释义/穿针引线法
“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。当高次不等式f（x）>0（或0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x－an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f（x）、 φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法“。
用途/穿针引线法
穿针引线法解高次不等式用于解简单高次不等式。
发明者/穿针引线法
河南省 信阳市高二一名老教师。于上世纪八十年代发表的一篇 论文上介绍此法，便于解此类 方程。
用法/穿针引线法
当高次不等式f（x）>0（或0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x－an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f（x）、 φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法“。
使用步骤/穿针引线法
第一步通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证最高次数项的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步在数轴上从左到右按照大小依次标出各根。奇穿偶不穿例如：-1 1 2第四步画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。第五步观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”，则取数轴下方，穿根线以内的范围。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。因为不等号为“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-12。奇穿偶不穿：即假如有两个解都是同一个数字。这个数字要按照两个数字穿。如（x-1)^2=0 两个解都是1 ，那么穿的时候不要透过1可以简单记为秘籍口诀：或“自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”（也可以这样记忆：“自上而下，自右而左，奇穿偶回” 或“奇穿偶连”）。
注意事项/穿针引线法
运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：问题一穿针引线法出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。例1 解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0。解 x（3－x）（x+1）（x－2）>0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为{x|x<－1或03}。事实上，只有将因式（a－x）变为（x－a）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：【解】原不等式变形为x（x－3）（x+1）（x－2）<0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1，原不等式的解集为{x|－1<0或2<3}。问题二出现重根时，机械地“穿针引线”。例2 解不等式（x+1）（x－1）^2（x－4）^3<0解 将三个根－1、1、4标在数轴上，原不等式的解集为{x|x<－1或1<4}。这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下：解 将三个根－1、1、4标在数轴上，画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x=1的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到x=4的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集{x|－1<4且x≠1}问题三出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”例3 解不等式x（x+1）（x－2）（x^3－1）>0解 原不等式变形为x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，有些同学同解变形到这里时，认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去，再运用序轴标根法即可。解 原不等式等价于x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，∵ x^2+x+1>0对一切x恒成立，∴ x（x－1）（x+1）（x－2）>0，由图4可得原不等式的解集为{x|x<－1或02}
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& 2013高中数学 3-2 第2课时一元二次不等式的应用同步导学案 北师大版必修5
2013高中数学 3-2 第2课时一元二次不等式的应用同步导学案 北师大版必修5
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资料概述与简介
第2课时　一元二次不等式的应用
知能目标解读
1.能利用一元二次不等式解简单的分式不等式与高次不等式.?
2.利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题.?
3.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题.?
4.解决相关实际应用问题.
重点难点点拨
重点：1.解简单的分式不等式与高次不等式.?
2.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题.
?　难点：利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题.
学习方法指导
解不等式的关键问题就是保证转化的等价性.?
（1）分式不等式一般先移项通分，然后利用>0(或0（或<0），再求解.对于≥0（或≤0），一定不能忽视去掉g(x)=0的情况.?
（2）含绝对值号的不等式，可分段去掉绝对值号讨论，也可采用两边平方法，应根据题目条件的特点选取方法.?
（3）高次不等式一般分解因式后用标根法求解，但要注意x的高次项系数为正.?
（4）不等式恒成立求字母取值范围问题：?
在给定区间上不等式恒成立，一般地，有下面常用结论：?
①f(x)<a恒成立，f(x) maxa恒成立，f(x) min>a.?
（5）关于二次方程根的分布主要有以下几种常见问题（a≠0条件下）:?
①方程ax2+bx+c=0有实根，有两不等实根，无实根.主要考虑判别式Δ和二次项系数a的符号.?
②方程ax2+bx+c=0有两正根
方程ax2+bx+c=0有一正一负两实根
③方程ax2+bx+c=0有零根c=0.?
④方程ax2+bx+c=0有两个大于n的根（解法类似于有两正根）
方程ax2+bx+c=0有两个小于k的根（解法类似于有两负根情形）
方程ax2+bx+c=0一根大于k,另一根小于k（解法类似于一正一负根的情形）.?
⑤方程ax2+bx+c=0两根都在（m、n）内.?
⑥方程ax2+bx+c=0一根在（m、n）内，另一根在（n、p）内.?
方程ax2+bx+c=0一根在（m,n）内，另一根在（p，q）内.则需
思路方法技巧
命题方向　分式不等式的解法
［例1］　不等式0（或0 (2x2-3x+1)(3x2-7x+2)>0
解得原不等式的解集为｛x|x<或<x2｝.?
解法二：原不等式移项，并因式分解得
>0 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)>0,?
在数轴上标出(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)＝0的根，并画出示意图，如图所示.?
可得原不等式的解集为｛x|x<或<x2｝.
［说明］　解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则，故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再进行求解.
变式应用1　
解不等式：≤1.
［解析］　原不等式-1≤0≤0
故原不等式的解集为｛x|-2≤x0;?
(2)x3-2x2+3<0;?
(3)x(x-1) 2(x+1) 3(x+2)≥0.?
［分析］　通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积的问题，然后再依据相关性质解答.?
［解析］　（1）原不等式等价于(x-1)(x-2)(x+1)<0,令y=(x-1)(x-2)(x+1),当y=0时，各因式的根分别为1，2，-1，如图所示
可得不等式的解集为｛x|x<-1或1<x<2｝.?
（2）原不等式可化为（x+1）(x2-3x+3)0(∵Δ=（-3）2-12<0).?
∴原不等式等价于x+1<0,?
∴原不等式的解集为｛x|x0.
［解析］　令(x-3)(x+2)(x-1) 2(x-4)=0，得
各因式的根分别为-2,1,3,4.?
将各因式的根从小到大依次标在数轴上，如图
∴原不等式的解集是{x|-2<x<1或1<x4}.
命题方向　不等式恒成立问题
［例3］　函数f(x)=mx2-mx-6+m.?
(1)若对于m∈［-2,2］，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围；?
(2)若对于x∈［1，3］，f(x)0，
∴g(m)在［-2，2］上递增，
　　∴g(m)<0等价于g(2)=2（x2-x+1）-6<0，?
即-1<x<2，∴所求的x的取值范围为-1<x<2.?
（2）∵f(x)=m(x-)2+m-6<0在x∈［1，3］上恒成立，?
解(Ⅰ)得0<m<.?
解(Ⅱ)得m=0.?
解(Ⅲ)得m<0.?
综上可得m的范围是mf(x)恒成立a>f(x) max?
a<f(x)恒成立a0恒成立，求m的取值范围.
［解析］　设f(x)=x2+mx+4,∵当x∈(1,2)时，不等式x2+mx+4>0恒成立，等价于f(x) min>0恒成立.?
(1)当≤1,即m≥-2时，f(x)在区间（1，2）上单调递增，
∴f(x) min=f(1)=m+5≥0,∴m≥-5,?
(2)当1<-<2,即-4<m0,
解得-4<m<4,?
即-4<m<-2.?
(3)当-≥2,即m≤4时，f(x)在区间（1，2）上单调递减，
∴f(x) min=f(2)=2m+8≥0,∴m≥-4,?
综上所述,m的取值范围为m≥-4.
命题方向　实际应用问题
［例4］　某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0<x<1），则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝（出厂价-投入成本）×年销售量.?
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；?
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？?
［分析］　首先根据题意建立y与x的函数关系式，然后解不等式.?
［解析］　(1)由题意得y=［1.2×（1+0.75x）-1×（1+x）］×.6x）(0<x<1),?　整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1).?
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有
解得0<x<.?
即投入成本增加的比例应在（0，）的范围内.
［说明］　应用问题中需把实际问题转换成数学语言，其中建模是关键，把题中的不等关系用不等式表示，通过不等式的解法解决范围问题.
变式应用4　
(2012·如皋高二检测)国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实际征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（叫做税率R％），则每年的销售量减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？
［分析］　由题目可获取以下主要信息：?
①每瓶酒的价格：70元；?
②不加收附加税，每年产销约100万瓶；?
③征收附加税，每年销量减少10R，且税率为R%.按"附加税金额＝销售收入×税率"建立R的不等式求解.?
［解析］　设产销量每年为x万瓶，则销售收入为每年70x万元.?
从中征收的附加税为70x·R%
其中x=100-10R?
由题意得70(100-10R)·R%≥112,?
即R2-10R+16≤0.?
解此不等式得：2≤R≤8.?
故当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元.
探索延拓创新
命题方向　用一元二次不等式讨论一元二次方程的根
［例5］　关于x的方程x2-(m-1)x+2-m=0的两根为正数，求m的取值范围.?
［分析］　利用根与系数的关系或者相应二次函数的图像等价转化为不等式组求解.?
［解析］　方法一：利用判别式Δ及根与系数的关系求解.?
所以m的取值范围是-1+2≤m0时，有f(1)<0，即2k-2-2-3k-4,∴k>0.?
当k0，即2k-2-3k-2>0,?
解得k<-4,∴k<-4.?
综上所述,k的取值范围为k0.
名师辨误做答
［例6］　解不等式>1(a≠1).?
［误解］　原不等式可化为a(x-1)>x-2,?
即(a-1)x>a-2.?
①当a-1>0，即a>1时，x>;?
②当a-1<0，即a<1时，x1时，原不等式的解集为{x｜x>},当a<1时，原不等式的解集为{x|x0时，在分式不等式两端同时乘以x-2得到的不等式与原不等式等价，而当x-20,?
即(a-1) (x-) (x-2)>0?　　　　　　　①?
当a>1时，①式即为 (x-) (x-2)>0.?
∵-2=--1<0,?
当a<1时，①式即为 (x-) (x-2)<0.?
若0<a2,此时2<x<;?
若a=0，则(x-2) 2<0,此时无解；?
若a<0，则<2，此时<x1时，解集为｛x|x2};?
当0<a<1时，解集为{x|2<x<};?
当a=0时，解集为;?
当a<0时，解集为{x|<x<2}.
课堂巩固训练
一、选择题?
1.不等式<0的解集为（　　）
A.{x|-2<x<3}
B.{x｜x<-2}?
D.{x｜x>3}?
［答案］　A?
［解析］　不等式<0可化为(x+2)(x-3)<0,?∴-2<x<3,故选A.
2.不等式≥2的解集为（　　）
A.［-1,0)　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.［-1,+∞)?
C.(-∞,-1］　　　　　　　　　　　　　　　　　D.(-∞,-1］∪(0,+∞)?
［答案］　A?
［解析］　解法一：原不等式化为≥0，?
即x(x+1)≤0且x≠0,?
∴-1≤x0　　　　　　　　　　　　　　　　　B. >0?
C.（)x+1>0　　　　　　　　　　　　　　　　D. -1时，1-log2x≤2,∴log2x≥-1=log2.?
∴x≥,∴x>1,?
综合①②知，x≥0.
二、填空题?
5.（2010·大纲全国卷Ⅰ）不等式＞0的解集是　　　　　　
［答案］　{x|-2<x2}?
［解析］　由>0得>0,即(x+1)(x+2)(x-2)>0.?
如图，用数轴穿根法得原不等式的解集为{x|-2<x2}.
6.若函数f(x)=的定义域为R，则a的取值范围为　　　　　.
［答案］　［-1,0］
［解析］　已知函数的定义域为R,即2x2-2ax-a-1≥0在R上恒成立,也即x2-2ax-a≥0恒成立,所以有Δ=(-2a) 2-4(-a)≤0,解得-1≤a≤0.
三、解答题?
7.解不等式：≤2.
［解析］　原不等式等价变形为-2≤0,?
即为≥0，?
画出示意图如下：?
可得原不等式的解集为｛x|x1｝.
课后强化作业
一、选择题?
1.若集合A={x||2x-1|<3},B={x|<0}，则A∩B等于（　　）
A.{x|-1<x<-或2<x<3}?　　　　　　　　　　　　B.{x|2<x<3}?
C.{x|-<x<2}?　　　　　　　　　　　　　　　　D.{x|-1<x<-}
［答案］　D
［解析］　∵|2x-1|<3,
∴-3<2x-1<3,?
∴x>3或x<-.?
∴A={x|-1<x3或x<-},
A∩B={x|-1<x0的解集为（　　）
A.{x|x3}?　　　　　　　　　　　B.{x|x<-2,或1<x<3}?
C.{x|-2<x3}?　　　　　　　　　　　D.{x|-2<x<1,或1<x0可化为>0,?
即（x-3） (x-1)(x+2)>0,?
如图，由数轴穿根法可得不等式的解集为{x|-2<x3}.
3.函数y=的定义域是（　　）
A. {x|x＜-4,或x＞3}　　　　　　　　　　　　　　　B.{x|-4＜x＜3}?
C.{x|x≤-4，或x≥3}　　　　　　　　　　　　　　　D.{x|-4≤x≤3}?
［答案］　C?
［解析］　使y=有意义，则x2+x-12≥0.?
∴(x+4)(x-3)≥0，∴x≤-4,或x≥3.
4.（2011·湖北理，2）已知U={y|y=log2x,x>1},P={y|y=,x>2}，则CUP=（　　）
A.［,+∞)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(0, )?
C.(0,+∞)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(-∞,0］∪［,+∞)
［答案］　A
［解析］　本题考查函数值域求解及补集运算.?
∵U={y|y=log2x,x>1}=(0,+∞), P={y|y=,x>2}=(0, ),?
∴CUP=［,+∞).
5.（2012·宁德高二检测）设函数f(x)＝x2+bx+1,且f(-1) =f(3),则f(x)>0的解集为（　　）
A.(-∞,－1)∪(3,+∞)　　　　　　　　　　　　　　　 B. R
C.{x|x≠1}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.{x|x=1}?
［答案］　C?
［解析］　∵f(-1)=f(3)?
∴1-b+1=9+3b+1,?
∴f(x)=x2-2x+1=(x-1) 2,?
∴f(x)>0的解集为{x|x≠1}.
6.若f(x)=-x2+mx-1的函数值有正值，则m的取值范围是（　　）
A.m＜-2或m＞2　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.-2＜m＜2?
C.m≠±2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.1＜m＜3?
［答案］　A?
［解析］　∵f(x)=-x2+mx-1有正值，
∴Δ=m２-4＞0，∴m＞2或m＜-2.
7.关于x的不等式ax-b>0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式>0的解集是（　　）
A.（-∞,-1）∪(2,+∞)?　　　　　　　　　　　　　　　　B.（-1，2）?
C.（1，2）?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.（-∞，1）∪(2,+∞)
［答案］　A
［解析］　由ax-b＞0的解集为（1，+∞）得?
8.如果方程x2+(m-1)x+m2-2=0的两个实根一个小于-1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（　　）
A.（-，）　　　　　　　　　　　　　　　　　B.（-2，0）?
C.（-2，1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.（0，1）
［答案］　D
［解析］　解法一：验证排除法：当m=0时，原方程可化为x2-x-2=0,∴方程两根为2和-1，不合题意，排除A、C；当m=-1时，原方程可化为x2-2x-1=0,?
∴方程的两根为1+或1-，不合题意，排除B，故选D.?
二、填空题?
9.（2011·安徽文，13）函数y=的定义域是　　　　　
［答案］　{x|-3<x0，得x2+x-6<0,
即{x|-3<x1的解集是　　　　　　　　.
［答案］　{x|x0，即>0,?
∴x+2<0，∴x<-2.
11.方程2x2+4mx+3m-1=0有两个不相等的负根，则m的取值范围是　　　　　.
［答案］　（,）∪(1,+∞)
12.已知 <1的解集是｛x|x2｝，则实数a的值为
?［解析］ ∵<1,
即［(a-1)x+1］(x-1)<0,?
又∵不等式<1的解集为｛x|x2｝,?
三、解答题?
13.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为｛x|xb｝,?
（1）求a,b的值；?
(2)解不等式>0.?
［解析］ (1)由已知得：1，b是方程ax2-3x+6=4的两根，
∴a-3+6=4,∴a=1,?
∴方程x2-3x+2=0其两根为x1=1,x2=2,?
(2)将a=1,b=2代入不等式>0得，>0,?
可转化为：（x+1）(x-1)(x-2)>0,?
把方程（x+1）(x-1)(x-2)=0的根x1=-1、x2=1.x3=2顺次标在数轴上，穿根得：
原不等式的解集为｛x|-1<x2｝.?
14.在R上定义运算:xy=x(1-y).若不等式（x-a）（x+a）<1对任意实数x恒成立，求a的取值范围.?
［解析］　因为（x-a） (x+a)=(x-a)(1-x-a),?
又不等式（x-a） (x+a)<1对任意实数x恒成立，
所以（x-a）(1-x-a)0对任意实数x恒成立，
所以Δ=(-1) 2-4(-a2+a+1)<0,?
解得－<a<．?
即a的取值范围是－<a<.
15.当a为何值时，不等式（a2-1）x2-(a-1)x-1<0的解是全体实数？
［解析］　①当a2-1=0，即a=±1时，?
若a=1，则原不等式为-1<0，恒成立.?
若a=－1，则原不等式为2x-1<0,?
即x<，不符合题目要求，舍去.?
②当a2-1≠0,即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是
Δ=(a-1) 2+4(a2-1)<0,?
解得-<a<1.?
综上所述，当-0.
［解析］　原不等式可化为>0,?
即x(mx-1)>0.?
当m>0时，解得x;?
当m<0时，解得<x<0;?
当m=0时，解得x0时，不等式的解集为｛x|x｝;?
当m<0时，不等式的解集为｛x|<x<0｝;?
当m=0时，不等式的解集为｛x|x<0｝.
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