DOI:10.ki.tjyj；理论新探；对主成分分析法运用中十个问题的解析；林海明；（广东商学院经济贸易与统计学院，广州５１０３２０；摘要：主成分分析的应用十分广泛，但由于有关文献没；价步骤，以至应用主成分分析法进行综合评价时出现一；关键词：主成分分析；综合评价；步骤；问题；解析中；文献标识码：Ａ；文章编号：１００２－６４８７（２００７）
DOI:10.ki.tjyjc.
对主成分分析法运用中十个问题的解析
（广东商学院经济贸易与统计学院，广州５１０３２０）
摘要：主成分分析的应用十分广泛，但由于有关文献没有完整、系统地阐述主成分分析的综合评
价步骤，以至应用主成分分析法进行综合评价时出现一些问题和困难。据归纳，有１０个问题经常出现。本文对这些进行了逐一解析，提出了主成分分析法使用中的建议与综合评价步骤，并以实例说明它的有效性。
关键词：主成分分析；综合评价；步骤；问题；解析中图分类号：Ｏ２１２
文献标识码：Ａ
文章编号：１００２－６４８７（２００７）０８－００１６－０３
问题①解析：主成分分析法是一种综合评价方法，是通
主成分分析法在综合评价中出现的一些问过样品的相对位置，比较找出样品的优势、不足、差距状况及其原因，如果指标体系方向不是正向化的，便得不出有效结适度指论。因此，分析中必须对指标体系中的强度逆向指标、
在社会经济、管理、自然科学等众多领域的多指标体系生态环境可持续型指标体系、和中，如节约型社会指标体系、
谐社会指标体系、投资环境指标体系等，主成分分析法常被应用于综合评价与监控。
主成分分析法的理论与计算是较成熟的，但在解决实际问题中，主成分分析法的应用并没有达到较成熟状态。据归纳，一些使用者在应用主成分分析法进行综合评价时，出现以下１０个问题不明确：
标进行正向化。
强度逆向指标ｘｊ正向化公式［３］：
ｘｉｊ＞０
１／（ｍａｘ｜ｘｉｊ｜＋ｘｊ＋１）ｘｉｊ中有０或有负数
适度指标ｘｊ正向化公式［３］：１／（｜ｘｊ－Ｅ｜＋１），Ｅ为理想值。这里ｘｉｊ为第ｉ个样品第ｊ个指标的观测值。
标准化随机变设Ｘ＝（ｘ１，…，ｘＰ）Ｔ（Ｔ为转置符号）为正向化、
量向量（ｐ≥２），Ｒ为相关系数矩阵，秩（Ｒ）＝ｒ（Ｒ的非零特征根个数），Ｒ的特征值为λ…、λλ０，λ１、２、ｒ、１≥λ２≥…≥λｒ＞０，前ｍ个单位正交特征向量矩阵Ａｍ＝（α１，．．．，αｍ）＝（αｉｊ）ｐ×ｍ，主成分向量
①原始数据没有正向化，有何影响？如何正向化？②原始变量表示主成分的系数平方和不是１对吗？
③主成分分析法的主成分正交旋转后会怎样？④主成分分析法的主成分有必要回归计算吗？⑤主成分分析法与正交因子分析法能混合使用吗？⑥何时使用主成分分析法？
⑦主成分分析法有时会丢失一些原始变量的原因是什么？⑧主成分如何命名，并能保持原始变量与多个主成分的
内在关系？
Ｆｍ＝（ｆ１，…，ｆｍ）Ｔ。
性质［１］
变量Ｘ与主成分ｆｉ的相关系数ｂＩ＝#ｉ＝αｉ，即
变量Ｘ与主成分Ｆｍ的相关系数阵（初始因子载荷阵）：Ｂ０＝
（$１α１，．．．，$ｍαｍ）＝（ｂ１，．．．，ｂｍ）。
主成分解（Ｈｏｔｅｌｌｉｎｇ，１９３３）：ｆｉ＝α，ｉ，ｉ＝１，…，ｍ。ｉＸＶａｒｆｉ＝λ问题②解析：主成分ｆｉ中变量ｘ的系数向量α是（Ｒ的ｉ
特征值λｉ的相应）单位正交特征向量，即主成分中变量Ｘ的系数平方和全部是１，αｊ＝０，ｉ≠ｊ，如果不符合这个条件就是ｉα错的，同时有：
⑨前ｍ个主成分仍然是多因素，仅用综合主成分进行综
合分析客观吗？
⑩综合评价结果，如何能深入到决策相关性程度？
有关文献并没有清楚地阐述上述问题，以至应用主成分分析法进行综合评价时，不易把握。本文除了逐一解析上述问题外，还给出了主成分分析法使用中的建议与综合评价步骤，并以实例说明它的有效性。
ｆｉ＝（ｂｉ／$ｉ）＇Ｘ，ｉ＝１，…，ｍ。
问题③解析：主成分解的公式对主成分是无旋转的，即主成分分析法中对主成分没有旋转。如果对主成分进行正交旋转，原始变量的线性组合会发生改变，该线性组合不能达到方差的最大化，这已不是主成分分析的结果了。
问题④解析：主成分解的公式是直接的表达式，主成分
２主成分分析法综合评价中１０个问题的
基金项目：广州市哲学社会科学规划资助项目（０６ＹＺ１４０）；广东商学院经济贸易与统计学院２００６年资助课题
统计与决策２００７年８月（理论版）
分析法中的主成分解是完全没有必要进行回归计算的。
问题⑤解析：主成分ｆｉ与正交因子ｚｉ有，Ｖａｒｆｉ＝λｉ，Ｖａｒｚｉ＝
分进行分析，便得出了可靠的决策相关性分析，达到了数据分析的目的。
将主成分对应替换为相应原始变量进行数据
可靠的决策相关性分析。分析，得出的就是客观、
１，主成分分析法中没有旋转，即主成分ｆｉ与正交因子ｚｉ的取
两种方法应用值范围、旋转方向不同，故样品计量值不相等、条件不相同，混淆在一起是样品计量值、旋转方向交替错误
（具体异同见文献［４］），故不论何条件，有：
结论２用。
问题⑥解析：主成分分析法的优点是，对原始变量具有综合性的降维能力；如果Ｂ０中每行的系数绝对值往０或１靠近得较多（与旋转后因子载荷阵Ｂ０Ｃ［１］比较），即主成分命名、解释原始变量清晰，同时主成分Ｆｍ解释原始变量Ｘ的信息误差（∑ｉ＝ｍ＋１λｉ）达到最小，使用主成分分析法最好。
当原始变量之间有相关性，Ｂ０中每行的系数绝
对值往０或１靠近得较多（与旋转后因子载荷阵Ｂ０Ｃ比较），则使用主成分分析法。
问题⑦解析：ｍ按某个累积贡献率确定，当λ第ｍ＋１ｍ＞１、个单位特征向量αｍ＋１的第ｔ个元素ａｔｍ＋１≥０．９时，则Ｆｍ中不能解释原始变量ｘｔ，这是主成分分析法有时会丢失一些原始变量解释的主要原因。因为初始因子载荷阵Ｂ０是变量Ｘ与主成分Ｆｍ的相关系数阵，如果Ｂ０每行中至少有一个系数绝对值足够大（≥０．５），则主成分Ｆｍ不会丢失原始变量的解释，故有：
如果Ｂ０每行中至少有一个系数绝对值足够大
３主成分分析法综合评价步骤
主成分分析法与正交因子分析法不能混淆使
①指标的正向化（单独计算）；
②指标数据标准化（ＳＡＳ软件自动执行）；
③指标之间的相关性判定：用ＳＡＳ软件的Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｓ
（相关系数矩阵Ｒ）判定，若变量间有相关性，主成分分析继
续；否则，直接进行逐个指标分析，用∑ｉ＝１进行综合分析（ｘｉ是正向化、标准化的）；
单位正交特征向量矩④求相关系数矩阵Ｒ的特征值λｉ、阵αｉ，变量Ｘ与主成分Ｆｍ的相关系数阵（初始因子载荷阵，
ＳＡＳ软件因子分析过程命令中的ＦａｃｔｏｒＰａｔｔｅｒｎ）；
⑤与旋转后因子载荷阵Ｂ０Ｃ（ＳＡＳ软件因子分析过程命
令中的ＲｏｔａｔｅｄＦａｃｔｏｒＰａｔｔｅｒｎ）比较，若Ｂ。中每行的系数绝对值往０、１靠近较多，则用主成分分析法（结论３）；
⑥确定主成分个数ｍ：以Ｂ０每行中至少有一个系数绝
对值足够大（≥０．５）确定（结论４）；
⑦主成分ｆｉ的命名：将Ｂ０的第ｉ列ｂｉ绝对值大（≥０．５）的
对应变量归为ｆｉ一类，由这些变量对主成分ｆｉ进行命名（结论５）；
（≥０．５），ｍ便是主成分的确定个数，此时主成分Ｆｍ不会丢失
原始变量，能达到最大限度降维的目的。
问题⑧解析：Ｂ０的第ｉ列ｂｉ是原始变量Ｘ与主成分ｆｉ的相关系数，绝对值大（≥０．５）的对应变量与ｆｉ相关性高，而以ｆｉ中Ｘ的系数向量αｉ对主成分ｆｉ进行命名不能判断出原始变量Ｘ与主成分ｆｉ的相关性，这样主成分分析法有时会失去一些原始变量与多个主成分的内在关系，因此有：
⑧前ｍ个主成分函数：ｆｉ＝αｉ）＇Ｘ，ｉ＝１，…，ｍ（主ｉＸ＝（ｂｉ／#成分Ｘ的系数平方和是１、无旋转、无回归，ｚｉ为未旋转因子得分，结论１）；
⑨综合主成分函数Ｆ综＝∑ｉ＝１（λｉ／ｐ）ｆｉ；
1对前ｍ个主成分的样品值进行排序，用ＳＡＳ软件ｉｍｌ0/
模块计算综合主成分Ｆ综的样品值并排序；
1用前ｍ个主成分的样品值做聚类分析，按综合主成分2/
值相应顺序给出分类结果（结论５）；
1结合前ｍ个主成分样品值的聚类分析结果，主成分、3/
综合主成分样品值和排序，主成分、综合主成分与原始变量的对应关系，进行优势、劣势、潜力、差距状况和原因等的综合评价，给出决策相关性建议（结论５、结论６）。
Ｂ０的第ｉ列绝对值大（≥０．５）的对应原始变量归
为主成分ｆｉ一类，并由这些变量对ｆｉ命名，这样主成分分析法不会失去一些原始变量与多个主成分的内在关系。
问题⑨解析：前ｍ个主成分的样品值反映的是ｎ个样品在ｍ个主成分中的相对位置，表现出样品的优势、劣势、差距状况等，且没有相关性，分析问题可靠性高，仅用综合主成分进行综合分析失去的就是这些内在因素，以致不客观，因此，应将前ｍ个主成分、综合主成分的样品值结合起来分析才是客观的、可靠的。但样品数量较多，逐个分析看不出共性规律，为此，对无相关性的前ｍ个主成分样品值进行聚类分析，并按综合主成分值相应顺序给出分类，便找出了样品之间具有可靠性的共性规律，故有：
对无相关性的前ｍ个主成分样品值进行聚类
分析，按综合主成分值相应顺序给出分类，能可靠地反映样可靠地进行样品共性的分析。品之间的共性规律，便于客观、
问题⑩解析：主成分分析、聚类分析给出了样品客观、可靠的个性与共性特征，但主成分有综合性，决策相关性有待与原始指标结合起来。注意到主成分是按相关性高的原始变量进行归类命名的，故将相应原始变量对应替换为相应主成
４实证应用：安徽省各地市经济发展综合评
现以文献［２］数据为例，指标选取为：Ｘ１－城镇单位在岗职工平均工资（元），Ｘ２－固定资产投资（万元），Ｘ３－进口总额（万美元），Ｘ４－社会消费品零售总额（万元），Ｘ５－工业增加值（亿元），Ｘ６－财政收入（亿元）；城市为１７个：合肥市、淮北市、亳州市、宿州市、蚌埠市、阜阳市、淮南市、滁州市、六安市、马鞍山市、巢湖市、芜湖市、宣城市、铜陵市、池州市、安庆市和黄山市。原始数据见文献［２］。
①指标都是正向的，直接使用；
②调用ＳＡＳ软件的主成分分析过程命令，输入原始数
统计与决策２００７年８月（理论版）
据，数据标准化自动执行；
表２城市合肥市马鞍山芜湖市淮南市安庆市蚌埠市宣城市淮北市铜陵市滁州市巢湖市阜阳市六安市黄山市宿州市池州市亳州市
主成分值、综合主成分值及排序
③变量有相关性（相关系数矩阵Ｒ略），继续；
④相关系数矩阵Ｒ的特征值：λλ１＝４．６４１２３２１、２＝
…，相应单位正交特征向量矩阵（见第８步ｆ１、１．１００６６３１、ｆ２、
…表达式中Ｘ的系数），初始因子载荷矩阵Ｂ０（表１）；
⑤与旋转后因子载荷阵Ｂ０Ｃ（ＳＡＳ软件因子分析过程命令中的ＲｏｔａｔｅｄＦａｃｔｏｒＰａｔｔｅｒｎ）比较，Ｂ０中每行的系数绝对值往０、１靠近较多，故用主成分分析法；
⑥Ｂ０每行中至少有一个系数绝对值足够大（≥０．５），所以ｍ＝２，前两个主成分的累计方差贡献率已达到９５．７％；
⑦第一个主成分ｆ１与Ｘ２－固
表１初始因子载荷阵定资产投资，Ｘ３－进口总额，Ｘ４－社
ＦａｃｔｏｒＰａｔｔｅｒｎ
会消费品零售总额，Ｘ５－工业增加
Ｆａｃｔｏｒ２Ｆａｃｔｏｒ１
值，Ｘ６－财政收入十分显著地正相０．７９５１５ｘ１０．５７９９４
－０．０４９２３ｘ２０．９８０２６关，故称ｆ１为生产总量成分；第二－０．１６８０４ｘ３０．９５６１３个主成分ｆ２与Ｘ１－城镇单位在岗
０．７６１６８０．９２９０８０．９９３２０
－０．６００４７０．２７３４０－０．０４９１９
ｆ１７．１１２７６１．８４３８４２．３０６１７－０．１２６１６０．４２００１０．２２３０８－０．５２５６６－０．７７３０１－０．８０９３５－０．６１３６１－０．８６３６６－０．７８５７０－０．９１１５２－１．４８６０９－１．５４８１９－１．７９２２３－１．６７０６７
１３２６４５７９１１８１２１０１３１４１５１７１６
ｆ２－１．０５７５３２．７８５３９０．３１３９５１．５０５６９－０．８４５０６－０．３９２３８０．０９５３９０．７９７３９０．６２６３４－０．７１９６８－０．３３６２２－１．３５２４８－０．８８７２３０．３９３３４－０．４４４３６０．３６９８３－０．８５２３８
１６１７２１３１０８３４１２９１７１５５１１６１４
Ｆ综５．３０７１１．９３７２４４１．８４１５０４０．１７８６２０．１６９８７０．１００５８１－０．３８９１２－０．４５１６８－０．５１１１７－０．６０６６７－０．７２９７５－０．８５５８７－０．８６７８５－１．０７７３９－１．２７９１－１．３１８５２－１．４４８６９
１２３４５６７８９１０１１１２１３１４１５１６１７
职工平均工资十分显著地正相关，注意到它受Ｘ４－社会消费品零售总额的负影响也很大，故称ｆ２为生
合肥市在保持生产总量成分ｆ１中Ｘ２－各市固定资产投资（第１），Ｘ３－各市进口总额（第１），Ｘ４－社会消费品零售总额（第１），Ｘ５－各市工业增加值（第１），Ｘ６－财政收入（第１）优势的同时，如果能够进一步结合劳动生产率、成本费用利润率（此说明文献［２］漏选了指标：劳动生产率、成本费用利润率，致使工资与消费的协调性无法分析）协调生活成分ｆ２中Ｘ１－城镇单位在岗职工平均工资与Ｘ４－社会消费品零售总额的良性关系，将对经济有更大的促进作用。
第二类的马鞍山市、第三类的芜湖市综合评价、建议方法与第一类的合肥市类似，此略。
第四类城市淮南市、宣城市、淮北市、铜陵市、黄山市和池州市综合主成分Ｆ综值排名依次是４、７、８、９、１４和１６。它们的生产总量成分ｆ１排名依次是６、７、９、１１、１４、１７，均低于平均水平，生活成分ｆ２排名依次是２、８、３、４、５、６，均高于平均水平。共性原因为该类城市生活成分ｆ２中Ｘ１－城镇单位在生产总量成分ｆ１中Ｘ４－社会消费岗职工平均工资列前１０名、
品零售总额列第１０之后，即该类城市是工资较高、生产总量水平低、消费不足的城市。个性原因及问题：如淮北市生活成分ｆ２中Ｘ１－城镇单位在岗职工平均工资（第４：１３３７９元）、Ｘ４－社会消费品零售总额（第１４：４５６１００万元），生产总量成分ｆ１排名差异大（第９），其中Ｘ２－各市固定资产投资为（第１４：
活成分。内在关系：社会消费品零售总额Ｘ４对生产总量成分对生活成分ｆ２有较大的负影响，城镇ｆ１有较大的促进作用、
单位在岗职工平均工资Ｘ１对经济总量成分ｆ１有正常的促进作用、对生活成分ｆ２是直接的正的影响；
⑧主成分函数（ｘｉ为Ｘｉ的标准化变量）：
ｆ１＝０．２６９ｘ１＋０．４５５ｘ２＋０．４４４ｘ３＋０．３５４ｘ４＋０．４３１ｘ５＋０．４６１ｘ６ｆ２＝０．７５８ｘ１－０．０４７ｘ２－０．１６ｘ３－０．５７２ｘ４＋０．２６ｘ５－０．０４７ｘ６
⑨综合主成分函数：Ｆ综＝（４．６４１２３２１ｆ１＋１．１００６６３１ｆ２）／６；
综合主成分样品值及排序见表３（综合主成⑩主成分、
分值ＳＡＳ软件ｉｍｌ模块计算）；
,调用ＳＡＳ软件的聚类分析过程命令，选用欧氏距离和+*
类平均法，通过表２两个主成分ｆ１、ｆ２的样品值对１７个城市进行聚类。取分类阈值为１．５时，分成五类，聚类结果如下：
第一类：合肥市；第二类：马鞍山市；第三类：芜湖市；第四类：淮南市，淮北市，宣城市，铜陵市，黄山市和池州市；第五类：蚌埠市，安庆市，滁州市，巢湖市，六安市，阜阳市，宿州市和亳州市。
,结合前２个主成分样品值的聚类分析结果，主成分、-*
综合主成分样品值和排序，主成分、综合主成分与原始变量的对应关系，进行优势、劣势、潜力、差距状况和原因等的综合评价，给出决策相关性建议。评价中注意：主成分函数ｆ１、ｆ２表明了Ｘ４－社会消费品零售总额一方面对总量成分ｆ１有促进作用（影响系数为０．３５４），另一方面对工资与消费成分ｆ２有负影响作用（影响系数为－０．５７２）。
第一类的合肥市综合主成分Ｆ综值排第１（５．３０７）。其生产总量成分ｆ１得分值排第１（７．１１３），优势相当明显，可生活成分ｆ２排在倒数第２（－１．０５８）。原因及问题：生产总量成分ｆ１中Ｘ４－社会消费品零售总额为２３９７７３９万元列第１，生活成分ｆ２中Ｘ１－城镇单位在岗职工平均工资为１６２３６９元列第３，即合肥市是生产总量、消费高但平均工资不是太高的城市。综合函数值中，生产总量成分ｆ１综合值为５．５０２，而生活成分ｆ２有综合抵减值０．１９４（抵减率３．５２６％），带来了不良影响。
５６６２５７万元）、Ｘ３－各市进口总额为（第１３：４７４４万美元）、Ｘ６－
财政收入为（第９：２０２６３７亿元）等。
以上分析及结论，找到了研究对象的优势、不足、差距状况和原因等，用具有可控性的原始指标给出了可靠的决策相关性建议，对指标体系选取的代表性具有可验证性，使主成分分析法的应用得到深入。
参考文献：
［１］于秀林，任雪松编著．多元统计分析［Ｍ］．北京：中国统计出版社，１９９９．５．
［２］宋马林．安徽省各地市经济发展评价［Ｊ］．统计教育，２００６，（４）．［３］陈迪红，李华中，杨湘豫．行业景气指数建立的方法选择及实证分析［Ｊ］．系统工程，２００３，（４）．
［４］林海明，张文霖．主成分分析与因子分析的异同和ＳＰＳＳ软件［Ｊ］．统计研究，２００５，（３）．
（责任编辑／李友平）
统计与决策２００７年８月（理论版）
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