偏最小二乘回归的研究
偏最小二乘回归分析(简记为PLS)是一种新型的多元统计分析方法，最早产生于化学领域。PLS主要用来解决多元回归分析中的自变量存在多重相关性或变量个数多于样本点数等问题，集多元线性回归分析、主成份分析和典型相关分析的基本功能为一体。在一个算法下，同时实现了回归建模、数据结构简化和两组变量间的相关分析，给多元数据分析带来极大的便利。PLS方法已广泛应用于化学计量、工业设计、计量经济学等各个领域。
第一章介绍了多元回归分析及其最小二乘估计，在自变量之间存在严重多重相关性时最小二乘估计完全失效。接着，介绍了多元回归的PLS方法...展开
偏最小二乘回归分析(简记为PLS)是一种新型的多元统计分析方法，最早产生于化学领域。PLS主要用来解决多元回归分析中的自变量存在多重相关性或变量个数多于样本点数等问题，集多元线性回归分析、主成份分析和典型相关分析的基本功能为一体。在一个算法下，同时实现了回归建模、数据结构简化和两组变量间的相关分析，给多元数据分析带来极大的便利。PLS方法已广泛应用于化学计量、工业设计、计量经济学等各个领域。
第一章介绍了多元回归分析及其最小二乘估计，在自变量之间存在严重多重相关性时最小二乘估计完全失效。接着，介绍了多元回归的PLS方法。PLS方法能有效解决多重相关性问题。PLS回归方法在处理样本容量小、自变量多的数据方面具有一定优势。在实际问题中，往往是一部分自变量只对某一部分因变量有显著影响，另一部分自变量只对另一些因变量有显著影响，而PLS回归方法所选择的主成分中仍包含所有的自变量，最终建立的回归模型是包括所有自变量的全模型，因此一般的PLS方法并没有完全解决变量间存在严重多重相关性的问题，特别是在自变量个数多，样本量小的情况下。
针对这种情况，本文第二章提出了对变量进行双重筛选，即改进的PLS方法。思想如下：在建立PLS回归模型之前先对变量进行筛选，在筛选过程中，自变量和因变量的地位是同等的，既对自变量筛选同时又对因变量筛选。设自变量为x1，x2，…，xm，因变量为y1，y2，…，yp，首先引入一个因变量，并对自变量进行筛选，找出对这一因变量影响显著的自变量组{xi1，xi2，…，xir)(其中{xi1，xi2，…，xir}(){x1，x2，…，xm})；然后考虑因变量的筛选，这相当于把x1，x2，…，xm和y1，y2，…，yp的地位作一对换，筛选出对前面选出的r个自变量组{xi1，xi2，…，xir}影响显著的因变量组{yj1，yj2，…，yj1}(其中{yj1，yj2，…，yji}(){y1，y2，…yp})；接着再筛选自变量，找到对这l个因变量影响显著的自变量组。重复这一过程，直到某步当自变量筛选后，没有因变量可删除，同时也没有因变量可引入。假定这一过程得到的因变量组为(y1，y2，…，yk}其中k≤p，自变量组为{xi1，xi2，…，xir}，其中r≤m，对这两组数据按照偏最小二乘回归的建模方法建立回归方程组。从因变量y1，y2，…，yp中删除y1，y2，…，yk后，再按照上述变量选择方法筛选因变量和自变量，得到第二组因变量和对应的自变量，如此往复，直到全部因变量都有了与之相应的自变量组和PLS回归方程组，计算过程结束。在筛选过程中引入或剔除某一变量的依据是判断该变量对模型中变量的“贡献”的大小，即要检验该变量对模型中变量的显著性大小。文章提出的检验统计量服从F分布。本章最后利用改进的PLS方法研究了年间影响我国人们生活质量和经济发展的多种因素，得到了较好的分析结果。
本文第三章将改进的PLS方法与时间序列ARMA模型结合起来形成了PLS时间序列预测模型，解决了PLS方法不能预测的问题，并利用该方法研究了年间我国农民家庭收入水平及城市化问题。收起
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偏最小二乘回归方法
1 偏最小二乘回归方法(PLS)背景介绍
在经济管理、教育学、农业、社会科学、工程技术、医学和生物学中，多元线性回归分析是一种普遍应用的统计分析与预测技术。多元线性回归中，一般采用最小二乘方法(OrdinaryLeastSquares:OLS)估计回归系数，以使残差平方和达到最小，但当自变量之间存在多重相关性时，最小二乘估计方法往往失效。而这种变量之间多重相关性问题在多元线性回归分析中危害非常严重，但又普遍存在。为消除这种影响，常采用主成分分析(principal Components Analysis :PCA)的方法，但采用主成分分析提取的主成分，虽然能较好地概括自变量系统中的信息，却带进了许多无用的噪声，从而对因变量缺乏解释能力。
最小偏二乘回归方法(PartialLeastSquares Regression：PLS)就是应这种实际需要而产生和发展的一种有广泛适用性的多元统计分析方法。它于1983年由S.Wold和C.Albano等人首次提出并成功地应用在化学领域。近十年来，偏最小二乘回归方法在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展，己经广泛地应用在许多领域，如生物信息学、机器学习和文本分类等领域。
偏最小二乘回归方法主要的研究焦点是多因变量对多自变量的回归建模，它与普通多元回归方法在思路上的主要区别是它在回归建模过程中采用了信息综合与筛选技术。它不再是直接考虑因变量集合与自变量集合的回归建模，而是在变量系统中提取若干对系统具有最佳解释能力的新综合变量(又称成分)，然后对它们进行回归建模。偏最小二乘回归可以将建模类型的预测分析方法与非模型式的数据内涵分析方法有机地结合起来，可以同时实现回归建模、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量间的相关性分析(典型性关分析)，即集多元线性回归分析、典型相关分析和主成分分析的基本功能为一体。下面将简单地叙述偏最小二乘回归的基本原理。
2 偏最小二乘法的工作目标
2.1偏最小二乘法的工作目标
在一般的多元线性回归模型中，如果有一组因变量Y={y1,…,yq}和一组自变量X={x1,…,xp}，当数据总体能够满足高斯―马尔科夫假设条件时，根据最小二乘法，有
Y=X（XX）XY
Y将是Y的一个很好的估计量。从这个公式容易看出，由于（XX）必须是可逆矩阵，所以??T-1TT
当X中的变量存在严重的多重相关性时，或者在X中的样本点数与变量个数相比显然过少时，
这个最小二乘估计都会失效并将引发一系列应用方面的困难。
考虑到这个问题，偏最小二乘回归分析提出了采用成分提取的方法。在主成分分析中，对于单张数据表X，为了找到能最好地概括原数据的综合变量，在X中提取了第一主成分F1,使得F1中所包含的原数据变异信息可达到最大，即
Var(F1)→max
在典型相关分析中，为了从整体上研究两个数据表之间的相关关系，分别在X和Y中提取了典型成分F1和G1，它们满足
r(F1,G1)→max
在能够达到相关度最大的综合变量F1和G1之间，如果存在明显的相关关系，则可以认为，在两个数据表之间亦存在相关关系。
提取成分的做法在数据分析的方法中十分常见，除主成分、典型成分以外，常见到的还有Fisher判别法中的判别成分。实际上，如果F是X数据表的某种成分，则意味着F是X中变量的某一线性组合F=Xa,而F作为一个综合变量，它在X中所综合提取的信息，将满足我们特殊的分析需要。
2.2 偏最小二乘回归分析的建模方法
设有q个因变量{y1,…,yq}和p个自变量{x1,…,xp},为了研究因变量与自变量的统计关系，观测n个样本点，由此构成了自变量与因变量的数据表X=【x1,…,xp】n*p和Y=【y1,…,yq】n*q。 偏最小二乘法回归分别在X与Y中提取出t1和u1(也就是说，t1是x1,…,xp的线性组合，u1是y1,…,yq的线性组合)。在提取这两个成分时，为了回归分析的需要，有下列两个要求：
（1） t1和u1应尽可能大地携带它们各自数据表中的变异信息
（2） t1和u1的相关程度能达到最大
这两个要求表明，t1和u1应尽可能好地代表数据表X和Y，同时自变量的成分t1对因变量的成分u1又有最强的解释能力。
在第一个成分t1和u1被提取后，偏最小二乘法回归分别实施X对t1的回归以及Y对t1的回归。如果方程达到了满意的精度，则算法终止；否则，将利用X被t1解释后的残余信息以及Y被t1解释后的残余信息进行第二轮的成分提取。如此递推，直到能达到一个较为满意的精度为止。若最终对X共提取了m个成分t1,…,tm，偏最小二乘法回归将通过实施YK对t1,…,tm的回归，然后再表达成YK关于原变量x1,…,xp的回归方程，k=1,…,q。
3 计算方法推导
3.1普遍采用的计算推导过程
为了数学推导方便起见，首先将数据做标准化处理。X经标准化处理后的数据矩阵记为E0=(E01,…,E0P)n*p,Y经过标准化处理后的数据矩阵记为F0=(F01,…,F0q)n*q。
第一步，记t1是E0的第一个成分，t1=E0w1,w1是E0的第一个轴，它是一个单位向量，即||w1||=1；记u1是F0的第一个成分，u1=F0c1,c1是F0的第一个轴，它是一个单位向量，即||c1||=1。
如果要t1,u1能分别很好德代表X与Y中的数据变异信息，根据主成分分析原理，应该有
Var(t1)→max
Var(u1)→max
另一方面，由于回归建模的需要，又要求t1对u1有最大的解释能力，由典型相关分析的思路，t1与u1的相关度应达到最大值，即
r(t1,u1)→max
因此综合起来，在偏最小二乘回归中，我们要求t1与u1协方差达到最大，即
Cov(t1,u1)= ??????(??1)??????(??1)??(??1,??1)→??????
即求解下列优化问题 max&E0w1,F0C1&
w1Tw1=1（3-1）
因此，将在||w1||=1和||c1||=1的约束条件下，去求（w1TE0TF0c1）的最大值。此种情况下我们就可以用拉格朗日算法求其最优解，记
s=w1TE0TF0c1-λ1(w1Tw1-1)-λ2（c1Tc1-1）
对s分别求关于w1、c1、λ1、λ
?w12的偏导，并令之为零，有 ?E0TF0c1-2λ1w1=0
??2?F0TE0w1-2λ2c1=0
（3-3） ?-(w1Tw1-1)=0
（3-4） ?-(c1Tc1-1)=0
由（3-2）~（3-5）可以推出
2λ1=2λ2=w1TE0TF0c1=&E0w1,F0C1&
记?1=2λ1=2λ2=w1TE0TF0c1,所以?1是优化问题的目标函数值。
把式（3-2）和式（3-3）写成
E0TF0c1=?1w1
F0TE0w1=?1c1
将式（3-7）代入式（3-6），有
E0TF0F0TE0w1=?12w1
由式（3-8）可知，w1是矩阵E0TF0F0TE0特征向量，对应的特征值为?12，?1是目标函数值，要求取得其最大值，所以w1是对应于矩阵E0TF0F0TE0最大特征值?12的单位特征向量。
求得轴w1和c1后，即可得到成分
然后，分别求E0和F0对t1和u1的回归方程
E0?t1P1?E1,F0?u1Q1
T其中，P1?E0t1/12TT?F*1,F0?t1r1?F12 T，Q1?F0u1/12T，向量r1?F0t1/1；E1，F1*，F1为回
归方程的残差矩阵。
第2成分t2的提取，以E1取代E0 , F1取代F0 , 用上面的方法求第2个轴W2和第2个成分t2 ,有
W2?E1F1E1F1TT,t2?E1W1
同样，E1 , F1分别对t2做回归, 得到
E1?t2P2?E2,F1?t2rTT2?F2
同理可推得第h 成分th , h 的个数可以用交叉有效性原则进行, h 小于X 的秩。 如此计算下去，如果X的秩为A，则会有
E0=t1P1T+…+tAPAT
F0=t1r1T+…+tArAT+FA
由于t1,…,tA均可以表示成E01,…,E0P的线性组合，因此，上式可以还原成YK=F0K关于XJ=E0J的回归方程形式
YK=bk1X1+…+bkPXP+FAKk=1,..,q
3.2一种简洁的计算推导过程
3.1中介绍的推导思路是最为常见的，在3.2中将介绍一种更为简洁的计算方法，即直接在E0,…,Em-1矩阵中提取成分t1,…,tm(m&p)。要求th能尽可能多地携带X中的信息，同时，th对因变量系统F0有最大的解释能力。这时无需在F0中提取成分uh，并且在迭代算法中也无需使用其残差矩阵，而始终直接用F0进行计算。这可以使计算过程大为简化，并且对算法结论的解释也更为方便。
下面讨论成分t1,…,tm(m&=A,A=R(X))的一种新原则。在3.1中推导偏最小二乘法回归算法时，第一步的思路是在因变量F0抽取一个成分u1=F0c1，同时在自变量E0中抽取一个成分t1=E0w1,成分的抽取原则是max&E0w1,F0C1&。
在这个原则下得知w1，c1，u1，t1的计算方法如下：
（1）w1是矩阵E0TF0F0TE0最大特征值的特征向量，成分t1=E0w1；
（2）c1是矩阵F0TE0E0TF0最大特征值的特征向量，成分u1=F0c1；
在求得成分u1，t1以后，分别实施E0在t1上的回归，并生成残差矩阵E1，以及F0在t1上的回归，得到残差矩阵F1。再以E1，F1取代E0，F0进行第二轮成分的提取计算，注意到成分u1,…,um是不参加回归计算的，因此是否可以考虑不提取因变量的成分呢？
为此，用下述原则提取比变量中的成分t2是与3.1中介绍的方法，结果是完全等价的，即
由于F0K是标准化变量，所以
Cov(F0K,E0w1)= ??????(??????1) r(F0K,E0w1)
因此，该优化原则是求成分t1=E0w1，使得t1能携带尽可能多的E0变异，同时，t1对因变量F0K(k=1,…,q)的解释能力会综合达到最大值。由于在目标函数上配上常量（n-1）2不影响其求解，即
（n-1）2?Cov2(F0K,E0w1)=?&F0K,E0w1&2
=?w1TE0TF0KF0KTE0w1=w1TE0T(?F0KF0KT)E0w1=w1TE0TF0F0TE0w1 k?1k?1
为了求w1采用拉格朗日算法求解，记
s=?&F0K,E0w1&2-λ1(w1Tw1-1)=w1TE0TF0F0TE0w1-λ1(w1Tw1
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偏最小二乘回归方法及其应用
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作者: 王惠文
出版社: 国防工业出版社
出版年: 1999
偏最小二乘回归分析是从应用领域中提出的一种新型多元数据分析方法。近十几年来，它在理论和应用方面都已得到迅速的发展。偏最小二乘回归分析主要适用于多因变量对多自变量的线性回归建模，并可以有效地解决许多用普通多元性回归无法解决的问题，诸如：克服变量多重相关性在系统建模中的不良作用以及在样本容量小于变量个数的情况下进行回归建模等。而且它还可以将回归建模、主成分分析及典型相关分析的基本功能有机地结合起来。
本书从适合应用人员理解的角度出发，深入浅出地介绍了偏最小二乘回归分析的最新理论成果和应用技术，其中也包括作者近年来在该领域的研究工作。
· · · · · ·
王惠文是北京航空航天大学复杂数据分析中心主任，经济管理学院教授、博士生导师。主要研究经济管理系统中的数据采集、复杂类型数据分析方法、系统评估方法，以及预测方法等。先后主持国家级、部级以及自然科学基金国际合作项目。出版三部学术专著，发表论文50余篇。研究成果曾于年两次获得中国航空工业总公司科技进步二等奖;1997年获航空基础科学基金优秀项目一等奖；1998年、2000年两次获得国家自然科学基金优秀项目奖；2000年获北京市科技进步三等奖，2000年、2001年两次获得北京政协优秀提案奖。2000年入选中国教育部《跨世纪优秀人才培养计划》；2001年获得国家杰出青年科学基金。在教学方面，曾两次获得北航优秀教学成果二等奖等荣誉。
第一章 绪论 1
1.1 引言 1
1.2 数据表的基本知识 5
1.2.1 样本点空间 6
1.2.2 变量空间 7
1.2.3 数据的标准化处理 8
第二章 一元线性回归分析 12
2.1 一元线性回归模型 12
2.1.1 回归分析所研究的问题 12
2.1.2 一元线性回归的总体模型 14
2.2 最小二乘估计方法 17
2.2.1 最小二乘估计方法的推导 17
2.2.2 高斯-马尔科夫定理 19
2.2.3 其他性质 24
2.3 拟合效果分析 25
2.3.1 残差的样本方差 26
2.3.2 测定系数 28
2.4 显著性检验 32
2.4.1 回归模型的线性关系检验 32
2.4.2 回归参数的显著性检验 36
2.4.3 残差分析 39
第三章 多元线性回归分析 42
3.1 多元线性回归模型 42
3.1.1 高斯-马尔科夫假定 42
3.1.2 最小二乘估计量 43
3.1.3 最小二乘估计量的几何意义 45
3.2 模型效果分析 45
3.2.1 残差的样本方差 45
3.2.2 复测定系数 46
3.2.3 抽样测试法 50
3.2.4 F检验 51
3.2.5 回归参数的显著性检验 52
3.3 偏相关系数 53
3.3.1 偏相关系数的定义 54
3.3.2 偏相关系数的检验 56
3.4 变量筛选方法 57
3.4.1 偏F检验 57
3.4.2 向前选择变量法 58
3.4.3 向后删除变量法 59
3.4.4 逐步回归法 59
第四章 多重相关性问题 67
4.1 多重相关性的含义 67
4.2 多重相关性的危害 70
4.3 多重相关性的论断 78
4.3.1 经验式诊断方法 78
4.3.2 方差膨胀因子 81
4.4 岭回归分析 82
4.4.1 岭回归估计量 82
4.4.2 岭回归估计量的性质 84
4.5 其他补救方法简介 88
第五章 表内成分的提取方法--主成分分析 91
5.1 工作目标与计算方法 91
5.1.1 主成分分析的工作目标 91
5.1.3 计算方法 94
5.1.4 主成分的基本性质 97
5.2 主成分分析的五个侧面 99
5.2.1 携带最多的数据变异信息 100
5.2.2 解释惯量达到最大值 100
5.2.3 最小二乘原则 102
5.2.4 样本点间的相似性改变最小 102
5.2.5 对原始变量系统有最佳的综合能力 104
5.2.6 总结 106
5.3 辅助分析技术 107
5.3.1 精度分析 107
5.3.2 解释主成分 108
5.3.3 特异点的发现 110
5.3.4 样本点在主超平面上的表现质量 112
5.3.5 数据重构 112
5.3.6 水平因子 114
5.4 变量多重相关性对主成分分析的危害 116
5.5 案例分析 119
第六章 表间成分的提取方法--典型相关分析 125
6.1 工作目标与计算方法 125
6.1.1 典型相关分析的工作目标 126
6.1.2 计算方法 128
6.2 基本性质 130
6.2.1 典型成分的直交性 131
6.2.2 相关系数之间的比例关系 132
6.2.3 相关系数矩阵的分解与重构 132
6.2.4 典型相关分析与多元线性回归分析的联系 134
6.3 辅助分析技术 135
6.3.1 精度分析 135
6.3.2 组间相关关系的结构分析 139
6.3.3 典型相关系数的显著性检验 140
6.3.4 典型成分的命名 141
6.4 案例分析 141
第七章 多因变量的偏最小二乘回归模型 150
7.1 工作目标与计算方法 150
7.1.1 工作目标 150
7.1.2 计算方法推导 152
7.1.3 交叉有效性 155
7.2 基本性质 157
7.3 一种更简洁的计算方法 164
7.3.1 提取成分的新原则 164
7.3.2 一个重要的等式 166
7.3.3 因变量对偏最小二乘成分的普通多元线性回归 168
7.3.4 偏最小二乘回归的一种简洁算法 169
7.4 案例分析 171
第八章 偏最小二乘回归的辅助分析技术 178
8.1 与典型相关分析对应的研究内容 178
8.1.1 精度分析 178
8.1.2 判断X与Y之间的相关关系 179
8.1.3 自变量xj在解释因变量集合Y时的作用 180
8.1.4 对成分的解释或命名 181
8.1.5 组间相关关系的结构分析 182
8.2 与主成分分析对应的研究内容 183
8.2.1 对样本点分布结构的观察 183
8.2.2 特异点的发现 184
8.2.3 数据重构的质量分析 185
8.3 案例分析 188
8.3.1 精度分析 188
8.3.2 判断X与Y的相关关系 192
8.3.3 xj在解释Y时的作用分析 193
8.3.4 对成分的命名 194
8.3.5 组间变量的相关关系结构 195
8.3.6 t1/t2平面图和T2椭圆 197
8.3.7 数据重构的质量分析 197
第九章 单因变量的偏最小二乘回归模型 200
9.1 工作目标与计算方法 200
9.1.1 算法推导 201
9.1.2 简化算法 204
9.1.3 基本性质 205
9.1.4 交叉有效性 206
9.2 案例分析 207
9.2.1 例题 207
9.2.2 用普通最小二乘方法建立回归模型 208
9.2.3 用偏最小二乘回归方法建立回归模型 210
9.3 对多变量信息的综合与筛选作用 212
9.4 与主成分回归的比较分析 218
9.4.1 利用主成分进行回归建模需注意的问题 219
9.4.2 偏最小二乘回归对成分提取的方式及结果 222
9.5 辅助分析技术 224
9.5.1 精度分析 224
9.5.2 偏最小二乘回归的成分 225
9.5.3 T2椭圆图 226
9.5.4 对成分的解释 229
9.5.5 数据重构的质量 231
9.5.6 关于回归方程拟合质量的观察 233
第十章 中国四类城市的经济发展分析、比较与预测模型 235
10.1 引言 235
10.2 对偏最小二乘回归分析的计算结果评价 239
10.2.1 大中型工业城市 242
10.2.2 沿海城市 242
10.2.3 江浙地区的城市 243
10.2.4 内陆中小城市 244
10.3 四类城市的经济特征比较 245
10.3.1 大中型工业城市 245
10.3.2 沿海城市 246
10.3.3 江浙地区的城市 248
10.3.4 内陆中小城市 249
10.4 对成分tk的解释与t1/t2平面图 251
10.4.1 大中型工业城市 251
10.4.2 沿海城市 253
10.4.3 江浙地区的城市 255
10.4.4 内陆中小城市 256
10.5 预测模型 259
10.5.1 大中型工业城市 259
10.5.2 沿海城市 260
10.5.3 江浙地区的城市 264
10.5.4 内陆中小城市 265...展开收缩
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偏最小二乘回归方法及其应用
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请问偏最小二乘回归的输出结果如何利用，每个表的含义是什么，最终如何得到回归方程？除了这些输出结果是否还需要考察其它统计指标？输出结果表，如附件所示。希望能得到大家的细心解答，不胜感激。
支持楼主：、
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载入中......
20:38:25 上传
楼主这是把作业题直接放上来了嘛？
请仔细阅读这个多元回归的例子， 看懂了作业题的答案也就有啦！加油！
好的，多谢！
我看了一下，你发的链接是关于普通线性回归的问题。我想问的是偏最小二乘法。但还是很感谢你。希望有其他人来帮忙解决。
夜风痕 发表于
我看了一下，你发的链接是关于普通线性回归的问题。我想问的是偏最小二乘法。但还是很感谢你。希望有其他人 ...请问一下你这个问题解决了吗？
同问& &有没有大神能够解答一下
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