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高中数学 立体几何2题
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1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过它的任意两个棱作平面，则能作得与A1B成30°的平面个数为几个?
2、在△ABC中，C为直角。平面ABC外一点P，PC=4，点P到直线AC、BC的距离都等于《根号下10》 则PC与面ABC所成角为?
不要答案~只要过程~ 也不要纯讲解。
悬赏分数视情况可以追加哦~解决方案2：对于无图的题，其实它在说条件的时候已经把图勾勒出来了，就看你的空间想象力，然后试着画出来，从而解决问题。首先说第2题吧，点P到直线AC、BC的距离都等于《根号下10》，所以点P必在角ACB的平分线所在平面，且此平面必垂直平面ABC，琢磨下。作PM垂直AC，PN垂直BC，PQ垂直平面ABC，连接QM，QN，接下来就只有计算了，你能解决。 第1题图你可以画在草纸上，然后只能通过找平面，看是否与A1B成30°，这题说麻烦，其实不麻烦，因为有些平面可以直接看出来是否与A1B成30°，很明显的就有面AA1BB1，CC1DD1不是的，别的你就自己找吧，我只能说下大致过程，毕竟电脑上难得绘图，相信你懂的
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高一数学必修2立体几何测试题(3)
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高中数学典型例题解析（第六章立体几何初步2）
§6.3平面与平面之间的位置关系
一、基础知识导学
1．空间两个平面的位置关系（有交点的是相交；没交点的是平行）.
2．理解并掌握空间两个平面平行的定义；掌握空间两个平面平行判定定理（如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行）和性质定理（如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行）.
3．理解并掌握空间两个平面垂直的定义（一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直）；判定定理（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直）和性质定理（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面）.
4．二面角的有关概念（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角）与运算；
二面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等).
二、疑难知识导析
1．两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点.
2．面面平行也是推导线面平行的重要手段；还要注意平行与垂直的相互联系，如：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；如果两条直线都垂直于一个平面，则这两条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用.
3．对于命题“三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线互相平行或者相交于同一点.”要会证明.
4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用.
5．注意二面角的范围是，找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线，这往往是二面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式,用的时候要进行交代.在二面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一：补充棱；方法二：利用“如果”；方法三：公式等，求二面角中解三角形时注意垂直（直角）、数据在不同的面上转换.
三、经典例题导讲
[例1]一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则α+β满足（&&& ）.
A.α+β&900&&&
B.α+β≤900&& C.α+β&900& D.α+β≥900
错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况.
[例2].如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（&& ）.
A．90°&&&&& 　B．60°& 　& 　C．50°&&&&&
[例3]已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成角的截面面积是_____.
错解：.用面积射影公式求解：S底=S截=.
错因：没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形.
[例4]点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B．
（1）求的大小；
（2）求二面角的大小．
错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角.
正解：（1）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则，．
因为二面角D－AC－B为直二面角，
又在中，，
（2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．
∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．
∴就是二面角的平面角．
在RtEGM中，，，，
所以，二面角的大小为
[例5]如图，平面α∥平面β∥平面γ，且β在α、γ之间，若α和β的距离是5，β和γ的距离是3，直线和α、β、γ分别交于A、B、C，AC＝12，则AB＝&&&&&
，BC＝&&&&&&&
解:作′⊥α，
∵　α∥β∥γ，∴　′与β、γ也垂直，
′与α、β、γ分别交于A1、B1、C1.
因此，A1B1是α与β平面间的距离，B1C1是β与γ平
面间的距离，A1C1是α与γ之间的距离.　　
∴　A1B1＝5，B1C1＝3，A1C1＝8，又知AC＝12
AB=&，&，BC=&.
答：AB=&，BC＝&.
[例6] 如图，线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积.
解：∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE
又∵α∥β，∴　AF∥BE
同理可证：AC∥BD.∴∠FAC与∠EBD相等成互补
由FA∥BE，得：BE：AF＝QB：QA＝12：24＝1：2，∴BE=　
由BD∥AC，得：AC：BD＝PA：PB＝9：21＝3：7，∴BD=　
又∵△ACF的面积为72，即&＝72
答：△BDE的面积为84平方单位.
[例7]如图，B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心.
（1）求证：平面MNG∥平面ACD
（2）求S：S
解:（1）连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H
∵　M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，
连结PF、FH、PH有MN∥PF
又PF&平面ACD
∴　MN∥平面ACD
同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M
∴　平面MNG∥平面ACD.
（2）由（1）可知：
∴MG=，又PH=
∴MG=　 ，
同理：NG=&，
∴　△MNG∽△ACD，其相似比为1：3
∴S：S=　1：9
[例8]如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.
(1)求证：EFGH是矩形.
(2)求当点E在什么位置时，EFGH的面积最大.
(1)证明：∵CD∥面EFGH,而面EFGH∩面BCD＝EF.∴CD∥EF
同理HG∥CD.∴EF∥HG
同理HE∥GF.∴四边形EFGH为平行四边形
由CD∥EF，HE∥AB
∴∠HEF为CD和AB所成的角或其补角，
又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形EFGH为矩形.
(2)解：由(1)可知在△BCD中EF∥CD，其中DE＝m，EB＝n
又∵四边形EFGH为矩形
∴S矩形EFGH＝HE·EF＝·b·a＝ab
∵m＋n≥2，∴（m＋n）2≥４mn
∴≤，当且仅当m＝n时取等号，即E为BD的中点时,
S矩形EFGH=ab≤ab，
&&& 矩形EFGH的面积最大为ab.
点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等.
四、典型习题导练
1. 山坡面α与水平面成30°的角，坡面上有一条公路AB与坡角线BC成45°的角，沿公路向上去1公里时，路基升高_____米．
2. 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，且PA=AB，则平面ABP与平面CDP所成二面角(小于或等于90°)的度数是_____．
3. 在60°二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，求CD长．
4.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，
且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.
& 求证：平面ABC⊥平面BSC.
&&&&&&&&&&&
5. 已知：如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E－BD－C的度数.
§6.4空间角和距离
一、知识导学
1.掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角，掌握上述三类空间角的作法及运算.
2．掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线（或平面）的距离、直线与平面的距离及两平行平面间距离的求法.
二、疑难知识导析
1．求空间角的大小时，一般将其转化为平面上的角来求，具体地将其转化为某三角形的一个内角.
2．求二面角大小时，关键是找二面角的平面角，可充分利用定义法或垂面法等.
3．空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离.求点到平面距离时，可先找出点在平面内的射影（可用两个平面垂直的性质），也可用等体积转换法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圆心的距离由勾股定理得
4．球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长，关键在于画出经过两点的大圆以及小圆.
5．要注意距离和角在空间求值中的相互作用，以及在求面积和体积中的作用.
三、经典例题导讲
[例1]　平面外有两点A,B，它们与平面的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到平面的距离为_________________.
错因：只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况.
[例2]与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有______个.
错解：4个.
错因：只分1个点与3个点在平面两侧.没有考虑2个点与2个点在平面两侧.
正解：7个.
[例3]一个盛满水的三棱锥形容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（&&&&&
A.&& 　　　B.&& 　　　C.&　　　
错解：A、B、C.由过D或E作面ABC的平行面，所截体计算而得.
当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多
最多可盛原来水得1－
[例4]斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成450角，求这个三棱柱的侧面积.
错解：一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA1垂直于M”；三是由条件“∠A1AB=∠A1AC∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证.
正解：过点B作BM⊥AA1于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=450，MA为公共边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA1⊥面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin450=a，∴BMC周长为2xa+a=(1+)a，且棱长为b，∴S侧=(1+)ab
[例5]已知CA⊥平面α，垂足为A；AB α，BD⊥AB，且BD与α成30°角；AC=BD=b，AB=a.求C，D两点间的距离.
解&: 本题应分两种情况讨论：
（1）如下左图.C，D在α同侧：过D作DF⊥α，垂足为F.连BF，则于是.
根据三垂线定理BD⊥AB得BF⊥AB.
在Rt△ABF中，AF=
过D作DEAC于E，则DE=AF，AE=DF=.所以EC=AC-AE=
(2)如上右图.C，D在α两侧时：同法可求得CD=
点&评: 本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中，应用勾股定理来求解.
[例6]如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.
（1）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；
（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.
并证明你的结论.
解：解法一（1）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，,连结OG，因为
PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,
故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.
又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，
故∠AGO是AP与平面所成的角.
在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.
所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为.
（2）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为
D1O1⊥A1C1, 且
D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1，
又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP.
那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。
解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)
又由知，为平面的一个法向量。
设AP与平面所成的角为，则。依题意有解得。故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为。
（2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1－，1)，。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP即Q为A1C1的中点时，满足题设要求。
[例7]在梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB∥DC，AB=1，DC=2，，P为平面ABCD外一点，PAD是正三角形，且PA⊥AB，
求：（1）平面PBC和平面PAD所成二面角的大小；
（2）D点到平面PBC的距离．
解: （1）设AD∩BC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交线，依题设条件得PA=AD=AE，则∠EPD=90°，PD⊥PE
又PA⊥AB，DA⊥AB，故AB⊥平面PAD．
∵ DC∥AB，∴ DC⊥平面PAD．
由PE⊥PC得PE⊥PD，∠DPC是平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角．，DC=2，tan，．
（2）由于PE⊥PD，PE⊥PC，故PE⊥平面PDC，
因此平面PDC⊥平面PBC，
作DH⊥PC，H是垂足，则DH是D到平面PBC的距离．
在Rt△PDC中，，DC=2，，．
平面PBC与平面PAD成二面角的大小为arctan，D到平面PBC的距离为.
[例8] 半径为1的球面上有A、B、C三点，A与B和A与C的 球面距离都是，B与C的球面距离是，求过A、B、C三点的截面到球心O距离．
分析&： 转化为以球心O为顶点，△ABC为底面的三棱锥问题解决．
由题设知△OBC是边长为1的正三角形，△AOB和△AOC是腰长为1的全等的等腰三角形．
取BC中点D，连AD、OD，易得BC⊥面AOD，进而得面AOD⊥面ABC，过O作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长即为
所求，在Rt中,AD=,故在Rt,OH=
点评： 本题若注意到H是△ABC的外心，可通过解△ABC和△AHO得OH．或利用体积法．
四、典型习题导练
1．在平面角为600的二面角内有一点P，P到α、β的距离分别为PC=2cm，PD=3cm，则P到棱的距离为____________.
2．异面直线a , b所成的角为，过空间一定点P，作直线，使与a ,b 所成的角均为，这样的直线有&&&&&&&&
3．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AD的中点，则点A1到平面EFB1D1的距离为&&&&&&&&&&&&&
4.二面角－－内一点P，分别作两个面的垂线PA、PB，A、B为垂足．已知PA=3，PB=2，∠APB=60°求－－的大小及P到的距离．
5.ABCD是边长为4的正方形，CG⊥面ABCD，CG = 2．E、F分别是AD、AB的中点．求点B到面EFG的距离．
6.如图：二面角α--β为锐角，P为二面角内一点，P到α的 距离为，到面β的距离为4，到棱的距离为，求二面角α-&-β的大小.
7.如图，已知三棱柱A1B1C1-ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.
(1)求点A到平面B1BCC1的距离；
(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.
§6.5空间几何体及投影
一、知识导学
1.了解投影（投影线通过物体，向选定的面透射，并在该面上得到图形的方法）、中心投影（投射线交于一点的投影称为中心投影）、平行投影（投影线互相平行的投影称为平行投影）、斜投影（平行投影投射方向不是正对着投影面的投影）、正投影（平行投影投射方向正对着投影面的投影）的概念.
2.了解三视图的有关概念（视图是指将物体按正投影向投影面投　射所得到的图形.光线自物体的前面向后面投射所得的投影称之为主视图或正视图，自上而下的称为俯视图，自左向右的称为左视图，用这三种视图刻画空间物体的结构，称之为三视图）;了解三视图画法规则，能作出物体的三视图.
3.注意投影和射影的关系，以及在解题中的作用.
二、疑难知识导析
1．三视图间基本投影关系的三条规律：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等.概括为“长对正，高平齐，宽相等”；看不见的画虚线.
2．主视图的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右；俯视图的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右；左视图的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前.
三、经典例题导讲
[例1]如图，该物体的俯视图是（　）.
错因：投影方向不对.
[例2] 如图所示的正方体中，E、F分别是AA1,D1C1的中点，G是正方形BDB1D1的中心，则空间四边形AGEF在该正方体面上的投影不可能是（ ）
A&&&&&&&&&&&&&&&
B&&&&&&&&&&&&&
C&&&&&&&&&&&&&&
&[例3]水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A1B1C1，则△ABC是（&& ）
A. 锐角三角形　　B. 直角三角形　　　C. 钝角三角形&& 　D. 任意三角形
错因：不熟悉斜二侧画法的规则.
[例4] 正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（& ）.
A. &&&&&&& B.
&&&&&&& C.
&&&&&&&&&&& D.
错因：对正方体和球的关系理解不清.
正解:B.正方体的对角线就是球的直径.
[例5]如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（&& ）
A.S1&S2　　B.S1&S2　　　　C.S1=S2　　　　　　D.S1，S2的大小关系不能确定
解：连OA、OB、OC、OD
则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD
VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C
[例6]正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面成45°角，求侧棱与底面所成角的正切值.
解：解法一　　如图，设O1，O为上下底面正三角形的中心，连接O1O，A1O1交A1B1于D1，AO交AB于D.连接D1D.易证A1O1⊥B1C1，AD⊥BC，D1D⊥BC，过A1，D1分别作A1E⊥底面ABC，D1F⊥底面ABC，易证E、F在AD上.
因为正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面成45°的二面角，所以∠D1DA=45°.因此A1E=O1O=D1F=FD.设该正三棱台上下底面的边长为a,b,则AD=b,A1D1=a.
所以& A1E=O1O=D1F=FD=b-=&(b-a).
所以& tan∠A1AE=.
解法二　如图，延长AA1，BB1，CC1，则AA1，BB1，CC1相交于一点S.显然点S在DD1的延长线上.由解法一得知，∠SDA为二面角S-BC-A的平面角，故∠SDA=45°.
所以& 在RtΔSOD中，SO=OD，
因为& AO=2·OD，所以& tan∠SAO=.
点评:由此例可以看出，在解决棱台的问题时，“还台为锥”利用棱锥的性质来解决棱台问题是一种快捷方便的方法.
[例7] 粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图所示，它的两底面边长分别是80 mm和440 mm，高是200 mm，计算：
（1）这个下料斗的体积；
（2）制造这样一个下料斗所需铁板的面积（保留两个有效数字）？
分析：要求下料斗所需铁板的面积，就是求正四棱台的侧面积.正四棱台的侧面积公式是S侧＝（c＋c＇）h＇.
解：（1）因为S上＝4402mm2，S下＝802 mm2，h＝200 mm
（2）下底面周长c＇＝4×80＝320mm，
&&&&& 下底面周长c＝4×440＝1760mm，
&&&&& 斜高h＇＝
&&&&& S正棱台侧＝（c＋c＇）h＇＝（1760＋320）×269≈2.8×105（mm2）
答：这个下料斗的体积约为1.6×107mm3，制造这样一个下料斗需铁板约2.8×105mm2.
点评：对于实际问题，须分清是求几何体的表面积，还是求侧面积，还是求侧面积与一个底面面积的和，还是求体积.
四、典型习题导练
1．一个直立在水平面上圆柱体的主视图、俯视图、左视图分为（　）
A．长方形、圆、矩形&&&&&&&&&&&& B．矩形、长方形、圆
C．圆、长方形、矩形&&&&&&&&&&&& D．长方形、矩形、圆
2．直角三角形绕它最长边（即斜边）旋转一周得到的几何体为（　）
3.下列平面图中不能围成立方体的是（　）.
4．从七边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把七边形分成_____个三角形．
5. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积.
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