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太阳火神的美丽人生 ()本文遵循“”创作公用协议《漫画线性代数》，居然有这样的名字，线性代数这种干巴巴的内容，也可以漫画？提到漫画，感觉就应该是很容易理解的那种，书到是不贵（话说回来，真正有价值的书，何时贵过呢，反而是包装过火的书，才要付出额外的价值），希望能让我真正明白，线性代数到底是做什么的，矩阵和向量到底与空间转换有啥子亲缘关系，也免得无端被打得鼻青脸肿，确不知道得罪了哪一位，矩阵，还是向量？估计都不是，背后肯定还有一些认识的，那一定是了！从下面的信息来看，这本书是日本人写的，心里总感觉有些不知名的怪异感，其实你知道的，好奇之余，查了一下，日本高桥家族的相关信息，发现一篇 《》的文章，其中有这几段，足以让我们放下些什么，去接纳这本有趣的书：“现留存于日本的刘氏宗亲，乃东汉光武帝刘秀后裔，汉献帝刘协的直系后代。为躲避灾祸，汉献帝玄孙阿智王带领其子都贺王等2000余人，于公元289年5月离开汉土东渡，历经艰难抵达日本。尽管他们是外来人，但汉朝在当时日本人心目中的地位很高，阿智王的曾孙东汉直掬和日本第35代女天皇结婚（此说目前尚有争议），生有阪上、大藏、内藏3子。”漫画本人从小到大基本不看，不知道是天生愚钝看不懂，还是没这方面兴趣，不过对于线性代数这种内容，能用漫画来展示，一定会很轻松地理解，不求从这本书中掌握到太多，但至少能明白线性代数是干什么的，矩阵和向量在工程中使用是起到了什么作用，这一点弄明白，对于在工程中运用它们完成空间转换，至关重要，个人是这样感觉的，也许你也是。把复杂的事情简单化，确实是一大贡献！高桥信，1972年生于日本新泻县。毕业于日本九州艺术工科大学（现已更名为日本九州大学），专攻艺术工科，研究科学信息传输。曾担任资料分析业务和研讨会讲师，现为作家。 著作有《漫画统计学之回归分析》、《漫画统计学之因子分析》、《用Excel学回归分析》（以上由欧姆社出版）《即刻读懂生存时间分析》、《文科生也可以理解的多变量解析》（以上由东京图书出版）、合著有《AHP和交叉分析》（由现代数学社出版），等等。目录1234中文名: 漫画线性代数作者: (日)高桥信 著(日)Inoue Iroha 漫画绘制(日)株式会社TREND-PRO 漫画制作译者: 滕永红 译图书分类: 科普出版社: 科学出版社书号: ISBN: 1发行时间: 2009年08月地区: 大陆语言: 简体中文你是不是曾经被线性代数里奇怪的名词和繁琐的计算所困？不知道在说什么，也不知道该从哪里人手进行学习？那么，这本书最合适你不过了。这是世界上最简单的线性代数教科书，它透过漫画式的情境说明，让你边看故事边学知识，每读完一篇就能理解一个概念，每一部分还附有文字说明，只要跟着这些简单的习题进行操练，你将能在最短的时间内修炼成线性代数达人！有趣的故事情节、时尚的漫画人物造型、细致的内容讲解定能给你留下深刻的印象，让你看过忘不了。不论你是学生、上班族或是已经有一家属于自己的公司的老板，活学活用线性代数知识，定能为你的学习与工作增添更多的便利。高桥信，1972年生于日本新泻县。毕业于日本九州艺术工科大学（现已更名为日本九州大学），专攻艺术工科，研究科学信息传输。曾担任资料分析业务和研讨会讲师，现为作家。 著作有《漫画统计学之回归分析》、《漫画统计学之因子分析》、《用Excel学回归分析》（以上由欧姆社出版）《即刻读懂生存时间分析》、《文科生也可以理解的多变量解析》（以上由东京图书出版）、合著有《AHP和交叉分析》（由现代数学社出版），等等。序章 加油！线性代数第1章 何谓线性代数1.线性代数2.研究要点和考试要点3.数学家眼中的线性代数3.1 数学家眼中的线性代数3.2 线性代数和公理第2章 基础知识1.数的分类2.充分必要条件2.1 命题2.2 必要条件和充分条件2.3 充分必要条件3.集 合3.1 集合3.2 集合的表示3.3 子集4.映 射4.1 映射4.2 像4.3 值域和定义域4.4 满射、单射、满单射4.5 逆映射4.6 线性映射5.希腊文字6.理科特有的说法7.排列组合8.主将的命令和映射第3章 矩 阵1.矩 阵2.矩阵的运算3.特殊矩阵第4章 矩阵(续)1.逆矩阵2.逆矩阵的求解方法3.行列式4.求解行列式值的方法5.利用代数余子式的方法求逆矩阵5.1 元素α的余子式5.2 元素α的代数式5.3 利用代数余子式法求逆矩阵6.利用克莱姆法则解一次方程组第5章 向量1.向量2.向量的计算3.向量表示第6章 向量(续)1.线性独立2.基3.维数3.1 子空间3.2 基和维数4.坐标第7章 线性映射1.线性映射2.学习线性映射有何用处3.特殊的线性映射3.1 放大3.2 旋转3.3 平移3.4 透视投影4.核、像空间、维数公式5.秩5.1 秩5.2 秩的求法6.线性映射和矩阵的关系第8章 特征值和特征向量1.特征值和特征向量2.特征值和特征向量的求法3.n阶方阵，次幂的求法4.是否存在重解与对角化4.1 存在重解时的示例14.2 存在重解时的示例2附录1 习题参考文献
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线性代数经管类好学吗?
阿星__2590
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没问题的,用高中的知识不是很多.但线性代数计算比较繁琐,要认真对待应该问题不大,对文科生来讲并不是很容易的~
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高中文科生数形结合思想方法的教学研究（原版论文）.pdf65页
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湖南师范大学 硕士学位论文
高中文科生数形结合思想方法的教学研究 姓名：周剑利 申请学位级别：硕士 专业：学科教学（数学） 指导教师：昌国良 201110 摘要 “数学是打开机会大门的钥匙。现在数学不再只是科学的语言，它 以直接的和基本的方式为财政、保健、国防和商业做出贡献，它为学
生打开职业大门；它使国民能做出有充分依据的决定；它为国家提供
竞争技术经济的学问，为了充分参与未来世界，美国必须开发数学的
力量。"这是美国研究会在其著名报告《人人关心：数学教育的未来》 中的开篇辞。由此可见，数学的重要性，在中国一样，数学是一门重
要的学科。数学教学的核心是思维教学。为了一切学生的全面发展，
终生发展，为了三维目标的达成，教师应该始终坚持数学思想方法的
教学。数形结合思想方法的教学是高中文科生数学教学的重中之重。
在素质教育的背景下，多元智能理论和建构主义学习理论的指导下，
本人通过对高中文科生数形结合思想方法的教学研究，总结出以下几
点：第一，数形结合思想方法的教学方式，是适合高中文科生的数学
教学方式，它能把形象思维和抽象思维结合起来，有利于提高学生的
观察、比较、联想、综合、创造等能力。第二，数形结合思想的教学
要遵循一般教学原则和数学思想方法教学原则。第三，根据建构主义
学习理论，数形结合思想方法教学过程是以学生为中心，以学生的全
面发展、终生发展为本位的过程式教学：具体到教学模式，我们可以
采取引导探索式，自学指导式，小组合作式等等。第四，数形结合思
想方法的教学策略：反复渗透――初步形成――综合运用，数形结合
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自考线性代数心得
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篇一：自考线性代数重点 第一章
一．行列式的定义和性质
1. 余子式Mij和代数余子式Aij的定义
例1行列式10 ?1 1?110?11?110 B．?1 D．2 第二行第一列元素的代数余子式A21?（） ?11?1A．?2 C．1 测试点
余子式和代数余子式的概念
10 ?1 1?110?11?110,A21?(?1)2?1?11?11M21???11?110?101?1??0?1 答案 B
2．行列式按一行或一列展开的公式 1）A?aij nn??aijAij,j?1,2,?n;(A?aiji?1nn??aijAij,i?1,2,?n) j?1nk?jnk?i?A?A;?aijAkj?? 2）?aijAik??
k?jk?i00i?1j?1?? 例2 设某3阶行列式的第二行元素分别为?1,2,3,对应的余子式分别为?3,?2,1则此行列式的值为
行列式按行(列)展开的定理 解
D?(?1)?A21?2A22?3A23?(?1)(?1) ??3?4?3??10 例3 已知行列式的第一列的元素为1,4,?3,2，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x 问x?. 测试点
行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零. 解 因第一列的元素为1,4,?3,2，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x,故1?2?4?3?(?3)?4?2x?0 所以x??1
弐 2?1M21?2(?1)2?2M22?3(?1)2?3M233．行列式的性质 1）A?A. 2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开. 6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等. T a11 例4 已知a21a12a22 a32a13a332a11?2a312a12a22?2a32 B.?12 D. 12 2a13a23?2a33?（） a23?3，那么a21a31A.?24 C.?6 测试点
行列式的性质 2a11 解析
a212a12a22 ?2a322a13a23?2a33a11?2?(?2)a21a31a12a22a32a13a23??12. a33?2a31 答案
B 例5设行列式 A．?3 C．1 a1a2b1b2=1，a1a2c1c2=2，则a1a2b1?c1b2?c2=（） B．?1 D．3 测试点
行列式的性质 解 a1 a2b1?c1b2?c2?a1a2b1b2?a1a2c1c2?3 故应选
二．行列式的计算 1．二阶行列式和三角形行列式的计算. 2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算. 3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式 参
行列式的计算 114 解
111?4131 211 0?3000?3 ?10?3?(?3)00?30210?6 例7计算3阶行列式
)?(?1)(2)100?233(2)?(?1)(3)100?.
xaaa 例8 计算行列式：axaa xaxaa aaa测试点
各行元素之和为常数的行列式的计算技巧. xaaa 解
D?x?3aaaa?x?3axaa xa xx?3aa?x?3a000ax?a00a0x?a0a00x?a? axaaxaxaaaaax?3aaa ?(x?3a)(x?a)3. ab0?00 0ab?00 例9计算行列式Dn?00a?00 ?????? 000?ab b00?0a 测试点 行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算
00?01 00?20 例10计算行列式D6?????? 05?00 60?00 00?01 00?20 解
D6??10?0002?00?(?1)3?(1)?(6) (3)?(4)??????????6! 05?00(2)?(5)60? xx2 例11设D(x)?x38 27 2 3 问（1）D(x)中，x项的系数＝？（2）方程D(x)?0有几个根？试写出所有的根。 测试点
1.范德蒙行列式的判别和计算公式;2.行列式按行(列)展开的定理. 12 3解（1）x项的系数?A14?(?1)13549??(3?2)(4?2)(4?3)??2 1416 (2)因为D(x)?(2?x)(3?x)(4?x)(3?2)(4?2)(4?3) 所以方程D(x)?0有三个根:x1?2,x2?3,x3?4.
第二章矩阵
一、矩阵的概念 1.要弄清矩阵与行列式的区别 2.两个矩阵相等的概念 3.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵） 二、矩阵的运算 伍篇二：线性代数自考知识点汇总 行列式 1. 行列式的性质 性质1
行列式与它的转置行列式相等D?DT. 性质2
互换行列式的两行（列），行列式变号. 推论1
如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零. abc 如a?b?c??0 abc 性质3
行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k乘此行列式. a11 如ka21 a12ka22a32 a13a33 a11a31 a12a22a32 a13a23a33 ka23?ka21 a31 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零． abc 如a?b?c??0kakbkc 性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和. a11 ?如a21?a21 a31 a12?a22?a22 a32 a13a33 a11a31 a12a22a32 a13a23a33 ??a21a23?a23 a11 ??a21 a31 a12 ?a22a32a13 ?a23a33 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变. a11 如a21 a12a22a32 a13a23?a33 a11a21a31?ka11 a12a22a32?ka12 a13a23a33?ka13
a31 2. 余子式与代数余子式 在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij，Aij?(?1) i?j Mij叫做元素aij的代数余子式． a11 如a21 a12a22a32 a13 a31 a23，元素a23的余子式为M23? a31 a33 2?3 a11a12a32a12a32 ， 元素a23的代数余子式为A23?(?1)M23?? a11a31 .3. 行列式按行（列）展开法则 定理1
行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin或 D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj ?i?1,2,?,n;j?1,2?n? a11 如a21 a12a22a32 a13 a23?a11A11?a12A12?a13A13 a33 a31 定理2
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0,或a1jA1j?a2jA2j???anjAnj?0,i?j. ?i?1,2,?,n;j?1,2?n? 4. 行列式的计算 （1）二阶行列式（2）三阶行列式 a11a21 a12a22 ?a11a22?a12a21 a11a21a31 a12a22a32 a13 a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32 a33 ?1 （3）对角行列式 ?1 ?2 ? ?n a11 ??1?2??n， ?2 ??n ?(?1) n(m?1)?1?2??n a11 a22 a12?a1na22?a2n （4）三角行列式 a21 ? an1 ? an2??ann ? ?? anna1n ?a11a22?ann a11a21 ? an1 ?a1,n?1a1n?a2,n?1 ? ? an1 a2,n?1a2n ? an2 ?? ? ann ?(?1) n(n?1)2 a1na2,n?1?an1 （5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值. （6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值. （7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.矩阵 1. 常见矩阵 1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作Λ. 2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作E. ?a11? 3）上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如? ????a11?a21?4）下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如????an1 a12?a22 a1n??a2n?? ??? ?ann???? ?? ? ?ann? a22 ? an2 5）对称矩阵：设A为ｎ阶方阵，若AT?A，即aij?aji，则称A为对称矩阵. 6）反对称矩阵：设A为ｎ阶方阵，若AT??A，即aij??aji ，则称A为反对称矩阵. 7）正交矩阵：设A为ｎ阶方阵，如果AAT?E或ATA?E，则称A为正交矩阵. 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 （1）矩阵的加法 ?ab如? ?dec??a?b???? f??d?e?c???a?a?b?b???? f???d?d?e?e?c?c?? ? f?f?? 注：① 只有同型矩阵才能进行加减运算； ② 矩阵相加减就是对应元素相加减. （2）数乘矩阵 如k? ?ab?dec??ka???f??kdkbkc? ? kekf? 注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素. （3）矩阵的乘法：设A?(aij)m?s,B?(bij)s?n，规定AB?C?(cij)m?n, 其中cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj? ?a k?1 s ikkj b(i?1,2,?,m,j?1,2,?,n.) 注：①左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数； ②左矩阵A 的第i行与右矩阵B的第j列对应元素乘积的和是矩阵乘积C的元素cij. ③左矩阵A的行数为乘积C的行数，右矩阵B的列数为乘积C的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数），即?a11 a12 ?b11???b ?a1s??21??a11b11?a12b21??a1sbs1 ??????bs1? a11b12?a11b1s? ? a21b12?a21b1s? ???? as1b12?as1b1s? ?1 列矩阵乘行矩阵是s阶方阵，即 ?a11??a11b11???a21???bb?b???a21b11 1s ???1112?????a?s1??as1b11 3. 逆矩阵 设n阶方阵A、B，若AB=E或BA=E，则A，B都可逆，且A（1）二阶方阵求逆，设A?? ?B,B?1?A. ?ab?1*1?d?b??1 A?A? ，则??（两调一除法）. ? Aad?bc??ca??cd? ?1 ?a1 ? （2）对角矩阵的逆? ??????????an ?1 ?a1?1? ?? a2 ??? ??? ???an?? a2?1 ? ??，
?? ??1?an? a2 a1?? ?? ??? ?? ???a?1 ??1 ? a2 ?1 an?1? ??. ???? ?1
?A1? （3）分块对角阵的逆? ??????????As ?1 ?A1?1? ?? A2 ??? ??? ???As?? A2?1 ? ??;
?? ?As?1?? A2 A1?? ?? ??? ?? ???A?1 ??1 ? A2?1 As?1? ??. ???? ERT E??????E （4）一般矩阵求逆，初等行变换的方法：?A4. 方阵的行列式 A?1?. 由ｎ阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A的行列式.记作A或det（A）. 5. 矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：（1）互换两行（列）；（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行（列）. 6. 初等矩阵 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵. ?001??100??100??????? 如?010?,?0k0?,?010?都是初等矩阵. ?100??001??k01??????? 7. 矩阵的秩 矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩.记作R（A）或r（A）. 求矩阵的秩的方法： （1）定义法：找出A中最高阶的非零子式， 它的阶数即为A的秩. （2）初等行变换法：A????行阶梯形矩阵，R（A）=R（行阶梯形矩阵）=非零行的行数. 8. 重要公式及结论 （1）矩阵运算的公式及结论 ERT A?B?B?A,Ak1?Ak2?Ak1?k2, (A?B)?C?A?(B?C),(A?B)C?AC?BC,(Ak1)k2?Ak1k2,B, EA?AE?A, (AB)C?A(BC), ?(A?B)??A??B?(AB)?(?A)B?A(?B) Ek?E (?A)k??kAk,A0?E T
?AB? k ?A?BA? k?1 ?AT??A, TT ? (A?B)T?AT?BT, ??A? ??AT, ?AB? n T ?BTAT
?A????AT?, AT?A, ?AB? ? ?B?A?,AA??A?A?AE An?A, A?B?A?B ?A??nA, AB?AB?BA, 矩阵乘法不满足交换律，即一般地AB≠AB; 矩阵乘法不满足消去律，即一般地若AB=AC，无B=C；只有当A可逆时，有B=C. 一般地若AB=O，则无A=O或B=O. 2 ?A?B???A2?2AB?B2. （2）逆矩阵的公式及定理 ?A?1??A, ?1 ??A? ?1 ? 1 ? , A?1, ?AB? ?1 ?B?1A?1, ?AT???A?1? ?1 T A?1?A ?1 , ?1? A??A n?1 A?1? ?k 1? A,A A??AA?1
?A? ??1 ??A? 1?A,A A ??A ?1k ? A可逆?|A|≠0?A～E（即A与单位矩阵E等价） （3）矩阵秩的公式及结论 R(O)?0, R(Am?n)?min{m,n}, R(AT)?R(A),R(kA)?R(A),k?0 A?0?R(A)?n, R?A?B??R?A??R?B?篇三：自学考试线性代数 自考高数线性代数笔记 第一章 行列式 1.1 行列式的定义
（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义注意：在线性代数中，符号不是绝对值。例如 ，且 ；例如
例如 =0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用 下面的对角线法记忆
方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。例如：（1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1 a为何值时，
解 因为 所以8-3a=0，时 例2 当x取何值时， [答疑编号：针对该题提问]解：
0&x&9 所以当0&x&9时，所给行列式大于0。
（二）n阶行列式
符号： 它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j列上。所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。为叙述方便起见，我们用(i,j)表示这个位置。n阶行列式
n阶行列式通常也简记作 。 也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。
例如，在三阶行列式
中，的余子式表示将三阶行列式划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的二阶行列式，所以
表示将三阶行列式划去第二行和第三列后，余下的数组成的 相似地，的余子式二阶行列式。所以例1 若
（1） （2） ，求：（3） （4）
（4） 例2 求例1中的代数余子式（1） [答疑编号：针对该题提问]（2） [答疑编号：针对该题提问]（3） [答疑编号：针对该题提问] （4） [答疑编号：针对该题提问] 解：（1） （2） （3） （4）
（如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数，等于原数）例3 若 计算（以上两组数相等）[答疑编号：针对该题提问]解：
由于与例3的结果比较，发现 这一结果说明：三阶行列式等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和，这一结果可以推广到n阶行列式作为定义。 即规定n阶行列式中因为 的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和，上面结果本&&篇:《》来源于:
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