Generalized Pareto Distribution （GPD）
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广义帕雷托分布
广义Pareto分布
MATLAB中如何产生pareto分布
函数   X = gprnd(X,K,sigma,theta,[M,N,...])  。当 sigma=theta 时，就可以生成通常的pareto分布。
X = gprnd(1/2,15,15,1,10^6)，即尾部参数为 alpha=2, 位置参数为 k = 15。
function r = gprnd(k,sigma,theta,varargin)
%GPRND Random arrays from the generalized Pareto distribution.
%   R = GPRND(K,SIGMA,THETA) returns an array of random numbers chosen from the
%   generalized Pareto (GP) distribution with tail index (shape) parameter K,
%   scale parameter SIGMA, and threshold (location) parameter THETA.  The size
%   of R is the common size of K, SIGMA, and THETA if all are arrays.  If any
%   parameter is a scalar, the size of R is the size of the other parameters.
%   R = GPRND(K,SIGMA,THETA,M,N,...) or R = GPRND(K,SIGMA,[M,N,...]) returns
%   an M-by-N-by-... array.
%   When K = 0 and THETA = 0, the GP is equivalent to the exponential
%   distribution.  When K & 0 and THETA = SIGMA, the GP is equivalent to the
%   Pareto distribution. The mean of the GP is not finite when K &= 1, and the
%   variance is not finite when K &= 1/2.  When K &= 0, the GP has positive
%   density for X&THETA, or, when K & 0, for 0 &= (X-THETA)/SIGMA &= -1/K.
%   See also GPCDF, GPFIT, GPINV, GPLIKE, GPPDF, GPSTAT, RANDOM.
%   GPRND uses the inversion method.
%   References:
%      [1] Embrechts, P., C. Klüppelberg, and T. Mikosch (1997) Modelling
%          Extremal Events for Insurance and Finance, Springer.
%      [2] Kotz, S. and S. Nadarajah (2001) Extreme Value Distributions:
%          Theory and Applications, World Scientific Publishing Company.
%   Copyright
The MathWorks, Inc.
%   $Revision: 1.1.6.1 $  $Date:
16:44:41 $
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求教概率论 一般Pareto分布设损失服从一般Pareto分布,其密度函数为：f(x)=rθ^r/[(θ+x)^(r+1)].且均值为33,方差为109^2,试确定该分布的95%分位数.并求其95%CTE﹙Conditional Tail Expection﹚即伪条件期望.打错。是“尾条件期望”。= =
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广义Pareto分布
华东师范大学 硕士学位论文 广义Pareto分布 姓名：南新艳 申请学位级别：硕士 专业：概率论与数理统计 指导教师：王静龙
摘要从Ｐａｒｃｔｏ分布的诞生到现在已有１５０多年的历史了．随着时间的推移、社会的发 展，Ｐａｒｃｔｏ分布也在不断地完善、改进、推广，从而形成了多种形式的Ｐａｒｃｔｏ分布、广 义Ｐａ＿ｒｃｔｏ分布乃至Ｐａｒｅｔｏ分布族．Ｐａｒｃｔｏ分布族由于其具有的优良性质得到诸多学科 研究者的青睐．本文首先对Ｐａｒｅｔｏ分布的发展作了简单的介绍，并介绍＿ｒ Ｐａｒｃｔｏ分布 族在经济学、社会学、环境学、保险精算学中的广泛应用．Ｐａｒｅｔｏ分布族中的两个分布已被列入精算师常用的八大分布之中，由此可见Ｐａｒｅｔｏ分布族的实际应用价值，也说明了我们对Ｐａｒｃｔｏ分布族研究的重要意义． 本文第二章分别介绍了Ｐａｒｅｔｏ分布族中各个分布的密度函数、矩、众数、Ｆｉｓｈｅｒ信 息阵、次序统计量、参数估计等一些性质，并介绍了Ｐａｒｃｔｏ分布族内各个分布之间以及它们与其它分布之间的相互关系．从而可以比较清楚地了解到Ｐａｒｃｔｏ分布族中的各个分布是如何发展而来的，它们之间有何关系，它们之间有什么区别．同时还可以了解到 Ｐａｒｅｔｏ分布族中的各个分布与均匀分布、Ｆ分布、Ｂｃｔａ分布以及ｚ分布之间的关系． 第三章是本文的重点。也是本文的重要创新之处．本章主要包括四部分内容，第一部 分主要描述广义Ｐａｒｅｔｏ分布的一些基本性质，给出广义Ｐａｒｃｔｏ分市的两种特殊形式， 并对广义Ｐａｒｅｔｏ分布的一些数字特征进行研究．用图的形式描述了不同参数取值对分布 形状及位性的不同影响，当参数ｐ取正整数时，采用数学归纳的方法推导出广义Ｐａｒｃｔｏ分布的分布函数，这是本文的创新点之一．第二部分主要是参数的估计，包括矩估计、极大似然估计、区间估计，以及基于正态逼近的一些推断．本文证明了矩估计和极大似 然估计的同变性，这是本文的又一创新点．对次序统计量的部分相关性质也作了研究． 第三部分主要研究假设检验，区间估计是一种参数的估计方法但同时也是一种参数假设 检验的方法，该部分对区间估计的检验方法进行了探讨．似然比方法足很重要的一种假 设检验方法，同样在本文中似然比检验方法发挥了其强大的威力．第四部分主要讨论了 广义Ｐａｒｃｔｏ分布在实际中的应用，并通过棒球运动员收入的例子和飓风损失的例子进行了说明．５ＡＢＳＴＲＡＣＴＰａｒｅｔｏ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ａｐｐｅａｒｅｄ １５０ ｙｅａｒｓ ａｇｏ．Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｓｏｃｉｅｔｙ，Ｐａｒｅｔｏｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ａｎｄ ｅｘｔｅｎｄｃｄ ｔｏ ｓｅｖｅｒｎｌ ｋｉｎｄｓ ｏｆ Ｐａｒｅｔｏ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ ｆｏｒｍｅｄ Ｐａｒｅｔｏ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ Ｆａｍｉｌｙ．Ｐａｒｅｔｏ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ Ｆａｍｉｌｙ ｄｅｓｅｒｖｅｓＳＯｍａｎｙｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓｌ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｉｔｓ’ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｄｅ－ ｖｅｌｏｐｍｃｎｔ ｏｆ Ｐａｒｅｔｏ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ Ｆａｍｉｌｙ ａｎｄ ｉｔ’Ｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｓｏｃｉｏｌｏｇｙ，Ｅｕｔｈｅｎｉｃｓ ａｎｄ Ａｃｔｕａｒｉａｌ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ Ｔｗｅ ｏｆ Ｐａｒｅｔｏ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ Ｆａｍｉｌｙ ｌｌａｖｅ ｏｆｔｅｎ ｂｅｅｎｔｏｕｓｅｄ ｂｙ ａｃｔｕａｒｙ．Ｓｏ，ｉｔ ｉｓ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｔｉｖｅｒｅｓｅａｒｃｈ Ｐａｒｅｔｏ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ Ｆａｍｉｌｙ．Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｅｎｓｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｍｏｍｅｎｔ，ｍｏｄｅ，Ｆｉｓｈ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｎｍｔｒｉｘ，ｏｒｄｅｒ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｐａｒｔ Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ａｍｏｎｇ ｔｈｅ ＰａｒｅｔｏＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ Ｆａｍｉｌｙ ｉｎｓｉｄｅ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｏｏ．Ｓｕｃｈ ｗｅＰａｒｅｔｏ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ Ｆａｍｉｌｙ．Ａｎｄ ｗｅｃａｎｃａｎｕｎｄｃｒｓｔａｎｄｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆｋｎｏｗ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｏｆＰａｒｅｔｏ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ Ｆａｍｉｌｙ ａｎｄ ｕｎｉｆｏｒｍ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，Ｆ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，Ｂｅｔａ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，Ｚ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ． Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｐａｒｅｔｏ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｐａｒｔ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｋｅｙｓｔｏｎｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｐａｒｅｔｏ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ Ｐａｒｅｔｏ ｄｉｓｔｒｉ― ｂｕｔｉｏｎｍｅｎｔｉｏｎｅｄｉｎ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｏｆ Ｌｉｈａｉｆｅｎ ｉｓ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅ ｉｓ Ｂａｓｅｄｏｎｅｘｔｅｎｄｅｄ，ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ．Ｔｈｅｉｓ ａｄｄｅｄ ｔｏ ｔｈｒｅｅｔｉｌｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｅｎｓｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｏｔｈｅｒ ｃｈａｒａｃｔｅｒｓ，ｔｈｅａｒｅｍｏｍｅｎｔ ａｎｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇｃｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｐａｒｅｔｏ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｍｏｍｅｎｔ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ，ｍａｘｉｍｕｍ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ａｎｄｉｎｔｃｒｖａＩ ｅｓｔｉｍａｔｏｒａｒｅａｎａｌｙｚｅｄ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｉｍ ｎｏｒｎｌａｌ ｉｎｆｅｒ．ｓｏＩｎｃ ｃｈａｒａｃｔｃｒｓ ｏｆ ｍａｘｉｍｕｍｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ Ｐａｒｅｔｏ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｒｅｒｅ．ｓｅａｒｃｈｅｄ．Ｏｒｄｅｌ’ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ ｉｔｓｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ Ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ―ｒａｔｉｏ ｔｅｓｔ ｉｓａａｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐａｒａｍｅｔｅｒｔｅｓｔｍｅｔｈｏｄ ｗｈｉｃｈ ｉｔ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄｔｏ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＰａｒｅｔｏ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｐａｒｅｔｏ ｄｉｓ．ａｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｐｌａｙ ｋｅｙ ｒｏｌｅ ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｃａｓｅｓ，ｓｕｃｈｉｎｃｏｍｅ ｄａｔａ ｅｘｃｅｅｄａｆｉｘｅｄｂｏｕｎｄ．ｈｕｒｒｉｃａｎｅ ｌｏｓｓ ａｎｄＳＯｏｎ．Ｉｔ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｏ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｐａｒｅｔｏ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ６南新艳硕士学位论文答辩委员会成员名单姓名职 教称 授单位备注 主席朱仲义 程依明 丁邦俊华东师范大学统计系 华东师范大学统计系 华东师范大学统计系副教授 副教授４学位论文独创性声明本人所呈变的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果．据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研 究成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明井表示谢 意．作者签名；镉≥ｉ斗４色日期；玉惦曩，学位论文授权使用声明本人完余了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位沦文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版．有权将学位论文用于非 赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅．有权将学位沦文的内容编入有关数据库进行检索．有权将学位论文的标题和摘要｝亡编出版．保密的学位论文在解密后 适用奉规定．学位论文作者签名嗍二艳ｊ３日期；知Ｆ．Ｆ、３，导师签名２嗍卜百日期：山甜ｒ．ｆ．９第一章§１绪论Ｐａｒｅｔｏ分布族的发展历史Ｐａｒｅｔｏ分布是根据出生在意大利的瑞士经济学教授Ｖｉｌｆｒｅｄｏ Ｐａｒｅｔｏ（１８４８―１９２３）的名 字来命名的．关于Ｐａｒｅｔｏ分布及其相似分布的研究源于１８９７年在罗马出版的由ＶｉｋｆｒｃｄｏＰａｒｃｔｏ著的经济学书． １一Ｐ（ｘ１＝Ｇｚｏ其中Ｆ（ｘ）为收入不超过ｚ的个体所占的比列．其中Ｃ为某个实数，ｏ为正数．这一分布我们称之为经典的Ｐａｒｅｔｏ分布．在Ｐａｒｅｔｏ分布刚刚出现的一段时期内，很多经济学家采用它对各种收入数据进行拟 合研究分析，曾经一度引起了Ｐａｒｅｔｏ分布应用的热潮．但随着经验的逐步积累，人们发 现Ｐａｒｅｔｏ分布并不适合用来拟合整个收入范围内的数据，只是对高收入人群部分的数据 拟合的比较好．这样Ｐａｒｃｔｏ分布的研究和应用进入ｒ相对低潮的阶段．相关研究人员开 始重新认真仔细地研究Ｐａｒｅｔｏ的一些性质和应用．事实上，收入分布是后尾分布，丽 Ｐａｒｅｔｏ分布是典型的偏态、后尾分布，因此Ｐａｒｃｔｏ分布理所当然地在研究收入分布的尾 部情况时发挥重要作用，正如正态分布在试验科学中所起的作用一样．在Ｐａｒｅｔｏ分布Ｆ（ｚ）＝ｌ―ＣＸｌ中，Ｑ称为Ｐａｒｅｔｏ指数，Ｐａｒｃｔｏ发现参数Ｑ 在１．５附近作微小的变化．因此他一直认为有某种潜在的规律来决定收入分布的形式． 例如在日本，每年个人所得税超过１０００万日元的人被称为“高收入纳税人”，他们的收入分布遵循Ｐａｒｅｔｏ规律，且Ｐａｒｅｔｏ指数通常在２．０左右变动，在日本经济泡沫破灭时， Ｐａｒｃｔｏ指数的变动范围为１．８―２．０．除个人收入外，公司高收入分布也遵循Ｐａｒｅｔｏ分 布，在日本年收入超过４，０００万日元的公司被称为“高收入公司”。它们的收入分布遵循Ｐａｒｃｔｏ规律，且Ｐａｒｅｔｏ指数在１．０附近变动．在经济领域中，经济学家主要致力于采用适当的方法对参数ａ进行估计．通常都假设ａ＞１，实践证明这个假设是很合理的．在Ｂｒｅｓｃｉａｎｉ．Ｔｕｒｒｏｎｉ（１９３９）中提出ｆ－“ａ的实际值落在相对较小的区间中，大于在１．５附近波动．”的观点，并且认为“引起ａ波动的原因更多 的是来自统计资料的不精确而非现实经济现象本身的原因４．３０年之后，Ｃｒａｍｅｒ（１９７１）记载有“在发达国家中，ａ的值已从１９世纪的１６―１８上升为１．９―２ｌ＊．在过去的６０年中，Ｐａｒｃｔｏ定律受到一些著名经济学家的反驳，如Ｐｉｇｏｕ（１９３２１、 Ｓｈｉｒｒａｓ（１９３５）、Ｈａｙａｋａｗａ（１９５１）但最近又有很多经济学家尝试用Ｐａｒｃｔｏ分布或其相近分布取解释一些经验现象如Ｓｔｃｉｎｄｌ（１９６５），Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ（１９６０，１９６３，１９６７），Ｈａｇｓｔｒｏｅｍ（１９６０）．第一章绪论华东师范大学硕士论文２Ｏｒｄ（１９７５）． 徐龙炳在《金融研究》中的“中国股票收益稳态特性”一文中指出，股票市场具有复杂的非线性动力系统的特征，既受确定性规律支配，同时又表现出某种随机现象，具 有时变性、随机性、模糊性的特点．早在有效市场假说完全形成之前，人们已经发现了市 场收益不符合正态分布的假定，收益率之间也不独立．大量的实证研究表明，股票收益 分布明显偏离正态分布，呈现厚尾特性，很多金融学家采用Ｐａｒｃｔｏ分布对此经济现象进行研究探讨．全民在医疗保健方面的消费情况对国家出台医疗政策有很大影响．经研究发现单个 病人的保健消费数据典型地呈现偏态、厚尾，Ｐａｒｅｔｏ被用来分析尾部情况．Ｐａｒｅｔｏ分布族在环境学中也有很广泛的应用，如对海浪，风力、气温、降雨等自然现象的研究很多都采用了Ｐａｒｅｔｏ分布族．ｓ Ｃａｂｒａｓ和Ｍ．Ｅ．Ｃａｓｔｅｌｌａｎｏｓ对Ｎｉｄｄ河流的 １９３４年到１９６９年的年度最大流量作了统计分析，该河流位于英格兰［ｈｍｓｉｎｇｏｒｅ Ｗｅｉｒ．洪水灾害带来的损失不可估量，科学地分析某地区历史降雨记录数据，准确有效地预测现有及未来降雨情况显得尤为重要．２００４年ＳｅｒｇｕｉＦＪｕａｒｅｚ等人用Ｐａｒｅｔｏ分布对自从１９０４年至２００２年月度累计降雨量超过３００ｍｍ的历史数据进行了探讨研究 一个多世纪以来随着Ｐａｒｅｔｏ分布在各个领域的广泛应用，对此感兴趣的学者越来越 多，并在不断研究的同时对Ｐａｒｅｔｏ分布进行改进发展得到多种推广形式，我们称之为广 义Ｐａｒｃｔｏ分布．前人的研究大多数是两个参数的Ｐａｒｅｔｏ，在本文中我们将对三参数的 广义Ｐａｒｅｔｏ分布进行研究．Ｐａｒｅｔｏ分布的最原始的形式如下Ｆ父（ｚ）＝Ｐ（Ｘ＞ｚ）＝（二）。， Ｘ这足Ｐｅａｒｓｏｎ一｝ｋ＞０，口＞０，ｚ≤七Ｖ１分布找们记为ｘ―Ｐ（州％，ａ）．ｎ８Ｐａｒｅｔｏ又提出两种Ｐａｒｅｔｏ分布，Ｐａｒｅｔｏ（ＩＩ）（Ｃ，ａ）分布（有时也称为Ｌｏｍａｘ分布），取（ｚ）＝１一万击币。≤０这也足ＰｃａｒｓｏｎＶｌ分布．Ｌｏｍａ．ｘ（１９５４）用该分布来对商业失败数据作分析．当Ｃ；ｌ时为标准Ｐ（ＩＩ）分布，其ｐｄｆ为ｐｘ（Ｘ）＝ａ（１＋￡）１～，ｚ＞０，ａ＞０生存函数为氏（ｚ）＝（１＋。）～， ｚ＞０， ａ＞０．随着理论和实际应用的需要，引入位置参数“，Ｐ（ＩＩ） 分布的生存函数为段（ｚ）＝（１＋！萨）一， ｚ＞ｐ．ｅ，Ⅱ＞０．通常肛非负，假定ａ大于 １，这样可以保证期望为有限值，该分布表示为尸（，驯ｐ，Ｇ口）．Ｐａｒｅｔｏ提出的第三种分布是取（ｚ）＝卜渤，ｚ＞ｏ?Ｉｚ十乙厂记为Ｘ―Ｐ（ＩＩＩ）（ａ，ｂ，ｃ）第一章绪论华东师范大学硕士论文３Ａｒｎｏｌｄ（１９８３）定义了Ｐ（ＩＶ）（Ｉｔ，叽１，ａ），其分布函数为Ｆｘ（ｚ）＝（１十（掣）ｌ／ｖ）～，ｚ＞芦，Ｑ，＂＞ｏＦｅｌｌｅｒ（１９７１）定义了一个Ｐａｒｅｔｏ分布，称为Ｆｅｌｌｅｒ―Ｐａｒｅｔｏ分布．构造方法如下：｛殳Ｙ是标准Ｂｅｔａ（７ｌ，ｍ）分布，令Ｗ＝Ｙ～一１．其密度函数为ｐｌ－（ｙ）＝（Ｂ（，ｙ１，似））～ｙ７１＿（１一ｇ）Ⅶ一，０＜Ｙ＜１，７ｌ，能＞０若７ｌ＝１，Ｗ是Ｌｏｍａｘ分布，Ａｒｎｏｌｄ（１９８３）指出ｐ＋ｄ（ｙ～一１）１足Ｆｅｌｌｅｒ―Ｐａｒｅｔｏ 的推广，若ｐ＝０该分布称为广义Ｆ分布，由Ｋａｌｂｆｌｅｉｓｃｈ和Ｐｒｅｎｔｉｃｅ（１９８０）推出．§２研究内容有些人认为Ｐａｒｅｔｏ分布只不过是“变换的指数分布”，因此并不值得单独对它进行 研究分析．而实际上，Ｐａｒｅｔｏ分布族及与其相关的推广在社会科学、经济科学、环境科 学、保险精算学等诸多领域得到了广泛的应用并发挥了重要的作用．在保险精算学中， 保险的损失数据一般都是非负的，常常是不对称的，后尾的，这就给精算师们提示了选 择损失分布的方向，在目翦精算师常用的八种分布中有两种分布是来自Ｐａｒｅｔｏ分布族， Ｐａｒｅｔｏ分布族在保险精算学中的重要性由此可见． 本文首先对Ｐａｒｅｔｏ分布的发展历史作简要的回顾和总结，以便我们可以用发展、整 体的眼光来看问题．在本文的第二章，按照Ｐａｒｃｔｏ分布族内各个分布发展的先后顺序比 较系统地，比较完善地进行了介绍和研究，对各个分布的密度函数、分布函数、矩、众位 数、Ｆｉｓｈｅｒ信息阵以及其它一些相关分布之间的相互推导、转化关系等性质进行ｒ探讨 研究． 第三章介绍广义Ｐａｒｅｔｏ分布，该章足本文的研究重点，也是本文的重要创新之处．本 章主要包括回部分内容．第一部分主要是广义Ｐａｒｅｔｏ分布的基本性质，给出广义Ｐａｒｅｔｏ 分布的两种特殊形式，并对广义Ｐａｒｅｔｏ分布的数字特征进行研究．用图的形式描述了不 同参数取值对分布形状及位置的不同影响，当参数口取正整数时，采用数学归纳的方法推导出广义Ｐａｒｅｔｏ分布的分布函数，这是本文的创新点之一．第二部分主要是参数的估计，包括矩估计．极大似然估计、区间估计，以及基于正态逼近的一些推断．本文证明了矩估计和极大似然估计的同变性，这是本文的又一创新点．对次序统计量的部分相关性质也作了研究．第三部分主要研究假设检验，区间估计是一种参数的估计方法但同时也 是一种参数假设检验的方法，该部分对区间估计的检验方法进行了探讨．似然比方法是 很重要的一种假设检验方法。同样在本文中似然比检验方法发挥了其强大的威力．第四 部分也是率章的最后一部分，主要讨论了广义Ｐａｒｅｔｏ分布在实际中的应用，并通过棒球 运动员收入的例子和飓风损失的例子进行了说明．第二章Ｐａｒｅｔｏ分布族在上一章的文献综述中我们已经大致ｒ解１－Ｐａｒｅｔｏ分布族的发展历史，并知道Ｐａｒｅｔｏ分布族在经济学、金融学、环境科学以及保险精算学中都有很广泛的直用，在本章中我 们将对Ｐａｒｃｔｏ分布族的各个分布比较详细地作一一介绍．§２．１标准Ｐａｒｅｔｏ分布标准Ｐａｒｅｔｏ分布实际上是Ｐａｒｃｔｏ分布族其它的分布如Ｐａｒｅｔｏ（１）、Ｐａｒｅｔｏ（ＩＩ）、 Ｐａｒｃｔｏ（ＩＩＩ）、Ｐａｘｅｔｏ（ＩＶ）、Ｆｅｌｌｅｒ―Ｐａｒｅｔｏ分布的一个特例，但是Ｐａｒｅｔｏ分布族中分布无法全部用标准Ｐａｒｅｔｏ分布的一个简单函数来表示，Ｆｅｌｌｅｒ―Ｐａｒｅｔｏ分布就不能用 标准Ｐａｒｅｔｏ分布的函数来表示，由此就决定了标准Ｐａｒｃｔｏ分布在Ｐａｒｅｔｏ分布族中的作用就不如标准正态分布在正态分布族中的作用那样重要． 定义２．１：若ｘ的分布函数为Ｆｋ（。）＝１一（１＋。）一１，则称Ｘ为标准Ｐａｒｅｔｏ分布． 其密度函数为ｚ＞０出）２高砰若ｘ来自标准Ｐａｒｅｔｏ分布，则Ｘ＿１也是标准Ｐａｒｅｔｏ分布．§２．２Ｐａｒｅｔｏ（Ｉ）（ａ，＆）分布该分布由Ｐａｒｅｔｏ提出，又称为Ｐｅａｒｓｏｎ（Ｖ１）分布．§２．２．１Ｐａｒｅｔｏ（Ｉ）（口，ａ）分布的定义定义２．２：若Ｘ的分布函数为Ｆ（ｚ）＝１一（；）～，ｘ＞ｏ我们称Ｘ为Ｐａｒｅｔｏ（１）（ａ，ｏ）分布．第二章Ｐａｘｅｔｏ分布族 §２．２．２华东师范大学硕士论文５Ｐａｒｅｔｏ（Ｉ）（口，ｏ）分布的数字特征其ｄ阶矩为：Ｅ（Ｘ６）＝∥（１一＆）～，期望为； 方差为：６＜ｎ众数为：ｍｏｄｅ（Ｘ）＝玎§２．２．３ｙ。ｒ（ｘ）＝面前面Ｅ（ｘ）＝ａ（１一击）ｉ１，ａ＞１ 。＞２Ｐａｒｅｔｏ（Ｉ）分布的相关性质（１）若Ｕ―ｒ（１，１）为标准指数分布随机变量，则Ｘ＝口ｅ：一Ｐ（联以ａ）（２）若Ｘ。，Ｘ２磐Ｐａｒｅｔｏ（１）（１，１），则Ｐ（ｘ。＋托＞ｚ）＝；＋―２ｌｏｇｉ（ｘ一－Ｉ）ｚ＞２（３）若ｘ…．．，置，…足独立同为Ｐ（州ｌ，ｏ）分布的ｒｖ．，Ｎ～Ｐｏｓｓｉｏｎ（７），且与ｘ…．．，五，…独立，记Ｙ＝∑Ｘ，则ｌ＝１Ｐ（ｙ＞Ｙ）一７Ｙ―ｏ其实这个结果并不依赖于Ｎ尾否足Ｐｏｓｓｉｏｎ分布，上式对任何取值为非负整数、期望为，ｙ的ｒｖ．Ｎ都成立．（４）若ｘ１，局，…，Ｘ。来自Ｐ（州口，Ｄ）的样本，令其次序统计量为ｘ（?）≤ｘ（２）≤…ｘ（ｎ），设如＞‰定义Ｒｋ小，一毫等，则＾２Ｒｈｂ兰Ⅱ％】＝ｈ＋ｌ其中％一Ｊｐ（，）（１，ｄ（ｎ―Ｊ＋１））．且Ｐ（Ｒｋｍｍ）＝豁叫¨删ＩｂＩｊ＝ｋ１４－１ｏ的１００（１―７）％的置信区间为ｍ。＞ｚ）＝∑。“ｍ小”，ｊ≠ｊ（旦芑≯） ｌ＝ｋｌｖ岩）。＋ｌ。（５）若ｘ－，恐，…，墨。独立同分布，Ｘ―Ｐ（，）（口，△）．当口已知时，有ｌｏａ（Ｘｄ，７）一ｒ（ｔ，。。），ｎ∑Ｉ。９（置加）一ｒ（ｎ，１）＇＝１第二章Ｐａｒｅｔｏ分布族华东师范大学硕士论文６其中：Ｔ＝∑％Ｉ ｌ。９（ｘ。／口），当Ｑ已知时，ｒ∥２（ｎ，１）是Ｆ（ｎ，１）约ｏ／２分位数． ｎａｌｏｇ（五ｎ／ａ）＾一ｒ（１，１）Ｏ－的１００（１―７）％置信区间为：［ｘ（１）（７／２）１／（“…，ｘ（１）（１―７／／２）Ｉ／（““’］当Ｊ，口都未知时，．ｎ占２五１）＇＆５ｅ∑细（五／ｘ（１））】＿１（寺，ａ）是（口，ａ）的强相合估计，且ａ，ａ相互独立．且有弛ａ一１～ｒ（ｎ一１，ｉ），７搬ｆ口９（玎夕盘）～ｒ（１，Ｉ）此时，（口，Ｑ）的ｌ０００一，ｙ）％置信域为：｛（盯，。） ａｃｌ＜ｎｏｔ＜ｄＧ，５ｅ一出／（Ｍ１＜盯＜寿ｅ一出／（“８’）其中：ｑ２ｄ１＝一ｌｏｇ（ｑ／２），ｑ＝１一川广＝了Ｆ，／２（ｎ一１，１），Ｇ＝ｒｌ一∥２（ｎ一１，１），ｄｌ…ｌｏｇｏ∥２），ｉ＝ｌ，２，－一，ｎ则Ｚ＝ｘ。／五的密度函数为：（６）若：ｒｉ―Ｐ（，）（％．，皿）蹦牡｛案鍪：，罴：一｛寒ａｌ＋ａ２ｔ蓉瓣）广嚣≤分布，则二者的混合分布为Ｐａｒｅｔｏ（Ｉ）分布［见Ｍａｇｕｉｒｅ，Ｐｅａ．ｔ＇ｓｏｎａｎｄ㈤（７）若Ｘ～尸（，）（七，ｏ），当Ｙ＝ｘ一１时，Ｙ的密度函数为Ｗ（，）＝ａｋｎⅣｎ～，０＜Ⅳ＜（８）Ｈａｒｒｉｓ（１９６８）指出若ｘ是参数为目的指数分布，０―１是取值范围从０开始的Ｂｅｔａ ｗｙｎｎ（１９５２）ｊ．事实上，若Ｐ（Ｘ≤。ｆ口）＝１一ｅ一２朋且卢＝Ｏ－１服从Ｇａｍｍａ分布Ｐ（卢）。寄第二章Ｐａｒｅｔｏ分布族则华东师范大学硕士论文７跗≤ｚ）＝南Ｚｏｏｒｌｅ“朋（１－－ｅ－ｔｘ）出 ＝－一南Ｊ（。。ｒＰ啦妒１）ｄｔ ２卜石丽ＪｃＰ１８１９”＝１一（ｐ。＋１）一１§２．３Ｐａｒｅｔｏ（ＩＩ）（＃，仃，＆）分布该分布由Ｐａｒｅｔｏ提出，是Ｐｅａｒｓｏｎ（ＶＩ）分布，又称为Ｌｏｍａｘ分布．Ｌｏｍａｘ用该分 布对商业失败数据进行分析．§２．３．１Ｐａｒｅｔｏ（ＩＩ）（＃，ｏ－，ｎ）分布的定义定义２．３：若Ｘ的分布函数为：脚）＝?一（Ｈ孚）一ｚ＞舭＞?我们称Ｘ为Ｐａｒｅｔｏ（ＩＩ）（ｐ，口，ｎ）分布．§２．３．２Ｐａｒｅｔｏ（ＩＩ）（／２，ｏ－１＆）分布的数字特征期望掣）＝盟高必＝南ａ＞ｌ众数：ｍｏｄｅ（Ｘ）＝ｐ§２．３．３方差：Ｖａｔ（Ｘ）＝Ｅ（ｘ２）“２㈤＝Ｆ褊Ｐａｒｅｔｏ（ＩＩ）（＃，Ｊ．ｏＬ）分布的相关性质ｄ瓶跗弘煎≮擎业－ｉ＜５＜ｃｔ（１）若ｘ１，％，?．，，．ｋ来自Ｐａｒｅｔｏ（１Ｉ）（＃，吒ｄ）的样本，则墨１）＝ｍｉｎ（Ｘｌ，．ｋ，－，ｘ。）是芦的相合估计，若假设以。已知，则Ｘ（Ｏ是卢的极大似然估计．（２）Ｐ（１１）（Ｏ，口，ｏｔ）的Ｆｉｓｈｅｒ信息矩阵为Ｊ＝（意一甲１）第二章Ｐａｒｅｔｏ分布族华东师范大学硕士论文８（３）若ｕ～ｕ（ｏ，１）（卢一ｏｒ）＋，ＴＵ一１／。～Ｐ（，，）（ｐ，ｄｒ，ｄ） （４）若Ｕ―ｒｏ，１）为标准指数随机变量，则Ｘ＝ｐ十ｏｒ（ｅｌ一１）一Ｐ（，，）（肛，ｄｒ，＆）§２．４§２．４．１Ｐａｒｅｔｏ（ＩＩＩ）（／１，仃，７）分布Ｐａｒｅｔｏ（ＩＩＩ）（ｐ，ｏｒ，１）分布的定义定义２．４：若Ｘ的分布函数为；Ｆ（ｚ）＝１一（１＋（孚）矿。＞咿＞吣＞ｏ我们称Ｘ为Ｐａｒｅｔｏ（ＩＩＩ）（＃，ｏｒ，７）分布．§２．４．２Ｐａｒｅｔｏ（ＩＩＩ）（＃，‘７）分布的数字特征一７―１＜ｄ＜７―１６阶矩：Ｅ（Ｘ６）＝ｏｒ６ｒｏ一１６）ｒ（１＋＂／５） 期望：Ｅ（Ｘ）＝ａｒ（１―７）ｒ（１ ４－－ｆ）一７－１＜６＜７＿１众数；ｒｎｏｄｅ（Ｘ）＝ｐ十口（（１―７）／（１＋，ｙ）】１，，ｙ＜ｌ§２．４．３Ｐａｒｅｔｏ（ＩＩＩ）（ｐ，ｏｒ，７）分布的相关性质（１）若Ｘ来自标准Ｐａｒｅｔｏ分布，则Ｚ＝ｐ＋ａＸ７～Ｐ（Ｊｊ州ｐ，口，７）． （２）若墨，恐，…，以来自Ｐ（ＩＩＩ）（Ｏ，ｏｒ，ｏ），Ｕ－，巩Ａ带，…，巩时来自Ｕ（０１）的样本，ＵＯ）≤歇２１≤…≤∥㈤为其次序缀计量，对ｋ２＞≈１有鼍㈦／Ｘ（¨兰［（ｕ＝¨。）／（∥３。＋，）】，（３）Ｐ（ＩＩＩ）（Ｏ，口，７）的Ｆｉｓｈｅｒ信息矩阵为Ｊ＝（孛毒）（４）若Ｕ―ｕ（ｏ，１），则卢＋矿（矿一１―１）１～ＰｆｆＨ）（＃，口，７）第二章Ｐａｒｃｔｏ分布族华东师范大学硕士论文９§２．５Ｐａｒｅｔｏ（ＩＶ）分布该分布有Ａｒｎｏｌｄ在１９８３年提出．§２．５．１ｐａｒｅｔｏ（ＩＶ）分布的定义定义２．５：若Ｘ的分布函数为：Ｆ（ｚ）＝１一（１十（孚）÷）一Ｉ Ｏ＂＞帅＞帅＞ｏ我们称ｘ为Ｐａｒｅｔｏ（ＩＶ）分布．§２．５．２ｐａｒｅｔｏ（ＩＶ）分布的矩及其相关性质一＇一１＜６＜了一１７＜１（１）Ｅ（ｘ５）＝盯６ｒ（Ｑ一７６）ｒ（１―７６）（２）ｍｏｄｅ（Ｘ）＝ｐ＋口［（１―７）／（ｏ＋７）】’，（３）ｘｌ，为独立，Ｘｉ―Ｐａｒｃｔｏ（Ｗ）（肚．口，７，口。）ｚ＝１，２则 ｍｉｎ（Ｘ】，恐）～Ｐ（，ｙ）∞，盯，７１Ｑｌ＋Ｏｔ２）（４ｋ―ａ（ｐ）几何分布，Ｘ／。一Ｐ（，ｎ（ｐ，ｏ－，１，，ｏ），则蹦＞ｚ）２萎矿１（１＋（半）Ｖ“）１ ＝（１＋（可ｍ－＃）１／１）。’．ｘ―Ｐ（，Ⅳ）（卢，ｃｒｐ＇Ｙ，７）（５）ｘｉ，恐，…，墨。时来自Ｐ（１Ｖ）的样本，ｘｔｌ），甄卧…，甄。）为莛相应的次序统计量．因为Ｘ（１）＞ｚ铮五＞ｚ 对所有ｉ都成立．所以ｘ１，ｘ２，，一，ｘｎ～Ｐ（Ｉ Ｌ７）（ｐ，口，１，ａ）：争ｘ（１）～Ｐ（，ｙ）（“盯，７，ｎｎ） Ｐ（ＩＶ）（Ｏ，吒７，。）的Ｆｉｓｈｅｒ信息矩阵为！ｆ生ｉ １ ２二业ｆ！）±！ｊ＝１离１｛１５口（口＋２Ｊ璺【ｉ丛生二型１２＝！ｌ兰±生ｆ虫±业！（叫±！【生ｆ生二生【！址中（Ｄ＋２）妒（口）一ｐ（１）一１’（五干币第二章Ｐａｒｅｔｏ分布族华东师范大学硕士论文１０§２．６§２．６．１Ｆｅｌｌｅｒ―Ｐａｒｅｔｏ分布Ｆｅｌｌｅｒ―Ｐａｒｅｔｏ分布的定义１９７１年，Ｆｅｌｌｅｒ用一种不同的方法定义了一个Ｐａｒｅｔｏ分布，Ｙ―Ｂｅｔａ（７ｌ，７２） ／Ｙ（ｙ）５ｌ暖而１Ⅳ”一１（１一ｇ）“一１，ｏ＜Ⅳ＜ｌ对实数弘，玎＞０，＇＞０，我们定义ｗ＝ｐ＋盯（ｙ～一ｌＰ，Ｗ的分布为Ｆｅｌｌｅ卜Ｐａｒｅｔｏ分布，记为Ｗ―ＦＰ（“仃，７，７１，７２）．其密度函数为如（卟丽１（半）恤ｎ卜１（，十（孚）聊）’～ｍ＞卢Ｐａｒｅｔｏ（ＩＶ）（ｐ，盯，７，０１）＝ＦＰ（ｐ，ｏｒ，７，ａ，１）当２＂２＝ｌ时，Ｐａｒｅｔｏ（ＩＶ）与Ｆｅｌｌｅｒ―Ｐａｒｅｔｏ是一致的，即§２．６．２ 众数Ｆｅｌｌｅｒ－Ｐａｒｅｔｏ分布的数字特征及其相关性质Ｗ～ＦＰ（芦，盯，７，７ｌ，蚀），当，ｙ≤＂Ｙ２时，ｍｏｄｅ（Ｗ）＝灿＋盯【（舰一＇）／（７ｌ＋７）１１矩 若Ｗ＾Ｊ ＦＰ（，ｕ，ｏｒ，７，７１，，ｙ２），Ｗ＋＝（Ｗ一弘）／口，贝４ Ｗ’一ＦＰ（Ｏ，１，ｍ７１，加）实际上，Ｗ’＝（Ｙ～一１），其中ｙ―Ｂｅｔａ（＇７ｔ，ｍ）下面计算ｄ阶矩Ｅ（∥）＝Ｅ［（Ｙ－＊－１∥１＝Ｚ１丽％（了Ｉ－－ｙ，，一６眇－１（１刊一曲：皇！！！二！至丝±！盟日（７ｌ，加）：！ｆ２１二！坐堕±型ｒ（１?）ｒ（ｍ）一竺＜Ｊ＜卫７＇Ｅ（Ｗ‘）＝∑名。（；）矿一Ｊｏｒ’（ｒ（７ｌ―Ｊ７）ｒ（ｍ＋ｊ，ｙ））／ｒ（讯）ｒ（他）女＜７。ＨＦＰ（“口，，ｙ，，ｙｔ，１２）分布，假定灿是已知的，不失一般性令卢＝０，则ＦＰ（Ｏ，ｏｒ，＇，７ｌ，协） 的Ｆｉｓｈｅｒ信息矩阵为第二章Ｐａｒｅｔｏ分布族华东师范大学硕士论文１１雕引其中猎）２一瓣］Ｉ札＝１４３＝一掣ｈｌ＋１２１ ，黜＝妒’（１也）一妒’（１ Ｊ＋７２） 其中，１】ｆ，（ｄ）＝ｒ’（ｎ）／ｒ（ｎ），币’（ｎ）＝ｄ’ｂ（ａ）／ｄａ§２．７Ｐａｒｅｔｏ分布族各分布之间的关系其实Ｐａｒｅｔｏ（１），Ｐａｒｅｔｏ（ＩＩ），Ｐａｒｅｔｏ（１ｌＩ）足Ｐａｒｅｔｏ（ＩＶ）的特殊形式 Ｐ（Ｊ）（盯，ｏ）＝Ｐ（，ｙ）（盯，盯，，ｙ，ａ） Ｐ（，，）（肛，口，Ｑ）＝Ｐ（，ｙ）（卢，ｄ，１，ｎ）Ｐ（，』，）（ｐ，口，７）＝尸（，ｙ）（ｐ，口，％１）０?若ｘ１，为，…，％是来自标准Ｐａｒｅｔｏ分布的样本，Ｆ（ｚ）＝１一（１＋ｚ）～，ｚ＞ ｘ（１）为第ｉ个次序统计量，则五ｉ）一ＦＰ（Ｏ，１，１，ｎ一｛＋１，ｉ）．若Ｘｌ，尥，…，％来自Ｐ（，，，）（ｐ，盯，７，ｎ―ｉ十ｌ，ｉ）＝争墨，）～ＦＰ（Ｉ』，盯，，ｙ，礼第三章广义Ｐａｒｅｔｏ分布统汁学在社会、经济等领域的应用日益广泛，在保险精算学中也不例外．Ｐａｒｃｔｏ分 布在保险的损失数据分布的拟合中发挥着重要的作用，精算师们在工作实践中逐渐发现 有些损失数据用一种推广的Ｐａｒｅｔｏ分布来拟合效果会更好，由此就引起了统计学家对下 面要介绍的广义Ｐａｒｅｔｏ分布的研究兴趣，从而推动了广义Ｐａｒｃｔｏ分布的研究和应用．§３．１广义Ｐａｒｅｔｏ分布的基本性质§３．１．１广义Ｐａｒｅｔｏ分布的定义 若Ｘ的密度函数为ｐｃ功＝黼煮斋出，＝黼高藉…慨ｍ，则称Ｘ服从广义Ｐａｒｅｔｏ分布，简记为ＣＰ分布。§３．１．２ＧＰ分布的特例当卢＝１时，该广义Ｐａｒｅｔｏ分布的密度函数变为；人们通常用ｐ＝１时的分布来拟合数据．这时的Ｐａｒｅｔｏ分布仅有两个参数，计算简单． 但是，有的时候拟合情况欠佳，人们开始采用三参数的广义Ｐａｒｅｔｏ分布来拟合数据． 当Ａ＝ｌ时，该广义Ｐａｒｅｔｏ分布的密度函数变为：出，＝黼熹≥…江＂，这是广义Ｐａｒｅｔｏ分布的另一个特例，它实际上足Ｆｉｓｈｅｒ Ｚ分布族，简称为Ｚ分布，记为ｚ（Ｑ，卢），其中ａ与卢是两个正参数．参数ａ的变化将导致Ｚ分布密度函数形状的变化，当△≤ｌ时，ｐ（ｘ）对严格递减函数；当ｎ＞１时，ｐ（ｘ）是单峰函数，且在精处达到最大值．本文主要研究广义Ｐａｒｅｔｏ分布的一般形式，它的一些特殊形式的性质可以由一般形式的性质来得到．１２第三章广义Ｐａｒｅｔｏ分布华东师范大学硕士沦文１３参数向量（ｏ，卢，Ａ）的变化导致广义Ｐａｒｃｔｏ分布密度曲线的变化，下面给出了不同参数值下的广义Ｐａｒｃｔｏ（记为ＧＰ）分布的概率密度函数图像。图（３）镰ｌ章广义Ｐａｒｅｔｏ舟毒华东师范大学硕士｝仑文１４§３．２ＧＰ分布的分布函数随机变量的取值带有不确定性，要想元整地描述陋机变量的特祉，全向揭不随机受量取值的发生机制，探求随机想象客观存在的规律性，对分布函数的研究足很有必要的， 下面我们就用数学归纳方法来给出在ｐ取正整数时广义Ｐａｒｅｔｏ随机变量的分布函数的 表达式． 当Ｚ＝Ｉ时，ｐ（￡）：了羔，ｚ＞ｏ，Ｑ＞ｏ，Ａ＞ｏ ｐ（。）２ｉＸ－＝Ｆ丽，ｚ＞ｏ，ｏ＞ｏ，Ａ＞ｏ州垆一等等＜。，肿）＝Ｊ（‘群备虻－一（杰）。因此，当ｐ＝ｌ时，ｐ（ｘ）为减函数。我们用Ｒ（￡）来表示当芦＝ｉ时的分布函数，则当口＝２时．ｐ（ｚ）＝ｎ（。＋１）淼，ｚ＞。，口＞。，Ａ＞。Ｆ２（￡）＝小ａ删斋斋 （一群鲁）卜Ｚ‘群洁ｄｚ瞅，一高＊ ?一（圭）。（，十羔）当ｐ＝３时ｐ（ｚ）＝１４璺一＝掣ｉｘ；；：每，ｚ＞。，ｎ＞。，ａ＞。第三章Ｐ－Ｘ Ｐａｒｅｒｏ分布华东师范大学硕士论文１５乃（￡）＝／ ！ｉ！±１２１１±兰２ ２Ｊ０爻６０２（Ａ ４－ｚ）。＋３１＝ｆ一ｎ（ｏ ４－１）舻ｚ２２Ｒ（ｏ）一（Ａ ４－ｚ）”２ ｎ（＆４－１）舻ｔ２）Ｉ＋ＪＯＯｔＯＺｃ川，斋斋ａｚ＝?一丽１（熹）（啦）＋等南十帮（南）２）当ｐ＝４时，２（Ａ ４－￡）ｏ＋２，（ｚ）＝！』竺二三ｊ±ｉ！掣ｉｘｊ；；；苫，ｚ＞。，。＞。，Ａ＞。Ａｏ一Ｒ（ｔ）ｔ坚堂≯幽 丙丽们＆（ｏ＋１）（ｏ ４－２）＂ｚ３ ６（Ａ ４－ｚ）ｏ＋３ ａ（Ｑ ４－１）陋＋２）＂ｔ３ Ｆ３（ｔ）一 ６（Ａ＋￡１ａ＋３）卜上。１堕±！！！竺±！！―丝二 ｔＩ茁２（＾＋ｚ）“３－一丽１（熹）。（啦）十耕南＋帮（杰）２＋帮（南）３肿）－ｌ一丽１（熹）。（器＋帮两ｔ卜．＋掣（击）卜１）由上述推导的分布函数可以看出，当卢＝女时，广义Ｐａｒｃｔｏ分布的分布函数为下面采用数学归纳法对广义Ｐａｘｅｔｏ分布的分布函数形式进行证明卢＝１时，肿，＝Ｊ（‘群籍ｄｘ＝］－ｃ击，。础）＝ｌ一丽１（南）。（鬻＋耕丽ｔ扣．＋紫（南）“１）假设当ｐ＝ｋ时， 当声一七＋１时，密度函数为Ａｏｚ。 ｒ（ａ＋％＋１１ ｐ（ｘ１＝ ｒ（ｏ）ｒ（七十１）（Ａ＋。）ｏ＋。＋１ ｚ＞０．口＞０．Ａ＞０第三章 所以广义Ｐａｒｅｔｏ分布华东师范大学硕士论文１６枷，＝ｆＯｔ粼南出 ＝（一志筹糌）Ｉ＋Ｚ。黼誊杀 Ｌ一碌丽万玎而两几十上承面两虿而 ＝踯卜丽１（熹）。（黼（南）‘）２＝，一丽１（熹）。（踹＋帮两ｔ卜．＋黼（南）‘）§３．３即㈦一志（熹）。（器＋帮丽ｔ扣－＋端ＧＰ分布的矩估计§３．３．１由数学归纳法可以证明在ｐ取正整数时，ＯＰ（ａ，口，Ａ）的分布函数为ＧＰ分布的矩估计的计算ｚ＝ＥＸ＝厂黼筹知血 ２―可研矿“２ ＝等器铲ａ＝当Ａ。＞， 弘。＝脚＝Ｚ”黼煮鲁出ｐｉ１＾ｏ¨ｙｎｒｘ＝日ｘ２一（Ｅｘ）２＝（￡坚言群一！垫吝录料）ａ２ｒ（Ｑ１ｒ、（ｐ１ｐ＊＝删＝厂黼两Ａｃｌａ：（ｇ一＋ｋ）－Ｉ妇 ：―ｒ（―ｏ齐－弋ｋ）ｉｒ（鬲ｆｉ－＋ｋ）舻“＝等器铲牡器”…“… ａ＞≈根据上述的各阶矩，我们可以有如下方法得到参数的矩估计设ｘＨ一，五。屉来自ＧＰ总体的一个样本。以脚记总体的ｒ阶原点矩，ｍ，记由Ｘ”一，虬得到的ｒ阶样本原点矩，即第三章广义Ｐａｒｅｔｏ分布华东师范大学硕士论文１７舻删；ｍ，一：壹Ｗ仨虢由下述方程式可解得（ｏ，芦，＾）占－｛舒＝躺Ａ 【筮＝躺Ａ＝｜ｉｆ ｐ。＝告Ａ（３－３１）（３删 （３删（３．２ ４）段ｍ出脚鹦瞄 铲铲（３ ２．５）邮删得：卢＝（糍哥一－）。将ｐ代入（３．３，５）中解得：卢＝（；蠢三｛考）一１＝石孬ｉ笔号潍皇啦（芦。，芦。，芦。）铲一锩兰辨皇咖－脚肭）ｇｌ（ｍ－，ｍ。，ｍ。）则ａ＝面２。／ｑ一／．ｔ２３卢－ｌ十２＃蕊；＋１垒９，（芦ｔ，弘。，脚）＆＝鬲而２。ｍ―ｌｍ２３。－－；＋２ｍ而；＋１－６ｓ阳慕哥Ｐ＝意毫意２篙籍２９２㈨ｍ舢，２铲ｍ－＝篇慕篱毫静垒咖。，‰ｍ。，第三章 §３，３，２广义Ｐａｒｃｔｏ分布华东师范大学硕士论文１８ＧＰ分布的矩佑计魄基本性质设ｘ―ＧＰ（ａ，卢，Ａ），ｘ的密度函数为出，＝黼煮鲁…！！！±旦现使Ｘ发生量纲变化，即Ｘ变为☆．Ｘ，记Ｙ＝≈?Ｘ，则Ｙ的密度函数为咖，＝黼器 即ｙ…ｋＸｉ：！！：！ｒ（ｏ）ｒ（口）（南＾＋ｙ）４＋口Ｇ尸（ｎ，阢从），参数乜，卢不变，Ａ变为从，正好与白变量ｘ发生了同级量纲变化．上述性质要求Ｏｔ，口，Ａ的估计满足以下条件 ａ（ｘｌ，?一，ｘ。）＝＆（ｋｘｌ，，．．，ｋｘ二）ｆｌ（ｘｌ，…，Ｘ。）＝ｆｌ（ｋＸ¨一，％％）七Ａ（ｘ１，－??，．ｘ。）＝Ａ（女．）ｆ１，，??，七．ｘｊ） 这口ｑ做估计的同变性，结合上述性质，我们对广义Ｐａｒｅｔｏ分布的矩估计进行观察发现，ａ一１的分子、分 母都是五的四次齐次多项式，这就意味着当置的量纲发生变化时，ｄ一１估计值是不 变的，即不受自变量的量纲的影响．例如自变量取值由墨变为Ｋ＋咒时，先后两次的参 数估计ａ是相同的．同理，母的分子、分母都是墨的五次齐次多项式，故卢是与自变量的量纲无关的参数估计．但Ａ的情况就不同了。我们观察会发现＾的分子部分是五的五次齐次多项式，而分母部分足置的四次齐次多项式，这样就导致＾会和自变量ｘ的取值发生同级量纲的变化．也就是说，广义Ｐａｒｅｔｏ分布的矩估计具有同变性．§３．３．３ＧＰ分布的矩估计的渐近正态性矩估计有两个基本特点．其一，矩估计基于经验分布函数，而经验分布函数逼近真实分布函数的前提条件是样本容量较大，因而理论上讲，矩方法是以大样本为对象的Ｉ 其二，矩方法没有用到总体分布的任何信息，本质上讲它是一种非参数方法，对已知的 总体分布来说，矩估计不一定是一个好的估计．虽然如此，人们一般不把矩方法完全当 成非参数方法，它在小样本场合也常得到应用．事实上，在许多场合，矩估计由许多优 良的性质。对一般情况下的矩估计，通常只能考虑它的大样本性质，下面的定理来自参 考文献『２９１’它们给出了矩估计的大样本性质，证明从略．定理３．１设置，尥，…，ｊ‘为独立同分布变量序列，ＥｌＸｌｏ＜ｏ。．记目＝（口¨．，，吼）’，并设ｇ是连续的，则矩估计日＝ｇ（ｍＨ－．，ｍ。）是口的相台估计．第三章广义Ｐｓｘｅｔｏ分布华东师范大学硕士论文ｎ１９定理３．２设ｘ】’五，～，Ｘｎ为独立同分布变量序列。Ｅ（霸）＝胁，ｍ，＝：∑碍，ｒ＝ｔ＝１Ｌ．，∥第行 ．， ●，一／～¨扎，引、躺 则／，●＼列 ？桃朊 ＼、● ●／素㈦卜，蹦一‰埚…。６；９∽ ＝ 引 “，一．，叫为Ｅ的定理３．３设ｓ维随机变量序列ｘ－，ｘ２，…，ｊ‘，有渐近正态性佩ｋ＂ ㈣Ｅ Ｍ．㈦一Ｕ引鲰ｍ一∞心＼、● ／勘＠曲／，ｌ，●＼ｉ。～．．．在以＊勾 中 ０翡 一溅 ， ●＼内 连 续烟辫；舞ｉ。～卜缀：瓣、，丽（ｇ（ｘ。）～９（ｐ））三＾‘（ｏ，ｇ’（ｐ）Ｅ（９，（ｐ））７）ｘｌ，恐，…，墨。是来自广义Ｐａｒｅｔｏ分布的样本，应用上述定理得到椎）其中ｒＥ３×３＝， Ｊ●Ｉ ●、＼一， ｒ－●Ｉ ● 、＼肛肛ｐｉ＼ ｌ三Ⅳ３（ｏ，Ｅｓ。。） ＼、● ● ／ ）Ⅳ３一卢ｌ肛２ｐ４一ｐＩｐ３、ｐ５一ｐ２芦３一２舻４一鹰芦５一肛２卢３芦№№一啊娜邮３卢６一ｐ；／ｌ９ｌ（￡１，ｔ２，ｔ３）＝９２（ｔｌ，ｔ２，ｔａ）＝ｇａ（ｔｌ，ｔ２，ｔ３）＝意ｔ２ｔ３镪２ｔ；ｔ３ 豢精＋￡ｌ《一币ｉ曩南¨ 意％惫¨ｔｌ如～２《＋￡：￡２第三章广义Ｐａｒｅｔｏ分布华东师范大学硕士论文２０Ｇ。ｘａ＝∥ｃ“，＝（蒸蓑ｕ＃２蓑＃３）其中却ｌａ弘１∞ｌｄ＃２却ｌ０似３＝＝＝｜｜―２ｐ；ｐ３―２ｐ：“２芦３ ４－４卢１卢２ （ｐ１芦３―２，ｕ１ ４－ｐ：芦２）２ ４ｐ】ｐ２ｐ３―２ｐ２１肛；一２卢：ｐ３ （卢ｌｐ３―２卢；十卢：ｐ２）２ ―２卢ｌ卢ｊ十２卢｝“２ （ｐｌｐ３～２ｐ；４－ｐ２１ｐ２）２ ―２≠王２ｔｐ２２弘３ ４－４芦ｌ芦２壤一２ｐ；弘３ （卢２卢３十ｐ２肛ｌｐ！一２卢ｊ肛３）２ ―２ｐｌｐ２２肛３十４肛：卢２“３―２芦２ｌ卢； （芦２芦３十‘也芦ｌｐ；一２ｐｊｐ３）２ ―２肛ｉｐ；十２ｐｌ／．ｔ！ （ｐ２卢３ ４－ｐ２ｐｌ卢；一２ｐ；卢３）２ ６ｐ】卢２２ｐ３―２詹“：一弘２ｌ肛ｉ一２ｐ！一ｐ２卢； （卢ｌｐ３―２ｐ；＋肛：ｐ２）２｜｜二！些ｉ些！绝±苎！些；二！些；些！±些！苎；±！兰ｉ苎！（ｐ１弘３―２ｐ；４－ｐ；卢２）２ ４ｐ２ｌｐ；一２弘：ｐ２―２，ｕ２（ｐｌ卢３―２ｕ；４－卢ｊ卢？）２‰丽ｃ砉＝一（害＝慨一弧‰～籼瓠一ｃ砉＝‰丽＝因为ｍｔ三芦１，仉２三肛２，ｍ３三脚，故将上述∑３×３，Ｇ３。３中的ｐｌ，，』２，№分别用估计 值ｍｌ，ｍ２，ｍ３代替得到∑３ ｘ３ｊ Ｇ３。３的估计值妻３‰岛。３，从而对广义Ｐａｒｅｔｏ分布大样 本性质有以下结论：所以而㈣（；）｝三Ｍ（ｏ，ｏ妻０７） ）》第三章广义Ｐａｒｅｔｏ分布华东师范大学硕士论文２１§３．４§３．４．１极大似然估计的解法ＧＰ的极大似然估计Ｘ＝（ｚｌ，ｚ２，…，ｏ。）是来自广义Ｐａｒｃｔｏ分布的１２个样本其似然函数为Ｌ：高熹ｌ其中 ｒ（ｎ＋卢）Ｂ（ａ，卢）对数似然函数为＝ｎＬｒ（ｎ）ｒ（卢）＝ 一礼ｎＢ口卢＋礼ｏ ｎ＾十卢一 ｌ。∑㈦忆Ｚ―ｎ＋芦。∑㈦一＜ 十 Ｔｆ蒜一糊Ｓｓ川小鲫枷，） ｛品一糊＋耋ｌＴｔｘｌ－－ｉ赫＝１ ｍｔ）【敲＝警山州耋盎（ａ，声，支）由下述方程解得ｌ蕊ｃｇｌ＝ｏ雕ｆ（ｏ／ｙｊ叫卵）／ｙ）／州卅）７０ｔ（棚ｏ／Ｙ）Ｌ＋；（日“｛））７０２１础（Ｏ／Ｙ）ｋ（０－０（ｉ））＋余项当日与刚很接近时，余项可忽略不计．上式的稳定点是下述方程０２１ａ（Ｏｐ／２Ｙ）ｌ引．）（日一目（ｔ’）＝一ｏｔ（ａｏ目／Ｙ）１日（。）第三章 的解．即广义Ｐａｒｃｔｏ分布华东师范大学硕士论文２２９＝９（０－（翌：：；：；！竺Ｉ ａ“，）一１、ｏｚＩａＯ／日Ｙ）．Ｉ。ｃｌ，）目（ｏ）表示赋予ａ的初始值，刚表示第ｉ次迭代的５的值，Ｎｃｗｔｏｎ－Ｒａｐｈｓｏｎ算法就是如下迭代式９０＋Ｕ＝日（｛，＋（一―ａ―２―＠矿ｌＹ）１日“’）一１＼ａ＠ａ／日Ｙ）１日【；’）常用的另一个迭代方程式为驴删圳＋［Ｅ（一警Ｉ Ｏ）…’，九ａ＠矿ｌＶ）…１，）／伊ｆ∥ｆ对于广义Ｐａｒｃｔｏ分布来说，伊ｆ、＿＿――学＝【要零蒌８２１） ＼翮瓢研／ａ２ｆａｆａ日扰虿筇扰孤―ｎ娥。（ａ，卢）Ｂ（ｎ，ｐ）十ｎ（联（ａ，卢））２Ｂ２（ａ。口１ａｎ２伊ｆ―ｎＢ：。（ａ，卢）Ｂ（ｎ，ｐ）＋扎Ｂ：（ｎ，卢）Ｂ；（ａ，卢）Ｂ２（＆，卢）ｎａｎｌ卵ａ２ｆ ａａａＡ一０、１＾‘―√Ａ＋茁，一ｎ―日％（ａ，卢）Ｂ（ａ，ｐ）＋ｎ（睇（ｎ，ｐ））２Ｂ２（ａ，ｐ）一ｎＢ。Ｉｒ。（ａ，卢）Ｂ（ｎ，卢）＋ｎ或（口，卢）％（Ｑ，卢）Ｂ２（＆，卢）一一亡―Ｌ一筹小删善南＝；一善ｎ忐跳一拶张～溉｛若一聊跳拼巩｜批砒一坤：一÷―ｌ＿鲁Ａ＋戤鲁Ａ＋≈蒜三章广义Ｐａｒｅｔｏ舟布华东师范大学硕士论定２３当伊＋ｘ）一目（ｉ’Ｊ达到我们预先要求的精度时，选代终止，ｐ‘’’即为所求参数向量的极大似然估计值．§３．４．２极大似然估计的基本性质Ｘ：（ｚｌ，＆，…，ｚ。）是来自广义Ｐａｒｅｔｏ（。，ｐ，＾）分布的ｎ个样本，（ａ，声，ｉ）是广义 Ｐａｒｃｔｏ分布的极大似然估计，则（矗，ｐ，ｉ）是下面似然方程的解小渤ｆＡ＋甄）＝０ｌｎ（＾十ｚ，）＝０不难得出（ａ，声，≈天）是如下方程的解糍一脚两边国卧砒。∑譬∑Ⅻ 『势鼍矿ｍ。∑㈦＝Ｏ｛一糊十量批矿静ｃⅢ训＝ｏ【警一（＆十卢）蚤册１五２ｏｆ一嚣辫删小酗（Ⅲ㈤＝ｏ§３．４．３极大似然估计基于正态的统计推断 §是口基于数据Ｙ的极大似然估计。在一定条件下， （口一目）一Ⅳ（Ｏ，Ｇ）其中，Ｃ屉∞一目）的ｄ×ｄ维的协方差阵．（３．３．１）统计学家认为，８是固定的（尽管是未知的），而目是随机的。在目及模型给定时，上式表明在重复抽样时§是均值为ｅ，协方差为Ｃ的正态分布．记ｓ（ｏ／Ｙ）＝型号铲，在一些正则条件下，Ｌ，（口）（日一日）≈ｓ（ｏ／ｒ）其中，Ｊ（Ｏ）＝Ｅ（塑；等挈旦Ｉ口）穰为期望Ｆｉｓｈｅｒ信息阵．因此，够一口）≈ｓ（ｏ／Ｙ）．要注意的是Ｊ＿１ ｆ口）是渐进分布的方差，而不是精确分布的极限．在一定的正则条件下重复抽样，Ｓ（口ｌＹ）是渐近正态分布，期望为ｏ，方差为了（８）．从而得出（日一日）是期望为０，方差为Ｃ＝ｊ－１（口）的正态分布，并用ｐ代入计算Ｊ＿１（ｐ）的值．第三章广义Ｐａｒｅｔｏ分布华东师范大学硕士论文２４Ｆｉｓｈｅｒ信思阵１臣设ｘ是密度函数为，ｅ（?）的随机变量，其中０＝（０１，…，巩）．Ｆｉｓｈｅｒ信息阵ｉ（ｏ）是≈×ｋ对称阵，其元素为ｋ（ｅ）＝Ｅ…ｒｇｌＯｇ强ｆｏ（２）Ｏｌｏ强ｇｆｅ（ｚ）］ｉ若密度函数，ｅ（?）对所有ｔ，』，锱都存在，则删＝一岛（％铲］下面来计算广义Ｐａｒｅｔｏ分布的Ｆｉｓｈｅｒ信息阵对于ＧＰ（Ａ，ｏｅ，卢）分布，所有的二阶倒数都存在，记ｅ＝（日。，如，如）＝（Ａ，ｏ，口）ｌ（弩，（ｚ）＝（牟一１ｙｏｇ（ｚ／Ｘ）一（口十ｐ）｝０９（１十ｚ／Ａ）一ｌｏｇＡ＋ｆ口９ｒ（ｕ＋卢）一ｌｏｇｒ（Ⅱ）一 ｌｏｇｒ（３）所需的二阶偏导为：―瓦百＿。天～Ａ１＋ｚ／Ａａ２ｌｏｇｆ（ｘ１１１ ｌ―百ｒ０２ｌｏｏｆ（ｘ）２一再十１ｒ矿丽ｎｎ＋卢１Ｏ％Ｍ（ｚ）―０２―ｌ万ｏｇｊｆｒ（一ｘ） ａ０２―孤百矿一Ａ―１＋ｚ―／Ａ１ １＝ 一…～Ｌ王。Ｖ，一掣、ｕ Ｊ 妒，（Ｑ＋ｐ）一妒，（。）一ｙ、Ｌ王。一７ ―０２了ｌｉｏｏ赢ｆｊ（广ｚ）：妒，（ｄ＋ｐ） ａａ８８其中，妒（ｎ）＝ｒ’（ｎ）／ｒ（ｏ），妒’（ｏ）＝ｄ妒（ａ）／ｄａ，下面计算岛（ｅ）锦三章｝Ｌ义Ｐａｒｅｔｏ分布华东师范大学硕士论文２５厶１（０）＝一厂［骂掣㈣ａｚ１，２（０）＝，１。（ｅ）＝一－；（１－厂岛㈦＝一南 一Ｚ＋。。．２。ｌ。．ｇ印ｆ（ｚ）。ｆ（ｚ）ｄｚ 衍。卷虹渤一Ｚ＋０。［望：；；：笋］，（ｚ）ａ。一ｆ＋。。［旦：；掣］，（。）ｄ。＾。ａＡａｏ”…”“§一学厂群ｔ斋把 ＾２＾ （十ｚ／＾）２～一Ａ２＆＋口Ａ２（ａ＋卢＋１）１２２（ｅ）＝一Ｊ（＋。０２。１。。ｇ叩ｆ（ｘ）。］ｆ（。ｄｚ＝－咖７（ａ十ｆｉ） ｆｆｚ）ｄｚ＝妒７（口）一妒’（ａ十ｐ） 如ｓ（ｅ）＝一Ｚ＋０。０２ｌ。叩ｇｆ（ｚ）一ｑｋ（ｅ）＝所以ＧＰ的Ｆｉｓｈｅｒ信息矩阵为即，：ｆ焉窜似三寰ｐ，襄， ＼渤一妒弘十ｐ）妒＂）一∥缸十卢）Ｑｆ―』ｕ＂１ｔ－ｐｎ～ｊ基于正态逼近，口的ｌＯＯａ％置信区问是（ｐ～ＺＣ…／，自＋ＺＣｌ／２），在正态分布下，一Ｚ到ｚ的面积为１０００ｒ％。Ｃ为ｒ１（Ｏ／ｒ）或Ｊ一１（口）．对于ｄ维向量目来说，１００ｎ％ 置信椭圆有以下式子给出 （口一目）ｒＣ＿１（目一日）≤ｘ２自由度为ｄ的Ｘ２分布从０到ｘ２的面积为ｌＯＯａ％，由此来决定上式中Ｘ２的值．Ｅｆｒｏｎ和ｔｔｉｎｋｌｅｙ（１９７８）讨论了ｒ１和Ｌ，～１的相对优缺点，在某些情况１－１比Ｊ一１容易计算，因而受到大家更多的喜爱． 对于广义Ｐａｒｅｔｏ分布来说（（ａ，口，Ａ）一ｉｆ，，声，＾））一Ｎ（Ｏ，１－１（口／】，））镍三章广叉Ｐａｒｃｔｏ分布华东师范大学硕士论文２６其中Ｉ－１（ｏ／Ｙ）＝［－ｔ（ｅ）对于三维向量（口，ｐ，＾），ｌＯＯａ％的置信椭球为（（ｎ，ｐ，Ａ）一（ａ，声，＾））７，（ｏ）（（ｎ，ｐ，＾）一（６，声，＾））≤ｋ自由度为３的ｘ２分布从０到ｋ的面积为ｌＯＯａ％，由此确定上述不等式中的ｋ．§３．５ＧＰ分布的次序统计量及次序统计量的分布定义设置，…，ｘ。是来自某总体的一个样本，该样本的第ｉ个次序统计量，记为五，它，娃如下的样本函数。每当该样本得到一组观测值。¨－．，ｚ。时，将它们从小到达排列为■１）≤。（２）≤…≤ｘ（。），其中第ｉ个值。（。）就是五，）的观测值．称（ｘ（１），…，ｘ（。））为浚样本的次序统计量，次序统计量． ｘ…称为该样本的最小次序统计量，ｘ（。）称为该样本的最大蜀，…，五，是来自ＧＰ（ａ，序，Ａ）的一个样本，其密度函数为ｐ（ｏ），分布函数为Ｐ（ｘ）．则ｘ…的密度函数为ｇ（Ｙ）＝ｎｆｌ一Ｆ（Ⅳ）】”１ｐ（Ⅳ）刮志（熹）“圭ｉ＝ｌｘ㈨的密度函数为ｒ（ｎ＋ｉ―１）ｒ（ｉ）（戋）】｛＿１黼者为＝礼器器筹为（妻哞秽（煮）卜”）“ｇ（ｙ）＝ｎ咿（∥）】”１ｐ（ｕ）＝（－一志（南）。（娄等产（煮）…））“黼誉为Ｘｃｋ）的密度函数为第三章广义Ｐａｒｅｔｏ分布华东师范大学硕士论文２７９（可）ｉｉ二二―ｉｊ褊［Ｆ（ｇ）】‘一１［１一Ｆ（Ⅳ）】“一ｋｐ（Ⅳ）ｎ！志（ｔ一志（高）。（量帮（☆）１。））‘ （志（南）“（娄≮铲（南）“））“ｒ＠＋ｐ）ｋｒ（ｎ十ｐ）Ａ。Ⅳ口一１ｒ（ｏ）ｒ（卢）（Ａ＋Ⅳ）ｎ＋口Ａ（”‘＋１）。护（蠢一１）！（ｎ一砷ｌ ｒ（ｎ）ｎ一２一?ｒ（ｚ）（Ａ＋ｙ）ｍ一雨潞ｐ（妻肄≯（南）“）“１））‘望ｒ』Ｌ、ｒ（ｉ）＼Ａ十封／１－－高（南）。（砉生存函数为 假设有ｔ２＞ｔｌ，则１），Ｙ、１ｒ（ｉ）一Ｌｉ丙／删叫…㈦叫Ｔ驯一即，＝志（志）“委Ｐ（Ｘ＞ｔｄＸ＞钔＝嚣崭＝ｌ，Ａ。＝（∞。霸ｒ（ｉ鲁若ｘ～ＧＰ（ａ，ｐ，＾），则ｙ＝ｘ～１的密度函数为ｒ（Ⅱ）ＬＡ＋ｔ２Ｒ―ｏ＝） 堕㈨。∑汹ｒ（Ｑ＋ｉ一１）ｒ（ｉ）ｆ』Ｌ、卜１＼Ａ＋ｔ２／高（击。）娄≮铲（盎）“）、Ａ十７ ｔｌ…、。娄≮产（熹）。１她）＝黼一舻（：）肛１ １ ｎ十；）”４Ｙ２１１（ａ＋ｐ） 舻９８―１ ｒ（ａ）ｒ（卢） （Ａ＋Ⅳ）”４第三章广义Ｐａｒｃｔｏ分布华东师范大学硕士论文２８即Ｙ＝Ｘ一１～ＧＰ（ｐ，ｄ，＾）§３．６ＧＰ分布的假设检验何㈣（；）卜，鲫，￣／箝（ａ―ａ）三Ｕ（０，奎１１）￣／丽（卢一声）三Ｎ（０，竞２，）Ｐ２Ｐ２“的１―２％置信区问为：陋一篇‘ｖｉ一｛，矗＋蔫Ⅳｌ一｛］卢的１一☆％置信区间为＾Ｄｐ 一Ｍ一＾ｏ一＋Ｍ一；Ａ的１一％％置信区间为＾、＾～“砬一面Ｍ整何Ｍ一＾、＾＋“砬～面毽一扣 Ｍ一ｋ一２Ⅳ１一！为标准正态分布１一§％分位数．对于如下分布的假设检验问题 风：样本来自一般的Ｐａｒｅｔｏ分布，Ｈ１：样本来自广义Ｐａｒｅｔｏ在本章的第一节中我们已经分析了Ｐａｒｅｔｏ分布和广义Ｐａｒｅｔｏ分布的区别：Ｐａｒｅｔｏ 分布是广义Ｐａｒｅｔｏ分布在卢＝１时的特殊情况．那么对样本来自Ｐａｒｅｔｏ分市还是广义 Ｐａｒｅｔｏ分布的分布检验问题就转化为如下的参数检验问题‰：ｐ＝ｌ，ＨＩ：ｐ≠ｌ用区间估计的观点来看就是：若原假设成立，声的区间估计就应该包含ｌ在内，否则，拒绝原假设．同理对其它情况的单个参数的检验也都可以采用区间估计的方法，这 是一个简单实用的方法．铬！章广足Ｐａｒｅｔｏ，舟布华东师范大学硕士论文２９在§３．４．２中对极大似然估计进行基于正态逼近的研究得到如下结论，式中的记号同§３．４．２的记号，（（。，ｐ，Ａ）一（ａ，卢，Ａ））～Ｎ（Ｏ，ｉ－ｌ（Ｏ／ｙ）） 其中，“（ｏ／Ｙ）＝Ｉ‘１（ｅ）０＝（舀．卢，＾）是（口，口，夫）的极大似然估计．针对单个参数情况如下：（Ｑ―ａ）一Ｎ（０，，＾’（ｅ））（ｐ一声）～Ｎ（０，，五１（６））（Ａ―ｉ）一Ｎ（０，坛１（６））故参数的区问估计如下：础（ｅ）＝揣 础ｅ）＝湍 础ｅ）＝揣ａ的ｌ一≈％置信区间为：陋一五｛Ｎｌ～§，ａ＋，二｛Ｎｌ―ｌ卢的ｌ一￡％置信区闻为：∞一，ｉ。Ｎ。一§、声十ｆ斧Ⅳ，一§蛐々１一≈％置信区问为：Ａ一坛：ＮＩ～§，＾＋瓦；Ⅳｌ一｛同上，ＮＩ一；为标准正态分布ｌ一；％分位数．§３．６．２似然比检验定理３?６［见参考文献２９１设样本Ｘ＝（ｘｌ，…，ｊ０）来自密度函数族ｐ（ｚ；日）：０∈Ｏ，其中未知参数０＝（日¨－．，ｏｋ），参数空间０是ｋ维欧氏空间舻中的一个含有内点的集合，参数真值８０是０的一个内点．假设该密度函数族满足以下四个条件：（１）正掣枇）＝上铆忡）＿ｏ㈡川，…，％（２），（ｐ）一（］ｉｊ（口））Ｉ。々＞ｏ，ＶＯ∈ｅ，其中础）＝Ｚ（警）?、Ｏｌｎ鹄ｐ（ｘ；Ｏ），＂１∞㈣忡）（３）存在Ｍ（ｘ），使得￡姘如），ｐ（ｚ；８）ｄ弘（芏）＜Ⅳ，Ｖ０∈ｅ，其中Ｋ与９无关，且在含有参数真值岛的一个领域内，『锱Ｊ≤Ｍ枷，㈦，…，％第三章广义Ｐａｒｅｔｏ分布华东师范大学硕士论文３０（４）不同的８值，对应着不同的概率分布．考虑原假设ｆ毛：口∈ｅｏ对各择假设Ⅳ－：目芒ｅｏ，其中ｅｏ是ｅ的一个子集＇且满足下述条件：存在ｒ（ｒ＜％）维欧氏空问口中的一个含有内点的集合Ａ，以及定义在Ａ上的ｋ个三阶可导的函数ｇ＝（ｇｌ，…，鲰），使得Ａ与ｅ――对应，ｅｏ＝（ｐ：日＝９（妒），妒∈Ａ｝ 在参数真值日＝９（妒）时，记ｐ＠：ｐ）＝ｐ（ｚ；９（ｃｐ））为乒（∞；妒）．则分布族ｐ（。；目）：口∈００ 可等价地写成（ｉ（ｚ；妒）：妒∈Ａ｝的形式。假设密度函数族（Ｆ（￥；妒）：妒∈Ａ）满足上述四个条件．在口∈。时，假设口的ＭＬ即是似然方程宅萨＝ｏ的解，其中徊Ｊ｜ｎ。ｎ㈨ｐＺ口 ＩＩ。∑㈦“茁ｐ并且在ｎ―ｏ。时，口依概率收敛于参数真值８０．在原假设为真，即参数真值％∈ｅｏ时，目的ＭＬＥ目ｏ＝９（ｐ。），假设ｐ。足似然方程锣乎＝ｏ的解，其中虱ｐ）＝Ｉｎｎｉ（％妒）＝∑ｆ晒（％妒）并且在ｎ一。ｏ时，氏依概率收敛于参数真值妒。． 定义似然比统计量Ａ＝专Ｌ一 １－Ｉｐ（ｘ；岛）则在原假设玩成立时，２ｌｎ＆随１１增大而依分布收敛于）（２（ｋ―ｒ）． 证明：下面的讨论都是在原假设凰成立的条件下进行的，令Ⅱｐ（置；６）ｙｃ∞＝击ｅ喜掣，…，喜警）则由中心极限定理知，在ｎ一∞时，Ｖ（Ｏｏ）与Ｎ（Ｏ，，‰））（３．６．１）ｉ－１（岛）?Ｖ（ｅｏ）与Ｄ（Ｏｏ）有相同的极限分布，且仅差一个依概率收敛于０的量。 因为密度函数族｛ｐ（ｚ；口）：口∈ｅｏ）满足四个条件，则“ Ｒ２（∑ｚ坤（墨：口）一∑ｆ坤（置；如））与Ｄ（％）’．Ｉ（８０）．Ｄ（００）ｉ＝１ｔ＝ｌ第三章广义Ｐａｒｅｔｏ分布华东师范大学硕士论文３ｌ从而ｎ ｎ２（∑ｆ印（置；§）一∑ｌｎｐ（Ｘｉ；％））与ｆｙ（岛）】’‘（ｆ（岛）ｒ１?ｖ（ｅｏ）ｌ＝ｌ ｔ＝ｌ仅相差一个依概率收敛于０的量，它们有相同的极限分布．同理，因为密度函数族佃（ｚ；妒）：妒∈Ａ）满足四个条件，所以ｎｎ２（∑ｔｎ声（Ｘ。；驴）一∑ｌｎＦ（Ｘｉ；‰））与【Ｕ（‰）¨Ｊ（妒。）卜Ｕ（妒ｏ）４＝１ ｔ＝ｌ仅相差一个依概率收敛于０的量，它们有相同的极限分布，其中ｕｃ妒，＝击?ｃ喜掣ｒ喜掣，Ｊ（妒）＝（如（妒）），×，其中令Ｂ（妒）＝（ＢⅡ（妒）），。ｋ，其中％∽）＝掣．注意到Ｏ＝ｇ（妒），日。＝９（妒。）．从而有ｃ，（妒ｏ）＝Ｂ（伽）?Ｖ（Ｏｏ）蜥）＝Ｚ（善ｎ掣）（喜掣¨㈦洲出）Ｊ（妒ｏ）＝Ｂ（妒ｏ）－Ｉ（００）一［Ｂ（＿Ｐｏ）】’（３．６．２）所以２（∑ｌｎ筘（Ｘ。ｉｐ）～∑２硒（置ｍ））与Ⅳ（伽玎，ｆ８（妒０）］’?ｆ以伽）］～ｔ Ｂ（伽）－ｙ（咖）仅相差一个依概率收敛于０的量，它们有相同的极限分布．注意到ｐ（ｚ；Ｏｏ）＝ｉ（ｚ；（ｐｏ），从而有２Ｍ（ｘ）＝２（∑ｌｎｐ（Ｘｉ；自一∑ｌｎｐ（Ｘｉ；醣））ｌ＝１ｎｌ＝１ｎ＝２（∑ｔｎｐ（Ｘ。；６）一∑ｔｎｐ（Ｘ｜ｌ；如））ｌ＝１ｎｔ＝１ｎ＝２（∑ｆｎｉ（墨；ｐ。）一∑ｆ坤（五；咖））第三章广－；ＬＰｏｘｅｔｏ分布华东师范大学硕士论文３２则２１ｎ）ｔＩＸ）与［ｙ（妒。）］７－｛［，（％）】一１－［Ｂ（妒ｏ）】’?［Ｌ，（妒ｏ）］一１?Ｂ（’％））?ｙ（妒ｏ） 仅相差一个依概率收敛于０的量，它们有相同的极限分布．令ｗ（ｏ。）＝【ｒ（ｏ。）】＿｛．ｖｏｏ）则由（３ ６．１）式知，ｗ（ｏｏ）三Ｎ（０，ｆ），且２ｌｎ＾（ｘ）与【Ⅳ（％）ｊ７，【ｊ―Ｇ（醣）］’Ｗ（Ｏｏ） 有相同的极限分布，其中Ｃ（ｅｏ）＝【』（妒。）］｛，ｆＢ（＿ｐｏ）】７．［Ｊ（妒ｏ）］～１．Ｂ（Ｖ。）．【，（１ｐ。）］｛由（３ ６．２）式知，，一ｃｏｏ）是幂等阵，且，一Ｇ（％）的秩为Ｋ―ｔｒ｛ａ（Ｏｏ））＝％一打｛［Ｊ（ｆⅧ）】～?Ｂ（妒ｏ）Ⅳ（妒ｏ）】～－ｆＢ（妒ｏ）］’）所以２１ｎＡ（Ｘ）的极限分布为ｘ２（％一ｒ），定理证毕． 前面文章已经说明了ｐａｒｃｔｏ分布和广义Ｐａｒｅｔｏ分布的区别就是参数卢是否为１两个分布的似然比检验如下Ｈｏ：卢＝１ Ｈｌ：ｐ≠１一ｋＡ＝爿―――～其中ａ：卢，＾是ｆ丧设成立，即卢｛１时，ｏ，卢，Ａ的极大似然估计．ａ。，＾。是麋ｉ假设成立，即卢＝１时，ｏ，Ａ的极大似然估计．ｎｐ（ｘ。；ａ，声，＾）Ⅱｐ（ｘ；面，ｋ）ｔ－－锚在‰成立时，２ｔｎＡ一妒（１）．§３．６．３应用实例研究 例ｔ．Ａｒｎｏｌｄ Ｂ．Ｃ，（１９８３）在其著作附录中给出了一个有代表性的数据例子，５０名收入超过７００，０００美元的高尔夫球手，他们到１９８０年为止的收入数据如下（单位；美元）：３５８１ ２４７４ ２２０２ １８５８ １８２９ １６９０ １４３３１ １８４ｉ０００１０６６１００５ １００１ ９６５ ９４４ ９１２８８３８４１ ８２５ ８２０ ８１６ ８１４７７８７５３ ７４６ ７２９ ７１２ ７０８１６８４ １６２７１５３７ １５１９１４１０ １３７４１３３８ １２０８１ １７１ １１０９ １０９５ １０９２１０５６１０５１ １０３１ １０１６８７８８７１７７８７７１８４９ ８４４７６９７５９镣三章广义Ｐａｒｅｔｏ分布华东师范大学硕士论文３３上述数据的直方图如下；图（４）矩估计ａ＝３１．５７３１，ｐ＝０．８４１５，Ａ＝１７００８对参数卢傲如下假设检验：／４０，卢＝１ 由§３口一１．Ｈ。：口≠１６．１中的ＧＰ分布参数的区同估计方法，计算得到ｐ的７赡的区问估计为（ｏ．３０９９，１．３７３１）．该区间包含１作为内点，故我们有９５％的把握认为原假设成立，即铡２文章的前面部分我们提到广义Ｐａｒｅｔｏ分布在保险精算学中有很广泛的应用，美国精算学会收集了１９４９―１９８０年之间发生飓风造成的损失的数据（只对造成的损失 超过ｌ，０００，０００美元的飓风作记录）．历时３２年，造成的损失超过１，０００，０００美元的飓风 共发生过３８次，飓风发生的年份及造成的损失情况如下表所示贴现因子折现损失删１２ ３４１ ３６５２，７３０ ３，０８２ ４．４６６ ６，７６６ ７，１２３ １０，５６２ １４，４７４ １５．３５１ １６，９８３２．２３３ ２ ２３３ ３．３８３ ２．７６１ ２ ２３３ ３．９１２ ３．６１２ ３．１４５ ４，０８５５ ６ ７ ８ ９ｍｎ１８．３８３ １９，０３０觖瑚Ⅷ卿栅卿删㈣Ⅷ㈣娜一失∞ ∞ ∞； ；∞ ∞ ∞ 年均 碍坩均 珀垮ｍ坶坞 份竹ｎ订融能饥髂盯：宕嚣璐３．８０６第三章广义Ｐａｒｅｔｏ分布华东师范大学硕士论文３４损失１４，７２０ ７，９００ １３，５００ ２２，６９７ １２，０００ ８，３００ １３，０００ １０，４５０ １２，５００年份 贴现因子折现损失１９７４ １９５９ １９７１ １９７６ １９６４ ｔ９４９ １９５９ １９５０ １９５４ １ ７１９ ３．６８５ ２ ２３３ １．４８６ ２５．３０４ ２９，１１２ ３０，１４６ ３３，７２７ ４０．５９６ ４１，４０９ ４７，９０５ ４９，３９７ ５２．６００３．３８３４ ９８９ ３．６８５ ４．７２７ ４．２０８ １．８５５ １ ０９０ ３．３８３ ４．０８５ ２．９６６ ３ ８４１ １．１４８ １．６１１ ２．０２８ ３．３８３ ３．６２１ ３．６１２ ２。５５１ ４ ２０８ ４．２０８ ２ ４２１ ｌ－１４８ ３．２７６３２，３００ ５７．９１１２３，ＯＯＯ ２５，２００ ３４，８００ ３２，２００ １２２，０７（） １１９．１８９ ９７，８５３ ６７，２００１９７３１９８０ １９６４ １９５５ １９６７ １９５７ １９７９ １９７５ １９７２ １９６４ １９６６ １９６１ １９６９ １９５４ １９５４ １９７０５９，９１７ ６３，１２３７７．８０９ １０２．９４２ １０３ ２１７ １２３．６８０ １４０，１３６１９２，０１３１９８，４４６ ２２７．３３８ ３２９，５１１＿霎｜他拈Ｍ：２坩＂硌均加ｎ船嚣孔弱 卯鹬约∞札３２ ３３ ３４ ３５ ３６ ３７ ３８９１，０００１００，０００１６５，３００ １２２，０５０３６１，２００４２１，６８０ ５１３，５８６ ５４５，７７８１２９，７００ ３０９，９５０７５０．３８９ ８６３，８８１ １，６３８，０００７５２，５１０５００，０００１９７９１９６５分别用Ｐａｒｅｔｏ分布和广义Ｐａｒｅｔ。分布对飓风损失的数据进行拟合，参数估计如下第三章广义Ｐａｒｅｔｏ分布华东师范大学硕士论文３５分布Ｐａｒｅ￥ｏ参数估计 ｉ＝７３，６７４、０００一打ｌＬＭＬＥＧＰａ：１．１５６９４５４ ７】ＭＬＥａ＝２．８３３０ｌ＝８６２，６６０，０００露＝ｏ．３３２９２４５４．３４从似然比检验的角度来看，对Ｐａｒｅｔｏ分布与广义Ｐａｒｅｔｏ分布的检验实际上就足对参数ｐ做如下假设检验：Ｈｏ：口＝１Ｈｔ：芦≠１由§３．６ ２中的似然比检验方法，２ｌｎＡ＝２（－４５４ ３４一（－４５４．７１））＝ｏ ７４，ｘ；９（１）＝２．７０６，２ｆｎＡ＝０．７４＜磕９（１），因此不能拒绝原假设．参考文献Ａｌｌ ＣｈａｏｕｃｈｅｌＪｅａｎ－Ｎｏｄ Ｂｅｍｒｏ，Ａ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｔｅｓｔ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｈａｐｅ ｐｍ＇ａｍｅｔｅｒ ｏｆｇｅｎｅｉ ａｌｉｚｅｄ Ｐａｒｅｔｏ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ＆Ｄａｔａ Ａｎａｌｙｓｉｓａ４５（２００４）７８７－８０３Ｐｕｌｉｓｈｉｎｇ２］ＡｒｎｏｌｄＢ．Ｃ．（１９８３）．Ｐａｒｅｔｏｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏ－ｏｐｅｒａｔｉｖｅＨｏｕｓｅ，Ｆａｉｒｌａｎｄ，ＭａｒｙｌａｎｄＡｒｎｏｌｄ，Ｂ．Ｃ．，Ｌａｇｕｎａ，Ｌ．，１９７７ Ｏｎ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｐａｒｅｔｏ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏ Ｉｎ．ｃｏｍｅ Ｄａｔａ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｔｕｄｉｅｄ ｉｎ Ｅｅｏｎｏｎｌｉｅｓ，Ｍｏａｏｍｉｃｓ，Ｍｏｎｏｇｒａｐｈ＃１０，Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｅｃｏｎｏｍｉｅｓ，Ｉｏｗａ Ｓｔａｔｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ａｍｅｓ，ＩＡ． Ａｔｕｓｈｉ Ｉｓｈｉｋａｗａ，Ｐａｒｅｔｏ ｌａｗ ａｎｄ Ｐａｒｅｔｏ ｉｎｄｅｘ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｃｏｍｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｊａｐａｅｓｅ ｃｏｍｐａ－ｎｉｃｓ Ｐｈｙｓｉｃａ Ａ３４９（２００５）５９７－６０８，ｏｆ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｃｙＢａｒｔｌｅｔｔＭ．Ｓ（１９３７）Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｎｄｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｔｅｓｔｓＰｒｏｃ．Ｒ Ｓｏｃ．，ＬｏｎｄｏｎＡ，１６０：２６８－２８２．ＢｏｙａｎＤｉｍｉｔｒｏｖ，ＥｆａｒｔｖｏｎＣｏｌｌａｎｉ，ＶｏｎｔｏｒｔｅｄｕｎｉｆｏｒｍａｎｄＰａｒｅ０。ｄｉｓｔｒｉｂｕ－ｔｉｏｎｓ．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ＆ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ Ｌｅｔｔｅｒｓ２３（１９９５）１５７－１６４Ｆｉｎａｎｃｅｓａｎｄ Ｓｏｃｉｏ－Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｓｕｒｎｅｙ７１Ｃｅｎｔｒａｌ Ｂａｎｋ ｏｆ Ｃｅｙｌｏｎ，ＲｅｐｏｒｔＯｌｌＣｏｎｓｕｍｅｒ１９８１／８２Ｓｒｉ Ｌａｎ＂ｋａ，Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｃｏｌｏｍｂｏ，１９８４【８】 Ｃｈａｍｂｅｒｓ，Ｊ．Ｍ．（１９７７）Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ［９】Ｃｏｎｓｔａｎｔｉｎｏｓ Ｐｅｔｒｏｐｏｕｌｏｓｉｎ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅｆｏｒ ＤａｔａＡｎａｌｙｓｉｓ．Ｗｉｌｅｙ，ＮｅｗＹｏｒｋ．ａｎｄ ＳｔａｖｒｏｓＫｏｕｒｏｕｋｌｉｓ，Ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆｅｘｔｉｅｌｎｅ ｑｕａｎｔｉｌｅｓＬｏｍａｘ（Ｐａｒｅｔｏ １１）ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．Ｍｃｔｒｉｋａ（２００４）６０：１５―２４ｔｏ ＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｙＦｅｌｌｅｒ，Ｗ?，１９７１ｔｉｏｎＡｎ Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ＹｏｒｋＴｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，Ｖ０１．２、２ｎｄ Ｅｄｉ。Ｗｉｌｅｙ，Ｎｅｗ１１１Ｈｅｗｉｔｔ，Ｃｈａｒｌｅｓ ｃ．ａｎｄｓｕｒａｎｅｅＬｅｆｋｏｗｉｔｚ，Ｂｅｎｊａｍｉｎ（１９７９）ＭｅｔｈＤｄｓ ｏｆＦｉｔｔｉｎｇ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉ。ｎｓｔｏＩｎ．Ｌｏｓｓ Ｄａｔａ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｃａｓｕａｌｔｙ Ａｃｔｕａｒｉａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ，６６，１３９―１６０参考文献 １２］Ｈｏｇｇ，Ｒｏｂｅｒｔｅｄ华东师范大学硕士论文Ｖ，ａｎｄ Ｃｒａｉｇ，Ａｌｌｅｎ３７Ｔ，（１９７８）．ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，４ｔｈＭａｃｍｉｌｌａｎ，Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ．Ｖ．ａｎｄＴａｎｉｓ，Ｅｌｌｉｏｔ１３ｌＨｏｇｇ，ＲｏｂｅｒｔＡ（１９８３）ＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｍａｄＳｔａｔｉｓｔｉｃａｌＩｎｆｅｒｅｎｃｅ，２ｎｄｃｄ．Ｍａｃｍｉｌｌａｎ，Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ．１４】Ｈｓｉａｗ－ＣｈａｎＹｃｈ，Ｓｏｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｎｄ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｇｃｎｃｒａｆｉｚｅｄ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ Ｐａｒｅｔｏｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ８８（２００４）４７－６０ｏｆ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｓｃｉ―１５】Ｊ．Ｋ Ｏｒｄ，ｉｎ：Ｇ．Ｐ．Ｐａｔｉｌ，Ｓ．Ｋｏｔｚ，Ｊ．Ｋ．Ｏｒｄ（Ｅｄｓ），Ｅｎｃｙｃｙｌｏｐｅｄｉａ ｅｎｃｃｓ，Ｖ０１．４，Ｗｉｌｅｙ，Ｎｅｗ １６ＪＹｏｒｋ，ＰＰ．２７－３４Ｊｏｈｎｓｏｎ Ｎ．Ｌ．，Ｋｏｔａ ｓ＆Ｂａｉａｋｒｉｓｈｎａｎ ｃｄ．ＮｅｗＮ．０９９４）．ｃｏｎｔｉａｕｏｕｓｕｎｉｖａｒｉａｔｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ，ｌ，２ｎｄＹｏｒｋ：Ｗｉｌｅｙ．１７】Ｋｈａｌａｆｓ ＳｕＫａｎ，Ｍｏｈａｍｅｄ Ｅ．Ｍｏｓｈｒｅｆ，Ｒｅｃｏｒｄ ｖａｌｕｅｓ ｆｆｏｎｌ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｐａｒｅｔｏ ｄｉｓｔｒｂｕｔｉｏｎａｎｄ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄｉｎｆｅｒｅｎｃｅ．Ｍｅｔｒｉｋａ（２０００）５１：１０５一ｌ １６Ｌｏｓｓ１８】Ｋｌｕｇｍａｎ，Ｓ Ａ．，Ｐａｎｊｅｒ，Ｈ．Ｈ．，Ｗｉｌｌｍｏｔ，Ｇ．Ｅ．，１９９８ｓｉｏｎｓ．Ｗｉｌｅｙ，ＮｅｗＹｏｒｋｏｆ ＰｏｉｎｔＭｏｄｅｌｓ：ＦｒｏｍＤａｔａｔｏＤｅｃｉ―１９］Ｌｃｈｍａｎｎ，Ｅ．Ｌ，１９８３，ＴｈｅｏｒｙＷａｘｔｓｗｏｒｔｈ，１９９１）ＥｓｔｉｍａｔｉｏｎＷｉｌｅｙ，ＮｅｗＹｏｒｋ（ＴｒａｎｓｆｅｒｒｅｄｔＯ２０】ＭａｒｔｉｎＡ．‰ｎｃｒ，１９９３，Ｔ００ｂ ｆｏｒ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ＩｎｆｅｒｅｎｃｅＴｅｓｔｓ Ｉｎ Ｒ．Ｖ．Ｈｏｇｇ，Ｅｄ．、Ｓｔｕｄｉｅｄｉｎ２１】Ｍｏｏｒｅ，Ｄ Ｓ．（１９７８）．Ｃｈｉ－ＳｑｕａｒｅｓＳｔａｔｉｓ―ｔｉｅｓ，Ｖ０１．１９，Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ ｏｆ ＡｍｅｒｉｃａｔＷａｓｈｉｎｇｔｏｎ，Ｄ Ｃ．ＰＰ ４５３―４６３２２】Ｇ．ＳＨＩ，ｎＶＡＴＫＩＮＳＯＮ，Ｃ．Ｍ．ＳＥＬＬＡＲＳ ａｎｄｔｏＣ．Ｗ．ＡＮＤＥＲＳＯＮ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｃｄ Ｐａｒｅｔｏ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｉｎ ｃｌｅａＩｌｓｔｅｅｌｓ Ａｃｔａ ｍａｔｅｒ．Ｖｏｌ ４７，Ｎｏ．５，ＰＰ．１４５５―１４６８，１９９９２３１ Ｐ，ＭｃＣｕｌｌａｇｈ，Ｊ．Ａ，Ｎｅｌｄｅｒ，ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＨａｌｌ，Ｌｏｎｄｏｎ，１９８９ＬｉｎｅａｒＭｏｄｅｌｓ，２ｎｄＥｄｉｔｉｏｎ、Ｃｈａｐｍａｎ＆２４］Ｓｅｔｔｌｉｎｇ，Ｒ．Ｊ．，１９８０Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ＳｔａｔｉｓｔｉｃｓＷｉｌｅｙ，ＮｅｗＹｏｒｋ．参考文献 ｐ５１ ＷｉＬｋｓ，Ｓ．Ｓ．（ｔ９３ｓ）．Ｔｈｅ华东师范大学硕士论文３８Ｌａｒｇｅ－Ｓａｍｐｌｅ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ Ｒａｔｉｏ ｆｏｒ Ｔｅｓｔｉｎｇ Ｃｏｒｎ－ｐｏｓｉｔｅ Ｈｙｐｏｔｈｅｓｅｓ．Ａｎｎａｌｓ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，９，６０―６２Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ２６】Ｗｉｌｋｓ，Ｓ．Ｓ（１９６２）Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐ７】ＷｉｌｌｉａｍＷｉｌｅｙ，ＮｅｗＹｏｒｋｅｘｔｅｎｓｉｏｎ，Ｐｈｙｓｉｃａ ＡＪ．Ｒｅｅｄ，Ｔｈｅ Ｐａｒｅｔｏ ｌａｗ ｏｆ Ｉｎｃｏｍｅｓ―ａｎ ｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎ ａｎｄａ１１３１９（２００３）４６９－４８６． ［２８】Ｖｙｔａｒａ．ｓＢｒａｚａｕｓｋａｓ，Ｆｉｓｈｅｒ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｆｏｒｔｈｅＦｃｌｌｅｒ―Ｐａｒｅｔｏｄｉｓｔｒｉｂｕ―ｔｉｏｎ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ＆ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ Ｌｅｔｔｅｒｓ５９（２００２）１５９―１６７ｆ２９】高等数理统计，茆诗松、王静龙、濮晓龙，施普林格出版社、高等教育出版社，１９９８盈３０Ｊ概率论与数理统计，魏宗舒，高等教育出版社，１９８２年 ｐｘ】Ｐａｒｅｔｏ分布的统计分析，李海芬，２００４年致谢华东师范大学硕士论文３９致谢本文是在王静龙教授的悉心指导下完成的，在此对王老师表示衷心的感谢．感谢王 老师在学习上和生活上对我无微不至的关怀．王老师严谨的科研态度、认真的治学作风 和宽厚待人的品德对我的影响甚深．我不仅学习了很多专业知识，而且积累了宝贵的人 生经验．我将终身受益与此． 感谢茆诗松老师、汪荣明老师、濮晓龙老师、郑伟安老师、周纪芗老师等等，感谢它 们对我知识的传授．同时感谢卞正庆、祝红、付秋妹、许亚萍、杨晓燕老师在这三年中对 我的关怀与照顾．此外感谢资料室的马国选、糜奇明、谷口老师在资料查找方面给予的帮助． 感谢三年的室友、挚友李艳，学习上和生活上的无数次交流给我留下了深刻的印象，对我的成长有很大的帮助．同时感谢李艳的电脑，使我能够顺和地完成毕业论文的撰写 以及诸多程序的运行．感谢我的父亲和母亲，是他们在家乡的支持和自小以来的言传身教使我可以专心学习并且最终完成学业．感谢我的弟弟，长期对我的支持和鼓励，使我在遇到困难的时候不灰心． 最后感谢所有帮助过我的老师和同学们．广义Pareto分布作者： 学位授予单位： 南新艳 华东师范大学参考文献(32条) 1.参考文献 2.Ali Chaouche.Jean-Noel Bacro A statistical test procedure for the shape parameter of a generalized Pareto distribution 2004 3.Arnold B C Pareto distribution 1983 4.Arnold B C.Laguna L On Generalized Pareto Distributions with Applications to In come Data.International Studied in Economics,Monomics,Monograph #10 1977 5.Atushi Ishikawa Pareto law and Pareto index in the income distribution of Japaese compa nies 2005 6.Bartlett M S Properties of sufficiency and statistical tests 1937 7.Boyan Dimitrov.Elart von Collani Vontorted uniform and Pareto distribu tions 1995 8.Central Bank of Ceylon Report on Consumer Finances and Socio-Economic Surney 1981/82 Sri Lanka 1984 9.Chambers J 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