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阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b＞0时，一定有a＞b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a2-b2=（a+b）（a-b），a+b＞0∴（a2-b2）与（a-b）的符号相同当a2-b2＞0时，a-b＞0，得a＞b当a2-b2=0时，a-b=0，得a=b当a2-b2＜0时，a-b＜0，得a＜b解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1=&（用x、y的式子表示）W2=　&（用x、y的式子表示）②请你分析谁用的纸面积最大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．①在方案一中，a1=　&km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2=　&&
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2012-内蒙古赤峰市中考数学试卷
分析与解答
习题“阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b＞0时，一定有a＞b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求...”的分析与解答如下所示：
（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W1-W2=x-y，根据x和y的大小比较即可；（2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；③求出=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．（1）①W1=3x+7y，W2=2x+8y，故答案为：3x+7y，2x+8y．&&&&&& ②【解析】W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y，∵x＞y，∴x-y＞0，∴W1-W2＞0，得W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积大．&&&（2）①【解析】a1=AB+AP=x+3，故答案为：x+3．&&&&&&&&&&②【解析】过B作BM⊥AC于M，则AM=4-3=1，在△ABM中，由勾股定理得：BM2=AB2-12=x2-1，在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP=A′B==，故答案为：．③【解析】=（x+3）2-（）2=x2+6x+9-（x2+48）=6x-39，当＞0（即a1-a2＞0，a1＞a2）时，6x-39＞0，解得x＞6.5，当=0（即a1-a2=0，a1=a2）时，6x-39=0，解得x=6.5，当＜0（即a1-a2＜0，a1＜a2）时，6x-39＜0，解得x＜6.5，综上所述当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，当x=6.5时，两种方案一样，当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．
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阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b＞0时，一定有a＞b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方...
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经过分析，习题“阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b＞0时，一定有a＞b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求...”主要考察你对“轴对称-最短路线问题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
与“阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b＞0时，一定有a＞b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求...”相似的题目：
[2007o山西o模拟]如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则河水沿着管道，从M到P的路程加上M到Q的路程，最短的是（　　）
[2015o乐乐课堂o练习]如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　）
[2015o乐乐课堂o练习]在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（　　）
“阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大...”的最新评论
该知识点好题
1如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（32，-2），点P在直线y=-x上运动，当|PA-PB|最大时点P的坐标为（　　）
2如图四边形ABCD中，AD=DC．∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F．DF与AB相交于E．设AB=15，BC=9，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为（　　）
3如图，∠AOB=30°，内有一点P且OP=√6，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN的周长最小为（　　）
该知识点易错题
1如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE=EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回点E点，则蚂蚁所走的最小路程是（　　）
2代数式√x2+4+√(12-x)2+9的最小值为&&&&．
3阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b＞0时，一定有a＞b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a2-b2=（a+b）（a-b），a+b＞0∴（a2-b2）与（a-b）的符号相同当a2-b2＞0时，a-b＞0，得a＞b当a2-b2=0时，a-b=0，得a=b当a2-b2＜0时，a-b＜0，得a＜b解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1=&&&&（用x、y的式子表示）W2=&&&&（用x、y的式子表示）②请你分析谁用的纸面积最大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．①在方案一中，a1=&&&&km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2=&&&&km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
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数据挖掘之聚类算法
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下载：20积分DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）聚类算法，它是一种基于高密度连通区域的、基于密度的聚类算法，能够将具有足够高密度的区域划分为簇，并在具有噪声的数据中发现任意形状的簇。
DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）聚类算法，它是一种基于高密度连通区域的、基于密度的聚类算法，能够将具有足够高密度的区域划分为簇，并在具有噪声的数据中发现任意形状的簇。我们总结一下DBSCAN聚类算法原理的基本要点：
我们需要知道的是，DBSCAN算法，需要输入2个参数，这两个参数的计算都来自经验知识。半径Eps的计算依赖于计算k-距离，DBSCAN取k=4，也就是设置MinPts=4，然后需要根据k-距离曲线，根据经验观察找到合适的半径Eps的值，下面的算法实现过程中，我们会详细说明。
对于算法的实现，首先我们概要地描述一下实现的过程：
然后，再详细描述聚类过程的具体实现。
计算欧几里德距离
我们使用的样本数据，来自一组经纬度坐标数据，数据文件格式类似如下所示：
116..87194
116..874577
116..887419
116..853576
116..872999
116..911165
116..061037
116..062485
116..940168
116..062485
116..942057
116..899396
116..898751
116..959335
116..878222
116..962825
116..008559
我们需要做的首先就是，解析样本数据文件，将其转换成我们需要的表示形式，我们定义了Point2D类，代码如下所示：
package org.shirdrn.
public class Point2D {
protected final D
protected final D
public Point2D(Double x, Double y) {
public int hashCode() {
return 31 * x.hashCode() + 31 * y.hashCode();
public boolean equals(Object obj) {
Point2D other = (Point2D)
return this.x.doubleValue() == other.x.doubleValue() && this.y.doubleValue() == other.y.doubleValue();
public Double getX() {
public Double getY() {
public String toString() {
return "(" + x + ", " + y + ")";
我们可以将解析后的点的对象放到一个List&Point2D& allPoints集合里面，以便后续使用时迭代集合。在计算两点之间的欧几里德距离时，需要迭代前面生成的Point2D的集合，计算欧几里德距离，实现方法如下所示：
public static double euclideanDistance(Point2D p1, Point2D p2) {
double sum = 0.0;
double diffX = p1.getX() - p2.getX();
double diffY = p1.getY() - p2.getY();
sum += diffX * diffX + diffY * diffY;
return Math.sqrt(sum);
如果需要，可以将计算的所有点之间的距离缓存，因为计算k-距离需要多次访问点的欧几里德距离，比如，可以使用Guava库中的Cache工具：
Cache&Set&Point2D&, Double& distanceCache =
CacheBuilder.newBuilder().maximumSize(Integer.MAX_VALUE).build();
上面代码中，设置缓存容纳足够多（Integer.MAX_VALUE）的对象，将计算出的全部的欧几里德距离放在内存中，便于后续迭代时重用。
计算k-距离
每个点都要计算k-距离，在计算一个点的k-距离的时候，首先要计算该点到其他所有点的欧几里德距离，按照距离升序排序后，选择第k小的距离作为k-距离的值，实现代码如下所示：
Task task = q.poll();
KPoint2D p1 = (KPoint2D) task.p;
final TreeSet&Double& sortedDistances = Sets.newTreeSet(new Comparator&Double&() {
public int compare(Double o1, Double o2) {
double diff = o1 - o2;
if(diff & 0) {
return -1;
if(diff & 0) {
for (int i = 0; i & allPoints.size(); i++) {
if(task.pos != i) {
KPoint2D p2 = (KPoint2D) allPoints.get(i);
Set&Point2D& set = Sets.newHashSet((Point2D) p1, (Point2D) p2);
Double distance = distanceCache.getIfPresent(set);
if(distance == null) {
distance = MetricUtils.euclideanDistance(p1, p2);
distanceCache.put(set, distance);
if(!sortedDistances.contains(distance)) {
sortedDistances.add(distance);
if(sortedDistances.size() & k) {
Iterator&Double& iter = sortedDistances.iterator();
iter.next();
iter.remove();
p1.kDistance = sortedDistances.iterator().next();
上述代码中，KPoint2D类是Point2D的子类，不过比基类Point2D多了一个k-距离的属性，代码如下所示：
private class KPoint2D extends Point2D {
private Double kDistance = 0.0;
public KPoint2D(Double x, Double y) {
super(x, y);
public int hashCode() {
return super.hashCode();
public boolean equals(Object obj) {
return super.equals(obj);
代码比较容易，可以查看相关注释信息。
绘制k-距离曲线，寻找半径Eps
x轴坐标点我们直接使用递增的自然数序列，每个点对应一个自然数，y轴就是所有点的k-距离的大小，我们在代码中可以进行处理，实现如下：
for(int i=0; i&allPoints.size(); i++) {
KPoint2D kp = (KPoint2D) allPoints.get(i);
System.out.println(i + "\t" + kp.kDistance);
最终生成的数据，输出格式类似如下：
0 6.257E-4
1 8.753E-4
2 8.709E-4
5 0.0047032
6 0.2601679
7 0.2601679
8 0.6968501
9 0.1092647
10 0.3025107
11 0.4491256
12 0.556046
13 0.556046
14 0.4251713
15 0.6228466
我们把输出数据复制到Excel表格中，使用上述数据生成散点图，基于x坐标取了4个不同的范围，观察曲线的变化情况，0~0、、0~2500各个x坐标范围内的点，对应的散点图分别如下所示：
通过上图可以看出：
综合上面4个图，可以选择得到半径Eps的范围大致在0.002~0.006之间，已知MinPts=4，具体我们可以选择下面3个k-距离的值作为半径Eps：
通过下一步进行聚类，看一下使用选择的Eps的这几个值进行聚类的效果对比。另外，对半径Eps=8也进行聚类，主要是为了看一下半径变化对聚类效果的影响。
计算核心点
聚类过程需要知道半径Eps，半径已知，首先需要计算有哪些核心点，给定点，如果以该点为中心半径为Eps的邻域内的其他点的数量大于等于MinPts，则该点就为核心点。计算核心点的实现代码如下所示：
Point2D p1 = taskQueue.poll();
if(p1 != null) {
++processedP
Set&Point2D& set = Sets.newHashSet();
Iterator&Point2D& iter = epsEstimator.allPointIterator();
while(iter.hasNext()) {
Point2D p2 = iter.next();
if(!p2.equals(p1)) {
double distance = epsEstimator.getDistance(Sets.newHashSet(p1, p2));
if(distance &= eps) {
set.add(p2);
if(set.size() &= minPts) {
corePointWithNeighbours.put(p1, set);
LOG.debug("Decide core point: point" + p1 + ", set=" + set);
if(!outliers.contains(p1)) {
outliers.add(p1);
那些被错误放入离群点集合的点，需要在计算核心点完成之后，遍历离群点集合，与核心点集合（及其对应的映射点集合）进行比对，代码如下所示：
Iterator&Point2D& iter = outliers.iterator();
while(iter.hasNext()) {
Point2D np = iter.next();
if(corePointWithNeighbours.containsKey(np)) {
iter.remove();
for(Set&Point2D& set : corePointWithNeighbours.values()) {
if(set.contains(np)) {
iter.remove();
这样，有些非离群点就从离群点集合中被排除了。
连通核心点生成簇
核心点能够连通（有些书籍中称为：“密度可达”），它们构成的以Eps长度为半径的圆形邻域相互连接或重叠，这些连通的核心点及其所处的邻域内的全部点构成一个簇。假设MinPts=4，则连通的核心点示例，如下图所示：
假设MinPts=4，上图中存在两个簇，每个簇都是通过核心点连通在一起的，每个簇是由连通的核心点及其核心点半径Eps圆形邻域内的点组成的，在这两个簇所覆盖的范围外部的点，都是离群点（Outliers）。
计算连通的核心点的思路是，基于广度遍历与深度遍历集合的方式：从核心点集合S中取出一个点p，计算点p与S集合中每个点（除了p点）是否连通，可能会得到一个连通核心点的集合C1，然后从集合S中删除点p和C1集合中的点，得到核心点集合S1；再从S1中取出一个点p1，计算p1与核心点集合S1集中每个点（除了p1点）是否连通，可能得到一个连通核心点集合C2，再从集合S1中删除点p1和C2集合中所有点，得到核心点集合S2，……最后得到p、p1、p2、……，以及C1、C2、……就构成一个簇的核心点。最终将核心点集合S中的点都遍历完成，得到所有的簇。具体代码实现，如下所示：
("Joining connected points ...");
Set&Point2D& corePoints = Sets.newHashSet(corePointWithNeighbours.keySet());
while(true) {
Set&Point2D& set = Sets.newHashSet();
Iterator&Point2D& iter = corePoints.iterator();
if(iter.hasNext()) {
Point2D p = iter.next();
iter.remove();
Set&Point2D& connectedPoints = joinConnectedCorePoints(p, corePoints);
set.addAll(connectedPoints);
while(!connectedPoints.isEmpty()) {
connectedPoints = joinConnectedCorePoints(connectedPoints, corePoints);
set.addAll(connectedPoints);
clusteredPoints.put(p, set);
上面调用了重载的两个方法joinConnectedCorePoints，分别根据参数不同计算连通的核心点集合：计算核心点集合中一个点，与该核心点集合中其它的所有核心点是否连通，调用如下方法：
private Set&Point2D& joinConnectedCorePoints(Point2D p1, Set&Point2D& leftCorePoints) {
Set&Point2D& set = Sets.newHashSet();
for(Point2D p2 : leftCorePoints) {
double distance = epsEstimator.getDistance(Sets.newHashSet(p1, p2));
if(distance &= eps) {
set.add(p2);
leftCorePoints.removeAll(set);
还有一个方法是，上面第一个参数变为一个集合，它调用上面的方法处理每一个点，方法代码实现如下所示：
private Set&Point2D& joinConnectedCorePoints(Set&Point2D& connectedPoints, Set&Point2D& leftCorePoints) {
Set&Point2D& set = Sets.newHashSet();
for(Point2D p1 : connectedPoints) {
set.addAll(joinConnectedCorePoints(p1, leftCorePoints));
最后，集合clusteredPoints存储的就是聚类后的核心点的信息，再根据核心点到其邻域内半径小于等于Eps的点的集合的映射，就能将所有的点生成聚类了。
聚类效果比较
选择不同的半径Eps进行聚类分析， 聚类的结果也不相同，有些情况下差异很大，有些情况差异较小。比如，在MinPts=4的情况下，如何绘制k-距离曲线，已经在前面详细说明了处理过程，我们根据k-距离趋势增长曲线，选择了一组半径Eps的值，执行DBSCAN聚类算法，下面我们比较在MinPts=4和MinPts=8的情况下，再分别选择不同的半径Eps，执行DBSCAN聚类算法生成簇，对分布情况进行对比。
选择半径Eps的值分别为如下3个观察值：
最终得到的聚类效果图在下面可以看到，其中，左侧为没有离群点的情况各个簇的分布情况，右侧是将离群点全部加入到图上显示，图中图例中的9999表示离群点，其他的都是聚类生成的簇，如下图所示：
通过上图可以看出，半径Eps选择的较小时，会产生大量的离群点，其实我们想一下，半径小了，自然落在某个点的邻域内的点减少的可能性就增加了，导致很多点可能就无法成为核心点，自然也就无法成为某个簇的点，而且很生成的簇包含的点的数量都比较少，某些本来很接近的点应该可以成为同一个簇，但是被分裂了。
当半径比较大一些时，生成的一个簇包含了比较多的点，而且这个簇的形状中间可能出现一些“空洞”，因为点之间的距离大一些也能满足成为核心点的要求，所以这些点聚到一簇中可能确实比较合理。
选择半径Eps的值分别为如下3个观察值：
使用我们实现的DBSCAN聚类算法进行分析处理，得到的聚类结果，如下图所示：
因为DBSCAN聚类算法，是基于密度的聚类算法，所以对于密度分别不均，各个簇的密度变化较大时，可能会导致一些问题：比如半径Eps较大时，本来不属于同一个的簇的点被聚到一个簇中；比如半径Eps比较小时，会出现大量比较小的簇（即每个簇中含有的点不较少，但是这些点组成的小簇密度确实很大），同时出现了大量的点不满足成为核心点的要求，MinPts越大越容易出现这种情况。
DBSCAN聚类算法的思想非常明确易懂，虽然需要用户输入2个参数，但是正是输入参数的灵活性，我们可以根据自己实际应用的需要，适当调整参数值，在特定应用场景下进行聚类分析，得到合适的簇划分。通过上面选择不同参数进行聚类的结果对比，如果希望局部比较密集的点都能够生成簇，那么在固定MinPts的值的条件下，半径Eps通过调整变小，可能达到这一需要，产生的簇的数量比较多，但是同时也产生了大量分散的离群点，实际上应该可以进行二次聚类，将离群点也通过合适的方式归到指定的簇中；如果希望生成全局比较大的簇，可以适当调整半径Eps变大，生成的簇的数量较少，离群点的数量也相对较少。
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