变质量力学体系的LAGRANGE方程
变质量力学体系的ＬＡＧＲＡＮＧＥ方程程方荣党春兰（河南中医学院物理教研室，４５０００３，郑州；第１作者３６岁，女，讲师）张士刚（河南省信阳广播电视大学，４６４０００，信阳）摘要本文证明了对于一个物体质量随时间变化的力学系统，Ｌａｇｒａｎｇｅ方程在形式上将保持不变，从而拓宽了Ｌａｇｒａｎｇｅ方程的使用范围，为变质量力学系统的讨论提供了一种手段．关键词变质量；Ｌａｇｒａｎｇｅ方程分类号Ｏ３１３．６在一个物体质量不变的力学体系中，利用达朗伯原理和虚功原理，可以得到基本形式的Ｌａｇｒａｎｇｅ方程［１］：ｄｄｔ（?Ｔ?ｑｘ）－?Ｔ?ｑｘ＝Ｑα（α＝１，２，……，Ｓ）其中，Ｔ＝１２∑ｎｉ＝１ｍｉｒ?２ｉ为力学体系的总功能；Ｑα＝∑ｎｉ＝１Ｆ?ｉ?ｒ?ｉ?ｑα（α＝１，２，……，Ｓ）为广义力．如果力学体系的物体质量随时间变化，Ｌａｇｒａｎｇｅ方程是否仍然成立？下文将证明当把Ｌａｇｒａｎｇｅ方程应用到此类力学体系时，其基本形式将保持不变．１理论...&
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０引言在一般的力学教材中，研究的物体都是其质量在运动过程中保持不变。但实际中，例如：运输、传递、装卸等场合，往往遇到研究主体的质量，由于不时地增加（或减少）而不再是常量，成为随时间变化的函数。虽然，解决这一类问题可以将研究主体及其增加（或减少）部分看作为一整体，同时分析主体及其增加（或减少）部分的运动规律———依仍属于质量不变体系问题，但这样会是十分复杂的。并且，在这一类场合，我们所关心的只是研究主体本身的运动规律。对于增加（或减少）部分，只是清楚它在脱离（或合并）主体那一时刻的运动状态（此后的运动无需知道）。因此，我们有必要专门研究这样一类“变质量”物体的运动问题。笔者就此问题进行讨论。１“变质量”主体运动的基本方程式对于“变质量”物体，在作平动（其转动可以忽略）时，我们可将该物体视为质点。设一质点ｍ＝ｍ（ｔ），在时刻ｔ和ｔ＋ｄｔ的质量分别为ｍ和ｍ＋ｄｍ，其速度分别为ｖ?和ｖ?＋ｄｖ?，亦即在ｄｔ时间内，从质点中变化的质量为ｄ...&
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变质量物体运动问题在理论力学教科书中内容少，运用多，难以理解的地方也多，属教学难点，其主要困难有：门）变质量物体研究对象的选取形式多样。如：不断凝结水汽的雨滴，滑动链条的一部分，不断喷射物质的火箭等；（2）运用基本原理灵活多变，有质点组的动量定理，变质量物体的运动微分方程，质点的动量定理，机械能守恒定律等；（3）对变质量物体，变质量物体运动微分方程不易理解。本文针对上述困难进行深人分析后，得出对变质量物体运动问题的处理方法，然后举例应用。变质量物体不是一个新的研究对象，它是某质点组的主要部分，也就是说还有其它部分，其质量不断与主要部分进行合并，这样主要部分和其它部分组成整个运动过程中的质点组，而主要部分与其它部分的作用是在运动过程中不断进行的，在任一时刻分析只能考虑由主要部分和合并部分组成的二质点系，这样看来好象有两个质点组，实际上这不断作用的“二质点系”的全体就是整个运动过程中的质点组，只不过在任一时刻进行分析时，只能以二质点...&
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变质量问题是大学物理中经常需要讨论的力学问题,如火箭推进,就是属于这类问题。由于涉及到力的作用,所以求解这类问题人们首先想到的就是运用牛顿第二定律。确实,牛顿第二定律是物理学中的一个非常重要的基础定律,它在解决物体受外力作用时,运动状态的改变,或当物体运动状态改变时,分析物体的受力情况等都是非常有用的。在通常情况下,一般教科书都将牛顿第二定律写成:Ｆ＝ｍａ＝ｍｄｖｄｔ１或Ｆ＝ｄｐｄｔ＝ｄｍｖｄｔ２这两种形式,前者称为加速度形式,后者称为动量形式,并且常常会说明,其动量形式较之加速度形式应用更普遍,它能适用于变质量系统的问题。那么,这样的理解是否确切呢？现以火箭推进问题予以说明。设火箭飞行中某一瞬时的速度为ｖ,该时刻火箭的质量为ｍ,它以－ｄｍｄｔ的速率喷出气体,气体的速度为ｕ（如图１）。这个问题中,如单对火箭而言,由于不断喷出气体,火箭的质量在不断地减少,火箭的飞行速度也在不断地变化,因此仅以不断喷出气体的火箭为研究对象,应用牛顿...&
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从一个例题谈变质量问题王存茂１）温正忠２）（１）炮兵指挥学院，河北宣化０７５１００；２）西安电子科技大学，西安７１００７１）摘要指出了一个变质量运动例题解法的不妥，并分析其原因．关键词动量定理；变质量物体运动方程；牛顿第二定律分类号Ｏ３１３．６１问题的指出文献［１，２］以同样的方法求解了同一个关于链条运动的变质量例题．该例题是：长为ｌ、质量线密度为ρ的链条，伸直放在光滑的梯形水平台上．从静止开始沿倾角为α的光滑斜面滑下，求链条在任意位置时的速度（图１）．图１两文献在指明以主体质量ｍ与微质量ｄｍ组成的质点系为研究对象后，进行了受力和运动分析，然后均根据变质量物体运动方程ｍｄｖｄｔ＝Ｆ＋（ｕ－ｖ）ｄｍｄｔ（１）得出ρｘａ＝ρｘｇｓｉｎα－Ｔ（２）ρ（ｌ－ｘ）ａ＝Ｔ′（３）两式（在文献［１］、［２］中分别以（ａ）、（ｂ）和（１）、（２）表示）．并不加证明就认为Ｔ＝Ｔ′，联立式（２）、（３）得到加速度ａ，再通过积分得到速度ｖ．作为变质量...&
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引　言对于变质量问题，首先要考虑其类别．通常所接触到的这类问题，基本上属于经典力学范围（ν?Ｃ），即有质量进入系统，或有质量离开系统，如不断装入砂石的料箱，拉起着的绳子，正在喷射的火箭等，就是经典变质量问题．由于它是理论力学中一个新的组成部分，在推演变质量质点的一些基本关系式时，将广泛利用不变质量物体的力学定律，但在不同的参考书上，往往采用的物理模型不同，利用的定律也有所不同，导致解决具体问题的思路不同，这有时会给初学者带来附加的困难．如果能将这类问题加以比较系统的阐述，并结合具体事例进行分析，会发现它们的等效性，有时还可以变换使用，以便校对，这些既拓宽了解题思路，又能深刻体会其中的物理含义，本文就此展开讨论．１　应用动量定理推导变质量物体的运动方程假设一物体的质量在ｔ时为ｍ（ｔ），它相对于选定的惯性参考系Ｓ的速度是ν（ν?Ｃ），同时一微小质量△ｍ以速度ｕ运动，也是相对于Ｓ参考系，并在ｔ＋△ｔ时间内与ｍ（ｔ）相合并，合并后的共同...&
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来源：　　作者：王瑞旦;
变质量物体的运动方程与链条运动问题　 在普通物理及理论力学的教学中都会遇到链条运动问题。而这个问题的彻底解决,需要用到可变质蜃物体运动方程……密歇尔斯基方程。本文拟对该问题进行较深入的讨论。并举例加以说明。i: 密歇尔斯基方程的一般形式为 ’ 苦(m;)一警乏一声 (1)或 m警一F+警(五一书 (2)式中棚、;分别为￡¨划物体(或称主体)的质量与速度。F是物体(主体)所受的外力。对于减质{i}情况,警&o,i是微质量dm自主体分出后那一瞬间的“绝对’’速度;对于增质量情况,警&o,吾则是微质量dm与.董体合并前那一瞬间(单独运动)的“绝对”速度。 (2)式右边的第二项警(乏_蔷)具有力的量纲,根据牛顿第二定律,它代表主体m所受到的分出或合并质量为dm的元质点的反作用力…反冲力磊。因此(z)式实质上是计及反冲力的牛顿运动方程。 如云一O,’则(1)式简化为: 孚(。丢)一声 (3)此式与质量为定值的质点动量定理表达式形式上完全相同。但需注意此处m是可变的。如“与t,相等。则由(2)式得 m挈一声 (4) 0f这与常质量物体的运动方程形式上完全一样。 如只考虑直线(z轴)运动情况。则(2)式可表示为 m警一x+(扩w)警 ((本文共计2页)　　　　　　　　　　
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变质量物体的运动微分方程的研究
工科大学物理中,在介绍牛顿运动定律时,主要涉及的是定质量物体的运动情况,对于变质量物体的运动涉及的很少,本文先从动量定理出发推导出变质量物体的动力学方程的三个表达式,然后对这三个表达式分别进行了详细的讨论,最后通过具体实例能够使我们进一步加深对其的理解.
作者单位：
吉林大学,物理科学学院,吉林,长春,130026
吉林大学,电子科学与工程学院,吉林,长春,130026
长春大学,教务处,吉林,长春,130022
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