1．如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面；(1)求证：BF∥平面ACE；；(2)求证：BF⊥BD.；证明(1)AC与BD交于O点，连接EO.；正方形ABCD中，2BO＝AB，又因为AB2EF；∴BO＝EF，又因为EF∥BD，；∴EFBO是平行四边形，；∴BF∥EO，又∵BF?平面ACE，EO?平面A；∴BF∥平面ACE.(7分)；(2)正方形ABCD
1．如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝2EF.
(1)求证：BF∥平面ACE；
(2)求证：BF⊥BD.
证明 (1)AC与BD交于O点，连接EO.
正方形ABCD中，2BO＝AB，又因为AB2EF，
∴BO＝EF，又因为EF∥BD，
∴EFBO是平行四边形，
∴BF∥EO，又∵BF?平面ACE，EO?平面ACE，
∴BF∥平面ACE.(7分)
(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面
互相垂直，BD?平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，
∴BD⊥平面ACE，∵EO?平面ACE，
∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.(14分)
*2．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足8Sn＝a2n＋4an＋3(n∈N)，
且a1，a2，a7依次是等比数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}及{bn}的通项公式；
(2)是否存在常数a＞0且a≠1,使得数列{an－logabn}(n∈N*)是常数列？若存在，
求出a的值；若不存在，说明理由．
2解 (1)n＝1时，8a1＝a1＋4a1＋3，a1＝1或a1＝3.(2分)
当n≥2时，8Sn－1＝a2n－1＋4an－1＋3，
12an＝Sn－Sn－1an＋4an－a2n－1－4an－1)， 8
从而(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0
因为{an}各项均为正数，所以an－an－1＝4.(6分)
所以，当a1＝1时，an＝4n－3；当a1＝3时，an＝4n－1.
又因为当a1＝1时，a1，a2，a7分别为1,5,25，构成等比数列，
－所以an＝4n－3，bn＝5n1.
当a1＝3时，a1，a2，a7分别为3,7,27，不构成等比数列，舍去．(11分)
(2)假设存在a，理由如下：(12分)
－由(1)知，an＝4n－3，bn＝5n1，从而
－an－lonabn＝4n－3－loga5n1＝4n－3－(n－1)?loga5＝(4－loga5)n－3＋loga5.
4由题意，得4－loga5＝0，所以a＝分)
3．如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任ab意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，
3BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为A(0,1)． 2
(1)求k1?k2的值；
(2)求MN的最小值；
(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；
如不过定点，请说明理由．
c3x22解 (1)因为eb＝1,解得a＝2,所以椭圆C的标准方程为y＝1. a242x设椭圆上点P(x0，y0)，有y20＝1， 4
y－1y＋1y21－1所以k1?k2＝＝.(4分) x0x0x04
(2)因为M，N在直线l：y＝－2上，设M(x1，－2)，N(x2，－2)，
x22由方程知＋y＝1知，A(0,1)，B(0，－1)， 4
－2－?－1?－2－13所以KBM?kAN＝，(6分) x1－0x2－0x1x2
1又由(1)知kAN?kBM＝k1?k2＝－x1x2＝－12，(8分) 4
12不妨设x1＜0，则x2＞0，则MN＝|x1－x2|＝x2－x1＝x2＋≥x243， x2x2
所以当且仅当x2＝－x1＝3时，MN取得最小值3.(10分)
(3)设M(x1，－2)，N(x2，－2)，
则以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y＋2)2＝0，(12分)
即x2＋(y＋2)2－12－(x1＋x2)x＝0，若圆过定点，
则有x＝0，x2＋(y＋2)2－12＝0，解得x＝0，y＝－2±23，
所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点(0，－2±23)．(16分)
24．已知函数f(x)＝x＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|；
??f′?x?，f?x?≥f′?x?(3)设函数g(x)＝?，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值． ?f?x?，f?x?＜f′?x??
解 (1)因为f(x)≤f′(x)，所以x2－2x＋1≤2a(1－x)，
又因为－2≤x≤－1，
x2－2x＋1?x2－2x＋11－x33?所以a≥?在x∈[－2，－1]≤a≥.(4分) ?2222?1－x??2?1－x??max
(2)因为f(x)＝|f′(x)|，所以x2＋2ax＋1＝2|x＋a|，
所以(x＋a)2－2|x＋a|＋1－a2＝0，则|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.(7分)
①当a＜－1时，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；
②当－1≤a≤1时，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a，所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；
③当a＞1时，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．(10分)
5．如图，在四棱锥P -ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC，点E在棱PB上，且PE＝2EB.
(1)求证：平面PAB⊥平面PCB；
(2)求证：PD∥平面EAC.
解 (1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PCB，
∴平面PAB⊥平面PCB.(6分)
(2)∵PA⊥底面ABCD，又AD?平面ABCD，∴PA⊥AD.
又∵PC⊥AD，又PC∩PA＝P，∴AD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，∴AC⊥AD.
π在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB＝BC，得∠BAC＝， 4
π∴∠DCA＝∠BAC又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．(4分) 4
∴DC＝2AC＝2AB)＝2AB.
DMDC连接BD，交AC于点M，则＝2. MBAB
PEDM在△BPD中，＝2，∴PD∥EM EBMB
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，∴PD∥平面EAC.(14分)
f(x)=(1)求证数列{1*P)在曲线y=f(x)上且an(an,-1=1,an＞0(n∈N). an?11}为等差数列，并求数列{an}的通项公式； a2
*22(2)设数列{a2
n?an?1}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N，存在正整数t，使得Sn＜t-t-1恒成立，求最小2
正整数t的值.
6.【解析】(1)∵-1
1111,∴-=4,所以{}是以1为首项，4为公差的等差数列. 222an?1anan
1=4n-3,∵an＞0,∴an
11112(?). (2)设bn=a2?==ann?14n?34n?144n?34n?
-+-+…+-)=(1-)＜, 44n?14
1*2对于任意的n∈N使得Sn＜t-t-恒成立， 2
11312所以只要≤t-t-,∴t≥或t≤-，所以存在最小的正整数t=2符合题意. 4222∴Sn=b1+b2+…+bn=
x227．如图，已知椭圆C：y＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的两个顶点． 4
→→→(1)设P是椭圆C上任意一点，若OP＝mOA＋nOB，求证：动点Q(m，n)在定
圆上运动，并求出定圆的方程；
(2)若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、
OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．
(1)证明 易求A(2,1)，B(－2,1)．(2分)
??x0＝2?m－n?，x2→→→02设P(x0，y0)，则y0＝1.由OP＝mOA＋nOB，得? 4?y0＝m＋n，?
4?m－n?211所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝上．(8分) 422
yy1(2)解 设M(x1，y1)，N(x2，y2)x1x24
2222222平方得x1x2＝16y1y2＝(4－x1)(4－x2)，即x1＋x22＝4.(10分)
因为直线MN的方程为(x2－x1)x－(y2－y1)y＋x1y2－x2y1＝0，
|x1y2－x2y1|所以O到直线MN的距离为d，(12分) ?x2－x1?＋?y2－y1??2?所以△OMN的面积S?d|x1y2－x2y1|＝x1y2＋x2y1－2x1x2y1y2＝ x1?1－4＋x2?1－4??21x2 2222
1＝x1＋x2＝1.故△OMN的面积为定值1.(16分) 2
8．已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋aln x(a为常数)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；
(2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．
1解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2＋x－ln x，则f′(x)＝2x＋1－(2分) x
所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.
所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为：y－2＝2(x－1)，即：y＝2x.(6分)
2a2x－?1＋2a?x＋a?2x－1??x－a?(2)由题意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋x＞0)， xxx
1由f′(x)＝0，得x1＝，x2＝a，(8分) 2
11①当0＜a＜时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜a或x＜1 22
1由f′(x)＜0，又知x＞0，得a＜x＜， 2
1?1，1，单调减区间是?a，，(10分) 所以函数f(x)的单调增区间是(0，a)和??2??22?2x－1?11②当a＝f′(x)＝≥0，且仅当x＝时，f′(x)＝0， 22x2
所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数．(11分)
11③当a＜1时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜a＜x＜1， 22
1由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜a， 2110，和(a,1)，单调减区间是?，a?，(13分) 所以函数f(x)的单调增区间是??2?2
1④当a≥1时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x 2
1由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜1， 2
110，，单调减区间是?1?.(16分) 所以函数f(x)的单调增区间是??2?2?
∴存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角．(16分)
9．如图，在四棱锥P -ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E是PD的中点，F为ED的中点．
(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；
(2)求证：CF∥平面BAE.
证明 (1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，(2分)
又AC⊥CD，且AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC，(4分)
又CD?平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD.(7分)
(2)取AE中点G，连接FG，BG.
1因为F为ED的中点，所以FG∥AD且FG＝AD.(9分) 2
11在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC＝60°，所以AC，所以BCAD.(11分) 22
在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠ACB＝60°，
从而∠ACB＝∠DAC，所以AD∥BC.
综上，FG∥BC，FG＝BC，四边形FGBC为平行四边形，所以CF∥BG.(13分)
又BG?平面BAE，CF?平面BAE，所以CF∥平面BAE.(14分)
10.(2012?山东高考)已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10=2a5.
(1)求数列{an}的通项公式；
*2m(2)对任意m∈N，将数列{an}中不大于7的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.
2.【解析】(1)设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn.由T5=105,a10=2a5,
5??5?1??d?105,?5a1?得? 解得a1=7,d=7. 2?a?9d?2?a?4d?,1?1
所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N).
*2m2m-12m-1(2)对m∈N，若an=7n≤7，则n≤7.因此bm=7，
所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列.
故Sm=*b1?1?qm?
1?q7?(1?49m)7?(72m?1)72m?1?7 ===. 1?494848
11．已知椭圆C：1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为23，P与椭圆长轴两顶点连线的斜ab2率之积为－.设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)． 3
4→→(1)若OA?OB＝(O为坐标原点)，求|y1－y2|的值； tan∠AOB
(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
yy2y22解 (1)由椭圆的定义知a＝3，设P(x，y)，则有＝－， 33x－3x3x3?3－x2?b2b22x2y22又点P在椭圆上，则b＝2，∴椭圆C的方程是1.(3分) 33323?x－3?
44→→→→→→∵OA?OB＝，∴|OA|?|OB|cos∠AOB＝|OA|?|OB|sin∠AOB＝4， tan∠AOBtan∠AOB
1→→1∴S△AOB＝|OA|?|OB|sin∠AOB＝2，又S△AOB＝|y1－y2|×1，故|y1－y2|＝4.(7分) 22
(2)假设存在一点Q(m,0)，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角，
依题意可知直线l斜率存在且不为零，
直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
y＝k?x－1?，??22由?xy消去y得(3k2＋2)x2－6
k2x＋3k2－6＝0，(9分) ??321
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1?x2＝3k＋23k＋2
∵直线QA，QB的倾斜角互为补角，
yy∴kQA＋kQB＝0，即＝0，(13分) x1－mx2－m
又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，
∴2×＋2m－(m＋1)×0，即2m－6＝0，∴m＝3， ＋2＋2
x＋2y－5＝0垂直，求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)当x≥1时，f(x)≤2x－3恒成立，求a的取值范围．
ax＋1解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，f′(x). x又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，
所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.(4分)
ax＋1(2)由f′(x)＝x＞0)， x
当a≥0时，f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
110，－； 当a＜0时，由f′(x)＞0，得0＜xf(x)的单调增区间为?a?a
11?.(10分) 由f′(x)＜0，得x＞－f(x)的单调减区间为??a?a
1(3)设g(x)＝aln x2x＋3，x∈[1，＋∞)， x
－2x2＋ax＋1a1则g′(x)＝＋－2＝. xxx令h(x)＝－2x2＋ax＋1，考虑到h(0)＝1＞0，
a当a≤1时，h(x)＝－2x2＋ax＋1的对称轴x＝＜1， 4
h(x)在[1，＋∞)上是减函数，h(x)≤h(1)＝a－1≤0，
所以g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上是减函数，
所以g(x)≤g(1)＝0，即f(x)≤2x2－3恒成立．
当a＞1时，令h(x)＝－2x2＋ax＋1＝0，
aa＋8a－a＋8得x1＝1，x20， 44
当x∈[1，x1)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，
g(x)在[1，x1)上是增函数；
当x∈(x1，＋∞)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，
g(x)在(x1，＋∞)上是减函数．
所以0＝g(1)＜g(x1)，即f(x1)＞2x1－3，不满足题意．
综上，a的取值范围为a≤1.(16分)
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文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y
1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝2，则a4等于(　　)A．5　　　　　　　　　　　&B．6C．7& &D．9答案：C2．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项公式an＝(　　)A．2n＋1& &B．2n－1C．2n& &D．2(n－1)答案：B3．△ABC三个内角A、B、C成等差数列，则B＝__________.解析：∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C.又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，∴B＝60°.答案：60°4．在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.解：(1)由题意，知a1＋&#d＝－1，a1＋&#d＝2.解得a1＝－5，d＝1.(2)由题意，知a1＋a1＋&#d＝12，a1＋&#d＝7.解得a1＝1，d＝2.∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17.&一、1．在等差数列{an}中，a1＝21，a7＝18，则公差d＝(　　)A.12& &B.13C．－12& &D．－13解析：选C.∵a7＝a1＋(7－1)d＝21＋6d＝18，∴d＝－12.2．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14＝(　　)A．45& &B．41C．39& &D．37 解析：选B.a6＝a2＋(6－2)d＝5＋4d＝17，解得d＝3.所以a14＝a2＋(14－2)d＝5＋12×3＝41.3．已知数列{an}对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　)A．公差为2的等差数列& B．公差为1的等差数列C．公差为－2的等差数列& D．非等差数列解析：选A.an＝2n＋1，∴an＋1－an＝2，应选A.4．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　)A．2& &B．3C．6& &D．9解析：选B.由题意得m＋2n＝82m＋n＝10，∴m＋n＝6，∴m、n的等差中项为3.5．下面数列中，是等差数列的有(　　)①4,5,6,7,8，…　②3,0，－3,0，－6，…　③0,0,0,0，…④110，210，310，410，… A．1个& &B．2个C．3个& &D．4个解析：选C.利用等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列．6．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为(　　)A．4& &B．5C．6& &D．7解析：选B.an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn得3n－1＝4n－6，∴n＝5.二、题7．已知等差数列{an}，an＝4n－3，则首项a1为__________，公差d为__________．解析：由an＝4n－3，知a1＝4×1－3＝1，d＝a2－a1＝(4×2－3)－1＝4，所以等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝4.答案：1　48．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝__________.解析：设等差数列的公差为d，首项为a1，则a3＝a1＋2d＝7；a5－a2＝3d＝6.∴d＝2，a1＝3.∴a6＝a1＋5d＝13.答案：139．已知数列{an}满足a2n＋1＝a2n＋4，且a1＝1，an＞0，则an＝________.解析：根据已知条件a2n＋1＝a2n＋4，即a2n＋1－a2n＝4，∴数列{a2n}是公差为4的等差数列，∴a2n＝a21＋(n－1)&#n－3.∵an＞0，∴an＝4n－3.答案：4n－3三、解答题10．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求它的通项公式．解：由an＝a1＋(n－1)d得10＝a1＋4d31＝a1＋11d，解得a1＝－2d＝3.∴等差数列的通项公式为an＝3n－5.11．已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2－10x＋16＝0的两个实根．(1)求此数列{an}的通项公式；(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：(1)由已知条件得a3＝2，a6＝8.又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d， ∴a1＋2d＝2a1＋5d＝8，解得a1＝－2d＝2.∴an＝－2＋(n－1)×2＝2n－4(n∈N*)．∴数列{an}的通项公式为an＝2n－4.(2)令268＝2n－4(n∈N*)，解得n＝136.∴268是此数列的第136项．12．已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)画出这个数列的图象；(3)判断这个数列的单调性．解：(1)由于(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1＝1，a3＝5，由于a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，解得d＝2，于是an＝2n－1.(2)图象是直线y＝2x－1上一些等间隔的点(如图)．&(3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列． 文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y
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