现在已有的回答都好吓人... &br&&figure&&img src=&/af968a8a6eb9b25b5c54_b.jpg& data-rawwidth=&120& data-rawheight=&58& class=&content_image& width=&120&&&/figure&对于大部分已经熟练的数学和物理工作者, 这实在是一个极为基础的问题. 但这个问题在我刚接触张量时也困扰了我很久. 张量的那么多定义, 究竟哪些是对的? (显然都是对的. ) 它们的关系是什么? 我尽可能简单地用我自己的话把我对它粗浅的理解讲得明白些. &br&&br&&ul&&li&A View from Physics&/li&&/ul&张量的概念早在19世纪末就被数学家提出了, 但这个概念真正发扬光大, 还是在相对论出现以后. 原因是, 在相对论中, 在不同的参考系下看同一个物理系统, 它&看起来&是不一样的: 比如粒子的动量和能量在不同的参考系下根据 Lorentz 变换相联系. &br&&br&这带来一个问题: 在 Bob 看来, 一个粒子的能动量是&img src=&///equation?tex=%28E_b%2C%5Cbm%7Bp%7D_b%29& alt=&(E_b,\bm{p}_b)& eeimg=&1&&. 如果你问 Bob, 这个粒子的能动量是多少, 他会告诉你是&img src=&///equation?tex=%28E_b%2C%5Cbm%7Bp%7D_b%29& alt=&(E_b,\bm{p}_b)& eeimg=&1&&. 但我 (Andrew) 听了以后, 必然是反对的: Bob 说的不对! 我看到的粒子的能动量明明是&img src=&///equation?tex=%28E_a%2C%5Cbm%7Bp%7D_a%29& alt=&(E_a,\bm{p}_a)& eeimg=&1&&! &br&&br&我们知道, Andrew 和 Bob 都没有说错. &img src=&///equation?tex=%28E_a%2C%5Cbm%7Bp%7D_a%29& alt=&(E_a,\bm{p}_a)& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%28E_b%2C%5Cbm%7Bp%7D_b%29& alt=&(E_b,\bm{p}_b)& eeimg=&1&&可以通过恰当的 Lorentz 变换相互转化. &你说的我都懂&, 想必你已经看得不耐烦了, &可是这个粒子的能动量究竟是多少? & 由于参考系都是平权的, Andrew 和 Bob 的参考系并没有哪个更优越. 那我们干脆把它们都舍弃. 于是我们说, 这个粒子的能动量就由能动量张量&img src=&///equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&来描述. 能动量张量是一个不随坐标而改变的, 物理系统内在的量. (如果你对左边这句话的确切含义感到疑惑, 请先往下看. ) 它在 Andrew 的坐标系里看是&img src=&///equation?tex=%28E_a%2C%5Cbm%7Bp%7D_a%29& alt=&(E_a,\bm{p}_a)& eeimg=&1&&, 在 Bob 的坐标系里看是&img src=&///equation?tex=%28E_b%2C%5Cbm%7Bp%7D_b%29& alt=&(E_b,\bm{p}_b)& eeimg=&1&&, &img src=&///equation?tex=%28E_a%2C%5Cbm%7Bp%7D_a%29& alt=&(E_a,\bm{p}_a)& eeimg=&1&&按照 Lorentz 变换变成&img src=&///equation?tex=%28E_b%2C%5Cbm%7Bp%7D_b%29& alt=&(E_b,\bm{p}_b)& eeimg=&1&&. &br&&br&你现在肯定找到了一点感觉. 什么是张量? 如 A.Zee 书中所说: &b&A tensor is something that transforms like a tensor! 一个量, 在不同的参考系下按照某种特定的法则进行变换, 就是张量. &/b&&br&&br&用张量有什么好处? 物理定律是不会随参考系的变化而变化的. 考虑下面一个物理过程: 两个粒子1和2经过散射变成了3和4. 在 Andrew 看来, 能动量守恒是&img src=&///equation?tex=%28E_%7Ba%2C1%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C1%7D%29%2B%28E_%7Ba%2C2%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C2%7D%29%3D%28E_%7Ba%2C3%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C3%7D%29%2B%28E_%7Ba%2C4%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C4%7D%29& alt=&(E_{a,1},\bm{p}_{a,1})+(E_{a,2},\bm{p}_{a,2})=(E_{a,3},\bm{p}_{a,3})+(E_{a,4},\bm{p}_{a,4})& eeimg=&1&&. 但这样写, 并不能直接看出 Bob 也看到能动量守恒. 但如果用张量的语言直接写成: &img src=&///equation?tex=T_1%2BT_2%3DT_3%2BT_4& alt=&T_1+T_2=T_3+T_4& eeimg=&1&&, 我们立刻就知道它在 Andrew 看来是&img src=&///equation?tex=%28E_%7Ba%2C1%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C1%7D%29%2B%28E_%7Ba%2C2%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C2%7D%29%3D%28E_%7Ba%2C3%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C3%7D%29%2B%28E_%7Ba%2C4%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C4%7D%29& alt=&(E_{a,1},\bm{p}_{a,1})+(E_{a,2},\bm{p}_{a,2})=(E_{a,3},\bm{p}_{a,3})+(E_{a,4},\bm{p}_{a,4})& eeimg=&1&&, 在 Bob 看来是&img src=&///equation?tex=%28E_%7Bb%2C1%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Bb%2C1%7D%29%2B%28E_%7Bb%2C2%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Bb%2C2%7D%29%3D%28E_%7Bb%2C3%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Bb%2C3%7D%29%2B%28E_%7Bb%2C4%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Bb%2C4%7D%29& alt=&(E_{b,1},\bm{p}_{b,1})+(E_{b,2},\bm{p}_{b,2})=(E_{b,3},\bm{p}_{b,3})+(E_{b,4},\bm{p}_{b,4})& eeimg=&1&&. &b&用张量语言描述的物理定律自动保证了不随参考系变化的这一性质. 而且从记号的角度看, 用张量也更加简洁. [*]&/b&&br&&br&&ul&&li&Let us go deeper&/li&&/ul&我们已经从物理上理解了什么是张量. 物理学家到此就很满意了. 但严谨的数学家们并不满意. &你刚刚说张量是一个不随坐标而改变的, 物理系统内在的量&, 数学家质问道, &你说的我都懂, 可是张量究竟是什么?&&br&&br&如果你对线性代数略知一二, 可能知道线性变换这个概念. 线性变换这个概念的精髓之处在于, 它不依赖于线性空间的基的选取. 在某一组基下, 它的矩阵表示&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&是一个模样; 在另外一组基下, 它的矩阵表示&img src=&///equation?tex=A%27%3DTAT%5E%7B-1%7D& alt=&A'=TAT^{-1}& eeimg=&1&&是另一个模样, 其中&img src=&///equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&是基变换矩阵. 有一种常见的说法: &b&矩阵的意义是线性变换, 相似矩阵是同一个线性变换在不同的基下的表示. &/b&&br&&br&慢着! &同一个线性变换在不同的基下的表示&, 这难道不就是和之前说的张量是一回事嘛! Lorentz 变换就是 Minkowski 空间中的基变换, 能动量张量实质上就是一个线性变换. Andrew 和 Bob 看到的能动量张量, 不就是这个线性变换在不同的基下的表示吗? &br&&br&你现在肯定找到了一点感觉. 什么是张量? 在数学家眼中, 张量已经被抽象成了线性变换. &br&&br&当然, 数学家们还可以再进一步抽象这个概念, 提取出更普遍的 universal property. 这时, 张量被定义为张量积空间中的一个元素. 具体的定义不在此赘述, 请参考相关专著. 但尽管已经抽象到那样的程度, 其背后的思想依然是不变的. &br&&br&如果你通过上面的阅读理解了张量背后的思想, 再去看相关数学或物理专著上或繁杂或抽象的式子, 或许会开朗很多 :-)&br&&br&&br&最后引用陈维桓先生的《微分流形初步》一书中的一段话进行总结: &br&&blockquote&张量的概念是 G.Ricci 在19世纪末提出的. G.Ricci 研究张量的目的是为几何性质和物理规律的表达寻求一种在坐标变换下不变的形式. 他所考虑的张量是如同向量的分量那样的数组, 要求它们在坐标变换下服从某种线性变换的规律. 近代的理论已经把张量叙述成向量空间及其对偶空间上的多重线性函数, 但是用分量表示张量仍有它的重要性, 尤其是涉及张量的计算时更是如此.&/blockquote&&br&[*] 如果还定义了内积/缩并等运算, 还可以由张量迅速得到一些不变量. 此时会涉及对偶空间(因为内积本质是个线性函数)等概念, 进而涉及张量的协变和逆变. 为了行文简洁, 我在正文中没有提及这些概念. 但它们本质上和正文所说没有区别.
现在已有的回答都好吓人... 对于大部分已经熟练的数学和物理工作者, 这实在是一个极为基础的问题. 但这个问题在我刚接触张量时也困扰了我很久. 张量的那么多定义, 究竟哪些是对的? (显然都是对的. ) 它们的关系是什么? 我尽可能简单地用我自己的话把我对它…
从傅里叶变换到小波变换，并不是一个完全抽象的东西，可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义，如果我们从它的提出时所面对的问题看起，可以整理出非常清晰的思路。&br&&br&下面我就按照傅里叶--&短时傅里叶变换--&小波变换的顺序，讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。（反正题主要求的是通俗形象，没说简短，希望不会太长不看。。）&br&&br&&b&一、傅里叶变换&/b&&br&关于傅里叶变换的基本概念在此我就不再赘述了，默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。（在第三节小波变换的地方我会再形象地讲一下傅里叶变换）&br&&br&下面我们主要将傅里叶变换的&b&不足。&/b&即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱，那么为什么还要提出小波变换？答案就是&a href=&/people/fang-qin-yuan& class=&internal&&方沁园&/a&所说的，“对&b&非平稳&/b&过程，傅里叶变换有局限性”。看如下一个简单的信号：&figure&&img src=&/da6c4b8ceebc_b.jpg& data-rawwidth=&597& data-rawheight=&284& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&597& data-original=&/da6c4b8ceebc_r.jpg&&&/figure&做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。&br&&br&一切没有问题。但是，如果是&b&频率随着时间变化的非平稳信号&/b&呢？&br&&figure&&img src=&/def600cea95fa10e59d6c_b.jpg& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&612& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&/def600cea95fa10e59d6c_r.jpg&&&/figure&&br&如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。&br&做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。&br&&br&可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取&b&一段信号总体上包含哪些频率的成分&/b&，但是&b&对各成分出现的时刻并无所知&/b&。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。&br&&br&然而平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。&br&&figure&&img src=&/e7beba589babee_b.jpg& data-rawwidth=&429& data-rawheight=&287& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&429& data-original=&/e7beba589babee_r.jpg&&&/figure&上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，我们还想知道&b&各个成分出现的时间&/b&。知道&b&信号频率随时间变化的情况&/b&，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是&b&时频分析。&/b&&br&&br&&br&二、短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT）&br&一个简单可行的方法就是——&b&加窗&/b&。我又要套用&a href=&/people/fang-qin-yuan& class=&internal&&方沁园&/a&同学的描述了，“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。&br&看图：&br&&figure&&img src=&/7f4ac3cda2_b.jpg& data-rawwidth=&844& data-rawheight=&449& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&844& data-original=&/7f4ac3cda2_r.jpg&&&/figure&时域上分成一段一段做FFT，不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗！&br&用这样的方法，可以得到一个信号的时频图了：&br&&figure&&img src=&/fec492fbcf67ddde4cbbf4_b.jpg& data-rawwidth=&649& data-rawheight=&492& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&649& data-original=&/fec492fbcf67ddde4cbbf4_r.jpg&&&/figure&
——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”&br&图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分，还能看到出现的时间。两排峰是对称的，所以大家只用看一排就行了。&br&&br&是不是棒棒的？时频分析结果到手。但是STFT依然有缺陷。&br&&br&使用STFT存在一个问题，我们应该用多宽的窗函数？&br&窗太宽太窄都有问题：&figure&&img src=&/479dd3fe73b3_b.jpg& data-rawwidth=&627& data-rawheight=&312& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&627& data-original=&/479dd3fe73b3_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&/9da6c3e9704c32bfb7b53be_b.jpg& data-rawwidth=&609& data-rawheight=&350& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&609& data-original=&/9da6c3e9704c32bfb7b53be_r.jpg&&&/figure&窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。&br&（这里插一句，这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置，我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。 所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。）&br&&br&看看实例效果吧：&figure&&img src=&/565a3c57d43c8f2f78a5b1dc0de66e34_b.jpg& data-rawwidth=&608& data-rawheight=&292& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&608& data-original=&/565a3c57d43c8f2f78a5b1dc0de66e34_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&/c7d2d230a8ca77fac901eea_b.jpg& data-rawwidth=&604& data-rawheight=&295& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&604& data-original=&/c7d2d230a8ca77fac901eea_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&/ca148e0a3e571_b.jpg& data-rawwidth=&614& data-rawheight=&281& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&614& data-original=&/ca148e0a3e571_r.jpg&&&/figure&
——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”&br&上图对同一个信号（4个频率成分）采用不同宽度的窗做STFT，结果如右图。用窄窗，时频图在时间轴上分辨率很高，几个峰基本成矩形，而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上，窄窗明显不如下边两个宽窗精确。&br&&br&所以&b&窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低&/b&，&b&宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高&/b&。对于时变的非稳态信号，&b&高频适合小窗口，低频适合大窗口&/b&。然而&b&STFT的窗口是固定的&/b&，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。&br&&br&&br&&b&三、小波变换&/b&&br&&br&那么你可能会想到，让窗口大小变起来，多做几次STFT不就可以了吗？！没错，小波变换就有着这样的思路。&br&但事实上小波并不是这么做的（关于这一点，&a href=&/people/fang-qin-yuan& class=&internal&&方沁园&/a&同学的表述“小波变换就是根据算法，加不等长的窗，对每一小部分进行傅里叶变换”就不准确了。小波变换并没有采用窗的思想，更没有做傅里叶变换。）&br&至于为什么不采用可变窗的STFT呢，我认为是因为这样做冗余会太严重，&b&STFT做不到正交化&/b&，这也是它的一大缺陷。&br&&br&于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。&b&STFT是给信号加窗，分段做FFT&/b&；而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将&b&无限长的三角函数基&/b&换成了&b&有限长的会衰减的小波基&/b&。这样&b&不仅能够获取频率&/b&，还可以&b&定位到时间&/b&了~&br&&br&【解释】&br&来我们再回顾一下傅里叶变换吧，没弄清傅里叶变换为什么能得到信号各个频率成分的同学也可以再借我的图理解一下。&br&傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数：&br&&figure&&img src=&/be914c25f4886601cafb9f_b.jpg& data-rawwidth=&732& data-rawheight=&504& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&732& data-original=&/be914c25f4886601cafb9f_r.jpg&&&/figure&&br&这个基函数会&b&伸缩&/b&、会平移（其实本质并非平移，而是两个正交基的分解）。缩得窄，对应高频；伸得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度（宽窄）下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到一个很大的值，因为此时二者有一种&b&重合&/b&关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。&br&&br&仔细体会可以发现，这一步其实是在计算信号和三角函数的&b&相关性。&/b&&br&&br&&figure&&img src=&/8fbc3a5f07a5ab0f0a90b65bc621ae21_b.jpg& data-rawwidth=&452& data-rawheight=&311& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&452& data-original=&/8fbc3a5f07a5ab0f0a90b65bc621ae21_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&/95cfa4aa2b2ea493cf07dbd_b.jpg& data-rawwidth=&509& data-rawheight=&297& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&509& data-original=&/95cfa4aa2b2ea493cf07dbd_r.jpg&&&/figure&看，这两种尺度能乘出一个大的值（相关度高），所以信号包含较多的这两个频率成分，在频谱上这两个频率会出现两个峰。&br&&br&&br&以上，就是&b&粗浅意义上&/b&傅里叶变换的原理。&br&&br&&br&&br&&br&如前边所说，小波做的改变就在于，将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。&br&&figure&&img src=&/94b5f53d29d655e0a4d90fa867027eda_b.jpg& data-rawwidth=&675& data-rawheight=&477& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&675& data-original=&/94b5f53d29d655e0a4d90fa867027eda_r.jpg&&&/figure&这就是为什么它叫“小波”，因为是很小的一个波嘛~&br&&br&&figure&&img src=&/ff814beecf82b29b0576ef0_b.jpg& data-rawwidth=&389& data-rawheight=&71& class=&content_image& width=&389&&&/figure&&br&从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。&b&尺度&/b&a控制小波函数的&b&伸缩&/b&，&b&平移量&/b& τ控制小波函数的&b&平移&/b&。&b&尺度&/b&就对应于&b&频率&/b&（反比），&b&平移量 &/b&τ就对应于&b&时间&/b&。&br&&br&&br&&figure&&img src=&/c4aa4c1cc6fdc1feb47be_b.jpg& data-rawwidth=&592& data-rawheight=&341& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&592& data-original=&/c4aa4c1cc6fdc1feb47be_r.jpg&&&/figure&&br&当伸缩、平移到这么一种重合情况时，也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是，这&b&不仅可以知道信号有这样频率的成分，而且知道它在时域上存在的具体位置。&/b&&br&&br&而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，我们就知道信号&b&在每个位置都包含哪些频率成分&/b&。&br&&br&看到了吗？有了小波，我们从此再也不害怕非稳定信号啦！从此可以做时频分析啦！&br&&br&做傅里叶变换只能得到一个&b&频谱&/b&，做小波变换却可以得到一个&b&时频谱&/b&！&br&&figure&&img src=&/27adabe9c43ee08a983505_b.jpg& data-rawwidth=&277& data-rawheight=&208& class=&content_image& width=&277&&&/figure&
↑：时域信号&br&&figure&&img src=&/fdcbfc760959bec38b6cc_b.jpg& data-rawwidth=&404& data-rawheight=&302& class=&content_image& width=&404&&&/figure&↑：傅里叶变换结果&br&&br&&figure&&img src=&/cfae89c24cc167c028f0_b.jpg& data-rawwidth=&524& data-rawheight=&403& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&524& data-original=&/cfae89c24cc167c028f0_r.jpg&&&/figure&
——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”&br&
↑：小波变换结果&br&&br&小波还有一些好处，比如，我们知道对于突变信号，傅里叶变换存在&b&吉布斯效应&/b&，我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号：&br&&figure&&img src=&/cab327ec58d2_b.jpg& data-rawwidth=&691& data-rawheight=&474& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&691& data-original=&/cab327ec58d2_r.jpg&&&/figure&然而衰减的小波就不一样了：&br&&figure&&img src=&/d03efb2dc10be4a7bd2af92_b.jpg& data-rawwidth=&677& data-rawheight=&522& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&677& data-original=&/d03efb2dc10be4a7bd2af92_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&&br&以上，就是小波的意义。&br&&br&-----------------------------------------------------------------------------------------------------------&br&&br&以上只是用形象地给大家展示了一下小波的思想，希望能对大家的入门带来一些帮助。毕竟如果对小波一无所知，直接去看那些堆砌公式、照搬论文语言的教材，一定会痛苦不堪。&br&在这里推荐几篇入门读物，都是以感性介绍为主，易懂但并不深入，对大家初步理解小波会很有帮助。文中有的思路和图也选自于其中：&br&1. THE WAVELET TUTORIAL （强烈推荐，点击链接：&a href=&///?target=http%3A//users.rowan.edu/%7Epolikar/WAVELETS/WTtutorial.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&INDEX TO SERIES OF TUTORIALS TO WAVELET TRANSFORM BY ROBI POLIKAR&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）&br&2. WAVELETS：SEEING THE FOREST AND THE TREES&br&3. A Really Friendly Guide to Wavelets&br&4. Conceptual wavelets&br&&br&但是真正理解透小波变换，这些还差得很远。比如你至少还要知道有一个&b&“尺度函数”&/b&的存在，它是构造“小波函数”的关键，并且是它和小波函数一起才构成了小波多分辨率分析，理解了它才有可能利用小波做一些数字信号处理；你还要理解离散小波变换、正交小波变换、二维小波变换、小波包……这些内容国内教材上讲得也很糟糕，大家就一点一点啃吧~&br&&br&第一次在知乎写这么长的回答，都是利用实验室搬完砖之余的时间一点点弄的，欢迎分享，如转载还请跟我说一声哈~&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------&br&&br&评论中的一些问题的回答：&br&1. 关于海森堡不确定性原理&br&
不确定性原理，或者叫测不准原理，最早出自量子力学，意为在微观世界，粒子的位置与动量不可同时被确定。但是这个原理并不局限于量子力学，有很多物理量都有这样的特征，比如能量和时间、角动量和角度。体现在信号领域就是时域和频域。不过更准确一点的表述应该是：一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中；一个函数时域越“窄”，它经傅里叶变换的频域后就越“宽”。&br&
如果有兴趣深入研究一下的话，这个原理其实非常耐人寻味。信号处理中的一些新理论在根本上也和它有所相连，比如压缩感知。如果你剥开它复杂的数学描述，最后会发现它在本质上能实现其实和不确定性原理密切相关。而且大家不觉得这样一些矛盾的东西在哲学意义上也很奇妙吗？&br&&br&&br&2. 关于正交化&br&
什么是正交化？为什么说小波能实现正交化是优势?&br&
简单说，如果采用正交基，变换域系数会没有冗余信息，变换前后的信号能量相等，等于是用最少的数据表达最大的信息量，利于数值压缩等领域。JPEG2000压缩就是用正交小波变换。&br&
比如典型的正交基：二维笛卡尔坐标系的（1,0）、（0,1），用它们表达一个信号显然非常高效，计算简单。而如果用三个互成120°的向量表达，则会有信息冗余，有重复表达。&br&
但是并不意味着正交一定优于不正交。比如如果是做图像增强，有时候反而希望能有一些冗余信息，更利于对噪声的抑制和对某些特征的增强。&br&&br&3. 关于瞬时频率&br&　　原问题：图中时刻点对应一频率值，一个时刻点只有一个信号值，又怎么能得到他的频率呢？&br&　　很好的问题。如文中所说，绝对意义的瞬时频率其实是不存在的。单看一个时刻点的一个信号值，当然得不到它的频率。我们只不过是用很短的一段信号的频率作为该时刻的频率，所以我们得到的只是时间分辨率有限的近似分析结果。这一想法在STFT上体现得很明显。小波用衰减的基函数去测定信号的瞬时频率，思想也类似。（不过到了Hilbert变换，思路就不一样了，以后有机会细讲）&br&&br&4. 关于小波变换的不足&br&
这要看和谁比了。&br&A.作为图像处理方法，和多尺度几何分析方法（超小波）比：&br&
对于图像这种二维信号的话，二维小波变换只能沿2个方向进行，对图像中点的信息表达还可以，但是对线就比较差。而图像中最重要的信息恰是那些边缘线，这时候ridgelet（脊波）, curvelet（曲波）等多尺度几何分析方法就更有优势了。&br&B. 作为时频分析方法，和HHT比：&br&
相比于HHT等时频分析方法，小波依然没脱离海森堡测不准原理的束缚，某种尺度下，不能在时间和频率上同时具有很高的精度；以及小波是非适应性的，基函数选定了就不改了。&br&&br&5. 关于文中表述的严谨性&br&评论中有不少朋友提到，我的一些表述不够精准。这是肯定的，并且我也是知道的。比如傅里叶变换的理解部分，我所说的那种“乘出一个大的值”的表述肯定是不够严谨的。具体我也在评论的回答中做了解释。我想说的是通俗易懂和精确严谨实在难以兼得，如果要追求严谨，最好的就是教科书上的数学表达，它们无懈可击，但是对于初学者来说，恐怕存在门槛。如果要通俗解释，必然只能侧重一个关键点，而出现漏洞。我想这也是教科书从来不把这些通俗解释写出来的原因吧——作者们不是不懂，而是怕写错。所以想深入理解傅里叶变换和小波变换的朋友还请认真学习教材，如果这篇文章能给一些初学者一点点帮助，我就心满意足了。&br&&br&&br&-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------&br&&br&谢谢大家！万万没想到能收到这么多赞。。还有老师拿我这篇文章在课上讲。。？真是受宠若惊。本以为这么学术的一个东西不会有多少人看的。。&br&收到了一万点激励！话说我也一直想更新一些新东西，只是正值申请季，实验室里砖又没搬完，看来只能等明年了。。&br&接下来考虑的题目有：&b&压缩感知、希尔伯特变换、信号的不确定性原理、小波-尺度函数与多分辨率分析、小波-&/b&&b&二维小波与多尺度几何分析、独立成分分析。。&/b&&br&&b&图像处理&/b&领域的，比如图像分割、图像去噪算法之类的也可以！&br&&b&绝对要通俗易懂！&/b&&br&&br&&br&不造大家资词不资词啊。。&br&&br&&br&-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------&br&&br&&b&未经允许，禁止任何微信公众号直接转载。&/b&&br&&br&&br&&br&&b&&/b&&br&&b&现已更新专栏：&/b&&br&&b&&a href=&/p/& class=&internal&&形象易懂讲解算法II——压缩感知 - 咚懂咚懂咚的文章 - 知乎专栏&/a&&/b&
从傅里叶变换到小波变换，并不是一个完全抽象的东西，可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义，如果我们从它的提出时所面对的问题看起，可以整理出非常清晰的思路。 下面我就按照傅里叶--&短时傅里叶变换--&小波变换的顺序，讲一下为什么会出现小波这…
我大约在2，3年前，曾经觉得自己能帮助高中生，尤其是你这种高二左右的，迅速的开始进入高等数学的学习。我当时十分痛恨高考这个制度（现在也对它没什么好感）。这件事情我坚持了半年有余，一开始有大约50，60人参与。我们基本完成了张筑生的第一本书，还念了一些线性代数。期间有一对儿双胞胎，10岁刚刚出头。他们找我的时候基本完成了高中水平数学的学习（他们在中国生活，他们的父母没有把孩子送到学校，完全自己教育）。可以说他们俩是我做这个“实验”的最初原因。&br&&br&后来这些学生都不再坚持了，主要是没有时间，说来说去还是高考的指挥棒逼着人往别处走。我自己也由于很多原因不想继续做了。这对儿双胞胎在犹豫转向其他学科。至于这些年轻人的后来情况，我只了解一位。他后来在高考报考北大，只差很少的分数失利，去了另外一所不错的大学。大学一年级他继续努力，直接被密歇根大学录取，于是他去美国开始读本科。我们偶尔仍然保持联系。所以你当然应该努力去到北大读书，如果没有得到机会也没什么，一样有可能逐渐在人生马拉松中赶上。&br&&br&人是要把现实中的每一个小小进步，与自己心底的理想结合到一起。这两者偏离最大的时刻，就是压力最大，最难坚持的时刻。而且有时候还会有误解，自以为已经在前往梦想的路上，开心了一段时间，却忽然发现几乎走在相反的方向上。这时候更加是对人的考验。经历过的考验多起来了，才会越来越有信心走下去。这看上去是空话，但是这实际上正是很多有资格的人不乐于回答这样问题的原因：说这些你也不能够完全体会到。就好像心灵鸡汤一样，无非是劝人坚持，极难给出更具体的方案。没有人能预料到你会遇到什么事儿，什么人。&br&&br&我要尝试给你一个具体的建议如下。&br&&br&误打误撞的走下去几年，是检验你自己的最好方法。我在大约5年前，很极端的一心想去跟Terence Tao读博士。我翻译他的博客，跟他念遍历论的课程，基本上是自学。他在用一些遍历论的一些东西，做的其实是组合和数论。我2010年和2011年申请了两次他的博士，他并不是很感兴趣招我。但是我误打误撞得到了另一个机会，开始学习所谓动力系统和遍历论这个专业。我现在知道，Terence Tao的数学风格当然特别广，而且他掌握各类工具，但是他并不算是动力系统方面的专家。这个经历很有意思，这就是我说的误打误撞。我过去3，4年最大的经验：不能总想着有哪一个权威来告诉你，这样做就是对的，那样就做错的。于是你等到确定了，看清楚了方向，再动手。这种心态，一定给你带来危害，因为这样是本末倒置的。最终你一步也走不出去。&br&&br&说到误打误撞，其实很多专家对初学者是非常宽容的。我在来我如今所在这个研究所的时候，我在Statement里面瞎编，我说我在考虑Furstenberg的＊2，＊3猜想。我现在常常拿这个故事自嘲。这个是好搞笑的，就好像说自己在考虑哥德巴赫猜想。实际上，当弱哥德巴赫猜想得到解决，论文的题目是非常具体的：&br&&br&&a href=&///?target=http%3A//arxiv.org/abs/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&arxiv.org/abs/&/span&&span class=&invisible&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&因为专家都在一条很长的路走了很远，都知道建立在各种文献基础之上，差的只是那么一步，只要能过去，就做出来了。Furstenberg猜想也类似。这是很多专家工作了一辈子也还没解决的问题。我如果真的多懂一点儿，我可能会提到其他Measure Rigidity的各类工作，然后讲自己对哪些工具更熟悉更有兴趣之类的话。但是我当时没有那个程度。我写成那样子的Statement，专家并没有来嘲笑我，他们反而给我机会来念博士。&br&&br&我自己高中时期是更喜欢物理的，后来开始念高等数学，这一点跟你的感受很类似。我是在大一才有这方面的意识，比你要晚一些。更别提我后来又浪费了很多年，几乎走偏了。你如果真的想一直在这条路走下去，本科的几年怎么过是决定性的。更加决定性的是你能否有机会认识怀有理想主义，并且实干的人。如果你周围熟悉的人，你信任的人都觉得，学数学是为了其他的目的（要么开补习班多赚钱，要么转行去干嘛干嘛，还是为了多赚钱），那么你也很难跳出这个小圈子，离开那口困蛙之井，去见识更大的天地。到底跟什么人接触，受什么人影响，是应该决定于你自己的。&br&&br&我认识的朋友中，最有希望走的更远的人有一个共同点，他们并没有觉得自己有什么特殊的。他们就这样做下去，没有什么其他心思。Just Work.这个是普遍的，一位女数学家去跟陈省身讲，说自己女性身份带来很大的压力，少了很多的机会，陈省身也说，Just Work.真正的数学工作者们，他们也会抱怨工作机会不多，但是他们不会让这个影响自己过多。某些人的态度是，如果今年就业不景气，那就考虑转行，就业好就再坚持一下。这种人最后一定是要离开的。
我大约在2，3年前，曾经觉得自己能帮助高中生，尤其是你这种高二左右的，迅速的开始进入高等数学的学习。我当时十分痛恨高考这个制度（现在也对它没什么好感）。这件事情我坚持了半年有余，一开始有大约50，60人参与。我们基本完成了张筑生的第一本书，还念…
特殊函数专业的来回答下~~&br&&br&&b&Beta函数和Gamma函数是最基本也是最重要的两个特殊函数，它们如同基石般奠定了整个特殊函数论大厦的基础。&/b&部分理论应用如下：&br&&br&应用 a.&br&&br&Beta函数和Gamma函数提供了大部分超几何函数（Hypergeometric functions）的理论基础。Gauss 超几何级数的积分表示便是借助了Beta积分。而Mellin-Barnes积分表示则是借助了Gamma函数的性质，这使得超几何级数在复平面上的延拓得以通过一种统一的形式得以实现。&br&&br&应用 b.&br&&br&分数阶微积分，也就是通常牛顿-莱布尼茨微积分的推广，也依赖于Beta和Gamma函数的定义。你可以看一下Riemann-Liouville分数阶积分的定义。而由整数阶导数到分数阶导数（复数阶导数）的插值就是来源于Gamma函数实际上是阶乘n!的插值这一性质。&br&&br&应用 c.&br&&br&Riemann zeta function 的一个基本的积分表示其核心就是Gamma函数。而许多zeta函数的推广都离不开Gamma函数。&br&&br&应用 d.&br&&br&Laplace变换和Mellin变换，这两个十分重要的积分变换，可以十分好的统一在Gamma函数的积分表示上。也就是说，Gamma函数是指数函数的Mellin变换，同时还是幂函数的Laplace变换。&br&&br&应用 e.&br&&br&Beta函数本身可以用来构造概率分布。而高维的Beta函数，例如Dirichlet, Liouville型的Beta函数也在概率统计中有这重要的应用价值。&br&&br&应用 f. &br&&br&Selberg 构造的一个特别重要的multidimensional Beta integral在解决Macdonald Conjecture的过程中也起到了很大的作用。而它本身现在也成为了一个十分重要的研究对象。&br&&br&总之，从Gamma和Beta函数出发，已经生长出了足够我们穷尽一生去探究的数学分支，它们的重要性就包含在其中吧~&br&&br&===========================
补充 ===========================&br&&br&应用 g.&br&&br&近年来，关于完全单调函数类（completely monotonic functions）的研究非常多，从而衍生出了许多诸如 logarithmically completely monotonic functions 这样的更复杂的刻画。在涉及这些主题的论文中，Gamma函数经常作为构造完全单调函数的元素出现。&b&个人感觉，这虽然算不上是重大的问题，确是值得一做的问题，写在这里希望可以提供有科研意愿的人一点灵感。&/b&&br&&br&参考文献：&br&&ul&&li&Chao-Ping Chen, Feng Qi, Logarithmically completely monotonic functions relating to the gamma function, J. Math. Anal. Appl. 321 (2006). 这篇文章我是看过的，内容不难的，如果本科毕业设计想写相关论文，这是可以比较容易看懂的。&/li&&li&Chao-Ping Chen, R.B. Paris, Inequalities, asymptotic expansions and completely monotonic functions related to the gamma function, Applied Mathematics and Computation, 250 (2015).&/li&&li&A.Z. Grinshpan, M.E.H. Ismail, Completely monotonic functions involving the gamma and q-gamma functions, Proceedings of the American Mathematical Society, 134 (2005).&/li&&li&C.Berg, H.L. Pedersen, A completely monotone function related to the Gamma function, Journal of Computational and Applied Mathematics 133 (2001).&/li&&/ul&
特殊函数专业的来回答下~~ Beta函数和Gamma函数是最基本也是最重要的两个特殊函数，它们如同基石般奠定了整个特殊函数论大厦的基础。部分理论应用如下： 应用 a. Beta函数和Gamma函数提供了大部分超几何函数（Hypergeometric functions）的理论基础。Gauss …
谢邀。学线性代数有什么用？用处可大了！可以说线性代数不管是实用性上来说，还是从对未来更有用的课程的理解上来说，都是作用大大的。&br&&br&这里不得不提一句，国内的线性代数教材非常的差。翻一翻国内的教材，基本上着重点在运算上，然而在计算机如此发达的今天，绝大多数情况下怎么去计算矩阵的乘积、矩阵的秩实际上并没有太大意义，重要的是计算的原理。而线性代数中最为重要的理念，比如线性空间、线性变换对于理解代数甚至高层次的数学都是非常有帮助的。如果想仔细深入理解线性代数，推荐看国外的教材。&br&&br&简单举几个例子吧。&br&&br&1、现在有两个n维向量&img src=&///equation?tex=%28x_1%2Cx_2%2C...x_n%29& alt=&(x_1,x_2,...x_n)& eeimg=&1&&、&img src=&///equation?tex=%28y_1%2Cy_2%2C...y_n%29& alt=&(y_1,y_2,...y_n)& eeimg=&1&&，我们可以定义内积：&img src=&///equation?tex=%3Cx%2Cy%3E%3Dx_1%5Ccdot+y_1%2Bx_2+%5Ccdot+y_2%2B...%2Bx_n%5Ccdot+y_n& alt=&&x,y&=x_1\cdot y_1+x_2 \cdot y_2+...+x_n\cdot y_n& eeimg=&1&&。有了内积的定义，我们可以另外定义两个概念：距离和正交。范数可以定义为：&img src=&///equation?tex=%7C%7Cx%7C%7C%3D%5Csqrt%7B%3Cx%2Cx%3E%7D+& alt=&||x||=\sqrt{&x,x&} & eeimg=&1&&，相应的距离可以定义为&img src=&///equation?tex=d%28x%2Cy%29%3D%7C%7Cx-y%7C%7C& alt=&d(x,y)=||x-y||& eeimg=&1&&，两个向量x和y正交如果：&img src=&///equation?tex=%3Cx%2Cy%3E%3D0& alt=&&x,y&=0& eeimg=&1&&。&br&&br&现在假设有n个向量：&img src=&///equation?tex=e_1%2Ce_2...e_n& alt=&e_1,e_2...e_n& eeimg=&1&&，且满足：&img src=&///equation?tex=%3Ce_i%2Ce_j%3E%3D0& alt=&&e_i,e_j&=0& eeimg=&1&&，那么我们说这n个向量组成了一组正交基。下面讨论规范化的正交基，即&img src=&///equation?tex=%7C%7Ce_i%7C%7C%3D1& alt=&||e_i||=1& eeimg=&1&&&br&&br&现在定义&img src=&///equation?tex=a_i%3D%3Cx%2Ce_i%3E& alt=&a_i=&x,e_i&& eeimg=&1&&，那么可以得到&img src=&///equation?tex=x%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En+a_i%5Ccdot+e_i& alt=&x=\sum_{i=1}^n a_i\cdot e_i& eeimg=&1&&，或者写成：&br&&img src=&///equation?tex=x%3DEa%2C+a%3D%28a_1%2Ca_2%2C...a_n%29%27%2C+E%3D%5Be_1%2Ce_2%2C...e_n%5D& alt=&x=Ea, a=(a_1,a_2,...a_n)', E=[e_1,e_2,...e_n]& eeimg=&1&&，同时有&img src=&///equation?tex=E%27E%3DI& alt=&E'E=I& eeimg=&1&&。&br&&br&好了，那么a就是x在由&img src=&///equation?tex=e_1%2Ce_2...e_n& alt=&e_1,e_2...e_n& eeimg=&1&&组成的坐标系中的坐标。最简单的比如&img src=&///equation?tex=e_i%3D%280%2C0%2C...1%2C...0%29%27& alt=&e_i=(0,0,...1,...0)'& eeimg=&1&&，也就是我们经常使用的坐标系。&br&&br&说这么多有什么用呢？你可能还记得傅里叶级数。好了，我们现在把任何一个函数想象成一个向量，我们找一组函数，比如&img src=&///equation?tex=sin%28nx%29%2C+cos%28mx%29& alt=&sin(nx), cos(mx)& eeimg=&1&&，我们可以知道，&img src=&///equation?tex=%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D+sin%28nx%29cos%28mx%29dx%3D0& alt=&\int_0^{2\pi} sin(nx)cos(mx)dx=0& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D+cos%28nx%29cos%28mx%29dx%3D0%2Cn%5Cne+m& alt=&\int_0^{2\pi} cos(nx)cos(mx)dx=0,n\ne m& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D+sin%28nx%29sin%28mx%29dx%3D0%2Cn%5Cne+m& alt=&\int_0^{2\pi} sin(nx)sin(mx)dx=0,n\ne m& eeimg=&1&&&br&你想到了啥？对了。如果把积分看成是“内积”，那么以上的sin cos函数就变成了一组正交基，再仔细看一下傅里叶级数的公式，傅里叶级数无非就是把一个函数往这个正交基上进行投影。所以傅里叶级数其实就是得到了一组“坐标”而已。当然了，这个坐标是无穷维的。学好了线性代数，一般意义上的n维空间能够想象，扩展到无穷维的傅里叶变幻也就没啥了。而一旦你掌握了傅里叶级数，那么声音频谱处理、图像压缩等等一些初级技术，也就没啥问题了。&br&&br&2、现在考虑一个矩阵A，n-by-n维。一个x维的向量与其相乘意味着什么？&br&&img src=&///equation?tex=y%3DAx%3D%5Ba_1%2Ca_2...a_n%5D%28x_1%2Cx_2...x_n%29%27%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En+a_i%5Ccdot+x_i& alt=&y=Ax=[a_1,a_2...a_n](x_1,x_2...x_n)'=\sum_{i=1}^n a_i\cdot x_i& eeimg=&1&&&br&也就是把A的列向量的一个线性组合。同时，A这个矩阵把一个n维空间的点x映射到了n维空间的另一个点y，我们把这种映射叫做变换。（关于线性变换，有一大堆可以写的，在此不说了，理解了线性变换才真正理解了矩阵）&br&&br&线性变换有很多实用的例子，比如最简单的，如果我有一个图像，需要旋转、放大该怎么做呢？用线性变换。比如：&br&&img src=&///equation?tex=A%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7Dcos%5Ctheta+%26+-sin%5Ctheta%5C%5C+sin%5Ctheta+%26+cos%5Ctheta+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%5D+& alt=&A=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{array} \right] & eeimg=&1&&&br&这个矩阵乘以任意一个向量x，就把这个点逆时针旋转了&img src=&///equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&度。以上也就是计算机处理二维、三维图像的原理。&br&&br&3、说起线性变换，有一类特殊的线性变换，叫做投影。比如我有k个n维空间的向量&img src=&///equation?tex=%5Bx_1%2C...%2Cx_k%5D%3DX& alt=&[x_1,...,x_k]=X& eeimg=&1&&，我现在希望找到一个X的线性组合，使得新得到的点与空间上的其他点y距离最小。那么可以证明，这个点为：&br&&img src=&///equation?tex=%5Chat+y%3DX%28X%27X%29%5E%7B-1%7DX%27y& alt=&\hat y=X(X'X)^{-1}X'y& eeimg=&1&&&br&现在记矩阵&img src=&///equation?tex=P%3DX%28X%27X%29%5E%7B-1%7DX%27%2C+M%3DI-P& alt=&P=X(X'X)^{-1}X', M=I-P& eeimg=&1&&，可以得到：&img src=&///equation?tex=P%5E2%3DP%2C+M%5E2%3DM%2C+MP%3DPM%3D0& alt=&P^2=P, M^2=M, MP=PM=0& eeimg=&1&&。&br&上面的两个矩阵，P和M，因为其乘积等于其本身，所以成为幂等矩阵。幂等矩阵跟正交投影是一一对应的。&br&对于任何两个向量&img src=&///equation?tex=x%2Cy& alt=&x,y& eeimg=&1&&，可以得到&img src=&///equation?tex=%28Mx%29%27%28Py%29%3Dx%27MPy%3D0& alt=&(Mx)'(Py)=x'MPy=0& eeimg=&1&&，所以经过M和P的变换之后的向量正交。&br&如果你仔细观察，会发现以上推导的东西就是最小二乘法OLS。最小二乘法的很多优良性质都可以使用幂等矩阵推导出来，特别是小样本性质，基本上离不开幂等矩阵。比如最简单的，根据勾股定理：&br&&img src=&///equation?tex=y%27y%3D%5Chat+y%27+%5Chat+y+%2Be%27e%3Dy%27Py%2By%27My& alt=&y'y=\hat y' \hat y +e'e=y'Py+y'My& eeimg=&1&&&br&&br&如果把正交投影这个概念推广到概率空间，那就是条件期望的概念了。什么迭代期望公式之类的，都可以用这个正交投影进行类比。&br&&br&4、说个实际点的应用吧。Morkov链相信大家都听说过。如果向量&img src=&///equation?tex=x_t& alt=&x_t& eeimg=&1&&代表了t期的状态概率分布，根据马尔科夫性的假设，下一期的状态分布&img src=&///equation?tex=x_%7Bt%2B1%7D& alt=&x_{t+1}& eeimg=&1&&只跟上一期有关，跟&img src=&///equation?tex=x_%7Bt-1%7D%2Cx_%7Bt-2%7D%2C...& alt=&x_{t-1},x_{t-2},...& eeimg=&1&&都没有关系，那么可以把下一期的状态分布写成：&br&&img src=&///equation?tex=x_%7Bt%2B1%7D%3DTx_t& alt=&x_{t+1}=Tx_t& eeimg=&1&&&br&其中T为马尔科夫矩阵，即第(i,j)个元素为从状态i到状态j的概率，且每行加起来等于1.&br&比如：&br&&img src=&///equation?tex=T%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D0.8+%26+0.1+%26+0.1%5C%5C+0.2+%26+0.6+%26+0.2%5C%5C+0.1+%26+0.1+%26+0.8+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%5D+& alt=&T=\left[\begin{array}{ccc}0.8 & 0.1 & 0.1\\ 0.2 & 0.6 & 0.2\\ 0.1 & 0.1 & 0.8 \end{array} \right] & eeimg=&1&&&br&那么一个自然的问题是，当t趋向于无穷，稳定状态是什么呢？很简单，把T进行特征值分解，对于特征值为1的特征向量就是平稳的分布，比如在这个例子里，平稳的分布是（2/5, 1/5, 2/5）。&br&&br&另外一个有趣的例子是，如果T代表的不是状态，而是几个网页。比如&br&&img src=&///equation?tex=T%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D0+%26+0.5+%26+0.5%5C%5C+1+%26+0+%26+0%5C%5C+0.5+%26+0.5+%26+0+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%5D+& alt=&T=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0.5 & 0.5\\ 1 & 0 & 0\\ 0.5 & 0.5 & 0 \end{array} \right] & eeimg=&1&&&br&这里的T意味着，第一个页面引用了第2\3个页面，第2个页面引用了第1个页面，第三个页面引用了第1、2个页面，那么这几个页面的重要程度如何呢？&br&&br&这里可以这么想，一个无聊上网的人，从随机的任何一页开始看，并完全随机的点击页面上的链接，那么当这个无聊透顶的人不断的点击之后，这些网页被点击的概率分布是怎样的？&br&&br&同样的思路，特征值分解，得到最终稳定的分布为（4/9,3/9,2/9），那么这些网页的重要性也就评出来了。&br&&br&这也就是Google的排序算法PageRank的一个简化版本
谢邀。学线性代数有什么用？用处可大了！可以说线性代数不管是实用性上来说，还是从对未来更有用的课程的理解上来说，都是作用大大的。 这里不得不提一句，国内的线性代数教材非常的差。翻一翻国内的教材，基本上着重点在运算上，然而在计算机如此发达的今…
首先，从数学角度来讲，对于一个最简单的情形而言，Legendre变换指的是如下图所示：&br&&figure&&img src=&/fdffca85dcac38f_b.jpg& data-rawwidth=&384& data-rawheight=&218& class=&content_image& width=&384&&&/figure&&br&(图片来自wikipedia:&a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Legendre_transformation& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Legendre transformation&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)&br&&br&对于一个凸函数&img src=&///equation?tex=y%3Dpx-f%28x%29& alt=&y=px-f(x)& eeimg=&1&&（其中&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&为凹函数,且是可微的），若令其值最大，则对其求导让右边为零，满足&br&&img src=&///equation?tex=p%3D%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdx%7D+& alt=&p=\frac{df}{dx} & eeimg=&1&&, &br&这样就从&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&到&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&建立起一个映射,即&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&到曲线斜率的映射。&br&若&img src=&///equation?tex=x%3Dg%28p%29& alt=&x=g(p)& eeimg=&1&&，即&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&到&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&的逆映射存在，因为&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&是一个凹函数，其切线斜率是与曲线上的点一一对应的。&br&&br&由此可以定义一个新的函数与&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&相对应:&img src=&///equation?tex=f%5E%7B%2A%7D+%28p%29%3Dg%28p%29%5Ccdot+p-f%28g%28p%29%29& alt=&f^{*} (p)=g(p)\cdot p-f(g(p))& eeimg=&1&&&br&这个函数是以&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&为自变量的函数。这个变换也就是把原来在的&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&对应于一个它的dual space上的&img src=&///equation?tex=f%5E%7B%2A%7D+& alt=&f^{*} & eeimg=&1&&。&br&&br&总而言之，它就是一种换一种方式描述同一个对象、且保证信息不丢失的对应方式。&br&&br&分析力学中的Legendre变换就是把刻画一个力学体系的动力学行为的表述方式从用Lagrangian变为Hamiltonian,对同一个体系从不同的角度（由位置与速度变为位置与动量）去表述。你说的没错，Lagrangian是在configuration space中的表述，而Hamiltonian所在的辛流形就是phase space.&br&&br&而热力学里的Legendre变换则是把体系用内能来描述转变为用焓来表述，所描述的东西是一样的，只是各自在不同情况下有各自的便捷之处。
首先，从数学角度来讲，对于一个最简单的情形而言，Legendre变换指的是如下图所示： (图片来自wikipedia:) 对于一个凸函数y=px-f(x)（其中f(x)为凹函数,且是可微的），若令其值最大，则对其求导让右边为零，满足 p=\frac{df}{dx} , …
谢邀 &a data-hash=&46a6bb4d9fbc342df4dc2& href=&///people/46a6bb4d9fbc342df4dc2& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@匡世珉& data-hovercard=&p$b$46a6bb4d9fbc342df4dc2&&@匡世珉&/a&。由于 &a data-hash=&1f196e116a4b9ea718f0cfb5ed60ab20& href=&///people/1f196e116a4b9ea718f0cfb5ed60ab20& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@安堇然& data-hovercard=&p$b$1f196e116a4b9ea718f0cfb5ed60ab20&&@安堇然&/a&的答案十分翔实全面，因此本答案在内容上不免与其有所重合，见谅。&br&&br&&b&本答案为逗比版，请大家去&a href=&/wx-math/& class=&internal&&可能是最好的讲解双曲函数的文章 - 那些年那些有趣的数学 - 知乎专栏&/a&看认真版，谢谢！&/b&&br&-------------------------------------------------------------------------------------------&br&&br&小方一回家就把书包扔到地上，数学君笑嘻嘻地凑了过来：「今天又学什么了？」&br&「双曲函数。」小方说，「看着和三角函数长得特别像，关系乱七八糟的搞不清。还有，这玩意是谁研究出来的啊？有用吗？」&br&「哈哈！」数学君笑了，「当然有用了，而且和三角函数的关系非常密切。」&br&&br&「有多密切？」&br&&br&「比你能想到的还要密切。」数学君卖了个关子，这才娓娓道来：&br&&br&「双曲函数最早的研究是悬链线。关于悬链线的问题是达芬奇提出来的。时隔170余年，雅各布·伯努利才在论文里提出了确定悬链线方程的问题。可怜的他为了证明这是一条抛物线花费了一年的经历却毫无进展（错得怎么会有进展……），而他弟弟却「牺牲了一晚上的休息时间」做了出来。&br&&br&实际上微积分在当时已经提出来了，以雅各布的数学基础，如果他设出函数再通过微分方程的方法去求解，得到正确答案问题不大。因为同时期的莱布尼茨、惠更斯和他弟都得到了正确答案，而这些人的数学水平是难分伯仲的。所以做科研不能先入为主啊！」（由于 &a data-hash=&1f196e116a4b9ea718f0cfb5ed60ab20& href=&///people/1f196e116a4b9ea718f0cfb5ed60ab20& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@安堇然& data-hovercard=&p$b$1f196e116a4b9ea718f0cfb5ed60ab20&&@安堇然&/a& 知友的答案对这一段历史的叙述很详，我就不赘述了）&br&&br&「知道了。」小方说，「那这玩意就是研究一个悬链线，怎么会应用如此广泛，而且这货到底和三角函数有啥关系？」「你别急啊……我马上就讲了」数学君叹道。&br&&br&「悬链线搞定之后，双曲函数被应用在了越来越多的领域。18世纪的时候，&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%25BA%25A6%25E7%25BF%25B0%25C2%25B7%25E6%25B5%25B7%25E5%259B%25A0%25E9%E5%25B8%258C%25C2%25B7%25E5%%25E4%25BC%25AF%25E7%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&约翰·海因里希·兰伯特&i class=&icon-external&&&/i&&/a&开始研究这个函数；19世纪中后期，&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%25A5%25A7%25E5%258F%25A4%25E6%2596%25AF%25E9%2583%25BD%25C2%25B7%25E5%25BE%25B7%25C2%25B7%25E6%%25E6%25A0%25B9& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&奥古斯都·德·摩根&i class=&icon-external&&&/i&&/a&将圆三角学扩展到了双曲线，&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%25A8%%25BB%%25B7%25E9%E9%25A0%%25B7%25E5%E5%%25E7%25A6%258F%25E5%25BE%25B7& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&威廉·金顿·克利福德&i class=&icon-external&&&/i&&/a&则使用双曲角来参数化单位双曲线。」&br&&br&这段话包含的数学名词比较多，小方过了一会才问：「圆三角学是啥？」&br&&br&数学君又开始侃侃而谈了：「你知道的三角函数又叫做『圆函数』，你应该知道为啥吧？」说着掏出了一张图片放在小方面前：&br&&br&&figure&&img src=&/04d76e81d969fa26e5e809e3d6e568e2_b.jpg& data-rawwidth=&382& data-rawheight=&268& class=&content_image& width=&382&&&/figure&「三角函数都是通过单位圆来定义的，图中不同颜色的线就是三角函数线，它们的长度就是三角函数值。」&br&&br&「这个我当然知道，高中就学过了。」小方不耐烦地说，「你快说说双曲函数吧。」「双曲函数是类似的，你要不先自己想想？」「我不想想了，你快说快说快说呗！」「唉，好吧。」数学君无奈地继续讲解。&br&&br&「双曲函数则是通过单位双曲线，即&img src=&///equation?tex=x%5E%7B2%7D-y%5E%7B2%7D%3D1& alt=&x^{2}-y^{2}=1& eeimg=&1&&来定义的。&br&&figure&&img src=&/04b2e77c17a5f6bb504e_b.jpg& data-rawwidth=&382& data-rawheight=&268& class=&content_image& width=&382&&&/figure&图中的彩色线段就是双曲函数线，其长度就是对应的双曲函数值。」&br&&br&「哦哦，这么一说这俩货还有一定联系啊。」小方沉吟了一下，突然又提了一个问题：「那圆和双曲线有什么关系吗？它们两个的关系是不是和圆与双曲线的关系有关？」&br&&br&「聪明！」数学君赞了一句，「圆与双曲线当然是有联系的，这个联系也决定了双曲函数和三角函数密不可分的关系。」&br&&br&「那么联系是什么呢？」&br&&br&「别急，知道&a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Jacques_Hadamard& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Jacques Hadamard&i class=&icon-external&&&/i&&/a&不？」&br&&br&「这是谁啊？」&br&&br&「苏联非常著名的一个数学家。他说过一句非常著名的话：『&b&实域上两个真理之间的最短路程是通过复域&/b&』」。&br&&br&「嗯，莫非……」&br&&br&「对的，通过复数，这两者可以得到难以想象的统一。」数学君喝了口水，开始讲述这最核心的部分：&br&&br&「我们先考虑圆与三角函数以及双曲线与双曲函数这两对内部的关系。单位圆的参数方程是什么？」「&img src=&///equation?tex=x%3Dcos%5Ctheta%2Cy%3Dsin%5Ctheta& alt=&x=cos\theta,y=sin\theta& eeimg=&1&&」「那单位双曲线呢？」「什么三角函数……正割还是啥来着……」「正割也行，但是你不觉得&img src=&///equation?tex=x%3Dcht%2Cy%3Dsht& alt=&x=cht,y=sht& eeimg=&1&&更方便吗？」「对啊！哎呦不错这个漂亮！」「这才只是个开始哦~哈哈」&br&&br&「你学过欧拉公式，应该知道在复变函数里，三角函数可以写成指数形式。具体的说就是：&br&&img src=&///equation?tex=cosz%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Biz%7D%2Be%5E%7B-iz%7D%7D%7B2%7D%2Csinz%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Biz%7D-e%5E%7B-iz%7D%7D%7B2i%7D& alt=&cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},sinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}& eeimg=&1&&,&br&而双曲余弦和双曲正弦函数分别是&br&&img src=&///equation?tex=chz%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bz%7D%2Be%5E%7B-z%7D%7D%7B2%7D%2Cshz%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bz%7D-e%5E%7B-z%7D%7D%7B2%7D& alt=&chz=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2},shz=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}& eeimg=&1&&&br&所以呢我们就有……」&br&&br&「我知道，这个我们今天讲了。」小方抢道，「&img src=&///equation?tex=cosz%3Dch%28iz%29%2Csinz%3D-ish%28iz%29& alt=&cosz=ch(iz),sinz=-ish(iz)& eeimg=&1&&」&br&&br&「对的，但是这里边蕴含着什么道理呢？我们从级数角度来讲讲吧。」数学君不敢卖关子了：&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ccosh+x+%3D+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bx%5E%7B2n%7D%7D%7B%282n%29%21%7D+%26+%5Csinh+x+%3D+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bx%5E%7B2n%2B1%7D%7D%7B%282n%2B1%29%21%7D+%5C%5C%0A%5Ccos+x+%3D+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7B%28-1%29%5Enx%5E%7B2n%7D%7D%7B%282n%29%21%7D+%26+%5Csin+x+%3D+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7B%28-1%29%5Enx%5E%7B2n%2B1%7D%7D%7B%282n%2B1%29%21%7D+& alt=&\cosh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!} & \sinh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} & \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} & eeimg=&1&&&br&&br&我们可以发现，两者只是将&img src=&///equation?tex=%28-1%29%5E%7Bn%7D& alt=&(-1)^{n}& eeimg=&1&&进行了改变，双曲函数就是把三角函数改为非交错级数了。&br&&br&「正是由于其无比类似的级数展开，才造就了两者十分相似的恒等变换关系。」数学君说着，亮出了几张满是公式的稿纸：&br&&br&&figure&&img src=&/d593dbb77d13f08797fa_b.jpg& data-rawwidth=&409& data-rawheight=&557& class=&content_image& width=&409&&&/figure&&figure&&img src=&/7683cbaba48a0c37b26e6baccf981a84_b.jpg& data-rawwidth=&578& data-rawheight=&596& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&578& data-original=&/7683cbaba48a0c37b26e6baccf981a84_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&/4f051c81acf9bcfb2f5d819a_b.jpg& data-rawwidth=&348& data-rawheight=&391& class=&content_image& width=&348&&&/figure&（全是维基里搞来的，实在懒得打TeX代码了）&br&&br&「和三角函数公式太像了！」小方惊呼。&br&&br&「是啊，而且仅有的区别也非常有用。时间不多了，我们再说一个最关键的地方吧。」这次数学君没等小方回应就接着讲了下去：&br&&br&「你一定知道三角函数的周期是&img src=&///equation?tex=2%5Cpi& alt=&2\pi& eeimg=&1&&，可是双曲函数却没有周期。是吗？其实不是这样的。还是作为复数来看，双曲函数的周期是&img src=&///equation?tex=2%5Cpi+i& alt=&2\pi i& eeimg=&1&&.而且你也发现了&img src=&///equation?tex=%5Ccos+z%3Dch%28iz%29& alt=&\cos z=ch(iz)& eeimg=&1&&,所以我有一个大胆的猜测……」「快说，什么猜测！」&br&&br&&b&&u&在复变函数里，这两个函数的本质是一样的。&/u&&/b&&br&&br&&br&空气凝固了，两个人都好久没说出话。&br&&br&&br&&br&&br&&br&小方愣了一会说道：「这个猜测……算了你还是讲讲这玩意有啥用吧。」&br&&br&「好的。」数学君也不敢讨论这个问题了。缓了一下，他写出了一个不定积分：&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint%5Csqrt%7B1%2Bx%5E%7B2%7D%7Ddx+& alt=&\int\sqrt{1+x^{2}}dx & eeimg=&1&&&br&&br&「在高等数学里，双曲换元在很多题目中都非常方便。熟悉双曲函数的性质便可以做得得心应手。而相比三角代换，会使用双曲代换的人却少之又少。唉……」&br&&br&「没事。」小方安慰数学君道，「我会了就够了，他们不会就让他们不会去吧。」&br&&br&「嗯嗯，也对。」数学君又开始总结了：&br&&br&&b&「从悬链线开始引入双曲函数，再到之后的双曲几何和原函数的扩展，以及之后复变函数里双曲函数与三角函数的高度统一，都说明了双曲函数在数学领域有非同一般的意义。&/b&&br&&b&「而工程应用中，双曲函数同样有很多用途，包括而不限于建筑和信号处理、电磁场与微波。更多的我也不晓得。但总而言之，这是一个非常重要的函数。」&/b&&br&&br&说完这句话，数学君没有听到期待的掌声。低头一看，小方已经呼呼大睡了。数学君无奈地摇摇头，也进入了梦乡。&br&&br&完&br&---------------------------------------------------------------------------&br&&br&（下面我接着讲点复变函数里专业的东西。&br&&br&正弦与余弦映射均由复变函数里的基本映射复合而成。如&img src=&///equation?tex=%5Comega%3D%5Ccos+z& alt=&\omega=\cos z& eeimg=&1&&是由旋转&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&&的映射、指数函数映射以及如可夫斯基映射复合而成：&br&&br&&img src=&///equation?tex=1%29%5Comega_%7B1%7D%3Diz%3B%5Cquad2%29%5Comega_%7B2%7D%3De%5E%7B%5Comega_%7B1%7D%7D%5Cquad%3B3%29%5Comega%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28%5Comega_%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega_%7B2%7D%7D%29.& alt=&1)\omega_{1}=\quad2)\omega_{2}=e^{\omega_{1}}\3)\omega=\frac{1}{2}(\omega_{2}+\frac{1}{\omega_{2}}).& eeimg=&1&&&br&&br&由公式&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Csin+z%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bi%28z-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29%7D%2Be%5E%7B-i%28z-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29%7D%7D%7B2%7D& alt=&\sin z=\frac{e^{i(z-\frac{\pi}{2})}+e^{-i(z-\frac{\pi}{2})}}{2}& eeimg=&1&&&br&&br&同样可知&img src=&///equation?tex=%5Comega%3D%5Csin+z& alt=&\omega=\sin z& eeimg=&1&&的复合过程。&br&&br&由上述知，宽度为&img src=&///equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&的铅直带状区域是&img src=&///equation?tex=z-%3E%5Csin+z%2Cz-%3E%5Ccos+z& alt=&z-&\sin z,z-&\cos z& eeimg=&1&&的单叶区域。&br&&br&我们来看看余弦函数在带状域&img src=&///equation?tex=%5B-%5Cpi%3CRe%28z%29%3C0%5D& alt=&[-\pi&Re(z)&0]& eeimg=&1&&的映射情况：&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Comega+%3D+u%2Bvi%3D%5Ccos+z%3D%5Ccos+%28x%2Biy%29%3Dcosxchy-isinxshy& alt=&\omega = u+vi=\cos z=\cos (x+iy)=cosxchy-isinxshy& eeimg=&1&&&br&&br&求直线&img src=&///equation?tex=x%3Dx_%7B0%7D& alt=&x=x_{0}& eeimg=&1&&的像，有&br&&br&&img src=&///equation?tex=u%3D%5Ccos+x_%7B0%7Dchy%2Cv%3D-%5Csin+x_%7B0%7Dshy& alt=&u=\cos x_{0}chy,v=-\sin x_{0}shy& eeimg=&1&&&br&&br&由此得&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bu%5E%7B2%7D%7D%7B%5Ccos+%5E%7B2%7Dx_%7B0%7D%7D-%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7B%5Csin%5E%7B2%7Dx_%7B0%7D%7D%3D1& alt=&\frac{u^{2}}{\cos ^{2}x_{0}}-\frac{v^2}{\sin^{2}x_{0}}=1& eeimg=&1&&&br&&br&这是一个直线到双曲线的映射，当&img src=&///equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&&为正数和负数时分别为其一个分支。而直线&img src=&///equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&&被映射为正实轴从1到&img src=&///equation?tex=%2B%5Cinfty+& alt=&+\infty & eeimg=&1&&的割痕，直线&img src=&///equation?tex=x%3D-%5Cpi& alt=&x=-\pi& eeimg=&1&&被映射为沿实轴&img src=&///equation?tex=-1& alt=&-1& eeimg=&1&&到&img src=&///equation?tex=-%5Cinfty& alt=&-\infty& eeimg=&1&&的割痕。带状域的像为整个&img src=&///equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&平面，除去实轴上从-1穿过无穷远到1的线段。）&br&&br&&u&这篇文章从查资料到撰文用时不超过三个小时，有些匆忙，行文和内容都有一些粗糙，见谅。&/u&&br&&br&&br&&u&但是参考资料的权威性是有保证的，因此内容应该基本正确。除了我瞎猜的那句话。&/u&&br&&br&参考文献&br&[1]&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&维基百科，自由的百科全书&i class=&icon-external&&&/i&&/a&双曲函数&br&[2]&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&维基百科，自由的百科全书&i class=&icon-external&&&/i&&/a&雙曲函數恆等式&br&[3](俄）博亚尔丘克，复变函数，北京，清华大学出版社，2008.5.
谢邀 。由于 的答案十分翔实全面，因此本答案在内容上不免与其有所重合，见谅。 本答案为逗比版，请大家去看认真版，谢谢！ --------------------------------------------…
谢 &a data-hash=&79b988ec04a51afb1f3ea& href=&///people/79b988ec04a51afb1f3ea& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@王希& data-tip=&p$b$79b988ec04a51afb1f3ea& data-hovercard=&p$b$79b988ec04a51afb1f3ea&&@王希&/a& 邀，前面的人好像讲的都差不多了，我就来讲讲故事吧.&br&&br&&b&双曲函数最早是出现在悬链线的研究之中.&/b&&blockquote&悬链线就是一个固定项链的两段，在重力场中让它自然垂下，项链的曲线方程.&br&&/blockquote&这个就是当年雅克比·伯努利曾提出的著名悬链线问题，在这之前伽利略也注意到了悬链线这个东西，当时他猜是抛物线，后来惠更斯（这时候17岁）证明了伽利略猜错了，但是他也算不来。问题提出后第二年第莱布尼兹跟惠更斯（他这个时候已经62岁了哦~）还有约翰·伯努利（雅克比他弟）各自得到了正确的答案.当年他们用的就是刚刚诞生没多久的微积分，把这个问题转化成了求解一个二阶常微分方程，借这个方程就得到了悬链线.&br&&br&写到这里，我就再扯扯这两个伯努利的好玩的事情，我们之前说了约翰·伯努利解决了悬链线问题，后来雅克比就去证明了“悬挂于两个固定点直接的同一条项链，在所有可能的形状中，悬链线的重心是最低的，具有最小势能”.在伯努利家族里他两兄弟间不止一次相互争强好胜，不断争吵……（其实现在看着也觉得他们这样好好玩）&br&&br&&b&这个悬链线的方程就是&img src=&///equation?tex=y%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bax%7D%2Be%5E%7B-ax%7D+%7D%7B2a%7D+& alt=&y=\frac{e^{ax}+e^{-ax} }{2a} & eeimg=&1&&（不过当年&img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&&还没被发现）&br&&/b&方程的推导有兴趣的可以看&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%2582%25AC%25E9%2593%25BE%25E7%25BA%25BF& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&悬链线&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&blockquote&插一段，我想到了当年&u&法布尔在《昆虫记》&/u&里还有过这样一段呢 (?????) &br&“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了。当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线。这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状；这就是一张被风吹鼓起来的船帆外形的那条线条，这就是母山羊耷拉下来的乳房装满后鼓起来的弧线。而这一切都需要e这个数。”&br&”……这个奇妙的数e又出现了，就写在蜘蛛丝上。在一个浓雾弥漫的清晨，让我们检视一下夜间刚刚织好的网吧。粘性的蜘蛛丝，负著水滴的重量，弯曲成一条条悬链线，水滴随著曲线的弯曲排成精致的念珠，整整齐齐，晶莹剔透。当阳光穿过雾气，整张带著念珠的网映出彩虹般的亮光，就像一丛灿烂的宝石。e这个数是多么地辉煌！&&br&&br&&b&哈哈，我们回来！&br&&/b&&/blockquote&&br&当&img src=&///equation?tex=a%3D1& alt=&a=1& eeimg=&1&&时，就是我们的双曲余弦函数&br&&br&为什么叫它双曲函数呢，当然是它们跟双曲线有关系咯.最早注意到双曲函数跟圆函数（就是三角函数）的类推关系的人是意大利数学家V.Riccati.&br&他引入了记号&img src=&///equation?tex=%5Ccosh+x& alt=&\cosh x& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5Csinh+x& alt=&\sinh x& eeimg=&1&&，发现了双曲正弦函数与双曲余弦函数之和就是指数函数&img src=&///equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D+& alt=&y=e^{x} & eeimg=&1&&&br&后来他又进一步发现&img src=&///equation?tex=%5Ccosh%5E%7B2%7D+x+-%5Csinh%5E%7B2%7D+x+%3D1& alt=&\cosh^{2} x -\sinh^{2} x =1& eeimg=&1&&.&br&&br&我们知道&b&圆函数（三角函数）&/b&就是通过单位圆&img src=&///equation?tex=x%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D++%3D1& alt=&x^{2}+y^{2}
=1& eeimg=&1&&进行定义的：&img src=&///equation?tex=%5Ccos+%5Cphi+%3Dx%2C%5Csin+%5Cphi+%3Dy& alt=&\cos \phi =x,\sin \phi =y& eeimg=&1&&&br&所以呢，&b&双曲函数&/b&就以类似的方法对双曲线&img src=&///equation?tex=x%5E%7B2%7D-y%5E%7B2%7D++%3D1& alt=&x^{2}-y^{2}
=1& eeimg=&1&&上的点进行定义：&img src=&///equation?tex=%5Ccosh+%5Cphi++%3Dx%2C%5Csinh+%5Cphi+%3Dy& alt=&\cosh \phi
=x,\sinh \phi =y& eeimg=&1&&&br&&br&既然问到了和三角函数有什么关系，那就再说所这个&img src=&///equation?tex=%5Cphi+& alt=&\phi & eeimg=&1&&吧&br&&figure&&img src=&/cacab1fbce9e22d90e405bfe8dc5433e_b.jpg& data-rawwidth=&473& data-rawheight=&426& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&473& data-original=&/cacab1fbce9e22d90e405bfe8dc5433e_r.jpg&&&/figure&在圆里面，这个&img src=&///equation?tex=%5Cphi+& alt=&\phi & eeimg=&1&&是上图中线段OP与&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&轴正向所成的夹角，但是在双曲函数里，这个&img src=&///equation?tex=%5Cphi+& alt=&\phi & eeimg=&1&&并不能解释为一个夹角。这里给出这个&img src=&///equation?tex=%5Cphi+& alt=&\phi & eeimg=&1&&的一个几何含义，你会发现圆函数和双曲函数还是有关联的。&br&&blockquote&注意到，在圆函数中，参数&img src=&///equation?tex=%5Cphi+& alt=&\phi & eeimg=&1&&也可以角宽度数&img src=&///equation?tex=%5Cphi+& alt=&\phi & eeimg=&1&&，半径为1的&b&圆扇形面积&/b&&img src=&///equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Cphi+r%5E%7B2%7D+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Cphi& alt=&S=\frac{1}{2} \phi r^{2} =\frac{1}{2} \phi& eeimg=&1&&&b&的两倍&/b&&/blockquote&其实在双曲函数里面，这个&img src=&///equation?tex=%5Cphi+& alt=&\phi & eeimg=&1&&也有类似的含义，只是我们可以用一个&b&双曲扇形&/b&来替代这个&b&圆扇形&/b&&figure&&img src=&/05dfbf5a1f90f4c3808969_b.jpg& data-rawwidth=&443& data-rawheight=&413& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&443& data-original=&/05dfbf5a1f90f4c3808969_r.jpg&&&/figure&如上图，&img src=&///equation?tex=S_%7BOPR%7D%3D+S_%7BOPS%7D-S_%7BPRS%7D%3D%5Cfrac%7Bx%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7D-1+%7D+%7D%7B2%7D+-%5Cint_%7B1%7D%5E%7Bx%7D+%5Csqrt%7Bt%5E%7B2%7D-1+%7Ddt& alt=&S_{OPR}= S_{OPS}-S_{PRS}=\frac{x\sqrt{x^{2}-1 } }{2} -\int_{1}^{x} \sqrt{t^{2}-1 }dt& eeimg=&1&&&br&这个积分，我们进行一个换元&img src=&///equation?tex=t%3D%5Ccosh+u& alt=&t=\cosh u& eeimg=&1&&，然后就能算到了&img src=&///equation?tex=S_%7BOPR%7D%3D+%5Cfrac%7B%5Cphi+%7D%7B2%7D+& alt=&S_{OPR}= \frac{\phi }{2} & eeimg=&1&&，这个参数&img src=&///equation?tex=%5Cphi+& alt=&\phi & eeimg=&1&&就是双曲扇形面积的两倍，这与圆函数的形式就是相似的.（这个是文森佐·黎卡提最先注意到的），后来就给这个&img src=&///equation?tex=%5Cphi+& alt=&\phi & eeimg=&1&&取名叫&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%258F%258C%25E6%259B%25B2%25E8%25A7%2592& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&双曲角&i class=&icon-external&&&/i&&/a&.&br&&br&对于圆函数和双曲函数来说，他们之间有很多的相似的地方，像奇偶性，加法公式，微分公式和积分公式.&br&但是三角函数具备周期性，而双曲函数没有这种性质.&br&&blockquote&&b&我们发现圆函数和双曲函数有这么多的平行类推关系，但是他们的重要性和在数学中的地位应该相似，但是其实不是这样。&br&主要是因为圆是一个封闭曲线，周而复始，所以圆函数也是一个周期函数。所以很适合研究周期现象。后来还发展出傅里叶分析.&br&而双曲函数就没有这么漂亮的性质，但是，从悬链线，繁衍几何和双曲几何（非欧几何），都还是应用到了双曲函数.&/b&&/blockquote&&br&然后，在复变里三角函数和复数指数函数相关联，我们还可以发现双曲正弦或双曲余弦，在结构上和正弦和余弦的表达形式差不多.也就是最高票答案给出的&br&&img src=&///equation?tex=%5Csin+x%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bix%7D-e%5E%7B-ix%7D++%7D%7B2i%7D+%2C%5Csinh+x%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bx%7D-e%5E%7B-x%7D++%7D%7B2%7D& alt=&\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}
}{2i} ,\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}
}{2}& eeimg=&1&&&br&这样一看，双曲函数在复变里就有周期（2πi）了呢，多漂亮~&br&&br&嗯，答案里的图片均是另一个答案也提到的&a href=&///?target=http%3A///subject/4605553/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&e的故事 (豆瓣)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&这本书里直接截下来的，这本书还是可以看看的.以及双曲函数不仅是在悬链线中出现的，在拉普拉斯方程里也有，这个我估计说不好，有兴趣的可以看看.&br&&br&明明是想写成好玩的故事的，没想到最后写成这样子，怪不得今天导师说我写的论文像是在写作业，哎，我去写！作！业！了(&▔□▔)/&br&&br&天，发现我回答的题目里面最长的一个答案了，我要给自己撒花*★,°*:.☆\(￣▽￣)/$:*.°★*
邀，前面的人好像讲的都差不多了，我就来讲讲故事吧. 双曲函数最早是出现在悬链线的研究之中.悬链线就是一个固定项链的两段，在重力场中让它自然垂下，项链的曲线方程. 这个就是当年雅克比·伯努利曾提出的著名悬链线问题，在这之前伽利略也注意到…
研究了一下， 应该是用的两个对称的羊角曲线（&a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Euler_spiral& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Euler spiral&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）拼出来的。&br&&br&截取羊角曲线上的一段， 从原点开始斜率取从0到1&br&&figure&&img src=&/dd38df2a90bce80b87ef86c81c4cadf9_b.jpg& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&460& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&/dd38df2a90bce80b87ef86c81c4cadf9_r.jpg&&&/figure&具体用了笨方法， 在AI上用45°倾斜的直线去切&br&&figure&&img src=&/58c628d4cc71fcbee55ea_b.jpg& data-rawwidth=&801& data-rawheight=&839& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&801& data-original=&/58c628d4cc71fcbee55ea_r.jpg&&&/figure&对称复制一下&figure&&img src=&/2725abb4ed2dbb_b.jpg& data-rawwidth=&590& data-rawheight=&561& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&590& data-original=&/2725abb4ed2dbb_r.jpg&&&/figure& 最后是效果图， 和官网截图完美契合&br&&figure&&img src=&/0c82e0b1ad63_b.jpg& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&1200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&/0c82e0b1ad63_r.jpg&&&/figure&效果图&br&&figure&&img src=&/ae23f751bc37f584c088a34c9f02c0e9_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/ae23f751bc37f584c088a34c9f02c0e9_r.jpg&&&/figure&&br&^____________^
研究了一下， 应该是用的两个对称的羊角曲线（）拼出来的。 截取羊角曲线上的一段， 从原点开始斜率取从0到1 具体用了笨方法， 在AI上用45°倾斜的直线去切 对称复制一下 最后是效果图， 和官网截图完美契合 效果图 ^____________^
好问题，让我尝试不用公式，用跨越7000年人类文明的方式，来解读e的自然之美，争取有中学基础的人就能看懂。&br&&br&e有时被称为自然常数（Natural constant），是一个约等于2.……的无理数。&br&&br&以e为底的对数称为&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%2587%25AA%25E7%%25E5%25B0%258D%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&自然对数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（Natural logarithm），数学中使用自然（Natural）这个词的还有&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%2587%25AA%25E7%%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&自然数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（Natural number）。这里的“自然”并不是现代人所习惯的“大自然”，而是有点儿“天然存在，非人为”的意思。就像我们把食品分为天然食品和加工食品，天然食品就是未经人为处理的食品。&br&&br&但这样解读“自然”这个词太浅薄了！为了还原全貌，必须穿越到2500多年前的古希腊时代。&br&&br&（你也知道，穿越剧都很长(&﹏&)，不喜欢长篇大论的，可直接跳到后面看结论。）&br&&br&&br&&b&“自然”的发明&/b&&br&我们知道，人类历史上曾出现过很多辉煌的文明，例如大家熟知的四大文明：古巴比伦、古埃及、古印度河以及古代中国。&br&&br&但是要说谁对现代文明的影响最大？对不起，四大文明谁都排不上！真正对现代文明影响最大的是古希腊文明，特别是古希腊的哲学、科学思想，是整个现代文明的源头和基石。这里并不是要贬低四大文明，现代文明也从各文明继承了大量的文化遗产，只是相比古希腊要少很多。&br&&br&现代人的基础教育，无论是什么国家、什么社会制度、什么民族，在教科书里除了介绍自己的古代成就外（如四大发明），还会大篇幅的介绍古希腊的科学、哲学思想，来启蒙学生的心智，这是跨越国界的共同做法。&br&&br&大家都这样做的原因，就是因为古希腊哲学家发明了科学的思维方法和“自然”（Natural）这个词，在理论中用&b&自然&/b&来取代具体的神灵，这是人类文明史上划时代的发明。如果没有这个发明，现代文明可能还会晚出现数千年，所以这是至关重要的进步。&br&&br&在古希腊文明之外的古文明里，人们解释世间万物的运行时，总是要引入神灵等超自然、拟人化的因素。例如，得病了就认为鬼神附体，洪水泛滥就认为天神发怒，石人一出天下就可以造反了，总有一个超自然的神灵在操纵万物的运行。人们偏爱形象而戏剧化的解释，拟人化的神灵恰恰具有形象、戏剧化的特点，最易于接受和传播。现代喜欢希腊神话的人数，也远多于喜欢希腊哲学的。电视里最流行各种奇幻故事，例如狼人、吸血鬼什么的。古代人也一样，不同的是我们知道这是假的，古人则认为是真的，这成为他们理解世界运行的思维定势。&br&&br&直到公元前624年，&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25B3%25B0%25E5%258B%%2596%25AF& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&泰勒斯&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的出现，才第一次用自然取代神灵的位置。&br&&figure&&img src=&/bef0c63ce9c856ca89f0dc80e347924c_b.jpg& data-rawwidth=&240& data-rawheight=&365& class=&content_image& width=&240&&&/figure&泰勒斯被称为“科学和哲学之祖”、“科学之父”、“哲学史上第一人”！（还有比这更牛的称号吗？）&br&&br&其实泰勒斯是个多神论者，他认为神是存在的，是神让万物有了自己内在的规律。但解释万物的运行，不能靠凭空的制造故事，要靠坚实的证据来发现这些规律，并用理性的方法解读。这就是泰勒斯的最大贡献，开创了一套认识世界的全新思维方法，他关注的是证据、规律、理性，而不是神。&br&&br&尽管泰勒斯提出的理论现在看起来很粗糙。但是人们不再需要像宗教一样，把旧理论看成是不可否定的权威结论。只要有坚实的新证据和理性的推理，旧理论可以被修改或推翻，更好的理论就可以建立起来。这是一种可靠的、&b&可进化&/b&的理论体系。相反，宗教是停止进化的、只能膨胀的理论体系，例如你只能解读圣经，但不能否定圣经。&br&&br&后来的希腊哲学家不断借鉴和发展泰勒斯的理论，建立了“自然”(φ?σι?)的概念，“自然”代表万物因为本源而发生自然而然的变化。赫拉克利特还引入了&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%E5%E6%2596%25AF& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&逻各斯&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（希腊语：λ?γο?，英语：Logos）的观点，用以说明万物变化的规律性。逻各斯原来是指语言、演说、交谈、故事、原则等，这里的逻各斯则主要指一种尺度、大小、分寸，即数量上的比例关系。后来对数的发明人纳皮尔就用Logos和arithmos（算法）创造了单词Logarithm 来命名对数法，经过后人简化变成了对数符号log。&br&&br&几乎和古希腊同一时代，春秋战国时代的诸子百家也提出过一些相似的思想，例如老子的道。但很可惜，这种蓬勃发展的思想爆炸因为诸多原因戛然而止，只是昙花一现。但是限于篇幅，这里不再展开，请到最后的推荐阅读中了解。&br&&br&&br&&b&“自然”&/b&与美&br&古希腊的学者还给“自然”赋予美的含义，他们认为规律性就是一种和谐感，数学的比例是种超越肉体感官、只能靠心智才能领悟到的美。&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25AF%%25BE%25BE%25E5%%25E6%258B%%2596%25AF& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&毕达哥拉斯&i class=&icon-external&&&/i&&/a&就是其中最极端的代表，他对数学美的狂热追求超过了偏执的程度，美像神一样不可冒犯，&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25AF%%25BE%25BE%25E5%%25E6%258B%%2596%25AF%25E4%25B8%25BB%25E4%25B9%2589& class=& wra