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一、本节学习指导
勾股定理是最常用定理之一，广泛的应用于各种几何计算。同学们一定要会运用，掌握
好本节的基本知识即可，然后做适当的练习，在下一章学习的四边形中很多证明就需要用到
勾股定理。
二、知识要点
1、勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a
2.勾股定理逆定理：
如果三角形三边长a,b,c满足a
。，那么这个三角形是直角三
3、直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°
∠A+∠B=90°；
”读作“推导”，意思是因为有什么才得出什么。比如：a-b＞0
示a＞b由a-b＞0推导而来，这个符号在数学计算中经常用到。
（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
（3）直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半。
°，求证：∠
为等腰三角形，则
是等边三角形
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上题图：CD为AB的中线，∴CD=
，上题证明中前半部分证明了此条。
4、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是
它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
如图：RT△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则有：
5、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC
6、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系
，那么这个三角
形是直角三角形。
三、经验之谈：
上面总结了很多公式，有些是书上给出的，有些是平时做题的积累，希望给同学们平时
的学习带来帮助，可能你会对有些公式不太理解，没关系，因为有些知识我们只需要死记就
，不管是白猫黑猫，待到分数就是好猫。
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八年级数学下册《勾股定理》知识点总结
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
八年级数学下册《勾股定理》知识点总结
文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
八年级数学下册《勾股定理》知识点总结
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
4.直角三角形的性质& &&& （1）、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90° ∠A+∠B=90°&&& （2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。&&&&&&&&&&&& ∠A=30°&&&& 可表示如下：&&&&&&&&&&&& BC= AB&&&&&&&&&&&& ∠C=90°&& （3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半&&&&&&&&&&&& ∠ACB=90°&& &&& 可表示如下：&&&&&&&&&&&&&&&&& CD= AB=BD=AD&&&&&&&&&&&& D为AB的中点5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90°&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&& CD⊥AB&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC7、直角三角形的判定&& &&& 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。&&& 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。&&& 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系 ，那么这个三角形是直角三角形。8、命题、定理、证明&&& 1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。2、命题的分类（按正确、错误与否分）&&&&&& 真命题（正确的命题）命题&&&&&& 假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。3、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。4、定理用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。5、证明判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。6、证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形。（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
9、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
10数学口诀.&平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。&完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。&四边形&&& 1．四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°.&2．多边形的内角和与外角和定理：（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°.&3．平行四边形的性质：因为ABCD是平行四边形 &4.平行四边形的判定：
5.矩形的性质：因为ABCD是矩形
&&6. 矩形的判定：&四边形ABCD是矩形.&7．菱形的性质：因为ABCD是菱形 8．菱形的判定：&四边形四边形ABCD是菱形.9．正方形的性质：因为ABCD是正方形& &（1）&&&&&& （2）（3）&&&&&&&&& &10．正方形的判定：&四边形ABCD是正方形.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (3)∵ABCD是矩形又∵AD=AB ∴四边形ABCD是正方形&11．等腰梯形的性质：因为ABCD是等腰梯形& &12．等腰梯形的判定：&四边形ABCD是等腰梯形&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (3)∵ABCD是梯形且AD∥BC∵AC=BD∴ABCD四边形是等腰梯形&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &14．三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.&
15．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.&&
一& 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.二& 定理：中心对称的有关定理※1．关于中心对称的两个图形是全等形.※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.三 公式： 1．S菱形 = ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高）2．S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高）3．S梯形 = （a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）四 常识：※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是： .2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴.文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
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初二下册数学勾股定理&
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由题意可知，设水深为x，则，AB'=AC+BC=x+1,BB'=10/2=5，所以由勾股定理可得，AC^2+BB'^2=x^2+5^2=AB'^2=（x+1）^2，解得，x=12，所以水深12尺，芦苇长13尺。
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初二数学人教版（下册）勾股定理及勾股定理的逆定理（附答案）
来源：中考网&&&&作者：丽丽&&&& 13:58:15
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中考网版权所有Copyright© . All Rights Reserved.八年级数学下册勾股定理知识点和典型例题_中华文本库
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八(1)班勾股定理知识点及典型习题
一、基础知识点：
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2?b2?c2
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方
２.勾股定理的证明
D 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 C
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
EG①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 b②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
AB常见方法如下：
方法一：4S??S正方形EFGHbacb1?S正方形ABCD，4?ab?(b?a)2?c2，化简可证． 2aa
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为bcc
1S?4?ab?c2?2ab?c2 大正方形面积为S?(a?b)2?a2?2ab?b2
所以a2?b2?c2 2AaD
b111方法三：S梯形?(a?b)?(a?b)，S梯形?2S?ADE?S?ABE?2?ab?c2，化简得证 222Eca BCb３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在?ABC中，?
C?90?，则c
知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 a?②
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足a2?b2?c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2?b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2?b2?c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2?b2?c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中a，b，c及a2?b2?c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2?c2?b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2?b2?c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等
③用含字母的代数式表示n组勾股数：
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