史上最著名的“鸡兔同笼”问题，你被套路了吗？
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文 / 大陆博士
老生常谈“鸡兔同笼”问题
昨天收到一道题：“鸡兔同笼”，这个小学数学教育界老生常谈的话题，又被推到了我面前，起因是前两天一个著名公号发布的关于“鸡兔同笼”，潜心研究了美国某教育，得出的感悟，文章中详细描绘了（可能是模拟的）学生和老师的对话。
某个住在湖边的老人养有狗和鸭子，某天，老人看到5个头、14只脚。那么老人看到的是多少条狗？多少只鸭子？
学生B提出了公式：4x＋2y＝14（知道xy，要么小学高年级，要么初一吧）；
而后面老师问：“如果是3只鸭子，鸭脚应该是……”，学生齐声回答：6只鸭脚。（看起来这种封闭式问答，属于小学生，而且可能还是一二年级学生）
整篇对话各种“鸭子多少只，才能凑够多少个头，狗多少条，多少只脚，狗多了，不对脚多出来了”，来来回回折腾，最后就这么“凑”出答案了，我在想，幸亏头只有5个，要是29个，这要推到猴年马月去啊。文中描述，学生花了一节课的时间走完了整个推理过程，很有收获。可是我压根儿没有看出学生获取了什么数学思维。
我既不赞同超前，更不赞同浪费时间，拉低儿童思维水平。
逻辑是数学的基础，逻辑推理很重要，但是在数学学习领域，我们学习逻辑的目标正是为了让儿童掌握“数学思维”。
数学思维是什么？其精妙之处在于“简化”，要训练儿童数学思维，前提条件是“抽象”，能够归纳总结出其中的逻辑关系，总结则是必要的。
自由但是没有章法引导思路的对话，充其量只能培养学生“勇于发言”，而勇于发言，我们还可以用别的更高效可以结合数学学习的方式获得。
鸡兔同笼问题的数学本质：
替代表征！
回到鸡兔同笼问题，大家知道网上有著名的13种解法。可能还有更多成人在另辟蹊径，如何让解题思路更加巧妙，成人解题解得好开心，儿童很入境，也许学到了解题技巧，但是并不知道成人的思路源自于什么样的数学推理，为啥会想到“口哨法、砍脚法”这些成人的创造性思路，从没有人把本质（数学逻辑关系）告诉儿童，不知道为什么，孩子只会依葫芦画瓢，换了题，又不会做了。
现在我们来解析一下这个题目：
某个住在湖边的老人养有兔和鸡，某天，老人看到5个头、14只脚。那么老人看到的是多少只兔？多少只鸡？
已知条件：头5个，脚14个
隐藏已知条件：兔1个头4只脚，鸡1个头2只脚
未知数：兔？个，鸡？个
这里关键点，未知数有两个，儿童并不擅长处理两个未知数的题目，所以关键点不是一上来就讲方法，而是需要让儿童不要在两个未知数之间游移，那样只会迷惑。这里我必须要说，数学的第一思路是“简化问题”，找关系，找表征，找规律。（以后儿童学习方程时也会发现，化归思想的重要性）
兔和鸡之间的关系是什么？
如果我们从来就是引导孩子看题目，先找关系和规律，对于此题第一反应（第一思路）就是找鸡兔之间的关系。
从头来看，1只鸡＝1只兔；
从脚来看，2只鸡＝1只兔，或者兔子的脚比鸡多2；
问题在哪里？
头和脚的比例不同！这也是难点！
还记得我在“分苹果”题（戳这里?附加题有多难？会教才会赢！）里说过，解题解题，应试应试，首先找切入点，小学生啊，一二年级小学生啊，你搞什么方程呢，首先从一个点入手，找到一个点先入手再说，别同时思考两个条件，到底是鸡还是兔，就跟前面文章一样，一会儿鸡这样，兔子不行了，一会儿兔子那样，鸡又不对了，多纠结啊，这把孩子搞糊涂了，还没理出个头绪来。数字小的时候，或者说面对幼儿园大班小朋友哦，我们可以穷举，列表出来，一个个排除，但是对于小学生，你是需要建立并促进他们数学思维发展的，这么做就太无效了。
既然在不同层面上，鸡都可以表征兔（或兔都可以表征鸡），那么我们就替代咯～
就好比我们在积木课上教孩子，如果正方形不够的情况下，没有关系，用1块长方形替换出2块正方形，就有了嘛！
替换表征！立马动手！
同时让我们看看网络神奇方法背后都是什么原理支配！
鸡兔同笼问题的五花八门解法
最酷的方法“金鸡独立法”：
每只鸡都一只脚站立，每只兔子都2只脚站立。地上总脚数是原来的一半，即7只，鸡的头和脚数量相同，兔的脚是头的2倍，从7里面减去头数5，剩下就是兔子头数2，鸡则有3只。
最逗的方法“吹哨法”：
吹一下口哨，鸡和兔都抬起一只脚，这时14-5=9只脚站着，再吹一下，又抬起一只脚，鸡一屁股坐地上，兔子还有2只脚，9-5=4只脚，都是兔子的，所以4/2=2只兔子。
不管是金鸡法还是口哨法，原理都是将一只脚与一个头进行匹配，替换表征。
如果不解释原理，这样的情景成人能想到，孩子能想到吗？情景是很难复制的，孩子可以学会套路。但是设计情景背后的原理是什么？是找准了头和脚的关系。
最常用的方法“假设法”之一：
如果全部都是鸡，那么5个头，10只脚，多出了4只脚，谁的？自然是兔子的（那些假装成鸡的），每一只兔子，比鸡多2只脚，那么多了4只脚出来，就是对应2只兔子了。5只鸡里头，有两只其实是兔子，剩下3只鸡。
验证一下：3只鸡6只脚，2只兔子8只脚，一共5个头14只脚，OK啦～
5*2=10（只脚），14-10=4（只脚），4/2=2（只兔子），5-2=3（只鸡）
最常用的方法“假设法”之二：
如果全部都是兔子，那么5个头，应该20只脚，少了6只脚，谁的？自然是假装成兔子的鸡少掉的，每一只鸡，比兔子少2只脚，一共少了6只脚，就是对应3只鸡。5只兔子里面，有3只其实是鸡。
验证一下。。。。bingo！
5*4=20（只脚），20-14=6（只脚），6/2=3（只鸡），5-3=2（只兔）
这两种方法的原理，都是把问题先简化为一种动物，替换表征后，然后比较，倒推发现问题，是因为头脚的关系不同，从而还原。
什么是还原？就好比一个家长跟我举例的：
孩子计算97+97，思路是100+100-3-3，对呀！这就是还原，先算多，再把多算的减掉，这就是还原！
其余还有各种神奇解题方法，什么特异功能法、砍足法、耍兔法，不一一展开，但是其原理都是成人已经先分析出头脚比例不同，是设计方案的关键。
有的家长说，可以教孩子方程法呀，我不赞同在这个阶段教孩子方程，因为这会让儿童失去真正思考隐藏逻辑关系的机会，而这才是我们强调的“推理”！
学习鸡兔同笼，重点不在于儿童掌握了多少奇思妙想的方法，或者超前学习高级技能，而是掌握两把解题的关键钥匙：
逻辑关系：比例不同，有规律
简化题目：可替换，可还原
“三步走”思路
让孩子学会举一反三
不管你跟孩子讲解什么方法，我们需要在其中贯穿一条思路（这才是真正有用的东西）：
当未知数是两个的时候，我们不需要同时思考两个未知数，这看上去太复杂了，我们需要简化问题。怎么简化呢？找到其他的事物之间的关系，看看能不能转化，先变简单，再走下一步。
所以我们采取这样的“三步走”的思路：
第一步：全部表征为单一事物（简化）
第二步：对比实际情况，找出差异（对比）
第三步：根据规律，从差异倒推（还原）
几个例题的“三步走”应用
这个思路我们可以在许多题型中通用，先看看退阶的应用：
要参加春游，妈妈给了我20张人民币，告诉我一共是175元，其中只有5元和10元，我算了算，没有点，就知道了5元和10元各多少张，我是怎么算出来的呢？
当未知数有两个的时候，我们更需要简化--想象只有一样事物，如果全部都是5元，那么一共100元；
然后对比实际--差的75元；
根据规律还原事实--每多一张10元，就多5元，所以75/5=15张10元的，175-150=25，25/5=5张5元的。
学校有象棋、跳棋共26副，恰好供120个学生同时活动，象棋2人下一副，跳棋6人下一副，那么象棋跳棋各几副？
简化--想象只有象棋，只能供26*2=52人使用
对比--实际120，差120-52=68人
还原--在人数上，每一副跳棋比象棋多4人，68/4=17副跳棋，17*6=102，120-102=18，18/2=9副象棋
难一点进阶可以怎么应用呢？
做一件工程，甲完成需要12天，乙完成需要18天，现在甲和乙一起做，甲先做了一些天，乙接着做，两人一共花了16天完成，问甲开头做了几天？
这个题目，有解题思路在，先假设这件工程总共36份，所以甲每天做3份，乙则需要每天做2份，才能完成。然后转换成鸡兔同笼问题解答。
现在我们依然通过“三步走”的方式解答：
简化--想象16天全部甲完成
对比--原本甲只需要12天，现在做了16天，甲多做了4天，怎么回事？
还原--甲做2天的事，乙需要做3天（根据12和16推出来的），所以甲做4天，乙就需要做6天。所以当两人做这件工程时，乙每多做6天，就比甲单独做要多2天，乙做了12天，会比甲单独做要多4天。所以，16天里，乙做了12天，甲做了4天。
这是一道三阶段的题目，很明显，如果一二阶段基础不扎实，我们只能用“最笨”的办法去做了。
“三步走”看起来普通，实则精髓
我相信“三步走”的方法非常普通，家长会觉得没有什么亮点，但是回归目的，我们教孩子的目的是什么？是记住了几种奇特的方法解答一道题目，还是总结出了一套方法，可以解答同类型所有题目？
我们当然可以教孩子各种奇思妙想，但是如果不进行总结归纳，我们又怎样知道孩子真正吸收到的东西是表面文章，还是深层原理？又如何让他们可以举一反三呢？尤其我们这里说的是针对一般儿童普遍的教学方法（不考虑天赋异禀儿童），如果今天奥数不是那么红遍大江南北，这就不是一个问题，你成人爱怎么解题就怎么解题，有天赋者，自有收获。但是，在如火如荼的应试教育火把下，要孩子不刷题或者少刷题就能举一反三，不讲本质原理就难有突破了。
教孩子数学思维，重点是理解数学“简洁”的精髓，简洁体现在逻辑关系中，体现在精简的思路中。
你可以理解为这也是套路，但这是可以真正举一反三的套路。你愿意学只能解答一道题目的套路，还是愿意学可以解答一堆题目的套路呢？
想让孩子真正获益，在奇思妙想背后，花一点点时间来教教逻辑关系，教教思考路径，这样儿童不仅提升了逻辑思维能力，还能真正做到举一反三。
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( 鸡和兔的总数)
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因“鸡脚比兔脚多80只”先算出多的80只腿是多少只鸡的
80÷2 = 40（只）
又知两只鸡的腿数等于...
20只全是鸡,共有脚40只,现在多了4只,多出来的肯定兔子身上的,
所以兔子有2只,鸡有18只
设鸡为X 只，则兔为X-52,那么鸡足有2X，兔足为4（X-52）
2X+4（X-52）=248
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