统计学重复测量资料的方差分析ppt下载_PPTOK双因素方差分析
双因素方差分析
范文一：双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型
（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是 两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
1.无交互作用的双因素方差分析。无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。下面用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想：如某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下：问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同？从以上资料可以看出，24个患者与健康人的血磷值各不相同，如果用离均差平方和（SS）描述其围绕总均数的变异情况，则总变异有以下两个来源：
组内变异，即由于随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相等；
组间变异，即由于克山病的影响使得患者与健康人组的血磷值均数大小不等。
而且：SS总=SS组间+SS组内 v总=v组间+v组内如果用均方（即自由度v去除离均差平方和的商）代替离均差平方和以消除各组样本数不同的影响，则方差分析就是用组内均方去除组间均方的商（即F值）与1相比较，若F值接近1，则说明各组均数间的差异没有统计学意义，若F值远大于1，则说明各组均数间的差异有统计学意义。实际应用中检验假设成立条件下F值大于特定值的概率可通过查阅F界值表（方差分析用）获得。因素A位于列的位置，共有r个水平，
因素B位于行的位置，共有k个水平，为样本总平均数表示第j种水平的样本平均数；表示第I种水平的样本平均数。样本容量为 n = r x k 。每一个观察值xij是由因素A的r个水平和因素B的k个水平所组成的抽取的样本容量为1的独立随机样本。
在进行双因素方差分析时，假定在而且有相同的方差。 三、离差平方和的分解与单因素方差分析相类似，进行双因素方差分析时也需要将总离差平方和SST进行分解。但不同的是，这里需要将SST分解成三个组成部分：即
SSA：反映因素A的组间差异
SSB：反映因素B的组间差异
SSE：随机误差的离散状况
它们的计算公式分别为：（1）个总体中，每一个总体都服从正态分布，总体中（2）SSE = SST – SSA – SSB （4）
双因素方差分析表如下：（3）例题：某商品有五种不同的包装方式，在五个不同地区销售。现从每个地区随机抽取一个规模相同的超级市场，得到该商品不同包装的销售资料如表7-9所示。试问，包装方式和销售地区对该商品销售量是否有显著影响（α= 0.05）？
解：从上表可看出，设包装方式为因素A，销售地区为因素B。如果五种包装方式的销售均值相等，则表明不同的包装方式在销售上没有差别；
同理，如果五个地区销售均值相等，则表明不同地区在销售上没有影响。
所以，方差分析的过程为：
(一） 建立假设：用A、B分别来表示两个因素。因素A位于列的位置，有r个水平；因素B位于行的位置，有k个水平，因素A和因素B共有r?k种不同的水平组合。我们对每一种水平组合进行一次试验，其试验结果用Xij来表示。并且假定这r?k个观察值均服从正态分布，且有相同的方差。全部试验结果如下表：表8-9
双因素方差分析数据表B1 B2X11 X21X12 X22… …X1jX… …X1r X2rX1? X2?2j? Bi? Xi1? Xi2?…?Xij?…? Xir?Xi?? BkX?j? Xk1? Xk2?… …?Xkj?… …? XkrX?r?Xk?X?1 X?2X?jXXi??1r1kr?j?1kXij,
(i?1,2,?,k)，表示第i行试验数值的平均数。
（5） ，表示第j列试验数值的平均数。 ( 6 )X?j??i?1Xij,
(j?1,2,?,r)kX?1rkr??j?1i?1Xij，表示r?k个试验数值的平均数。
（7）对上表中的数据可以这样来理解，假设A、B两因素对试验结果没有影响，那么r?k个观察值Xij就是来自同一正态总体的同一个样本的随机变量，各个Xij之间的变异，纯是随机因素所产生的随机误差，从而各列间的平均数应是相等的，且等于总体平均数。各行间的平均数也应相等，也等于总体平均数。如有差异，也是随机误差。假如两个因素对试验结果有影响，则表现在各列平均数之间和各行平均数之间就有明显的差异，这种差异除随机误差之外，还包含了系统偏差，这时就不能认为各个观察值是来自同一正态总体的样本随机变量了。所以，我们可以做如下假设： 对因素A，H01:?1对因素B，H02:?1??2????j????r因素A各水平之间无差别 因素B各水平之间无差别??2????i????k通过方差分析，就能对统计假设是否可信作出一定程度的判断。对于此题： 对因素A：对因素B：地区之间无差异不全等 地区之间有差异包装方式之间无差别不全等 包装方式之间有差别（二）计算F值：
1.计算各种均值(1)因素A的列均值分别为：(2)因素B的行均值分别为(3)总均值2.计算各种离差平方和于是，由公式（1）——（4）有：=SSE = SST-SSA-SSB= 880.96-335.36-199.36 = 346.24
3.计算各种均方差4.计算F值若使用计算机，Excel的输出结果如下：双因素方差分析表（三）统计决策
由上表知，
1.对于因素A，因为，落在拒绝域。故拒绝H0,接受H1。说明不同的包装方式对该商品的销售量产生一定的影响。
2.对于因素B，因为，落在接受域。故接受H0,说明该商品在不同地区的销售量不受地区因素的影响，或不同地区之间在该商品的销售上没有显著的差异。原文地址：双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型
（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是 两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
1.无交互作用的双因素方差分析。无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。下面用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想：如某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下：问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同？从以上资料可以看出，24个患者与健康人的血磷值各不相同，如果用离均差平方和（SS）描述其围绕总均数的变异情况，则总变异有以下两个来源：
组内变异，即由于随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相等；
组间变异，即由于克山病的影响使得患者与健康人组的血磷值均数大小不等。
而且：SS总=SS组间+SS组内 v总=v组间+v组内如果用均方（即自由度v去除离均差平方和的商）代替离均差平方和以消除各组样本数不同的影响，则方差分析就是用组内均方去除组间均方的商（即F值）与1相比较，若F值接近1，则说明各组均数间的差异没有统计学意义，若F值远大于1，则说明各组均数间的差异有统计学意义。实际应用中检验假设成立条件下F值大于特定值的概率可通过查阅F界值表（方差分析用）获得。因素A位于列的位置，共有r个水平，
因素B位于行的位置，共有k个水平，为样本总平均数表示第j种水平的样本平均数；表示第I种水平的样本平均数。样本容量为 n = r x k 。每一个观察值xij是由因素A的r个水平和因素B的k个水平所组成的抽取的样本容量为1的独立随机样本。
在进行双因素方差分析时，假定在而且有相同的方差。 三、离差平方和的分解与单因素方差分析相类似，进行双因素方差分析时也需要将总离差平方和SST进行分解。但不同的是，这里需要将SST分解成三个组成部分：即
SSA：反映因素A的组间差异
SSB：反映因素B的组间差异
SSE：随机误差的离散状况
它们的计算公式分别为：（1）个总体中，每一个总体都服从正态分布，总体中（2）SSE = SST – SSA – SSB （4）
双因素方差分析表如下：（3）例题：某商品有五种不同的包装方式，在五个不同地区销售。现从每个地区随机抽取一个规模相同的超级市场，得到该商品不同包装的销售资料如表7-9所示。试问，包装方式和销售地区对该商品销售量是否有显著影响（α= 0.05）？
解：从上表可看出，设包装方式为因素A，销售地区为因素B。如果五种包装方式的销售均值相等，则表明不同的包装方式在销售上没有差别；
同理，如果五个地区销售均值相等，则表明不同地区在销售上没有影响。
所以，方差分析的过程为：
(一） 建立假设：用A、B分别来表示两个因素。因素A位于列的位置，有r个水平；因素B位于行的位置，有k个水平，因素A和因素B共有r?k种不同的水平组合。我们对每一种水平组合进行一次试验，其试验结果用Xij来表示。并且假定这r?k个观察值均服从正态分布，且有相同的方差。全部试验结果如下表：表8-9
双因素方差分析数据表B1 B2X11 X21X12 X22… …X1jX… …X1r X2rX1? X2?2j? Bi? Xi1? Xi2?…?Xij?…? Xir?Xi?? BkX?j? Xk1? Xk2?… …?Xkj?… …? XkrX?r?Xk?X?1 X?2X?jXXi??1r1kr?j?1kXij,
(i?1,2,?,k)，表示第i行试验数值的平均数。
（5） ，表示第j列试验数值的平均数。 ( 6 )X?j??i?1Xij,
(j?1,2,?,r)kX?1rkr??j?1i?1Xij，表示r?k个试验数值的平均数。
（7）对上表中的数据可以这样来理解，假设A、B两因素对试验结果没有影响，那么r?k个观察值Xij就是来自同一正态总体的同一个样本的随机变量，各个Xij之间的变异，纯是随机因素所产生的随机误差，从而各列间的平均数应是相等的，且等于总体平均数。各行间的平均数也应相等，也等于总体平均数。如有差异，也是随机误差。假如两个因素对试验结果有影响，则表现在各列平均数之间和各行平均数之间就有明显的差异，这种差异除随机误差之外，还包含了系统偏差，这时就不能认为各个观察值是来自同一正态总体的样本随机变量了。所以，我们可以做如下假设： 对因素A，H01:?1对因素B，H02:?1??2????j????r因素A各水平之间无差别 因素B各水平之间无差别??2????i????k通过方差分析，就能对统计假设是否可信作出一定程度的判断。对于此题： 对因素A：对因素B：地区之间无差异不全等 地区之间有差异包装方式之间无差别不全等 包装方式之间有差别（二）计算F值：
1.计算各种均值(1)因素A的列均值分别为：(2)因素B的行均值分别为(3)总均值2.计算各种离差平方和于是，由公式（1）——（4）有：=SSE = SST-SSA-SSB= 880.96-335.36-199.36 = 346.24
3.计算各种均方差4.计算F值若使用计算机，Excel的输出结果如下：双因素方差分析表（三）统计决策
由上表知，
1.对于因素A，因为，落在拒绝域。故拒绝H0,接受H1。说明不同的包装方式对该商品的销售量产生一定的影响。
2.对于因素B，因为，落在接受域。故接受H0,说明该商品在不同地区的销售量不受地区因素的影响，或不同地区之间在该商品的销售上没有显著的差异。
范文二：双因素方差分析一、无交互作用下的方差分析设A与B是可能对试验结果有影响的两个因素，相互独立，无交互作用。设在双因素各种水平的组合下进行试验或抽样，得数据结构如下表：表中每行的均值Xi.（i=1,2,…r）是在因素A的各个水平上试验结果的平均数；每列的均值X.j(j=1,2,…,n)是在因素B的各种水平上试验的平均数。以上数据的离差平方和分解形式为：SST=SSA+SSB+SSE
（6.13） 上式中：2SST=∑∑(Xij-X)
(6.14)SSA=∑∑(Xi.-X)2=∑n(Xi.-X)222SSB=∑∑(Xj-X)=∑r(X.j-X)(6.15)（6.16）2SSE(XX=-i.-X.j+X)∑∑ij
(6.17)SSA表示的是因素A的组间方差总和，SSB是因素B的组间方差总和，都是各因素在不同水平下各自均值差异引起的；SSE仍是组内方差部分，由随机误差产生。各个方差的自由度是：SST的自由度为nr-1，SSA的自由度为r-1，SSB的自由度为n-1，SSE的自由度为nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。各个方差对应的均方差是：对因素A而言：
对因素B而言：MSA=MSB=SSAr-1
（6.18） SSBn-1
（6.19） SSEnr-r-n-1
（6.20）对随机误差项而言：MSE=我们得到检验因素A与B影响是否显著的统计量分别是：FA=FB=MSA~F[r-1,(r-1)(n-1)]MSE
（6.21） MSB~F[n-1,(r-1)(n-1)]MSE
（6.22）【例6-2】某企业有三台不同型号的设备，生产同一产品，现有五名工人轮流在此三台设备上操作，记录下他们的日产量如下表。试根据方差分析说明这三台设备之间和五名工人之间对日产量的影响是否显著？（α=0.05）。
表6－5工人一 工人二 工人三 工人四 工人五设备A 64 72 63 81 78 设备B 75 66 61 73 80 设备C 78 67 80 69 71解：检验的假设有二个，第一个假设是针对设备（设为A因素）的：H01：三台设备对日产量没有显著影响； H11：三台设备对日产量有显著影响。第二个假设是针对人员（设为B因素）的：H02：工人技术对日产量没有显著影响； H12：工人技术对日产量有显著影响。将以上数据输入Excel表格中，进行“无重复双因素分析”，Excel输出的方差分析表如下：表6－6
Excel输出的方差分析表 差异源 SS df MS F P-valueF crit行 10...458968 (A因素)列 161...837854 (B因素)误差 456..01667
总计 627.7333 14从上表可知：F=0 .092A台设备对日产量有显著影响；FB=0.706二、有交互作用的方差分析为了研究两个因素是否独立，有无交互作用，我们需要在各个因素水平组合下，进行重复试验；因此，有交互作用时，方差分析的数据结构不同于无交互作用。设因素A与因素B每一对水平搭配下重复试验的次数都是m，得到试验数据结构如表6－7。表6－7
因素B……B1B2Bn因 素 AA1X111X112MX11mX121X122MX12m……X1n1X1n2MX1nmA2X211X212MX21mX221X222MX22m……X2n1X2n2MX2nmXr11Xr12MXr1mXr21Xr22MXr2mAr……Xrn1Xrn2MXrnm表中的Xijl表示的是在因素水平组合（Ai，Bj）下第l次试验的结果。在此组合下试验结果的平均值为：Xij.=1m∑Xijlml=1
（6.23）进一步记：Xi..=X.j.X=1nm∑∑Xijlnmj=1l=1
（6.24） 1rm=∑∑Xijlrmi=1l=1
（6.25） 1∑∑∑Xijlrnm
（6.26）则我们类似地有以下的离差平方和分解形式：SST=SSA+SSB+SSAB+SSE
（6.27）2SST(XX)=-∑∑∑ijl
(6.28) 式中：SSA=nm∑(Xi-X)2(6.29)SSB=rm∑(X.j.-X)2
（6.30） SSAB=m∑∑(Xij.-Xi..-X.j.+X)2
（6.31）2SSE(XX=-ij.)∑∑∑ijl
(6.32)与无交互作用的双因素方差分解相比，这里多出了一项SSAB，它刚好反映了两个因素交互作用的结果。离差平方和SST、SSA、SSB、SSAB和SSE的自由度分别是rnm-1、r-1、n-1、(r-1)(n-1)和rn(m-1)。我们得到如下的均方差：MSA=MSB=SSAr-1
（6.33） SSBn-1
（6.34）SSAB(r-1)(n-1)
（6.35）SSEMSE=rn(m-1)
（6.36）MSAB=则检验因素A与B影响是否显著的统计量分别是：FA=FB=MSA~F(r-1,rnm-rn)MSE
MSB~F(n-1,rnm-rn)MSE
（6.38）检验交互影响是否显著的统计量度是：FAB=【例6-3】为了分析光照因素A与噪音因素B对工人生产有无影响，光照效应与噪音效应有交互作用，在此两因素不同的水平组合下做试验，结果如表6-8（表中数据为产量）：表6－8
因素BB1B2B3MSAB~F[(r-1)(n-1),rnm-rn]MSE
（6.39）因素 AA1A2A3A415 2 15 7解：检验的假设有三个：H01：光照因素A对产量没有显著影响； H11：光照因素A对产量有显著影响。 H02：噪音因素B对产量没有显著影响； H12：噪音因素B对产量有显著影响。H03：光照效应与噪音效应没有交互作用； H13：光照效应与噪音效应有交互作用。将以上数据输入Excel表格中，进行“有重复双因素分析”，Excel输出的方差分析表如下：表6－9方差分析表 差异源 SS Df MS F P-valueF crit 样本 (B因素) 28.449.933.40283列(A因素) 2..79交互 63.897.22.50819内部 36241.5
总计 130.3055635从上表可知：FA=0.4(2,24)=3.40283，拒绝H02，有充拒绝H03，分证据说明噪音对产量有显著影响；FAB=7.0(6,24)=2.50819，有充分证据说明光照与噪音存在交互作用并由此对产量产生显著影响。
范文三：5. 某企业在制定某商品的广告策略时，收集了该商品在不同地区采用不同广告形式促销后的销售额数据，希望对广告形式和地区是否对商品销售额产生影响进行分析， a) 以商品销售额为因变量，广告形式和地区为自变量，通过单因素方差分析方法分别对广告形式、地区对销售额的影响进行分析；b) 试进一步分析，究竟哪种广告形式的作用较明显，哪种不明显，以及销售额和地区之间的关系等。c) 试分析广告形式、地区以及两者的交互作用是否对商品销售额产生影响。 （数据见练习2数据.xls—练习2.5，其中广告形式为：1. 报纸； 2. 广播； 3. 宣传品； 4. 体验） 答： (a)i以广告形式为自变量时，H0:广告形式对销售额没有差异 H1：广告形式对销售额有差异?? 0.05通过SPSS分析可以得到下面的结论F分布值为2.6693本题所计算的结果13.483>2.6693 决策：拒绝H0结论：有显著证据表明，广告形式对销售额有显著差异 ii以地区为自变量时H0 :地区对销售额没有影响 H1 ：地区对销售额有影响构造检验统计量将数据导入SPSS进行单因素相关性分析F分布值为1.7044 因为F>P=1.704 决策：拒绝H0结论：有显著证据表明，地区对销售额有影响
b) （i）下面计算广告形式的影响 主要通过LSD来比较使用matlab计算t分布值为： >> tinv(0.025,140)ans =-1.9771LSD???5.61
现在构造假设检验量：i?j提出假设：H0 :第i中广告形式的和第j种广告形式对销量没有显著性差异H1 ：第i中广告形式的和第j种广告形式对销量有显著性差异结论：第1种广告形式和第2种广告形式的销量没有显著差异 第1种广告形式和第3种广告形式的销量有显著差异 第1种广告形式和第4种广告形式的销量有显著差异 第2种广告形式和第3种广告形式的销量有显著差异 第2种广告形式和第4种广告形式的销量没有显著差异 第3种广告形式和第4种广告形式的销量有显著差异 而且从均值图分析可以看出来，第1种广告形式对增加销量影响显著，第3种对于减少销量影响显著。（ii）下面分析区域对于销量的影响提出假设：H0 :第i区域的和第j区域对销量没有显著性差异H1 ：第i区域和第j区域对销量有显著性差异显著性水平为95% 自由度为126 >> tinv(0.025,126) ans =
-1.9790LSD = 1.979*?11.46决策：当|i?j |>LSD时，拒绝H0 ,当|i?j |使用SPSS软件的LSD分析可以得到下表多重比较因变量:
LSD(I) VAR00011 (J) VAR00011均值差 标准误 显著性 95% 置信区间 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.001.0010.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 1.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.002.0010.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00(I-J)-21.00000*-19.200*-13.300*-16.600*-13.00*下限上限2.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.003.0010.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 1.00 2.00 3.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.004.0010.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 1.00 2.00 3.00 4.005.006.00 7.00 8.00 9.00 10.0016.62500*14.00*23.00*14.00*14.00*27.00*19.00*12.00*21.00*12.00*12.00*12.00*15.00000*12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 7.00 8.00 9.006.0010.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 8.00 9.007.0010.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.008.001.0018.75000*-14.600*14.00*-22.200*-13.800*-19.00*3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.009.0010.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 1.00 2.00 3.00 4.0010.005.00 6.00 7.00 8.00 9.00 11.0014.62500*15.00*19.500*-21.600*-15.700*-12.100*17.00*19.00*25.50000*13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.0011.009.00 10.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.0012.009.00 10.00 11.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.0013.001.00 2.0013.62500*23.800*-28.700*-20.300*-21.100*-17.500*-11.800*-17.000*12.00*15.87500*4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.0014.009.00 10.00 11.00 12.00 13.00 15.00 16.00 17.00 18.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.0015.006.00 7.00 8.00 9.00 10.00 11.00-12.25000*14.00*-16.800*-13.00*-14.000*14.75000*13.00 14.00 16.00 17.00 18.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.0016.009.00 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 17.00 18.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.0017.009.00 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 18.00 1.0018.002.00 3.0013.12500*-11.00*17.00*-27.100*-18.700*-19.500*-15.800*-13.100*-14.500*4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00*. 均值差的显著性水平为 0.05。16.00**2共有C18?153 种决策要做。依据上面给的决策建议做出相应的决策（拒绝H0或者不拒绝H0）结论：分为两种情况，当拒绝H0时，则有显著证据表明区域对销量有着显著性差异； 当不拒绝H0时，则没有显著证据表明这区域对销量有着显著性差异区域3和区域10对于对于增加销量的影响显著，而区域11和区域17则对于减少销量影响显著。 (c)多因素方差分析H0: 不同广告形式没有对销售额产生显著影响;不同地区的销售额没有显著性差异；广告形式和地区的交互作用对销售额产生显著的交互影响H1: 不同广告形式对销售额产生了显著的影响；不同区域对销售额有显著性的影响广告形式和地区的交互作用没有产生了显著的交互影响 通过SPSS分析可以得到下面的结果而根据双因素方差分析，r=4,s=18,t=2(2次重复)F0.95(51,72)=1.5222结论：FA? 6.459 > 1.52;拒绝原假设H0 ,说明区域对销售额有显著性影响 FB? 23.175>1.52;拒绝假设H0 , 说明广告形式对销售额有显著性影响FAB? 1.15的交互影响。
范文四：双因素的多重比较方法生物工程
陈晓穗摘要：本文首先扼要地介绍了多重比较的方法种类，其次引用了一个实例具体地展示了无交叉相互作用的双因素的多重比较方法。关键词：最小显著差数法最小显著极差法双因素多重比较1.前言用方差分析检验样本的差异是否显著后，获得了显著或极显著的结论。此时人们便想进一步的了解具体到哪些平均数间有显著差异，哪些不显著。这就有必要进行两两地比较平均数，以判断这两组数据的显著差异性。统计学把多个平均数两两间互相比较称为多重比较。多重比较常有的方法有：最小显著差数法和最小显著极差法。2．多重比较法 2.1 多重比较法的种类 2.1.1 最小显著差数法最小显著差数法，简称LSD。它其实只是t检验的一个简单变形,并未对检验水准做出任何校正,只是在标准误的计算上充分利用了样本信息, 为所有组的均数统一估计出了一个更为稳健的标准误,其中MS误差是方差分析中计算得来的组内均方,它一般用于计划好的多重比较。由于单次比较的检验水准仍为α,因此可认为LSD法是最灵敏的。此法的基本作法是：在F检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数LSD?，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值i.?j.与其比较。若i.?j.＞LSDa时，则i.与j.在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。最小显著差数由LSDa?ta(dfe)Si.?j.计算。式中t?(dfe)为在F检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t值，Si.?j.为均数差异标准误，由Si.?j.?2MSe/n算得。其中MSe为F检验中的误差均方，n为各处理的重复数。当显著水平α=0.05和0.01时，从t值表中查出t0.05(dfe)和t0.01(dfe)，代入式得：LSD0.05?t0.05(dfe)Si?j..LSD0.01?t0.01(dfe)Si?j..2.1.2 最小显著极差法最小显著极差法，简称LSR。该法特点是把平均数的差数看成是平均数的极差，根据极差范围内所包含的处理数(称为秩次距)k的不同而采用不同的检验尺度，以克服LSD法的不足。这些在显著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的检验尺度叫做最小显著极差。该法常用的有q检验法和新复极差法两种。 2.1.2.1 q检验法q检验法(q test)此法是以统计量q的概率分布为基础的。q值由下式求得：q??/S。式中，ω为极差，S?MSe/n为标准误，q分布依赖于误差自由度dfe及秩次距k。利用q检验法进行多重比较时，为了简便起见，不是将由q??/S式算出的q值与临界q值qa(dfe,k)比较，而是将极差与qa(dfe,k)S比较，从而作出统计推断。qa(dfe,k)S即为α水平上的最小显著极差。当显著水平α=0.05和0.01时，从q值表中根据自由度dfe及秩次距k查出q0.05(dfe,k)和q0.01(dfe,k)代入LSRa?qa(df,k)S式得eLSR0.05,k?q0.05(dfe,k)SLSR0.01,k?q0.01(dfe,k)S2.1.2.1新复极差法新复极差法与q检验法的检验步骤相同，唯一不同的是计算最小显著极差时需查SSR表而不是查q值表。最小显著极差计算公式为LSRa,k?SSRa(dfe,k)S其中式中SSR?(dfe,k)是根据显著水平α、误差自由度dfe、秩次距k，由SSR表查得的临界SSR值，S?为：MSe/n。α=0.05和α=0.01水平下的最小显著极差LSR0.05,k?SSR0.05(dfe,k)SLSR0.01,k?SSR0.01(dfe,k)S3 双因素的多重比较在单因素中，只需要两两均值地比较即刻得出具体哪些组具有显著性差异。但在双因素中，则需要更复杂的计算过程，其中需要用到以上介绍到的各种多重比较方法。分别比较A因素与观测值和B因素与观测值的显著性差异。以下引用网上的一个实例作出具体的步骤说明。【例】为研究IBA激素对银杏生长发育的影响，现有4个不同品系银杏根系，各种3株，随机分别施用不同剂量的激素，然后在相同条件下试验，并测得它们根系的生长量，见下表。各品系银杏不同剂量激素的根系生长量(cm) IBA激素剂量(mg/100g)(B)品系(A)B1(0.2)A1 A2 A3 A4 合计x.j 平均.j106 42 70 42 260 65.0B2(0.4) 116 68 111 63 358 89.5B3(0.8) 145 115 133 87 480 120.0367 225 314 192 1098122.3 75.0 104.7 64.0合计xi..平均i.获得以上的数据，首先需要进行双因素的方差分析。 ①、对品系A提出的假设为? H0A: μA1 =μA2 =μA3 =μA4 ? H1A: μA1、μA2、μA3、μA4不全相等②、对剂量B提出的假设为? H0B: μB1 =μB2 =μB3? H1B:μB1、μB2、μB3、不全相等计算各项平方和与自由度：C?x..2/ab?1)?0SST???xij2?C?(???632?872)?0?467..00001(42?.00003?7?0?222SSB??x.?C?(260?358?480)?0ja4?0?0?SSA?xi?b12.?C?SSE?SST?SSA?SSB??33dfT?ab?1?4?3?1?11,dfA?a?1?4?1?3dfB?b?1?3?1?2,dfe?dfT?dfA?dfB?11?3?2?6列出方差分析表，进行F检验：资料的方差分析表变异来源 A因素(品系) B因素(剂量)误差 总变异根据df1=dfA=3,df2=dfe=6查临界F值，F0.01(3,6)=9.78；根据df1=dfB=2，df2=dfe=6查临界F值，F0.01(2,6)=10.92。因为A品系的F值23.77＞F0.01(3,6)，P＜0.01，差异极显著，拒绝H0A，接受平方和 74.3 自由度 3 2 6 11均方 37.6F值 23.77** 33.54**H1A；B剂量的F值33.54＞F0.01(2,6)，P＜0.01，差异极显著拒绝H0B，接受H1B。说明不同品系和不同IBA激素剂量对银杏根系的发育均有极显著影响，有必要进一步对A、B两因素不同水平的平均测定结果进行多重比较。多重比较：（1）不同品系的根系平均生长量比较
各品系平均数多重比较表见表6-23。表1
各品系根系平均生长量多重比较（q法）品系 A1 A3 A2 A4在两因素单独观测值试验情况下，因为A品系每一水平的重复数恰为B剂量的水平数b，故A品系的标准误Si.?MSe/b，此例b=3,MSe=90.5556，故平均数i. 122.3 104.7 75.0 64.0i.-64.0 58.3** 40.7** 11.0i.-75.047.3** 29.7**i.-104.717.6Si.?MSe/b?..4941根据dfe=6，秩次距k=2,3,4，q值表中查出α=0.05和α=0.01的临界q值，与标准误Si.?5.4941相乘，计算出最小显著极差LSR，结果见表6-24。表2q值及LSR值dfe秩次距k263 4q0.05 3.46 4.34 4.90q0.01 5.24 6.33 7.03LSR0.05 19.01 23.84 26.92LSR0.01 28.79 34.78 38.62将表1中各差数与表2中相应最小显著极差比较，作出推断。检验结果已标记在表6-23中。结果表明，A1、A 3品系与A2、A 4品系的根系平均生长量均有极显著的差异；但A1与A 3及A2与A4品系间差异不显著。(2)不同IBA激素剂量的根系平均生长比较
B剂量各剂量水平平均数比较表见表6-25。表3 不同IBA激素剂量的根系平均生长量多重比较(q法)IBA激素剂量B3(0.8) B2(0.4) B1(0.2)在两因素单独观测值试验情况下，B剂量每一水平的重复数恰为A品系的水平数a，故B因素的标准误S.j?MSe/a，此例a=4，MSe=90.5556。故S.j?MSe/a?..7580平均数.j 120.0 89.5 65.0.j-65.0 .j-89.555.0** 24.5*30.5**根据dfe=6，秩次距k=2,3查临界q值并与S.j相乘，求得最小显著极差LSR，见表6-26。表4q值与LSR值dfe秩次距 2634.346.3320.6530.12q0.05 3.46q0.01 5.24LSR0.05 16.46LSR0.01 24.93将表3各差数与表4相应最小显著极差比较，作出推断。结果表明，施用IBA激素剂量为0.8mg的根系生长量极显著大于剂量为0.4mg和0.2mg的根系生长量，而后两种剂量的根系生长量间也有显著差异。这里介绍的双因素多重比较的方法只适用于两个因素无相互交叉作用的情况。参考文献：[1]薛茜,刘万里,尔西丁,马金凤,曹明芹. 常用多重比较方法. 中国医院统计.2008年3月第15卷第1:29-31[2] 惠凤莲.论多重比较的几种方法. 统计与信息论坛.1997 年第4 期:29-33[3]百度文库/view/4c4b192ef755.html
范文五：从模型1、模型2 可以看出, 在通常的教学质量评价过程中, 人们只注重对教师教学水平的点评,而对评课人的素质和水平几乎没有讨论。但事实上, 教师教学水平的高低及提高, 与评课人的水平是密切相关的, 只有评课人与指导者水平高, 对教师教学水平的评价才有较高的可靠性, 教师的教学水平也才会得到提高。方差分析的结论告诉我们:不但教师之间的水平有显著差异, 评课人的水平也是有显著差异的, 因而要想对被评教师做出客观公正的结论, 不能忽视评课者的素质。请看下例:某高校评估小组(8人)对该校某教研室教师(6人) 上学期教学水平的评分成绩如表2 所示。表2 对某教研室教师教学水平的评分试对教师之间的教学水平和评估人之间的水平做出你的评价。 这是一个无重复试验的双因素方差分析问题, 因素A是教师,有6个水平A1,A2,,A6;因素B是评课人,有8个水平B1,B2,,B8。Xij(i=1,2,,6,j=1,2,,8)是因素A,B的水平的每对组合(Ai,Bj)做一次试验的数据, 其数学模型为检验假设H0A:α1=α2=…=α6= 0,H1A:α1,α2 ,…,α6不全为0; H0B:β1=β2=…=β7 = 0, H1B:β1,β2,…,β7 不全为0。 经计算得:ST=2.21073, SA=0.98644, SB=01500 09,SE=ST-SA-SB=017242,从而得方差分析表如表3 所示。取α=0.05,有FA(r-1,(r-1)(s-1))=F0.05(5,35)=2.30FA(s-1,(r-1)(s-1))=F0.05(7,35)=2.14由于FA=10.89529 > 2.30=F0.05(5,35),FB=4.14248 > 2.14=F0.05(7,35) ,因此以95% 的置信度可以认为教师之间的教学水平有显著差异, 同时评课小组成员之间的水平也有显著差异。由于评课小组成员之间的水平有显著差异, 因此可以讨论如何定量地去比较他们水平的高低。表3 方差分析表阅读详情：X*j为第j个成员对每位教师评分的平均值, 显然不能根据它的大小来度量该成员水平的高低。考虑到Xij=Xi*的含义(第j个成员对第i名教师评分与所有成员对第i 名教师评分的平均值之差),用来评价第j名评课人水平的高低是合适的,δj越小水平越高, δj越大水平则越低对于本例计算Dj如表4 所示。表4 评课人的水平排名结论: 第1名评课人水平最高,第4名评课人水平最低附录：双因素方差分析法计算过程
范文六：1. 某湖水在不同季节氯化物含量测定值如表6.16所示。问不同季节氯化物含量有无差别？若有差别，进行32个水平的两两比较。解：2.有三种抗凝剂（A1,A2,A3）对一标本作红细胞沉降速度（一小时值）测定，每种抗凝剂3.将18名原发性血小板减少症患者按年龄相近的原则配为6个单位组，每个单位组中的3名患者随机分配到A、B、C三个治疗组中，治疗后的血小板升高情况见表6.17，问3中治疗方法的疗效有无差别？表6.17
不同人用鹿茸后血小板的升高值/(10/mm)43解：4.某研究人员以0.3mL/kg剂量纯苯给大鼠皮下注射染毒，每周3次，经45天后，实验动物白细胞综述下降至染毒前的50%左右，同时设置未染毒组。两组大鼠均按照是否给予升高白细胞药物分为给药组和不给药组，试验结果见表6.18，试作统计分析。解：问：（1）这三类人的该项生理指标有差别吗？（）
（2）如果有差别，请进行多重比较分析。（??0.05） 解：6.将24家生产产品大致相同的企业，按资金分为三类，每个公司的每100元销售收入的生产成本（单位：元）如表6.20所示。这些数据能否说明三类公司的市场生产成本有差异（假定生产成本服从正态分布，且方差相同）？（??0.05）解：7.为了解三种不同配比的饲料对仔猪影响的差异，对三种不同品种的猪各选三头进行试验，分别测得其三个月间体重增加量如表6.21所示。假定其体重增加量服从正态分布，且1方差相同。试分析不同饲料与不同品种对猪生长有无显著差异？（??0.05）8.比较3种化肥（A，B两种新型化肥和传统化肥）施撒在三种类型（酸性、中性和碱性）的土地上对作物的产量情况有无差别，将每块土地分成6块小区，施用A，B两种新型化肥和传统化肥，收割后，测量各组作物的产量，得到的数据如表6.22所示、化肥、土地类型及其它们的交互作用对作物产量有影响吗？（??0.05）-1. 某湖水在不同季节氯化物含量测定值如表6.16所示。问不同季节氯化物含量有无差别？若有差别，进行32个水平的两两比较。解：2.有三种抗凝剂（A1,A2,A3）对一标本作红细胞沉降速度（一小时值）测定，每种抗凝剂3.将18名原发性血小板减少症患者按年龄相近的原则配为6个单位组，每个单位组中的3名患者随机分配到A、B、C三个治疗组中，治疗后的血小板升高情况见表6.17，问3中治疗方法的疗效有无差别？表6.17
不同人用鹿茸后血小板的升高值/(10/mm)43解：4.某研究人员以0.3mL/kg剂量纯苯给大鼠皮下注射染毒，每周3次，经45天后，实验动物白细胞综述下降至染毒前的50%左右，同时设置未染毒组。两组大鼠均按照是否给予升高白细胞药物分为给药组和不给药组，试验结果见表6.18，试作统计分析。解：问：（1）这三类人的该项生理指标有差别吗？（）
（2）如果有差别，请进行多重比较分析。（??0.05） 解：6.将24家生产产品大致相同的企业，按资金分为三类，每个公司的每100元销售收入的生产成本（单位：元）如表6.20所示。这些数据能否说明三类公司的市场生产成本有差异（假定生产成本服从正态分布，且方差相同）？（??0.05）解：7.为了解三种不同配比的饲料对仔猪影响的差异，对三种不同品种的猪各选三头进行试验，分别测得其三个月间体重增加量如表6.21所示。假定其体重增加量服从正态分布，且1方差相同。试分析不同饲料与不同品种对猪生长有无显著差异？（??0.05）8.比较3种化肥（A，B两种新型化肥和传统化肥）施撒在三种类型（酸性、中性和碱性）的土地上对作物的产量情况有无差别，将每块土地分成6块小区，施用A，B两种新型化肥和传统化肥，收割后，测量各组作物的产量，得到的数据如表6.22所示、化肥、土地类型及其它们的交互作用对作物产量有影响吗？（??0.05）-
范文七：1. 对 木 材 进 行抗 压 强 度试 验 ， 选 择三 种 不 同比 重 （ 克 ∕立 方 厘 米） 的 木 材: A1 :0.34~0.47, A2 :0.48~0.52, A3 :0.53~0.56;及三种不同的加荷速度（千克∕ 平方厘米·分钟） ： B1 :600, B2 :2400, B3 ：4200，测得木材的抗压强度（千克 ∕平方厘米）数据如下： 加荷速度 比重A11A223 A35.28 5.74 5.54B113.72 3.90 4.205.22 5.24 5.08B22B33检验木材比重及加荷速度对木材的抗压强度是否有显著影响. 这个操作时要剔除交互作用（每种搭配实验数据只有一个）2. 将一块耕地等分为 24 个小区，今有 3 个不同的小麦品种（ A1 ， A2 ， A3 ）和 2 种不同的肥料（ B1 ， B2 ）.现将各小麦品种与各种肥料进行搭配，对每种搭 配都在 4 个小区上试验，测得每个小区产量（千克）如下： 产 量 B AA11A22A33B1 1B2 29 9 9 1210 8 10 1112 9 12 1111 8 13 1213 15 22 2014 12 16 18试分析品种、肥料以及它们的交互作用对产量有无显著性的影响.
范文八：1. 对木材进行抗压强度试验，选择三种不同比重（克∕立方厘米）的木材:A1:0.34~0.47,A2:0.48~0.52,A3:0.53~0.56;及三种不同的加荷速度（千克∕平方厘米·分钟）：B1:600,B2:00，测得木材的抗压强度（千克检验木材比重及加荷速度对木材的抗压强度是否有显著影响. 这个操作时要剔除交互作用（每种搭配实验数据只有一个）2. 将一块耕地等分为24个小区，今有3个不同的小麦品种（A1，A2，A3）和2种不同的肥料（B1，B2）.现将各小麦品种与各种肥料进行搭配，对每种搭配都在4个小区上试验，测得每个小区产量（千克）如下：试分析品种、肥料以及它们的交互作用对产量有无显著性的影响.
范文九：第二节
双因素试验的方差分析进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如表9-7中的两组试验结果，都有两个因素A和B，每个因素取两个水平.表9-7(b)表9-7（a）中，无论B在什么水平（B1还是B2），水平A2下的结果总比A1下的高20；同样地，无论A是什么水平，B2下的结果总比B1下的高40.这说明A和B单独地各自影响结果，互相之间没有作用.表9-7(b)中，当B为B1时，A2下的结果比A1的高，而且当B为B2时，A1下的结果比A2的高；类似地，当A为A1时，B2下的结果比B1的高70，而A为A2时，B2下的结果比B1的高30.这表明A的作用与B所取的水平有关，而B的作用也与A所取的水平有关.即A和B不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A和B的交互作用，记作A×B.在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A和B的作用，还要检验它们的交互作用.1.双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A，B作用于试验的指标，因素A有r个水平A1,A2,…,Ar,因素B有s个水平B1,B2,…,Bs,现对因素A，B的水平的每对组合(Ai,Bj),i=1,2,…,r；j=1,2,…,s都作t(t≥2)次试验（称为等重复试验），得到如表9-8的结果：表9-8 ijkijijkij数.或写为?xijk??ij??ijk,j?1,2,?,r;j?1,2,?,s,?2(9.16) ??ijk~N(0,?),k?1,2,?,t,?各?相互独立.?ijk记1rs1sμ=???ij,,
?i????ij, i=1,2,…,r,rsi?1j?1sj?11r??j???ij,
j=1,2,…,s,ri?1?i??i???,,
i=1,2,…,r,
j=1,2,…,s,?ij??ij??i????j??.于是
μij=μ+αi+βj+γij.
(9.17)称μ为总平均，αi为水平Ai的效应，βj为水平Bj的效应，γij为水平Ai和水平Bj的交互效应，这是由Ai,Bj搭配起来联合作用而引起的.易知??i?1rri=0,??j?1sj=0，??i?1ij=0,
j=1,2,…,s,??j?1sij=0,
i=1,2,…,r，这样（9.16）式可写成?xijk????i??j??ij??ijk,?rsrs????i?0,??j?0,??ij?0,??ij?0,(9.18) j?1i?1j?1?i?12??ijk~N(0,?),i?1,2,?,r;j?1,2,?,s;k?1,2,?,t,?各?相互独立.??ijk其中μ,αi,βj,γij及σ2都为未知参数.（9.18）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型.我们要检验因素A，B及交互作用A×B是否显著.要检验以下3个假设：?H01:?1??2????r?0,??H11:?1,?2,???r不全为零.?H02:?1??2????s?0,??H12:?1,?2,???s不全为零.?H03:?11??12????rs?0,?H:?,?,???不全为零.rs?131112类似于单因素情况，对这些问题的检验方法也是建立在平方和分解上的.记1rst?xijk, ???rsti?1j?1k?11tij???xijk,
i=1,2,…,r； j=1,2,…,s，tk?1i??1st???xijk,
i=1,2,…,r， stj?1k?11rt???xijk,
j=1,2,…,s， rti?1k?1ST=2. (x?)???ijki?1j?1k?1i·,μ?j?rst不难验证,i??,?j?,ij?分别是μ,μ·j,μij的无偏估计.由
xijk??(xijx?ix)?x?j?x)(?i???，kx?)ij??ij??j? )x1≤i≤r,1≤j≤s,1≤k≤t得平方和的分解式：ST=SE＋SA＋SB＋SA×B，
(9.19)其中SE=rst???(xi?1j?1k?1rijk?ij?)2，SA=st?(i?1i???)2，SB=rtrs?(j?1s?j??)2，SA×B=t2. (???)??ij?i???j?i?1j?1SE称为误差平方和，SA，SB分别称为因素A，B的效应平方和，SA×B称为A，B交互效应平方和.当H01:α1=α2=…=αr=0为真时，FA=当假设H02为真时，FB=SA(r?1)SE~F(r-1,rs(t-1))；rs(t?1)SB(s?1)SE~F(s-1,rs(t-1))；rs(t?1)当假设H03为真时，FA×B=SA?B(r?1)(s?1)SE~F((r-1)(s-1),rs(t-1)).rs(t?1)当给定显著性水平α后，假设H01，H02，H03的拒绝域分别为：?FA?F?(r?1,rs(t?1));?(9.20) ?FB?F?(s?1,rs(t?1));?F?F(r?1)(s?1),rs(t?1)).??A?B经过上面的分析和计算，可得出双因素试验的方差分析表9-9.表9-9rst在实际中，与单因素方差分析类似可按以下较简便的公式来计算ST，SA，SB，SA×B,SE. 记
T···=???xi?1j?1k?1tijk，Tij·=?xk?1ijk, i=1,2,…,r; j=1,2,…,s，Ti··=??xj?1k?1rtstijk, i=1,2,…,r,T·j·=即有??xi?1k?1ijk, j=1,2,…,s,rst?T???22,?ST????xijk?rsti?1j?1k?1??T???21r2,?SA??Ti???sti?1rst??(9.21) T???21s?2S?T?,?Brt??j?rstj?1??T???21rs2?SA?SB,?SA?B???Tij??trsti?1j?1???SE?ST?SA?SB?SA?B.例9.5
用不同的生产方法（不同的硫化时间和不同的加速剂）制造的硬橡胶的抗牵拉强度（以kg·cm-2为单位）的观察数据如表9-10所示.试在显著水平0.10下分析不同的硫化时间（A），加速剂（B）以及它们的交互作用（A×B）对抗牵拉强度有无显著影响.010203r=s=3, t=2， T···,Tij·,Ti··,T·j·的计算如表9-11.ST=???xi?1j?1k?1rst2ijkT???2?,=178.44， rstT???21r2SA=?Ti???=15.44，sti?1rstT???21s2SB=?T?j??=30.11，rtj?1rstT???21rs2SA×B=??Tij???SA?SB =2.89，ti?1j?1rstSE=ST-SA-SB-SA×B=130，得方差分析表9-12.由于F0.10(2,9)=3.01>FA,F0.10(2,9)>FB,F0.10(4,9)=2.69>FA×B,因而接受假设H01,H02,H03,即硫化时间、加速剂以及它们的交互作用对硬橡胶的抗牵拉强度的影响不显著.2.双因素无重复试验的方差分析在双因素试验中，如果对每一对水平的组合（Ai,Bj）只做一次试验，即不重复试验，所得结果如表9-13.这时ij?=xijk,SE=0,SE的自由度为0，故不能利用双因素等重复试验中的公式进行方差分析.但是，如果我们认为A，B两因素无交互作用，或已知交互作用对试验指标影响很小，则可将SA×B取作SE，仍可利用等重复的双因素试验对因素A，B进行方差分析.对这种情况下的数学模型及统计分析表示如下：由（9.18）式,?xij????i??j??ij,?rs???i?0,??j?0,?(9.22) j?1?i?1??~N(0,?2),i?1,2,?,r;j?1,2,?,s,?ij??各?ijk相互独立.要检验的假设有以下两个：?H01:?1??2????r?0,?H:?,?,???不全为零.r?1112?H02:?1??2????s?0,??H12:?1,?2,???s不全为零.1rs1s1r记
???xij,i???xij,?j??xij,rsi?1j?1sj?1ri?1平方和分解公式为：ST=SA+SB+SE，
(9.23)其中
ST???(xi?1j?1srsij?),SA?s?(i??)2,2j?12rssSB?r?(?j?),SE???(xij?i???j?)2,j?1i?1j?1分别为总平方和、因素A，B的效应平方和和误差平方和.取显著性水平为α,当H01成立时，FA=H01拒绝域为FA≥Fα((r-1),(r-1)(s-1)).
(9.24)当H02成立时，FB=H02拒绝域为FB≥Fα((s-1),(r-1)(s-1)).
(9.25)得方差分析表9-14.(s?1)SA~F((r-1),(r-1)(s-1))， SE(r?1)SB~F((s-1),(r-1)(s-1))， SE例9.6
测试某种钢不同含铜量在各种温度下的冲击值（单位：kg·m·cm），表9-15列出了试验的数据（冲击值），问试验温度、含铜量对钢的冲击值的影响是否显著？（α=0.01）01020.01A01F0.01（2,6）=10.92检验结果表明，试验温度、含铜量对钢冲击值的影响是显著的.
范文十：方差分析的单因素及双因素结果的不一致谢友才(宁波大学商学院)
(xieyoucai@)方差分析时,单因素分析时可能显示,因素作用不显著,但实际上,这是很显然是显著的.如:因素 A B
方差分析：单因素方差分析
SUMMARY组 观测数 求和 A 11 11B 11 22C 11 33
差异源 SS df 组间 22 2组内 0 30
总计 22 32
此即因素是有显著作用的.C平均123MS方差000110F 65535P-value #NUM!F crit 3.31583因素A 1 1 1 1B 2222C33331 23
100 200300
方差分析：单因素方差分析
SUMMARY组 观测数 求和 平均 方差
差异源 SS df MS F P-value F crit 组间 .323 3.31583组内 158
显然,因素是没有显著作用的.
这是为什么呢?F=MSTR/MSE,MSTR MSE都是对SIGMA的估计.当F甚大时,就认为原假设不成本.MSTR对SIGMA的估计,受到原假设是否成立的影响,当不成立时,其值甚大;而MSE是组内方差,对SIGMA的估计,不受假设的影响.但是,可能由于其它因素影响到组内的方差,使之甚大,从而使得F值变小了.此题,显然由于最后一个CASE的值很大,即各组内方差都很大,即显然这个方差值受到其它因素的影响了.这又表明,真的设计单因素试验时,务必保证各样本的主体之间不宜有甚大区别.在此情况下,应当注意采用多因素分析,只有当多因素分析时某个因素或交互因素的作用不显著时,才可以将这些因素去掉,再做数目较少的因素分析. 在析因分析时也当如是.为了谨慎起见,在多因素分析时得到某因素的作用是显著的的结论时,不宜轻率也接受;应当将无显著影响的因素剔去,再行分析,如果得到的结果表果某个因素仍然是有显著作用的,此时,我们可以放心地接受这个结论.因此,一般地,应当先从因素分析开始进行分析.