函数V(x)在域 s 中对所有非零状态（x≠0 ）有V(x) & 0 且 V(0) =0，则称 在域 s 内负定。如 V(x) = -(x12+x22) 是负定的。 （3）正半定性 V(0) =0 ，且标量函数V(x)在域 s 内某些非零状态处有V(x) = 0，而在其它非 零状态处有V(x) & 0，则称V(x)在域内 s 正半定。如V(x) = (x1+2x2) 2，当时有 V(x) = 0 ；当x1 ≠ -2x2时有V(x) = 0 ，故为正半定。 （4）负半定性 V(0) =0 ，且标量函数V(x)在域s内某些状态处有V(x) = 0 ，而在其它状态处 有V(x) & 0，则称在域内负半定。如V(x) = -(x1+2x2) 2是负半定的。 （5）不定性 标量函数V(x)在域s内可正可负，则称V(x)不定。如V(x) = x1x2是不定的。 Page 34 空中交通管理学院 马兰§6-2.2李雅普诺夫稳定性判别方法2、标量函数V(x)取二次型时的符号? ?x1 ? p11 ?p ? x n ?? 21 ? ? ? ? p n1 p12 p 22 ? ? ? p1n ? ? x1 ? p2n ? ? x2 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? p nn ? ? x n ?V ( x) ? x PxTx2pn2 ?式中P为对称矩阵，有Pij = Pji 。显然满足V(0) = 0 。当P阵的每一个元都为实 数时，称作实二次型。 实二次型V(x)是正定的充要条件是矩阵P的各顺序主子行列式均大于零，即 p11 ? p1n p11 p12 p11 ? 0, ? 0,..., ? ? ?0 p21 p22 pn1 ? pnn 则V(x)正定，且称为正定矩阵。 当矩阵P的各顺序主子行列式负、正相间时，即 Page 35 空中交通管理学院 马兰§6-2.2李雅普诺夫稳定性判别方法p11 ? 0, p11 p21 p12 p22 p11 ? ? 0, ..., ( ?1) n ? pn1 ? p1n ? ?0 pnn则V(x)负定，且称P为负定矩阵。 若矩阵P的各顺序主子行列式含有等于零的情况，则V(x)为正半定或 负半定。不属于以上所有情况的， V(x)为不定。Page 36空中交通管理学院马兰§6-2.2李雅普诺夫稳定性判别方法【例6.3.1】证明下列的二次型是正定的2 2 V ( x) ? 10x12 ? 4x2 ? x3 ? 2x1 x2 ? 2x2 x3 ? 4x1 x3证明：上式用矩阵形式表示为V ( x) ? xT Px ? ?x1x2 ? 10 1 ? 2? ? x1 ? x3 ?? 1 4 ? 1? ? x2 ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 1 ? ? x3 ? ? ?? ?由于 p11 ? 10 ? 0p11 p 21p11 p 21 p31p12 p 22p12 p 22 p32?10 1 1p134? 39 ? 010 1 ?2p 23 ? 1 4 ? 1 ? 17 ? 0 p33 ? 2 ?1 1Page 37 空中交通管理学院 马兰所以， V (x) 是正定的。§6-2.2李雅普诺夫稳定性判别方法 3、李雅普诺夫第二法定理4-1 设系统的状态方程为? x ? f ( x, t ) f (0, t ) ? 0 如果存在一个标量函数 V ( x, t ) ，它有连续的一阶偏导数（对时间的导数） ，而且满足：V （1） ( x, t )是正定的;（2）? ( x, t ) 是负定的; V 则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 又当x ? ? 时，有 v (x ) ? ? ，则在原点处的平衡状态Page 38 空中交通管理学院 马兰是在大范围内一致渐近稳定的。定理的几点解释： ① 定理的物理意义：能量角 度 ② 定理的几何意义：图5-8。 ③ 该定理给出了渐近稳定的 充分条件，即如果能找到 满足定理条件的v (x ,t ) 则系统一定是一致渐 近稳定的。但如果找 不到这样的 v (x ,t ) 也并不意味着系统是 不稳定的。 图5-8 能量等值线与典型的轨线④ 李雅普诺夫函数的存在形式并不是唯一的，其中最简单的 形式是二次型函数 v (x ) ? x T Ax ⑤ 此定理的适用范围非常广泛，对于线性系统、非线性系统、 时变系统及定常系统都具有同等作用，是一个最基本的稳 定性判据定理。§6-2.2李雅普诺夫稳定性判别方法【例6.3.2】设系统的状态方程是2 ? x1 ? x2 ? x1 ( x12 ? x2 ) 2 ? x2 ? ? x1 ? x2 ( x12 ? x2 )试分析系统在原点处的平衡状态是否为渐近稳定的。? ? 解：令 x1 ? 0及x2 ? 0 ，解得x1 ? 0, x2 ? 0故原点为平衡状态，且只有一个平衡状态。设2 2 ? ? ? V ( x) ? x12 ? x2 ，则 V ( x) ? 2 x1 x1 ? 2 x2 x2 ? ?2( x12 ? x2 ) 2? ? 显然，对于 x ? 0 存在 V ( x) ? 0 以及 V (0) ? 0? 故 V (x)是负定的。又由于 V (x) 是正定的， 所以该系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。因为只有一 个平衡状态，故该系统是渐进稳定的。Page 41空中交通管理学院马兰（2）渐近稳定判定定理二定理4―2 设系统的状态方程为 其平衡状态为 f (0, t ) ? 0 而且满足：? x ? f ( x, t )V ( x, t )如果存在一个具有连续的一阶偏导数的标量函数V （1） ( x, t )是正定的;（2）? ( x, t ) 是负半定的; V ? (3) V ( x, t ) 在x不等于0时不恒等于零，则系统在原点处的 平衡状态是渐近稳定的。 又当x ? ? 时，有 v (x ) ? ? ，则在原点处的平衡状态是在大范围内一致渐近稳定的。例题4-4P162§6-2.2李雅普诺夫稳定性判别方法4.不稳定判定定理一P162定理4-4 设系统的状态方程为? x ? f ( x, t ) 其平衡状态为 f (0, t ) ? 0如果存在一个具有连续的一阶偏导数的标量函数 并且满足条件： ① ②v ( x, t )v ( x, t )?是正定的，是正定的，v ( x, t )则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。Page 44空中交通管理学院马兰§6-2.2李雅普诺夫稳定性判别方法例题4-6 设系统的状态方程为试判断系统平衡状态的稳定性。 解 显然，原点为系统的平衡状态。选二次型正定函数为李氏 函数，即? ? x1 = x1+ x2 ? ? ? x2 = - x1+ x2v(x)= x12 ? x22 ? 0?1 ? 2 x2 x2 ? 2 x12 ? 2 x2 2 ? 0 ? v (x )=2 x1 x故系统是不稳定的。?Page 45空中交通管理学院马兰§6-2.2李雅普诺夫稳定性判别方法4.不稳定判定定理二P162定理4-5 设系统的状态方程为? x ? f ( x, t ) 其平衡状态为 f (0, t ) ? 0如果存在一个具有连续的一阶偏导数的标量函数 并且满足条件： ① ②v ( x, t )v ( x, t )?是正定的，是正半定的，v ( x, t )? ③ V ( x, t ) 在x不等于0时不恒等于零，则系统在原点处的 平衡状态是不稳定的。 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。 Page 46 空中交通管理学院 马兰例题4-7 设系统的状态方程为? ? x1 ? x2 ? ? ? x2 ? ? x1 ? x2试判断系统平衡状态的稳定性。 解 显然，原点为系统的平衡状态。选二次型正定函数为李氏 函数，即 2 2v( x) ? x1 ? x2 ? 0? ?v( x ) ? 2 x1 x1 ? 2 x2 x 2 ? 2 x2 2 ? 0 ? ? x1 ? ??? 由于当 ? ? ? ? ? 时， v ( x, t ) ? 0 而 ? x2 ? ? 0 ? x 2 ? ? x1 ? x2 ? 2 x1 ? * ? 0??所以系统是不稳定的。§6-2.2李雅普诺夫稳定性判别方法综上所述， 李雅普诺夫第二法分析系统的稳定性， 关键是如何构造一个合适的李氏函数， 而李氏第二法本身并没有提供构造李 氏函数的一般方法，所以，尽管李雅 普诺大第二法在原理上是简单的，但 实际应用并不是一件易事。尤其对复 杂的系统更是如此。 Page 48 空中交通管理学院 马兰§6-3 李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用1.线性定常连续系统 p165。(1)渐近稳定的判别方法 定理4-8 线性定常连续系统? x = Ax式中 x――n维状态向量； A――n×n常数矩阵，且是非奇异的。 在平衡状态xe = 0处，渐近稳定的充要条件是： 对任给的一个正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P， 且满足矩阵方程 TA P ? PA ? ?Qv(x)= xT Px 而标量函数李雅普诺夫函数。是这个系统的一个二次型形式的Page 49空中交通管理学院马兰§6-3 李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用证明：仅证明充分性 系统在 xe =0 处是一个平衡点。设P是存在的，且P是正定的， 即P&0，故选v(x)= x Px? ?TTv(x) ? 0（正定）沿 x 轨线对时间的全导数为? d T v(x) = (xPx) = x Px+ x P x dt T T T T T = (Ax) Px+ x P(Ax) = x A Px+ x PAx= x (A P+ PA) x = x (-Q) xT TT已知 Q&0, 故 CQ&0，即是负定的。因此，系统在原点处是渐近稳定的。Page 50 空中交通管理学院 马兰§6-3 李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用例题4-8设系统的状态方程为：? ?x ? x ? 1?= ?0 1?? 1? ? ? ? ? -1 -1? ? x2 ? ?? ? x2 ? ? ?试：①确定其平衡点坐标。 ②采用李雅普诺夫第二法，判别该系统的稳定性。 ? ③写出李雅普诺夫函数 V(x)及其导数 v(x) 解：①确定其平衡点坐标。明显，其平衡点坐标为（0，0）。 ②判别该系统的稳定性。 设李氏函数为v(x) = x Px ? v(x) = x (-Q)xTT取 Q=I 则P矩阵由下式确定：A P + PA = -IPage 51 空中交通管理学院 马兰T§6-3 李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用?P11 P ?? ?P21 ??0 ?1? ?P11 ? ?? ?1 ?1? ?P12 ?P12 ?P12 ?令?P11 ??? P22 ? ?P12 ? ?P12 ?? ;???P12 ? P21 P22 ? ?为对称矩阵?P11 ??? P22 ? ?P12 ? ?P12 ? ? 01 ? ? ?1 0 ? ?? ??? ? P22 ? ? ?1 ?1? ? 0 ?1? ?? ?P12 ? ?P11 ? P12 ?? ? ?P12 ??? P12 ? P22 ? ? ?P22 ? ? ?P22? ?1 0 ? ??? ? P12 ? P22 ? ? 0 ?1? ?P11 ? P12 ?将矩阵方程联立可得? 3 P11 ? ? 2 ??2P12 ? ?1 ? ? 1 ? ?P11 ? P12 ? P22 ? 0;??????P12 ? P21 ? ???? 2 ? ? ?2P12 ? 2P22 ? ?1 ?P22 ? 1 ? ? 空中交通管理学院 Page 52马兰§6-3 李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用检验P的正定性3 1 P11 P12 3 2 2 ?0 ?1 ? P11 ? ? 0;?????2 ? ? 2 P21 P22 1 1 2 可知，P&0。系统在原定处的平衡状态是渐近稳定的。③写出李雅普诺夫函数V(x)及其导数 v(x)?1 2 2 v(x) = x Px = (3x1 + 2x1 x2 + 2x2 ) & 0 2 2 2 ? v(x) = x T (-I)x = -(x1 + x2 ) & 0TPage 53空中交通管理学院马兰§6-3 李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用例题4-9P167：Page 54空中交通管理学院马兰§6-3 李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用补充例题或（作业题）： 一、设系统的状态方程为：? 1 ? ? x1 ? ? x1 ? ? 0 ? x ? ? ? ?1 ? k ? ? x ? ?? 2? ? ?2 ? ?试：①确定其平衡点坐标。 ②采用李雅普诺夫第二法，确定使系统的稳定的K的范围。 ③写出李雅普诺夫函数 及其导数 。v(x)? v(x)Page 55空中交通管理学院马兰§6-3 李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用二、设系统的状态方程为：? ?x 1 ? ? ?1 1 ? ?x 1 ? ? ??? ?? ? ?x 2 ? ? 2 ?3? ?x 2 ? ?? ? ? ?试：①确定其平衡点坐标。 ②采用李雅普诺夫第二法，判别该系统的稳定性。 ③写出李雅普诺夫函数 v (x ) 及其导数 v?(x 。 )Page 56空中交通管理学院马兰§6-3 李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用三、设系统的状态方程为：? ? x1 ? ? 0 1 ? ? x1 ? ? x ? = ? -1 -k ? ? x ? ?? 2? ? ?2 ? ?试：①确定其平衡点坐标。 ②采用李雅普诺夫第二法，确定使系统的稳定的K的范围。 ③写出李雅普诺夫函数 v(x) 及其导数 v(x) 。 ?Page 57空中交通管理学院马兰
(直接法) 线性定常系统的李雅普诺夫稳定分析及系统参数优化 4-1 稳定性一般概念对于一个实际的控制系统, 其工作的稳定性无疑是一个极其重要的问题, 因为一个不...控制系统校正 2、 3、 4、 5、第六章 1、 系统为什么要进行校正,校正分哪...二、李亚普诺夫稳定性分析 1、 李亚普诺夫第二法稳定性定理; 2、 线性系统的...第六章 非线性微分方程和稳定性 [教学目标] 1. ...§2 李雅普诺夫稳定性 1、稳定性定义 李雅普诺夫...2014年建筑幕墙建筑装饰行业分析报告104份文档 2014...第5 章 控制系统的李雅谱诺夫稳定性分析要点: 李雅谱诺夫稳定性定义 李雅谱诺夫间接法 李雅谱诺夫直接法 难点: 李雅谱诺夫直接法 一 李雅普诺夫稳定性定义定...描述函数法不 受系统阶次的限制, 但它是一种近似方法, 难以精确分析复杂的非线性系统。 非线性系统的稳定性分析理论主要有绝对稳定性理论、 李亚普诺夫稳定性理 ...第三章 稳定性分析_交通运输_工程科技_专业资料。现代工程控制 第三章 控制系统的李亚普诺夫稳定性主要内容: 1、 李亚普诺夫稳定性概念 2、 稳定性定理 3、 ...模型参考自适应控制系统按调整参数的方法不同可分为各种类型, 如参数最优化设计方 法,基于李亚普诺夫稳定性分析设计方法和基于超稳定性的设计方法等。 参数最优化...非线性微分方程和稳定性_理学_高等教育_教育专区。第六章 非线性微分方程和稳定...5 §2 李雅普诺夫稳定性 1、稳定性定义 李雅普诺夫稳定性概念 如果对于任意...第六章李雅普诺夫稳定性... 12页 2下载券 第三章李雅普诺夫稳定性... 41...控制系统的李雅普诺夫稳定性分析内容提要稳定性是系统的又一重要特性。所谓系统的...李雅 普诺夫第二法是一种普遍适用于线性系统、 非线性系统及时变系统稳定性分析的 方法。李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。 李雅普诺夫第...
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