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&&&&这是一本供高三同学复习迎考、研究压轴题,挑战满分的书!&&&&高考压轴题通常是指解答题的最后两三题中的部分较难的小题或客观题中部分较难的题目,它们的功能是突出选拔性.&&&&客观题中的难题知识点可以是高中数学的各个分支,而解答题的难题则主要集中在函数与导数、数列和解析几何三大分支,近年概率统计和立体几何比例有所增加.每个分支都可以涉及不等式,尤其是放缩法使得有些试题的难度较大.以下是2008年(统计36套)、2009年(统计39套)、2010年(统计35套)、2011年(统计35套)、2012年(统计35套)、2013年(统计37套)压轴题中最后三题考点的分布情况:&&&&&&&&年 份函 数数 列解析几何导 数其 他&&&&&&&&116&&&&724&&&&019&&&&120&&&&223&&&&&&&&注:其中函数内容为:函数基本性质(不涉及导数);其他部分的内容为:立体几何和概率与统计.这些试题大多数是安排在倒数第二、三题.&&&&本书分上、下两篇:第一篇是解答题,第二篇是客观题.解答题分函数、数列、解析几何与导数四章.客观题根据解法特点分为九章.本书选题主要是2010年、2011年、2012年和2013年全国各地高考题中的思想性、方法性强的典型试题,按“分析与解、解题反思、发散训练”的形式展开.&&&&分析与解――分析每种方法是怎么想出来的,在遇到困难的时候应该如何突破,结合具体问题谈一些思维方法.&&&&解题反思――指出容易失误(思维不缜密或运算易错处)的地方以及原因,分析到某一步卡住(思想方法有偏差或技能技巧不熟练)的原因,并提出解决办法.&&&&同时,引导读者注意对一些看似平淡问题的追根求源,对某些考题适当拓展,培养读者的探究性能力,还针对本题所涉及的典型思想方法和技能技巧进行评析,等等.
&&&&这是一本供高三同学复习迎考、研究压轴题,挑战满分的书!&&&&高考压轴题通常是指解答题的最后两三题中的部分较难的小题或客观题中部分较难的题目,它们的功能是突出选拔性.&&&&客观题中的难题知识点可以是高中数学的各个分支,而解答题的难题则主要集中在函数与导数、数列和解析几何三大分支,近年概率统计和立体几何比例有所增加.每个分支都可以涉及不等式,尤其是放缩法使得有些试题的难度较大.以下是2008年(统计36套)、2009年(统计39套)、2010年(统计35套)、2011年(统计35套)、2012年(统计35套)、2013年(统计37套)压轴题中最后三题考点的分布情况:&&&&&&&&年 份函 数数 列解析几何导 数其 他&&&&&&&&116&&&&724&&&&019&&&&120&&&&223&&&&&&&&注:其中函数内容为:函数基本性质(不涉及导数);其他部分的内容为:立体几何和概率与统计.这些试题大多数是安排在倒数第二、三题.&&&&本书分上、下两篇:第一篇是解答题,第二篇是客观题.解答题分函数、数列、解析几何与导数四章.客观题根据解法特点分为九章.本书选题主要是2010年、2011年、2012年和2013年全国各地高考题中的思想性、方法性强的典型试题,按“分析与解、解题反思、发散训练”的形式展开.&&&&分析与解――分析每种方法是怎么想出来的,在遇到困难的时候应该如何突破,结合具体问题谈一些思维方法.&&&&解题反思――指出容易失误(思维不缜密或运算易错处)的地方以及原因,分析到某一步卡住(思想方法有偏差或技能技巧不熟练)的原因,并提出解决办法.&&&&同时,引导读者注意对一些看似平淡问题的追根求源,对某些考题适当拓展,培养读者的探究性能力,还针对本题所涉及的典型思想方法和技能技巧进行评析,等等.&&&&发散训练――给出与考题相近的问题以便练习、巩固、提高.每题都给出详细的解答,以方便自学.&&&&这些题目往往是题海战术无法企及的,解答这些题目不仅需用扎实的数学基础知识,更需要数学思想方法(有时要在哲学思想指导下)的指引和顽强的意志以及良好的心理素质.&&&&解答压轴题不仅是高考的需要,也是培养综合运用所学知识解决问题和创新能力的需要,它能教会你在遇到陌生问题时要以什么样的心态对待,以什么样的方法进行怎么思考,即使不能完全做对,也要充分展示自己的实际水平.&&&&&&&&&&&&&&&&解答压轴题的途径:&&&&1? 认真审题――条件预示可知并启发解题手段,结论预告需知并诱导解题方向.&&&&2? 解题实践――沟通已知与需知.由已知能得到什么,结论需要什么,如果由已知条件能直接得到结论,则解题成功.如果由条件不能直接得到结论,就要转化,可以是数形结合,可以是恒等变形,也可以构造模型,……各种思想方法在此大有用武之地(详见绪论).&&&&当解题不能进行的时候,回到已知!已知条件本身是解这道题的信息源,凡是结论需要而条件没有给出的一定是隐含的,要仔细挖掘.&&&&3? 等价转化――转化必须等价,因此前一步到后一步往往会有附加条件约束,它是正确解题的前提,也是检验的依据,必须充分重视.&&&&4? 规范书写――逻辑层次清楚,表达简略得当.&&&&5? 几点注意――数学考试的偶然性较大,有些问题必须特别注意:&&&&(1) 毅力在解题中的作用十分重要.&&&&(2) 心理因素对考试的影响值得关注.&&&&(3) 准确运算,减少各种“低级错误”是提高正确率的重要途径.&&&&本书在写作过程中得到华东师大第二附属中学任念兵老师的悉心帮助.上海市行知中学特级教师赵传义,江苏省锡山高级中学特级教师、教授级教师杨志文,北京市(北京市宏志中学)骨干教师王芝平,北京一中王坤,上海市闵行中学曹东辉,上海莘庄中学徐辉等老师审阅了部分书稿,在此谨向他们表示衷心感谢!&&&&第三版增加了48道题的视频全解,方便读者加深理解。由于水平有限,书中缺点和错误在所难免,欢迎读者批评指正.&&&&联系方式:&&&&&&&&文卫星&&&&2013年6月于上海市七宝中学&&&&&&&&&&&&绪论&&&&绪 论&&&&&&&&高考压轴题怎么解?罗增儒教授把解题总结为“条件预示可知并启发解题手段,结论预告需知并诱导解题方向.”即从已知条件入手推出中间结论(可知),当中间结论能直接证明最终结论时,则解题成功.当中间结论不能直接证明最终结论时,可把最终结论等价转化为“需知”,再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从某种意义上说,解题就是“找关系”――找出已知与未知的联系,不断缩小以至消除二者之间的差距,从而达到解题目的.可以用框图表示如下:&&&&&&&&以下通过例题说明解答压轴题的基本策略.&&&&&&&&1? 学会分析转化&&&&所谓转化,简言之,就是缩小已知和求证(解)之间的差距,其方法就是不断等价转化,或转化条件,或转化结论,使解题得以实施.&&&&&&&&例1 (11?广东文)设b&0,数列{an}满足a1=b, an=nban-1an-1+n-1 (n≥2).&&&&(1) 求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n, 2an≤bn+1+1.&&&&解求通项好像没有头绪的题目,第一想法就是要把它转化成熟悉的形式,这时就要看脑子里有哪些熟悉的模型,如果记得形如an=an-1an-1+2(教材有类似的习题)的求通项的解法:两边取倒数得1an=an-1+2an-1=2an-1+1,从而转化成cn=pcn-1+q的形式来求解.那么对(1)下述解法是自然的:&&&&两边取倒数得1an=an-1+n-1bnan-1,即nan=an-1+n-1ban-1=1b+1b?n-1an-1.记cn=nan,则cn=1b+1b?cn-1=1b+…+1bn-1+1bn-1c1=1b+…+1bn-1+1bn.所以&&&&&&&&&&&&an=1,b=1,&&&&nbn(b-1)bn-1,b≠1.&&&&&&&&(2) 当b=1时,2an=bn+1+1=2,结论成立.&&&&当b≠1,直接证明无法入手,于是想到把结论进行等价转化:&&&&2an=2nbn(b-1)bn-1≤bn+1+1,等价于2nbn≤(bn+1+1)?bn-1b-1.&&&&若通分(bn+1+1)?bn-1b-1=b2n+1-bn+1+bn-1b-1,右边不好化简,于是转而把bn-1b-1化成&&&&bn-1+bn-2+…+b+1,再乘以(bn+1+1)得&&&&&&&&(bn+1+1)?bn-1b-1=&&&&b2n+b2n-1+b2n-2+…+bn+1+bn-1+bn-2+…+b2+b+1.&&&&&&&&注意等号右边距两端“距离”相等的两项之积为b2n,因此对这2n项用重要不等式,得右边&2?(bn+bn+…+bn)=2nbn,即2an=2nbn(b-1)bn-1&1+bn+1.&&&&综上所述,2an≤bn+1+1.&&&&由此我们看出解压轴题的基本思路:&&&&1? 把已知条件转化到熟悉的问题,本题是转化为二阶递推数列cn=pcn-1+q的形式,从而顺利完成(1)的解答.&&&&2? 当条件不能直接证明结论时,就要对条件或结论进行等价转化,直至转化后的条件能证明结论(或转化后的结论).本题在(1)的条件下,要直接证明(2)是困难的,因此就要对此作等价转化,有时可能需要多次等价转化(本例是对结论进行3次转化),最终达到要证明的目标.&&&&2? 熟悉基本模型&&&&对一些综合问题,常有一些同学说没有思路,或即使有思路,但太繁,以致很难做到底.其实,有些问题有简单方法,但这些似乎不是书本上的“正统”内容,但平时学习中又似曾相识.若能把这些似曾相识的内容整理成基本模型,对解答综合题不仅能提供思路,还能给出简单解法.&&&&&&&&例2 (11?山东文)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x23+y2=1.如图所示,斜率为k (k&0)且不过原点的直线l交椭圆C于A、 B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=-3于点D(-3, m).&&&&&&&&(1) 求m2+k2的最小值;&&&&(2) 若|OG|2=|OD|?|OE|,&&&&&&&&&&&&(i) 求证:直线l过定点;&&&&(ii) 试问点B、 G能否关于x轴对称?若能,求出此时△ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由.&&&&解 如果熟悉结论:若椭圆x2a2+y2b2=1的弦AB(不与坐标轴平行)的中点为P,则kAB?kOP=-b2a2(证明只要设A(x1, y1)、 B(x2, y2),代入椭圆方程,作差整理即得),那么(1)的证明很简单:kOE?k=-13,所以直线OE的方程为y=-13kx,因D在直线OE上,故m=-13k?(-3)=1k,即mk=1, m2+k2≥2mk=2,当且仅当m=k,即k=1时取等号.&&&&(2) (i) 设G(s, t) (s&0, t&0),则s23+t2=1,再设E(x0, y0), l:y=kx+n.因|OG|2=|OD|?|OE|可变形为OGOD=OEOG,若把它投影到坐标轴上,则可得s2=-3x0,&&&&t2=my0=y0k,即x0=-s23,&&&&y0=kt2.&&&&因点E在直线l上,所以y0=kx0+n,即kt2=-k?s23+n,亦即n=ks23+t2=k.所以直线l的方程为y=kx+k=k(x+1),从而直线l过定点(-1, 0).&&&&(ii) 设B、 G能关于x轴对称,则B(s, -t),因B在l上,所以-t=k(s+1), k=-ts+1.&&&&又kOE=kOG,所以ts=-13k,即k=-s3t,与上式联立得s2+s=3t2,又s23+t2=1,解得s=-32, t=12,此时k=1,从而G-32, 12、 B-32, -12.&&&&由于直线l的方程为y=x+1过点(0, 1)在椭圆上,所以A(0, 1),因圆心在弦AG、 BG的垂直平分线上,所以圆心坐标-12, 0,半径为52,圆方程为x+122+y2=54.&&&&&&&&所以当B、 G关于x轴对称时,△ABG的外接圆方程为x+122+y2=54.&&&&评述:从上述解答过程中读者能看出思考途径:(1) 是利用已知结论,对焦点在y轴上的椭圆有类似结论,对双曲线也有类似结论,证明都是用解决中点弦问题常用方法――“点差法”.在平时学习中应该多注意积累,把一些典型的例题、习题的结论推广到一般情况,总结成模型,就能解答一类问题,这对压轴题是十分有利的,不仅解题思路开阔,还能选择简捷的方法、又好又快地解题.2010年上海卷最后一题(见本书§3.2例3)用此解法十分简单.&&&&(2) 是把线段乘积转化为比例问题,从而想到投影到坐标轴上,转化为坐标间的乘积.有些同学要问,是怎么想到投影到坐标轴上?其实,这是向量坐标法的本质所在,读者不妨回忆一下向量的坐标是怎么定义的.回到定义,往往能使较难问题获得非常简单的解法,复习要格外注意.&&&&本题常规解法是把直线方程代入椭圆方程,计算冗长,极易出错,即使对理科同学也不是轻而易举就能得到正确答案的.&&&&3? 有了想法就写&&&&解答综合题往往有“看不到底”的经历,即不能从开始到结束都能有明确的思路,但若能根据条件,写出由此能得到的相应结论,一步一步摸索向前,并运用分析转化等方法,最终得到正确结论.然而,实际上不少同学遇到问题是首先看是否做过或有没有明确思路,一旦不是熟悉的问题,就不自信,不能冷静分析,坐失良机.&&&&&&&&例3 (11?浙江理)已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.&&&&(Ⅱ) 已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A、 B两点,若过M、 P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程.&&&&&&&&解 由MP⊥AB,得kAB?kMP=-1,因此要用某个量(选择参数)表示kAB、 kMP.由题意,点P是“主动”点,故以点P的坐标为参数.设P(t, t2),则kMP=t2-4t.&&&&还要再求直线AB的方程,一时还没有明确方向,从已知条件看,只能从切线入手.&&&&设A(x1, y1)、 B(x2, y2),由题意t≠0, t≠±1, x1≠x2.那么过点P的圆C2的切线PA的方程为y=(x1+t)(x-t)+t2,即(x1+t)x-y-tx1=0.&&&&因M到直线AP的距离为1,则|-4-tx1|1+(t+x1)2=1,即6tx1+(t2-1)y1-t2+15=0.&&&&同理,6tx2+(t2-1)y2-t2+15=0,由此可知,点A(x1, y1)、 B(x2, y2)在6tx+(t2-1)y-t2+15=0上,故kAB=6t1-t2,所以kMP?kAB=t2-4t?6t1-t2=-1,解得t=±115115,所以直线l的方程为y=±.&&&&评述:虽然开始并没有想到直线求AB方程的方法,但在根据已知条件得出的结论中发现了AB的方程,难点就此突破,解题也就妙在其中.由PA、 PB方程得到AB的方程可能有些同学未必一眼看出,这是对曲线和方程的概念理解不深所致.因为点A、 B的坐标适合方程6tx+(t2-1)y-t2+15=0,故它是直线AB的方程.&&&&由此我们看出解答没有明确思路的压轴题,可以把已知条件具体化(或从特殊到一般,如本书§2.1发散训练4等),再结合结论的要求,一步步向结论靠近,最终达到证明的目的.关键是要自信,要敢于动手,同时要审时度势,把陌生问题转化成熟悉的问题.&&&&4? 巧解客观题&&&&填空题的最后两题,选择题的最后一题通常也是压轴题.应尽可能不当成解答题来做,而运用数学思想方法,比如合情推理、特殊化思想、数形结合、利用已知结论等,找到简单的解法.&&&&&&&&例4 如图,体积为V的大球内有4个小球,每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点,4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分(图中阴影部分)的体积,V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积,则下列关系中正确的是( ).&&&&&&&&(A) V1&V2&&&&(B) V2 (C) V1&V2&&&&(D) V1 解析 由于选择支出现V1、 V2、 12V,因此只要比较V1、 V2与12V的大小.直接计算V1是麻烦的,可以先估计其大致范围.&&&&设大球半径为r,则小球半径为12r,那么V=43πr3,内部4个小球的体积之和为4?43πr23=12V,而V1只是4个球相交的部分,因此V1&12V, V2&12V,所以V1&&&&这其实是合情推理,有一点计算,还有一点估算.&&&&&&&&例5 (11?上海文)设A1、 A2、 A3、 A4是平面上给定的4个不同的点,则使MA1+MA2+MA3+MA4=0→成立的点M的个数为( ).&&&&(A) 0&&&&(B) 1&&&&(C) 2&&&&(D) 4&&&&可以先考虑3点的情况:MA1+MA2+MA3=0→,这时M是△A1A2A3的重心,只有1个,由此可知M是四边形A1A2A3A4的重心,因而选B.&&&&解答复杂问题时若直接解答有困难,从特殊化入手是常用方法,即华罗庚先生说的“退到不失本质”的地方,直到突破口再完成解答.当然,本题也可以设出各点坐标来解.&&&&&&&&例6 长方体的一条对角线长为7,它在过一个顶点的3个侧面上的投影长分别为6、 m和n,则m+n的最大值为 .&&&&&&&&解析 如图,设长方体的长、宽、高分别为a、 b、 c, a2+b2=6, a2+c2=m2, b2+c2=n2.因要求m+n的最大值,且m和n是对称的,可令m=n,则a=b,由a2+b2=6得a2=3,又a2+b2+c2=7,所以c=1,从而m=n=2, m+n的最大值为4.&&&&&&&&本题之所以能令m=n,是基于法国物理学家皮埃尔?居里()的对称原理:对称性原理是凌驾于物理规律之上的自然界的一条基本原理,它是宇宙间超越物理各个领域的普遍法则.它在数学领域的应用之一就是极值问题的对称性原理:“如果一个函数(代数式)中的若干变量具有对称性,则这个函数(代数式)的极值往往在这些变量都相等时取得.至于它是极大值或极小值,或由问题本身决定,或靠理论作出判断.”&&&&对具有对称性的问题,特殊化思想往往会使解答变得简单,在客观题中更是解题“秘笈”.&&&&例7 已知以T=4为周期的函数f(x)=m1-x2,x∈(-1, 1],&&&&1-|x-2|,x∈(1, 3],其中m&0.若方程3f(x)=x恰有5个实数解,则m的取值范围为( ).&&&&(A) 153, 83&&&&(B) 153, 7&&&&(C) 43, 83&&&&(D) 43, 7&&&&&&&&解析 因为当x∈(-1, 1]时,将函数化为方程x2+y2m2=1 (y≥0),其图象是x轴上方的一个半椭圆;当x∈(1, 3]时,y=x-1,1&&&&3-x,2&&&&&&&&当m=43时,从图象很难发现在区间(3, 4)直线与半椭圆的交点情况,同样当m=83时,也难以从图象发现在区间(7, 8)直线与半椭圆的交点情况,正如华罗庚先生所说“形缺数时难入微”,所以还是把直线方程与椭圆方程联立,消去一个变量,得到一元二次方程,利用判别式来解:&&&&&&&&将y=x3代入(x-4)2+y2m2=1 (y≥0)得(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0,&&&&令t=9m2 (t&0),则(t+1)x2-8tx+15t=0.&&&&由Δ&0得t&15,解得m&153.&&&&同样把y=x3代入第二个椭圆(x-8)2+y2m2=1 (y≥0),由Δ&0可计算得m&7.&&&&综上知m∈153, 7,选B.&&&&希望以上方法对解答压轴题能起到抛砖引玉的作用,相信同学们在老师的指导下,通过自己的努力,切实提高解答压轴题的能力.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&这是一本供高三同学复习迎考、研究压轴题,挑战满分的书!&&&&高考压轴题通常是指解答题的最后两三题中的部分较难的小题或客观题中部分较难的题目,它们的功能是突出选拔性.&&&&客观题中的难题知识点可以是高中数学的各个分支,而解答题的难题则主要集中在函数与导数、数列和解析几何三大分支,近年概率统计和立体几何比例有所增加.每个分支都可以涉及不等式,尤其是放缩法使得有些试题的难度较大.以下是2008年(统计36套)、2009年(统计39套)、2010年(统计35套)、2011年(统计35套)、2012年(统计35套)、2013年(统计37套)压轴题中最后三题考点的分布情况:&&&&&&&&年 份函 数数 列解析几何导 数其 他&&&&&&&&116&&&&724&&&&019&&&&120&&&&223&&&&&&&&注:其中函数内容为:函数基本性质(不涉及导数);其他部分的内容为:立体几何和概率与统计.这些试题大多数是安排在倒数第二、三题.&&&&本书分上、下两篇:第一篇是解答题,第二篇是客观题.解答题分函数、数列、解析几何与导数四章.客观题根据解法特点分为九章.本书选题主要是2010年、2011年、2012年和2013年全国各地高考题中的思想性、方法性强的典型试题,按“分析与解、解题反思、发散训练”的形式展开.&&&&分析与解――分析每种方法是怎么想出来的,在遇到困难的时候应该如何突破,结合具体问题谈一些思维方法.&&&&解题反思――指出容易失误(思维不缜密或运算易错处)的地方以及原因,分析到某一步卡住(思想方法有偏差或技能技巧不熟练)的原因,并提出解决办法.&&&&同时,引导读者注意对一些看似平淡问题的追根求源,对某些考题适当拓展,培养读者的探究性能力,还针对本题所涉及的典型思想方法和技能技巧进行评析,等等.&&&&发散训练――给出与考题相近的问题以便练习、巩固、提高.每题都给出详细的解答,以方便自学.&&&&这些题目往往是题海战术无法企及的,解答这些题目不仅需用扎实的数学基础知识,更需要数学思想方法(有时要在哲学思想指导下)的指引和顽强的意志以及良好的心理素质.&&&&解答压轴题不仅是高考的需要,也是培养综合运用所学知识解决问题和创新能力的需要,它能教会你在遇到陌生问题时要以什么样的心态对待,以什么样的方法进行怎么思考,即使不能完全做对,也要充分展示自己的实际水平.&&&&&&&&&&&&&&&&解答压轴题的途径:&&&&1 认真审题――条件预示可知并启发解题手段,结论预告需知并诱导解题方向.&&&&2 解题实践――沟通已知与需知.由已知能得到什么,结论需要什么,如果由已知条件能直接得到结论,则解题成功.如果由条件不能直接得到结论,就要转化,可以是数形结合,可以是恒等变形,也可以构造模型,……各种思想方法在此大有用武之地(详见绪论).&&&&当解题不能进行的时候,回到已知!已知条件本身是解这道题的信息源,凡是结论需要而条件没有给出的一定是隐含的,要仔细挖掘.&&&&3 等价转化――转化必须等价,因此前一步到后一步往往会有附加条件约束,它是正确解题的前提,也是检验的依据,必须充分重视.&&&&4 规范书写――逻辑层次清楚,表达简略得当.&&&&5 几点注意――数学考试的偶然性较大,有些问题必须特别注意:&&&&(1) 毅力在解题中的作用十分重要.&&&&(2) 心理因素对考试的影响值得关注.&&&&(3) 准确运算,减少各种“低级错误”是提高正确率的重要途径.&&&&本书在写作过程中得到华东师大第二附属中学任念兵老师的悉心帮助.上海市行知中学特级教师赵传义,江苏省锡山高级中学特级教师、教授级教师杨志文,北京市(北京市宏志中学)骨干教师王芝平,北京一中王坤,上海市闵行中学曹东辉,上海莘庄中学徐辉等老师审阅了部分书稿,在此谨向他们表示衷心感谢!&&&&第三版增加了48道题的视频全解,方便读者加深理解。由于水平有限,书中缺点和错误在所难免,欢迎读者批评指正.&&&&联系方式:&&&&&&&&文卫星&&&&2013年6月于上海市七宝中学&&&&&&&&&&&&绪论&&&&绪 论&&&&&&&&高考压轴题怎么解?罗增儒教授把解题总结为“条件预示可知并启发解题手段,结论预告需知并诱导解题方向.”即从已知条件入手推出中间结论(可知),当中间结论能直接证明最终结论时,则解题成功.当中间结论不能直接证明最终结论时,可把最终结论等价转化为“需知”,再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从某种意义上说,解题就是“找关系”――找出已知与未知的联系,不断缩小以至消除二者之间的差距,从而达到解题目的.可以用框图表示如下:&&&&&&&&以下通过例题说明解答压轴题的基本策略.&&&&&&&&1 学会分析转化&&&&所谓转化,简言之,就是缩小已知和求证(解)之间的差距,其方法就是不断等价转化,或转化条件,或转化结论,使解题得以实施.&&&&&&&&例1 (11?广东文)设b&0,数列{an}满足a1=b, an=nban-1an-1+n-1 (n≥2).&&&&(1) 求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n, 2an≤bn+1+1.&&&&解 求通项好像没有头绪的题目,第一想法就是要把它转化成熟悉的形式,这时就要看脑子里有哪些熟悉的模型,如果记得形如an=an-1an-1+2(教材有类似的习题)的求通项的解法:两边取倒数得1an=an-1+2an-1=2an-1+1,从而转化成cn=pcn-1+q的形式来求解.那么对(1)下述解法是自然的:&&&&两边取倒数得1an=an-1+n-1bnan-1,即nan=an-1+n-1ban-1=1b+1b?n-1an-1.记cn=nan,则cn=1b+1b?cn-1=1b+…+1bn-1+1bn-1c1=1b+…+1bn-1+1bn.所以&&&&&&&&&&&&an=1,b=1,&&&&nbn(b-1)bn-1,b≠1.&&&&&&&&(2) 当b=1时,2an=bn+1+1=2,结论成立.&&&&当b≠1,直接证明无法入手,于是想到把结论进行等价转化:&&&&2an=2nbn(b-1)bn-1≤bn+1+1,等价于2nbn≤(bn+1+1)?bn-1b-1.&&&&若通分(bn+1+1)?bn-1b-1=b2n+1-bn+1+bn-1b-1,右边不好化简,于是转而把bn-1b-1化成&&&&bn-1+bn-2+…+b+1,再乘以(bn+1+1)得&&&&&&&&(bn+1+1)?bn-1b-1=&&&&b2n+b2n-1+b2n-2+…+bn+1+bn-1+bn-2+…+b2+b+1.&&&&&&&&注意等号右边距两端“距离”相等的两项之积为b2n,因此对这2n项用重要不等式,得右边&2?(bn+bn+…+bn)=2nbn,即2an=2nbn(b-1)bn-1&1+bn+1.&&&&综上所述,2an≤bn+1+1.&&&&由此我们看出解压轴题的基本思路:&&&&1 把已知条件转化到熟悉的问题,本题是转化为二阶递推数列cn=pcn-1+q的形式,从而顺利完成(1)的解答.&&&&2 当条件不能直接证明结论时,就要对条件或结论进行等价转化,直至转化后的条件能证明结论(或转化后的结论).本题在(1)的条件下,要直接证明(2)是困难的,因此就要对此作等价转化,有时可能需要多次等价转化(本例是对结论进行3次转化),最终达到要证明的目标.&&&&2 熟悉基本模型&&&&对一些综合问题,常有一些同学说没有思路,或即使有思路,但太繁,以致很难做到底.其实,有些问题有简单方法,但这些似乎不是书本上的“正统”内容,但平时学习中又似曾相识.若能把这些似曾相识的内容整理成基本模型,对解答综合题不仅能提供思路,还能给出简单解法.&&&&&&&&例2 (11?山东文)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x23+y2=1.如图所示,斜率为k (k&0)且不过原点的直线l交椭圆C于A、 B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=-3于点D(-3, m).&&&&&&&&(1) 求m2+k2的最小值;&&&&(2) 若|OG|2=|OD|?|OE|,&&&&&&&&&&&&(i) 求证:直线l过定点;&&&&(ii) 试问点B、 G能否关于x轴对称?若能,求出此时△ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由.&&&&解 如果熟悉结论:若椭圆x2a2+y2b2=1的弦AB(不与坐标轴平行)的中点为P,则kAB?kOP=-b2a2(证明只要设A(x1, y1)、 B(x2, y2),代入椭圆方程,作差整理即得),那么(1)的证明很简单:kOE?k=-13,所以直线OE的方程为y=-13kx,因D在直线OE上,故m=-13k?(-3)=1k,即mk=1, m2+k2≥2mk=2,当且仅当m=k,即k=1时取等号.&&&&(2) (i) 设G(s, t) (s&0, t&0),则s23+t2=1,再设E(x0, y0), l:y=kx+n.因|OG|2=|OD|?|OE|可变形为OGOD=OEOG,若把它投影到坐标轴上,则可得s2=-3x0,&&&&t2=my0=y0k,即x0=-s23,&&&&y0=kt2.&&&&因点E在直线l上,所以y0=kx0+n,即kt2=-k?s23+n,亦即n=ks23+t2=k.所以直线l的方程为y=kx+k=k(x+1),从而直线l过定点(-1, 0).&&&&(ii) 设B、 G能关于x轴对称,则B(s, -t),因B在l上,所以-t=k(s+1), k=-ts+1.&&&&又kOE=kOG,所以ts=-13k,即k=-s3t,与上式联立得s2+s=3t2,又s23+t2=1,解得s=-32, t=12,此时k=1,从而G-32, 12、 B-32, -12.&&&&由于直线l的方程为y=x+1过点(0, 1)在椭圆上,所以A(0, 1),因圆心在弦AG、 BG的垂直平分线上,所以圆心坐标-12, 0,半径为52,圆方程为x+122+y2=54.&&&&&&&&所以当B、 G关于x轴对称时,△ABG的外接圆方程为x+122+y2=54.&&&&评述:从上述解答过程中读者能看出思考途径:(1) 是利用已知结论,对焦点在y轴上的椭圆有类似结论,对双曲线也有类似结论,证明都是用解决中点弦问题常用方法――“点差法”.在平时学习中应该多注意积累,把一些典型的例题、习题的结论推广到一般情况,总结成模型,就能解答一类问题,这对压轴题是十分有利的,不仅解题思路开阔,还能选择简捷的方法、又好又快地解题.2010年上海卷最后一题(见本书§3.2例3)用此解法十分简单.&&&&(2) 是把线段乘积转化为比例问题,从而想到投影到坐标轴上,转化为坐标间的乘积.有些同学要问,是怎么想到投影到坐标轴上?其实,这是向量坐标法的本质所在,读者不妨回忆一下向量的坐标是怎么定义的.回到定义,往往能使较难问题获得非常简单的解法,复习要格外注意.&&&&本题常规解法是把直线方程代入椭圆方程,计算冗长,极易出错,即使对理科同学也不是轻而易举就能得到正确答案的.&&&&3 有了想法就写&&&&解答综合题往往有“看不到底”的经历,即不能从开始到结束都能有明确的思路,但若能根据条件,写出由此能得到的相应结论,一步一步摸索向前,并运用分析转化等方法,最终得到正确结论.然而,实际上不少同学遇到问题是首先看是否做过或有没有明确思路,一旦不是熟悉的问题,就不自信,不能冷静分析,坐失良机.&&&&&&&&例3 (11?浙江理)已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.&&&&(Ⅱ) 已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A、 B两点,若过M、 P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程.&&&&&&&&解 由MP⊥AB,得kAB?kMP=-1,因此要用某个量(选择参数)表示kAB、 kMP.由题意,点P是“主动”点,故以点P的坐标为参数.设P(t, t2),则kMP=t2-4t.&&&&还要再求直线AB的方程,一时还没有明确方向,从已知条件看,只能从切线入手.&&&&设A(x1, y1)、 B(x2, y2),由题意t≠0, t≠±1, x1≠x2.那么过点P的圆C2的切线PA的方程为y=(x1+t)(x-t)+t2,即(x1+t)x-y-tx1=0.&&&&因M到直线AP的距离为1,则|-4-tx1|1+(t+x1)2=1,即6tx1+(t2-1)y1-t2+15=0.&&&&同理,6tx2+(t2-1)y2-t2+15=0,由此可知,点A(x1, y1)、 B(x2, y2)在6tx+(t2-1)y-t2+15=0上,故kAB=6t1-t2,所以kMP?kAB=t2-4t?6t1-t2=-1,解得t=±115115,所以直线l的方程为y=±.&&&&评述:虽然开始并没有想到直线求AB方程的方法,但在根据已知条件得出的结论中发现了AB的方程,难点就此突破,解题也就妙在其中.由PA、 PB方程得到AB的方程可能有些同学未必一眼看出,这是对曲线和方程的概念理解不深所致.因为点A、 B的坐标适合方程6tx+(t2-1)y-t2+15=0,故它是直线AB的方程.&&&&由此我们看出解答没有明确思路的压轴题,可以把已知条件具体化(或从特殊到一般,如本书§2.1发散训练4等),再结合结论的要求,一步步向结论靠近,最终达到证明的目的.关键是要自信,要敢于动手,同时要审时度势,把陌生问题转化成熟悉的问题.&&&&4 巧解客观题&&&&填空题的最后两题,选择题的最后一题通常也是压轴题.应尽可能不当成解答题来做,而运用数学思想方法,比如合情推理、特殊化思想、数形结合、利用已知结论等,找到简单的解法.&&&&&&&&例4 如图,体积为V的大球内有4个小球,每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点,4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分(图中阴影部分)的体积,V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积,则下列关系中正确的是( ).&&&&&&&&(A) V1&V2&&&&(B) V2(C) V1&V2&&&&(D) V1解析 由于选择支出现V1、 V2、 12V,因此只要比较V1、 V2与12V的大小.直接计算V1是麻烦的,可以先估计其大致范围.&&&&设大球半径为r,则小球半径为12r,那么V=43πr3,内部4个小球的体积之和为4?43πr23=12V,而V1只是4个球相交的部分,因此V1&12V, V2&12V,所以V1&&&&这其实是合情推理,有一点计算,还有一点估算.&&&&&&&&例5 (11?上海文)设A1、 A2、 A3、 A4是平面上给定的4个不同的点,则使MA1+MA2+MA3+MA4=0→成立的点M的个数为( ).&&&&(A) 0&&&&(B) 1&&&&(C) 2&&&&(D) 4&&&&可以先考虑3点的情况:MA1+MA2+MA3=0→,这时M是△A1A2A3的重心,只有1个,由此可知M是四边形A1A2A3A4的重心,因而选B.&&&&解答复杂问题时若直接解答有困难,从特殊化入手是常用方法,即华罗庚先生说的“退到不失本质”的地方,直到突破口再完成解答.当然,本题也可以设出各点坐标来解.&&&&&&&&例6 长方体的一条对角线长为7,它在过一个顶点的3个侧面上的投影长分别为6、 m和n,则m+n的最大值为 .&&&&&&&&解析 如图,设长方体的长、宽、高分别为a、 b、 c, a2+b2=6, a2+c2=m2, b2+c2=n2.因要求m+n的最大值,且m和n是对称的,可令m=n,则a=b,由a2+b2=6得a2=3,又a2+b2+c2=7,所以c=1,从而m=n=2, m+n的最大值为4.&&&&&&&&本题之所以能令m=n,是基于法国物理学家皮埃尔?居里()的对称原理:对称性原理是凌驾于物理规律之上的自然界的一条基本原理,它是宇宙间超越物理各个领域的普遍法则.它在数学领域的应用之一就是极值问题的对称性原理:“如果一个函数(代数式)中的若干变量具有对称性,则这个函数(代数式)的极值往往在这些变量都相等时取得.至于它是极大值或极小值,或由问题本身决定,或靠理论作出判断.”&&&&对具有对称性的问题,特殊化思想往往会使解答变得简单,在客观题中更是解题“秘笈”.&&&&例7 已知以T=4为周期的函数f(x)=m1-x2,x∈(-1, 1],&&&&1-|x-2|,x∈(1, 3],其中m&0.若方程3f(x)=x恰有5个实数解,则m的取值范围为( ).&&&&(A) 153, 83&&&&(B) 153, 7&&&&(C) 43, 83&&&&(D) 43, 7&&&&&&&&解析 因为当x∈(-1, 1]时,将函数化为方程x2+y2m2=1 (y≥0),其图象是x轴上方的一个半椭圆;当x∈(1, 3]时,y=x-1,1&&&&3-x,2&&&&&&&&当m=43时,从图象很难发现在区间(3, 4)直线与半椭圆的交点情况,同样当m=83时,也难以从图象发现在区间(7, 8)直线与半椭圆的交点情况,正如华罗庚先生所说“形缺数时难入微”,所以还是把直线方程与椭圆方程联立,消去一个变量,得到一元二次方程,利用判别式来解:&&&&&&&&将y=x3代入(x-4)2+y2m2=1 (y≥0)得(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0,&&&&令t=9m2 (t&0),则(t+1)x2-8tx+15t=0.&&&&由Δ&0得t&15,解得m&153.&&&&同样把y=x3代入第二个椭圆(x-8)2+y2m2=1 (y≥0),由Δ&0可计算得m&7.&&&&综上知m∈153, 7,选B.&&&&希望以上方法对解答压轴题能起到抛砖引玉的作用,相信同学们在老师的指导下,通过自己的努力,切实提高解答压轴题的能力.
&&&&这是一本供高三同学复习迎考、研究压轴题,挑战满分的书!&&&&高考压轴题通常是指解答题的最后两三题中的部分较难的小题或客观题中部分较难的题目,它们的功能是突出选拔性.&&&&客观题中的难题知识点可以是高中数学的各个分支,而解答题的难题则主要集中在函数与导数、数列和解析几何三大分支,近年概率统计和立体几何比例有所增加.每个分支都可以涉及不等式,尤其是放缩法使得有些试题的难度较大.以下是2008年(统计36套)、2009年(统计39套)、2010年(统计35套)、2011年(统计35套)、2012年(统计35套)、2013年(统计37套)压轴题中最后三题考点的分布情况:&&&&&&&&年 份函 数数 列解析几何导 数其 他&&&&&&&&116&&&&724&&&&019&&&&120&&&&223&&&&&&&&注:其中函数内容为:函数基本性质(不涉及导数);其他部分的内容为:立体几何和概率与统计.这些试题大多数是安排在倒数第二、三题.&&&&本书分上、下两篇:第一篇是解答题,第二篇是客观题.解答题分函数、数列、解析几何与导数四章.客观题根据解法特点分为九章.本书选题主要是2010年、2011年、2012年和2013年全国各地高考题中的思想性、方法性强的典型试题,按“分析与解、解题反思、发散训练”的形式展开.&&&&分析与解――分析每种方法是怎么想出来的,在遇到困难的时候应该如何突破,结合具体问题谈一些思维方法.&&&&解题反思――指出容易失误(思维不缜密或运算易错处)的地方以及原因,分析到某一步卡住(思想方法有偏差或技能技巧不熟练)的原因,并提出解决办法.&&&&同时,引导读者注意对一些看似平淡问题的追根求源,对某些考题适当拓展,培养读者的探究性能力,还针对本题所涉及的典型思想方法和技能技巧进行评析,等等.&&&&发散训练――给出与考题相近的问题以便练习、巩固、提高.每题都给出详细的解答,以方便自学.&&&&这些题目往往是题海战术无法企及的,解答这些题目不仅需用扎实的数学基础知识,更需要数学思想方法(有时要在哲学思想指导下)的指引和顽强的意志以及良好的心理素质.&&&&解答压轴题不仅是高考的需要,也是培养综合运用所学知识解决问题和创新能力的需要,它能教会你在遇到陌生问题时要以什么样的心态对待,以什么样的方法进行怎么思考,即使不能完全做对,也要充分展示自己的实际水平.&&&&&&&&&&&&&&&&解答压轴题的途径:&&&&1 认真审题――条件预示可知并启发解题手段,结论预告需知并诱导解题方向.&&&&2 解题实践――沟通已知与需知.由已知能得到什么,结论需要什么,如果由已知条件能直接得到结论,则解题成功.如果由条件不能直接得到结论,就要转化,可以是数形结合,可以是恒等变形,也可以构造模型,……各种思想方法在此大有用武之地(详见绪论).&&&&当解题不能进行的时候,回到已知!已知条件本身是解这道题的信息源,凡是结论需要而条件没有给出的一定是隐含的,要仔细挖掘.&&&&3 等价转化――转化必须等价,因此前一步到后一步往往会有附加条件约束,它是正确解题的前提,也是检验的依据,必须充分重视.&&&&4 规范书写――逻辑层次清楚,表达简略得当.&&&&5 几点注意――数学考试的偶然性较大,有些问题必须特别注意:&&&&(1) 毅力在解题中的作用十分重要.&&&&(2) 心理因素对考试的影响值得关注.&&&&(3) 准确运算,减少各种“低级错误”是提高正确率的重要途径.&&&&本书在写作过程中得到华东师大第二附属中学任念兵老师的悉心帮助.上海市行知中学特级教师赵传义,江苏省锡山高级中学特级教师、教授级教师杨志文,北京市(北京市宏志中学)骨干教师王芝平,北京一中王坤,上海市闵行中学曹东辉,上海莘庄中学徐辉等老师审阅了部分书稿,在此谨向他们表示衷心感谢!&&&&第三版增加了48道题的视频全解,方便读者加深理解。由于水平有限,书中缺点和错误在所难免,欢迎读者批评指正.&&&&联系方式:&&&&&&&&文卫星&&&&2013年6月于上海市七宝中学&&&&&&&&&&&&绪论&&&&绪 论&&&&&&&&高考压轴题怎么解?罗增儒教授把解题总结为“条件预示可知并启发解题手段,结论预告需知并诱导解题方向.”即从已知条件入手推出中间结论(可知),当中间结论能直接证明最终结论时,则解题成功.当中间结论不能直接证明最终结论时,可把最终结论等价转化为“需知”,再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从某种意义上说,解题就是“找关系”――找出已知与未知的联系,不断缩小以至消除二者之间的差距,从而达到解题目的.可以用框图表示如下:&&&&&&&&以下通过例题说明解答压轴题的基本策略.&&&&&&&&1 学会分析转化&&&&所谓转化,简言之,就是缩小已知和求证(解)之间的差距,其方法就是不断等价转化,或转化条件,或转化结论,使解题得以实施.&&&&&&&&例1 (11?广东文)设b&0,数列{an}满足a1=b, an=nban-1an-1+n-1 (n≥2).&&&&(1) 求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n, 2an≤bn+1+1.&&&&解 求通项好像没有头绪的题目,第一想法就是要把它转化成熟悉的形式,这时就要看脑子里有哪些熟悉的模型,如果记得形如an=an-1an-1+2(教材有类似的习题)的求通项的解法:两边取倒数得1an=an-1+2an-1=2an-1+1,从而转化成cn=pcn-1+q的形式来求解.那么对(1)下述解法是自然的:&&&&两边取倒数得1an=an-1+n-1bnan-1,即nan=an-1+n-1ban-1=1b+1b?n-1an-1.记cn=nan,则cn=1b+1b?cn-1=1b+…+1bn-1+1bn-1c1=1b+…+1bn-1+1bn.所以&&&&&&&&&&&&an=1,b=1,&&&&nbn(b-1)bn-1,b≠1.&&&&&&&&(2) 当b=1时,2an=bn+1+1=2,结论成立.&&&&当b≠1,直接证明无法入手,于是想到把结论进行等价转化:&&&&2an=2nbn(b-1)bn-1≤bn+1+1,等价于2nbn≤(bn+1+1)?bn-1b-1.&&&&若通分(bn+1+1)?bn-1b-1=b2n+1-bn+1+bn-1b-1,右边不好化简,于是转而把bn-1b-1化成&&&&bn-1+bn-2+…+b+1,再乘以(bn+1+1)得&&&&&&&&(bn+1+1)?bn-1b-1=&&&&b2n+b2n-1+b2n-2+…+bn+1+bn-1+bn-2+…+b2+b+1.&&&&&&&&注意等号右边距两端“距离”相等的两项之积为b2n,因此对这2n项用重要不等式,得右边&2?(bn+bn+…+bn)=2nbn,即2an=2nbn(b-1)bn-1&1+bn+1.&&&&综上所述,2an≤bn+1+1.&&&&由此我们看出解压轴题的基本思路:&&&&1 把已知条件转化到熟悉的问题,本题是转化为二阶递推数列cn=pcn-1+q的形式,从而顺利完成(1)的解答.&&&&2 当条件不能直接证明结论时,就要对条件或结论进行等价转化,直至转化后的条件能证明结论(或转化后的结论).本题在(1)的条件下,要直接证明(2)是困难的,因此就要对此作等价转化,有时可能需要多次等价转化(本例是对结论进行3次转化),最终达到要证明的目标.&&&&2 熟悉基本模型&&&&对一些综合问题,常有一些同学说没有思路,或即使有思路,但太繁,以致很难做到底.其实,有些问题有简单方法,但这些似乎不是书本上的“正统”内容,但平时学习中又似曾相识.若能把这些似曾相识的内容整理成基本模型,对解答综合题不仅能提供思路,还能给出简单解法.&&&&&&&&例2 (11?山东文)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x23+y2=1.如图所示,斜率为k (k&0)且不过原点的直线l交椭圆C于A、 B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=-3于点D(-3, m).&&&&&&&&(1) 求m2+k2的最小值;&&&&(2) 若|OG|2=|OD|?|OE|,&&&&&&&&&&&&(i) 求证:直线l过定点;&&&&(ii) 试问点B、 G能否关于x轴对称?若能,求出此时△ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由.&&&&解 如果熟悉结论:若椭圆x2a2+y2b2=1的弦AB(不与坐标轴平行)的中点为P,则kAB?kOP=-b2a2(证明只要设A(x1, y1)、 B(x2, y2),代入椭圆方程,作差整理即得),那么(1)的证明很简单:kOE?k=-13,所以直线OE的方程为y=-13kx,因D在直线OE上,故m=-13k?(-3)=1k,即mk=1, m2+k2≥2mk=2,当且仅当m=k,即k=1时取等号.&&&&(2) (i) 设G(s, t) (s&0, t&0),则s23+t2=1,再设E(x0, y0), l:y=kx+n.因|OG|2=|OD|?|OE|可变形为OGOD=OEOG,若把它投影到坐标轴上,则可得s2=-3x0,&&&&t2=my0=y0k,即x0=-s23,&&&&y0=kt2.&&&&因点E在直线l上,所以y0=kx0+n,即kt2=-k?s23+n,亦即n=ks23+t2=k.所以直线l的方程为y=kx+k=k(x+1),从而直线l过定点(-1, 0).&&&&(ii) 设B、 G能关于x轴对称,则B(s, -t),因B在l上,所以-t=k(s+1), k=-ts+1.&&&&又kOE=kOG,所以ts=-13k,即k=-s3t,与上式联立得s2+s=3t2,又s23+t2=1,解得s=-32, t=12,此时k=1,从而G-32, 12、 B-32, -12.&&&&由于直线l的方程为y=x+1过点(0, 1)在椭圆上,所以A(0, 1),因圆心在弦AG、 BG的垂直平分线上,所以圆心坐标-12, 0,半径为52,圆方程为x+122+y2=54.&&&&&&&&所以当B、 G关于x轴对称时,△ABG的外接圆方程为x+122+y2=54.&&&&评述:从上述解答过程中读者能看出思考途径:(1) 是利用已知结论,对焦点在y轴上的椭圆有类似结论,对双曲线也有类似结论,证明都是用解决中点弦问题常用方法――“点差法”.在平时学习中应该多注意积累,把一些典型的例题、习题的结论推广到一般情况,总结成模型,就能解答一类问题,这对压轴题是十分有利的,不仅解题思路开阔,还能选择简捷的方法、又好又快地解题.2010年上海卷最后一题(见本书§3.2例3)用此解法十分简单.&&&&(2) 是把线段乘积转化为比例问题,从而想到投影到坐标轴上,转化为坐标间的乘积.有些同学要问,是怎么想到投影到坐标轴上?其实,这是向量坐标法的本质所在,读者不妨回忆一下向量的坐标是怎么定义的.回到定义,往往能使较难问题获得非常简单的解法,复习要格外注意.&&&&本题常规解法是把直线方程代入椭圆方程,计算冗长,极易出错,即使对理科同学也不是轻而易举就能得到正确答案的.&&&&3 有了想法就写&&&&解答综合题往往有“看不到底”的经历,即不能从开始到结束都能有明确的思路,但若能根据条件,写出由此能得到的相应结论,一步一步摸索向前,并运用分析转化等方法,最终得到正确结论.然而,实际上不少同学遇到问题是首先看是否做过或有没有明确思路,一旦不是熟悉的问题,就不自信,不能冷静分析,坐失良机.&&&&&&&&例3 (11?浙江理)已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.&&&&(Ⅱ) 已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A、 B两点,若过M、 P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程.&&&&&&&&解 由MP⊥AB,得kAB?kMP=-1,因此要用某个量(选择参数)表示kAB、 kMP.由题意,点P是“主动”点,故以点P的坐标为参数.设P(t, t2),则kMP=t2-4t.&&&&还要再求直线AB的方程,一时还没有明确方向,从已知条件看,只能从切线入手.&&&&设A(x1, y1)、 B(x2, y2),由题意t≠0, t≠±1, x1≠x2.那么过点P的圆C2的切线PA的方程为y=(x1+t)(x-t)+t2,即(x1+t)x-y-tx1=0.&&&&因M到直线AP的距离为1,则|-4-tx1|1+(t+x1)2=1,即6tx1+(t2-1)y1-t2+15=0.&&&&同理,6tx2+(t2-1)y2-t2+15=0,由此可知,点A(x1, y1)、 B(x2, y2)在6tx+(t2-1)y-t2+15=0上,故kAB=6t1-t2,所以kMP?kAB=t2-4t?6t1-t2=-1,解得t=±115115,所以直线l的方程为y=±.&&&&评述:虽然开始并没有想到直线求AB方程的方法,但在根据已知条件得出的结论中发现了AB的方程,难点就此突破,解题也就妙在其中.由PA、 PB方程得到AB的方程可能有些同学未必一眼看出,这是对曲线和方程的概念理解不深所致.因为点A、 B的坐标适合方程6tx+(t2-1)y-t2+15=0,故它是直线AB的方程.&&&&由此我们看出解答没有明确思路的压轴题,可以把已知条件具体化(或从特殊到一般,如本书§2.1发散训练4等),再结合结论的要求,一步步向结论靠近,最终达到证明的目的.关键是要自信,要敢于动手,同时要审时度势,把陌生问题转化成熟悉的问题.&&&&4 巧解客观题&&&&填空题的最后两题,选择题的最后一题通常也是压轴题.应尽可能不当成解答题来做,而运用数学思想方法,比如合情推理、特殊化思想、数形结合、利用已知结论等,找到简单的解法.&&&&&&&&例4 如图,体积为V的大球内有4个小球,每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点,4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分(图中阴影部分)的体积,V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积,则下列关系中正确的是( ).&&&&&&&&(A) V1&V2&&&&(B) V2(C) V1&V2&&&&(D) V1解析 由于选择支出现V1、 V2、 12V,因此只要比较V1、 V2与12V的大小.直接计算V1是麻烦的,可以先估计其大致范围.&&&&设大球半径为r,则小球半径为12r,那么V=43πr3,内部4个小球的体积之和为4?43πr23=12V,而V1只是4个球相交的部分,因此V1&12V, V2&12V,所以V1&&&&这其实是合情推理,有一点计算,还有一点估算.&&&&&&&&例5 (11?上海文)设A1、 A2、 A3、 A4是平面上给定的4个不同的点,则使MA1+MA2+MA3+MA4=0→成立的点M的个数为( ).&&&&(A) 0&&&&(B) 1&&&&(C) 2&&&&(D) 4&&&&可以先考虑3点的情况:MA1+MA2+MA3=0→,这时M是△A1A2A3的重心,只有1个,由此可知M是四边形A1A2A3A4的重心,因而选B.&&&&解答复杂问题时若直接解答有困难,从特殊化入手是常用方法,即华罗庚先生说的“退到不失本质”的地方,直到突破口再完成解答.当然,本题也可以设出各点坐标来解.&&&&&&&&例6 长方体的一条对角线长为7,它在过一个顶点的3个侧面上的投影长分别为6、 m和n,则m+n的最大值为 .&&&&&&&&解析 如图,设长方体的长、宽、高分别为a、 b、 c, a2+b2=6, a2+c2=m2, b2+c2=n2.因要求m+n的最大值,且m和n是对称的,可令m=n,则a=b,由a2+b2=6得a2=3,又a2+b2+c2=7,所以c=1,从而m=n=2, m+n的最大值为4.&&&&&&&&本题之所以能令m=n,是基于法国物理学家皮埃尔?居里()的对称原理:对称性原理是凌驾于物理规律之上的自然界的一条基本原理,它是宇宙间超越物理各个领域的普遍法则.它在数学领域的应用之一就是极值问题的对称性原理:“如果一个函数(代数式)中的若干变量具有对称性,则这个函数(代数式)的极值往往在这些变量都相等时取得.至于它是极大值或极小值,或由问题本身决定,或靠理论作出判断.”&&&&对具有对称性的问题,特殊化思想往往会使解答变得简单,在客观题中更是解题“秘笈”.&&&&例7 已知以T=4为周期的函数f(x)=m1-x2,x∈(-1, 1],&&&&1-|x-2|,x∈(1, 3],其中m&0.若方程3f(x)=x恰有5个实数解,则m的取值范围为( ).&&&&(A) 153, 83&&&&(B) 153, 7&&&&(C) 43, 83&&&&(D) 43, 7&&&&&&&&解析 因为当x∈(-1, 1]时,将函数化为方程x2+y2m2=1 (y≥0),其图象是x轴上方的一个半椭圆;当x∈(1, 3]时,y=x-1,1&&&&3-x,2&&&&&&&&当m=43时,从图象很难发现在区间(3, 4)直线与半椭圆的交点情况,同样当m=83时,也难以从图象发现在区间(7, 8)直线与半椭圆的交点情况,正如华罗庚先生所说“形缺数时难入微”,所以还是把直线方程与椭圆方程联立,消去一个变量,得到一元二次方程,利用判别式来解:&&&&&&&&将y=x3代入(x-4)2+y2m2=1 (y≥0)得(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0,&&&&令t=9m2 (t&0),则(t+1)x2-8tx+15t=0.&&&&由Δ&0得t&15,解得m&153.&&&&同样把y=x3代入第二个椭圆(x-8)2+y2m2=1 (y≥0),由Δ&0可计算得m&7.&&&&综上知m∈153, 7,选B.&&&&希望以上方法对解答压轴题能起到抛砖引玉的作用,相信同学们在老师的指导下,通过自己的努力,切实提高解答压轴题的能力.
上篇 解答题第1章 函数1§1.1 函数性质1§1.2 抽象函数5§1.3 函数与方程、不等式7§1.4 函数应用题12第2章 数列17§2.1 数列的基本性质17§2.2 递推数列22§2.3 数列与函数27§2.4 数列中不等式的证明31§2.5 数列中的探究性问题35第3章 解析几何38§3.1 求基本量(a, b, c, e, p)或方程38§3.2 已知方程研究曲线的性质46
上篇 解答题第1章 函数1§1.1 函数性质1§1.2 抽象函数5§1.3 函数与方程、不等式7§1.4 函数应用题12第2章 数列17§2.1 数列的基本性质17§2.2 递推数列22§2.3 数列与函数27§2.4 数列中不等式的证明31§2.5 数列中的探究性问题35第3章 解析几何38§3.1 求基本量(a, b, c, e, p)或方程38§3.2 已知方程研究曲线的性质46§3.3 存在性问题52§3.4 解析几何中的最值问题58§3.5 解析几何中的定值问题65§3.6 研究性问题73第4章 导数77§4.1 导数与最(极)值问题77§4.2 导数与函数、不等式79§4.3 导数与函数图象的交点(方程根)个数83§4.4 导数与切线86§4.5 导数与不等式恒成立、有解问题90第5章 其他压轴题94§5.1 概率、统计94§5.2 立体几何98下篇 客观题第6章 间接法解客观题104§6.1 巧求最值之和104§6.2 充分运用定义105§6.3 相遇同一景点的机会有多大106§6.4 含三参数的线性规划问题106§6.5 分渐近线108§6.6 折线段之长109第7章 函数与方程111§7.1 圆环与线带区域何时相交111§7.2 图象交点与方程解的转化112§7.3 函数零点113§7.4 求参数范围114§7.5 三个函数值相等的自变量之积的范围116§7.6 圆锥曲线上点到定点距离最值117第8章 数形结合119§8.1 割补法求概率119§8.2 数量积最大120§8.3 图象交点横坐标之和120§8.4 面积之比121§8.5 最短距离122§8.6 函数在哪个区间有零点123§8.7 一组重要不等式124§8.8 用向量平移平行四边形124第9章 归纳与类比126§9.1 递推数列求和126§9.2 看图找规律126§9.3 回文数128§9.4 如何求fn(x)的解析式129§9.5 多边形数的表达式130第10章 一般与特殊132§10.1 二进制问题132§10.2 取主对角线上的数133§10.3 选取特殊位置134§10.4 等比数列前n项和与积的大小比较135§10.5 三元变量最值136第11章 逻辑推理与合情推理137§11.1 最小总费用137§11.2 求分段函数的值域138§11.3 球面距离139§11.4 如何判断图象形状140§11.5 逐个判断其正确性141§11.6 确定变量的取值141§11.7 正方体截面是几边形142§11.8 正方体中的点到各点距离144第12章 如何分类145§12.1 逐项判断对错145§12.2 有多少种涂色方法146§12.3 面积为2的平行四边形有几个148§12.4 尽量回避分类讨论149§12.5 函数图象过哪些点150§12.6 整点可能有几个151§12.7 正六边形中某些向量的数量积152第13章 转化与化归154§13.1 二次条件下求一次式的最值154§13.2 方程三根乘积的范围155§13.3 线段之比155§13.4 正方形折叠后156§13.5 形转化为数157第14章 阅读理解158§14.1 调和分割点158§14.2 平面内一点到其他n点的最短距离159§14.3 理解新符号160§14.4 新定义的“正对数”161训练题详解
&&&&3步搞定压轴题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&u 做对压轴题→数、理、化高分→ 名牌大学&&&&&&&&u 有效学习三策略:预习→听课→练习&&&&&&&&u 压轴题3步走的设计理念:先入门→再听讲→后训练&&&&&&&&u 结果:笑傲考场&&&&&&&&&&&&&&&&& 第1步 :&&&&&&&&&《挑战压轴题》之轻松入门篇,它是一套压轴题的入门教程,全书内容设置由浅入深、由易到难,层层推进.把时间从考前两个月提前到考前两年,早准备,心里早有底.当你读完这套书,做完这些题会有一种轻松的感觉.其实,“压轴题”并不这么难.&&&&&&&&&&&&&&&&& 第2步:&&&&&&&&《挑战压轴题》原有系列6本书,是一套压轴题的生动教材,有视频讲解的精彩点拨,有几何画板的动感体验,有了她,就相当于把名师请回家.&&&&&&&&&&&&&&&&& 第3步:&&&&&&&&&《挑战压轴题》之强化训练篇,它是压轴题的配套练习册.如何避免一听就懂,一看就会,一做就错的窘境,题海战术不可取.书本的理解,终究是别人的经验,要转化为自己的知识和技能,适度训练很有必要.本系列精选真题、模拟题以及提供了部分自创题,并配有详细的答案解析供查漏补缺.&&&&&&&&&&&&&&&&&书单:&&&&&&&&挑战高考数学压轴题:轻松入门篇&&&&&&&&挑战高考数学压轴题(第七版)(附光盘)&&&&&&&&挑战高考数学压轴题:强化训练篇&&&&&&&&&&&&&&&&&挑战高考物理压轴题:轻松入门篇&&&&&&&&挑战高考物理压轴题(第五版)(附光盘)&&&&&&&&挑战高考物理压轴题:强化训练篇&&&&&&&&&&&&&&&&&挑战高考化学压轴题:轻松入门篇&&&&&&&&挑战高考化学压轴题(第五版)(附光盘)&&&&&&&&挑战高考化学压轴题:强化训练篇
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&&&&任教于上海市七宝中学,上海市特级教师.入选上海市首批名师工程,参加上海市第一批、第二批理科德育实训基地学习.闵行区学科带头人.&&&&已在《数学教育学报》、《数学通报》、《中学数学教学参考》、《文汇报》等近60家报刊发表论文或文章近280篇,出版专著《中学数学教学方法研究》、《高中数学讲义》、《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》、《文卫星数学课赏析》及本书等,共约300万字,涉及中学数学教学的方方面面.
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