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2亿+学生的选择
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目 新闻节目 总计
20至40岁 42 16 58
大于40岁 18 24 42
总计 60 40 100（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名观众，大于40岁的观众应该抽取几名？（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．
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（1）∵从所给的表格中可以看出观看新闻节目的有40人，而其中大于40岁的有24人，∴收看新闻节目者多为年龄大于40岁的人，∴收看新闻节目的观众与年龄有关（2）∵采用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名...
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（1）从所给的表格中可以看出观看新闻节目的有40人，而其中大于40岁的有24人，所以收看新闻节目的观众与年龄有关，多为年龄大于40岁的人．（2）采用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名观众，而收看新闻节目的共有40人，做出每个个体被抽到的概率，得到结果．（3）本题是一个等可能事件的概率，由（2）知，抽取的5名观众中，有2名观众的年龄处于20至40岁，3名观众的年龄大于40岁，得到结果．
本题考点：
随机抽样和样本估计总体的实际应用．
考点点评：
本题主要考查用样本估计总体，在这个过程中提升学生对统计抽样概念的理解，初步培养学生运用统计思想表述、思考和理解现实世界中的问题能力．
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计数原理与概率统计专题讲座
QG-理科?名师诊断 对点集训专案突破 决胜高考?【考情报告】题 型小 题2010年第6题:二项分布、 期望值. 第13题:几何概型.2011年第4题:分步乘法计 数原理、古典概型. 第8题:二项展开式.2012年第2题:排列与组合 .第15题:正态分布 、独立重复试验. 第18题:随机变量 的分布列、期望 与方差.大 题第19题:2×2列联表 第19题:频数分布 、抽样方法、用样 表的理解与应用、 本估计总体. 分布列与期望.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【考向预测】 本专题是高考的一个热点内容,从近三年的高考题来看,对计数原理 、排列组合与概率要求总体中等偏上,对分类加法计数原理、分步 乘法计数原理和排列组合的考查主要是和古典概型结合到一起的 一道小综合题;二项式定理的考查以基本题型为主,主要是课本题目 的变形;几何概型考了一次;互斥、相互独立与独立重复试验一般在 大题中出现,考查基本概念与基本算法;条件概率基本与考纲要求一 样,以了解为主,目前还没有考查.高考对这部分内容,一般考查2道小 题、1道大题,小题多为中、低档题;大题则多为中档题,考查的热点 是统计、概率、随机变量及其分布.特别是概率、随机变量及其分名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考布列几乎是必考题,要引起充分重视.预测2013年会延续这种考情,考 题难度不会再加大,对计数原理(包括排列组合)、二项式定理、概 率及随机变量的分布还会重点考查.要重视对概率意义的理解,重视 概率的实际应用. 【知能诊断】名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.(2012临沂二模)二项式(2?x -?)6的展开式中的常数项为? ( (A)120. (C)160. (D)-160.r ?61 x)(B)-120.【解析】展开式的通项为Tr+1= C (2?x )-rr C6 ?x6-r6? r r ? 1 r r 6-r r 2 2 (-?) =(-1) ? ?6 ? ? =(-1)r?6 2 C x x 2 x3-r.令3-r=0,得r=3,所以常数项为T4=(-1)3?3? =-160,选D. 2 C3 6【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.(2012徐州二质检)箱中有号码分别为1,2,3,4,5的五张卡片,从中一 次随机抽取两张,则两张号码之和为3的倍数的概率为 .2 C5 【解析】抽取2张卡片共有? 种取法(不考虑顺序),其中号码和为3的倍数的有(1,2),(1,5),(2,4),(4,5),所以概率为? ? = .【答案】?2 54 102 5名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.(2012南通、泰州、扬州苏中三市高三第二次调研测试)已知函数f (x)=log2x,在区间[? ,2]上随机取一个数x0,则使得f(x0)≥0的概率为 . 【解析】f(x0)≥0?x0≥1,则1≤x0≤2,所以概率p=? =? . 1 32 ?121 22?2【答案】?2 3名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.(2012南京二模)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取200件,对其等级系 数进行统计分析,得到频率f的分布如下:X f 1 a 2 0.2 3 0.45 4 0.15 5 0.1则在所抽取的200件日用品中,等级系数X=1的件数为.【解析】由所有频率之和为1,可知道a=0.1,由频率公式可知所求件 数为20. 【答案】20名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.(2012浙江慈溪模拟)现安排甲、乙等5名同学去参加3个运动项目, 要求每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求且甲、乙两人不参加同一个项目的安排方法种数为? ( (A)114.(C)108.)(B)162.(D)132.【解析】5个人分别参加三个项目有两种可能:1人+1人+3人;2人+2 人+1人. 当按1人+1人+3人参加时,可按以下方式分类考虑:A3 ()甲、乙都参加只有一人的项目,则有?3=6种情况;名师诊断专案突破对点集训决胜高考C2 ()甲、乙中参加项目有一个只有一人的,则有2? 3 A 3=36种. ??3当按2人+2人+1人参加时,可按以下方式分类考虑:C ()甲、乙中参加项目有一个只有一人的,则有2? 13 A 3=36种; ??3C1 C1 A 3 ()甲、乙都是参加项目有两人的,则有???3=36种. 3 2将上面所有情况相加即得答案. 【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.(2012济南5月模拟)将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图 中的位置时,填写空格的方法数为? ( (A)6种. (C)18种. (B)12种. (D)24种. )名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】根据数的大小关系可知,1,2,9的位置是固定的,则剩余5,6,7,C2 8四个数字,选两个数字放C、B处即可,有? 种排法,选A. 4【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.(2012年? 新课标全国)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若 干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫 瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需 求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求 量n 频数 10 20 16 16 15 13 10 14 15 16 17 18 19 20以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是1 7枝?请说明理由.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)当日需求量n≥16时,利润y=80, 当日需求量n&16时,利润y=10n-80. 所以y关于n的函数解析式为 y=? ??10n ? 80, 　n ? 16, (n∈N). 80, n ? 16 ?(2)①X可能的取值为60,70,80,并且有 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.名师诊断专案突破对点集训决胜高考X的分布列为X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7X的数学期望为 EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X的方差为 DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花,理由如下:名师诊断专案突破对点集训决胜高考若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分 布列为YP550.1650.2750.16850.54Y的数学期望为 EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. Y的方差为名师诊断专案突破对点集训决胜高考DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=1 12.04. 由以上的计算结果可以看出,DX&DY,即购进16枝玫瑰花时利润波动 相对较小,另外,虽然EX&EY,但两者相差不大,故花店一天应购进16 枝玫瑰花. 答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花,理由如下:若花店一天购近17枝 玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54名师诊断专案突破对点集训决胜高考Y的数学期望为 EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,EX&EY,即购进17枝玫瑰花时的平均利 润大于购进16枝时的平均利润,故花店一天应购进17枝玫瑰花. 【诊断参考】 1.应用两个计数原理时容易出现的问题是:重复或遗漏,搞不清分类 、分步的标准. 2.应用二项展开式的通项公式时,涉及根式与指数式转化过程计算 容易出错;其次就是易忽略系数的符号(-1)r,导致错误.名师诊断 专案突破 对点集训决胜高考3.考生对三种抽样方法的特点模糊不清,特别是分层抽样按比例抽 取,有的考生对比例关系把握不清.4.计算概率时,考生对基本事件确定有误,基本事件计算不准确,书写不规范,计算错误. 5.考生搞不清离散型随机变量的所有可能值与所有可能值的概率. 6.在画频率分布直方图时,纵坐标易错,往往直接画成频率.实际上频 率分布直方图的纵坐标是频率/组距,频率分布直方图的面积是频率.名师诊断专案突破对点集训决胜高考?【核心知识】1.计数原理 2.排列与组合名师诊断专案突破对点集训决胜高考排 列定义 排列数公式?=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)Anm或写成?=组 合 定义 组合数公式??Anmn! (n ? m)!=?或m Cnn(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) m!写成?=组合数性质?n! n ?m m Cm m!? (n ? m)! n Cn Cn C m n ?1m Cn Cnm ?1①?=?;②?=?+?名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.二项式定理定理0 2 n 1 r Cn Cn Cn Cn Cn (a+b)n=?anb0+?an-1b+?an-2b2+…+?an-rbr+…+?a0bn(r=0,1,2,…,n) 通项r r Cn Cn Tr+1=?an-rbr,r=0,1,2,…,n,其中?叫做二项式系数名师诊断专案突破对点集训决胜高考二 项 式 系对称性与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等,即?0 k 1 Cn =?,…, ? Cn =?,?Cnn Cn Cnn?1=?,…. Cnn ?k最大值当n为偶数时,中间的一项的二项式系数? 取得最大 值;当n为奇数时,中间的两项的二项式系数?,?相数的 性 质等,且同时取得最大值.各二项式系数的和 ①?+?+?+…+?+…+? n2?1 C Cnn 2 n=2n; ②?+?+…+?+…=?+?+…+?+…=?n ?1Cn 2 ?n=2n-1. 2名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.概率模型概型 古典概型 几何概型 特点 等可能性、有限性 等可能性、无限性 概率求法A包含事件的个数 P(A)=? 基本事件总数P(A)=?A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果构成的长度(面积或体积)互斥事件有一个发生 的概率事件互斥P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B 互斥)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件.P(A∪B)=1P(A)=1-P(B) P(AB)=P(A)P(B)(A、B相 互独立)相互独立事件同时发 生事件互相独立名师诊断专案突破对点集训决胜高考独立重复试验一次试验重复n次k Cn P(X=k)=?pk(1-p)n-k (p为每次试验中,事件发生的概 率) 条件 概率 在事件A发生的条件下B 发生记作B|AP(B|A)=?P(AB) P(A)名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.统计抽样方法 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样用样本频率分布估计 ①频率分布表和频率分布直方图. 总体分布 ②总体密度曲线. ③茎叶图. 用样本的数字特征估 众数、中位数 计总 平均数 体的数字特征 方差? =?? s2=?[(x1-??)2+(x2x ?)2+…+(x x n ? - x1 ? x 2 ? ?? x n nx n 2 ?) ]1标准差s= ?2 2 2 x1 ?n [(x1 ? x) ? (x 2 ? x) ??? (x n ? x) ]???名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.离散型随机变量概率分布的两个性质 数学期望(均值) 方差 ①pi≥0,②p1+p2+…+pn=1. E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn V(X)=(x1-E(X))2?1+(x2-E(X))2?2+…+(xn-E(X))2?n p p p常见分布超几何分布一般地,在含有M件次品的 N件产品中任意取n件,其中恰有X件次品,P(X=k)=C ? M CN ? Mn CN k n ?k二项分布C P(X=k)=?nkpkqn-k(其中k=0,1,2,…,n,q=1-p), 两点分布是一种特殊的二 项分布 正态分布1 (x ? ? )2 ? f(x)=? ? ? ? 2? 2 ,x∈R,其中 e 2πμ为期望,σ为标准差名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.回归分析和独立性检验. 【考点突破】热点一:排列与组合应用题 1.在解决具体问题时,首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”,接 着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么.名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.区分某一问题是排列还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是 否有关.若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题;若 交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题.也就是说 排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关. 3.排列与组合综合应用问题的常见解法:①特殊元素(特殊位置)优先 安排法;②合理分类与准确分步;③排列、组合混合问题先选后排法; ④相邻问题捆绑法;⑤不相邻问题插空法;⑥定序问题倍缩法;⑦多排 问题一排法;⑧“小集团”问题先整体后局部法;⑨构造模型法;⑩正难则反、等价转化法.名师诊断专案突破对点集训决胜高考?(1)从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工 作,则选派方案共有? ( (A)280种. (C)180种. (D)96种. ) (B)240种.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2) 数学研究性学习小组共有13名同学,其中男同学8名,女同学5名. 从这13人里选出3人准备作报告.在选出的3人中,至少要有1名女同 学, 则不同选法种数为 种.(以数字作答)(3)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4人,则不同的分配方案共有? (4 4 C12 C8 C 4 (A)? ?? 种. 4)4 4 C12 C8 C 4 (B)3? ?? 种. 4(C) C4 4 3 ?12 ?8 ?3C A种.4 4 4 C12 C8 C 4 (D) A 3 种. 3?名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】(1)根据题意,使用排除法.首先计算从6名志愿者中选出4人 分别从事四项不同工作的情况数目,再分析计算其包含的甲、乙两 人从事翻译工作的情况数目,进而由事件间的关系,计算可得答案. (2)“至少要有1名女同学”可以理解为:选出的3人中有1名女同学、2名男同学;2名女同学、1名男同学;3名全是女同学.这样就可直接 按分类加法计数原理解答题目. (3)首先把12个人平均分成3组,这是一个平均分组,从12个中选4个, 从8个中选4个,最后余下4个,这些数相乘再除以3个元素的全排列,再 把这三个小组作为三个元素分到三个路口,这样就有一个全排列,根据分步计数原理得到结果.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)根据题意,由排列可得,从6名志愿者中选出4人分别从事A4 四项不同工作,有?6 =360种不同的情况,其中包含甲从事翻译工作有A5 A ? =60种,乙从事翻译工作的有?5 =60种.33若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有360 -60-60=240种.故选B.名师诊断专案突破对点集训决胜高考C1 C (2)解法1(直接法):选1名女同学,2名男同学,有??82种选法;选2名女同 52 C3 C5 C 学,1名男同学,有??18种选法;选3名女同学,男同学不选,有?种选法. 5 2 综上,根据分类计数原理知,选法共有: ??82+??+?=230(种). C1 C C5 C1 C3 5 8 5C3种选法,而不符合条件,即 解法2(间接法):如果没有限制条件,则有?13 C3 选出的全是男同学的选法是?8种.因此,至少要有1名女同学的不同选3 3 法有: ?-?=230(种). C13 C8(3)4 4 4 C12 ? C8 ? C4 首先把12个人平均分成3组,共有 个结果,再把这三个小 A3 3?组作为三个元素分到三个路口,这样就有一个全排列,共有?3 种结果, A34 4 4 C12 ? C8 ? C4 根据分步乘法计数原理知共有 ?3=?? A 3 ,故选A.C4 ? ?? C 4 C 4 ? 12 8 4 3 A3?名师诊断专案突破对点集训决胜高考【答案】(1)B (2)230 (3)A【归纳拓展】对于排列、组合的综合题目,一般是将符合要求的元 素取出或进行分组,再对取出的元素或分好的组进行排列,即一般策 略为先组合后排列.分组时,要注意“平均分组”与“不平均分组” 的差异及分类的标准.排列组合的综合问题从解法看,大致有以下几 种:(1)有附加条件的排列组合问题,大多需要用分类讨论的方法,注 意分类时应不重不漏;(2)排列与组合的混合型问题,用分类加法或分 步乘法计数原理解决;(3)元素相邻,可以看做是一个整体的方法;(4) 元素不相邻,可以利用插空法;(5)间接法,把不符合条件的排列与组 合剔除掉;(6)穷举法,把不符合条件的所有排列或组合一一写出来.名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考【附注】解排列组合题的“16字方针,12个技巧”:(1)“16字方针”是解排列组合题的基本规律,即:有序排列、无序组 合;分类为加、分步为乘. (2)“12个技巧”是速解排列组合题的捷径.即: ①相邻问题捆绑法; ③多排问题单排法; ⑤定位问题优先法; ②不相邻问题插空法; ④定序问题倍缩法; ⑥有序分配问题分步法;⑦多元问题分类法;⑧交叉问题集合法;⑨至少(至多)问题间接法; ⑩选排问题先取后排法; ? 局部与整体问题排除法; ? 复杂问题转化法.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练1 (1) 计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水 彩画不放在两端,那么不同的陈列方式有? (A 4 A5 (A)?4 ?5 种.)A5 A 4 A5 (B)?3?4 ?5种.A 2 A 4 A5 (D)?2 ?4 ?5种.A A 4 A5 (C)?13 ?4 ?5 种.(2)一条长椅上有9个座位,3个人坐,若相邻2人之间至少有2个空椅子,共有 种不同的坐法.(3)一条长椅上有7个座位,4个人坐,要求3个空位中,恰有2个空位相 邻,共有名师诊断种不同的坐法.专案突破 对点集训 决胜高考A2 【解析】(1)先各看成整体,但水彩画不在两端,则为?,然后水彩画 2 A 2 A 4 A5 与国画各全排列,所以共有???种陈列方式. 2 4 5 (2)先将3人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×),这时共占据了7张椅子,还有2张空椅子,一是分开插入,如图中箭 头所示(↓×□↓□×□↓□×↓),从4个空当中选2个插入,有?种插2 C4法;二是2张同时插入,有?14种插法,再考虑3人可交换,有?种方法,所 C A3 3以,共有?3(?2+?1)=60(种). A 3 C4 C4 (3)可先让4人坐在4个位置上,有?4种排法,再让2个“元素”(一个是 A4 两个作为一个整体的空位,另一个是单独的空位)插入4个人形成的5 A2 A4 A2 4 个“空当”之间,有5?种插法,所以所求的坐法数为??5 =480. ?【答案】(1)D名师诊断(2)60 (3)480专案突破 对点集训 决胜高考热点二:求二项展开式的通项、指定项 二项式定理是一个恒等式.求二项展开式中某指定项的系数、二项 式系数或指定项问题,是二项式定理的常考问题,通常用通项公式来解决.在应用通项公式时,要注意以下几点: (1)它表示二项展开式的任意项,只要n与r确定,该项就随之确定; (2)Tr+1是展开式中的第r+1项,而不是第r项;(3)公式中a,b的指数和为n且a,b不能随便颠倒位置; (4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题; (5)对二项式(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.名师诊断专案突破对点集训决胜高考?设f(x)=(1+x)m+(1+x)n展开式中x的系数是19(m,n∈N*).(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值; (2)当f(x)展开式中x2的系数取最小值时,求f(x)展开式中x7的系数.【分析】求二项展开式中指定项,关键是研究通项公式,结合通项,找出指数的组成规律,确定项的组成规律. 【解析】f(x)=(1+x)m+(1+x)n展开式中x的系数是19.C1 C1 即? +? =19,∴m+n=19. m n名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)f(x)展开式中x2的系数为:C + C n +?= ?m ?=?C19?n C n +222? ?2(19 ? n)(18 ? n) 2n(n ? 1) 219 =n2-19n+171=(n-?)2+323. ? 241 2 323 324 2 C 2 的最小值为(?) +?=?=81,∴x 又∵n∈N*,∴当n=9或n=10时,?+?C2 m n 244的系数的最小值为81. (2)由(1)知当n=9,m=10或n=10,m=9时,x2的系数最小,此时x7的系数为7 7 3 2 C10 C9 C10 =156. ?+?=?+?C9名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】对二项展开式的通项公式要灵活应用,以及能区分展 开式中项的系数与其二项式系数.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练2 (1+x+x2)(x-?6的展开式中的常数项为 ) 【解析】(1+x+x2)(x-?6 )1 x 1 15 6 1 x0(-?6]=(1+x+x2)(x6-6x4+15x2-20+? ? ? ) - + ), x2 x4 x6 x1 x1 x.C6 =(1+x+x2)[?0 x6(-?0+?16 x5(-?1+?6 x4? ?2+?3 x3(-?3+?6 x2(-?4+?5 x(-?5+?6 ) C ) C2 (- ) C6 ) C4 ) C6 ) C61 x1 x1 x1 x1 x所以常数项为1×(-20)+x2? 2 =-5. ? 【答案】-515 x名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点三:二项式定理中的“赋值”问题 二项式中项的系数和、差可以通过对二项展开式两端字母的赋值 进行解决,如(1+x)n展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各 项系数的和,只要令x=1即得,而(1-x)n的展开式中各项系数的绝对值 的和,只要把x前面的系数-1变为+1,令x=1得到,也可以不改变系数-1, 直接令x=-1得到,这样就不难类比得到(1+ax)n展开式中各项系数绝 对值的和为(1+|a|)n.名师诊断专案突破对点集训决胜高考?设(4x-1)200=a0+a1x+a2x2+…+a200x200,求:(1)展开式中二项式系数之和; (2)展开式中各项系数之和;(3) |a0|+|a1|+|a2|+…+|a200|; (4)展开式中所有偶数项系数之和;(5)展开式中所有奇数项系数之和.【分析】展开式的二项式系数和为2n;求展开式的系数和:奇数项(或 偶数项)系数和一般用赋值法;系数的绝对值之和只要将二项式中的 所有系数改写成正数之后再用赋值法即可解决.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】令f(x)=(4x-1)200,则C 200 C0+?1+?+…+?=2200. Cn C2 200 n n (1)展开式中二项式系数之和为?(2)展开式中各项系数之和为f(1)=3200. (3) |a0|+|a1|+|a2|+…+|a200|=f(-1)=5200. (4)f (1) ? f (?1) a1+a3+…+a199=?=?. 2 f (1) ? f (?1) a0+a2+…+a200=?=?. 2(5)3200 ?
3 ? 5200 2【归纳拓展】在二项式定理的应用中,“赋值法”是一种重要方法, 是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法.赋值法的模式 是:对任意的x∈A,某式子恒成立,那么对A中的特殊值,该式子一定成 立.特殊值x如何选取视具体问题而定,没有一成不变的规律,它的灵 活性较强,一般取x=0,1,-1较多.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练3 (1)(x+? ?5的展开式中各项系数的和为2,则该展开 )(2x- ) 式中常数项为 .a 2a 2a x1 x1 2011 (2)若(1-2x)x+…+a(x∈R),则? ?+…+? 的值为 + 2 2 2011a 2. 【解析】(1)令x=1得(1+a)(2-1)5=1+a=2,所以a=1.因此(x+?)(2x-?)5展开式中的常数项即为(2x-?)5展开式中?的系数 与x的系数的和.1 x 1 x 1 x 1 x名师诊断专案突破对点集训决胜高考Cr (2x-?5展开式的通项为Tr+1=?5 (2x)5-r? r?-r=?525-rx5-2r? r. ) (-1) x Cr (-1)1 x1 x 1 1 C5 令5-2r=-1,得2r=6,即r=3,因此(2x-?5展开式中? ) 的系数为?3 25-3? 3=-4 (-1) x xC2 令5-2r=1,得2r=4,即r=2,因此(2x-?5展开式中x的系数为?5 25-2(-1)2=80. )0. ∴(x+? ?5展开式中的常数项为80-40=40. )(2x- )1 x 1 x名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)∵(1-2x)x+…+a(x∈R),1 ∴令x=0,则a0=1,令x=?, 2a1 a a 1? 2? ? 则 ?1 ? =a0+?+?+…+2?=0, 2011 ? 2 22 2? 22011 ??2011a1 a2011 其中a0=1,∴?+a2 +…+?=-1. ? 2 2011 222【答案】(1)40 (2)-1名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点四:频率分布直方图或频率分布表问题(1)在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应的频率,各小长 方形的面积的和为1. (2)众数、中位数及平均数的异同: 众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是 最重要的量. (3)当总体的个体数较少时,可直接分析总体取值的频率分布规律而 得到总体分布;当总体容量很大时,通常从总体中抽取一个样本,分析它的频率分布,以此估计总体分布.名师诊断专案突破对点集训决胜高考1 n ? x= ? ①总体期望的估计,计算样本平均值? ?1xi. n i??②总体方差(标准差)的估计:? 1 n ? 方差=?1 (xi-? 2,标准差=?方差 ,方差(标准差)较小者较稳定. ? x) n i?名师诊断专案突破对点集训决胜高考?为普及校园安全知识,某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试,从中抽出60名学生,将其成绩分成六段[40,50),[50,6 0),…,[90,100)后,画出如图所示的频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为;平均分为 .名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】用样本中及格的频率估计总体的及格率,以样本的平均数估计总体的平均数,即以各组的中点值乘以各组的频率之和估计总体的平均数. 【解析】及格的各组的频率是(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75, 即及格率约为75%;样本的均值为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71,以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71. 【答案】75% 71名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】用样本估计总体时,如果已知频率分布直方图,那么就用样本在各个小组的频率估计总体在相应区间内的频率,用样本的 均值估计总体的均值,根据频率分布表估计样本均值的方法是取各 个小组的中点值乘以各个小组的频率之和进行的.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练4某工厂对一批产品进行了抽样检测,右图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净 重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102, 104),[104,106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本 中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 .名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n,则?=0.300,所以n=120,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0. 100+0.150+0.125)×2=0.750,所以样本中净重大于或等于98克并且小 于104克的产品的个数是120×0.750=90. 【答案】9036 n名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点五:茎叶图及数字特征?随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位: cm),获得身高数据的茎叶图如图所示.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学, 求身高176 cm的同学被抽中的概率. 【分析】根据茎叶图读出各数据,然后根据公式计算平均值和方差. 【解析】(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于160~179之间,而乙班身 高集中于170~180之间,因此乙班平均身高高于甲班.名师诊断专案突破对点集训决胜高考? 158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 x =?=170. (2)? 10 1 甲班的样本方差s2=?[(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(168-170)2+(16 108-170)2+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2. (3)设身高为176 cm的同学被抽中的事件为A,从乙班10名同学中抽C2 C1 中两名身高不低于173 cm的同学有?5个基本事件,而事件A含有?个 44 基本事件,∴P(A)=?=2 . ? 105【归纳拓展】(1)本题考查了茎叶图的识图问题和平均数的计算,其 中从茎叶图中读出数据是关键,为此,首先要弄清“茎”和“叶”分别代表什么. (2)要熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准差的计算方法.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练5甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下: 甲:82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 75 83 80 90 85 (1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数; (2)现要从中选派出成绩最稳定的一人参加数学竞赛,从平均成绩和 方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)茎叶图如下:学生乙成绩的中位数为?83 ? 85 =84. 2名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)派甲参加比较合适,理由如下:1 x甲 ?(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85; ?= 8x乙 ?=?(70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5)=85; 811 2 s甲=?[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+ ? 8(95-85)2]=35.5;s乙 ?=2?[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+ 81(95-85)2]=41.x甲 x , s 2 s 2 ∴?=?乙?甲 ?乙 & ,∴甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适.名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考热点六:抽样方法 抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种,这三种 抽样方法各自适用不同特点的总体,但无论哪种抽样方法,每一个个 体被抽到的概率都是相等的,都等于样本容量和总体容量的比值.?(1)(2012年? 山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采 用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区 间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的 人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为?( )(A)7.(B)9.(C)10.(D)15.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)某地有居民100000户,其中普通家庭99000户,高收入家庭1000户. 从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户,从高收入家庭中以简 单随机抽样方式抽取100户进行调查,发现共有120户家庭拥有3套或 3套以上住房,其中普通家庭50户,高收入家庭70户.依据这些数据并 结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭 所占比例的合理估计是 .【分析】(1)由系统抽样的特点可得抽到的号码构成以9为首项、以 30为公差的等差数列,求得此等差数列的通项公式为an=9+30(n-1)=3 0n-21,由451≤30n-21≤750 求得正整数n的个数,即为所求;名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)为分层抽样问题,首先根据拥有3套或3套以上住房的家庭所占的 比例,得出100000户居民中拥有3套或3套以上住房的户数,它除以10 0000得到的值为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合 理估计.【解析】(1)由题意可知抽到的编号为9,39,69,…,构成了首项为9,公 差为30的等差数列,其通项公式为an=9+(n-1)×30=30n-21;故做问卷B 的编号满足451≤30n-21≤750,可知16≤n≤25,故人数为10.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2) 该地拥有3套或3套以上住房的家庭估计有:99000×?+1000×? =5700户,所以所占比例的合理估计是=5.7%.50 99070 100【答案】(1)C (2) 5.7%名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】(1)解决此类题目要深刻理解各种抽样方法的特点和 适用范围. (2)各种抽样都是等概率抽样,往往是解题的突破口.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练6 (1)(2012温州模拟)某工厂生产A、B、C三种不同型号 的产品,产品数量之比为3∶4∶7.现在用分层抽样的方法抽出容量 为n的样本,样本中A型号产品有15件,那么样本容量n为?( )(A)50. (C)70. (D)80.(B)60.(2)(2012济南模拟)为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进 行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号, 用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号 同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是? ( )(A)13.(C)20.(B)19.(D)51.名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考【解析】(1)由分层抽样的方法得?×n=15,解得n=70.3 3? 4? 752 (2)由系统抽样的原理知抽样的间隔为?=13,故抽取的样本的编号 4分别为7、7+13、7+13×2、7+13×3,从而可知选C.【答案】(1)C (2)C名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点七:相互独立事件和独立重复试验在概率中,事件之间有两种最基本的关系,一种是事件之间的互斥(含 两个事件之间的对立),一种是事件之间的相互独立.互斥事件至少有 一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和,相互独立事件同时 发生的概率等于各个事件各自发生的概率之积,在概率计算中正确 地把随机事件进行分拆是正确解决问题的根本所在. 把随机事件分拆成若干个互斥事件的和、把随机事件分拆成若干 个相互独立事件的乘积是比较单纯的,在概率计算中一个极为重要 的技巧就是把一个随机事件首先分拆成若干个互斥事件的和,再把 其中的每个小事件分拆成若干个相互独立事件的乘积,在这个过程中还可以根据对立事件的关系进行转化,这是概率计算的关键技巧.名师诊断专案突破对点集训决胜高考?2和3. 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是? ? 34假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;每人各次射击是否 击中目标,相互之间也没有影响. (1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率; (2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的 概率; (3)假设某人连续2次未击中目标,则终止其射击,求乙恰好射击5次后被终止射击的概率是多少.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】 第(1)问先求其对立事件的概率; 第(2)问利用相互独立事件和独立重复试验的概率公式; 第(3)问中,乙恰好射击5次被终止,可分为前3次击中后两次未击中和 前2次有一次未击中,第3次击中,后两次未击中两种情况. 【解析】(1)甲至少一次未击中目标的概率是P1=P4(1)+P4(2)+P4(3)+ P4(4) =1-P4(0)=1-(? =?. )42 365 81名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)甲射击4次恰好击中2次的概率为C4 P2=?2(?)2(?)2=?,2 31 38 27乙射击4次恰好击中3次的概率为C4 P3=?3(?)3×?=?.3 41 427 64由乘法公式,所求概率P=P2P3=?×?=?.8 27 27 641 8(3)乙恰好5次停止射击,则最后两次未击中,前三次或都击中或第一? 与第二次恰有一次击中,第三次必击中,故所求概率为P= ? 3 ? ? 1+? C12 ? ? ?4? ?4? ? ???32??? 3 ? ? 1 =?45 ? . ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 1024名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考23【归纳拓展】(1)注意区分互斥事件和相互独立事件.互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的情况;相互独立事件是指几个事件的 发生与否互不影响,当然可以同时发生.在解含有相互独立事件的概率题时,首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和,其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积,这两个事情 做好了,问题的思路就清晰了,接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了.如果某些相互独立事件符合独立重复试验,就把这部分归结为用独立重复试验,用独立重复试验的概率计算公式解答.(2)一个事件若正面情况比较多,反面情况较少,则一般利用对立事件 进行求解.对于“至少”,“至多”等问题往往用这种方法求解.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练7 某厂生产的A产品按每盒10件进行包装,每盒产品均需 检验合格后方可出厂.质检办法规定:从每盒10件A产品中任抽4件进 行检验,若次品数不超过1件,就认为该盒产品合格;否则,就认为该盒 产品不合格.已知某盒A产品中有2件次品.求:(1)该盒产品被检验合格的概率; (2)若对该盒产品分别进行两次检验,则两次检验得出的结果不一致 的概率.4 C10 【解析】(1)从该盒10件产品中任抽4件,有等可能的结果数为? 种,3 4 C8 C8 C1 其中次品数不超过1件的有? +?? 种,被检验认为是合格的概率为 2?4 3 C8 ? C8C1 13 2 =? . 4 15 C10名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)两次检验是相互独立的,可视为独立重复试验.因两次检验得出该 盒产品合格的概率均为?,故“两次检验得出的结果不一致”即两? C1? ? 1 =? 次检验中恰有一次是合格的概率为?? ?? 13 ? . ? 213 15 ?13 1552 15 ? 225名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点八:随机变量的概率分布、均值和方差 1.处理有关离散型随机变量的应用问题,关键在于根据实际问题确 定恰当的随机变量,并明确随机变量所有可能的取值. 2.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.3.注意应用“概率之和为1”这一性质检验解答是否正确.名师诊断专案突破对点集训决胜高考?甲、乙两名教师进行乒乓球比赛,采用七局四胜制(先2 1 胜四局者获胜).若每一局比赛甲获胜的概率为? ,乙获胜的概率为? , 33现已赛完两局,乙暂时以2∶0领先. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设比赛结束时比赛的局数为随机变量X,求随机变量X的概率分布 和数学期望E(X). 【分析】 (1)甲获得这次比赛胜利情况有二:一是比赛六局结束,甲 连续赢了四局;一是比赛了七局,甲在后五局中赢了四局,且最后一局 是甲赢,分别计算出这两个事件的概率,求其和.名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考(2)设比赛结束时比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7,当X=4时,乙获得比赛胜利;当X=5时,乙也获得比赛胜利,甲只在第3,4局胜一 局;当X=6时,甲和乙都有可能胜利,包括甲第3、4、5、6局都胜,或是乙在第3、4、5局胜一局,第6局一定胜;当X=7时,甲、乙都可能胜利,乙在第3、4、5、6局胜一局,第7局有输赢两种可能.【解析】(1)设甲获胜为事件A,则甲获胜包括甲以4∶2获胜和甲以4 ∶3获胜两种情况.2 设甲以4∶2获胜为事件A1,则P(A1)= ? ? ? ? ?3?16 ? =?. 814名师诊断专案突破对点集训决胜高考2 64 1 2 设甲以4∶3获胜为事件A2,则P(A2)= C ×? ? ? ×? ? , ×? ? = 3 ? 3 ? 3 2431 ?4?3P(A)=P(A1)+P(A2)=? ? =? . + 81(2)随机变量X可能的取值为4,5,6,7,1 1 P(X=4)= ? ?=?. ? ? 9 ? 3?21664 112 243 243?C P(X=5)=?12×?×?×?=?.1 32 31 324 271 ?2 P(X=6)= C×?× ? ? ? 3 ?3?1 ?3?31 ?2 ×? + ? ? ? 3 ?3?4 ?=27 +16 =?. ? 81 28 ? 8141 ?2 P(X=7)= C×?× ? ? ? 3 ?3?1 ?432 ?=?. 81X的概率分布为:名师诊断专案突破对点集训决胜高考X P4? 1 95? 4 276? 28 817? 32 81E(X)=4×?+5×?+6×?+7×?=?. 【归纳拓展】(1)求离散型随机变量的概率分布的关键是正确理解 随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类求概率1 94 2728 8132 81488 81的公式,求出概率. (2)求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的概率分布,若随机变量服从二项分布,则可直接使用公式求解.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练8某校组织的一次篮球定点投篮比赛中,两人一对一比赛规则如下:若某人某次投篮命中,则由他继续投篮,否则由对方接替投篮.现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛,甲和乙每次投篮命中的概1 1 率分别是? .两人共投篮3次,且第一次由甲开始投篮,假设每人每次 ,? 3 2投篮命中与否均互不影响.(1)求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率; (2)若投篮命中一次得1分,否则得0分,用X表示甲的总得分,求X的概 率分布和数学期望.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A, 由题意,得P(A)=??? × = .1 32 3 2 9∴3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是? .2 9名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由题意X的可能取值为0,1,2,3, 则P(X=0)=?×?+?×?×?=?,2 31 22 31 22 35 9P(X=1)=?×?×?+?×?=?,2 31 21 1 3 32 31 3P(X=2)=?×?×?=?,1 1 3 31 32 32 27P(X=3)=?×?×?=?.1 1 3 31 27所以X的概率分布为名师诊断专案突破对点集训决胜高考X P0? 5 91? 1 32? 2 273? 1 27E(X)=0×?+1×?+2×?+3×?=?.5 91 32 271 2716 27名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点九:统计案例 本部分主要包括回归方程的求法和独立性检验,同学们在平时学习 中对这部分往往不够重视,事实上,特别是近几年这两个考点在各地高考中常以大题的形式出现,因此同学们应根据新课标的要求对它们很好地掌握.对于回归直线,要会根据最小二乘法求其方程,这里关 键是考查同学们的数据处理能力和计算能力.独立性检验问题,要理解其基本思想,根据给定的数据能够得到其2×2列联表,然后利用K2进行独立性检验.名师诊断专案突破对点集训决胜高考?为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下丢失数据的列联表: 药物效果试验列联表患病 没服用药 服用药 总计 20 x M 未患病 30 y N 总计 50 50 100设从没服用药的动物中任取两只,未患病数为X;从服用药物的 动物中任取两只,未患病数为Y,工作人员曾计算过P(X=0)=? P(Y=0).38 9名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求出列联表中数据x,y,M,N的值; (2)求X与Y的均值(期望)并比较大小,请解释所得结论的实际含义; (3)能够以99%的把握认为药物有效吗? 公式参考数据:K2n(ad ? bc) 2 = (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )?①当K2&3.841时有95%的把握认为X、Y有关联; ②当K2&6.635时有99%的把握认为X、Y有关联.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】 (1)从已知P(X=0)=?P(Y=0)出发,结合2×2列联表可求.(2)38 9求出X、Y的分布列,再求得E(X)和E(Y)即可.(3)利用公式算出K2,结合参考数据可以判断.C2 C2 20 【解析】(1)∵P(X=0)= C 2 ,P(Y=0)= C 2x , 50 50??C 2 38 C 2 ∴ C20 =?× C 2x 2 9 50 50??, ∴x=10,∴y=40,∴M=30,N=70.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)X取值为0,1,2,C2 38 P(X=0)= 20 =?, 2 C50 245?C1 C1 120 P(X=1)= 20 2=30 , ? C50 245?2 C30 87 P(X=2)= 2 =?, C50 245?X P0? 38 2451? 120 2452? 87 245∴E(X)=?.294 245名师诊断专案突破对点集训决胜高考2 C10 9 P(Y=0)= 2 =?, C50 245??C1 C1 P(Y=1)= 10 2=40 ,80 ? C50 245C 2 156 P(Y=2)= 40 =?, 2 C50 245?Y P0? 9 2451? 80 2452? 156 245∴E(Y)=? .∵E(X)&E(Y),即说明药物有效.392 245名师诊断专案突破对点集训决胜高考(3)∵K2100 ? (800 ? 300) 2 =?≈4.76. 30 ? 70 ? 50 ? 50由参考数据知不能够有99%的把握认为药物有效. 【归纳拓展】独立性检验问题在实际中作用较大.此类问题应熟悉2×2列联表的意义;K2的大小对认定变量X与Y是否有关联的把握性(概率)是有关系的.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练9 某地区甲校高三年级有1100人,乙校高三年级有900人,为了统计两个学校高三年级在某次毕业考试中的数学学科成绩,采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩,如下表 (已知本次测试的总分为100分): 甲校高三年级数学成绩:分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]频数10253530x乙校高三年级数学成绩:分组 频数 [50,60) 15 [60,70) 30 [70,80) 25 [80,90) y [90,100] 5名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)计算x,y的值,并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(每组 数据用区间中点代替).(精确到1分) (2)若数学成绩不低于80分为优秀,低于80分为非优秀,根据以上统计 数据写出下面2×2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.01的 前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”?甲校 优秀 非优秀 总计 乙校 总计名师诊断专案突破对点集训决胜高考公式参考数据:K2n(ad ? bc) 2 = (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )?①当K2&3.841时有95%的把握认为X、Y有关联; ②当K2&6.635时有99%的把握认为X、Y有关联.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)依题意用分层抽样法计算得甲校应抽取110人,乙校应 抽取90人,故x=10,y=15, 估计甲校平均分为55 ? ? 10 ? 65 ? 25 ? 75 ? 35 ? 85 ? 30 ? 95 ?10 ≈75, 110乙校平均分为55 ? ? 15 ? 65 ? 30 ? 75 ? 25 ? 85 ?15 ? 95 ? 5 ≈71, 90名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)列联表如下:甲校优秀 非优秀 总计 40 70 110乙校20 70 90总计60 140 200K2200 ? (40 ? 70 ? 20 ? 70) 2 =?≈4.714. 110 ? 90 ? 60 ?140又因为4.714&6.635,故不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认 为 “两个学校的数学成绩有差异”.名师诊断专案突破对点集训决胜高考?限时训练卷(一) 一、选择题 1.5名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报 名方法的种数是? ( (A)35. (B)53. )A5 (C)?3.C3 (D)? . 5名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】第n名应届毕业生报考的方法有3种(n=1,2,3,4,5),根据分步 计数原理不同的报名方法共有3×3×3×3×3=35(种). 【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.(2012山东实验中学一模)二项式(x2+?)10的展开式中的常数项是?(2 x) (B)第9项. (D)第7项.rr ? 105 20? r 2(A)第10项. (C)第8项.x 【解析】展开式的通项公式Tr+1=2 C ? ,令20-? r=0,得r=8,展开式中5 2常数项是第9项,故选B. 【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.(2012浙江镇海中学)若(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|等于? ( (A)1024. (B)243. ) (C)32. (D)24.【解析】分析式子易得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5. 故令x=-1即可得答案. 【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.(2012台州一模)用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数中,相邻 两位数字的奇偶性都不同的有? ( (A)24个. (B)36个. (C)60个. ) (D)72个.A 3 ?3 A 【解析】个位数为偶数,则有?3? 3=36个;C A A3 ? ?2 个位数为奇数,则有?3 ? 12? 2=24个.共有60个.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.(2012惠州二模)若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80,则实数a的值为?() (B)2?2 .3 (C)?4 .(A)-2.(D)2.2 C5 【解析】(ax-1)5的展开式中含x3的项为? (ax)3? 2=10a3x3,由题意得1 (-1)0a3=80, 所以a=2.选D. 【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.(2012嘉兴二模)有6个人站成前后两排,每排3人,若甲、乙两人左 右、前后均不相邻,则不同的站法种数为? ( )(A)240.(B)384.(C)480.(D)768.【解析】以甲为特殊元素分类考虑:A4 甲在1位置时,乙可在3、5、6位置,则有3?4 =72种;A4 甲在2位置时,乙可在4、6位置,则有2?4 =48种;名师诊断专案突破对点集训决胜高考A4 甲在3位置时,乙可在1、4、5位置,则有3?4 =72种;A4 A4 A4 甲在4、5、6位置时,与以上三种相似,则有3?4 +2?4 +3?4 =192种.A4 A4 A4 故共有2×(3?4 +2?4 +3?4 )=384种.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.(2012威海二模)设(x-?)6的展开式中x3的系数为A,二项式系数为B, 则A∶B等于? ( (A)4. (B) -4.k ?62 x) (C)26.6-k(D)-26.【解析】Tk+1= C x2 k k 6? 32k 3k C x C2 (-?) =?6 ? (-2)k,令6-?=3,即k=2,所以T3=?6 x3(-2)2 2 x2 C6 =60x3,所以x3的系数为A=60,二项式系数为B=? =15,所以A∶B=60∶15=4,选A. 【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.(2x-?5的展开式中不含x-3的项的系数和为? ( )(A)1. (B)10. (C)9.1 11 x)(D)-9.【解析】令x=1,则(2-?=1,∴各项系数和为1. )5Cr C 展开式通项为Tr+1=?5 (2x)5-r(-?r=(-1)r?5-r? 5x5-2r,当r=4时,T5=10?-3.∴不 ) 2 ?r x1 x含x-3的项的系数和为1-10=-9. 【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.现有高三(1)班参加校文艺演出的3男3女共6位同学,从左至右站成 一排合影留念,要求3位女生有且只有两个相邻,则不同的排法有?() (B)360种.(D)480种.(A)280种.(C)432种.【解析】先将3位女生分成2组,再将3个男生排成一排,用插空法将22 C3 A 2 A 3 A 4 组女生排入男生当中去,共有??2 ?3?2 =432种排法.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考二、填空题? x 2 ? ? 10.在 ? ? 2 x? ??6的二项展开式中,x2的系数为.6? r? x? Cr 【解析】该二项展开式的通项为Tr+1=?6 ? ? ? 2 ? 1 3 -r .令3-r=2,得r=1,∴x2的系数为-6×?=-? . 24 8?? 2 ? ?? ? ? x? ??rCr ? x =(-1)r?6 ? 6?2 r ?312【答案】-?3 8名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.为了应对金融危机,某公司决定从10名办公室工作人员中裁去4 人,要求甲、乙两人不能全部裁去,则不同的裁员方案的种数为 .3 4 C1 C8 C8 【解析】甲、乙中裁一人的方案有?? 种,甲、乙都不裁的方案有? 2 3 4 C1 C8 C8 种,故不同的裁员方案共有?? +? =182种. 2【答案】182名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.(2012北京西城区一模)有限集合P中元素的个数记作card(P).已知 card(M)=10,A?M,B?M,A∩B=?,且card(A)=2,card(B)=3.若集合X满足A?X?M,则集合X的个数是?Y,B?Y,则集合Y的个数是;若集合Y满足Y?M,且A.(用数字作答)【解析】显然card(M)=10表示集合M中有10个元素,card(A)=2表示 集合A中有2个元素,而A?X?M,故集合X中可以只含A中的2个元素, 也可以除了A中的2个元素外,在剩下的8个元素中任取1个,2个,3个,1 7 0 C8 C8 …,8个,共有? +? +…+? +? =256种情况,即符合要求所求的集合X有 C8 C8 8256个.满足条件Y?M的集合Y的个数为210,其中不满足条件A?Y的 集合Y的个数为28,不满足条件B?Y的集合Y的个数为27,同时满足A名师诊断专案突破对点集训决胜高考?Y,B?Y的集合Y的个数为25,故满足条件的集合Y的个数是210-28-27+25=672. 【答案】256 672名师诊断专案突破对点集训决胜高考三、解答题C0 13.(2012南京、盐城三模)已知数列{an}的首项为1,p(x)=a1? (1-x)n+a2 nCn ? x(1-x)1n-1Cn C2 Cn +a3? x2(1-x)n-2+…+an??1 xn-1(1-x)+an+1? xn. n n n(1)若数列?n ?是公比为2的等比数列,求p(-1)的值; ?a?a (2)若数列?n ?是公差为2的等差数列,求证:p(x)是关于x的一次多项式.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)方法一:由题设知,an=2n-1.C C p(-1)=1? 0(-1)0?n+2? 1n(-1)1?n-1+22?C(-1)2?n-2+…+2n? Cn n?0 ?n 2 ? 2 ?2 2 ? (-1) 2 n nC0 Cn =? (-2)0?n+?n(-2)1?n-1+?2(-2)2?n-2+…+? n(-2)n?0 2 C1 2 Cn 2 2 n=(-2+2)n =0.名师诊断专案突破对点集训决胜高考C0 方法二:若数列{an}是公比为2的等比数列,则an=2n-1,故p(x)=? (1-x)n+ nCn ? (2x)(1-x)1n-1Cn C2 Cn +? (2x)2? n-2+…+?n?1(2x)n-1(1-x)+?n(2x)n (1-x) n=[(1-x)+2x]n=(1+x)n. 所以p(-1)=0.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)若数列{an}是公差为2的等差数列,则an=2n-1.Cn 1 C0 C Cn p(x)=a1?n(1-x)n+a2?1nx(1-x)n-1+…+an?x?n-1(1-x)+an+1?xnn nC0 C Cn =?(1-x)n+(1+2)?1nx(1-x)n-1+…+(1+2n)?xn n nC0 C C2 Cn C1 =[?n(1-x)n+?1nx(1-x)n-1+?x2(1-x)n-2+…+?xn]+2[?x(1-x)n-1+2?C22(1-x)n-2+… xn n n nCn +n?xn]. nCn C C 2 (1-x) Cn 由二项式定理知,?0(1-x)n+?1nx(1-x)n-1+?x2? n-2+…+?xnn=[(1-x)+x]n= n1.C =k? 因为k?kn ?=n? =n?, ?n! k !(n ? k )!(n ? 1)! (k ? 1)!(n ? k )!?1 C k ?1 n名师诊断专案突破对点集训决胜高考C1 Cn Cn 所以?nx(1-x)n-1+2?2x2(1-x)n-2+…+n?xn nn-1 ?1 C n?1 =nx[?0(1-x)n-1+?C1n?1 n-2+…+?xC n]=nx[(1-x)+x]n-1=nx, x(1-x) n ?1所以p(x)=1+2nx. 即p(x)是关于x的一次多项式.名师诊断专案突破对点集训决胜高考限时训练卷(二) 一、选择题 1.为了了解某地区10000名高三男生的身体发育情况,抽查了该地区 100名年龄为17~18岁的高三男生体重(kg),得到频率分布直方图如 图.根据图示,请你估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生 人数是? ( )(A)40.(B)400.名师诊断(C)4000.专案突破(D)4400.对点集训 决胜高考【解析】依题意得,该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数 是10000×(0.03+2×0.05+0.07)×2=4000. 【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,其茎叶图如图.根 据茎叶图,下列描述正确的是? ( )(A)甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,且甲种树苗比乙 种树苗长得整齐. (B)甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,但乙种树苗比甲 种树苗长得整齐.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(C)乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,且乙种树苗比甲 种树苗长得整齐. (D)乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙 种树苗长得整齐.【解析】根据茎叶图计算得甲种树苗的平均高度为27,而乙种树苗的平均高度为30,但乙种树苗的高度分布不如甲种树苗的高度分布 集中. 【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.某学校为调查高三年级的240名学生完成课后作业所需时间,采取 了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取24名同学进行调查;第二种由教务处对高三年级的学生进行编号,从001到240,抽取学号最后一位为3的同学进行调查,则这两种抽样方法依次为? ( )(A)分层抽样,简单随机抽样. (B)简单随机抽样,分层抽样. (C)分层抽样,系统抽样. (D)简单随机抽样,系统抽样.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】结合简单随机抽样、系统抽样与分层抽样的定义可知D项 正确. 【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次,两人的测试成 绩画成频率分布条形图如下:x1 、 x 2 若? ?分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的平均环数,s1、s2??分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差,则有? (??)x1 = x 2 (A)? ? ,s1&s2.x1 & x 2 (B)? ? ,s1&s2.??名师诊断专案突破对点集训决胜高考x1 & x 2 (C)? ? ,s1=s2. x1 【解析】?=?2 1 ???x1 & x 2 (D)? ?,s1&s2.???4 ? 7 ? 3 ? 8 ? 6 ? 9 ? 7 ?10 =8.8, 204 ? (7 ? 8.8) 2 ? 3 ? (8 ? 8.8) 2 ? 6 ? (9 ? 8.8) 2 ? 7 ? (10 ? 8.8) 2 s =? =1.26; 20?(7 ? 9) ? 4 ? 5 ? 8 ? 7 ?10 x 2 =? ? =8.7, 202 2 ?4 ? [(7 ? 8.7) 2 ? (9 ? 8.7) 2 ] ? 5 ? (8 ? 8.7) 2 ? 7 ? (10 ? 8.7) 2 s =? =1.31,选B. 20【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.下列四组样本数据的方差最小的一组是? ( (A)5,5,5,5,5,5,5,5,5. (B)4,4,4,5,5,5,6,6,6. (C)3,4,4,4,5,6,7,7,7. (D)2,2,2,2,5,8,8,8,8.)【解析】画出样本数据的条形图或结合方差公式可知,选A. 【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.某学校共有20个班级,每班各有40位学生,其中男生25人,女生15人. 若从全校800人中以简单随机抽样的方式抽出80人,则下列选项正确 的是? ( )(A)每班至少会有一人被抽中. (B)抽出来的男生人数一定比女生人数多. (C)若学生甲和学生乙在同一班,学生丙在另外一班,则甲、乙两人同时被抽中的概率跟甲、丙两人同时被抽中的概率一样.(D)若学生A和学生B是兄弟,则他们同时被抽中的概率小于? .1 100名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】在抽样的过程中,每个个体被抽到的概率都是一样的,均是1 80 1 ? =? ,且任何两个个体同时被抽中的概率是? . 100 800 10【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.(2012惠州二模)已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中 心为(4,5),则回归直线的方程是? (y =1.23x+4. (A)?＾)y =1.23x-0.08. (B) ?＾y =1.23x+0.8. (C) ??＾y =1.23x+0.08. (D) ?? ＾ ?＾y =1.23x+a,则a=? y -1.2 x =4, y =5,设回归直线方程为? 【解析】由条件知,? ?x =0.08.选D. 3??【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.(2012武威模拟)在100个零件中,有一级品20个、二级品30个、三 级品50个,从中抽取20个作为样本: ①采用随机抽样法,将零件编号为00,01,02,…,99,抽出20个; ②采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个,然后每组中随机 抽取1个; ③采用分层抽样法,随机从一级品中抽取4个,二级品中抽取6个,三级 品中抽取10个.则? ( )(A)不论采取哪种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是1 ? . 5名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考(B)①②两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是? ,③ 并非如此. (C)①③两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是? ,② 并非如此.1 51 5(D)采用不同的抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率各不相同. 【解析】抽样方法的性质知,抽样过程中每个个体被抽到的概率都 相等,这个比例只与样本容量和总体有关. 【答案】A名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考9.已知一个样本为x、1、y、5,其中点(x,y)是直线x+y=2和圆x2+y2=10 的交点,则这个样本的标准差是? ( (A)2. (B)?2 . (C)5.5 (D)? .)【解析】样本平均数为?1 ?[( x ? 2) 42x ?1? y ? 5 =2,标准差为 4? (1 ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? (5 ? 2)2 ] =?5 ,选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考二、填空题10.(2012北京海淀期末)甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气 温(单位:℃)用茎叶图记录如下,根据茎叶图可知,两城市中平均温度 较高的城市是 ,气温波动较大的城市是 .名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】根据茎叶图可知,甲城市的平均温度为?69 ? 13 ? 17 ? 17 ? 18 ? 22 = 696 114 12 ?,乙城市的平均温度为?? 14 ? 17 ? 20 ? 24 ? 27 =? ,故乙城市的平均温66度高.由茎叶图观察可知,甲城市的温度更加集中在峰值附近,故甲城 市比乙城市温度波动较小,乙城市温度波动较大. 【答案】乙 乙名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.(2012临沂二模)为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体 重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图).已知图 中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为1 2,则抽取的学生人数是 .名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】后两个小组的频率为(0.5)×5=0.05×5=0.25,所以 前3个小组的频率为0.75.又前3个小组的频率比为1∶2∶3,所以第二 小组的频率为? 【答案】482 12 ×0.75=0.25,所以抽取的总人数为? =48. 1? 2 ? 3 0.25名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.随机抽取某校甲、乙两个班各10名同学,测量他们的身高(单位: cm)后获得身高数据的茎叶图如图所示,在这20人中,记身高在[150,160),[160,170),[170,180),[180,190]的人数依次为A1,A2,A3,A4,则框图中输出的数据为 .名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】由框图知输出S表示这20人中身高在160 cm以上的人数,通 过茎叶图可得S=(4+4+1)+(3+5+1)=18. 【答案】18名师诊断专案突破对点集训决胜高考三、解答题13.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:文艺节目 20至40岁 大于40岁 40 15 新闻节目 18 27 总计 58 42总计5545100名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40 岁的观众应该抽取几名? (2)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至4 0岁的概率.【解析】(1)从题中所给条件可以看出收看新闻节目的共45人,随机抽取5人,则抽样比为?=? ,故大于40岁的观众应抽取27×? =3(人).5 451 9 1 9名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)抽取的5名观众中大于40岁的有3人,在20至40岁的有2人,记大于4 0岁的人为a1,a2,a3,20至40岁的人为b1,b2,则从5人中抽取2人的基本事 件有(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(b1,b2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),6 共10个,其中恰有1人为20至40岁的有6个,故所求概率为?=3 . ? 105名师诊断专案突破对点集训决胜高考限时训练卷(三) 一、选择题 1.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm的概 率为0.2,该同学的身高在[160,175]的概率为0.5,那么该同学的身高 超过175 cm的概率为( (A)0.2. (B)0.3. ) (C)0.7. (D)0.8.【解析】因为必然事件发生的概率是1,所以该同学的身高超过175 cm的概率为1-0.2-0.5=0.3. 【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.据传俄罗斯布拉瓦导弹发射的事故率为0.01,若发射10次,其出事 故的次数为X,则下列结论正确的是? ( )(A)EX=0.1.(B)DX=0.1. (C)P(X=k)=0.01k? 10-k. 0.99C10 (D)P(X=k)=?k 0.99k×0.0110-k.【解析】∵X~B(10,0.01),∴EX=10×0.01=0.1.∴选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:广告费用x(万 4 2 3 5元)销售额y(万元) 49 26＾3954y =bx+a中的b为9.4,据此模型预报广告 根据上表可得回归方程?费用为6万元时销售额为? ( (A)63.6万元. (C)67.7万元.) (B)65.5万元.(D)72.0万元.名师诊断专案突破对点集训决胜高考49 ? 26 ? 39 ? 54 4? 2?3?5 7 =?y =? ,? =42,因回 2 4 4 7 7 归方程过样本中心点(? ,42),故42=9.4×? +a,∴a=9.1,故回归直线方程 2 2x 【解析】由给定的数据可知?=?y =9.4x+9.1,当x=6时,? y =9.4×6+9.1=65.5. 为?＾ ＾【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.一个质地均匀的骰子,现将这个骰子向桌面上先后投掷两次,记和 桌面接触的面上的数字分别为a、b,则曲线? ? + =1所围成区域的面 积大于50的概率是? ( (A)?.7 36x ay b)1 9(B)?.5 36(C)? .(D)? .x1 12【解析】基本事件的总数是36,曲线? ? + =1所围成区域的面积是2 a ab,即求ab&25的概率,基本事件只能是(5,6),(6,5),(6,6),故所求的概率1 是?=? ,选D.3 36 12y b【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.如图,Rt△ABC中有一内接矩形MNPQ,两直角边分别为AB=3,AC= 4.向三角形内随机撒一些豆子,若豆子落在矩形内的概率最大,则MQ 的长为? ( (A)? .3 2) (C)? . 512(B)2.(D)? .5 2【解析】设MQ=x,MN=h,由三角形相似可知h=??x,矩形MNPQ的 55 5 12 面积S=-?(x-?2+3,当x=? ) 时,S有最大值.12 12 252522【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P,则点P到点A的距离小于等于a的概率为? ((A)?.2 2)(D)? π.1 6(B)?π.2 2(C)? .1 61 4 3 ? ?a ? 8 3 【解析】P= =? . a3 6?【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考σ12 σ2 7.设两个正态分布N(μ1,?)(σ1&0)和N(μ2,?2)(σ2&0)的密度函数图像如图所示,则有? ()(A)μ1&μ2,σ1&σ2. (C)μ1&μ2,σ1&σ2.(B)μ1&μ2,σ1&σ2. (D)μ1&μ2,σ1&σ2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】根据正态分布N(μ,σ2)函数的性质:正态分布曲线是一条关 于x=μ对称,在x=μ处取得最大值的连续钟形曲线.σ越大,曲线的最高 点越低且弯曲较平缓;反过来,σ越小,曲线的最高点越高且弯曲较陡 峭,选A. 【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.安排包括甲在内的4人到A、B、C三个单位去实习,每个单位至少 1人,则甲在A单位且C单位只安排1人的概率是? ( (A)? .1 3)(B)? .1 4(C)? .1 5(D)? .2 5C1 C 2 C1 【解析】安排4人到3个单位实习,每个单位至少1人,共有??? =36 3 4 2 C1 C1 C 2 种方法,其中甲在A单位且C单位只安排1人有??2+?3 =9种方法,其概 3率P=?=? . 【答案】B9 361 4名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.已知过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,则任选两条为异面直 线的概率是? ( (A)? .12 35) (C)? .18 35(B)? .3 7(D)?.24 352 C15 【解析】全部情况有? =105种,记“15条直线中任选两条为异面直线”为事件A,而要使两直线异面,只需四点不共面,且不共面的四点C4 可连成3组异面直线,则事件A的可能情况有3(?6 -3)=36种,故P(A)=?36 10512 =? ,选A. 35【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考二、填空题10.(2012南京二模)某单位从4名应聘者A、B、C、D中招聘2人,如果 这4名应聘者被录用的机会均等,则A,B两人中至少有1人被录用的概 率是 .【解析】从题目来看,所有的可能性共有6种,但A,B都没被录取的情 况只有一种,即满足条件的有5种,所以结果为? . 【答案】?5 6 5 6名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且函数f(x)=x2+4x+X没有零点 的概率为? ,则μ的值为1 2.【解析】函数f(x)=x2+4x+X没有零点,即二次方程x2+4x+X=0无实根得X&4,∴P? ? 4?=? ,由正态曲线的对称性知μ=4. ?X【答案】41 2名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.(2012嘉兴二模)甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏.开始时每人拥有3张卡片,每一次“出手”(双方同时):若分出胜负,则负者给对方一张卡片;若不分胜负,则不动卡片.规定:当一人拥有6张卡 片或“出手”次数达到6次时游戏结束.设游戏结束时“出手”次数为X,则EX=.1 32 27【解析】P(X=3)=2??=?, ( )34 C P(X=4)=2? 13??=?, ? ( )1 32 27P(X=5)=2?? 2??+? 13??]=?, [ C4 ( )5 C ( )51 31 32 27名师诊断专案突破对点集训决胜高考P(X=6)=1-P(X≤5)=?,EX=3×?+4×?+5×?+6×?=?. 【答案】?50 92 27 2 27 2 27 21 50 27 921 27名师诊断专案突破对点集训决胜高考三、解答题13.甲、乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分(无平局),比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中1 2 5 比赛停止的概率为? . 9获胜的概率为p(p&? ),且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时(1)若如右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙的总得分S、T的程序 框图.其中如果甲获胜,输入a=1,b=0; 如果乙获胜,则输入a=0,b=1.请 问①、②两个判断框中应分别填写什么条件?名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考(2)求p的值. (3)设X表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量X的分布列和数学 期望EX. 【解析】(1)程序框图中的条件框①应填M=2,②应填n=6. 注意:答案不唯一. 如:条件框①填M&1,条件框②填n&5,或者①、②条件互换.都可以.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停 止. ∴有p2+(1-p)2=?. 解得p=?或p=?.∵p&?,∴p=?.2 35 91 31 22 3(3)依题意知,X的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为?. 若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮比赛中必是各得一分, 此时,该轮比赛结果对下轮是否停止没有影响.5 9名师诊断专案突破对点集训决胜高考从而有P(X=2)=?,5 9P(X=4)=(1-?)×?=?,P(X=6)=(1-?)×(1-?)×1=?. ∴随机变量X的分布列为:X P5 95 95 920 815 95 916 812? 5 94? 20 816? 16 81故EX=2×?+4×?+6×?=?.20 8116 81266 81名师诊断专案突破对点集训决胜高考?一、选择题 1.2011年上海春季高考有8所高校招生,如果某3位同学恰好被其中2 所高校录取,那么录取方法的种数为? ( ) (A)84. (B)168. (C)192. (D)224.2 C8 【解析】分步考虑:从8所高校中选2所,有? 种选法.依题意必有2位 2 C3 C1 同学被同一所学校录取,则有?? 种录取方法;另一位同学被剩余的 2 2 2 C8 C3 C1 一所学校录取.所以共有??? =168. 2【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.(2x+?x )4的展开式中x3的系数是? ( (A)6. (B)12.r ?4)(C)24.4-r1 2(D)48.4-rx 【解析】Tr+1= C (2x) (?) =2rx C ?r ? 41 4? r ? r 2=24-r rC4 ? ?x1 4? r 2,令4-? r=3?r=2,1 2C2 x3的系数为24-2? =24.故选C. 4【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考3 3.若(2x+? )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为? ()(A)1.(B)-1.(C)0.(D)2.【解析】(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4),分别令x=1,x=-1即得答案. 【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),P(X≤4)=0.84,则P(X≤0)等于? ( (A)0.84. ) (B)0.32. (C)0.16. (D)0.08.【解析】由正态分布曲线关于x=2对称知P(X&0)=P(X≤4)=0.84. 故P(X≤0)=0.16. 【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.(2012南昌模拟)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则其回归方程可能是? (y =-10x+200. (A)?＾)y =10x+200. (B)? y =-10x-200. (C)? y =10x-200. (D)?＾ ＾＾【解析】因为销量与价格负相关,由函数关系考虑为减函数,又因为 x,y不能为负数,再排除C,故选A.【答案】A名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考6.已知某运动员每次投篮命中的概率都相同.现采用随机模拟的方 法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生 了20组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为? ( (A)0.35. (B)0.25. (C)0.20. (D)0.15. )名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】由随机数可估算出三次投篮命中两次概率P=?=0.25,故选 B. 【答案】B5 20名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.(2012浙江镇海中学)甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C 、D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲和乙不在同一岗位服务的概率为? ( (A)? . 101) (D)? .48 625(B)? . 109(C)? .1 44 4 2 4 C1 A 4 ? C1 A 4 ? C3 A 4 9 3 3 C A4 【解析】P= =? .第一个?13 ? 4 表示甲与除乙外的某一 2 4 10 C5 A 4?C1 A 4 位志愿者一起去同一个岗位服务,第二个??4 表示乙与除甲外的某 32 C3 A 4 一位志愿者一起去同一个岗位服务,??4 表示甲与乙都一个人去某一岗位服务. 【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.(浙江省2012届重点中学协作体高三4月联考)在三次独立重复试验中,事件A在每次试验中发生的概率相同.若事件A至少发生一次的概率为?,则事件A恰好发生一次的概率为? ( (A)? .1 463 64)(B)? .3 4(C)?.9 64(D)?.27 64【解析】设事件A发生的概率为P,事件A不发生的概率为P',则有1-(P')3=??P'=? .故P=? ,C 则事件A恰好发生一次的概率为?13(?2? =?. ) ?63 641 43 41 43 49 64【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.(2012台州一模)把2对孪生兄弟共4人随机排成一排,记随机变量X 为这一排中孪生兄弟相邻的对数,则随机变量X的期望EX等于? () (A)? .2 3(B)? .3 4(C)1.(D)? .3 2【解析】设2对孪生兄弟分别为A1、A2、B1、B2,X的可能取值有0,1, 2.C1 C1 C1 1 C1 C1 C1 1 2 2 2 P(X=0)= A 4 =? ,P(X=2)= 2A24 2 =? , 3 3 4 4??1 3P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=? ,名师诊断专案突破对点集训决胜高考EX=0×? ? ? +1× +2× =1. 【答案】C1 31 31 3名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.在2012年伦敦奥运会期间,奥运村某餐厅供应盒饭,每位顾客可以 在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了 5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅 至少还需准备不同的素菜品种为?( )(A)9种.(B)8种.(C)7种.(D)6种.5? 4 2 x ( x ? 1) C C2 (种),若选择方式至少为200种,设素菜为x种,则?2x ?5 ≥200,? ≥20, 2C2 【解析】在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有?5 =? =10x(x-1)≥40,x≥7, ∴至少应为7种素菜,选C. 【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.(2012临沂二模)已知Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},A是由直线y=0,x =a(0&a≤1)和曲线y=x3围成的曲边三角形区域,若向区域Ω上随机投一点,点落在区域A内的概率为?,则a的值是? ((A)?.1 641 64)(B)? .1 8(C)? .1 4(D)? .a1 21 【解析】曲边三角形的面积为?x dx=?4 x ?0 431 ?? ,区域Ω的面积为1,若 =4a40a向区域Ω上随机投一点,点落在区域内的概率?4=?,所以a4=? a ,所以 161 a=? ,选D. 21 41 641【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.有红、黄、蓝三种颜色的球各7个,每种颜色的球都标有数字1,2, 3,4,5,6,7.从中任意取3个球,则取到的3个球颜色互不相同且所标数 字互不相邻的概率是? ( (A)? .6 133)9 133(B)? .8 133(C)? .(D)? .11 133C3 【解析】从21个球中任取3个球,共有取法? 种,3个球颜色互不相同 21且所标数字互不相邻的取法先考虑数字互不相邻,后考虑颜色.若取C1 1,7,则第3个数可为3,4,5中一个,有取法? 种;若取1,6,则第3个数可为 33,4中一个,有取法? 种;其余取法列举为(1,3,5);(2,4,7);(2,5,7);(3,5,7); C1 2(2,4,6).共有取法10种.而对于每种取法考虑颜色都有方法?3种,故满 A3名师诊断专案突破对点集训决胜高考足条件的取法有60种,则P=?=? . C3 13321606【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考二、填空题13.高三(2)班在一次数学考试中,对甲、乙两组各12名同学的成绩进 行统计分析,两组成绩的茎叶图如图所示,成绩不少于90分为及格,现 从两组成绩中按分层抽样抽取一个容量为6的样本,则不及格分数应 抽 个.【解析】从茎叶图可知及格分数与不及格分数各占一半,所以不及 格分数应抽3个. 【答案】3名师诊断专案突破对点集训决胜高考14.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知 这组数据的平均数为10,若要使这组数据的方差最小,则|x-y|= . 【解析】由已知得x+y=20,s2=? [(x-10)2+(y-10)2+2],要使方差最小,则(x1 5-10)2+(y-10)2取最小值, (x-10) +(y-10) =x +y|x-y|=0. 【答案】02 2 2 2( x ? y)2 -200≥?2 -200=0,当且仅当x=y时,等号成立,故名师诊断专案突破对点集训决胜高考15.某市高三数学抽样考试中,对90分以上(含90分)的成绩进行统计, 其频率分布图如下图所示.已知130~140分数段的人数为90人,90~10 0分数段的人数为a人,则程序框图的运算结果为 .名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】由题意可知:a=810,S=? +1=406. 【答案】406810 2名师诊断专案突破对点集训决胜高考16.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个 白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机 .取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则P(B)= 【解析】显然A1,A2和A3是两两互斥的事件,故P(B)=P(B|A1)+P(B|A2)+ P(B|A3)=? ? ? ? ? ? ?. × + × + × =5 5 2 4 3 4 9 10 11 10 11 10 11 22【答案】?9 22名师诊断专案突破对点集训决胜高考三、解答题17.在对人们休闲方式的一次调查中,共调查120人,其中女性70人,男 性50人.女性中有40人主要的休闲方式是看电视,另外30人主要的休 闲方式是运动;男性中有20人主要的休闲方式是看电视,另外30人主 要的休闲方式是运动.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表:休闲方式 性别 女性 看电视 运动 总计男性总计(2)有多大的把握认为休闲方式与性别有关? 参考公式及数据:名师诊断专案突破对点集训决胜高考K2n(ad ? bc) 2 = (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )?①当K2&2.706时,有90%的把握认为A、B有关联. ②当K2&3.841时,有95%的把握认为A、B有关联. ③当K2&6.635时,有99%的把握认为A、B有关联.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)2×2的列联表为休闲方式 性别 女性 男性 总计 40 20 60 30 30 60 70 50 120 看电视 运动 总计名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)假设H0:休闲方式与性别无关. 计算K 的值为K2 2120 ? (40 ? 30 ? 20 ? 30) 2 24 =?=?≈3.428,而2.706&3.428&3.84 70 ? 50 ? 60 ? 60 71, 所以,在犯错误的概率不超过0.10的前提下,认为H0不成立,即在犯错误的概率不超过0.10的前提下,认为休闲方式与性别有关. 所以我们有90%以上的把握,认为H0不成立,即我们有90%以上的把 握,认为休闲方式与性别有关.名师诊断专案突破对点集训决胜高考18.某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每 个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%、 中年人占47.5%、老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的1 ? ,且该组中,青年人占50%、中年人占40%、老年人占10%.为了了 4解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样 方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定: (1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)设登山组人数为x,游泳组中青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c,则有:?解得b=50%,c=10%,则a=40%,x ?10% ? 3xc x ? 40% ? 3xb =47.5%, ? =10%, 4x 4x即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%. (2)游泳组中,抽取的青年人人数为3 200×?×40%=60(人); 4 3 抽取的中年人人数为200×?×50%=75(人); 4 3 抽取的老年人人数为200×?×10%=15(人). 4名师诊断专案突破对点集训决胜高考19.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)统计数 据如下:使用年限x 维修费用y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0若根据上述数据的散点图可知y对x呈线性相关关系,解答下列问题:名师诊断专案突破对点集训决胜高考y =bx+a的回归系数?? a , (1)填写下表并求出线性回归方程?＾＾ ＾序号xyxyx212 323 42.23.8 5.545 ∑566.57.0(2)使用10年时,估计所支出的维修费用是多少.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)填表:序号 1 2 x 2 3 y 2.2 3.8 xy 4.4 11.4 x2 4 934 545 65.56.5 7.022.032.5 42.01625 36∑??2025112.390x =4, y =5,将其代入公式得: ∴? ?名师诊断专案突破对点集训决胜高考? ＾? ＾ 112.3 ? 5 ? 4 ? 5 12.3 b= a = y -b ? ?? =? =1.23,? ??x =5-1.23×4=0.08. 90 ? 5 ? 42 10＾y (2)由(1)可知:线性回归方程为?=1.23x+0.08, y 当x=10时,?=1.23×10+0.08=12.38(万元),＾＾即使用10年维修费用是12.38万元.名师诊断专案突破对点集训决胜高考20.(惠州市2013届高三第一次调研考试)某班从6名干部(其中男生4 人、女生2人)中选3人参加学校的义务劳动. (1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列及EX; (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; (3)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率. 【解析】(1)X的所有可能取值为0,1,2,依题意得:C3 1 4 P(X=0)= C3 =? ; 5 6? ? ?C 2 C1 3 4 P(X=1)= C3 2 =? ; 5 6 C1 C 2 1 4 P(X=2)= C3 2 =? . 5 6名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考∴X的分布列为X P1 50? 1 51? 3 52? 1 5∴EX=0×? ? ? +1× +2× =1.3 51 5名师诊断专案突破对点集训决胜高考C3 4 (2)设“甲、乙都不被选中”为事件C,则P(C)= 3 C6C ∴所求概率为P(?)=1-P(C)=1-?=?.4 ?=?=1?. 20 51 54 5(3)记“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,2 C5 P(A)= 3 C6?C1 10 1 4 =?=?,P(AB)=3 C6 20 2?1=?, 5 ?C1 4 2 4 =?=?). 2 C5 10 5P( ) 2 P(B|A)=?AB?(或直接得P(B|A)= = P( A) 5名师诊断专案突破对点集训决胜高考21.(2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试)浙江省某示范性 高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年 级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学 、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以 在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何 一门科目的辅导讲座.(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座, 否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下 表:名师诊断专案突破对点集训决胜高考信息技术 周一 周三 周五? 1 4 ? 1 2生物? 1 4 ? 1 2化学? 1 4 ? 1 2物理? 1 4 ? 1 2数学? 1 2? 23? 13? 13? 13? 13? 23(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为X,求随机变量X的分布列和数 学期望.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事 件A,则P(A)=(1-? ? ? ? )×(1- )×(1- )= .1 22 32 31 18名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)X可能取值为0,1,2,3,4,5, P(X=0)=(1-?)4? ?)=?, (1C ? P(X=1)=?14? (1-?)3? ?)+(1-?)4? =?, (1?C4 ( P(X=2)=?2??)2(1-?)2? ?C14 ?? ? ?)3? =?, (1- )+ ? (1? C4 ( P(X=3)=?3??)3(1-?)? ?C2 ???)2? ?)2? =?, (1- )+ ( (1? 41 22 31 482 31 21 21 22 31 81 21 22 31 21 22 37 241 21 22 31 21 22 31 3P(X=4)=(?)4? ?)+???)3? ?)? =?, (1- C3 ( (1? 4 16 P(X=5)=(?)4? =?. ?1 21 22 31 21 22 332 31 24名师诊断专案突破对点集训决胜高考所以,随机变量X的分布列如下X P 0? 1 481? 1 82? 7 243? 1 34? 3 165? 1 24EX=0×?+1×?+2×?+3×?+4×?+5×?=?. 161 481 87 241 331 8 24 3名师诊断专案突破对点集训决胜高考22.为鼓励企业科学发展,真正实现“低消耗,高产出”,市环保部门 实施奖罚制度.通过制定评分标准,对本市50%的企业抽查评估,评出 优秀、良好、合格和不合格四个等次,并根据等级给予相应的奖惩 (如下表).某企业投入100万元改造,由于自身技术原因,能达到以上1 1 四个等次的概率分别为?1 ,?1 ,且由此增加的产值分别为60万元、 ,? ,? 2 3 8 2440万元、20万元,-5万元.设该企业当年因改造增加的利润为X.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)在抽查评估中,该企业能被抽到且被评为合格及以上等次的概率是多少? (2)求X的数学期望.评估得分 评定等级 (0,60) 不合格 [60,70) 合格 [70,80) 良好 [80,100] 优秀奖惩(万元)-803060100名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率 为P, 则P=(? ?? ? ?. + + )× =1 21 1 3 81 223 48名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)依题意,X的可能取值为-185,-105,-80,-60,-50,-40,0,60,1 1 1 则P(X=60)=?×?=?, 2 2 4P(X=0)=?×?=?,1 31 21 6P(X=-50)=?×?=?,1 81 1 2 16P(X=-185)=?×?=?,1 241 21 481 1 1 P(X=-40)=?×?=?, 2 2 4P(X=-60)=?×?=?,1 31 21 6名师诊断专案突破对点集训决胜高考P(X=-80)=?×?=?,1 81 1 2 16 1 2P(X=-105)=?×?=?.1 241 48则其分布列为X P -185? 1 48-105? 1 48-80? 1 16-60? 1 6-50? 1 16-40? 1 40? 1 660? 1 4∴EX=(60-40)×?+(-60)×?+(-50-80)×?+(-185-105)×?=-?(万 元).1 41 61 161 48115 6名师诊断专案突破对点集训决胜高考
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