查看: 19599|回复: 5
如何将一个曲面展开成平面
签到天数: 1 天连续签到: 1 天[LV.1]到此一游
如何将一个曲面展开成平面，这个曲面是挤出的，还有这个螺旋面和这个挤出的曲面的相交线怎么跟曲面一起展开成平面。要展开的是基础的曲面。
(69.03 KB, 下载次数: 188)
09:58 上传
如何将一个曲面展开成平面
Rhino 最新资讯
签到天数: 1758 天连续签到: 3 天[LV.Master]开坛元老
UnrollSrf 命令
签到天数: 20 天连续签到: 1 天[LV.4]三不五时
modern 发表于
UnrollSrf 命令
这个命令在哪里　是插件的命令么～～～
签到天数: 1758 天连续签到: 3 天[LV.Master]开坛元老
fy2650 发表于
这个命令在哪里　是插件的命令么～～～
曲面工具里面
签到天数: 2 天连续签到: 1 天[LV.1]到此一游
严格意义上是展不开的，只能展开一个近似的。就是一个橘子，你无论如何把它拍扁，都与原来的曲面面积不相等。就是有一个图标很像一个猫被压扁的那个命令。
签到天数: 63 天连续签到: 1 天[LV.6]常住会员
富裕用舌头还是个黑色人
联系我们了解更多吧！
邮箱：
modern@rhino3d.us
咨询时间 9:00 ~ 22:00
Powered by> 问题详情
谁说得对？高洋说：“有两个面是圆，一个面是曲面的图形是圆柱。”李红说：“圆柱有两个面是大小相同的圆，有一个面
悬赏：0&答案豆
提问人：匿名网友
发布时间：
谁说得对？高洋说：“有两个面是圆，一个面是曲面的图形是圆柱。”&李红说：“圆柱有两个面是大小相同的圆，有一个面是曲面。”&（&&&&）说得对。
我有更好的答案
请先输入下方的验证码查看最佳答案
图形验证：
验证码提交中……
享三项特权
享三项特权
享三项特权
选择支付方式：
支付宝付款
郑重提醒：支付后，系统自动为您完成注册
请使用微信扫码支付(元)
支付后，系统自动为您完成注册
遇到问题请联系在线客服QQ：
请您不要关闭此页面,支付完成后点击支付完成按钮
遇到问题请联系在线客服QQ：
恭喜您！升级VIP会员成功
常用邮箱：
用于找回密码
确认密码：圆柱还有一个曲面 【范文十篇】
圆柱还有一个曲面
范文一：数理 医药学杂志　 文章编号 ： １ ０ ０ ４ — ４ ３ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ １ ３ ３ — ０ ２ 　 中图分类号 ： ０１ ７ ２ ． ２ 　 文献标 识码 ： Ｃ 　
２ ０ １ ３年第 ２ ６卷 第 ２期　
方 法评 介 ? 　
积分 曲面为圆柱 面 的 曲面积分的计算　
贺　 勇 　
（ 武汉东湖学院基础课部
摘 要 ： 介绍积分 曲面为圆柱面的曲面积分的计算方法及其应用 。 　
武汉 ４ ３ ０ ２ １ ２ ） 　
关键词 ： 第一型 曲线积分 ； 柱面坐标 ； 　 曲面积分　
ｄ ０ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ．１ ０ ０ ４ － ４ ３ ３ ７ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ２ ． ０ ０ ３ 　
在一般 高等数 学教 材 中， 曲面积 分主要 转化 为二重 积分　
的计算 。这要求 积分 曲面在 坐标 面上 的投影 必须 是 区域 ， 但　
在解决与 曲面积 分有关 的问题 时会发 现 ， 对某些 曲面 比如柱　
２利 用 第 一 型 曲 线 积 分 计 算 第 一 型 曲 面 积 分 《 厂 （ ｚ ， 　 ， 　 ） 　 ， 　
见 文献 ［ １ ］ 　
设 Ｌ： ｛（ ｚ ， 　） ｌ Ｘ 　 ＋　 一Ｒ 　 ）为 ｘ ｏ ｙ面上 的光滑 曲线 ， ∑　 为 圆柱 面， 　 ∑：｛ （ 　， Ｙ， 　 ） ｌ （ 　， 　） ∈Ｌ， ２ １ （ ｚ， 　） ≤　 ≤　 ２ （ ｚ， 　） ｝ 　 其 中　 （ ｚ ， 　） ， 　 ｚ （ ｚ， 　）在 Ｌ上连续 ， Ｓ （ ｘ ， Ｙ ， 　） 在 ∑上连　 续， 则　
面， 很容 易求出它在坐标面上 的投影 ， 但 投影为 曲线 。本 文针　 对 这种情况 ， 给出被积函数满足一定 条件时 ， 曲 面积 分 的不 同　
计算 方法 ， 极 大地 简化 曲面积分的计算 。 　
对第一型 曲面积分介绍 了 ３ 种方法 如下 ： 　
１ 利用同济 ６ 版高等数学教材中第一型曲面积分Ⅱ ， （ ｚ ， Ｙ 。 　 ） 　
ｓ 的计算公式计算　
设 Ｌ： ｛（ 　， 　） １ ． ｚ 。 ＋　 一Ｒ　 ）为 ｘ ｏ ｙ面上 的光 滑 曲线 ， ∑　 为 圆柱 面 ， 　 ∑ ：｛ （ 　， ｙ， 　 ） ｌ （ ｚ， 　） ＥＬ，ｚ １ （ ｚ， 　） ≤　 ≤２ ２ （ ｚ， 　） ｝ 　
８ ｆ （ ｘ ， Ｙ ， ２ ） 　 ｓ — 　 （ 　矧 ｆ （ ｘ ， 　 ， ｚ ） ｄ ｚ ） ｄ ｓ 　
（ ２ ） 　
例２ 计 ￣异　 干　 ｄ ｓ 干　 其 中∑ 是介 于平 面　—ｏ与　—　
Ｈ 之 间 的 圆柱 面 Ｘ 　 ＋　 一Ｒ２ 　
利用公式 （ ２ ） 得　
∑被ｙ ｏ ｚ面分成前后两 部分 ： ∑前， ∑　， 且　
∑前： ｚ 一　 ＝ 　 ，（ 　， ｚ ） ∈Ｄ　一 ｛ （ 　， ｚ ） ｌ —Ｒ ≤　 ≤Ｒ， 　
Ｈ　 ， 　
１ 　 ｑ ＿ ｚ ￣ ｄ ｚ 　一 』 丽１ 　ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ 　
Ｚ ｌ （ ｚ， 　） ≤２ ≤　 ２ （ 　， 　） ｝ 　
— √ｚ ■ ＝ ２ ＝ ＝ ＋　 ＝ ＝ ＝ 　
令 ． ｚ— Ｒｃ ｏ ｓ Ｏ ， 　 — Ｒｓ ｉ ｎ ￣ ， ０≤ ０≤ ２ ， ｒ ，则 ｄ ｓ一　
∑前： ｚ 一一　
一　 ，（ 　， 　） ∈Ｄ　一｛ （ 　， 　） ｌ —Ｒ≤　 ≤　
Ｒ，Ｚ １ （ ｚ， 　 ） ≤　 ≤　 ２ （ ｚ ， 　） ） 　
＝Ｒ ｄ Ｏ ， 故　
其中 ｚ １ （ ｚ， 　） ， 　（ ｚ， 　） 在 Ｌ上 连续 ， ｆ （ ｘ ， Ｙ ， ２ ）在 ∑上连　 续， 则　
＿ 厂 （ 　， Ｙ ， ｚ ） ｄ ｓ 一 　 ｆ （ ｘ， ｙ， ｚ ） ｄ ｓ ＋　 ｆ （ ｘ ， 　， ｚ ） ｄ ｓ 　
』 垫 　＋ 再　 ＋ 　一 』 　 耳　ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ 　 耳　 Ｈ 　
ａｒｃｔ ａｎ　
Ｒｄ Ｏ－２ ￣ ａ ｒ ｅ ｔ ａ ｎ 　
， ｙ ， 　） 　 研
ｄ ｙ ｄ ｚ ＋ 　 ｆ（ 一 　
（ １ ） 　
３ 利用柱面坐标计算第一型曲面积分Ⅱ 厂 （ 　， Ｙ ， ｚ ） ｄ ｓ 　
设 Ｌ： ｛（ ｚ ， 　） ｌ ｚ 。 ＋　。 一Ｒ 。 ｝为 ｘ ｏ ｙ面 上 的 光 滑 曲 线 ， ∑　 为 圆柱 面 ， 　 ∑ ：｛ （ 　， Ｙ， 　） ｌ （ ｚ， 　） ∈Ｌ， 　１ （ ｚ， 　） ≤ 　≤ 　 ２ （ ｚ ， 　） ｝， 　
Ｒ 　 一　 。 ， ｙ ， 　 ） ４１ ＋（ ｚ 　） 　 ｄ ｙ ｄ 　
例１ 丌 ￣异　 干— ｃ ｌ 　 ｓ 干　 ， 其中∑是介 于平面　—ｏ 与　— 　
Ｈ 之 间 的 圆柱 面　。 ＋　 一Ｒ 　 解　 利 用 公 式 （ １ ） 得　
利用柱 面坐标 （ Ｊ Ｄ ， ０ ， ｚ ） ， 则 ∑ ：｛ （ １ ０ ， ０ ， ｚ ） ｌ ｐ ＝Ｒ， 口 ≤　 ≤卢 ， 　 （ 　 ） 　 ≤ ｚ≤卿（ 　 ） ｝ ， 以　一常数 ， 　一常数 ， 分 割 曲面∑ ， 设　ｓ为 任　
』 研ｄ ｓ－ ２ 　 南 ‘ √ 　 ＋ （ 　
４ ， 块 曲面 ， 则 面 积元素为 ｄ ｓ ＝Ｒ ｄ Ｏ ｄ ｚ， 且柱 面坐标 （ ｐ ， ０ ， 　） 　
。 丽 Ｒ 　ｄ ｙ 出 一 ｚ 　 Ｊ 　 — Ｒ Ｒ 丽 Ｒ 　ｄ ｙ 　
与空 间直 角 坐 标 （ ｚ， ｙ ， ｚ ）之 间 变换 关 系 为 ｚ—Ｒｃ ｏ 　， Ｙ—　
Ｒ ｓ ｉ ｎ ０ ， ２ —２ ， 则　
』 Ｒ 。 、 丽 ｄ ｙ』 　
２ ￣ ｒ ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ 　
ｓ ｉ 　 一　
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３ 一 Ｏ １ — ２ ２ 　
１ ３３ 　? 　
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ 　 ｏ ｆ 　 Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ 　 Ｍｅ ｄ ｉ ｃ ｉ ｎ ｅ 　
Ｖｏ Ｌ 　 ２ ６ 　
Ｎｏ ．２ 　
２ ０ １ ３ 　
例３ 丌 ￣异　 干　 ｄ ｓ 干　 其 中∑ 是介 于平 面　—ｏ与 ｚ —　
Ｈ 之 间的圆柱面 － ｚ 　 ＋　 。 一Ｒ 　
解 令 ｘ＝Ｒ ｃ ｏ ｓ Ｏ ， ｙ ＝Ｒｓ ｉ ｎ ０ ，ｚ —ｚ ，且 Ｏ ≤　 ≤２ 　， ０ ≤ｚ ≤　
志 　＋ 　
Ｈ， 利用公式 （ ３ ） 得　
４ 　睾　一 　 』 　
? Ｒ ｄ 　 一 ２ ７ ｒ ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ 　 Ｈ 　
志 　 』 　 。 丽 ２ ｙ ２ 　 ８ 　— 南 　ｓ 　
对于第二型曲 面积分Ⅱ Ｐ 　 ｚ ＋Ｑ 　ｄ ｘ ４ － Ｒ ｄ ｘ ｄ ｙ ， 当积分　
曲面为圆柱面时 ， 一般有 ３种方法 ： １ 、 利用第 二型 曲面积 分计　 算公 式计 算 ； ２ 、 利用 两类 曲面积分之间 的关 系　
Ⅱ 一ｙ ｄ 　 出＋（ 　 －１ ４ ） ｄ ｘ ｄ ｙ 一 一８ ７ ｒ 　
方法二 ： 利用公式 （ ２ ） 得　
４ Ｐ ｄ ｙ ｄ 　 ＋ Ｑ ｄ ｚ ｄ ｘ ＋ Ｒ ｄ ｘ ｄ ｙ 一 ￣ （ Ｐ ｃ ｏ ｓ ａ － ４ Ｑ ｃ 。 ｓ ｐ ＋ Ｒ ｃ Ｏ ｓ Ｙ ） ｄ ｓ 　
先将 第二型 曲面 积分转 化 为第一 型 曲面积 分 ， 然后按 照 积分　 曲面为圆柱面 的第 一 型 曲线 积分 的 ３种方 法计 算 ； ３ 、 增 加 曲　
』 　 南 　 一 ２ （ 』 ５ 一 　 丽 ｙ ２ 　） 　 ｚ 　
ｆ ￡ 　弭 南 　… （ ２ 一　 ～ 　
一 ２ ｓ ｉ ｎ ０ ，０≤ ０≤ ２ ｎ ，则 ｄ ｓ一 　
面使 之成为封 闭曲面， 利用高斯公式计算 。 　
令 ｚ一 ２ ｃ ｏ ｓ Ｏ ， 　
下 面 对 积 分 曲 面 为 圆 柱 面 的 第 二 型 曲 面 积 分 《 Ｐ ｄ 　 ｚ ＋ 　
Ｑ ｄ ｚ ｄ ｘ ＋Ｒ ｄ ｘ ｄ ｙ利用第 ２种方 法计算 。 　
７　 干 　
Ｏ ＝２ ｄ Ｏ ， 故　
例 ４ 求Ⅱ 一ｙ ｄ ｚ ｄ ｘ －（ ４ 　 －１ ４ ） ｄ ｘ ｄ ｙ ， 其中∑是圆柱面　 ＋ 　
ｙ 　 一４ 被平 面 ｘ －ｚ ４ ＝２和 ｚ ＝０所截部分 的外 侧 。 　 解　 圆柱 面为 ｚ 　 ＋　 一４ ， 令 Ｆ（ ｘ， Ｙ ， 　） 一ｚ 。 ＋　 一４ ， 则　
柱 面 外 侧 法 向量 为 ： 　
（ Ｆ　 ，Ｆ　 ，Ｆ　） 一（ ２ ｘ， ２ ｙ， ｏ ） 　
一ｃ ｏ ｓ ０ ） ｄ Ｏ ＝８ 　
ｃ ｚ ． ｚ ｃ 。 　 ｚ 　 ｓ 　ｓ ｉ 　
Ⅱ 一ｙ ｄ ｚ ｄ ｘ －（ ４ ２ ＋１ ） ｄ ｘ ｄ ｙ 一一８ 　
方法 三 ： 作柱面坐标变换 ： 　
３ ２ ＝２ ｃ ｏ ｓ ０ ， 　 一２ ｓ ｉ ｎ ０ ， 　—ｚ ， 且 Ｏ ≤　 ≤２ 　 ， Ｏ ≤　 ≤２ －２ ｃ ｏ ｓ Ｏ ， 　
故柱面外侧法 向量的方 向余弦为 ： 　
∞ 　 一 　≠ 毒 　。 　 一 　ｙ 　
由两类 曲面积分之间的关系有 ： 　
∞ ｙ 。 。 　
利用公式 （ ３ ） 得　
。 删 丁 ４ ｓ ｉ ｎ ２ ０ 　 ｚ 一 ８ 　ｓ ｉ 　１ 一 　
ｄ 　 ｚ － ＋ 　＋ １ ） 出 ｄ 　 一 ４ （ ０ ’ 高
＋ 　 一 　? 　
ｃ ｏ ｓ ０ ） ｄ Ｏ ＝８ 　
＋ 　 ＋ １ ） ? ） 　 一 ～ 』 南
方法 一 ： 利用公式 （ １ ） 得　
Ⅱ 一ｙ ｄ 　 出 ＋（ 　 －１ ４ ） ｄ ｘ ｄ ｙ 一 一８ 　
对于Ｊ 厶 ｆ 　 √ ＿ ｌ 　 ． ｚ　— ｒ Ｖ　
， 下面 用三种方法计算： 　
参 考 文 献　
。　 — 　
＋ 　丽 ｙ ２ 　 一 　 专 　 １ 彭一鸣．第一型 曲面积分转化为第一 型曲线积分 的算法．高等 数学　
研究 ， ２ ０ １ ０ ， １ ３ （ ２ ） ： ６ １ ￣６ ３ ． 　
２ 同济大学应用数学 系． 高等数学 （ 下册 ） ．第 ６版． 北京 ： 高等教 育出　
ｒ — 志 料 　 厂 寿 　
Ｉ ｎｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ 　 Ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ 　 ｆ ｏ ｒ 　 ｔ ｈ ｅ 　 Ｃａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ 　 ｏ ｆ 　 Ｃｙ ｌ ｉ ｎｄ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ 　 Ｓｕ ｒｆ ａ ｃ ｅ 　 ｏ ｆ 　 ｔ ｈ ｅ 　 Ｓｕ ｒｆ ａ ｃ ｅ 　 Ｉ ｎｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ 　
Ｈｅ 　 Ｙｏ ｎ ｇ 　
（ Ｂ ａ ｓ ｉ ｃ 　 Ｃ ｏ ｕ ｒ ｓ ｅ ｓ 　 Ｄｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ 　 ｏ ｆ 　 Ｗｕ ｈ ａ ｎ 　 Ｄｏ ｎ ｇ ｈ ｕ 　 Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ， Ｗｕ ｈ ａ ｎ 　 ４ ３ ０ ２ １ ２） 　
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ 　 Ｔｈ ｉ ｓ 　 ｐ ａ ｐ ｅ ｒ 　 ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｓ 　 ｔ ｈ ｅ 　 ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ 　 ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ 　 ｆ ｏ ｒ 　 ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ 　 ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ 　 ｏ ｆ 　 ｃ ｙ ｌ ｉ ｎ ｄ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ 　 ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ 　 ｏ ｆ 　 ｔ ｈ ｅ 　
ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ 　 ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ 　 ａ ｎ ｄ 　 ｉ ｔ ｓ 　 ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ． 　 Ｋｅ ｙ 　 ｗｏ ｒ ｄ ｓ 　 ｔ ｈ ｅ 　 ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ 　 ｔ ｙ ｐ ｅ 　 ｃ ｕ ｒ ｖ ｉ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ 　 ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ；ｃ ｙ ｌ ｉ ｎ ｄ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ 　 ｃ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ；ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ 　 ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ 　
１ ３ ４ 　? 　
范文二：圆柱和圆柱的侧面积
在观察、交流、操作等活动中，经历认识圆柱和圆柱侧面展开图的过程。
2. 认识圆柱和圆柱侧面展开图，会计算圆柱的侧面积。
3. 积极参与学习活动，愿意与他人交流自己的想法，获得学习的愉快体验。
认识圆柱，理解圆柱侧面积的含义，探究并掌握圆柱侧面积的计算方法，培养学生观察、操作、概括的能力，利用所学知识解决实际问题的能力。
能灵活利用圆柱侧面积的有关知识解决实际问题。 教学准备
教师准备：课件，剪刀，贴有标签的罐头盒，圆柱模型。 学生准备：贴有标签的罐头盒，剪刀等。
一、 回顾旧知
1. 圆的周长、长方形的面积计算公式分别是怎样的？
2. 回答下列各题（只列式不计算）。
（1） 圆的半径是5厘米，周长是多少？
（2） 圆的直径是3分米，周长是多少？
（3） 一个长为3米，宽为2米的长方形，它的面积是多少？
（4） 一个边长为4厘米的正方形，它的面积是多少？
二、 动手操作，探究新知。
（一） 认识圆柱。
1. 找一找：哪些物体的形状是圆柱？（出示课件）
在生活中，你还见过哪些形状是圆柱的物体?
2. 拿一个圆柱形状的物体进行观察，摸一摸它的表面。
3. 说一说：圆柱有几个面？各有什么特点？
明确：圆柱的上下两个面叫做底面。它们是完全相同的两个圆。 圆柱有一个曲面，叫做侧面。圆柱两底之间的距离叫做高。（结合实物，出示课件）
4. 学生拿一个圆柱形实物，指出它的底面、侧面和高。
（二） 圆柱的侧面积
1. 观察一个罐头盒，指出它的底面、侧面和高。
2. 想一想：罐头的商标纸是什么形状的?
鼓励学生大胆猜想。
3. 做一做：学生小组合作剪开罐头盒的商标纸，看看商标纸是什么形状。
（1） 长方形纸的长和宽分别与罐头盒的什么有关系？
（2） 长方形的面积和罐头盒的侧面积有什么关系？
5. 议一议：怎样计算罐头盒的侧面积?
长方形的面积=长
圆柱的侧面积=底面周长×高
三、自主练习，巩固提高。（课本习题）
（一）、试一试
测量罐头盒底面的周长和高，并计算出它的侧面积。
（二）练一练
1、某工厂生产了一种饮料筒，尺寸如下图。（单位：厘米） 下面三种饮料筒侧面的商标纸，你认为那张纸比较合适？
2、求右面罐头盒商标纸的面积。（接缝处忽略不计）（单位：厘米）
3、求下面各圆柱的侧面积。
（1） ｄ=8㎝
（2）ｒ=3ｍ
四、课堂小结。
通过今天的学习，你有什么收获？
圆柱和圆柱的侧面积
圆柱的上下两个面叫做底面。它们是完全相同的两个圆。
圆柱有一个曲面，叫做侧面。圆柱两底之间的距离叫做高。 长方形的面积=
圆柱的侧面积=底面周长×高
圆柱和圆柱的侧面积
承安铺明德小学
范文三：圆柱的面积
教学内容：青岛版小学六年级数学第19-20页自主练习上面的内容。 教学目标：1.理解圆柱侧面积和表面积的意义。
2. 理解和掌握圆柱体侧面积和表面积的计算方法，能正确运用公式
计算圆柱的侧面积和表面积。
3．能运用圆柱的表面积计算公式解决简单的实际问题。
4.经历探索圆柱表面积计算公式的过程，培养学生观察、操作、概括
的能力，发展学生的空间观念。
教学重点： 理解圆柱侧面积和表面积计算公式，并能运用圆柱表面积计算公式
解决简单的实际问题。
教学难点：圆柱体侧面积计算方法的推导。 教学具准备：圆柱体教具、多媒体课件。 教学过程： 一、定向示标 1. 创情板题
上节课我们认识了立体图形中的圆柱，它有什么特征？ 看下图工厂生产的圆柱型纸筒
板书课题—圆柱的侧面积和表面积
2. 出示学习目标：1.理解圆柱的侧面积和表面积的意义。
2.掌握圆柱侧面积和表面积的公式，并且正确求圆柱的侧面积和表面积。解决生活中的实际问题。
3. 出示自学指导：认真看教材第19-20自主练习以上的内容。
思考：1.圆柱的表面积包含哪些部分？2.圆柱的侧面沿高展开得到什么图形？ 长方形的长是圆柱的什么？宽是圆柱的什么？圆柱的侧面积怎样计算？3.圆柱的表面积怎样计算？（5分钟后汇报交流，比一比看谁看的认真） 二．自主学习（看一看）
学生认真看书思考，老师巡视，注意后进生。 三．汇报交流（说一说） 1.全班汇报 圆柱的侧面积
下面我们把这个圆柱展开，圆柱的表面积有几部分组成？生：三部分，两个圆面积和一个侧面积；
圆柱的侧面展开后是什么形状？生：长方形； 它的长是圆柱的什么？生：圆柱的底圆周长
高和圆柱又有什么关系？生：高就是圆柱的高
圆柱侧面图是一个长方形。下面同学们四人一组对课件中的圆柱体进行讨论。 讨论题目是：
a：这个长方形与圆柱体有哪些关系？b：你能推导出圆柱体侧面积计算方法吗？
然后学生汇报讨论结果。
这个长方形的长等于圆柱体的底面周长，宽等于圆柱的高，长方形面积等于圆柱的侧面积。从而得出；圆柱体侧面积=底面周长×高。用字母公式表示为：S侧=Ch。
2.概括提升
长方形的面积
圆柱的侧面积＝底面周长 × 高 圆柱的侧面积=底面周长×高
=C×h=πdh=2πrh
圆柱表面积=侧面积+2底面积
S表= S测+2πr2 四．学情诊断（做一做）
1.计算下面圆柱的侧面积和表面积。（单位：dm）
2. 说一说：下面是求圆柱哪些面的面积。
①求圆柱形烟囱需要多少铁皮，即求烟囱
的面积。 ②求圆柱形笔筒需要多少塑料，即求笔筒
的面积。 ③求一个有盖油桶需要多少铁皮，即求油桶
的面积。 3.一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽1.5米，直径1.2米。
（1）前轮转动一周，压过的路面是多少平方米？
（2）如果每分钟滚动15周，压过的路面是多少平方米？
4.一个无盖的铁皮水桶，地面周长是56.52厘米，高40厘米，做这个水桶需要多少平方厘米的铁皮？
5.一根圆柱形木料，底面积是6平方米，把他截成4段，表面积增加多少平方分米？
【温馨提示】这几个题目求圆柱的侧面积和表面积都要知道底面半径和高，求表面积时要灵活，有时底面积是一个。有时表面积和侧面积相等。
五．以学定教（议一议） 1.学生更正
发现错误的举手，上台更正，说明错误的原因。 2.讨论
讨论每到题求的什么？用什么公式？如何列式？计算出现错误了吗？ 3．评价
对学生的板演从对错书写两个方面评价，激励学生养成良好的学习习惯。 4.互改
同桌互换互改，找出对错。 六．当堂训练（练一练） 1.填表
2.兰城小学买了8节同样大小的圆柱形通风管，底面直径20厘米，每节长80厘米，一共用铁皮多少平方厘米？
3.一个没有盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径是30厘米，高60厘米，要在水桶的内外涂上防锈漆，涂防锈漆的面积是多少平方米？ 【温馨提示】注意单位的统一。
圆柱的面积
圆柱的侧面积=底面周长×高
=C×h=πdh=2πrh
圆柱表面积=侧面积+2底面积
S表= S测+2πr2
范文四：圆柱和圆锥 圆柱的表面积 2
1．经历认识圆柱展开图和探索表面积计算方法的过程。
2．认识圆柱展开图，掌握圆柱表面积的计算方法，会计算圆柱的表面积。
3．积极参加数学活动，建立展开图与圆柱侧面、底面的联系，发展初步的空间观念。
圆柱体表面积公式的推导。
运用表面积公式计算实际图形的表面积。
圆柱表面展开示意图。
一、读题导入
1．齐读课题。
师：看到这个课题，你们想到了哪些与之相关的知识。
生：长方体和正方体的表面积；圆柱的底面和侧面。
2．复习相关知识
（1）什么是长方体、正方体的表面积？它们是怎么计算的？
二、探索新知
1．课件出示圆柱，揭示圆柱的表面积公式
师：根据刚才的讨论，你能说说应该要求出圆住的表面积，必须哪些条件吗？并说说理由。
生：因为圆柱的表面有一个侧面和两个底面。所以用一个侧面积加上两个底面积。
2．教学圆柱的表面积
（1）师：（课件出示上堂课中圆柱的侧面展开图），上堂课，我们研究了圆柱的侧面展开图，以及圆柱侧面积的计算方法，今天我们来进一步讨论圆柱表面积的计算方法。
（2）谁还记得圆柱侧面积的计算公式。
学生：圆柱的侧面积＝底面周长×高
（3）拿一个圆柱形的纸盒，指出它的侧面和两个底面。然后展开，使学生直观看到圆柱展开图是两个同样大的圆和一个长方形。
（4）议一议：怎样求圆柱的表面积？学生讨论。
学生：圆柱的表面积就是用圆柱的侧面积加上两个底面积。
（4）教学例题：
出示教材中圆柱示意图，让学生了解圆柱的高和半径，鼓励学生自己尝试计算。
（5）交流学生计算的方法和结果。如果出现列综合算式的，要给予表扬。如果没有。提出兔博士的话，鼓励学生尝试，老师可进行必要的指导。
（1）提出“试一试”的问题，让学生尝试计算。
（2）交流计算的过程和结果。重点说说计算的过程和方法，注意本题中给出已知条件是圆柱的底直径。
练一练1：则由学生独立完成。
练一练2：此题是一个半圆柱体，应该怎样理解它的表面积，学生充分发表意见后再让学生自己来完成。
练一练3：先指导学生明确解决问题的思路，再自主解答。
五、家庭作业
自己找一个圆柱体的物体，来测量它的数据并计算出它的表面积。
范文五：摘 要：圆柱表面积再教学“三步曲”，即再次认识圆柱，细读侧面展开图；打破教材设计思路，重组知识结构；得出字母公式，灵活运用。通过这“三步曲”的实施，提高学生的解题正确率，增强学生学习的积极性和学好数学的信心。 　　关键词：找原因；交流；解决方法；“三步曲”；推广 　　中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：（-01 　　教学圆柱表面积这一内容时，我真是感慨万千，内容上完后，我发现同学们的作业出错非常多。这一内容的学习，我和孩子们都感觉非常累。学生作业费时太多，而且经常出错，并且是大面积出错。不管是优秀学生，还是学困生，都是大错不犯、小错不断，有的公式用错了，有的单位不对，有的计算不准确，更有几个学生根本不会用公式。看着孩子们做作业时愁眉苦脸的样子，我也暗暗着急，联想到上一届学生也出现过同样的现象：为什么在立体图形学习中总是出现同样的情况？为什么不同的学生都会出现重复的类似的学习困难？ 　　[找原因] 　　既然出现了这样的情况，那就要分析原因，我打开学生的作业，边看边想：立体图形知识丰富，概念多、公式多、题型多、计算复杂，学习难度大，对孩子们来说确实是巨大的挑战，这一部分内容对学生空间观念的培养、观察、操作、归纳等能力的锻炼都很重要。正因为内容的丰富，所以题型多、变化较大、思考性强，学生作业频繁出错也就不足为奇了。 　　[和学生交流] 　　我拿着学生错误的作业，和学生进行了一次交流，有的学生把原因归结为“粗心大意，”他们都说：“我其实都会，就是一到练习时不是忘了这、就是忘了那，有时想不起来这里少一个底面，那里少两个底面，总是粗心。”看来，学生马虎、粗心大意只是表面现象，像圆柱表面积这类的题目，学生年龄小，注意力分配不够，题中条件太多，信息过于丰富，学生就会顾此失彼，很难关注到所以细节，难免会产生错误。 　　[解决方法] 　　怎么办？重上！这是我的第一反应，这一内容学不好，后面会有大麻烦，“磨刀不误砍柴工，”重上一遍是必须的！经过精心的准备， 我开始了圆柱表面积再教学“三步曲。” 　　第一步：再次认识圆柱，细读侧面展开图 　　让学生通过实际操作，将自己制作的圆柱侧面沿高展开，观察它的形状，并完成探究报告单： 　　1、把圆柱的侧面展开，得到一个（ ）形。 　　2、长方形的长等于圆柱的（ ），宽等于圆柱的（ ）。 　　3、圆柱的侧面积等于（ ）乘（ ）。 　　这样学生通过在亲历立体图形与其展开图之间的转化，逐步建立了立体图形的联系，进一步发展了空间观念。 　　第二步：打破教材设计思路，重组知识结构 　　人教版教材六年级下册第13页，教学圆柱表面积的思路是：让学生将课前做好的圆柱模型展开，观察展开后的形状，并在展开后的图形中标明圆柱的底面和侧面，以便于把展开后的每个面与展开前的位置对应起来，得出：圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积。接着引导学生再借助表面展开图，推出：圆柱的侧面积=底面周长×高。我第一次的教学思路也是这样的。 　　通过学生上次的学习情况来看，我感觉学生在这个学习中的难点，是圆柱的侧面积部分。因此，我借助第一步中的探究报告单，紧紧抓住：计算圆柱的侧面积实际上就是计算什么？长方形的长与宽分别相当于圆柱的什么？得出结论：只要能求出底面周长和高，就可以计算出圆柱的侧面积，即：圆柱的侧面积=底面周长×高。探究完侧面积公式后，结合学生自制圆柱展开图，追问学生：圆柱的表面积由哪些部分组成的？进一步得出：圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积。 　　第三步：得出字母公式，灵活运用 　　在前面学习的基础上，第三步我重点落实以下方面：1、认识圆柱表面积的几种情况2、知道每种情况下，用什么公式。 　　在教学中，我结合例题和课后习题，让学生知道了： 　　1、一个完整的圆柱，它的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积，用字母表示为：S=2πrh+2πr2 　　2、诸如圆柱厨师帽、无盖圆柱形水桶，这样的情况下表面积=圆柱的侧面积+1个底面的面积，用字母表示为：S=2πrh+πr2 　　3、诸如通风管、大厅柱子这一类型的圆柱，表面积=圆柱的侧面积，用字母表示为S=2πrh 　　然后让学生观察、比较这三个公式，学生发现每个公式中都有“半径和高”这两个条件，于是得出：不论告诉我们半径、直径或周长，我们都应该先找出半径，再去找高，知道了半径和高，再根据具体的情况灵活运用上面的公式就行了。 　　这样的“三步曲”教下来，学生的解题正确率大大提高，很多同学表示通过再次学习，感觉圆柱表面积知识变得简单了。 　　[推广] 　　针对学生的后续表现，我及时地对学生的进步加以总结、表扬。学有小成后，我又再次点拨学生：不要只顾埋头苦干，也要回头望一望――在解答这些问题时你有什么妙招吗？学生反思自己的学习，也总结了自己的“解题三步曲”：一想求什么；二想怎样求；三想注意什么。得出了“审题二必要”：一要圈圈点点；二要画画涂涂。学生俨然成了一个个小老师，从经验交流上升为理论总结。建立了学习的模式，拥有了学习的方法，学习情况明显好转。学生感受到数学知识就来源于我们的身边，要活学活用，也增强了孩子们学习的积极性和学好数学的信心。 　　在这次重复教学中，我深刻地体会到教学不仅仅是告诉，更需要经历。教师要真正关注学生学习的过程，有效利用教学资源，充分地让学生放手做，勇于、乐于为学生创造时机，帮助数学活动经验。这样，我们的课堂才是学生成长和成功的乐园！
范文六：圆柱曲面螺旋槽数控加工技术
NC machining technique about screw grooves on cylinder
蔺小军，单晨伟，史耀耀
LIN Xiao-jun, SHAN Chen-wei, SHI Yao-yao
（西北工业大学 现代设计与集成制造技术教育部重点实验室，西安 710072）
要：本文针对圆柱曲面螺旋槽的加工从数控机床和加工刀具的选择、走刀方式、加工方法等方面进
行研究，进而根据螺旋槽的形状以及加工刀具的不同提出了相应的数控加工编程方法。
关键词：螺旋槽
数控加工编程
中图分类号：TP391.7 　
文献标识码：A 　
文章编号：10)08-0010-03Doi: 10.3969/j.issn.10.08.04
圆柱曲面螺旋槽有多种功能，在包装装置、纺织装置或摩托车等的部件上，以满足某种特定的传动轨迹要求；在橡胶产品的模具上，满足橡胶产品表面特殊花纹的需要；在航天部件上起散热作用。螺旋槽按导程是否相等分为等导程螺旋槽和变导程螺旋槽。按槽宽在槽深方向是否相等分为普通螺旋槽如图1所示和楔型螺旋槽如图2所示。
等导程螺旋槽可以采用普通机床进行加工，但精度很难保证，而变导程螺旋槽只能采用专用设备进行加工，但生产周期长，严重影响产品的制造进度。随着数控加工技术的发展，采用数控
旋运动形成的轨迹。当圆柱轴线为X轴时，如果其半径线相对于坐标平面XOY的偏转角为，如
图3所示，则螺旋线方程为：
圆柱曲面螺旋线
普通螺旋槽
机床加工，可满足各种不同种类螺旋槽的加工要
求，但是这类零件数控加工编程和一般的曲面加工编程是不一样的。本文针对圆柱曲面螺旋槽对其数控加工进行研究。
圆柱曲面螺旋线
圆柱螺旋槽的中心线和轮廓线是螺旋线，可
以看成动点Q如图3所示，在柱面上绕其轴线做螺
为螺旋线导程，当为等导程时，
收稿日期：
作者简介：蔺小军（1968 -），男，陕西宝鸡人，高级工程师，工学博士，研究方向为精密几何测量、逆向制造、CAD/
CAM。【10】 第32卷 第8期
(3)当为变导程时，为随x变化的变量；
k决定螺纹旋向，当k=+1时为右旋，当k=-1时为左旋；
β为螺旋角；为圆柱的直径。
螺旋槽数控加工
数控机床的选择及加工方法
由于圆柱螺旋槽有回转中心，所以螺旋槽的数控加工所选用的机床一定要有一个回转轴，本文选用四坐标（X、Y、Z、A）数控加工中心，回转轴为X轴，刀轴方向为Z轴,在加工时必须至少两轴（X轴和A轴联动、Y轴和Z轴联动）联动。
螺旋槽通常由导程和头数、深度和宽度以及
螺旋槽形状和旋向确定。
平底立铣刀去余量粗加工
成形铣刀精加工
加工普通螺旋槽时，如果槽宽较小，可以选用与槽宽相等直径的平底铣刀，如图4所示铣刀直径D1与槽宽W相等，加工时根据螺旋槽的深度进行分层切削就可以了。如果螺旋槽槽宽太大，如图4所示，铣刀直径D2小于槽宽W，就要分几次走刀来实现。最优的刀位轨迹是先从槽中间走刀，然后向螺旋槽轮廓线靠近，最后的刀位轨迹是螺旋槽轮廓曲线偏置一个刀具半径后的螺旋线，如图4所示。加工时也要根据螺旋槽深度进行适当的分层。
加工楔型螺旋槽有两钟方法。
第一种是采用成型铣刀保证楔型面形状。加工时可先用普通平底立铣刀粗加工，如图5所示，最后采用专用成型铣刀精加工，楔形槽形状由成型刀具保证，如图6所示。这种方法加工时刀轴方
向始终过圆柱的中心线。
第二种方法是采用普通平底立铣刀，粗加工和楔型面精加工均采用普通立铣刀，楔型面角度通过改变刀具与零件之间的相对角度来实现，使零件回转一个角度，且沿径向移动一定距离，如图7所示的θ角和距离Δy。
楔型螺旋槽加工
第32卷 第8期 2010-8
1)等导程普通螺旋槽
加工刀位轨迹是螺旋线，编程指令就是使加工刀具单纯地走一条螺旋线，比较简单，一般两个指令就可实现。第一个指令使刀具移位刀位轨迹的起始点，第二个指令使刀具按螺旋线轨迹进行加工。如下所示：
在加工过程中，Y、Z坐标保持不变，X1与A1之间的关系就是（3）式中的φ与x关系，如下式：
式中k、P与（3）式相同。
当螺旋槽较宽需要几次走刀来完成时，这就需要把走刀起点进行移动，如图8所示。编程指令
当采用成型刀具最终精加工时，编程方法与等导程普通螺旋槽相同。
当采用普通立铣刀最终精加工时，相对普通螺旋槽，刀位轨迹的起点坐标Y和A发生变化，A的变化值就是楔形螺旋槽侧壁倾斜角度θ，起点坐标Y的变化值根据楔形螺旋槽侧壁倾斜角度θ、螺旋槽深度、螺旋槽宽度进行计算，如图7所示。加工刀位轨迹与普通螺旋槽相同，也是螺旋线。
3）变导程螺旋槽
变导程螺旋槽的加工刀位轨迹是变导程螺旋线，在编程时对螺旋线进行线段插补，根据加工允许误差确定走刀步长[3]，从而确定数控程序刀位点，指令如下所示：
。。。。。。
i=1，2，3…
在一个加工刀位轨迹中，坐标Y和Z保持不变，Z等于螺旋槽槽底半径与抬刀高度之和，抬刀高度与分层加工有关。坐标A和X在变化，而坐标A和X之间的关系就是（2）式中φ与x的关系。
4）圆柱上有多个螺旋槽时，由于形状相同，只是每个螺旋槽的起点位置不一样，所以只需对一个螺旋槽进行数控编程，其它槽在加工时通过循环指令来实现。
本文提出的圆柱曲面螺旋槽数控加工方法已经在多个零件加工中应用，证明其实用可行。图5所示是一种实现特定运动的螺杆，采用本文所述方法，加工后零件经过测量机测量符合设计要求。参考文献：
龚智辉,滨鸿赞.螺旋角的广义定义及其应用[J],中国机械
赵学敏,张正新.图形空间曲线槽的铣削[J].山东轻工业学
院学报,):16-18.
王增强,蔺小军,史耀耀,单晨伟.回转曲面螺旋槽数控加
工技术研究[J].机械科学与技术,-430.[4]
张洪兴,聂秋根,张一坚.圆柱非圆曲线槽凸轮的数控加工
[J].制造技术与机床,-35.　
蔺小军,任军学,史耀耀,田荣鑫.基于UG的变距螺杆造型
与数控加工[J].航空制造技术,-34,64.
蔺小军,史耀耀,任军学,孟晓娴.螺旋桨叶型数控加工编
程研究[J].制造技术与机床,-52,55.
苏步青,刘鼎元.计算几何[M].上海科学技术出版社,1982.
加工螺旋槽刀位轨迹
式中，w为槽宽，D为刀具直径，如图8所示。β为螺旋角，k与（3）式相同；
X1与A1之间的关系如下式：
式中k、P与（3）式相同。2）等导程楔型螺旋槽
【12】 第32卷 第8期
范文七：维普资讯
中学 数学杂志（ 中） ２０ 高 ０ ６年第 ５期　
对 圆柱侧 面的截痕 曲线 问题的探讨　
江 苏张 家港 市 乐余 高级 中学　
１ 问题与 解析　 　 题目 　 设 圆柱 的　
２ ５０　 １６０
顾 汉 忠　
函数关 系式　
高是 ２ 底 面 半 径 是 １　 ， ，
用 一 个 平 面 将 它 截 成　 形 状 相 同 的 两 个 几 何　
体 ， 右 图 所 示 ．将 其　 如 中 的 一 个 几 何 体 的侧　 面 展 开 ， 侧 面 展 开 图　 则
是（ ） 　 　
过 Ａ 作 等边 圆柱 ＡＢ 　的底 面 ｏ０ 的切　
线　， 点 Ｐ 在 ｏ ｏ 面 内 的射 影 为 Ｑ， ＱＥ 设 作 　
上　 于 Ｅ， 则　 Ｐ Ｑ 为截 面ＡＢ 与底 面 ｏｏ　 Ｅ 　
面所 成 二面角 的平 面角 ． 见　 Ｐ Ｑ ＝ ． 易 Ｅ 　 　
（ 　 Ａ）
（ 　 Ｂ）
设 底 面 圆心角　 ＡＯＱ ＝ ａ， 则　 ＝ ＡＱ　
＝ ａ， 考查 底面 各线 段 间关 系 ， 助 于 图 ２分　 借
析 ．应有 ＱＥ ： １一ｃｓ ， 以 Ｐ ＝ Ｑ ? ｏａ 所 Ｑ Ｅ 　 ｔｎ ５ ａ ４ 。＝ １一ＣＳ ， Ｙ ： １一ＣＳ 消 去 ａ　 Ｏ 即 Ｏａ， ，
得 Ｙ＝ｌ ＯＸ， ∈ ［ ，丌 ． 即所求 的函　 —ＣＳ 　 ０２ ） 此
（ 　 Ｃ） （ 　 Ｄ）
数关 系式 ， 以答 案为 Ｂ． 所 　 上述 解题 思路 是 ： 间 图形 问题 一 降维　 空
（０ ５年合肥 市高 三数 学测 试题 ） ２０ 　
这道 题 对 数 学 基 础 扎 实 一 些 的 学 生 来　
侧 面展 开 图 一 建立坐 标 系 一 截 痕 曲线上　
说 ， 以凭 借数学 意识 ， 可 结合 空 间想象 和逻 辑　
分析 ， 出选 择 ．考 虑 圆柱 被 截 成 两 部 分 的　 作
任 意一 点坐 标 一 找参 数 一 参 数方程 一 消参　
数 一 普通 方程 ． 　
对 称性 ， 侧 面展 开 图 应分 成 全 等 的两 部 分　 其 平面 图 ， 样筛 去 （ 、 Ｄ） 而 （ 这 Ｃ） （ ， Ａ）中 的等　
腰 三角形 ， 沿底边 围成 圆 ， 腰构 成 的 曲线 不　 两
那 么， 一般 化 ， 圆柱 的倾斜 平 面 （ 底面 ） 对 　 的侧 面截 痕 曲线 是 怎样 的 呢？ 　
２圆柱 的侧面 截痕 曲线 方程　
是平面 曲线 ， 而 选 （ ．这 也 正 是命 题 者　 从 Ｂ）
的考查 意 图所在 ． 　
设 圆柱 底面 半径 为 ｒ 高 为 ｈ， 个 截 面　 ， 一 过圆柱 轴 截 面对 角 线 ， 且截 面 与 圆柱底 面仅　
有 一个 公共 点 ． 　 此 时 ， 面 与 底 面所 成 的二 面 角发 生 了　 截
探 索 和研究该 题详 解 ， 意深刻 ， 寓 给人 以　
启迪 ． 　 解 析　 在 圆柱 侧 面 展 开 图上 建 立 直 角　 坐标 系 ， 图 １ 示 ．设 截 面 曲线 上 任 意 一　 如 所
变化 ， 为　 ， ｔｎ 　
； 设 则 ａ ０＝ 同时 ， 面 展 开　 侧
点坐标 为 Ｐ（ ， ）我们 设 法探 求　 、 　 Ｙ， Ｙ间 的　
图的底 边 线 长 度 、 面 的相 关 线 段 长 度均 对　 底
中学数学杂志 （ 高中 ） ２ ０ 年 第 ５ ０６ 期　
应 变化 ．如 图 ２所示 ． 　
， ’ —、 　
消 去 口，得 （ ｃｓ ） ＋ Ｙ ＝ ｒ ，即　 ￣ ｏ０　 　 　
２ 　 ２ 　
考察 图 １ ２ 有 ｚ ＝ ＡＱ　 、，
＝ ｒ ?ａ， 　 （ ＝ 　ｒ — ｒ ０ ａ，Ｂ ｃｓ 　
＋ １ 　 ? 　
这样 ， 圆柱 的倾斜 截 面图形 是椭 圆 ． 　
４ 圆柱 的侧 面截 痕 曲线 的应用　 　 该 题 的 生 产 、 活 实　 生
Ｐ ＝ ＱＥ ?ｔ ０ ＝ ｒ １ 一 Ｑ ａ ｎ （ 　 ＣＳｔ ｔｎ ， ＯＯ ）? ａ ０　
即 Ｙ ｒａ ０ １ ＯＯ ， 　 ｔｎ （ 一ＣＳ ） ｔ　
又 ｚ ＝ ｒ 消去 口 得 Ｙ ＝ 口， ， 　 ｒａ ０ １ ＣＳ兰 ）＝ ｒａ ０ １（ 一 ）＋ ｔｎ （ 一 Ｏ ｔ ｓ 兰 　 ｎ ’ ｎ 　
，　 ． ，　 ．
际背景是常见的直角弯 ｒ ｌ 　 　 管、 虾米弯管（ —１ 、 Ｊ 图４ 、 　 　 ２
３ 示 ）等 展 开 图 的 截 痕　 所
曲线 问 题 （ 机 械 制 图 中　 在
ｒａ Ｏ 其中 ｒ ０ ｔ ．（ ｎ 、 为常数 ， ｎ 　 ） 即 Ｙ ｔ Ｏ＝ ａ ， 　
称作 相 贯 线 ） ．工 厂 里 生　
产 的除 尘 器 、 　
污 水 处 理 器　 上 面 有 多 处　
ｓ　 　 ）　 ， Ｌ， ｒ． ｉ羔一 ＋ ｚ∈［， 　 ｎ Ｌ （ 一一 十 ｚ 　２ ］ 鲁， Ｕ 丌Ｊ 　 　
，　 厶　 厶　
这样 ， 截痕 曲线 方程 （ 圆柱 的侧 面展 开　 在 图上 ） 有 Ｙ ＝ Ａｓ （ ＋ ） ｂ的形式 ． 具 ｉｃ 　 ＋ ｎ眦 　 ３ 为什 么 圆柱 的倾 斜截面 图 形是椭 圆　 　
应 用 ， 至 家　 甚 庭 自 来 水 管　 道、 暖气 管 道　
利用 降维 思想 和 参 数 思 想 方 法 ， 我们 来　
探讨 圆柱 的不 平行 于底 面 的截面 图形 是椭 圆　 的理 论依 据 ． 　 设 圆 柱 的 底 面 半 径 是　 ｒ 截 面 与底 面 所 成 的 二 面　 ，
等上 面 的三通 管 、 角弯 头 上 的相 贯线 均 涉　 直
及 此类 曲线 ， 　
中学数 学教 学 中应该恰 到好 处 地联 系实　 际 ， 养 学 生 应用 数 学 的意 识 和 学数 学 的兴　 培
角 为 ０ 圆 柱 高 ｈ 恰 为　 ，
２ ｔ Ｏ 如 图 ３所 示 ．ｏ ｏ　 ｒａ ， ｎ
５ 几点 启示　 　
平行 于底 面且 过 高 线 中点 ， 　
设 截面 曲线 Ｃ 与 ｏ ｏ 交 于　 Ｅ、 因为 Ｅ 为 曲线 Ｂ 　的　 Ｆ， Ａ 图３ 　
上 面论 及 内容涉 及 圆柱体 、 圆锥 曲线 、 三　 角 函数 图象 及其 有关 方程 是学生 熟悉 的相 对　 浅显
的中学 数学 教学 内容 ．而就 其 中蕴 含 的　 数 学思 想 内涵和 数学方 法 论而 言 ， 深刻 的 ， 是 　
中点 ， 为母 线 Ａ Ｇ Ａ　的 中点 ， 以 Ｅ ＝ 所 Ｇ 　
Ｂ ， Ａ 即有　 Ｅ ０Ｇ ＝ ，又 Ａ 　上 ｏｏ 面 ， 　 Ａ 　
耐人寻味的． 我们要重视其教学价值和教育　
所以 Ｅ Ｆ上 Ｏ 　 Ａ ．取 Ｏ 　 ＯＦ所 在直 线分 别　 Ａ、
为 ３轴 、 ， Ｍ （ Ｙ 为截 痕 曲线 ｅ ｌ ２ Ｙ轴 设 ｘ， ） 　＿ － 任　
首先 ， 重 视 渗 透 辩 证 观 点 ．数 学 中普　 要 遍 存在 着对 立 统一 、 动变 化 、 运 相互 联 系 、 相　
意一 点 ， ＭＮ 上 Ｏ 作 Ａ　于 Ｎ ， 设 Ｍ 、 在　 且 Ｎ ｏ ｏ 内 的射 影 分别 为 Ｐ、 　 ＱｏＰ ＝ ａ 为　 Ｑ， （ 参数 ） ， 　
因为 Ａ Ｇ 上 ｏ ｏ 面 ， 　 ＯＦ上 ＯＡ ， 以　 　所
ｏＦ 上 ＯＧ， ＮＯＱ ＝ ０　 　 ． 所 以　
互转化等辩证观点． 截痕 曲线在圆柱体 的截　 面上 是 椭 圆 ， 侧 面 展 开 图 的矩 形 上 是 正 弦　 在
曲线 伸缩 、 平移 后 的曲 线 ， 通其 联 系 ， 助　 沟 有 于理解 数学 问题 形式 结构 的多样 性 和 内在 结　
构关 系 的辩 证统 一性 ． 　
其 次 ， 注意 强 化 数 学 变 换 思 想 ．数 学　 要
１ Ｍ ＝ Ｏ ＝ Ｃ ? ｅＯ＝ ｒ? 口?ｅＯ　 　 ３ ２ Ｎ 　 ｓｃ ∞ｓ ｓ ， ｃ
Ｉ Ｍ ： ＾Ｍ ＝ ＱＰ ＝ ｒ? ｉａ　 Ｙ ｓ ． ｎ
解题 的实质是变换． 事物的普遍联系性是孕　 育 数学 思想 方法 的“ 壤” 观察 、 土 ， 联想 、 断 、 判 　
中学数学杂志（ 高中） ２ ０ ０ ６年第 ５ 期　
变换 是 最 基 本 、 最重 要 的数 学 认 知 活 动 ．本　 问题 的探 讨 研究 不 单 纯 表现 为 解 析 法 ， 有　 还 射影 、 降维 的数 学思 想 、 函数 与 对 应 思 想 、 等　
本文内容 ， 学生兴趣盎然 ， 课堂气氛活跃 ． 　 高 中数学 教 学 中 ， 只要 我 们 注重 发 现 学　
习 、 究 学 习 ， 会 数 学 与人 类 生 活 、 产 实　 探 体 生 际的密 切 联 系 ， 助 学 生体 验 数 学 并 学 以致 　 帮 用 ， 么 就 能 逐步 提 高 学 生参 与数 学 学 习 活　 那 动 的兴趣 ； 生 共 同探 讨 、 师 研究 ， 以给 他 们　 可 留下深 刻 印象 ， 把学 习过 程 、 解题 过程 转化 为　 “ 悟数 学 、 赏 数 学 ”的过 程 ， 而 培 养 了他　 欣 从 们 的数学 意识 和数 学 能力 ． 　
价转化思想 、 参数和对称思想等等 ． 　 第三 ， 培 养 学 生 用 数 学 的 意识 ．数学　 要 来源 于实 践 ， 过 来 又 应 用 和 作 用 于 实践 ． 反 　
强调 用 数 学 的意 识 ， 利 于 调 动学
生 学 习 数　 有
学 的兴 趣 ， 有助 于 培 养学 生 的动手 实 践 能 力　
和创新意识． 我曾在课堂上与学生一起探讨　
简 函 厂） ｚ 与（＝ 一的质系 谈数（＝ ＋ 厂） ｚ兰本联　 ｚ　 　 ｚ　
安徽 省歙 县 中学　 在高 中数 学 中 ， 我们 经 常 碰 到下 列 两类　
２５ ０　 ４ ２０
Ｉ ｘ 一 （ 。＋ ）ｊ 　 。 船 ａ 　
函数 ： （ ＝ ａ， ｆ ｘ） Ｔ＋旦 与ｆ ｘ）＝ａｃ （ ２ ．一旦 （ 　 ａ，
Ｚ 　 Ｚ 　
０ 一 ： 　
ｂ∈ 　 ） 由 于这 两 类 函 数在 历 年 高 考 中经　 ，
ｊｄ ＝ ｌ ０ ，所 以 ｌ ｄ ＝ ， ２ 　ｚ 　ｌ ｉ ｍ　 ｌ
ｌ ｉ ｌ ｍ　 　
常出现， 因此广大师生对它们 的性质 已经有　
个初步的认识（ 图 １２ ． 是绝 大多数　 如 、） 但
｝ ０，ｌ ＝ ｉ ｍ　ｄ２＝ ，ｌ ｉ ｍ　ｄ２＝ ０， 　
Ｘｏ√ ａ 　＋ １ 　
０ 一 　 　
人认为这两个 函数除了定义域和奇偶性外 ， 　 几乎没有其他相似之处 ， 因此是两个 没有什　
么联 系 的孤 立 函数 ．然 而事 实并 非 如 此 ， 下　 面就 谈谈本 人 在这一 方 面 的几 点 浅见 ． 　 １ 它 们都 有两 条渐近 线 ， 　 都是 Ｙ轴和 直线 Ｙ 　
所 以直线 Ｙ＝ 纰 和Ｙ 轴都是它的渐近线 ， 且　 其 Ｙ轴右 边 的图象 在 Ｙ＝ ａ ， ｘ的左 上方 ， Ｙ轴　
左边 的 图象在 Ｙ＝ ａ 的右下 方 （ 图 １ ． ， ｘ 如 ） 　
Ｙ　 ｙ＝ａ 　 ｕ
同理 ，直 线 Ｙ 　
以 函数 ｆ ｘ）＝ ａ 　 （ ｘ
＝０７ 轴都是函　 ，和Ｙ ． ２ 数 ｆ（ ： ａ — ｘ） ｘ 　
＋旦 为例 取 其 图　
旦（ ｂ∈ Ｒ 口， 　）的　
象 上 任 意 一 点　
Ｐ（ ０ ａ ｏ＋ ｚ ，ｘ 　 ） ， 　
渐 近 线 ， 其 Ｙ轴　 且
． 　 。 　
右边 的图 象 在 Ｙ ＝ 　 ａ 的右下方 ， ｘ Ｙ轴　
左 边 的图 象 在 Ｙ ＝ 　
／ｏ 。 　　 。ｘ ｌ 　 爝 　
它到直 线 Ｙ ＝ ａ　 ｘ
的距离为 ｄ ， Ｙ 　到 　
ａ ｘ的左 上方 （ 图 ２ ． 如 ） 　
２ 两 函数的 本质联 系一　 　
轴的距离为 ｄ ， ： 则　
１ 为 了更 清 楚 的 认识 这 两 个 函 数 的 本　 ．
范文八：圆柱的表面积
1．认识掌握圆柱各部分名称，建立圆柱体空间概念；
2．掌握圆柱体侧面积、表面积的计算方法，并能具体应用。
教学重点和难点
1．教学重点：推导圆柱体侧面积的计算方法。
2．教学难点：圆柱体侧面积公式的推导过程。
教学过程设计
(一)复习准备
师：我们已经学习了不少几何图形。现在看老师手里拿的是什么图形？
生：长方形。
师把长方形贴在黑板上。
师：面积如何求？
生：长方形面积=长×宽。(师板书)
师又拿出正方形，问相同的问题，然后把这个正方形贴在长方形旁边。再拿出圆形。 师：圆的面积和周长公式是什么？给什么条件能求出圆的面积和周长？
然后把圆形贴在长方形上面。再出一些练习题进行圆面积和周长的计算。强调计量单位。
师又拿出长方体、正方体。当拿出圆柱体时，同学们都能回答是圆柱体。接着让他们举一些日常生活中经常见到的圆柱形物体。再让他们拿出自己事先准备的圆柱体(如果提出似是而非的问题时，先不要进行讨论。)这时老师也拿出一些实物：手电筒里的反光罩、罐头盒、小鼓、印章、烟囱的半个拐脖，问这些实物叫不叫圆柱体？为什么不叫圆柱体？
师：今天我们就来学习一种新的形体——圆柱体。(板书课题——圆柱)
(二)学习新课
1．圆柱体的认识。
师：现在找一个同学到前面摸一摸圆柱体有哪几个面。(指名上前摸。)
生：上、下两个面和周围一个面。
师：上、下两个面是什么形状？它们的面积大小怎样？
生：上、下两个面是圆形，面积相等。
师：我们把圆柱上、下两个面叫做底面。(板书：底面)
师：周围的这个面是个曲面。我们把周围的这个面叫做侧面。(板书：侧面)
师：我们把一个圆在平面上滚动一周，痕迹是一条线段。如果把这个圆柱在平面上滚动一周，它的侧面留下的痕迹将是一个什么形状？同学们可以自己用手中的学具动手滚一下，能体会出是一个什么形状？
生：是一个长方形。
师演示：将圆柱体侧面展开得到一个长方形。(与黑板贴的长方形一样大。)
师接着拿出两个高矮不一样的圆柱体。
师问：为什么有高有矮呢？由什么决定的？
生：由高决定的。
师：什么是圆柱的高呢？(板书：高。写在长方形宽处。)看看书上是怎么讲的。(看书第50页，找同学回答。)老师在圆柱侧面上画一条垂直于底面的线段，这条线段就是这个圆柱的高。
师出示投影，让学生指出高。
师：圆柱的高有多少条？
生：无数条。
师：高都相等吗？
生：都相等。
师：现在我们来回答刚才举的一些物体不是圆柱体的原因。(先让同学们说自己手中的，最好让本人说，然后再说老师手中的实物。)
师：我们讲的圆柱体都是直圆柱。
2．圆柱的侧面积。
(1)推导公式。
师：圆柱侧面图是一个长方形。下面同学们四人一组对照手中的圆柱体学具进行讨论。 讨论题目是：
a：这个长方形与圆柱体有哪些关系？
b：你能推导出圆柱体侧面积计算方法吗？
然后学生汇报讨论结果。
生：这个长方形的长等于圆柱体的底面周长，宽等于圆柱的高，长方形面积等于圆柱的侧面积。从而得出；圆柱体侧面积=底面周长×高。用字母公式表示为：S侧=Ch。
老师板书公式。
(2)利用公式计算。
例1 一个圆柱，底面的直径是0.5米，高是1.8米，求它的侧面积。(得数保留两位小数)
老师在黑板上板演。
下面同学们进行练习。投影练习题：
①一圆柱底面半径是5厘米，高5厘米，求侧面积。
②一圆柱底面半径是2分米，高是直径的2倍，求它的侧面积。
③一圆柱底面周长是12厘米，高12厘米，求它的侧面积。
师：你能知道第③题圆柱侧面展开图是什么图形吗？
3．圆柱的表面积。
师在课题“圆柱”后面接着写“的表面积”。
(1)推导公式。
师：同学们已经学会求圆柱的侧面积。如果求这个圆柱的表面积，你会求吗？(老师同时演示圆柱体平面展开图，让同学们进行讨论。)
生汇报讨论结果，老师板书公式：
S表=S侧＋2S圆
(2)利用公式计算。
(投影出示)
例2 计算圆柱体的表面积(见下图)。(单位：厘米
同学说思路，老师板书，注意每一步结果写计量单位。
①侧面积：2×3.14×5×15=471(平方厘米)
②底面积：3.14×52=78.5(平方厘米)
③表面积：471＋78.5×2=628(平方厘米)
答：它的表面积是628平方厘米。
一个没有盖的圆柱形铁皮水桶，高是24厘米，底面直径是20厘米。做这个水桶要用铁皮多少平方厘米？(得数保留整百平方厘米。)
同学说思路，列式。老师把正确的解答用投影打出来。
(1)水桶的侧面积
3.14×20×24=1507.2(平方厘米)
(2)水桶的底面积
3.14×(20÷2)2
=3.14×102
=3.14×100
=314(平方厘米)
(3)需要铁皮
4=00(平方厘米)
答：做这个水桶要用铁皮1900平方厘米。
小结：今天我们学习了哪些知识？(指名回答)下面我们来检查一下，这节课谁学习得最好？ (三)巩固反馈
(1)看书第54页第1题。
(2)投影，指出下面圆柱体的高是几？
(3)有一节直径10厘米的烟囱，长3米。这节烟囱用铁皮多少平方米？(只列式)
(4)一种轧道机，后轮直径1.32米，长1.27米。如果后轮每分钟转动6周，每分钟可轧路面多少平方米？(只列式)
(5)做一对无盖水桶，要求底面半径15厘米，高4分米。至少需用铁皮多少平方分米？(结果保留一位小数。)
(6)一种圆柱形小油漆桶，底面周长50.24厘米，高20厘米。每个桶用铁皮多少平方分米？(四人讨论后口头回答。)
学生做，老师巡视，找几个同学把题写在玻璃片上，然后全体订正。
(1)你要做一个圆柱体，先确定什么条件？你是怎样做的？
(2)我们在学习圆面积时，用两个完全一样的圆拼成一个近似长方形的方法推导出圆面积的公式，你能用这种方法推导出求圆柱体的表面积的另外一种计算方法吗？并用此方法做第(6)题，比较哪种方法简便？
课堂教学设计说明
本节课的教学设计分三个层次。
第一层次，使学生认识圆柱体底面、侧面和高。通过让学生观察实物和教具，以及插图和自己举日常生活中的实例，并让学生亲自动手摸一摸、看一看，使学生能准确地掌握圆柱体的特征。
第二层次，推导圆柱体的侧面积计算公式和表面积计算方法。
首先让学生讨论圆柱侧面展开的这个长方形与圆柱之间的关系。老师用圆柱体在黑板上贴有长方形处滚动一周，使学生了解到这个长方形的长就是底面周长，长方形的宽就是这个圆柱的高，从而用已学过的长方形面积公式很自然地推导出求圆柱体的侧面积公式。在这个基础上再加上两个圆面积，引导学生理解圆柱表面积的意义，从而总结出求圆柱的表面积的计算方法。使学生认识到立体转平面、形变量不变的辩证关系，培养同学们的观察分析能力。
第三层次是针对本节课所学知识设计的一些联系实际的应用题。安排有：只有侧面的圆柱形；只有一个底面的圆柱形；两个底面都有的圆柱形。同时计量单位有所不同。这样培养学生认真审题的好习惯，提高学生灵活应用能力，有利于发展学生的空间概念。
范文九：《圆柱的表面积》教学反思
《圆柱的表面积》这部分教学内容是北师大教材六年级下册的一个教学内容，它包括：圆柱的侧面积、表面积的计算，表面积在实际计算中的应用等。教学时，我是这样做的：
新课开始，我通过圆柱教具直观演示，引导学生复习圆的面积公式的推导过程、计算方法，从而了解圆柱体的特征，进而理解圆柱表面积的意义。在教学侧面积的计算时，精心设疑：圆柱的侧面是个曲面，怎样计算它的面积呢？想一想，能否将这个曲面转化为我们学过的平面图形，从中思考和发现它的侧面积该怎样计算呢？在老师的启发下，学生以小组为单位，用圆柱形纸筒进行实际操作，我没有拘泥于教材上把侧面转化为长方形这一思路，而是放手学生合作探究：能否将这个曲面转化为学过的平面图形？鼓励学生大胆猜想和实验，有的同学认为展开后是个长方形、有的认为是个平行四边形、还有的认为特殊情况下是正方形， 通过实验、观察和思考，最终都探讨出了侧面积的计算方法。在组织学生合作学习中，较好地培养了学生的合作能力。
本节课合理地利用了多媒体教学技术。在讲练过程中，动态逐一出示三个圆柱及条件，并闪烁所求底面和侧面。将直接的告诉条件和问题变成动态的先后展示，不仅做到思路清、方向明，而且极大地调动了学生学习的积极性。另外，多媒体将生活中的油漆桶、水桶、羽毛球筒等实物“搬”到课堂，加深了学生对表面积实际计算意义的直观认识和理解，使学生感受到了数学与现实生活的密切联系，收到了较好的效果。
范文十：圆柱的表面积 小学数学
人教2011课标版
1、体会观察实验圆柱的表面积积公式的推导过程。
2、初步掌握圆柱的表面积公式
3、能够用表面积公式正确地解决实际问题。
学生已经认识了圆柱的组成，知道了圆柱是由3个面组成(一个曲面，两个底面），掌握了圆柱沿着的高，侧面展开后，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长；长方形的宽等于圆柱的高。学生掌握它们之间的关系，就能推导出圆柱的侧面积公式，然后，再通过实物演示，学生自己很容易地推导出圆柱的 表面积的公式。但由于实验器材不能够满足学生的要求，因此教学中只能选择实验观察法来完成的任务，这样，不仅不会响学习的效果，还可以培养学生的观察能力，动手能力。练习按由浅入深的设计，加深学生解题的能力。
掌握圆柱的表面积公式，并能够熟练应用公式解决问题。
4.1第一学时
活动1【导入】圆柱的表面积
一、复习铺垫：
1、圆柱体是由几个面组成的？圆柱体沿着高，展开后是一个长方形，长方形的长与圆柱的底面周长是什么关系？长方形的宽与圆柱的高
又是什么关系？圆柱的表面积是什么？ 2、一个长方形的长12厘米，高是8厘米，它的面积是多少平方厘
米？ 自主练习，并集体交流 二、目标情境
1、出示一个圆柱形纸盒
（1）做一个这样的需要用多大面积的纸板？
（2）接口处不计算。
（3）我们需要计算它的什么？需要学习哪些知识？
2、自主认定学习目标
学会圆柱的表面积的计算公式。
能运用公式进行计算。
活动2【活动】圆柱的体表面积公式推导
一、推导圆柱表面积的体积公式
（一）观察实验器材的特点
1、出示观察实验要求
仔细观察看一看老师的实验器材分别是什么形体，它们有什么关系？
2、课件演示，学生仔细观察
3、你观察的结果是什么？
填写实验报告单（一）
2、它们之间的关系
汇报交流，圆柱沿着高，侧面展开得到一个长方形。
（二）观察圆柱的侧面展开图与圆柱的周长，高的关系
1、出示观察要求
仔细观察说一说这是一个什么样的实验。
从实验中你有什么发现，把你的发现和小组内的伙伴交流一下。
填写实验报告单（二）
1、长方形的长------圆柱的底面周长？长方形的宽-------圆柱的高？
2、这说明什么？
2、看一看，想一想。用你自己的话说一说，圆柱的侧面积公式和表面积公式。
3、进行实验总结 圆柱的侧面展开是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长：长方形的宽等于圆柱的高。因为，长方形的面积等于长×寛，所以，圆柱的侧面积等
于底面周长×高。圆柱的表面积等于圆柱的侧面积加2个底面积
（三）推导
圆柱表面积公式
1、你能自己推导出圆锥的体积计算公式吗2、记忆公式
3、要想计算圆柱的表面积需要什么条件？
二、实践应用，解决课堂开始的问题
1、出示问题
圆柱的纸盒半径是10厘米，高是30厘米。你能计算出做一个这样的纸盒，
需要多大面积的纸板？（接口处不计）
2、独立解决问题
3、汇报结题思路
三、建模总结
实验---结论---应用 3 【测试】巩固提高
（一）基础检测
1、圆柱侧面=（
），用字母表示是（
2、圆柱的表面积=（
），用字母表示
3、一个圆柱的半径和高都是2厘米，圆柱的侧面积是（
）平方厘米，
圆柱的表面积是（
）平方厘米。
4、一个圆柱的半径径是2厘米，高是10厘米，圆柱的表面积是（
平方厘米。
（二）变式训练
1、如果圆柱的纸盒直径是20厘米，高是30厘米，你能计算出需要多大纸板
2、如果圆柱纸盒的底面周长是62.8厘米，高是30厘米，你能计算出需要多
大纸板吗？如果每平方米25元，那么做一个这样纸盒需要多少钱？
3、如果圆柱纸盒的侧面积是1884厘米，高是30厘米，你能计算出
需要多大纸板吗?
活动4【活动】课堂小结
总结：你学会了什么？
用什么方法学会的？
你觉得在今后的学习中，还要注意什么？