当前位置： >> >> 高数第九章 极值与最值 第八节第九章多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值目录上页下页返回结束一、 多元函数的极值
定义: 若函数的某邻域内有则称函数在该点取得极大值 (极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. z 例如 : z z 在点 (0,0) 有极小值; x O y 在点 (0,0) 有极大值; O y y 在点 (0,0) 无极值. x Ox目录上页下页返回结束例1. 已知函数的某个邻域内连续, 且 则(A)(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.(2003 考研)提示: 由题设目录上页下页返回结束定理1 (必要条件)函数存在偏导数, 且在该点取得极值 , 则有? f x? ( x0 , y0 ) ? 0 , f y ( x0 , y0 ) ? 0证: 取得极值 , 故 取得极值取得极值据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .但驻点不一定是极值点. 例如,有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.目录 上页 下页 返回 结束定理2 (充分条件)若函数 z ? f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且f x ( x0 , y0 ) ? 0 , f y ( x0 , y0 ) ? 0令 A ? f x x ( x0 , y0 ) , B ? f x y ( x0 , y0 ) , C ? f y y ( x0 , y0 )则: 1) 当AC ? B ? 0 时, 具有极值2A&0 时取极大值;A&0 时取极小值.2) 当 AC ? B ? 0 时, 没有极值.23) 当 AC ? B 2 ? 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.证明见 第九节(P121) .目录 上页 下页 返回 结束例2.求函数的极值.解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数BCf x x ( x, y ) ? 6 x ? 6 , f x y ( x, y ) ? 0 , f y y ( x, y ) ? ?6 y ? 6A在点(1,0) 处AC ? B ? 12 ? 6 ? 0 , A ? 0 ,2为极小值;目录 上页 下页 返回 结束在点(1,2) 处AC ? B 2 ? 12 ? (?6) ? 0 ,在点(?3,0) 处不是极值; 不是极值;AC ? B ? ?12 ? 6 ? 0 ,2在点(?3,2) 处AC ? B ? ?12 ? (?6) ? 0 , A ? 0 ,2为极大值.f x x ( x, y ) ? 6 x ? 6 , f x y ( x, y ) ? 0 , f y y ( x, y ) ? ?6 y ? 6ABC目录 上页 下页 返回 结束例3.讨论函数及在点(0,0)是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有z在(0,0)点邻域内的取值正可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0 因此 为极小值.目录Oxy当 x 2 ? y 2 ? 0 时, z ? ( x 2 ? y 2 ) 2 ? z (0,0) ? 0上页下页返回结束二、最值应用问题依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,f (P) 为极小值(大)f (P) 为最小值(大)目录 上页 下页 返回 结束例4.某厂要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 x2y m ,则水箱所用材料的面积为? 2? x y ? 2 ? 2 x y令?Ax ? 2( y ?Ay ? 2( x ?2)?0 x2 2)?0 y2得驻点 ( 3 2 , 3 2 )根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2高为 3 232? 2? 3 2 时, 水箱所用材料最省.目录 上页 下页 返回 结束例5. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面 积最大. 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为? , 则断面面积 1 为 ( 24 ? 2 x ? 2 x cos ? ) ? x sin ? 2? 24 x sin ? ? 2 x sin ? ? x cos ? sin ? ( D : 0 ? x ? 12 , 0 ? ? ? π ) 22 2x 24? x24 ? 2 x目录 上页 下页 返回 结束A ? 24 x sin ? ? 2 x 2 sin ? ? x 2 cos ? sin ? ( D : 0 ? x ? 12 , 0 ? ? ? π ) 2令Ax ?24 sin ? ? 4x sin ? ? 2 x sin ? cos ? ? 0 A? ? 24x cos ? ? 2 x 2 cos ? ? x 2 (cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? 0解得:sin ? ? 0 , x ? 0 12 ? 2 x ? x cos ? ? 0 24 cos ? ? 2 x cos ? ? x(cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? 0 π ? ? ? 60? , x ? 8 (cm) 3由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点, 故此点即为所求.目录 上页 下页 返回 结束三、条件极值极值问题 无条件极值: 对自变量只有定义域限制条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其他条件限制 条件极值的求法: 方法1 代入法. 例如 ,在条件 ? ( x, y ) ? 0 下, 求函数 z ? f ( x, y) 的极值转 化从条件 ? ( x, y ) ? 0中解出 y ? ? ( x)求一元函数 z ? f ( x,? ( x)) 的无条件极值问题目录 上页 下页 返回 结束方法2 拉格朗日乘数法.例如,在条件 ? ( x, y ) ? 0 下, 求函数 z ? f ( x, y) 的极值 .分析：如方法 1 所述, 设 ? ( x, y ) ? 0 可确定隐函数y ? ? (x) , 则问题等价于一元函数 z ? f ( x,? ( x)) 的极值问题, 故极值点必满足 dz dy ? fx ? f y ?0 dx dx ?x dy ?x 因 ? ? , 故有 f x ? f y ?0 dx ?y ?y 记?xfx?fy?y???目录 上页 下页 返回 结束极值点必满足f x ? ?? x ? 0 f y ? ?? y ? 0 ? ( x, y) ? 0引入辅助函数 F ? f ( x, y ) ? ? ? ( x, y)则极值点满足:辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.目录上页下页返回结束推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形. 例如, 求函数 u ? f ( x, y, z ) 在条件 ? ( x, y, z ) ? 0 ,? ( x, y, z ) ? 0下的极值. 设 F ? f ( x, y, z ) ? ?1? ( x, y, z ) ? ?2? ( x, y, z )解方程组可得到条件极值的可疑点 .目录 上页 下页 返回 结束例6.要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y , z 使在条件 x y z ? V0 下水箱表面积 S ? 2( x z ? y z ) ? x y 最小. 令 F ? 2( x z ? y z ) ? x y ? ? ( x y z ? V0 )zxy2z ? y ? ? y z ? 0解方程组2z ? x ? ? x z ? 02( x ? y) ? ? x y ? 0 x y z ?V0 ? 0目录上页下页返回结束4 得唯一驻点 x ? y ? 2z ? 3 2V0 , ? ? 3 ?V 20由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 3长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x 提示: 利用对称性可知, x ? y ? z ? 3 V0V0 , 4zy2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: F ? 2( x z ? y z ) ? 2 x y ? ? ( x y z ? V0 )长、宽、高尺寸相等 .目录 上页 下页 返回 结束内容小结1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z ? f ( x, y ) , 即解方程组? f x ( x, y ) ? 0 ? f ( x, y ) ? 0 ? y 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法目录 上页 下页 返回 结束如求二元函数 z ? f ( x, y )在条件 ? ( x, y ) ? 0下的极值, 设拉格朗日函数 F ? f ( x, y ) ? ?? ( x, y )解方程组求驻点 .3. 函数的最值问题第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)第二步 判别? 比较驻点及边界点上函数值的大小 ? 根据问题的实际意义确定最值目录 上页 下页 返回 结束思考与练习已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),x2 y2 ? ? 1 ( x ? 0, y ? 0) 圆周上求一点 C, 使 试在椭圆 9 4 △ABC 面积 S△最大. A y解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y),DCB则O ? E ? ? i j k 1 3 ? 1 0 ? (0 , 0, x ? 3 y ? 10) 2 x ?1 y ? 3 01 ? x ? 3 y ? 10 2目录 上页 下页 返回x结束x2 y2 设拉格朗日函数 F ? ( x ? 3 y ? 10) 2 ? ? (1 ? ? ) 9 4 2? 2( x ? 3 y ? 10) ? x?0 9 解方程组 6( x ? 3 y ? 10) ? 2? y ? 0 4 x2 y2 1? ? ?0 点击图中任意点 9 4 动画开始或暂停 3 4 ,y? , 对应面积 S ? 1.646 得驻点 x ? 5 5 而 S D ? 2 , S E ? 3.5 ,比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形面积最大.目录 上页 下页 返回 结束作业P1173, 5, 9, 10, 13习题课目录上页下页返回结束备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x, y, z, 则x ? y ? z ? 2π ,x?0, y ?0, z ?0注它们所对应的三个三角形面积分别为S3 ? 1 R 2 sin z 2设拉氏函数 F ? sin x ? sin y ? sin z ? ? ( x ? y ? z ? 2 π)cos x ? ? ? 0 2π cos y ? ? ? 0 ,得 x? y?z? 解方程组 3 cos z ? ? ? 0 x ? y ? z ? 2π ? 0故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 2 R 2π 3 3 2 S max ? ? 3 sin ? R . 2 3 4注 目录 上页x z y下页返回结束2. 求平面上以a , b , c , d 为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?ad??b提示:1 1 目标函数 : S ? ab sin ? ? c d sin ? 2 2 (0 ? ? ? π,0 ? ? ? π)c约束条件 : a 2 ?b 2 ? 2ab cos ? ? c 2 ? d 2 ? 2cd cos ? 答案: ? ? ? ? π, 即四边形内接于圆时面积最大 .目录上页下页返回结束3. 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电电视机的销售价格为p, 销售量为x, 假设该厂的生产处于 平衡状态, 即生产量等于销售量. 根据市场预测, x 与p 满 足关系: x ? M e? ap (M ? 0, a ? 0) ① 其中M是最大市场需求量, a是价格系数. 又据对生产环节 的分析, 预测每台电视机的生产成本满足: c ? c0 ? k ln x (k ? 0, x ? 1) ②其中c0是生产一台电视机的成本, k是规模系数. 问应如何 确定每台电视机的售价 p , 才能使该厂获得最大利润？ u ? ( p ? c) x 解: 生产x台获得利润 问题化为在条件①, ②下求u ? ( p ? c) x 的最大值点.目录 上页 下页 返回 结束作拉格朗日函数 L( x, p, c) ? ( p ? c) x ? ? ( x ? Me? ap ) ? ? (c ? c0 ? k ln x) 令Lx ? ( p ? c) ? ? ? k?x?0③将①代入④得 ? ? ? 1 , 由⑤得 ? ? 1 a x将以上结果及①, ②代入③, 得 1 p ? c0 ? k (ln M ? a p) ? ? k ? 0 a c ?k a ? ) 1 ① x ? Me?a p * ( M0 ? 0,ln M0? a ? k p? p ? 解得 c ? c0 ? k ln x (k ? 0,?xa? 1) ② 1 k 因问题本身最优价格必定存在, 故此 p* 即为所求. u ? ( p ? c) x目录 上页 下页 返回 结束Lp ? x ? ?aMe? ap ? 0 Lc ? ? x ? ? ? 0④ ⑤ 相关文档： 更多相关文章： 高等数学--极值与最值 26页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要...极值的第一充分条件 设 f ?x ? 在点 x 0 处连续,在 U 0 ? x0 , ?...高数第九章复习题_数学_初中教育_教育专区。1.计算下列二重积分:(1) x2 dxdy,其中 D 是由 xy ? 2 , y ? 1 ? x2 及 x ? 2 所围成的区域。 2 ?...课题: 函数极值与最值 目的要求: 掌握函数极值与最值的判别法 掌握初等函数极值与最值的求法 掌握函数单调性的判断及单调区间的求法 教学重点: 掌握初等函数极值...高等数学函数的极值与最... 34页 免费 高二数学函数的极值与导... 7页 1下载...高二数学函数的极值与最值试题 一:选择题 1. 函数 f ( x) ? x 3 ? a...高等代数第九章习题课 603页 免费 高等数学下册 第...驻点. 18 .设 的极值点. 的极值点. f x ( x...2 4 0 .设 f ( x , y ) = 的最大值为(...极值(最值)与导数专题练习_数学_高中教育_教育专区。函数的极值、最值与导数练习...2015开学季 大学高数公式大全 大学英语作文模板 大学生性生理与性卫生+...极值与最值 第九章 高数... 27页 7下载券 大一高数 极值与最值 24页 1下载...函数的正负与极限一致 1 极限分为 一般极限 , 还有个数列极限, (区别在于数列...高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)_数学_高中教育_教育专区。高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)今日推荐 89...新梦想教育中心 科目:文科数学 授课教师:祁振伟 导数复习(2)——导数与函数的极值与最值、导数的综合运用考情分析:考查用导数求函数的极值与最值,会用导数解决...考研高数复习典型题型 与极值最值相关的命题_研究生入学考试_高等教育_教育专区...王少棠 本科学校:南开大学法学 录取学校:北大法学国际经济法方向第一名 总分:... 更多相关标签： &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& copyright ©right 。非常超级学习网内容来自网络，如有侵犯请联系客服。|Machine Learning（26） & & &SVM是一个二类分类器，它的目标是找到一个超平面，使用两类数据离超平面越远越好，从而对新的数据分类更准确，即使分类器更加健壮。 & & &支持向量（Support Vetor）：就是离分隔超平面最近的哪些点。 & & &寻找最大间隔：就是寻找最大化支持向量到分隔超平面的距离，在此条件下求出分隔超平面。 & & &数据分类类别： & & &1）线性可分 & & &2）线性不可分 & & &下面首先分析线性可分的情况。 1.1 SVM特点 & & &1）非线性映射是SVM方法的理论基础，SVM利用内积核函数代替向高维空间的非线性映射； & & &2）对特征空间划分的最优超平面是SVM的目标，最大化分类边际的思想是SVM方法的核心； & & &3）支持向量是SVM的训练结果,在SVM分类决策中起决定作用的是支持向量。因此，模型需要存储空间小，算法鲁棒性强； & & &4）无任何前提假设，不涉及概率测度； & & &5）SVM算法对大规模训练样本难以实施 & & & & & 由于SVM是借助二次规划来求解支持向量，而求解二次规划将涉及N阶矩阵的计算（N为样本的个数），当N数目很大时该矩阵的存储和计算将耗费大量的机器内存和运算时间。针对以上问题的主要改进有有J.Platt的SMO算法、T.Joachims的SVM、C.J.C.Burges等的PCGC、张学工的CSVM以及O.L.Mangasarian等的SOR算法 & & &6）用SVM解决多分类问题存在困难 & & & & & &经典的支持向量机算法只给出了二类分类的算法，而在数据挖掘的实际应用中，一般要解决多类的分类问题。可以通过多个二类支持向量机的组合来解决。主要有一对多组合模式、一对一组合模式和SVM决策树；再就是通过构造多个分类器的组合来解决。主要原理是克服SVM固有的缺点，结合其他算法的优势，解决多类问题的分类精度。如：与粗集理论结合，形成一种优势互补的多类问题的组合分类器。 1.2 最优超平面求解流程 1.3 求带松驰变量的超平面流程 2. 寻找最大间隔(线性可分) 2.1 点到平面的距离 2.2 点到超平面的距离 & & 在上图中，分隔超平面为：f(x) =&wTx&+ b=0 （注：w和x均为列向量） & &点X0到分隔超平面的距离为：|wTx0&+ & &注：||w||为向量w的范数，即为w与w的内积开平方。 & &最大间隔为：2/||w|| 2.3 使点到超平面的距离最大化 & &1）求最大间隔(2/||w||&为几何间隔&)的最大值：max(2/||w||) &&=& & &2）求||w||的最小值：min(||w||) &&=& & &3）因为||w||单调，为方便后面求极值时求偏导，则求& & & & & &很显然||w||为0时，其值最小，反映在下图中，就是H1与H2两条直线间的距离无限大，所有样本点都进入了无法分类的灰色地带。 & & 为了解决此问题，需要加一个约束条件： & & 我们把所有样本点中间隔最小的那一点的间隔定为1，也就意味着集合中的其他点间隔都不会小于1，于是有下列不等式总成立： & & &wTxi&+ b≥+1， yi=+1 & & &wTxi&+ &yi=-1& & (i=1,2,…,n) & & 于此，此优化问题变成了求条件最优化问题： & & &4）在求得上述最小值的情况下，从而求出w和b，即求出了分类超平面，此分类超平面可以使几何间隔最大，然后可用此分类超平面进行分类 2.4 求解极小值 2.4.1 原问题描述 && & & 1）样本集合 & & xi为：m维列向量，yi的取值为：-1或+1，样本个数为：n。 & &&2）优化目标 & & &由此可见，此求最小值的是带有约束条件（s.t. subject to)的，且这是一个凸二次规划问题，所以一定会存在全局的最优解，但实际求解较为麻烦。实际的做法：将不等式约束转化为等式约束，从而将问题转化为拉格朗日求极值的问题。 & & 为方便求最优解，需使用拉格朗日乘子把此不等式或等式约束条件融合到求最优解的函数中，从而生成拉格朗日函数。 2.4.2 生成拉格朗日函数 & & 现在要求解如下的最小值： & & 上面的目标函数是二次的，约束条件是线性的，所以它是一个凸二次规划问题。这个问题可以用现成的QP (Quadratic Programming) 优化包进行求解。一言以蔽之：在一定的约束条件下，目标最优，损失最小。 & & & 此外，由于这个问题的特殊结构，还可以通过拉格朗日对偶性（Lagrange Duality）变换到对偶变量 (Dual Variable) 的优化问题，即通过求解与原问题等价的对偶问题（Dual Problem）得到原问题的最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于： & & & 1）对偶问题往往更容易求解； & & & 2）可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题。