关于勾股定理的六种证明方法　　　　关于勾股定理，据说世界上有500多种证明方法，我看到过这样几种，毕达哥拉斯对等腰直角三角形中这一特例的面积运用，很高兴，今天我找到了对一般直角三角形的这一方法的证明，通过运用相似三角形，可通过对斜边引高将以斜边为边长的正方形面积划分成两部分，每一部分都对应着一直角边所作出的正方形的面积，即：a^2 或 b^2，也即射影定理的几何学意义。公式表现为：c^2 = a^2 +b^2（见新娘图）　　 　　我看到过美国第二十任总统的一种证明方法，他是运用构造出来的梯形面积计算而得出这一定理的，这个证明方法被认为是非常简洁的。公式表现为：1/2 *(a+b) (a+b) = c^2/2 + 2 (ab/2)　　 　　然后，我在这个证明方法的基础上将这样的两个梯形拼接为正方形，于是，同样可以非常简单地利用内外两个正方形面积的差为中间4个小直角三角形的面积之和，得出此定理。公式表现为：c^2 + 4 (ab/2) = (a+b)^2　　 　　前一段时间，看到过我们中国人证明勾股定理的图形，也就是那个在中国举办的世界数学大会的会徽图案。也是大正方形减小正方形的面积，等于中间那4个小直角三角形面积之和。这样的图形构造有一种镶嵌的美，非常直观。公式表现为：(b-a)^2 + 4(ab/2) = c^2　　 　　今天，我另外构造了一个新的图案，将4个直角三角形构造为风车形，然后将风车的尖角的顶点都连起来，也得到一个大正方形，和里边的小正方形，中间的4个大直角三角形也构成了面积关系，解之，可在大直角三角形上得出此一定理。公式表现为：　a^2 + 4[b (a+b)/2] = (a+b)^2 + b^2 = d^2 (d为大正方形边长，也正好是大直角三角形的斜边，而（a+b）、b 则是直角边，勾股定理在此处得证)　　 　　还有，我通过在直角三角形的一条直角边为半径作圆，延长斜边，利用切割线定理，也可得出此定理，但不知道切割线定理是否是由勾股定理为基础而推理出来的，倘是的话，那就是循环论证了。公式表现为：(c-a) (c+a) = b^2　(b为切线)　　　　这六种方法，不知有没有不属于那500多种之内的，写个小文，大家伙乐乐。　　　　 20:49　　　　　　附：新娘图
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　　毕氏定理在数学史上意义极其重大，因为毕达哥拉斯三角形中存在平方数的整数解（也就是有理数解）而使得数学家将目光投向立方数，这最终引出了费马大定理。　　　　同样，更早期，也因为这个三角形得出了根号2，导致无理数的出现，而无理数比有理数多得多的稠密性，不可列性，使数学的内部一直保持着无穷的引力，有没有人扎进去啊？
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勾股定理的介绍：
中文名：勾股定理
外文名：Pythagoras theorem&
别称：商高、毕达哥拉斯、百牛定理&
表达式：a&sup2;+b&sup2;=c&sup2;&
提出者：毕达哥拉斯 &赵爽 &商高&
提出时间：公元前551年&
应用学科：几何学&
适用领域范围：数学，几何学&
中国记载：《周髀算经》《九章算术》&
外国记载著作：《几何原本》&
限制条件：直角三角形
勾股定理是一个基本的几何定理，直角三角形两直角边（即&勾&，&股&）边长平方和等于斜边（即&弦&）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a&sup2;+b&sup2;=c&sup2; 。勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股数组成a&sup2;+b&sup2;=c&sup2;的正整数组（a,b,c）。（3,4,5）就是勾股数。
勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。&勾三，股四，弦五&是勾股定理的一个最著名的例子。当整数a,b,c满足a&sup2;+b&sup2;=c&sup2;这个条件时，（a,b,c）叫做勾股数组。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a&sup2;+b&sup2;=c&sup2;。&常见勾股数有（3,4,5）（5,12,13）（6,8,10）。
远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应用过勾股定理。在中国，商朝时期的商高提出了&勾三股四玄五&的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
勾股定理的公式：
在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是&和&，斜边长度是&&，那么可以用数学语言表达：
勾股定理是余弦定理中的一个特例。
勾股定理的证明方法：
加菲尔德证法
加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为&总统证法&。
在直角梯形ABDE中，&AEC=&CDB=90&，△AEC≌△CDB，&，&，
&总统证法&示意图
加菲尔德证法变式
该证明为加菲尔德证法的变式。
如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证 法。相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。
大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积，即:
勾股定理的应用方法：
小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在△ABC中，若&C=90&，BC=a，AC=b，AB=c，如下图，根据勾股定理，则a2+b2=c2．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．(下图备用)
答案: 解：①当三角形是锐角三角形时，
证明：作AD&BC垂足是D，设CD的长为x，
根据勾股定理得：b2-x2=AD2=c2-（a-x）2
整理得：a2+b2=c2+2ax
&there4;a2+b2＞c2
②当三角形为钝角三角形时
证明：过B点作AC的垂线交AC于D点，设CD的长为y
在直角三角形ABD中，AD2=c2-（a+y）2
在直角三角形ADC中，AD2=b2-y2，
&there4;b2-y2=c2-（a+y）2
整理得：a2+b2=c2-2ay
∵2ay＞0，&there4;a2+b2＜c2．
所以：①在锐角三角形中，a2+b2＞c2．
②在钝角三角形中，a2+b2＜c2． &
解析: 根据题意要分锐角三角形、钝角三角形分别证明，作出它们的高，根据高是两个直角三角形的一个公用直角边，利用勾股定理作出证明．
勾股定理的补充资料：
勾股定理的简史：
公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出&勾三、股四、弦五&。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：&&故折矩，勾广三，股修四，经隅五。&意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成&勾三股四弦五&，根据该典故称勾股定理为商高定理。
公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中&勾股各自乘，并而开方除之，即弦&，赵爽创制了一幅&勾股圆方图&，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。
在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。
远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为&普林顿322&的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。
公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。
公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个证明。
日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。
1940年《毕达哥拉斯命题》出版，收集了367种不同的证法。
勾股定理的意义：
1、勾股定理的证明是论证几何的发端；
2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理；&
3、勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；
4、勾股定理是历史上第&个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理；
5、勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值。这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为&几何学的基石&，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。日，尼加拉瓜发行了一套题为&改变世界面貌的十个数学公式&邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首。
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勾股定理16种证明方法&
试题发布：
目标学科：数学
试题版本：通用
更新时间：13-01-16 16:08
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勾股定理16种证明方法
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