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2014年六年级数学思维训练：数字谜综合二
2014 年六年级数学思维训练：数字谜综合二一、兴趣篇 1．将 表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案． 2．在算式 + + + =1 中，a、b、c 分别代表三个不同的自然数，这三个数的和可能是多少？ 3．将图中每一行左右相邻的两数相加，再除以 12，将所得的余数写在它们下一行相应的圆 圈内．逐行依次进行上面的操作，最后得到最底端的一个数．请问：对于第一行中不同的自 然数 x，最底端的数一共有多少种取值，分别是什么？4．将最小的 10 个合数填到如图的 10 个空格中，要求满足以下条件： ①填人的数能被它所在列的最上面给出的数整除； ②第三行中每个数都比它上面那一格中的数大； 请问： 第三行中 5 个数的和最小等于多少？5．将 1 至 7 这 7 个自然数填入如图中的 8 个方格内，要求其中有一个数字用两次，其余数 字各用一次， 并使图中右下角的 4 个方格中的每格内所填的数均等于它上方和左方相邻方格 内两个数的平均数，请给出一种填法，并求出共有多少种填法．6．请将数字 1 至 9 分别填入图中的各个圆圈中，使得图中每条线段两个端点中所填的数的 差（大减小）均为 3 或 4．请给出一种填法，并求出共有多少种填法．7．6□0.3=○，6□=○，6□0. =○，6□=○．第 1 页（共 40 页）在上面 4 个算式的方框内，分别填上加、减、乘、除 4 个运算符号，使 4 个算式的得数之和 尽可能大．请问：这个最大的和等于多少？ 8．请用 0、1、2、3，4、5、6、7、8、9 这 10 个数字各一次，组成 5 个自然数，使得它们 依次是某个自然数的 l、2、3、4、5 倍． 9．在如图所示表格第二行的每个空格内，填人一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字 在第二行中出现的次数，第二行中的 5 个数字各是多少？ 0 1 2 3 4 10．如图中相同字母表示相同数字，不同字母表示不同数字，且 4 的倍数，求 的所有可能值． 是 5 的倍数， 是二、解答题（共 12 小题，满分 0 分） 11．自然数 12 和 60 是一对很有趣的数，它们的积 12×60=720，恰好是 12+60=72 的 10 倍， 满足上述条件的数对还有哪些，请再举出 3 对． 12．将 表示成两个自然数的倒数之和，给出所有的答案． 13．求方程 + = 的所有正整数解．14．将 写成三个自然数（可以相同）的倒数之和，共有多少种方法？ 15．ABCD 表示一个四位数，EFG 表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G 代表 1 至 9 中的不同的数字．已知 ABCD+EFG=1993，问：乘积 ABCD×EFG 的最大值与最小值相差多 少？ 16．从 1 至 9 中选出 8 个数字填入算式“口口口+口口口口=13579”的方框中，每个数字恰好 填一次，使等式成立，请问： （1）没有被选出的数字是多少？ （2）两个四位数中较大的数最小是多少？最大是多少？ 17．在下面两个算式： =D× ， =D× 中，相同的字母代表相同的数字，不 同的字母代表不同的数字，求 B+D+F 的值． 18．小明按照下列算式： 乙组的数口甲组的数○1=对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加 号或减号他将计算结果填入表中．有人发现表中 14 个数中有两个数是错的请你改正．问改 正后的两个数的和是多少？ 0.625 32 25.05 3.44 34 31 1.5第 2 页（共 40 页）19． 请在如右图所示的 3×6 方格表的每个空格中填入一个整数， 使得对于第 1 行中的每个数， 它在第 2 行中出现的次数恰好等于该列第 3 行所填的数， 而它在第 3 行中出现的次数又恰好 等于该列第 2 行所填的数． （例如，第 2 行第 1 列的 3 表示第 3 行中有 3 个 0） 0 1 2 3 4 5 3 20．在如图的 3×3 方格表中，“北、京、巨、人、学、校、欢、迎、你”这 9 个汉字分别表示 1 至 9 中的不同数字，并满足： ①每一个“田”字形内 4 个数之和都相等； ②北 = 迎 + 你 ； ③学＞校． 请问：“北京巨人学校欢迎你”所代表的九位数是多少？2 2 221．将 1 至 9 填入如图的圆圈内，使图中所有三角形（共 7 个）的 3 个顶点上数字之和都相 等．22．图中有大、中、小 3 个正方形，组成了 8 个三角形．现在先把 1，2，3，4 分别填在大 正方形的 4 个顶点上，再把 1，2，3，4 分别填在中正方形的 4 个顶点上，最后把 1，2，3， 4 分别填在小正方形的 4 个项点上． （1）能否使 8 个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法：如果不能，请 说明理由． （2）能否使 8 个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请给出填数方法；如果不能， 请说明理由．三、解答题（共 8 小题，满分 0 分） 23．请在算式“ 有的可能．第 3 页（共 40 页）+=”的每个方框中填入一个数字，使其成为等式，请写出所24．在如图的算式中填入 0 至 9 各一次，使算式成立．算式结果的四位数最小可能是多少， 最大可能是多少？25．如图的除法算式中，只知道一个数字“3”，且商是一个循环小数，则被除数是．26．图中有 11 条直线．请将 1 至 11 这 11 个数分别填在 11 个圆圈里，使每一条直线上所有 数的和相等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．27．将 1 至 12 这 12 个自然数填入如图的“灯笼”中，使得四个椭圆和两条竖线上的各数之和 均相等．这个和数最大是多少？请给出一种填法．28．在如图的五个圆圈内各填人一个正整数（可以填相同的数） ，使得图中八个三角形的顶 点数字之和互不相同． 满足这个条件的自然数有很多组， 求使得所填五个数之和最小的一组．29．如图中共有 9 条直线，每条直线上有 3 个圆圈．现将 1 至 9 填人图中的圆圈内，能否找 到满足下列要求之一的填法？如果能，请给出具体填法；如果不能，请说明理由．第 4 页（共 40 页）（1）使得每条直线上 3 个圆圈内所填数之和都相等； （2）使得其中有 8 条直线上 3 个圆圈内所填数之和相等．30． （1）请将 115 填人图 1 中的 15 个圆圈中，使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于 与其肩膀上两个圆圈内的数之差（大数减小数） ，其中数字 11 已填好． （2）能否将 121 这 21 个自然数分别填入图 2 中的各个圆圈里，使得除了第一行以外，每 个圆圈内韵数都等于其肩膀上两个圆圈内的数之差（大数减小数）？如果能，请给出一种填 法；如果不能，请说明理由．第 5 页（共 40 页）2014 年六年级数学思维训练：数字谜综合二参考答案与试题解析一、兴趣篇 1．将 表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案． 【分析】此题实际上是把一个较大的分数单位拆成一个较小的分数单位的和．因此，可以先 把分母分解成两个因数的积， 然后根据分数的基本性质， 给分数的分子和分母同时乘这两个 因数的和，再把它拆成两个分数相加的和，并将每个加数进行约分． 【解答】解： = = = = 没有其他情况． 因此 = + = + = + ． = = = = + + = = = + + ； = + ；+ ；2．在算式 少？+ + + =1 中，a、b、c 分别代表三个不同的自然数，这三个数的和可能是多【分析】根据算式 + + =1=，然后把拆成分子为 1 的三个分数，考虑到分子为1，于是把 17 拆成三个数并且要使这三个数能与 18 约分，变为分子为 1，据此解答． 【解答】解：1 因为 17=2+6+9 因此 = + + = + + =所以 a+b+c=9+3+2=14 答：这三个数的和可能是 14． 3．将图中每一行左右相邻的两数相加，再除以 12，将所得的余数写在它们下一行相应的圆 圈内．逐行依次进行上面的操作，最后得到最底端的一个数．请问：对于第一行中不同的自 然数 x，最底端的数一共有多少种取值，分别是什么？第 6 页（共 40 页）【分析】根据 x 的取值情况，x=12k，x=12k+1，x=12k+2，…，分类讨论，进行题中要求的 操作，判断出最底端的数一共有多少种取值，分别是什么即可． 【解答】解： （1）当 x=12k 时，可得 第 2 行的四个圆圈中的数分别是：1、5、0、4， 第 3 行的三个圆圈中的数分别是：6、5、4， 第 4 行的两个圆圈中的数分别是：11、9， 最底端的数为 8． （2）当 x=12k+1 时，可得 第 2 行的四个圆圈中的数分别是：2、6、0、4， 第 3 行的三个圆圈中的数分别是：8、6、4， 第 4 行的两个圆圈中的数分别是：2、10， 最底端的数为 0． （3）当 x=12k+2 时，可得 第 2 行的四个圆圈中的数分别是：3、7、0、4， 第 3 行的三个圆圈中的数分别是：10、7、4， 第 4 行的两个圆圈中的数分别是：5、11， 最底端的数为 4． （4）当 x=12k+3 时，可得 第 2 行的四个圆圈中的数分别是：4、8、0、4， 第 3 行的三个圆圈中的数分别是：0、8、4， 第 4 行的两个圆圈中的数分别是：8、0， 最底端的数为 8． （5）当 x=12k+4 时，可得 第 2 行的四个圆圈中的数分别是：5、9、0、4， 第 3 行的三个圆圈中的数分别是：2、9、4， 第 4 行的两个圆圈中的数分别是：11、1， 最底端的数为 0． （6）当 x=12k+5 时，可得 第 2 行的四个圆圈中的数分别是：6、10、0、4， 第 3 行的三个圆圈中的数分别是：4、10、4， 第 4 行的两个圆圈中的数分别是：2、2， 最底端的数为 4． …， 综上，可得最底端的数一共有 3 种取值，分别是 8、0、4． 答：最底端的数一共有 3 种取值，分别是 8、0、4． 4．将最小的 10 个合数填到如图的 10 个空格中，要求满足以下条件： ①填人的数能被它所在列的最上面给出的数整除； ②第三行中每个数都比它上面那一格中的数大； 请问： 第三行中 5 个数的和最小等于多少？第 7 页（共 40 页）【分析】首先找出最小的 10 个合数为：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18，然后根据 条件①，可得 5 所在的列的两个数应是 10、15，再根据条件②，可得上面是 10，下面是 15；根据 9 是奇数，可得 9 只能填在 3 所在的列中；6 所在的列中的两个数可以是 6、12、 18；然后分类讨论，判断出第三行中 5 个数的和最小等于多少即可． 【解答】解：最小的 10 个合数为：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18， 根据条件①，可得 5 所在的列的两个数应是 10、15， 根据条件②，可得上面是 10，下面是 15； 根据 9 是奇数，可得 9 只能填在 3 所在的列中， 6 所在的列中的两个数可以是 6、12、18； （1）当 6 所在的列的两个数是 6、12 时， 3 所在的列的两个数是 9、18， ①当 4 所在的列的两个数是 4、8 时， 2 所在的列的两个数是 14、16， 此时第三行中 5 个数的和为： 16+18+8+15+12=69； ②当 4 所在的列的两个数是 4、16 时， 2 所在的列的两个数是 8、14， 此时第三行中 5 个数的和为： 14+18+16+15+12=75； ③当 4 所在的列的两个数是 8、16 时， 2 所在的列的两个数是 4、14， 此时第三行中 5 个数的和为： 14+18+16+15+12=75； （2）当 6 所在的列的两个数是 6、18 时， 3 所在的列的两个数是 9、12， ①当 4 所在的列的两个数是 4、8 时， 2 所在的列的两个数是 14、16， 此时第三行中 5 个数的和为： 16+12+8+15+18=69； ②当 4 所在的列的两个数是 4、16 时， 2 所在的列的两个数是 8、14， 此时第三行中 5 个数的和为： 14+12+16+15+18=75； ③当 4 所在的列的两个数是 8、16 时， 2 所在的列的两个数是 4、14， 此时第三行中 5 个数的和为： 14+12+16+15+18=75； （3）当 6 所在的列的两个数是 12、18 时， 3 所在的列的两个数是 6、9， ①当 4 所在的列的两个数是 4、8 时， 2 所在的列的两个数是 14、16，第 8 页（共 40 页）此时第三行中 5 个数的和为： 16+9+8+15+18=66； ②当 4 所在的列的两个数是 4、16 时， 2 所在的列的两个数是 8、14， 此时第三行中 5 个数的和为： 14+9+16+15+18=72； ③当 4 所在的列的两个数是 8、16 时， 2 所在的列的两个数是 4、14， 此时第三行中 5 个数的和为： 14+9+16+15+18=72． 综上，可得第三行中 5 个数的和最小等于 66．． 答：第三行中 5 个数的和最小等于 66． 5．将 1 至 7 这 7 个自然数填入如图中的 8 个方格内，要求其中有一个数字用两次，其余数 字各用一次， 并使图中右下角的 4 个方格中的每格内所填的数均等于它上方和左方相邻方格 内两个数的平均数，请给出一种填法，并求出共有多少种填法．【分析】根据题意，以及 1+7=2+6=3+5=4×2，所以用 2 次的数字只能是 4，而且 4 只能在中 心方格以及右下角处；然后确定出右下角的 4 的上方和左方相邻方格内的数只能是 3、5， 有两种填法；中心方格的 4 的上方和左方相邻方格内的数只能是 1、7，有两种填法；所以 满足题意的填法一共有：2×2=4（种） ，进而给出满足题意的一种填法即可． 【解答】解：根据题意，以及 1+7=2+6=3+5=4×2， 所以用 2 次的数字只能是 4， 而且 4 只能在中心方格以及右下角处； 右下角的 4 的上方和左方相邻方格内的数只能是 3、5，有两种填法， 中心方格的 4 的上方和左方相邻方格内的数只能是 1、7，有两种填法； 所以满足题意的填法一共有：2×2=4（种） ． 答：一共有 4 种填法． 满足题意的一种填法为：6．请将数字 1 至 9 分别填入图中的各个圆圈中，使得图中每条线段两个端点中所填的数的 差（大减小）均为 3 或 4．请给出一种填法，并求出共有多少种填法．第 9 页（共 40 页）【分析】如图，第一行中间的圆圈一共连接了 4 条线段，因此它只能是 5；根据 51=4，5 2=3，85=3，95=4，可得与 5 相邻的 4 个数分别为 1、2、8、9，而且 1、8 在同一侧， 2、9 在同一侧，一共有 2×2×2=8（种）填法，当 1、2、8、9 确定位置之后，其余的数的位 置也就相应的确定下来了，所以一共有 8 种填法，并列举出一种填法即可． 【解答】解：如图，第一行中间的圆圈一共连接了 4 条线段， 因此它只能是 5； 根据 51=4，52=3，85=3，95=4， 可得与 5 相邻的 4 个数分别为 1、2、8、9； 而且 1、8 在同一侧，2、9 在同一侧， 一共有 2×2×2=8（种）填法， 当 1、2、8、9 确定位置之后，其余的数的位置也就相应的确定下来了， 所以满足题意的填法一共有 8 种． 答：一共有 8 种填法． 其中的一种填法为：7．6□0.3=○，6□=○，6□0. =○，6□=○．在上面 4 个算式的方框内，分别填上加、减、乘、除 4 个运算符号，使 4 个算式的得数之和 尽可能大．请问：这个最大的和等于多少？ 【分析】要使四个算式答数尽可能大，除数和减数应取较小的数，乘数和加数应取较大的 数．因为 ＞ ＞0. ＞0.3，所以，“0.3”前面应填除号，“0. ”前面填减号，“ ”前填加号，“”前填乘号，才能使这四个算式的答数之和最大，然后计算即可．【解答】解：这个最大的和是： （6÷0.3）+（60. ）+（6+ ）+（6× ）=（6×）+（6 ）+（6+3）+（6×）第 10 页（共 40 页）=20+5 +9+20 =54 故答案为：54 ．8．请用 0、1、2、3，4、5、6、7、8、9 这 10 个数字各一次，组成 5 个自然数，使得它们 依次是某个自然数的 l、2、3、4、5 倍． 【分析】由题意可知这个自然数 5 倍，一定末尾是 0 或 5，如果是 5，第一个数一定是奇数， 前面的乘积一定末尾不会出现 0，所以这个自然数一定是偶数；且 10 个数字各一次，一定 不会是一位数，由此逐步探讨得出答案即可． 【解答】解：由题意知，这个自然数可能是 12、14、16、18； 逐一求得 l、2、3、4、5 倍不重复的只有 18， 所以这 5 个自然数为 18、36、54、72、90 是 18 的 l、2、3、4、5 倍． 9．在如图所示表格第二行的每个空格内，填人一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字 在第二行中出现的次数，第二行中的 5 个数字各是多少？ 0 1 2 3 4 【分析】设第二行从左到右填入 A，B，C，D，E，则 A+B+C+D+E=5；若 E 大于 0，例如 E=1，则 B=1，A+C+D=3，3 小于 4，矛盾，因此 E=0，0＜A＜4； 若 D 大于 0，例如 D=1， 则 B 大于 0，因为 A 大于 0，则 A 和 C 无法填写，所以 D=0，A 等于 2；因为 A=2，可得 B+C=3，只有当 B=1，C=2 时，ABCDE=21200，满足题意． 所以第二行的 5 个数字是 2， 1，2，0，0，据此解答即可． 【解答】解：设第二行从左到右填入 A，B，C，D，E， 则 A+B+C+D+E=5； （1）若 E 大于 0，例如 E=1， 则 B=1，A+C+D=3，3 小于 4，矛盾， 因此 E=0，0＜A＜4； （2）若 D 大于 0，例如 D=1， 则 B 大于 0，因为 A 大于 0， 则 A 和 C 无法填写， 所以 D=0，A 等于 2； （3）因为 A=2，可得 B+C=3， 只有当 B=1，C=2 时，ABCDE=21200，满足题意． 所以第二行的 5 个数字是 2，1，2，0，0． 0 1 2 3 4 2 1 2 0 0 故答案为：2、1、2、0、0． 10．如图中相同字母表示相同数字，不同字母表示不同数字，且 4 的倍数，求 的所有可能值． 是 5 的倍数， 是第 11 页（共 40 页）【分析】 是 5 的倍数，那么 E 一定是 0 或 5，由于 E+R=E，所以 E 一定是 5，R 一定 是 0，又由于 I+O=I，而 O 不可能是 0，所以 O 一定是 9；由于两个 F 相加再加 1 等于 N， 所以 N 一定是奇数；由于 是 4 的倍数，所以 U 一定是偶数，即 U 可能是 2，4，6，8， 当 U 是 2 时， V 不能是 9 一定是 8 （V+2 必须满十） ， V 是 8 时所得的和个位上是 0， 即 N=R， 故 U 不能是 2；当 U 是 4 时，由于最后所得的和千位和十位上都是 N，可得 U 不能是 4； 当 U 是 6 时，V 不能是 5 也不能是 9，V 有可能是 7，当 V 是 7 时，可得两个加数分别是 ，所得的和是 3235；当 U 是 8 时可得：V 是那个奇数都不合适，据此即可解答． 【解答】解：答：是 3235．二、解答题（共 12 小题，满分 0 分） 11．自然数 12 和 60 是一对很有趣的数，它们的积 12×60=720，恰好是 12+60=72 的 10 倍， 满足上述条件的数对还有哪些，请再举出 3 对． 【分析】a×b=10a+10b， （a10） （b10）=100，100=1×100=2×50=4×25=5×20=10×10，从而 推出满足这两个条件的非零自然数对，解决问题． 【解答】解：a×b=10a+10b， （a10） （b10）=100， 100=1×100=2×50=4×25=5×20=10×10， 1+10=11，100+10=110， 4+10=14，25+10=35， 5+10=15，20+10=30， 10+10=20； 这样的数对还有（11，110） ， （14，35） ， （15，30） ， （20，20） ． 故答案为： （11，110） ， （14，35） ， （15，30） ， （20，20） ． 12．将 表示成两个自然数的倒数之和，给出所有的答案． 【分析】此题实际上是把一个较大的分数单位拆成一个较小的分数单位的和．因此，可以先 把分母分解成两个因数的积， 然后根据分数的基本性质， 给分数的分子和分母同时乘这两个 因数的和，再把它拆成两个分数相加的和，并将每个加数进行约分． 【解答】解： = = 另外 = = + = + = = = + ； + = = + + ； = + ；因此共 5 种情况．第 12 页（共 40 页）13．求方程 += 的所有正整数解． = ， 然后根据【分析】 首先把原方程转化为 a=a、b 都是正整数，求出 35b 的取值范围，并确定 b 的取值范围；最后根据 b 的取值范围， 分类讨论确定 b 的值，进而求出 a 的值即可． 【解答】解：因为 + 所以 a= = = ， ，因为原方程有正整数解， 所以 a＞0，b＞0， 因此 0＜35b＜35， 则 0＜b＜35； 因为 a 有正整数解， 所以 35b 能整除 35×35， ①当 35b=5 时，即 b=30 时，a= ②当 35b=7 时，即 b=28 时，a= ③当 35b=25 时，即 b=10 时，a= 综上所述， 、 和 ； ； ； 是原方程的解．14．将 写成三个自然数（可以相同）的倒数之和，共有多少种方法？ 【分析】最大的那个数不超过 ，不小于 （ 的 ） ，因此可能是 、 、 、 然后一一列 举即可． 【解答】解：最大的那个数不超过 ，不小于 ，因此可能是 、 、 、 ，然后一一列举． = + 然后将 拆成两个数之和，同上述分析，只要试较大的那个数从 到 = + = = + = + = + = + = + = + ，共 5 种； 的情况即可．，共 1 种； = + + + ，共 3 种； ，，只需要尝试
之间的数即可（因为 已经默认是最大的一个， ×2＜第 13 页（共 40 页）= +，只有 1 种；最后 = + + ，共 1 种； 综上，共 5+1+3+1+1=11 种． 答：共有 11 种方法． 15．ABCD 表示一个四位数，EFG 表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G 代表 1 至 9 中的不同的数字．已知 ABCD+EFG=1993，问：乘积 ABCD×EFG 的最大值与最小值相差多 少？ 【分析】已知 ABCD+EFG=1993，因为两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个 数的差越大， 乘积越小． A 显然只能为 1=1993， 和的千位为 1） ， 则 BCD+EFG=993． 当 ABCD 与 EFG 的积最大时，ABCD、EFG 最接近，则 BCD 尽可能小，EFG 尽可能大，有 BCD 最 小为 234，对应 EFG 为 759，所以有
是满足条件的最大乘积；当 ABCD 与 EFG 的积最小时，ABCD、EFG 差最大，则 BCD 尽可能大，EFG 尽可能小，有 EFG 最小为 234， 对应 BCD 为 759，所以有
是满足条件的最小乘积．由此求出它们的差即可． 【解答】解：根据分析 A=1，ABCD=1234，EFG=759 时它们的积最大； ABCD=1759，EFG=234 时它们的积最小． 它们的差为：9×234， =， =525000； 答：ABCD×EFG 的最大值与最小值相差 525000． 16．从 1 至 9 中选出 8 个数字填入算式“口口口+口口口口=13579”的方框中，每个数字恰好 填一次，使等式成立，请问： （1）没有被选出的数字是多少？ （2）两个四位数中较大的数最小是多少？最大是多少？ 【分析】因为要填的算式是四位数加上四位数等于五位数，所以根据和是 13579，而只有 4+5=9， 所以两个加数的个位数字分别为 4 和 5， 再根据和的十位数字是 7， 而 8+9=17， 6+1=7 所以分两种情况，当是 8+9=17 时，需要向百位进 1，所以即两个四位数的百位数字分别是 1 和 3；当是 6+1=7 时，两个四位数的百位数字分别是 8 和 7，再根据和的最高两位数字是 13，得出四位数的高位的数字． 【解答】解：因为 579 579 所以没有被选出的数字是 2； 答：没有被选出的数字是 2；两个四位数中较大的数最小是 6184，最大是 9865． 17．在下面两个算式： =D× ， =D× 同的字母代表不同的数字，求 B+D+F 的值． 中，相同的字母代表相同的数字，不【分析】 因为 =D× ， 所以 D 至少是 3， 若 D=3， E 至少是 4 时， ABBC=3×334=1002， 由此 CBBA=7 满足，此时 B=0，D=3，F=6，因此 B+D+F=0+3+6=9，据此解答． 【解答】解：因为 3×334==3×667 所以 D=3，E=4，B=0，D=3，F=6 所以 B+D+F=0+3+6=9第 14 页（共 40 页）答：B+D+F 的值是 9． 18．小明按照下列算式： 乙组的数口甲组的数○1=对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加 号或减号他将计算结果填入表中．有人发现表中 14 个数中有两个数是错的请你改正．问改 正后的两个数的和是多少？ 0.625 32 25.05 3.44 34 3 都是小于 1 的数，21 1.5 与这三个数运算后，得 5.05， 与小于 1 的数运算的【分析】甲组的前三个数 0.625， ， 4 ，4；不论减 1 还是加 l 后，这三个数都比 2大，而这是 2结果，因此可以猜想方框内是除号．进而进行验算即可得出圆圈内填加号，于是即可找出两 个错误的数字，也就能得出正确的数字，再计算它们的和，问题即可得解． 【解答】解：甲组的前三个数 0.625， ， 5.05，4 ，4 ； 大，而这是 2 与小于 1 的数运算的结果， 都是小于 1 的数，2 与这三个数运算后，得不论减 1 还是加 l 后，这三个数都比 2 因此可以猜想方框内是除号． 现在验算一下：2 2 2 2 ÷ = ÷ ÷3= = × =3 × ． = ÷0.625= ； =3 ； × ==4.05；从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而 4 按照算式 乙组的数÷甲组的数+1 计算可得： 2÷3+1=1，显然不为 1.5，上面已认定 3 是正确的， 因此，只有把 2 改为 1.5，才有 1.5÷3+1=1， 而 1.5÷0.625+l=3.4，1.5÷ +1=3.25． 由此可见，确定的算式“乙组的数÷甲组的数+1”是正确的．是错的．第 15 页（共 40 页）表中有两个错误，4 4 +1 =5+ =6应改为 4 ． ．，2 应改为 1.5，改正后的两个数的和是 619． 请在如右图所示的 3×6 方格表的每个空格中填入一个整数， 使得对于第 1 行中的每个数， 它在第 2 行中出现的次数恰好等于该列第 3 行所填的数， 而它在第 3 行中出现的次数又恰好 等于该列第 2 行所填的数． （例如，第 2 行第 1 列的 3 表示第 3 行中有 3 个 0） 0 1 2 3 4 5 3 【分析】每行有 6 个格，第 3 行的 6 个格已被 0 占 3 个，还有 3 个空格，也就是说第一行除 0 之外的 5 个数字在第 2 行还有 3 次出现的机会，当这 3 次机会给不同的数字时，每 3 行所 填的数字也不同． 【解答】解：此题第 3 行所填数字受第 2 行次数的制约，如第 1、2、3、各出现 1 次时， 第 2 行是：1、1、1、0、0， 第 3 行是：2、3、0、1、0、0； … 故答案为：… 20．在如图的 3×3 方格表中，“北、京、巨、人、学、校、欢、迎、你”这 9 个汉字分别表示 1 至 9 中的不同数字，并满足： ①每一个“田”字形内 4 个数之和都相等； 2 2 2 ②北 = 迎 + 你 ； ③学＞校． 请问：“北京巨人学校欢迎你”所代表的九位数是多少？【分析】首先根据北 =迎 +你 ，可得北=5，迎、你从 3、4 中各取一个；然后根据每一个 “田”字形内 4 个数之和都相等，可得北+人=巨+校，欢+人=你+校，北+京=欢+迎，京+巨= 迎+你，所以京+巨=迎+你=3+4=7，因此京、巨从 1、6 中各取一个；人、学、校、欢从 2、 7、8、9 中各取一个，因为学＞校，所以学不可能是 2，校不可能是 9，验证并求出“北、京、222第 16 页（共 40 页）巨、人、学、校、欢、迎、你”这 9 个汉字分别代表什么数字，进而求出“北京巨人学校欢迎 你”所代表的九位数是多少即可． 【解答】解：根据北 =迎 +你 ， 可得北=5，迎、你从 3、4 中各取一个； 根据每一个“田”字形内 4 个数之和都相等， 可得北+人=巨+校，欢+人=你+校，北+京=欢+迎，京+巨=迎+你， 所以京+巨=迎+你=3+4=7， 因此京、巨从 1、6 中各取一个， 所以人、学、校、欢从 2、7、8、9 中各取一个； 因为学＞校， 所以学不可能是 2，校不可能是 9， 经验证，可得北=5，京=1，巨=6，人=8，学=9，校=7，欢=2，迎=4，你=3， 所以“北京巨人学校欢迎你”所代表的九位数是 ． 答：“北京巨人学校欢迎你”所代表的九位数是 ．2 2 2． 21．将 1 至 9 填入如图的圆圈内，使图中所有三角形（共 7 个）的 3 个顶点上数字之和都相 等．【分析】根据图示，计算 7 个三角形的三个顶点处所填的数字之和时，中心三角形的三个顶 点的被重复计算了 3 次，其余的均被重复计算了 2 次；因为 1+2+3+…+9=45，45×2=90， 所以 7 个三角形所有顶点上的数字之和为 90 加上中心三角形的三个数的和，经验证，阴影 三角形的三个顶点处所填数字只能是 4、5、6，据此解答即可． 【解答】解：根据图示，计算 7 个三角形的三个顶点处所填的数字之和时， 阴影三角形的三个顶点的被重复计算了 3 次，其余的均被重复计算了 2 次； 因为 1+2+3+…+9=45，45×2=90， 所以 7 个三角形所有顶点上的数字之和为 90 加上中心三角形的三个数的和， 经验证，阴影三角形的三个顶点处所填数字只能是 4、5、6．第 17 页（共 40 页）． 22．图中有大、中、小 3 个正方形，组成了 8 个三角形．现在先把 1，2，3，4 分别填在大 正方形的 4 个顶点上，再把 1，2，3，4 分别填在中正方形的 4 个顶点上，最后把 1，2，3， 4 分别填在小正方形的 4 个项点上． （1）能否使 8 个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法：如果不能，请 说明理由． （2）能否使 8 个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请给出填数方法；如果不能， 请说明理由．【分析】 （1）不能，如果能，则 8 个三角形顶点和的总数和应该是 8 的倍数，但是这个综合 有三组 1、2、3、4 组成，其中一组数被计算三次，一组数被计算两次，一组数仅被计算一 次，因此该总和的值为 6，不是 8 的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使 8 个三角形顶点 上数字之和都相等． （2）能，见下图． 【解答】解： （1）如果能，则 8 个三角形顶点和的总数和应该是 8 的倍数，但是这个综合有 三组 1、2、3、4 组成，其中一组数被计算三次，一组数被计算两次，一组数仅被计算一次， 因此该总和的值为 6，不是 8 的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使 8 个三角形顶点上数 字之和都相等． （2）能，见下图．三、解答题（共 8 小题，满分 0 分） 23．请在算式“ 有的可能． + = ”的每个方框中填入一个数字，使其成为等式，请写出所第 18 页（共 40 页）【分析】105=3×5×7， 写即可．+ = ，在等式两边同时乘，就得到：+=；据此填【解答】解：因为 105=3×5×7， 在等式两边同时乘 所以 + = ， ．+ = ，24．在如图的算式中填入 0 至 9 各一次，使算式成立．算式结果的四位数最小可能是多少， 最大可能是多少？【分析】 （1） 当两个三位数百位上分别是 8 和 9 时， 此时和的千位和百位上应该是 1 和 7 （十 位上的和不能进一，进一的话数字重复） ，具体找这两个三位数时，找不到满足 09 各一次 且等式成立的两个加数，故此种情况不行； （2）当两个三位数百位上分别是 7 和 9 时，此时和的千位和百位上应该是 1 和 6（十位上 的和不能进一，进一的话数字重复） ，具体找这两个三位数时，找不到满足 09 各一次且等 式成立的两个加数，故此种情况不行； （3）当两个三位数百位上分别是 6 和 9 时，此时和的千位和百位上应该是 1 和 5 或 1 和 6 （十位上的和能进一，进一的话有些数字不重复） ，具体找这两个三位数时，找不到满足 0 9 各一次且等式成立的两个加数，故此种情况不行； （4）当两个三位数百位上分别是 7 和 8 时，此时和的千位和百位上应该是 1 和 5 或 1 和 6 （十位上的和能进一，进一的话有些数字不重复） ，具体找这两个三位数时，可以找到四种 算式； 当两个三位数百位上数的和小于 15 时，所得的和一定小于上面算式所得的和，据此即可解 答． 【解答】解：743+859====1602 答：最大可能是 1602．第 19 页（共 40 页）25．如图的除法算式中，只知道一个数字“3”，且商是一个循环小数，则被除数是16 ． 【分析】因为商是循环小数，所以商可以记作 0. 都是两位数，所以 ，而 0. = ，因为除数和被除数约分后的分子与分母都是两位数，因为 999=3×3×3×37，两位数约数是 27 和 37，而只有 3×37 的结果是三位数，所以除数是 37，因为 0＜b＜3，即 b 取 1 或 2， 又因为 a3b 是 27 的倍数，所以被除数的个位上只能是 3 或 6，经试算，被除数是 16，即本 题是 16÷37=0. 3 ，据此即可解答问题． 【解答】解：根据题干分析可得：26．图中有 11 条直线．请将 1 至 11 这 11 个数分别填在 11 个圆圈里，使每一条直线上所有 数的和相等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．【分析】 如下图， 在每个圆圈内标上字母， 带有*的圆圈标为 x， 设每条直线上数字之和为 S， 找出所有的直线的和，利用每一条直线上所有数的和相等，列出等式，再根据字母出现次数 的多少，第 20 页（共 40 页）【解答】解：如上图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为 x， 首先考虑以下四条直线： （h、f、a） ， （i、g、a） ， （x、d、b） ， （j、e、c） ，除了标有 a 的圆 圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有 a 的圆圈出现了两次， 设每条直线上数字之和为 S， 则有： （1+11）×11÷2+a=4S，即 66+a=4S， 再考虑以下五条直线： （h、f、a） ， （i、g、a） ， （j、x、a） ， （e、d、a） ， （c、b、a） ， 同理我们可得到 66+4a=5S；综合两个等式，可得 a 为 6，每条直线上和 S 为 18； 最后考虑含 x 的五条直线： （x、h） ， （x、g、f） ， （j、x、a） ， （x、d、b） ， （i、x、c） ．其中 除了 x 出现了 5 次，e 没有出现，其他数字均只出现了一次， 于是可以得到：66+4xe=5S=90，即 4xe=24，由 e 是 111 间的数且 e≠x 可知 x=7； 即每行相等的和 S 为 18，*所填的数为 7． 答：这个相等的和是 18，标有*的圆圈中所填的数是 7． 27．将 1 至 12 这 12 个自然数填入如图的“灯笼”中，使得四个椭圆和两条竖线上的各数之和 均相等．这个和数最大是多少？请给出一种填法．【分析】方框里的数每个算了 3 次，取最大的 2 个数，和是 （12+11）x3=69 圆圈里的数每个算了 2 次，取次大的 6 个数，和是 （10+9+8+7+6+5）x2=90 总和是 69+90+4+3+2+1=169 169÷6=28…1 余 1 把 4 和 5 对调，使得四个椭圆和两条竖线上的各数之和均等于 28． 【解答】解：方框里的数每个算了 3 次，取最大的 2 个数，和是 （12+11）x3=69 圆圈里的数每个算了 2 次，取次大的 6 个数，和是 （10+9+8+7+6+5）x2=90 总和是 69+90+4+3+2+1=169 169÷6=28…1 余 1 把 4 和 5 对调，使得四个椭圆和两条竖线上的各数之和均等于 28． 根据分析，填法如下：第 21 页（共 40 页）28．在如图的五个圆圈内各填人一个正整数（可以填相同的数） ，使得图中八个三角形的顶 点数字之和互不相同． 满足这个条件的自然数有很多组， 求使得所填五个数之和最小的一组．【分析】五个数的和是最小的一组自然数，1、2、3、4、5，1+2+5=8，1+3+4=8，5 不可以， 取 6，则 1+2+4=7，1+4+3=8，2+4+6=12， 3+4+6=13，1+2+6=9，1+3+6=10，2+3+6=11，1+2+3=6；八个三角形的顶点所标的数的和互 不相同． 【解答】解：因为五个数的和是最小的一组，所以应从最小的自然数开始，即 1、2、3、4、 5，1+2+5=8，1+3+4=8，5 不可以，取 6，则 1+2+4=7，1+4+3=8，2+4+6=12，3+4+6=13， 1+2+6=9，1+3+6=10，2+3+6=11，1+2+3=6 填表如下：29．如图中共有 9 条直线，每条直线上有 3 个圆圈．现将 1 至 9 填人图中的圆圈内，能否找 到满足下列要求之一的填法？如果能，请给出具体填法；如果不能，请说明理由． （1）使得每条直线上 3 个圆圈内所填数之和都相等； （2）使得其中有 8 条直线上 3 个圆圈内所填数之和相等．【分析】 （1）因为每个圆圈中的数都被计算了 3 次，1+2+3+…+9=45，所以每条直线上 3 个 圆圈内所填数之和均是：45×3÷9=15；设三个角上的数分别是 a、b、c， 则其余圆圈中的数如图所示，根据每条直线上 3 个圆圈内所填数之和均是 15，整理，可得 ，解得 a=b=c，不符合题意，因此不能使得每条直线上 3 个圆圈内所填数之和都相 等； （2）使得其中 8 条直线上 3 个圆圈内所填数之和都相等； 【解答】解： （1）因为每个圆圈中的数都被计算了 3 次，1+2+3+…+9=45， 所以每条直线上 3 个圆圈内所填数之和均是：45×3÷9=15；第 22 页（共 40 页）设三个角上的数分别是 a、b、c， 则其余圆圈中的数如图所示， 所以 a+（b+c+2a15）+（a+b+2c15）=15…①； b+（a+c+2b15）+（b+c+2a15）=15…②； c+（a+b+2c15）+（a+c+2b15）=15…③； 由①，可得 4a+2b+3c=45； 由②，可得 3a+4b+2c=45； 由③，可得 2a+3b+4c=45； 整理，可得 ；解得 a=b=c，不符合题意， 因此将 1 至 9 填人图中的圆圈内， 不能使得每条直线上 3 个圆圈内所填数之和都相等；． 30． （1）请将 115 填人图 1 中的 15 个圆圈中，使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于 与其肩膀上两个圆圈内的数之差（大数减小数） ，其中数字 11 已填好． （2）能否将 121 这 21 个自然数分别填入图 2 中的各个圆圈里，使得除了第一行以外，每 个圆圈内韵数都等于其肩膀上两个圆圈内的数之差（大数减小数）？如果能，请给出一种填 法；如果不能，请说明理由．【分析】 （1） 因为一共有 15 个数字， 并且第一行的圆圈的数量最多， 所以 15 必在第一行上； 然后根据“除了第一行外每个圆圈内的数都等于与其肩膀上两个圆圈内的数之差”， 进行试探 即可； （2）21 必在第一行上，然后根据“除了第一行外每个圆圈内的数都等于与其肩膀上两个圆 圈内的数之差”，进行试探即可． 【解答】解：根据分析，填图如下：第 23 页（共 40 页）．第 24 页（共 40 页）参与本试卷答题和审题的老师有：齐敬孝；奋斗；忘忧草；73zzx；dgdyq；zhuyum；TGT； rdhx；chenyr；pyl123（排名不分先后） 菁优网 2016 年 5 月 22 日第 25 页（共 40 页）考点卡片1．小数乘法 【知识点归纳】 小数乘法的意义和整数乘法的意义相同， 就是求几个相同加数的和的就简便运算； 一个数乘 纯小数的意义是，求这个数的十分之几、百分之几、千分之几…是多少． 小数乘法法则：先把被乘数和乘数都看做整数，按照整数的乘法法则进行计算，求出整数乘 法的积， 然后， 再看被乘数和乘数一共有几位小数， 就从积的右边起数出几位， 点上小数点． 如 果小数的末尾出现 0 时，根据小数的基本性质，要把它去掉． 【命题方向】 常考题型： 例 1：40.5×0.56=（ ）×56． A、40.5 B、4.05 C、0.405 D、0.0405 分析：两个小数相乘，其中一个的小数点向左移动几位，要使积不变，则另一个小数的小数 点要向右移动相同的数位． 解：40.5×0.56=0.405×56 故选：C． 点评：此题主要考查在小数乘法中小数点位置的变化与积的变化规律． 例 2：昙花的寿命最少保持能 4 小时，小麦开花的时间是昙花寿命的 0.02 倍，约（ ）左 右． 分析：根据题意，小麦开花的时间是昙花寿命的 0.02 倍，也就是 4 小时的 0.02 倍，可以先 求出小麦开花的时间，再进行估算即可． 解：根据题意可得： 小麦开花的时间是：4×0.02=0.08（小时） ， 0.08 小时=4.8 分钟≈5 分钟． 故选：B． 点评：本题主要考查小数乘法的估算，根据题意求解后，要根据求近似数的方法进行估算， 要注意单位不同时，化成相同的单位． 2．小数除法 【知识点归纳】 小数除法的意义与整数除法的意义相同， 就是已知两个因数的积与其中一个因数， 求另一个 因数的运算． 小数除法的法则与整数除法的法则基本相同，注意两点： ①当除数是整数时，可以直接按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小 数点对齐．如果有余数，就在余数的右边补上 0，再继续除．商的整数部分或小数部分哪一 位不够 1 时，要写上 0，补足位数．如果需要求商的近似值时，要比需要保留的小数位数多 商一位，再按照四舍五入法取近似商．第 26 页（共 40 页）②当除数是小数时，要根据“被除数和除数同时扩大相同的倍数商不变”的规律，先把除数 的小数点去掉，使它变成整数，再看原来的除数有几位小数，被除数的小数点也向右移动相 同的位数．如果位数不够，要添 0 补足，然后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算． 【命题方向】 常考题型： 例 1：0.47÷0.4，商是 1.1，余数是（ ） A、3 B、0.3 C、0.03 分析：根据有余数的除法可知，商×除数+余数=被除数，那么余数=被除数商×除数，代入 数据进行解答即可． 解：根据题意可得： 余数是：0.471.1×0.4=0.470.44=0.03． 故选：C． 点评：被除数=商×除数+余数，同样适用于小数的除法． 例 2：2.5÷100 与 2.5×0.01 的计算结果比较． （ ） A、商较大 B、积较大 C、一样大 分析：根据小数乘除法的计算方法，分别求出商与积，再根据小数大小的比较方法进行解答 即可． 解：2.5÷100=0.025，2.5×0.01=0.025， 所以，2.5÷100=2.5×0.01． 故选：C． 点评：求出各自的商与积，再根据题意解答． 3．数表中的规律 【知识点归纳】【命题方向】 常考题型： 例：如图是一张月历卡，用形如 的长方形去框月历卡里的日期数，每次同时框出 3 个数．框出的 3 个数的和最大是 84 ，一共可以框出 20 种不同的和．分析：框出 3 个数是 27，28，29 时和最大．根据月历卡可知第 2，3，4，5 行每行有 5 种不 同的和，依此即可求解． 解：27+28+29第 27 页（共 40 页）=28×3 =84， 5×4=20（种） ． 故答案为：84，20． 点评：考查了数表中的规律，月历卡中不同的和的情况要一行一行的找，再相加进行解答． 4．填符号组算式 【知识点归纳】 解决方法： 1．试算法． 2．逆推法． 3．分组法． 4．凑数法． 【命题方向】 常考题型： 例 1：算 24 点：用四则运算符号+、、×、÷，括号及四个数 3、5、7、8 组成算式（每个 数必须用且只能用一次） ，最后得数为 24，算式是 5×738 ． 分析：因为 5×7=35，353=32，328=24；由此解答即可． 解：5×738 =3538 =24 故答案为：5×738． 点评：此题考查对运算符号的熟练运用，有一定的技巧性，关键是把 24 如何拆成含那四个 数的四则混合运算． 例 2：将 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这十个数字中，选出六个填在下面方框中，使算 式成立，一个方框填一个数字，各个方框数字不相同．□+□□=□□□则算式中的三位数最大是 105 ． 分析：由题意得：和的前两位是 1 和 0，两位数的十位是 9，因此加数的个位最大是 7 和 8； 此题可解． 解：97+8=105 或 98+7=105； 故答案为：105． 点评：解答此题应根据数的特点，进行分析，进而得出结论；也可以用列举法，进行列举． 【解题方法点拨】 根据题目给定的条件和要求添运算符号和括号，没有固定的法则．解决这类问题，一般的方 法有试验法、凑整法、逆推法．如果题中的数字较简单，可以采用试验的方法，找到答案， 如果题中结果较大，可以把数字先分组，然后每组试验． 凑整法常用于题中数字较多、结果较复杂的时候．这时要先凑出一个与结果较接近的数，然 后再对算式中算式的数字做适当的安排，即增加或减少，使等式成立． 5．横式数字谜 【知识点归纳】第 28 页（共 40 页）1．横式数字谜问题是指算式是横式形式，并且只给出了部分运算符号和数字，有些数字或 运算符号“残缺”，只要我们根据运算法则，进行判断、推理，从而把“残缺”的算式补充完整． 2．解题步骤： 第一步，要仔细审题； 第二步，选择突破口； 第三步，试验求解． 【命题方向】 常考题型： 例 1：在下面的乘法算式中“骐骐×骥骥=奇奇迹迹”，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉 字代表相同的数字，汉字“奇迹”表示的数是？（ ） A、38 B、83 C、64 D、54 分析： 个位和十位相同的两个相同的两位数相乘的积是四位数， 并且四位数的前两位数字和 后两位数字分别相同，所以应该是 44×77=3388，由此得出汉字“奇迹”表示的数． 解：因为 44×77=3388， 所以汉字“奇迹”表示的数是 38； 故选：A． 点评：解答此题的关键是根据给出的乘法算式的特点，利用慢慢的尝试的方法求出汉字“奇 迹”表示的数． 例 2：算式：8÷好少年=1÷新世纪，当中新、世、纪、好、少、年六个汉子分别代表 1、2、 3、4、5、6、7、8、9 中的六个不同的数字，这个算式是 8÷984=1÷123 ． 分析：根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，得 1×好少年=8×新世纪，即好少 年=8×新世纪，即 8 与一个三位数的积还是一个三位数，据此可知，与 8 相乘的三位数的最 高位上的数字只能是 1；且 8 与十位上的数字相乘的进位不能超过 2，只能是 1，又每个汉 字代表不同的数字，所以十位上的数字只能是 2；因为 8 与十位上的数字相乘的进位不能超 过 2，故个位数字与 8 相乘的进位只能小于 4，故个位数字可能是 4、3；当个位数字是 4 时， 124×8=992，即好少年是 992，与每个汉字代表不同的数字不符，故个位数字只能是 3．好 少年是 984． 解：8÷好少年=1÷新世纪，所以 1×好少年=8×新世纪，即好少年=8×新世纪，即 8 与一个三位 数的积还是一个三位数，据此可知，与 8 相乘的三位数的最高位上的数字只能是 1；且 8 与 十位上的数字相乘的进位不能超过 2，只能是 1，又每个汉字代表不同的数字，所以十位上 的数字只能是 2；因为 8 与十位上的数字相乘的进位不能超过 2，故个位数字与 8 相乘的进 位只能小于 4，故个位数字可能是 4、3；当个位数字是 4 时，124×8=992，即好少年是 992， 与每个汉字代表不同的数字不符，故个位数字只能是 3．好少年是 984．新世纪是 123． 算式是：8÷984=1÷123． 故答案为：8÷984=1÷123． 点评： 本题考查比例的基本性质， 以及对两数相乘各个数位上的数字的特点的情况的分析和 应用． 【解题方法点拨】 解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则： （1）一个加数+另一个加数=和； （2）被减数减数=差；第 29 页（共 40 页）（3）被乘数×乘数=积； （4）被除数÷除数=商． 6．竖式数字谜 【知识点归纳】 【命题方向】 常考题型： 例 1：在□里填上合适的数．分析： （1）三个数相加，先从个位计算，可推知：3+7+4=14，向十位进 1，9+1+5+9=24， 向百位进 2，2+2+2+4=10，再向千位进 1，3+1+1=5，进而得出：493+44； （2）由 5×□+3=2□，可推知商可以是 4 或 5，即：4×5+3=23，5×5+3=28；也就是有两种填 法，由此得解． 解： （1）有以上分析得如下算式：（2）有两种填法如下：点评：解答此类型的题目，要学会运用倒退的方法，一步步倒退出结果． 经典题型： 例 2：如图乘法竖式中 P、Q 及 R 分别代表不同的数字．则 P、Q 及 R 的和等于 （）A、16 B、14 C、13 D、12 分析：在解答本体时，可以知道一个三位数乘以 3 以后还是一个三位数，所以确定 P 的数 值最大为 3；所以可以分情况讨论，确定 P，Q，R 的数值． 解：由题意知道，一个三位数乘以 3 以后还是一个三位数， P 的数值最大为 3． 当 P=1 时，可得 Q 的数值≥1×3=3，第 30 页（共 40 页）当 Q=3 时，R=1，结果不合题意；当 Q=4 时，R=8，其结果为：可以验证其它情况不成立； 当 P=2 时，Q 的数值≥2×3=6，所以 Q 可取 7，8，9， 经验证均不成立； 当 P=3 时，可得 Q 的数值只能为 3×3=9， 那么 R=3，P 与 R 重合，不合题意； 综合以上，P，Q，R 的和为：1+4+8=13， 故选：C． 点评：根据题意，再根据乘法与加法的计算法则，利用排除和假设逐步解决出来． 【解题方法点拨】 1．总体思路：解竖式谜旧的根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的位数、数的整除 性、奇偶性、尾数规律等）来进行正确地推理、判断 2．解答竖式数字谜是应注意的问题： （1）空格中只能填写 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，而且最高位不能为 0； （2）进位要留意，不能漏掉 （3）答案有时候不唯一 （4）两数字相加，最大进位为 1，三个数字相加最大进位为 2， （5）两个数字相乘，最大进位为 8 （6）相同的字母（汉字或符号）代表相同的数字，不同的字母（汉字或符号）代表不同的 数字 （7）一个问题，读取整数型，并计算所有各位上数字的总和，直到该和降至一位数． 例如：数字是 1256 sum=1+2+5+6=14； sum=1+4=5． 7．凑数谜 【知识点归纳】【命题方向】 经典题型： 例 1：将 11 至 17 这七个数字，填入图中的○内，使每条线上的三个数的和相等． 分析：使每条线上的三个数的和相等，假设中间的数是 a，每条线上的三个数的和为 k，则 有 11+12+13+14+15+16+17+2a=3k， 28×3+14+2a=3k， 要使 k 为整数， 则 a 应为 14， k=28+14=42． 解：如下图：第 31 页（共 40 页）点评：此题考查了凑数谜．根据已知，列出含两个未知数的等式，逐个实验，得出结论．这 就是凑数迷的具体方法． 例 2：请将 1、2、3、4、5、6、8、9、10、12 这 10 个数填入右图圆圈中，每个数用一次， 使得每条线上 4 个数的和都相等． 分析：根据题意，右图有 5 条线段，每条线的 4 个数加起来，正好每个数加了 2 次，那么也 就是 1、 2、 3、 4、 5、 6、 8、 9、 10、 12 这 10 个数分别加了 2 次， 即 （1+2+3+4+5+6+8+9+10+12） ×2=120，每条线段的四个数的和是 120÷5=24；然后再进一步解答即可． 解：每条线上的和是： （1+2+3+4+5+6+8+9+10+12）×2÷5=24； 假设，5 个顶点数是较小的，即 1，2，3，4，5； 又因为 1+3+8+12=24，1+4+9+10=24；那么 5 个顶点，1 与 3 在一条线上，1 与 4 在一条线 上；那么 2 与 5 在一条线上； 因为每条线上的和是 24，是一个偶数，根据奇数+奇数=偶数，也就是每条线上要么有 2 个 奇数，要么没有奇数；那么 3 与 5 一条线上，2 与 4 在一条线上； 可以确定 5 个顶点的数是：； 还有一个奇数 9，只能在 1、4 与 2、5 相交的点上，即：； 又因为 1+9+4+10=24，5+9+2+8=24；那么 1、9、4 线上最后一个圆圈填 10；5、9、2 线上 最后一个圆圈填 8，即：第 32 页（共 40 页）； 又因为 1+8+3+12=24；确定 1、8、3 线上最后一个圆圈填 12；5+10+3+6=24，确定 5、10、 3 线上最后一个圆圈填 6；即：． 点评：本题的关键是求出每条线上的 4 个数的和是多少，然后再进一步推算即可． 【解题方法点拨】8．幻方 【知识点归纳】 1．幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法． 2．分类： 完全幻方 完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等． 乘幻方 乘幻方指一个幻方行列、对角线各数乘积相等． n 阶幻方与高阶幻方第 33 页（共 40 页）n 阶幻方是由前 n （n 的 2 次方）个自然数组成的一个 n 阶方阵，其各行、各列及两条对角 线所含的 n 个数的和相等． 反幻方 反幻方的定义：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及 对角线的几个数之和不相等，具有这种性质的图表，称为“反幻方”． 【命题方向】 经典题型： 例 1：将 1 至 8 这 8 个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的○内，并使每个面上的 四个○内的数字之和都相等． 分析：将每个面上的和全都加起来，就相当于每个点上的数都加了 3 次，总和为： 3×（1+2+…+8） ，而共有 6 个面，则每个面上的和为 =18，即每个面上2的和为 18，于是我们可以将这 8 个数字放到相应位置，满足每个面的和等于 18． 解：如图所示：点评：解答此题的关键是找出所填的 8 个数字必须满足每个面的和等于 18． 【解题方法点拨】9．数字问题 【知识点归纳】 1．数字问题的主要题型： 数字问题是研究有关数字的特殊结构、 特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题， 相对 来说，难度较大．通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少． 2．核心知识 （1）数字的拆分 是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、 因式分解、同余理论等． （2）数字的排列与位数关系 解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列 方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解． 【命题方向】 常考题型：第 34 页（共 40 页）例 1：在 1 到 400 的整数中，至少能被 3 和 5 中的一个数整除的数有（ ）个 5． A、213 B、187 C、133 D、80 分析：先求出 400 里面有几个 3，就是 1400 中有多少个数能被 3 整除，再求出 400 里面 有几个 5，就是 1400 中有多少个数能被 5 整除；能同时倍 3 和 5 整除的数是 15 的倍数； 求出 400 里面有多少个 15，就是能同时被 3 和 5 整除的数，然后用 3 的倍数的个数加上 5 的倍数的个数然后减去 15 的倍数的个数即可． 解：1 到 400 中能被 3 整除有：400÷3≈133（个） ； 1 到 400 中能被 5 整除有：400÷5=80（个） ； 1 到 400 中既能被 3 也能被 5 整除有：400÷（3×5）≈26（个） ； 在 1 到 400 的整数中，至少能被 3 和 5 中的一个数整除的数：133+（个） ； 故选：B． 点评：本题要注意能同时被 3 和 5 整除的数，是重复计算的数字． 例 2：自然数 1，41014 …有一个共同特征：它们倒过来写还是原来的数，那么 具有这种“特征”的五位偶数有 400 个． 分析：倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数万位和个位有 2，4，6，8 这 4 种选择；千位和十位有 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 种选择；百位有 0，1，2，3， 4，5，6，7，8，9 这 10 种选择．可以组成倒过来写还是原来的数具有这种“特征”的五位偶 数则有 4×10×10=400 个． 解：根据分析，倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数有 4×10×10=400 个． 答：具有这种“特征”的五位偶数有 400 个． 故答案为：400． 点评：根据这种数的特征，分析各对称数位会出现的数字可能，把出现可能的种数相乘即可 得这种特征数的个数． 10．数的整除特征 【知识点归纳】 整除是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数 a 除以自然数 b，商是整数且余数为 0， 我们就说 a 能被 b 整除，或 b 能整除 a，或 b 整除 a，记作 b 丨 a．此时，b 是 a 的一个因数 （约数） ，a 是 b 的倍数 数的整除特征 （1）能被 2 整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被 2 整除． （2）能被 5 整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 0 或 5，那么它必能被 5 整除． （3）能被 3（或 9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被 3（或 9）整除， 那么它必能被 3（或 9）整除． （4）能被 4（或 25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被 4（或 25）整除，那 么它必能被 4（或 25）整除． （5）能被 8（或 125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被 8（或 125）整除， 那么它必能被 8（或 125）整除． （6）能被 11 整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大 减小）能被 11 整除，那么它必能被 11 整除． 【命题方向】 经典题型：第 35 页（共 40 页）例 1：下列 4 个数都是六位数，A 是大于 0 小于 10 的自然数，B 是 0，一定能同时被 2、3、 5 整除的数是（ ） A、AAABAA B、ABABAB C、ABBABB D、 ABBABA 分析： 这个六数个位上的数字是 0， 能被 2 和 5 整除， 不管 A 是比 10 小的哪个自然数， A+A+A 的和一定是 3 的倍数，所以 ABABAB 一定能被 3 整除 解：B=0， ABABAB 能被 2 和 5 整除， A+A+A 的和一定是 3 的倍数， ABABAB 也一定能被 3 整除， 故选：B． 点评：此题主要考查能被 2、3、5 整除的数的特征：一个数个位上是 0 或 5，这个数就能被 5 整除；个位是 0、2、4、6、8 的数能倍 2 整除；一个数各数位上的数字之和是 3 的倍数， 这个数就能被 3 整除． 常考题型： 例 2：有一个四位数 3AA1 能被 9 整除，A 是 7 ． 分析：已知四位数 3AA1 能被 9 整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是 9 的倍数然后 再根据题意进一步解答即可．因为 A 是一个数字，只能是 0、1、2、3、…、9 中的某一个整 数，最大值只能是 9．若 A=9，那么 3+A+A+1=22，22＜27，所以 3AA1 的各位数字和只能 是 9 的 1 倍或 2 倍，即 9 或 18． 解：根据题意可得： 四位数 3AA1，它能被 9 整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是 9 的倍数； 因为 A 是一个数字，只能是 0、1、2、3、…、9 中的某一个整数，最大值只能是 9；若 A=9， 那么 3+A+A+1=3+9+9+1=22，22＜27，所以，3AA1 的各位数字和只能是 9 的 1 倍或 2 倍， 即 9 或 18； 当 3+A+A+1=9 时，A=2.5，不合题意； 当 3+A+A+1=18 时，A=7，符合题意； 所以，A 代表 7，这个四位数是 3771． 答：A 是 7， 故答案为：7． 点评：本题主要考查能被 9 整除数的特征，即一个数能被 9 整除，那么这个数的数字和一定 是 9 的倍数，然后在进一步解答即可． 11．数字和问题 【知识点归纳】 题型：给出一个多位数的各位的数字之和，然后以一定的方式改变数字的位置，再次得到一 个数．告诉新得到的数字和原来的数字之差或者之和，求算原来的数字． 【命题方向】 常考题型： 例 1：5 个连续自然数的和是 315，那么紧接在这 5 个自然数后面的 5 个连续自然数的和是 （ ） A、360 B、340 C、350 D、无法求出第 36 页（共 40 页）分析：根据“5 个连续自然数的和是 315”，先求出这 5 个连续自然数，那么紧接在这 5 个自 然数后面的 5 个连续自然数也就出来了，求和即可． 解：5 个连续自然数的和是 315，那么中间的数是 315÷5=63，这 5 个连续的数是 61、62、 63、64、65； 紧接在这 5 个自然数后面的 5 个连续自然数分别是 66、67、68、69、70，和为： 66+67+68+69+70=340． 故选：B． 点评：此题考查学生对连续自然数的求法，对于此类问题一般应先求出中间数． 经典题型： 例 2：将 100 个苹果分给 10 个小朋友，每个小朋友的苹果个数互不相同．分得苹果个数最 多的小朋友，至少得到几个苹果？ 分析：本题可更理解为把 100 最多能分解为多少个不同加数的和，就先找到 10 个小朋友平 均每人分几个 100÷10=10 个，因为 10 是偶数，所以中间两个是 9 和 11，故 100=5+6+7+8+9+11+12+13+14+15，共有 10 个加数，每个小朋友的苹果个数互不相同，所 以分得苹果个数最多的小朋友，至少得到 15 个苹果． 解：100=5+6+7+8+9+11+12+13+14+15， 因为共有 10 个不同的加数． 所以分得苹果个数最多的小朋友，至少得到 15 个苹果． 答：分得苹果个数最多的小朋友，至少得到 15 个苹果． 点评：完成本题要注意抓住“苹果个数互不相同”就可以看作是几个不同加数的和，来进行分 析解答． 【解题方法点拨】 解决方法：使用一元一次方程的方法，将整数拆成 1，10，100 的关于未知数的和．然后进 行相减或者相加，即可解出未知数 x． 12．不定方程的分析求解 【知识点归纳】 1．不定方程的定义：不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制 （如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组． 2．一般是求解一次不定方程：关于 ax+by=c 的不定方程， （a，b）为 a，b 的最大公约数， 如果有整数特解（x0，y0） ，则该方程所有整数解为：x=x0kb÷（a，b） ，y=y0+ka÷（a，b） ， k 为整数． 例如：37x+107y=25 的一组整数特解为（8，3） ， （37，107）=1 则其所有整数解：x=8107k y=3+37k． 【命题方向】 经典题型： 例 1： 某电视台在黄金时段的 2 分钟广告时间内， 计划播长度为 15 秒和 30 秒的两种广告． 15 秒的广告每播一次收费 0.6 万元， 30 秒的广告每播一次收费 1 万元． 若要求每种广告播放不 少于两次，则电视台在播放时收益最大的播放方式是（ ） A、15 秒的广告播放 4 次，30 秒的广告播放 2 次第 37 页（共 40 页）B、15 秒的广告播放 2 次，30 秒的广告播放 4 次 C、15 秒的广告播放 2 次，30 秒的广告播放 3 次 D、15 秒的广告播放 3 次，30 秒的广告播放 2 次 分析：本题中的等量关系：15 秒×次数+30×次数=2×60，根据这个等量关系列出方程，然后 再根据“要求每种广告播放不少于 2 次，则电视台在播放时收益最大”这个要求分析解的情 况． 解：设 15 秒的广告播 x 次，30 秒的广告播 y 次． 则 15x+30y=120， 因为每种广告播放不少于 2 次， 所以 x=2，y=3，或 x=4，y=2； 当 x=2，y=3 时， 收益为：2×0.6+3×1=4.2（万元） ； 当 x=4，y=2 时， 收益为 4×0.6+1×2=4.4（万元） ， 所以电视台在播放时收益最大的播放方式是： 15 秒的广告播放 4 次， 30 秒的广告播放 2 次． 故选：A． 点评：解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，合理分析得出结论． 例 2：有 19 人到旅馆住宿，住 3 人间和 2 人间（每个房间不能有空床位） ，有多少种不同的 安排？ 3 人间/间 2 人间/间 答：一共有 3 种不同的安排． 分析：此题可以设有 x 间 3 人房间，y 间 2 人房间，根据总人数 19 人即可列出含有 x、y 的 二元一次方程，解得这个方程的整数解即可解决问题． 解：设有 x 间 3 人房间，y 间 2 人房间，根据题意可得方程： 3x+2y=19， 方程可以变形为：y= ，因为 x、y 是整数，那么要保证 y 的值是整数，193x 的值必须是偶数， 这里 x 的取值只能取奇数，因为奇数×奇数=奇数，且奇数奇数=偶数，这样 193x 才能 被 2 整除； 当 x=1 时，y=8； 当 x=3 时，y=5； 当 x=5 时，y=2， 答：综上所述，19 人到旅馆住宿，住 3 人间和 2 人间（每个房间不能有空床位） ，有 3 种不 同的安排． 故答案为：3． 点评： 此题考查了利用不定方程的整数解解决实际问题的方法的灵活应用， 这里要注意解方 程时，要考虑 x 的取值情况，这是求不定方程的整数解常用的解题方法． 13．分数的拆项 【知识点归纳】第 38 页（共 40 页）（1）分母为两个相邻自然数时：=
或 =（ + ）（2）分母为两个不相邻自然数时（差为 a） ： × ．【命题方向】 经典题型： 例 1： = ．【分析】根据平方差公式：原式= 括号里的数从第二个数开始进行计算，即可将括号中间的数消掉，再计算即可． 解： ，，再将= = = = ． ． ， ，，故答案为：【点评】解决本题的关键是利用平方差公式将分数分解再利用简便运算计算． 14．最大与最小 【知识点归纳】 研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，我们称为最大和最小问 题． 在日常生活、科学研究和生产实践中，存在大量的最大与最小问题．如，把一些物资从一个 地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短，运费最省；一项（或多项）工作，如何 安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题．这里贯穿了一种统筹的 数学思想最优化原则．概括起来就是：要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，争取 获得在可能范围内的最佳效果．这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用． 【命题方向】 常考题型： 例 1：用一块长 12 米、宽 8 米的长方形铁皮剪成半径是 1.5 米的小圆（不能剪拼） ，至多能 做（ ）个．第 39 页（共 40 页）A、11 B、 8 C、10 D、13 【分析】因为从边长是 3 米的正方形里最大可以剪出半径是 1.5 米的圆，剪出半径为 1.5 米 的圆， 就相当于要剪边长是 3 米的正方形． 分别求出长方形的长和宽各自能放几个这样的正 方形，就可以求出至多能做多少个圆了． 解：8÷（1.5×2）=2（个）…2（米） ； 12÷（1.5×2）=4（个） ； 4×2=8（个） ； 故选：B． 【点评】注意：因为不能剪拼，所以本题不能用面积来计算．第 40 页（共 40 页）
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