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对数函数及其性质
一 : 对数函数及其性质一、教材分析本小节主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又1个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基[）础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。四、教学目标1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是1类重要的函数模型；2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。五、教学重点与难点重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．六、教学过程设计教学流程：背景材料→引出课题 →函数图象→ 函数性质→问题解决→归纳小结（一）熟悉背景、引入课题1．让学生看材料：材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在60岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年，而且关节可以活动。人们最关注有2个问题，第一：怎么鉴定尸体的年份？第二：是什么环境使尸体未腐？其中第1个问题与数学有关。图4—1（如图4—1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复活”了）那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？上面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p，利用估算尸体出土的年代，不难发现：对每1个碳14的含量的取值，通过这个对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数；如图4—2材料2（幻灯）：某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个 ……，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即；图4—21.引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如： ，都不是对数函数．2 对数函数对底数的限制： ，且 ．3．根据对数函数定义填空；例1 （1）函数 y=logax2的定义域是___________ (其中a&0,a≠1)(2) 函数y=loga(4-x)的定义域是___________ (其中a&0,a≠1)说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止，以避免挖深、拓展、引入复合函数的概念。[设计意图：新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手”。因此，新课引入不是按旧教材从反函数出发，而是选择从2个材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点]（二）尝试画图、形成感知1．确定探究问题教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？学生1：对数函数的图象和性质教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？学生2：先画图象，再根据图象得出性质教师：画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类？学生3：按 和 分类讨论教师：观察图象主要看哪几个特征？学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象：步骤一：（1）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象（2）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象 步骤二：观察对数函数 、 与 、 的图象特征，看看它们有那些异同点。步骤三：利用计算器或计算机，选取底数 ，且的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有哪些共同特征？步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较2．学生探究成果 （1）如图 4—3、4—4较为熟练地用描点法画出下列对数函数 、 、、的图象图4—3图4—4（2）如图4—5学生选取底数=1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，并推荐几位代表上台演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图象。由于学生自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了底数是如何影响函数 ，且 图象的变化。图4—5（3）有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y = logax（a&1）、y = logax(0&a&1)的图象代表对数函数的2种情形。（图4—6）图4—6y = logax（a&1）y = logax(0&a&1)（4）学生相互补充，自主发现了图象的下列特征：①图象都在y轴右侧，向y轴正负方向无限延伸；②都过（1、0）点；③当a&1时，图象沿x轴正向逐步上升；当0&a&1时，图象沿x轴正向逐步下降；④图象关于原点和y轴不对称，并且能从图象的形状、位置、升降、定点等角度指出指数函数与对数函数的图象区别；如图4—7图4—73．拓展探究：（1）对数函数 与、 与的图象有怎样的对称关系？（2）对数函数y = logax（a&1），当a值增大，图象的上升“程度”怎样？说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感性认识就比较全面。[设计意图：旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象得到对数函数图象，这样处理学生虽然会接受了这个事实，但对图象的感觉是肤浅的；这样处理也存在着函数教学忽视图象、性质的认知过程而注重应用的“功利”思想。因此，本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性。这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受]（三）理性认识、发现性质1．确定探究问题教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，即可进1步研究对数函数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。同学们，通常研究函数的性质有哪些途径？学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。教师：现在，请同学们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质2．学生探究成果在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格：函数y = logax（a&1）y = logax(0&a&1)图像定义域R+R+值域RR单调性在（0，+）上是增函数在（0，+）上是减函数过定点（1，0）即x=1，y=0（1，0）即x=1，y=0取值范围0&x&1时，y&0x&1时，y&00&x&1时，y&0x&1时，y&0[设计意图：发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示对数函数的本质属性，传统教学往往让学生在解题中领悟。为了扭转这种方式，我先引导学生回顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质。教学实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到这些性质必然水到渠成]（四）探究问题、变式训练问题一：（幻灯）（教材p79 例8） 比较下列各组数中2个值的大小：(1) log 23.4, log 28.5（2）log 0.31.8, log 0.32.7（3）log a5.1, log a5.9( a＞0 ,且a≠1 )独立思考：1。构造怎样的对数函数模型？2。运用怎样的函数性质？小组交流：（1） 是增函数 （2）是减函数（3）y = logax，分和 分类讨论变式训练：1. 比较下列各题中2个值的大小:⑴ log106log108　　 ⑵ log0.56log0.54⑶log0.10.5log0.10.6⑷ log1.50.6log1.50.42．已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：(1) log 3m&log3n(2)log 0.3m&log 0.3 n(3) log am& logan(0&a&1) (4) log am& log an(a&1)问题二：（幻灯）（教材p79 例9）溶液酸碱度的测量。溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式为pH= —lg[]，其中 []表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯静水中氢离子的浓度为[] =-摩尔/升，计算纯静水的pH独立思考：解决这个问题是选择怎样的对数函数模型？运用什么函数性质？小组交流：pH=-lg[]=lg[]=lg1/[], 随着[]的增大，pH减小，即溶液中氢离子浓度越大，溶液的酸碱度就越大[设计意图：1。这个环节不做为本节课的重头戏，设置探究问题只是从另一层面上提升学生对性质的理解和应用。问题一是比较大小，始终要紧扣对数函数模型，渗透函数的观点（数形结合）解决问题的思想方法；2。旧教材在图象与性质之后，通常操练类似比较大小等技巧性过大的问题，而新教材引出问题二，还是强调“数学建模”的思想，并且关注学科间的联系，这种精神应予领会。当然要预计到，实际教学中学生理解这道应用题题意会遇到一些困难，教师要注意引导]（五）归纳小结、巩固新知1．议一议：（1）怎样的函数称为对数函数？（2）对数函数的图象形状与底数有什么样的关系？（3）对数函数有怎样的性质？2．看一看：对数函数的图象特征和相关性质对数函数的图象特征对数函数的相关性质函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，＋∞）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1，0）自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于0（六）作业布置、课后自评1．必做题：教材P82习题2．2（A组）第7、8、9、12题．2．选做题：教材P83习题2．2（B组）第2题．3．七、教学反思从教二十多年，每每设计函数的教学，始终存有困惑的感慨称，同时也有遇旧如新的喜悦。函数始终是高中数学教学的主线，对数函数始终是高中数学的难点。高中新课改的春风，带来了函数教学设计上的创新，促使我们在学生学习方法上、教学内容的组织上、教学辅助手段上率先尝试，但这只是1个起点，目前教学条件还受到制约，如图形计算器未能普及、课时紧容量大，都影响函数的正常教学，通过这次活动希望能引起大家的广泛关注并深入探讨！二 : 对数函数及其应用 对数是数学史上一个重要的发明，有着划时代的意义，对数函数在信息学竞赛中也同样有着非常重要的应用，很多时候，合理使用对数函数会简化我们的程序，降低时间复杂度和编程复杂度。注：为了使描述方便，以下均用log(a)N的形式表示一个普通对数（非常用对数和自然对数），其中a为底数，N为真数；用logn表示log(2)n。例1：求一个十进制数的位数。解析：我们以这道很简单的题目作为一个小小的引子。这一题当然有很朴素的O(lgn)的算法，应当说这已经很好了，但是我们应该考虑一下，是否有更简单的方法。注意看朴素算法的时间复杂度，lgn，我们知道朴素算法的实现是不停的div10，分离出它的每一位，所以我们是否可以猜想n的位数是lgn。结论是显然的，所以这一题的答案就是Trunc(lgn+1)，因为pascal中没有常用对数，只有自然对数，利用换底公式我们得到Trunc(ln(n)/ln(10))+1。对数的应用远远不止于此，利用对数，我们可以将乘除运算化为加减运算，将幂运算化为乘除运算，从而提高我们程序的效率。下面我们再看一个例子。例2：求a^b。解析：这样的题目我们有O(n)的朴素算法，也有O(logn)的快速幂算法，但是由上一题的启示我们是否可以利用对数在O(1)的时间内算出a^b。2^k显然是可以的，因为有shl和shr的位运算(2^k=shl(1,k))。那么一般的呢？答案是仍然可以在O(1)的时间内算出。我们知道a^(log(a)N)=N，所以a^(log(a)(N^M))=N^M，由对数的性质我们可以知道a^(M*log(a)N)=a^(log(a)(N^M))=N^M（注意，幂运算已经化为乘法运算了），换句话说，e^(b*ln(a))=a^b，而pascal中是提供e的指数函数（exp）和对数函数（ln）的，于是我们得到：a^b=Trunc(exp(ln(a)*b))需要注意的事，由对数定义可知，这里a不能为0。应用：麦森数（Noip2003普及组复赛第4题）【问题描述】形如2P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2P-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。任务：从文件中输入P（1000&P&3100000），计算2P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）【输入格式】文件中只包含一个整数P（1000&P&3100000）【输出格式】第一行：十进制高精度数2P-1的位数。第2-11行：十进制高精度数2P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）不必验证2P-1与P是否为素数。【输入样例】1279【输出样例】38600005512469662608787解析：我们撇开高精度运算，这不是本文的重点，在这里，我们关注的是第一问，也就是十进制高精度数2P-1的位数，这一问是可以在高精度运算结束后统计出的，但是例1与例2可以帮助我们在做高精度之前算出这个值的。首先我们要明确一点，不可能先算出2P-1，再求它的位数，所以需要对例1例2的公式加以组合变形。又因为2P不可能为10的整数次幂，也就是说2P-1和2P位数必然相等，于是问题转化为求2P的位数。将2和p代入例2的公式则有2P=trunc(exp(ln(2)*p))，将右边整体代入到例1的公式中，则有2P的位数=Trunc(ln(2)*p/ln(10))+1至此问题圆满解决。笔者以上列出的只是对数函数在信息学竞赛中几点小小的应用，但是我们可以由此看到，合理使用对数函数对我们的程序是有很大帮助的，随着我们不断探索，对数函数的应用也会越来越广泛。三 : 对数函数及其性质课 题：4.3 对数函数教学目的：1．了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系；2．会求对数函数的定义域；3．渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力教学重点：对数函数的定义、图象、性质教学难点：对数函数与指数函数间的关系.授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：对数函数是指数函数的反函数，教材是根据互为反函数的两个函数的图象间关于直线y=x种讲法，可以加深和巩固学生对互为反函数的函数图象之间的关系的认识，便于与指数函数的图象和性质相对照，教材紧扣对数函数是指数函数的反函数这教学过程：一、复习引入：1、指对数互化关系：2、 y?a(a?0且a?1)x我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到对数函数 对数函数及其性质的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2x现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的x?log2y如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y?log2x 由反函数概念可知， y?log2x与指数函数y?2x二、新授内容： 1．对数函数的定义：函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数；它是指数函数y?ax(a?0且a?1)对数函数y?logax (a?0且a?1)的定义域为(0,??)，值域为(??,??2．对数函数的图象由于对数函数y?logax与指数函数y?a互为反函数，所以y?logax的图xx象与y?a的图象关于直线y?x我们只要画出和y?a的图象关x于y?x对称的曲线，就可以得到y?logax的图象，然后根据图象特征得出对数函数 对数函数及其性质3．对数函数的性质三、讲解范例：例1比较下列各组数中两个值的大小：(1) log23.4 , log28.5 (2) log0.51.8 , log0.52.7 (3) log3?,log20.8(4) loga5.1,loga5.9(a?0且a?1)例2求下列函数的定义域：（1）y?logax2； （2）y?loga(4?x)； （3）y?loga(9?x2) 分析：此题主要利用对数函数y?logax的定义域（0，+2解：（1）由x&0得x?0,∴函数y?logax2的定义域是?x|x?0?；对数函数 对数函数及其性质（2）由4?x?0得x?4，∴函数y?loga(4?x)的定义域是?x|x?4?2（3）由9-?x?0得-3?x?3，∴函数y?loga(9?x2)的定义域是?x|?3?x?3? 练习1.求下列函数的定义域：（1）y=log3(1-x) (2)y=(3)y=log71 log2x1 (4)y?log3x 1?3x解：（1）由1-x＞0得x＜1 ∴所求函数定义域为{x|x＜1}(2)由log2x≠0，得x≠1，又x＞0 ∴所求函数定义域为{x|x＞0且x≠1}?1?011?(3)由?1?3x,得x? ∴所求函数定义域为{x|x＜} 33?1?3x?0?(4)由??x?0?x?0,得? ∴x≥1 ∴所求函数定义域为{x|x≥1} ?log3x?0?x?1例2 求下列函数的值域(1)y?log2(x2?4)(2)y?log1(3?2x?x2)2练习2： 已知函数 f(x)=log2(2x-1)f(x)的定义域、值域； （1）求函数9x?[1,]，求f(x)的值域； （2）若2f(x)?0的x的取值范围。（] （3）求使例3：解不等式 2(loga)2?1，求a的取值范围。 （1）若3(2) loga(x-4)?loga(2x-1)?0(a&0,a?1)对数函数 对数函数及其性质五、小结 本节课学习了以下内容：对数函数定义、图象、性质⑴对数的定义， ⑵指数式与对数式互换 ⑶求对数式的值八、课后记：淮滨新闻网提醒您本文地址：四 : 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh对数函数及其性质 2.2.2对数函数及其性质hjh五 : 对数函数及其性质2.2.2对数函数 及其性质 Ix y ? a (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质 回顾指数函数a＞ 1 图 象y=ax (a＞1)y0＜ a＜ 1y1O1 1 xOy=ax (0＜a＜1)1 xR ◆定义域： 函 （0，+∞） ◆值域： 数 ◆经过点 （ 0， 1） 性 ◆a＞1时，在R上是 0＜a＜1时，在R上是 质 增函数； 减函数.一、问题回顾引 入某种细胞1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个 分裂成8个……则1个这 样的细胞分裂x次后得到细 胞个数y是分裂次数x的函数，关系式为： y = 2 x反过来，研究分裂多少次可以得到1万个细胞，10万个……则此时分裂次数 x 是细胞的个数y 的函数吗？关系式是什么？ 根据对数的定义得到的函数为：x = log 2 y 习惯上表示为： y = log 2 x二、新授知识 (一)对数函数的概念：新 课函数 y ? loga x (a ? 0, 且a ? 1)叫做对数函数． 其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞).例1 求下列函数的定义域： （1） y? loga x22例 题解: 由 x 2 ? 0 得 x ? 0 ∴函数 y ? loga x 的定义域是 ?x | x ? 0? （2）y ? loga (4 ? x) 解: 由 4 ? x ? 0 得 x ? 4∴函数 y ? loga (4 ? x)的定义域是?x | x ? 4?例1 求下列函数的定义域：解: 由 x ? 0且 log3 x ? 0得 x ? 0且x ? 1 2 ∴函数 y ? ? x | x ? 0且x ? 1? 的定义域是 log3 x 1 （2）y ? log1 3x ? 4 2 4 解: 由 3 x ? 4 ? 0 得 x ? ? 3 1 4? ? 的定义域是 ? x | x ? ? ? ∴函数 y ? log122 （3） y ? log3 x例 题3x ? 4?3?(5) y ? log3 (4 x ? 3) ? 2 ? x 3 ? ?x ? ? x ? 4 ?（1）分母不能为0；? 2? ?归纳：求函数的定义域应从以下几个方面入手（2）函数含有开偶次方运算时，被开方式 必须大于0； （3）有对数运算时，真数必须大于0.P81练习2：求下列函数的定义域：(1) y ? log5 (1 ? x ); x ? R x ? 1 1 ( 2) y ? ; log2 x? ? ?x ? R x ? 1?练 习? 1 ( 3) y ? log7 ; ?x ? R x ? 1 ? 3x ?(4) y ? log3 x .?x ? R x ? 1?1? ? 3?(三)对数函数的性质，flash演示a&130&a&13 2.5 2 1.52.521.5图 象1-111110.50.50-0.512345678-101-0.512345678-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域： 值域：（0，+∞）R（1，0），即当x=1时，y=0 性 过点 ? y?0 x ? (0,1) ? y ? 0 质 x ? (0,1)x ? (1,??)? y?0在（0，+∞）上是增x ? (1,??) ? y ? 0 函数 在（0，+∞）上是 减 函数y图 形y=log x3y=log x401y=log0.3y=log 0.25x xx补充 底数互为倒数的两个对数 性质 函数的图象关于x轴对称。 一2、底数a&1时,底数越大,其图象越接近 x轴。 补充 底数0&a&1时,底数越小,其图象越接近 性质 x轴。 二、3、图像由左向右，底由小到大。三例2、比较下列各组数中两个数的 大小：（1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5 解：∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数 且 3 . 4 ＜8 . 5 ∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 54 32123.4468.5810-1-2y=log2x-3（2）log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7 解：∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞) 上是减函数 且 1 . 8 ＜2 . 7 ∴ log 0 . 3 1 . 8 ＞ log 0 . 3 2 . 71.4 1.2 1 0.8 0.60.40.21.80.5 1 1.5 22.72.5 3 3.5-0.5 -0.2-0.4-0.6-0.8-1-1.2y=log0.3x-1.4（3）loga5.1 , loga5.9( a＞0 , a≠1 ) 对数函数的增减性决定于对数的底数是 大于1还是小于1.而已知条件中并未指 出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论:当a＞1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增 解： 函数, 于是log a5.1＜log a5.9 当0＜a＜1时,函数y=logax在(0,+∞)上是 减函数,于是log a5.1＞log a5.9注:例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的 大小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分 情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.例3：比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 6 7 与 log 7 6解：∵ log 67 ＞log 66= 1 且log 76＜log 77= 1 （2） log 3π 与 log 20.8 ∴ log 6 7 ＞ log 7 6解：∵ log 3π＞log 31= 0 且 log 2 0 . 8 ＜ log 2 1 = 0 ∴ log 3 π ＞ log 2 0 . 8注: 例3是利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小. 当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入一 个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大小.例2————：比较下列各组数中两个值的大小：（3） log 2 7 与 log 3 7解：∵ log 7 3 ＞ log 7 2 ＞0? 1 1 ? l og7 2 l og7 3（4） log 0 . 2 0 . 8 与 log 0 . 3 0 . 8解：∵ log 0 . 8 0 . 2 ＞ log 0 . 8 0 . 3且 log 0 . 8 0 . 2 、 log 0 . 8 0 . 3 ＞0? 1 l og0.8 0.2 ? 1 l og0.8 0.3∴ log 2 7 ＞ log 3 7∴ log 0 . 2 0 . 8 ＜ log 0 . 3 0 . 8还有其他方法吗？(5) log2 5.9与log0.5 5.9练习比较下列各题中 两个值的大小: ⑴ log106 ＜ log108 ⑵ log0.56 ＜ log0.54 ⑶ log0.10.5 ＞ log0.10.6 ⑷ log1.51.6 ＞ log1.51.4例4比较下列各数的大小，并用“＜”将各数连接起来： 3?2.3 , log 4, log 5 2.5 0.7log 0.7 5 ? 3?2.3? log 2.5 4练一练： 比较a、b、c、d、1的大小。yy=log a x y=log b x01y=log c x y=log d xx答：b&a&1&d&c讨论：（对数比较大小的方法及规律）1.底数相同时：①先看底数判断单调性；②后看真数比大小.2.底数不同时：通常用1，0，-1作为中间量，与中间量比较后进行数的分类，再进行大小比 较.小结归纳(一)对数函数的概念 (二)对数函数的图象与性质 (三)求函数的定义域的途径 (四)对数比较大小的方法及规律下面我们来看一下对数函数 与指数函数的关系：对数函数和指数函数 互为反函数【两个互为反函数的函数的图象关于直线 y＝x 对称】y＝log2x 的反函数为 y＝ 2xy ? log 12?1? x的反函数为 y ? ? ? 2? ? ? ?x结论:函数 y = logax (a＞0,且a≠1)是指数 函数 y = ax的反函数，反之，也成立.练习：求下列函数的反函数 ?x 1. y ? 0.2 ? 12. y ? log a (4 ? x ) 3. y ? x , x ? [0,??)2Answer : 1. y ? log 5 ( x ? 1) x 2. y ? 4 ? a 3. y ? x , x ? (0,??)P72例9 溶液酸碱度的测量。溶液酸碱度是通过pH刻画的， pH 的计算公式为pH=－lg[H+],其中[H+]表 示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。 (1)根据对数函数性质及上述pH的 计算公式，说明溶液酸碱度的与溶液中 氢离子的浓度之间的变化关系。 ( 2)已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH。解：(1)根据对数的运算性质， 1 + + -1 有pH= -lg[H ]=lg[H ] = lg [H ]?1 在(0， ? ? )上 ， 随 着 [ H ]的 增 大 ， ? 减 小 ， 相 应 地 [H ]?1 lg ? 也 减 小 ， 即 p H减 小 ， 即 知 随 着 溶 液 氢 中离子 [H ] 的浓度增大，溶液中度 酸就越小。(2) 当[H ] ? 10 时 ，pH ? ? lg10 ? 7， 所 以 纯净水的 pH是7。??7?7例5 解下列不等式： （1） log1 (3 x ? 4) ? log1 (3 ? x )2 2（2） loga (3 x ? 4) ? loga (3 ? x ) ?3 x ? 4 ? 0 1 （2）解：当a&1时， ?3 ? x ? 0 ?? ? x?3 ? 4 ?3 x ? 4 ? 3 ? x ??3 x ? 4 ? 0 4 1 ? 当0&a&1时， ?? ?x?? ?3 ? x ? 0 3 4 ?3 x ? 4 ? 3 ? x ?归纳：解对数不等式的规律（1）首先考察函数的定义域；（2）利用对数函数的单调性将对 数不等式转化为一元一次不等式 或一元二次不等式.补充：求出下列式子的 值 7 (1) log 5 35 ? 2 log 5 ? log 5 7 ? log 5 1.8 3 2 2 2 ( 2) lg 5 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 2 (其中lg 5 ? (lg 5) )log 21 2?1、比较大小 （1）loga ?， loga e(a ? 0,a ? 0)1 2 ， （2） log 2 2 log2 (a ? a ? 1)(a ? R)例2．已知 loga(3a ? 1) 恒为正数，求．a的取值范围例3．求函数 f ( x) ? lg(? x 2 ? 8x ? 7) 的定义域及值域．例4． （1）函数 y ? loga x 在[2，4]上的最大值比最小值大1， 的值； 2 ) 的最小值． （2）求函数 y ? log3 ( x ? 6x ? 10a1 1? x 例5．（2003年上海高考题）已知函数 f ( x) ? x ? log 2 1 ? x，求函数 f ( x) 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．例6．求函数f ( x) ? log0.2 (? x ? 4x ? 5)2的单调区间．2 y ? log ( 3 ? 2 x ? x ) 的单调区间． 1 练习：求函数 2
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