数学的产生发展与前景略谈
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数学的产生发展与前景略谈
数学的产生发展与前景略谈
诚如一切科学的产生一样，数学产生于人类社会的实践，而得益于人类独特的发达的大脑。伴随着生产、生活的需要，模糊的数、形的概念，在原始人头脑中日渐形成了。这个过程恐怕是很漫长的吧。人们先认识了与实体相联系的抽象的数，如提及一、二、五时，他们脑海中浮现出的是与之对照的实物：一个人、二只手、五个手指之类。再往后，与实体相脱离的真正抽象的数才被确定下来。这时最早的数学分支之一“算术”产生了。与此进程平行，人类在实践中也逐渐意识到形的概念。于是几何学知识也日渐积累起来。在我国，早在西周时期，我们的祖先就已获得了许多这方面的感性认识。对著名的勾股定理的认识就可上推到这一时期。但这时，人们对这些知识的认识大都还是感性的、零散的，还没有上升为系统的科学。这一转变完成于古希腊。一方面，代数学鼻祖丢番图的《算术》标志着算术向初等数学的转变，而进一步的转变一直到韦达才真正完成。用字母代替具体数字，字母间的运算代替数字间的运算，这是算术向代数转变所完成的本质的、关键的一步。而这也同时意味着数学在抽象性上又向前迈进了一步。在另一方面，欧几里得的《几何原本》才真正地在数学发展史上树起第一块伟大的丰碑。不知有多少后人曾对着这座富丽堂皇的数学殿堂拱手膜拜，以至于不少哲学家都要把它供奉为绝对正确认识的楷模与典范。于是在非欧几何诞生前，它被带了耀目的“绝对真理”的光环。到这时，数和形的基本概念在数学园地中已深深扎下了根，而此后数学的进一步发展，就是以数形为主旋律奏响的。早期的代数、几何，基本上是独立发展的，直到17世纪，法国数学家笛卡尔才在两者之间搭起友谊之桥：解析几何。解析几何用代数方法研究几何问题，一方面使代数、几何密切了联系，相互促进了彼此的发展。另一方面也使人们的耳目为之一新。与此同时，变量的概念被引入了。而正因这变量的引入，运动的观念进入了数学，而这终于导致了数学史上的一次真正的革命：微积分在牛顿、莱布尼兹手中诞生了。微积分一出现，就成为数学家手中无比锐利的工具。伴随它产生了一系列的研究函数的数学分支。常微分方程、偏微分方程是其中最重要的内容。但是，产生于牛顿、莱布尼兹手中的微积分是先天不足。十九世纪在德国数学家的倡导下对其进行了一场批判性的检查运动。经过柯西、维尔斯特拉斯、康托尔等人的努力，终于使其奠定了坚实的基础。而使其在数学中占有了崇高的一席之地。分析、代数、几何三足鼎立，成了数学的三大基础，即旧三基。自然，与上述进程平行的阶段上，代数与几何的发展并未停滞。事实上，从欧洲文艺复兴以来，它们一直大踏步地前进着。非欧几何的创立，是几何学上的一次革命。它不仅摘掉了带在欧氏几何颈上的绝对真理的光环，而且对人们的观念造成了极大的冲击。相对论的创立也得益于此。作为欧氏几何更高程度上的延拓，射影几何、位置几何（或称拓扑几何）也先后诞生并获得了极大发展。代数方面，人们不再满足于字母间的运算，而把兴趣转到对行列式、矩阵、二次型的研究上来。这就完成了初等代数向高等代数的转化。而代数学方面最大的变革却来自天才数学家，被视为数学疯子的伽罗华所创立的群论。当时，过早的抽象落到了聋子的耳朵里，甚至连当时最伟大的数学家柯西、高斯都未能理解他的思想。但他的深邃思想却对现代数学的发展产生了不可估计的影响。他的群论观点，宣布了抽象代数的诞生。而今，抽象代数研究的课题已包括群论、环论、域论、格等，而成为现代数学的新三基之一。与此同时，旧三基之间互相渗透又产生出一系列分支，如代数几何、微分几何等。回视数学的发展历史，不难发现如其它科学的发展一样，数学的发展并不呈直线发展，而是近乎于以指数曲线迈进。数学的萌芽时期，经历了最为漫长、久远的时代，而成果仅是些零散琐碎的算术、几何知识的积累。从公元前5世纪的古希腊时期开始，经东方时期、欧洲文艺复兴时期，数学的发展逐渐步入了快行道。在代数、几何方面都有大幅度长进。但这已经历了两千年之久啊！18世纪，随着分析方法的产生，数学的发展进一步加速了。这一时期，被称为发明时期，其开创领域之广阔，是前无古人的。数学惊人的新的处女地被垦出来了。但这些工作大都是粗糙的、不严密的。19世纪，经过自我反思的批判运动，数学的基础变得更加坚实牢固。上世纪形成的分支趋于成熟，新颖学科又不断涌现，如实变函数、点集拓扑、抽象代数……而该世纪末，康托尔创立的无穷集合论更为现代数学的发展注入了新的活力。1900年，国际数学大会的召开宣布一个新的纪元开始了。历史步伐跨进了20世纪。数学的发展又获得了长足的进展。实变函数、抽象代数、高等几何很快发展成熟。另一门极富综合性的学科“泛函分析”宣告诞生了。它一问世，就获得迅速发展。很快，它就与高等几何、抽象代数一起，构成了现代数学的新三基。到60年代，数学发展又经历了几次大的突破。模糊数学、突变理论、非标准分析先后问世，使数学内容更加精彩纷呈。尤其是模糊数学从问世到现在不足几十年的时间就已渗透入几乎所有的数学分支，大大推动了数学的进一步发展。与理论数学的发展相对照，20世纪应用数学亦获得长足发展。产生于十八世纪的概率论，要此世纪又产生出新的数理统计，而后者已在极广泛的社会领域内大显身手了。
如果把数学比作一棵大树，那么这棵树并不只是长得更高、伸出更多的枝叉。在另一方面，这棵树还把自己的根扎得更深了。也就是说，数学的发展并未只向广度伸展，同时它还向深度开掘。十九世纪批判运动带给数学的一个极大后果是：对数学基础的研究日益引发数学家们的兴趣。由此导致的好处使数学发展受益匪浅。十九世纪下半叶康托尔创立的集合论，奠定了现代数学的基础。而围绕这一基础引发了一场激烈的争论，这导致了三雄争霸的局面。也说是著名的三大数学流派之争。直觉主义者代表人物布鲁维、形式主义者代表人物希尔伯特、逻辑主义者代表人物罗素，为解决集合论中的悖论各显身手。虽然后来研究证明，只执一端的任何一方的道路都是行不通的，但他们在各自领地内开创的数学成果却极大地丰富了数学的内容，并大大推动了数学的发展。如罗素的逻辑主义理论就对日后电子计算机的发展铺下了一块重要的基石。数学的发展还不单是内容上的增加，更重要的却是体现在新思想、新观点、新方法的出现上。如解析几何、非欧几何、群论带给数学的都远不只是新的内容，而是新思想、新观点的引入。它们对数学发展的推动力是无可估量的。新方法的引入也具有同等重要的作用。1899年，希尔伯特对欧氏几何进行了一番大的整容，而创立出欧氏几何的希尔伯特体系，这不但使欧氏几何真正严谨化，更重要的是带给数学界以现代意义上的公理化方法。在他的理论中，我们常见的几何图形不再是必须的了，而只降为一种直观模型而已。这样，几何学在抽象程度方面又大大迈进了一步。他提出的公理化方法的三个基本要求：相容性（即无矛盾性）、完备性、独立性，对后来数学的发展具有重要的指导意义。许多分支在公理化方法指导下，变得更加严谨，而且获得了飞速发展。其中一个突出的例子是前苏联数学家柯尔莫戈罗夫创立的公理化概率体系，大大促进了概率论的研究。结构主义的新观点在二十世纪亦成为一大热门。法国一批年轻数学家（即著名的布尔巴基学派）将其引入数学领域，开创结构主义数学，将繁杂无序的众多数学分支全纳入一个完整、严谨的结构体系。结构理论为数学的发展提供了有力的工具。到20世纪60年代，结构主义数学达到了全盛时期，布尔巴基学派也因而声名大振。新方法的引入，促成了数学逻辑体系的严谨，也大大推动了数学的发展。同时，新工具的出现，在现代数学的进程中也立下了一番汗马功劳。以前，令数学家颇为自得的是：他们无须象物理学家、化学家那样要依赖于实验仪器，他们一支笔、几张纸，加上一个数学家的头脑，就可以在数学园地中纵横驰骋。但在1976年，美国两位数学家却借助于电子计算机，彻底解决了数学史上一直悬而未决的世界难题：四色猜想问题。这事马上轰动了数学界。电子计算机这不速之客的闯入，宣告了数学骑士生涯的终结。无怪乎许多数学家要为自己骑士梦的破灭而哀叹了。而今，电子计算机在数学中已进一步大显身手。它的出现大大加速了应用数学的研究，也使数学家从繁琐的数学计算中解脱出来。而且，应用它证明多类数学问题的工作已在进展之中。可以预料，不久的将来，许多问题的机械论证托付给此“君”就行了，而数学家可以进一步将数学才智用到更富创造性的领地上去。推动数学发展的动力总起来说，有两个方面。一是来自人类生产、生活的需要，即人类的社会实践活动。从数学史上看，数学的产生来源、归结于此，这是不容置疑的。不管我们现在如何轻视早期的数学萌芽，都不能否认一个基本事实：没有那时的数学萌芽，就根本不会有今日辉煌的数学大厦。它首先促成了初等数学的产生，使数学慢慢走入正轨。而且，更重要的一点在于：它常常是数学新思想、新观点、新方法、新工具、新分支产生的源泉。而这些一旦产生，就会促使数学的面目为之焕然一新。运动观点、微积分工具……的引入，都莫不如是。它们直接来自人类的社会实践活动，却使数学大受其惠。因而我们可以说，人类的社会实践活动是数学发展的根本动力。而且现在随着电子计算机的广泛应用，与实践直接相连的应用数学异军突起，也为现代数学的发展注入了一股新鲜血液。另一推动数学发展的重要动力来自数学自身发展的规律性，即数学的自律性。数学中一旦引入了新概念、新方法等就形成一个比较自足的完整结构，数学家就可以在其中自由驰骋，运用严密的数学逻辑推理，推演出一个个完整的数学体系。在简单的数学基石之上，像变魔术般建起一座座巍峨的数学大厦。这种借助逻辑推理的方法是如此之有效，以至于给人们（包括很多数学家）造成一种错觉：似乎只有这才成了推动数学发展的最重要，甚或是唯一动力。诚然，数学自律性对数学发展的推动力无比巨大，事实上，现代数学的蓬勃发展，就与希尔伯特23问题休戚相关。一个数学问题的解决，推动数学向前迈一个台阶，也绝非耸人听闻之事。但是，片面夸大其作用，使其君临一切却是荒谬的。我们应对上述两种作用作具体之分析。前者，作为根本动力，提供数学进一步发展的前提与基础（相当于矛盾的普遍性）。一般说来，它处于矛盾的次要方面，但是一旦它上升为矛盾的主要方面，则意味着数学的发展达到了一个新的质变飞跃期。（微积分的产生就是一个极好的例证）而后者，作为重要动力，处于矛盾的特殊性位置上。事物的发展通常是稳定的，主要处于量变的积累期，而真正的质变期却是短暂的（虽然它是极重要的），因此，恰恰因此，数学自律性作为矛盾的特殊性才通常坐到了“矛盾主要方面”的交椅上。可以这么想：社会实践活动作为推动力，主要充当了一个做好事不留名的雷锋形象。只是在数学发展中面临突破的质变期时，才在旁边给予极有力的一下扶持。依赖于这一扶持，数学才获得了第一推动力，才在自身发展的轨道上凭借惯性（即数学的自律性）飞速旋转起来。如果我们只是因为助人者做完好事未炫耀，而完全抹杀掉其功绩，就未免太薄情寡意了吧。
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TA的最新馆藏[转]&[转]&[转]&[转]&[转]&[转]&组合算法的选择与应用
Prog Arithmetic1_2;
n:=trunc(exp(t*ln(3)));
m:=trunc(exp((t+1)*ln(3)));
&&if odd(t) then begin& //判断( -1)t
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&& &&else begin
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&
n:=trunc(n/4);& // 4|n
m:=trunc(m/4);& //& 4|m
&&Write(n);
&&Write(m);
End.& Arithmetic1_2
在模型II中，我们运用组合数学的方法建立了递归函数并转化为非递归函数。它的优点是算法的复杂性与问题的规模无关。针对某一具体数据，问题的规模对时间的影响微乎其微。
ixi,yidissmilaruty
设阴影部分面积为S，则
设阴影部分面积为S，则
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
Prog Arithmetic3_5;
&&read(n);
& total:=1;
&&while (a&=2*n) do
&&& total:=total*a;
&& &while (total mod b=0) and (b&=n) do
&&&&& total:=total
&&&&& b:=b+1;
&& &a:=a+1;
& while b&n
&&& total:=
&&& inc(b);
&&write(total);
End.& Arithmetic3_5
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
若按贪心策略求解，所得路径为：1→3→4→6；&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&二
12106&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
10“”1213
&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
3NM,A&&&&&&
a&a,aaaAa(2pm)a=aAaA
&&&&&&&&&&&&&&
贪心策略的理论基础
3 &M=[SI] SISS
, a,......, a
&a, a,......, a&
&& XXSM=SI
，W假定是边e的长度（其他的也可以），i=1，2，3，...，m。求图G的总长度最短的树，这就是最短树问题。
&& &kruskale,e,......,eWW
ee...... e
&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 5 TT{ e}ww+ wtt+1kk+13
&& KruskalPrim
& &&已知图G=（V，E），V={v，v，v，...， v}，D=（d）是图G的矩阵，若〈v，v〉∈E，则令dij=∞，并假定dij=∞
& &&PrimSV\SSvDdSSV\SSSS{ v}nn-1
&q(j)q(j)d,p(j)h
& &&pivSqivSqi=-1vSvSSvjpjqjSSv, vv12,n
&&& G=VEV={vv..., v}vv
SSwdwvSwSvSwdwvw==0=
maxmax+maxmax+++max
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
NOI93Dijkstra
试题描述　
　　&&&&&&&&&&&&&&&&&
试题背景　
§6.1.2& P
&&&&&&&&&&& & 7&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
228Sf91516
&&&&& && 9&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
§6.2 关于运用贪心策略求解NPC类问题的讨论
& NPCNOI98NOINPCNPCNPCNPCNPCNPC
&ISBN 7-302-02277-1
ISBN 7-309-02141-X/T210
【部分试题及源程序】
1、吉尔的又一个乘车问题：
Jill likes to ride her bicycle, but since
the pretty city of Greenhills where she lives has grown, Jill often uses the
excellent public bus system for part of her journey. She has a folding bicycle
which she carries with her when she uses the bus for the first part of her
trip. She follows the bus route until she reaches her destination of she comes
to a part of the city she does not like. In the latter event she will board the
bus to finish her trip.
Through years of experience, Jill has
rated each road on an integer scale of “niceness”. Positive niceness values
indicate roads J negative values are used for roads she does not
like. Jill plans where to leave the bus and start bicycling, as well as where
to stop bicycling and re-join the bus, so that the sum of niceness values of
the roads she bicycles on is maximized. This means that she will sometimes
cycle along a road she does not like, provided that it joins up two other parts
of her journey involving roads she likes enough to compensate. It may be that
no part of the route if suitable for cycling so that Jill takes the bus for its
entire route. Conversely, it may be that the whole route is so nice Jill will
not use the bus at all.
Since there are many different bus
routes, each with several stops at which Jill could leave or enter the bus, she
feels that a computer program could help her identify the best part to cycle
for each bus route.
& &The input file contains information on
several bus routes. The first line of the file is a single integer b representing
the number of route descriptions in the file. The identifier for each route (r)
is the sequence number within the data files,1rb. Each route description begins with the number of stops on the
route : an integer s, 2≤s≤20,000
on a line by itself. The number of stops is followed by s-1 lines, each
line i(1is) is an
integer ni representing Jill’s assessment of the niceness of the road
between the two stops i and i+1. &&&&&&&
For each route r
in the input file, your program should identify the beginning bus stop i
and the ending bus stop j that identify the segment of the route which
yields the maximal sum of niceness m=ni+ni+1+…+nj-1.If more than one segment is
maximally nice, choose the one with longest cycle ride(largest j-i).
To break ties in longest maximal segments, choose the segment that begins with
the earliest stop(lowest i).For each route r in the input file,
print a line in the form:
The nicest part of
route r is between stops i AND j.
However, if the maximal sum is not
positive, your program should print:
Route r has no
nice parts.
INPUT SAMPLE
OUTPUT& SAMPLE
&The nicest part of route 1 is between stops 2 and 3
&The nicest part of route 2 if between stops 3 and 9
&Route 3 has no nice parts
0NNN01ij1ijij0
& Program Delete_
Var n:{n是由键盘输入的高精度正整数}
& &&&&s,a,b,c:{s是所要删除的数字的个数}
&&& &&data:array[1..200] of 0..9; {记录删除的数字所在位置}
& &&readln(n);
& &&readln(s);
& &&for a:=1
&&& &&for b:=1 to length(n) do if n[b]&n[b+1] then&& {贪心选择}
&&&&& begin
&&&&&&& delete(n,b,1);
&&&&&&& data[a]:=b+a-1;& {记录所删除的数字的位置}
& &&while n[1]='0'
do delete(n,1,1);&& {将字符串首的若干个“0”去掉}
& &&writeln(n);
& &&for a:=1
to s do writeln(data[a],' ');
INPUT.TXTM1M100M2N1&N500N3M+2Mi+2i&
OUTPUT.TXT01M-10SNO
var m:1..100;&&&&& {m为开通的单向巴士线路数}
&&& n:1..500;&&&&& {n为车站总数}
&&& result:array[1..501] of -1..100;& {到某车站的最少换车数}
&&& num:array[1..500,1..50] of 1..500;& {从某车站可达的所有车站序列}
&&& sum:array[1..500] of 0..50;&&& {从某车站可达的车站总数}
&&& check:array[1..500] of B& {某车站是否已扩展完}
Procedure I
&&& a,b,c,d:
&&& data:array[1..100] of 0..100;
& assign(f1,'input.txt');
& reset(f1);
& readln(f1,m);
& readln(f1,n);
& result[501]:=100;
& for a:=1 to m do
&&& for b:=1 to 100 do data[b]:=0;
&&& repeat
&&&&& inc(b);
&&&&& read(f1,data[b]);
&&& until eoln(f1);
&&& for c:=1 to b-1 do
&&&&& for d:=c+1 to b do
&&&&& begin
&&&&&&& inc(sum[data[c]]);
num[data[c],sum[data[c]]]:=data[d];
Procedure D
var min,a,b,c,total:
& fillchar(result,sizeof(result),-1);
&&result[1]:=0;
& for c:=1 to sum[1] do result[num[1,c]]:=0;
& b:=data[1,1];
&&& for c:=1 to sum[b] do
&&&&& if (result[num[b,c]]=-1) then
result[num[b,c]]:=result[b]+1;
&&& min:=501;
&&& for c:=1 to n do if (result[c]&&-1) and
(result[c]&result[min])
&&&&&&&&&&&&&
then min:=c;
& until result[n]&&-1;
& writeln(result[n]);{到达S公园的最少换车次数}
INPUT.TXTMNM1M100N1N20000MN-1
OUTPUT.TXT
var m,n:& {M为旅游街数，N为林荫道数}
&&& data:array[1..20000] of -100..100;{data是由相邻两条林荫道所分}
procedure I&&&&&&& {隔的旅游街的最大分值}
var a,b,c:
& assign(f1,'input.txt');
& reset(f1);
& read(f1,m,n);
& for a:=1 to n-1 do read(f1,data[a]);&& {读取每一段旅游街的分值}
& for a:=2 to m do
&&& for b:=1 to n-1 do
&&&&& read(f1,c);
&&&&& if c&data[b] then
data[b]:=c;&& {读取每一段旅游街的分值，并选择}
&&& &&&&&&&&& {到目前位置所在列的最大分值记入数组data}
& close(f1);
procedure D
var a,sum,result,c:
& result:=0;
& while (a&n) do
&&& inc(a);&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
{从数组的第一个数据开始累加，将累加所}
&&& sum:=sum+data[a];&&&&&&&&& {得到的最大分值记入result}
&&& if sum&result then result:=
&&& if sum&0 then sum:=0;&& {若当前累加值为负数，则从当前状态起从新}
& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
& assign(f2,'output.txt');
& rewrite(f2);
& writeln(f2,result);
& close(f2); 上传我的文档
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单墫老师教你学数学 组合数学的问题与方法
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1.75亿学生的选择
应用数学的发展前景有知道的告诉下 应用数学将来发展前景如何?将来是做什么的
数学向各个学科的渗透正在越来越广泛和深入,在科学研究、日常工作中也大量应用着数学知识,这些都是大家熟知的.就数学本身而言,可以大体分为三大部分：基础数学、应用数学和计算数学.基础数学是数学中的核心,也是最纯粹最抽象的部分.它大致由三个分支组成：分析、代数和几何.这三者又相互交叉和渗透,从而产生解析几何、解析数论、代数几何等学科.此外研究随机现象的概率论、研究形式推理的数理逻辑等,也属于基础数学.应用数学研究现实中具体的数学问题,它既采用基础数学的成果,同时又反过来从实际中提炼问题、探讨新思想和新方法以丰富基础数学.计算数学偏重于计算,早期它致力于求出各种方程（代数方程、（偏）微分方程、微积分方程等）的数值解.由于电子计算机的出现,近40年来计算数学有了极其迅速的发展.计算机的高速计算使得许多过去无法求解的问题成为可能,从而大大扩展了数学的应用范围.今天,人们已把计算作为与理论、实验鼎足而立的第三种科学方法而引入科学界.基础数学、应用数学与计算数学既有各自的特点又紧密相互联系.一个重大的数学问题,特别是从实际中提出的数学问题,都需要上述三种数学的内容和方法.建立数学模型,寻求解题方法,需要基础数学和应用数学,而使解题方法得以实现,则离不开计算数学.这三种数学互相补充,互相渗透,大大地促进了整个数学科学的发展.以往传统的、数学处理方法相对成熟的领域（如力学、天文及传统工业领域等）扩展到原先外传统的、数学处理相对说来不算成熟的化学、生物、经济及社会学领域.同时在新兴的科学领域、高新技术领域包括生命、信息、环境、材料、能源、经济等方面都提出了新的课题,它远远超出了传统应用数学的范围,所以说“高技术本质上是一种数学技术”,数学已兼有科学与技术两种品质,这是其它学科所少有的.我们知道经济、金融类专业,以往把它们划分在文科专业,而如今随着数学的渗透,定量经济学、经济数学、金融数学都在蓬勃发展各种经济、金融中的数学模型也应运而生,更进一步,由于经济、金融业的发展和需求,产生了一门新的有关经济的数学学科——精算,相应的有了精算师这一新行业,大量的理财产品、保险产品、银行业的相关产品都是在此基础上产生的.
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