导读：这就是对流－扩散PDE方程的弱形式，这个弱形式不能像前面一阶变分那样进行重排，解函数u和试函数v必须在弱形式中的形式保持一致才能和能量泛函的形式保持一致，没有什么分部积分可以改变这种形式了，实际上弱形式的解和PDE形式的解是保持一致的，对流项非对称的行为通过数值离散扩展到有限元刚度矩阵上：和能量最小化保持一致的弱形，在COMSOLMultiphysics中应用弱形式用户界面的时候，你所键入的是
加上边界条件，得到：
这就是对流－扩散PDE方程的弱形式。
这个弱形式不能像前面一阶变分那样进行重排。因为他的对流项，
使得整个系数无法重排。具体说来，解函数u和试函数v必须在弱形式中的形式保持一致才能和能量泛函的形式保持一致。但是，在对流项中，u前面带有梯度乘子，而试函数前面却没有任何微分算子的。没有什么分部积分可以改变这种形式了。当然，我们也可以看到，实际上弱形式的解和PDE形式的解是保持一致的。
对流项非对称的行为通过数值离散扩展到有限元刚度矩阵上：和能量最小化保持一致的弱形式可以推导出一个对称的刚度矩阵，但是对流－扩散方程推导出来的却是一个非对称的矩阵。
在COMSOL Multiphysics中应用弱形式用户界面的时候，可以输入任意的表达式，包括未知函数u和试函数v的零阶和一阶导数。你所键入的是弱形式积分中的微分项。 COMSOL Multiphysics的弱形式用法
本章介绍如何在COMSOL Multiphysics中输入弱形式表达式。
对流－扩散PDE问题
假设我们要在COMSOL Multiphysics的用户界面下输入表达式：
约定：COMSOL Multiphysics将所有的项要放在等号右边。可得到：
区域积分和边界积分可分别在Subdomain Setting 和Boundary Setting对话框下设置。 另外，假设我们已经将系数定义为常数或者表达式：
? 系数c，P，a和f分别由c，P，a和f表示。
? 矢量?的分量由bx，by和bz表示。
在COMSOL Multiphysics中未知函数（因变量）u和试函数v标记如下：
? 未知函数u的标记为u
? ?u的分量标记为ux，uy和uz。
? 试函数v的标记为u_test。
? ?v的分量标记为ux_test，uy_test，uz_test
? 只需要输入被积函数，它将被COMSOL Multiphysics自动积分处理。每一个子域的弱
形式可以有不同的表达式，COMSOL Multiphysics会将各个子域的弱形式整合起来。 输入对流－扩散问题的弱形式：
选择PDE mode下的Weak Form, Subdomain。
在Physics-&Subdomain Setting，在Weak Term编辑框中输入：
边界设定，Physics-&Boundary Setting，Weak Term编辑框中输入：
COMSOL Multiphysics将边界设置和子域设置分开，因为子域和边界上可以设置不同的数值积分算法。
如果想要扩展内建的经典PDE模板或者物理应用模式（比如传热），也可以在Physics-&Equation System中对应的对话框中输入相同的表达式。
弱形式方程会自动添加在控制方程中。（通过设置所有的PDE或材料参数为0，选择齐次Neumann边界（流量=0），可以去掉应用模式自动创建的弱形式。）
Dirichlet或者固定边界，在Boundary setting对话框中的constr编辑框输入弱形式，COMSOL Multiphysics会添加相应的Lagrange乘子（参见用户手册中的边界条件章节）。 结构力学PDE问题
静态结构力学的基本方程是Navier方程：
边界条件：
对流－扩散方程中的标量项现在全部成了矢量和张量，Navier方程的弱形式为：
约定标记如下：
? 矢量u的分量：u，v和w。
? 位移矢量梯度?u的分量：ux，uy，uz，vx，vy，vz，wx，wy，wz。
? 试位移矢量v的分量：u_test，v_test，w_test。
? 试位移矢量梯度?v的分量：ux_test，uy_test，uz_test，vx_test，vy_test，vz_test，wx_test，
wy_test，wz_test。
? 弹性张量的分量：c11，c12，c13，c14，c15，c16，c22，c23，c24，c25，c26，c33，
c34，c35，c36，c44，c45，c46，c55，c56，c66
? 体力矢量F的分量：Fx，Fy，Fz。
? 边界面力矢量P的分量：Px，Py，Pz。
在子域内，弱形式输入为：
这些表达式定义了应变分量（ex，ey，...）和应力分量（sx，sy，...）。
后面带有_test后缀的，COMSOL Multiphysics都会和上式一样建立相应的试函数和试函数梯度的表达式。比如，exy_test等效于0.5*(uy_test+vx_test)。另一种方式是test()，其中test(xy)表示0.5*(test(uy)+test(vx))，也就相当于0.5*(uy_test+vx_test)。
对于其他一些张量表述如有疑问，可以参考COMSOL Multiphysics 中的Anisotropic Structural Analysis 的Matrix Notation 。
如果想更直观的表述弱形式，我们可以用原始定义代替变量，最后变成：
-ux_test*(c11*ux+c12*vy+c13*wz+c14*(uy+vx)+c15*(vz+wy)+c16*(uz+wx)-vy_test*(c12*ux+...
对于各向同性体，其实cij就是杨式模量E和泊松比?的简单函数。详情参考COMSOL Multiphysics文档。
在边界上，对于载荷类边界条件，弱形式可以在weak编辑框中写成标量的形式： Px*u_test+Py*v_test+Pz*w_test
如果采用固定边界，我们必须在其中一个constr编辑框中输入相应的表达式。
对于多物理场仿真，约束和载荷在weak和constr中的形式非常重要，尤其是采用弱约
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COMSOL求解的时候7248错误：发现未定义的值。。求帮助
做了两个模型，都有7248错误：发现未定义的值。详细根本看不明白。。我贴其中一个出来求大神帮忙看下
Stack trace:
& & & & at solvermodel.cpp, row 1837, (Undefined value found in the equation residual vector.
There are 34084 degrees of freedom giving NaN/Inf in the vector for the variable T
at coordinates: (-0..0145292), (-0..0244712), (-0..0223791), (-0..0234598), (-0..0227956), ...
& & & & at com.femlab.solver.FlSolver.femStatic(Native Method)
& & & & at com.femlab.solver.FemStatic.run(Unknown Source)
& & & & at com.femlab.server.FlRunner.run(Unknown Source)
& & & & at com.femlab.util.i.run(Unknown Source)
& & & & at com.femlab.util.aa.run(Unknown Source)
其他的模型用的参数基本相同，但是能出结果，就这两个不能，而这些模型是差不多的。。就是模型样子有些微差别而已。。求大神帮助。。
网格问题是指有尖锐部位容易出现奇异点之类的么？只要细化网格就可以了是吗？
您好！我在仿真的时候也遇到此问题，类似的模型就能求解，有的就不能。其他条件都一样，就是找不到原因，着急啊。你要是解决了告诉我一下，谢谢
请问从哪里可以下到3.5a版本的啊？
我也出现 同样的问题，细化网格、改变时间不长都采用了，还是没解决，麻烦你解决了的话教教我呗？
谢谢 用处很大 对于我们这些新手
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随时随地聊科研非对称矩阵的病态特征向量的约化--《计算数学》1987年04期
非对称矩阵的病态特征向量的约化
【摘要】：正 1.引言 关于密集特征值与其病态特征向量之间的内在联系,Varah(1970),Wilkinson()和Kahan(1970)曾经研究过.Varah(1970)最先指出:若矩阵A具有二阶以上的Jordan块,且当A加上一个扰动矩阵(?=A+E)则相似于对角阵时,其相似变换矩阵是病态的(即变换矩阵各列几乎线性相关).Varah对于病态的程度,给予了数
【作者单位】：
【关键词】：
【正文快照】：
1.引言 关于密集特征值与其病态特征向量之间的内在联系,varah(一970),wi一kins。n(一,72及1984)和Kahan(1970)曾经研究过。Varah(1970)最先指出:若矩阵注具有二阶以上的Jordan块,且当.A加上一个扰动矩阵(万一A+E)则相似于对角阵时,其相似变换矩阵是病态的(即变换矩阵各列几
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