导读：《概率论与随机过程》第一章习题，1.写出下列随机试验的样本空间，C至少有一个发生的概率，（1）求恰有90个次品的概率，（2）至少有2个次品的概率，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？（2）在房，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？，随机地抽取一只测试，第4只次品管子在下列情况发现的概率，每次随机地取一只，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率，那么此《概率论与随机过程》第一章习题
1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5） 一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9） 有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
2. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1） A发生，B与C不发生。 （2） A与B都发生，而C不发生。 （3） A，B，C都发生。 （4） A，B，C中至少有一个发生。 （5） A，B，C都不发生。 （6） A，B，C中至多于一个发生。 （7） A，B，C中至多于二个发生。 （8） A，B，C中至少有二个发生。
3. 设S??1,2,?,10?,A??2,3,4?，B??3,4,5?，C??5,6,7?，具体写出下列各等式 （1）AB。 （2）A?B。 （3）AB。 （4） ABC。 （5）A(B?C)。
4. 设S?x0?x?2，A??x?1??1?x?1?，B??x?x??2??4（1）A?B。 （2）A?B。 （3）AB。 （4） AB。 ??3??，具体写出下列各式。 2? 5.
设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?14，P(AB)?P(CB)?0，P(AC)?18，求A，B，C至少有一个发生的概率。
6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。
7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？
（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？
8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。
9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A，B分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知P(A)?P(B)?0.4，P(AB)?0.28，求P(A/B)，P(B/A)及P(A?B)。
10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。 （1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。 （3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。
11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
12. 某工厂中，机器B1,B2,B3分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器B1,B2,B3生产的概率分别是多少？
13. 将二信息分别编码为A和B传送出去，接收站接收时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01。信息A与信息B传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？
14. 如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器接点闭合与否相互独立。求L至R连通的概率是多少？
15. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。飞机击中一次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。 16. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的概率质函数。 ?kk!17. （1）设随机变量X的概率质函数为P{X?k}?a，k?0,1,2,?,??0为常数，试确定常数a。 (2) 设随机变量X的概率质函数为P{X?k}?a，k?0,1,2,?,N?1，试确定常数a。 N 18. 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。 19. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。 20. 设随机变量X的分布函数为 F(x)????1?e?x,x?0,? ?0,x?0.（1） 求P{X?2},P{X?3}， （2）求概率密度f(x)。
21. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为??160，P{120?X?200}?0.80,允许?最大为多少？
22. 设随机变量X的概率质函数为 X ?2
30 求Y?X2的概率质函数。
23. 设X的概率密度为 ?2xf(x)????2,0?x??，求Y?sinX的概率密度。 ??0,其它 24. 设随机变量（X，Y）的概率密度为 ?f(x,y)???x2?xy,0?x?1,0?y??32, ?0,其它.求P{X?Y?1}。
25. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 f)???1,0?x?1,?e?y,y?0,?0,其它.
f?X(xY(y)????0,y?0. 试求随机变量Z=X+Y的概率密度。
26. 设随机变量（X，Y）的概率密度为 f(x,y)?1?y22??2exp(?x22?2),???x???,???y???。 求Z?X2?Y2的概率密度。 ?的正态分布，若要求27. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N(160,202)分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180 小时的概率。 28. 设随机变量X的概率质量函数为
0.3 求E(X),E(X2),E(3X2?5)。 29. 设X服从二项分布，其概率质量函数为 ?n?kn?kP?X?k????k??p(1?p),k?0,1,2,?,n.0?p?1. 求E(X)和D(X)。 ??30. 设X服从泊松分布，其概率质量函数为 ?ke??P?X?k??,k?0,1,2,?,??0. 求E(X)和D(X)。 k!31. 设X服从均匀分布，其概率密度函数为 ?1?,a?x?b,f(x)??b?a
求E(X)和D(X)。 ??0，其它，32. 设X服从正态分布，其概率密度函数为 ??x-??2?1f(x)?exp???，??0,???x???。 求E(X)和D(X)。 22????2??? 33. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。将球独立地，随机地放入4只盒子中去。以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第二号盒子是空的，第三只盒子至少有一只球），试求E[X]，D[X]。
34. 对于任意两个随机变量X，Y，证明下式成立： （1） D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)； （2） Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)。 ??e?x,x?035. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)??。求（1）Y=2X，（2）Y?e?2x的数学期望。 ?x?0?0,36. 设随机变量（X，Y）的概率密度函数为 ?K,0?x?1,0?y?x,f(x,y)??
试确定出常数K，并求E(XY)。 其它，?0,37. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。 利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在之间的概率。 ???e??x,x?038. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)??，其中??0为常数。求E(X)和D(X)。 ?0,x?0??xx2?39. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)???2exp(?2?2),x?0，其中??0为常数。求E(X)和D(X)。 ?0,x?0?40. 设随机变量X的概率质量函数为P?X?k??pqk?1，k?1,2,?。其中0?p?1,q?1?p为常数，则称X服从参数为p的几何分布。试求E(X)和D(X)。 1E(Y)、Cov(X,Y)。41. 设随机变量(X，Y)的概率密度函数为.f(x,y)?(x?y),0?x?2,0?y?2。求E(X)、 842. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。 （1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？ 43. (1)一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率0.10。为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。 (2)一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。 44. 某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。
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