小木虫仪器共享
lab.muchong.com
实验样品检测、分析CNAS/CMA认证资质
￥1000元/样
当前位置：
&求高斯解答数学分析中曲面积分试题。谢谢
求高斯解答数学分析中曲面积分试题。谢谢
作者 math2000
求坛中高手解答曲面积分题，谢谢。
先根据奇偶性简化计算，然后就简单多了。
应用奥氏公式，= (pP/px+0+3*z^2)对上半球的体积分。
引用回帖:: Originally posted by feixiaolin at
应用奥氏公式，= (pP/px+0+3*z^2)对上半球的体积分。 能给个详细的解答过程吗？
为便于描述，积分表示为Integrate(Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, S).
考虑到积分曲面为上半单位球面，球心在原点。分别计算三个积分。
P = tan[x^2/(1+|x|+|y|)] = tan[(1-z^2-y^2)/(1+|y|+sqrt(1-y^2-z^2)&&)]是 y、z 的偶函数。
把S分割为Sh（指向x轴正向）、Sb(指向x轴负向)两部分，交线在zox面上，投影到yoz面上的区域都是Dyz。
则 Integrate(Pdydz, S) = Integrate(Pdydz, Sh) + Integrate(Pdydz, Sb)
= Integrate(Pdydz, Dyz) - Integrate(Pdydz, Dyz) = 0.
同理可得，Integrate(z^2sinx dzdx, S) = 0.
Integrate(Rdxdy, S) = Integrate((1-x^2-y^2)^1.5, Dxy)
= Integrate(da, 0, 2Pai) * Integrate( (1-r^2)^1.5 * r dr, 0, 1) (令u = r^2)
= Pai * Integrate( (1-u)^1.5, 0, 1) = 2Pai/5.
所以Integrate(Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, S) = 2Pai/5.
引用回帖:: Originally posted by zywang1999 at
为便于描述，积分表示为Integrate(Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, S).
考虑到积分曲面为上半单位球面，球心在原点。分别计算三个积分。
P = tan = tan是 y、z 的偶函数。
把S分割为Sh（指向x轴正向）、Sb(指向x轴负向)两 ... 结果是不是有点问题？
1）Q不是偶函数，积分Integrate(z^2sinx dzdx, S) = 0成立吗？
2）Integrate(Rdxdy, S) 我算出来怎么是Pai/2?
望解答，谢谢
(1)&&Q不是偶函数，积分Integrate(z^2sinx dzdx, S) = 0成立.
结果为0，是由积分区域S=Sr + Sl (右边和左边曲面)，Sr指向y轴正向而Sl指向y轴负向。
Integrate(Qdzdx,S) = Integrate(Qdzdx,Sr) + Integrate(Qdzdx,Sl)
=Integrate(Qdzdx,Dzx) -&&Integrate(Qdzdx,Dzx) = 0（对于Sl, 投影后积分号前为负号）
(2) 采用极坐标计算。(1-u)^1.5du = d[1/(1+1.5) * (1-u)^2.5 *(-1)]
引用回帖:: Originally posted by zywang1999 at
(1)&&Q不是偶函数，积分Integrate(z^2sinx dzdx, S) = 0成立.
结果为0，是由积分区域S=Sr + Sl (右边和左边曲面)，Sr指向y轴正向而Sl指向y轴负向。
Integrate(Qdzdx,S) = Integrate(Qdzdx,Sr) + Integrate(Qdzdx ... 麻烦你看下，我的计算错在哪里？谢谢
24小时热帖
下载小木虫APP
与700万科研达人随时交流大学高数曲面积分题_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
大学高数曲面积分题
阅读已结束，下载文档到电脑
想免费下载更多文档？
定制HR最喜欢的简历
下载文档到电脑，方便使用
还剩9页未读，继续阅读
定制HR最喜欢的简历
你可能喜欢【图文】高数下 曲面积分习题课_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
高数下 曲面积分习题课
大小：1.21MB
登录百度文库，专享文档复制特权，财富值每天免费拿！
你可能喜欢&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-aae5fe85cb1e3bc76246_b.jpg& data-rawwidth=&453& data-rawheight=&333& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&453& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-aae5fe85cb1e3bc76246_r.jpg&&&/figure&&p&我们在学习多元函数积分学时，会接触到三个公式：&strong&格林公式、高斯公式&/strong&以及&strong&斯托克斯公式&/strong&。话说这三个公式可是大大的有来头啊，它们就像多元函数积分学里面的媒介，连接着线与面的积分，意义非凡！&/p&&p&这三个媒介各自的职责是：&/p&&p&&b&格林公式建立了曲线积分与二重积分的联系！&br&&/b&&/p&&p&&b&高斯公式建立了曲面积分与三重积分的联系！&/b&&/p&&p&&b&斯托克斯公式建立了曲线积分与曲面积分的联系！&/b&&/p&&p&掌握了这三大媒介的使用法则，在多元函数积分的学习中，会大大的简化计算！&/p&&p&今天，宝刀君就带领大家，一起来学习格林公式！&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-cd_b.jpg& data-rawwidth=&650& data-rawheight=&310& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&650& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-cd_r.jpg&&&/figure&&h2&&b&（一）认识格林公式&/b&&/h2&&p&我们在学习第2型曲线积分，也叫对坐标的曲线积分时，会遇到一个公式，它叫做&strong&格林公式&/strong&，是这么写的：&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e3ec13c5b780c6d25b6d2c_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&582& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e3ec13c5b780c6d25b6d2c_r.jpg&&&/figure&这个公式的&strong&使用条件有两个&/strong&：&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-add96d5ee_b.jpg& data-rawwidth=&2440& data-rawheight=&848& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2440& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-add96d5ee_r.jpg&&&/figure&然而在考试里，命题人绝不会原样照搬公式，让你直接套公式去做题，这样也体现不出区分度，因此他经常是会给你破坏条件的，怎么破坏呢？如下：&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ca05fa0afa143a0b9ca1_b.jpg& data-rawwidth=&2444& data-rawheight=&960& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2444& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ca05fa0afa143a0b9ca1_r.jpg&&&/figure&这两个破坏条件，第一个破坏很好处理，&strong&你不封闭，我加个线补个线让封闭就行，你不是正向，我添个负号就行&/strong&，这些都不难处理，真正让学生感到困惑的，其实是第二个条件的破坏：&strong&它围成的区域D里，出现了奇点！这时候你就不能直接用格林公式了！&/strong&&br&&/p&&h2&&b&（二）一道例题的分析&/b&&/h2&&p&宝刀君以一道典型题为例，谈谈破坏第二个条件后，格林公式怎么玩？如图：&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-6c904ab339d8cad23151b_b.jpg& data-rawwidth=&2448& data-rawheight=&1256& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2448& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-6c904ab339d8cad23151b_r.jpg&&&/figure&命题人在这里为难考生时，把&strong&被积函数弄成一个分式，这个函数在D内不连续，甚至没定义，像这道题的原点就是奇点。&/strong&&br&&/p&&p&遇到这种问题，高数老师给我们教的一个方法是：&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a0f37480a0caec8c4d0f535f0f4d5697_b.jpg& data-rawwidth=&747& data-rawheight=&48& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&747& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-a0f37480a0caec8c4d0f535f0f4d5697_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-cdeb46abe013be109706fd_b.jpg& data-rawwidth=&1332& data-rawheight=&1172& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1332& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-cdeb46abe013be109706fd_r.jpg&&&/figure&&p&然后他们把这个方法称作：&/p&&p&&strong&“挖洞法”&/strong&：挖了一个洞，挖掉这个害人的奇点！&br&&/p&&p&&strong&“抠点法”&/strong&：扣掉这个害人的奇点，我不想再见到你！&/p&&p&更有甚者，有些男老师把这个手法叫做：“&strong&阉割法&/strong&”，这个叫法太形象，大家请自行脑补……&/p&&h2&&b&（三）奇点真的被抠掉了吗？&/b&&/h2&&p&写到这里，宝刀君觉得，这些奇点很无奈啊！凭什么？&/p&&p&凭什么挖掉我？抠掉我？阉掉我？&/p&&p&就因为你自己算不出来，你就要把我铲除，这是你的问题还是我的问题？&/p&&p&&strong&你们第二型曲线积分的解决办法又不是只有格林公式这一个办法！&/strong&&/p&&p&你为什么不转化成定积分来计算？&/p&&p&&strong&你的积分曲线是圆，用参数方程代入原式可以化为对参数的定积分，你不就是因为原函数难以求出了，然后才想到间接使用格林公式的吗？&/strong&&/p&&p&你既然觉得格林公式用不了，那你就别转化啊？&/p&&p&…….. &/p&&p&那么，宝刀君的疑问是：这里的奇点，真的是被挖掉了吗？真的是被抠掉了吗？真的是被…吗？&/p&&p&其实呢，这里的“挖去”，并不是真正的“挖去”，这只是大家的一个错觉！因为这里面有个循序渐进的过程。&/p&&p&我们回想一下第二型曲线积分产生的物理背景：&strong&变力沿曲线做功！&/strong&功等于什么？力乘以位移。对于上面这个题，假设力沿着曲线做功，&strong&从起点A出发开始走，走到B点时，它其实是沿着向下的那条线往下走，绕着咱们构造的这个曲线C一圈，然后回到B点，再继续沿着原来的方向走！因为力沿着曲线向下，转一圈后又沿着曲线向上，力的大小相等，方向相反，所以这两段一下一上做功刚好抵消掉。&/strong&所以，这就给大家造成一种错误的感觉：“哇，这是个奇点我取不到，所以我把它给挖去了啊”！&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc906d7e63a0a1afc5b08_b.jpg& data-rawwidth=&1380& data-rawheight=&1120& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1380& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc906d7e63a0a1afc5b08_r.jpg&&&/figure&因此，事实上这里根本就没有“挖掉奇点”这一说，它&strong&本质上是对做功相等的一种路径的恒等变形！&/strong&因为对于同样一个力，我沿着曲线L和沿着曲线L+C做功，数值是相等的！即：&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-37bbd4a707f41bb4c1caa9_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&485& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-37bbd4a707f41bb4c1caa9_r.jpg&&&/figure&哦，原来如此，搜噶搜噶！搜得寺内！&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f228e347f9_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-f228e347f9_r.jpg&&&/figure&&h2&&b&（四）正向负向如何判断？&/b&&/h2&&p&那么，现在的问题是：里面的这个椭圆，沿着图中标的逆时针方向，这是正向还是负向啊？&/p&&p&有同学说：逆时针为正向，顺时针为负向。&/p&&p&这种回答是错误的，&strong&正负向的判别不是以顺时针逆时针来看的，而是根据你这条曲线围成的区域，你沿着曲线走时，你的左手是不是一直在区域D内！如果是，那就是正向，如果不是，那就是负向！与顺逆时针没有一点关系！&/strong&&/p&&br&&p&画个图表示，就是这样：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e9c4a96cefc33f43cba93f85_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&664& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e9c4a96cefc33f43cba93f85_r.jpg&&&/figure&因此，我们在L内补了这样一个曲线C后，解题步骤就是：&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1d813ebc59b60f865a10b76cde86efdd_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&858& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1d813ebc59b60f865a10b76cde86efdd_r.jpg&&&/figure&&h2&&b&（五）辅助曲线添加的原则是什么？&/b&&/h2&&p&有同学有疑问了：&strong&曲线方程那么多，你为啥要添加个椭圆？我添加个正方形、长方形、三角形或者任意的曲线不行吗？&/strong&&/p&&p&这个问题问得好！此处应该有掌声！！！&br&&/p&&p&理论上说：&strong&我们在曲线L里面可以添加任意的曲线C，只要你这个曲线方程C是在这个L内就行，但是我们不能忘记为啥要添加曲线C：简化计算！&/strong&&/p&&p&你可不要忘记了：我们现在学习的&strong&曲线积分、曲面积分，和二重积分、三重积分最大的不同就是：&/strong&&/p&&p&“我的被积函数方程f(x,y)是可以用曲线方程y=y(x)代替的！”&/p&&p&因为这个被积函数f(x,y)是定义在某段曲线、某个平面上的，既然是定义在这里，那么当然可以带进去计算！而且是必须得代入，否则你没法算。&br&&/p&&p&因此，出于简化计算的考虑，&strong&我们添加什么样的曲线C，就取决于这个曲线L的分母长什么样？&/strong&换句话说，&strong&在曲线L里面添加曲线C的核心目的是：去掉被积函数中的分母！&/strong&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-be980c182a50bbcf6ddd_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&588& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-be980c182a50bbcf6ddd_r.jpg&&&/figure&&h2&&b&（六）含奇点的曲线积分解题套路&/b&&/h2&&p&写到这里，也快接近尾声了，但是对这道题的讨论还没有结束，因为我们要将这道题的解法&strong&抽象成一般的解题规律&/strong&，如下图所示：&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-0b1d8dce2d1ee_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&675& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-0b1d8dce2d1ee_r.jpg&&&/figure&那么，&strong&如何选取这个辅助曲线C0（L1）呢？选取的标准就是你可以把那个被积函数的分母给去掉！&/strong&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-df40f87ddf8e_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&762& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-df40f87ddf8e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c1d9fa886ecca5a24048e61_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-c1d9fa886ecca5a24048e61_r.jpg&&&/figure&&h2&&b&（七）总结&/b&&/h2&&p&&strong&格林公式是用来计算第二类曲线积分的，由于它的使用有两个条件，因此命题人经常去破会阿这两个条件，当他破坏第二个条件时，也就是区域D内含有奇点时，我们可以考虑添加一条辅助的曲线方程，添加的目的是为了消去分母，也就是形式上“挖掉了奇点”，这样就可以将原来在L上的曲线积分转化成在辅助曲线上的曲线积分，从而简化计算！&/strong&&/p&&p&格林公式带给我们什么样的启示呢？&/p&&p&&strong&一条路走不通了，可以换条路，两条路的终极目标都是一样的！&/strong&&/p&&p&这恰恰就像唐朝大诗人王维的一句诗：&/p&&p&&strong&“行至水穷处，坐看云起时”！&/strong&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b95db25b9eb016f73b3a2b02eb50fc90_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&330& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b95db25b9eb016f73b3a2b02eb50fc90_r.jpg&&&/figure&&strong&在生命的过程中，不论是&/strong&&strong&求学考研&/strong&&strong&、经营爱情、事业、搞学问等等，你勇往直前，到后来竟然发现那是一条绝路，没法走下去了，难免出现山穷水尽悲哀失落的心境，此时不妨往旁边或回头看看，也许有别的路通往别处，即使根本没有路可走了，往天空看吧！虽然身体在绝境中，但是心灵还可以畅游太空，还可以很自在、很愉快地欣赏大自然，体会宽广深远的人生境界，再也不会觉得自己穷途末路！&/strong&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc7c4f1a8c8c9a9e2afdc_b.jpg& data-rawwidth=&691& data-rawheight=&484& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&691& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc7c4f1a8c8c9a9e2afdc_r.jpg&&&/figure&&p&哈喽，大家好！我是宝刀君&strong&，微信公众号：考研摆渡人宝刀君，ID:BDJ0501，专注考研数学、自动控制原理的辅导，有料、有趣、有深度。&/strong&我的知识点讲解文章会&strong&首发在微信公众号&/strong&，而且那里的内容会更精彩（有音乐、有短视频），&strong&欢迎大家的关注~&/strong&&/p&&p&********************************************************************************************&/p&&p&如果&b&您觉得我的文章对您理解知识点有帮助&/b&，麻烦伸出可爱的指头顺手&b&帮我 点个赞 &/b&，&b&鼓励我继续创作&/b&，如果您这样做了，&b&非常感谢&/b&，真的很感谢~&/p&
我们在学习多元函数积分学时，会接触到三个公式：格林公式、高斯公式以及斯托克斯公式。话说这三个公式可是大大的有来头啊，它们就像多元函数积分学里面的媒介，连接着线与面的积分，意义非凡！这三个媒介各自的职责是：格林公式建立了曲线积分与二重积分的…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f6f80e7e3b301fa4df42dba_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&543& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f6f80e7e3b301fa4df42dba_r.jpg&&&/figure&&p&&b&写在前面&/b&：建议读者&b&看完题后&/b&，&b&先自己亲自做下&/b&，然后再结合本文分析来看，这样效果会更好！&/p&&p&&br&&/p&&p&各位考研狗辛苦了，先给各位上两道小菜，让各位再辛苦下！&/p&&p&&br&&/p&&p&两道第二类曲面积分题目的计算：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-9c4cead11d32_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&284& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9c4cead11d32_r.jpg&&&/figure&&p&哎呦！&/p&&p&&b&不是度过了打拼的年龄，就应该退隐江湖吗？&/b&&/p&&p&&b&不是度过了打拼的年龄，就应该食山果饮甘露，日抚瑶琴夜读诗书吗？ &/b&&/p&&p&&b&2009年的第二型曲面积分&/b&，这货怎么又重出江湖兴风作浪了？&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3e44b772f1f162cc8a19_b.jpg& data-rawwidth=&717& data-rawheight=&542& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&717& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-3e44b772f1f162cc8a19_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&难道说武林有一场大事发生？&/p&&p&&br&&/p&&p&稍作镇定下来，我定了定神，思考&b&第二型曲面积分长啥样？&/b&&/p&&h2&&b&（一）第二型曲面积分长啥样？&/b&&/h2&&p&&br&&/p&&p&第二型曲面积分呢，也叫对坐标的曲面积分，题目中会出现P、Q、R三个的积分，它长这个样子”&/p&&figure&&img src=&https://pic6.zhimg.com/v2-dbdabcd_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&193& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic6.zhimg.com/v2-dbdabcd_r.jpg&&&/figure&&p&继续展开思考哦~&/p&&p&假如现在就让你算一个曲面积分，&b&没有P、Q这两个函数，只有R，这里的曲面取得比较特殊，它就取的是一个xoy上的一个平面区域&/b&，那你想一下，我可以不可以这样讲：&b&这其实就等同于算一个平面区域上的二重积分&/b&？、&/p&&figure&&img src=&https://pic7.zhimg.com/v2-edd7aafa0f5a_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&284& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic7.zhimg.com/v2-edd7aafa0f5a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&不可以！&/p&&p&&br&&/p&&p&为什么？&/p&&p&&br&&/p&&p&因为&b&第二型的曲线积分、第二型的曲面积分啊，一定要注意方向！&/b&&/p&&p&刚才所提问的，其实是没有指明方向，&b&如果你说清楚这里的平面区域是向上或者向下，那么在结果上就要加正号或者负号。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&（二）第二型曲面积分的计算&/b&&/h2&&p&&br&&/p&&p&还记得第二型曲面积分怎么计算吗？有几种方法呀？”&/p&&p&&br&&/p&&p&有两种解法。&/p&&p&&b&一种是咱们平时的基本计算，也就是将第二类曲面积分化为二重积分来计算&/b&&/p&&p&&b&另一种计算办法是高斯公式法，也就是将第二类曲面积分转化成3重积分。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-9dbcc6bf869c654ccb9616_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&262& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9dbcc6bf869c654ccb9616_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&进一步展开讲讲这两种方法：&/p&&h2&&b&（三）第一种计算方法&/b&&/h2&&p&&br&&/p&&p&&b&在第一种方法中&/b&，我们把它叫做：&b&一代二换三定号&/b&”。&/p&&p&&br&&/p&&p&所谓&b&一代&/b&，&b&指的是将曲面方程代入被积函数，即将被积函数中的某一个量借助曲面方程来表示出来&/b&，这一步是必须做的。&/p&&p&所谓&b&二换&/b&，&b&指的是将ds换成dxdy，将曲面sigma换成Dxy，当然，这里讲的是假设它投影到xoy平面&/b&，&/p&&p&最后所谓的&b&三定号&/b&，指的是&b&需要我们最后在二重积分的结果前面加上正负号，上为正，右为正，前为正，其余为负&/b&，&b&主要是看平面的法向量方向与z轴正向的夹角为锐角还是钝角，如果是锐角，则为正，反之则为负&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&（四）第二种计算法---高斯公式法！&/b&&/h2&&p&&br&&/p&&p&第二个计算方法—高斯公式法呢，乃高斯前辈所创，&b&这套方法是将第二类曲面积分化成了3重积分来计算，虽然说积分重数上增大了，但是实际上简化了运算&/b&”。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-86ef1c033a52be9b933b02a0d1c2113c_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&215& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-86ef1c033a52be9b933b02a0d1c2113c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&既然是有用的公式，那么就有对应的使用条件，针对使用条件，考试中心那帮人肯定就会给你使坏，给你破坏公式！&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-abe03ac97012_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&308& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-abe03ac97012_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&术 &/b&清晰了，咱们回看开头给的那两道小菜！&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-9c4cead11d32_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&284& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9c4cead11d32_r.jpg&&&/figure&&p&不就是计算第二类曲面积分吗？我用高斯公式分分钟灭掉你！来吧！比试比试！&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-94423bf48aad2ab24df14844_b.jpg& data-rawwidth=&719& data-rawheight=&541& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&719& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-94423bf48aad2ab24df14844_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&h2&&b&（五）第一题的解答&/b&&/h2&&p&第一题的解答如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e5ada033dce43ff0ad0a12_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&432& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e5ada033dce43ff0ad0a12_r.jpg&&&/figure&&p&如果你的答案是上面的，那么恭喜你！&/p&&p&&br&&/p&&p&数字对了，步骤错了！&/p&&p&&br&&/p&&p&你得不到满分！！！&/p&&p&&br&&/p&&p&什么情况？难道是敌人布下了陷阱？我们上当了？？？&/p&&p&&br&&/p&&p&低下高昂的头颅，重新认真分析，可恶，这题所给条件不封闭，我得加个面，然后将曲面方程代入到被积函数中，很熟悉的套路！&/p&&p&&br&&/p&&p&咦？哪里好像不对劲？&/p&&p&&br&&/p&&p&啊！竟然是它！又是你&b&—不连续&/b&！！！我知道哪里出问题了！重新来战！！！&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f6f80e7e3b301fa4df42dba_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&543& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f6f80e7e3b301fa4df42dba_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&说时迟，那时快，我轻轻画了一条线，重新排了顺序，转眼间得到满分了！！！&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-cc229fbb4705_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&439& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-cc229fbb4705_r.jpg&&&/figure&&p&&b&补充的那个面含有奇点，如果先补面，然后再带入，势必会让高斯公式失效&/b&，发挥不了威力，因此只能先将曲面方程代入被积函数，打好这个头阵，然后再补面！&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-8dcbcad82cb36dd3e0acf9dfe6efa47e_b.jpg& data-rawwidth=&719& data-rawheight=&540& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&719& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-8dcbcad82cb36dd3e0acf9dfe6efa47e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&思考完毕，我将自己对这道题的学习心得写在了旁边：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-39e49ec1dcfb496a4f00ad_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&241& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-39e49ec1dcfb496a4f00ad_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&就算是加面减面，也得将顺序调整好！&/p&&h2&&b&（六）第二题的解答（2009年真题！）&/b&&/h2&&p&既然是加了个面，那我就减去这个面（不要管什么积分符号，就按照最简单的数学加减来想），紧接着再利用高斯公式，转化成3重积分，最后成功算出了答案！&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-08bac489156aefc89407bc_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&558& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-08bac489156aefc89407bc_r.jpg&&&/figure&&p&答案虽好，可是却费时费力！！！&/p&&p&&br&&/p&&p&眼尖的同学，估计已经看出来这道题在哪出现过了，它不仅仅是一到考研真题，更是2018某数学18讲中的一道例题！图片为证！&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-6eddacad1d6f404cdbc9ca_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&960& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-6eddacad1d6f404cdbc9ca_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&考研狗们，需要你静下心来思考一下了！&/p&&p&做题绝不是做出个答案，一看对了就万事大吉了，不要忘了优化！&/p&&p&试想一下，等到你正式上战场时，拼的就是速度和准确度，你这个解法在前面计算偏导数时，耗费了大量的时间，而且万一在考场上紧张呢，忙中出错呢？？？&/p&&p&&br&&/p&&p&像用这种教材辅导书教出来的徒弟，若又不勤加思考，恐怕真正上了战场会吃大亏！&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e5bc8df9c623ad_b.jpg& data-rawwidth=&716& data-rawheight=&541& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&716& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e5bc8df9c623ad_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&破敌之道，关键就是宝刀君平日强调的&/b&“&b&稳、准、快”！&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&怎么破？怎么样提高速度？谁能告诉我？&/p&&p&&br&&/p&&p&哪位高数前辈可以告诉我？费马？拉格朗日？格林？高斯？&/p&&p&&br&&/p&&p&对了，格林、高斯！我知道怎么做了！！！&/p&&p&&br&&/p&&p&优化后的解法如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-5cad05bf9_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&332& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-5cad05bf9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&能写出上面这个答案的，估计就是已经将格林公式和高斯公式融会贯通了！！！&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b3c847e329ec5_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&542& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-b3c847e329ec5_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&事实上，格林公式和高斯公式有异曲同工之妙，回想一下格林公式：&b&任何2条同向包含奇点在内的封闭曲线，两条曲线积分的结果都是一样的&/b&，那么回到高斯公式上，&b&任何包含奇点在内的两个曲面，只要方向相同，那么他们两的曲面积分记过也是相同的&/b&，&b&经过这样构造的曲面方程，就可以顺利的去掉分母，然后再次使用高斯公式，简化计算&/b&！！！”&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic6.zhimg.com/v2-c1fc3a057eec_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&330& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic6.zhimg.com/v2-c1fc3a057eec_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&其实，从刚才第二题的第一个解法步骤中，其实我们也能发现，&b&原式的曲面积分积分值，就等于重新构造的在这个同向曲面上的积分值&/b&，就是：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-6c9dfe2c06774edbe0a8d84ca9116bcc_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&544& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-6c9dfe2c06774edbe0a8d84ca9116bcc_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&那么，格林公式和高斯公式又有何不同呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&像之前的&b&第二类曲线积分，你如果碰上了，一定要用格林公式，而至于高斯公式嘛，满足条件你就用，如果不满足，那就老老实实的用第一个计算方法吧&/b&&/p&&h2&&b&（七）总结&/b&&/h2&&p&以上是对第二类曲面积分的分析，确确实实是考研考试中的重点但是我们不要忘了，还有第1类曲面积分呢？他要是哪一年出出来，难度一点都不必第二类曲面积分难度小！！！&/p&&p&什么，你不信？&/p&&p&不信的话，那就戳以下链接睁大眼睛、准备好纸和笔，尤其是专门做修改用的红笔，亲自见题之后，先给我真刀实枪的做一把，然后再核对答案分析吧！&/p&&p&&br&&/p&&p&附：真题中第一类曲面积分的分析（）：&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&拉帮结派的第一类曲面积分，10年磨一剑，究竟有多大的杀伤力？(自行测试两道真题便知！)&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&后记&/b&：关于本文，如果有想看公众号文章 &b&武侠版本&/b&、&b&内附视频&/b&的小伙伴们，可以点击以下链接进行查看哦---&b&-&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzUzMzA2NTg3Ng%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Daf5b9ca750f95f131befa589%26chksm%3Dfaa8fb0fcddf9f12deb51d51ede829ae47ffb08a89%23rd& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&谁能快速破解二型曲面积分？唯我高斯公式！&/a&&/b&）&/p&&p&&br&&/p&&p&*********************************************************************************************************&/p&&p&哈喽，大家好！我是宝刀君，微信公众号：&b&考研摆渡人宝刀君&/b&，ID:&b&BDJ0501&/b&，&b&专注考研数学、自动控制原理的辅导，有料、有趣、有深度&/b&！&/p&&p&我的知识点讲解文章会&b&首发&/b&在&b&微信公众号&/b&&/p&&p&在那里，&b&内容展现形式&/b&会更精彩（有音乐、有短视频）~&/p&&p&在那里，每天有全国各地的小伙伴们&b&留言和我互动&/b&~&/p&&p&在那里，你可以通过查看历史消息，&b&系统的学习&/b&知识点~&/p&&p&&b&欢迎大家的关注~&/b&&/p&&p&如果您觉得我的文章对您理解知识点有帮助，麻烦伸出可爱的指头顺手帮我 &b&点个赞&/b& ，鼓励我继续创作，如果您这样做了，非常感谢~~~&/p&
写在前面：建议读者看完题后，先自己亲自做下，然后再结合本文分析来看，这样效果会更好！ 各位考研狗辛苦了，先给各位上两道小菜，让各位再辛苦下！ 两道第二类曲面积分题目的计算：哎呦！不是度过了打拼的年龄，就应该退隐江湖吗？不是度过了打拼的年龄，…
已有帐号？
无法登录？
社交帐号登录
1217 人关注
850 条内容
140 人关注
739 条内容
2412 人关注
4464 条内容
4536 人关注
323 条内容