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如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC⊥平面ABC，DC∥BE，CD=BE，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）试探究当C在什么位置时三棱锥C-ADE的体积取得最大值，请说明理由并求出这个最大值．
爱忘了丶EH78
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（1）证明：因为AB是直径，所以BC⊥AC，因为CD⊥平面ABC，CD⊥BC，因为CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD因为CD∥BE，又因为CD=BE，所以四边形BCDE是平行四边形，所以BC∥DE，所以DE⊥平面ACD，因为DE?平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD．（2）依题意，，由（1）知C-ADE＝VE-ACD＝13×S△ACD×DE==2+BC2)＝112×AB2＝43，等号当且仅当时成立，所以当C为半圆弧中点时三棱锥C-ADE的体积取得最大值，最大值为．此时，2+(22)2＝3，△ADE＝12×AD×DE＝32，设三棱锥C-ADE的高为h，则C-ADE＝13×S△ADE×h＝43，
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（1）由已知条件推导出四边形BCDE是平行四边形，由此能证明平面ADE⊥平面ACD．（2）当C为半圆弧中点时三棱锥C-ADE的体积取得最大值，最大值为．
本题考点：
平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
考点点评：
本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．
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1.75亿学生的选择
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1.75亿学生的选择
在线等已知四棱锥A-BCDE,其中AB=BC=AC=BE=2,CD=4,CD垂直面ABC,BE...在线等已知四棱锥A-BCDE,其中AB=BC=AC=BE=2,CD=4,CD垂直面ABC,BE平行于CD,F为AD中点.求证:EF平行面ABC,面ADE垂直面ACD
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证明：(1)取AC中点M,连接BM、MF,取CD中点Q,连接BQ因为F、M分别为中点所以MF//CD,且MF=1/2CD又因为BE=1/2CD=2,且BE//CD所以BE//MF,BE=CD所以四边形BEFM为平行四边形所以EF//BM又因为点E、F都不在平面ABC上所以EF//面ABC(2)因为CD⊥面ABC,且CD在面ADC上所以面ACD⊥面ABC又因为AB=BC,且M为AC中点所以BM⊥面ACD因为BM//EF所以EF⊥面ACD而EF在面ADE内,且面ADE交面ACD于直线AD所以面ADE⊥面ACD
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其他类似问题
取CD中点G，连接FG,EG，FG平行于AC（FG分别为AD/CD中点），EG平行于BC（BE=2，CG=1/2CD=4/2=2，CD垂直BC,BE平行于CD），所以面EFG平行于面ABC，所以EF平行于面ABC，大概是这样。
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＞＞＞在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，..
在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E(图甲)，沿DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC(图乙)。(Ⅰ)若F是AB的中点，求证：CF∥平面ADE；(Ⅱ)P是AC上任意一点，求证：平面ACD⊥平面PBE；(Ⅲ)P是AC上一点，且AC⊥平面PBE，求二面角P-BE-C的大小．
题型：解答题难度：中档来源：山东省模拟题
(Ⅰ)证明：取BD的中点为M，连接FM，CM，∵F为AB的中点，则MF∥AD，由题知△BCD为等边三角形， ∴CM⊥BD，又DE⊥BD， ∴CM∥DE，∴面CFM∥面ADE，CF面CMF，∴CF∥面ADE。 (Ⅱ)证明：由平面几何知识：BE⊥CD，AD⊥DE，平面ADE⊥平面BDEC，&∴AD⊥平面BDEC，∴AD⊥BE，∴BE⊥面ACD，BE面PBE，∴平面ACD⊥平面PBE。 (Ⅲ)解法一：由(Ⅱ)BE⊥面ACD，设BE∩CD=Q，由题知BE⊥CD，BE⊥PQ，∴PQC为二面角P-BE-C的平面角，&AD=CD，∴∠ACD=45°，∴△ACD∽△CPQ，∠PQC=45°，∴二面角P-BE-C的大小为45°。解法二：建立空间直角坐标系{DE，DB，DA}， ，则，，∵AC⊥面PBE，AD⊥面BCED，设二面角P-BE-C的大小为θ，则，∴二面角P-BE-C的大小为45°。
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据魔方格专家权威分析，试题“在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，..”主要考查你对&&直线与平面平行的判定与性质，二面角，平面与平面垂直的判定与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
直线与平面平行的判定与性质二面角平面与平面垂直的判定与性质
线面平行的定义：
若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行。
图形表示如下：
线面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行
符号语言：
&线面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行线线平行
&符号语言：
&证明直线与平面平行的常用方法：
(l)反证法，即&(2)判定定理法，即&(3)面面平行的性质定理，即&(4)向量法，平面外的直线的方向向量n与平面的法向量n垂直，则直线与平面平行，即 半平面的定义：
一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．
二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］。
&直二面角：
平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。 二面角的平面角具有下列性质：
a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.求二面角的方法：
(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。
对二面角定义的理解：
根据这个定义，两个平面相交成4个二面角，其中相对的两个二面角的大小相等，如果这4个二面角中有1个是直二面角，则这4个二面角都是直二面角，这时两个平面互相垂直．按照定义，欲证两个平面互相垂直，或者欲证某个二面角是直二面角，只需证明它的平面角是直角，两个平面相交，如果交成的二面角不是直二面角，那么必有一对锐二面角和一对钝二面角，今后，两个平面所成的角是指其中的一对锐二面角．并注意两个平面所成的角与二面角的区别．&平面和平面垂直的定义：
如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。如图，面面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直面面垂直）
面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直线面垂直）
性质定理符号表示：
&线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
&证明面面垂直的方法：
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用空间向量．常用结论：
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，（2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．
发现相似题
与“在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，..”考查相似的试题有：
398323339382564208253011253707284497扫二维码下载作业帮
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如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，．（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ADE；（Ⅱ）记AC=x，V（x）表示三棱锥A-CBE的体积，求函数V（x）的解析式及最大值．
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（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE．∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC．∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C．∴BC⊥平面ADC．∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC．又∵DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．（2）∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．在Rt△ABE中，AB=2，．在Rt△ABC中，∵2（0＜x＜2）．∴△ABC＝12ACoBC＝12x4-x2，E-ABC＝13S△ABCoBE=2（0＜x＜2）．∵2(4-x2)≤(x2+4-x22)2＝4，当且仅当x2=4-x2，即时，体积有最大值为
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（1）利用直径所对的圆周角为直角，线面垂直的性质即可证明BC⊥平面ACD，再利用平行四边形的性质BC∥ED，得到ED⊥平面ACD，从而可得平面ACD⊥平面ADE；（2）利用三棱锥的体积计算公式即可得出表达式，再利用基本不等式的性质即可得出体积的最大值．
本题考点：
平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
考点点评：
熟练掌握直径所对的圆周角为直角的性质、线面、面面垂直的判定和性质定理、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．
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