测量平差基础_甜梦文库
测量平差基础
误差理论与测量平差Surveying Adjustment误差理论与测量平差第一章 绪论第二章 精度指标与误差传播第三章 平差最小二乘模型与最小二乘原理 第四章 条件平差 第五章 间接平差 第六章 附有参数的条件平差第七章 附有限制条件的间接平差第八章 概括平差函数模型 第九章 误差椭圆退出测绘工程专业主干课：专业基础主要课程： 测量学（5）、测量平差基础（5）、 控制测量学（5）、摄影测量学（4）、 测绘数据计算机处理（3）专业课： GPS（4）、GIS（3）、工程测量（4）、 数字制图（3）、近代平差（2）等测绘科学与技术数学?大地测量与测量工程 摄影测量与遥感政治 英语 测量平差? ?地图制图与地理信息系统工程课程安排前修课程：高数、几何与代数、概率与 数理统计 ? 课程分两个学期进行： 第二学年上学期：3学分 第三学年下学期：2学分 ? 后续课程：测绘数据的计算机处理、控 制测量、近代平差?教学方式与内容讲授为主，例题、习题相结合。 ? 内容：本学期主要讲前五章的内容。 ? 参考书目： 测量平差原理，於宗俦等，测绘出版社 误差理论与测量数据处理，测量平差教 研室，测绘出版社。?第一章 绪论第一节 观测误差第二节 补充知识停止返回第一章 绪论第一节：概述 1、测量平差的研究对象――误差 任何量测不可避免地含有误差?闭合、附合水准路线 ?闭合、附合导线?距离测量?角度测量………..停止返回误差：测量值与真值之差?由于误差的存在，使测量数据之间产生 矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛 盾，或者说是将误差分配掉，因此称为 平差。 ?(? ? ? ? ? )实际 ? 180? (? ? ? ? ? ) 理论 ? 180?停止 返回??产生误差的原因测量仪器：i角误差、2c误差 ? 观测者：人的分辨力限制 ? 外界条件：温度、气压、大气折光等?三者综合起来为观测条件停止返回误差的分类? 系统误差：在相同的观测条件下进行的一 系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系 统性，或者按一定的规律变化，这种误差称为 系统误差。系统误差的存在必然影响观测结果。削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附 加参数停止返回误差的分类? 偶然误差/随机误差：在相同的观测条件 下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号 上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何 规律，但从大量误差上看有一定的统计规律， 这种误差称为偶然误差。不可避免，测量平差研究的内容? 粗差：错误停止返回测量平差的任务：?对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符 值，求未知量的最可靠值。?评定测量成果的质量停止返回测量平差产生的历史?最小二乘法产生的背景18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未 知数的最佳估值？?最小二乘的产生1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘1806年，A.M. Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。《决定彗星轨道的 新方法》 1809年， C.F.GUASS，《天体运动的理论》停止返回测量平差产生的历史?最小二乘法原理的两次证明 ?形成测量平差的最基本模型1912年，A.A.Markov， 对最小二乘原理进行证明，形 成数学模型： L ? AX ? ?n 2 2 ?1 ? ? Q ? ? ? 0 0Pn ??? ? E (?) ? lim ? 0, E ( L) ? AX最小二乘解： X ? ( AT PA) ?1 AT PL??测量平差理论的扩展停止 返回补充知识一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵（1）由 m ? n 个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵 通常用一个大写字母表示，如：? a11 a12 ?a a22 21 ? A ? m ?n ?? ? ? ?am1 am 2 ? a1n ? ? a2 n ? ? ? ?? ? ? amn ?停止返回(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22……ann 称为对角元素。(3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。 (4)对于 n ? n 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对 角矩阵。如：?a11 0 ?0 a 22 A ?? m?n ?? ? ? 0 ?0 0 ? 0 ? ? ? diag (a11 ? ?? ? ? amn ? ? ?a22? ann )(5)对于 对角阵，若a11=a22=……=ann =1，称为单位阵，一般用E、 I表示。停止 返回（6）若aij=aji，则称A为对称矩阵。停止返回矩阵的基本运算：（1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则： A?B（2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、 B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换 性与可结合性。 （3）设A为m*s的矩阵，B为s*n的矩阵,则A、B相乘才有意 义，C=AB，C的阶数为m*n。OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）停止 返回二、矩阵的转置?对于任意矩阵Cmn:? c11 c12 ?c c22 21 ? C ? m ?n ?? ? ? ?cm1 cm 2? c1n ? ? c2 n ? ? ? ?? ? ? cmn ?将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。 用：? c11 c21 ?c c22 12 T ? C ? n ?m ?? ? ? ?c1n c2 n ? cn1 ? ? cn 2 ? ? ? ?? ? ? cnm ?停止返回矩阵转置的性质：(1)C ? D , 则：D ? CT T(2)( A ) ? AT T(3)( A ? B) ? A ? BT TT(4)( kA)T ? kAT (5)( AB)T ? BT AT（6）若AT ? A 则A为对称矩阵。停止 返回三、矩阵的逆?给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶 方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的 逆矩阵。记为：B?A?1?A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的 行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否 则为奇异矩阵停止 返回矩阵的逆的性质 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 (1)( AB) ? B A (2)( A ) ? A ?1 T ?1 ?1 T (3)( I ) ? I (4)( A ) ? ( A ) (5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。(6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且： A ? (diag (a11, a22 ,? ann )) 1 1 1 ? diag ( , ? ) a11 a22 ann?1 ?1停止返回矩阵求逆方法：（1）伴随矩阵法： 设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式， 则由n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴 随矩阵的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。? A11 ?A A* ? ? 12 ?? ? ? A1n A21 ? An1 ? A22 ? An 2 ? ?, ? ? ?? ? A2 n ? Ann ??1A?1 ?1 * A A?3 1 1? ? 8 ? 1 ? 2? ?1 4 2? ? 1 ? ? 1 8 ? 5? ? ? ? 21 ? ? ? ?1 2 3? ? ?? 2 ? 5 11 ? ?停止返回矩阵求逆方法（2）初等变换法： 经初等变换：? a11 a12 ?a a A ? ? 21 22 n ?n ?? ? ? ? a n1 a n 2 ? a11 a12 ?a a ? 21 22 ?? ? ? ? a n1 a n 2? a1n ? ? a2 n ? ? ? ?? ? ? ann ? 0 ?0? ? a2 n ? 0 1 ? 0 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ann ? 0 0 ? 1 ? ? a1n ? 1 b1n ? b2 n ? ? ?? ? bnn ?则：? b11 b12 ?b b A?1 ? ? 21 22 n ?n ?? ? ? ?bn1 bn 2? ? ? ?? 1 0 ? 0 ? b11 b12 ? ? 0 1 ? 0 ?b b22 ? 21 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? b1n ? ? 0 0 ? 1 ? bn1 bn 2 ? b2 n ? ? ?? ? bnn ? 停止返回概率与数理统计内容随机变量 ? 误差分布曲线 ? 概率密度曲线 ? 数学期望 ? 方差?停止返回第一节 概述 第二节 偶然误差的规律性 第三节 衡量精度的指标 第四节 协方差传播律 第五节 协方差传播律在测量上的应用第六节 协方差传播律第七节 权与定权的常用方法第八节 协因数与协因数传播律停止 返回第一节 概述 第二节 偶然误差的规律性一、几个概念 真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大 ~ L 小的数值，一般用 表示。 观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示 。 真误差：观测值与真值之差， 一般用?i= L-Li 表 示。停止 返回~观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、 L2……Ln可表示为：? L1 ? ?L ? 2? ? L? n ,1 ??? ? ? ? Ln ??~ ? L 1 ?~ ? ~ ? L2 ? L?? ? n ,1 ? ~? ? ? ? L n ? ?? ? ? L1 ? L 1 ?~ ? ? ? ? L 2 ? ? L2 ? ? ? ? ?? n ,1 ??? ? ?~ ? ? ? Ln ? ? ? ? L n ? ?~停止返回二、偶然误差的特性?停止返回例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角 形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算 各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。―△ 个数K 45 频率K/n 0.126 (K/n)/d△ 0.630 个数K 46 +△ 频率K/n 0.128 (K/n)/d△ 0.640误差 区间0.00~0.200.20~0.400.40~0.60 0.60~0.804033 230.1120.092 0.0640.5600.460 0.3204133 210.1150.092 0.0590.5750.460 0.2950.80~1.001.00~1.20 1.20~1.401713 60.0470.036 0.0170.2350.180 0.0851613 50.0450.036 0.0140.2250.180 0.0701.40~1.60&1.6040 1810.0110 0.5050.055020 1770.0060 0.4950.0300和?例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角 形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算 各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差 区间 ―△ 个数K 40 34 31 25 20 16 …… 1 0 210 频率K/n 0.095 0.081 0.074 0.059 0.048 0.038 …… 0.002 0 0.499(K/n)/d△+△ 个数K 46 41 33 21 16 13 …… 2 0 211 频率K/n 0.088 0.085 0.069 0.064 0.043 0.040 …… 0.005 0 0.501 (K/n)/d△ 0.440 0.425 0.345 0.320 0.215 0.200 …… 0.0025 00.00~0.20 0.20~0.40 0.40~0.60 0.60~0.80 0.80~1.00 1.00~1.200.475 0.405 0.370 0.295 0.240 0.190 ……. 0.010 0……2.40~2.60 &2.60和停止返回用直方图表示:(K/n)/d△面积= [(K/n)/d△]* d△= K/n概率密度函数曲线-0.8-0.6-0.400.40.60.8闭合差所有面积之和=k1/n+k2/n+…..=1停止返回频数/d?0.630频数/d?0.475-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8闭合差-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8闭合差提示：观测值定了其 分布也就确定了，因 此一组观测值对应相 同的分布。不同的观 测序列，分布不同。 但其极限分布均是正 态分布。频数/d?1 f (?) ? e 2? ??2 ? 2 2?-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8闭合差停止返回偶然误差的特性：1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝 对值不会超过一定的界限； 2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现 的次数多； 3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等； 4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近 于零， n ? ?i [?] i=1 Lim 即Lim―― n =0 n = n?? ―― n??停止 返回第三节 衡量精度的指标精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值 精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就 不同。提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然 误差各不相同。频数/d?频数/d?-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8闭合差-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8闭合差 频数/d?可见：左图误差分布曲线较高且陡峭，精度高 右图误差分布曲线较低 且平缓，精度低-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8闭合差停止返回第三节 衡量精度的指标一、方差/中误差 方差：2 ??f(?)? ?2 1 f (?) ? e 2? 2? ?2[??] ? ? lim ? D(?) ? E (?2 ) n ?? n ? ? ?2 f (?)d???2中误差：[??] ? ? ? ? ? lim n ?? n面积为1? ? 2? ? 1? 越小，误差曲 提示： 线越陡峭，误差分布 越密集，精度越高。 相反，精度越低。-0.8 -0.6 -0.40 0.40.60.8?1 ? 2闭合差停止返回方差的估值：[??] ? ? n?2[??] ? ?? n?二、平均误差在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数 学期望。? ? E( ? ) ? ? ?????? ?? f (?)d? ? limn ??n与中误差的关系：4 ?? ? 5???[?] n停止 返回f(?)三、或然误差p( ? ? ? ? ? ? ? ) ? 50%2 ?? ? 3? ? 1? ?50%0? ?1闭合差停止返回四、极限误差?限 ? 2?或3?四、相对误差? p( ?? ? ? ? ?? ) ? 68.3% ? ? p( ?2? ? ? ? ?2? ) ? 95.5% ? p( ?3? ? ? ? ?3? ) ? 99.7% ?中误差与观测值之比，一般用1/M表示。第四节一、协方差协方差传播律对于变量X，Y，其协方差为：? XY ? E[( X ? E ( X ))(Y ? E (Y ))]? YX ? E[(Y ? E (Y ))( X ? E ( X ))]? XY ? ? YX停止 返回? xy ? lim[? x ? y ] nn ??? ? yx? xy ??[? x ? y ] n? YX ? ? XY ? 0? YX ? ? XY ? 0表示X、Y间互不相关，对于正态分布 而言，相互独立。表示X、Y间相关对于向量X=[X1，X2，……Xn]T，将其元素间的 方差、协方差阵表示为： x1 x2 ? xnx1 ? 12 ? 12 ? ? 1n 2 x2 ? 21 ? 2 ? ? 2n ? ? ? ? 2 xn ? n 1 ? n 2 ? ? n矩阵表示为：DXX?? 12 ? 12 ? ? 1n ? ? ? 2 ? 21 ? 2 ? ? 2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? n1 ? n 2 ? ? n ?方差协方差阵停止返回DXX ? E[( X ? E ( X ))( X ? E ( X ))T ]?? 12 ? 12 ? ? 1n ? ? ? 2 ? 21 ? 2 ? ? 2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? n1 ? n 2 ? ? n ?DXX特点：I 对称II 正定III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 对角元 相等时，为等精度观测。若：? X n?1 ? Z ( n ? r )?1 ? ? ? ? Yr?1 ? ? DXX ?? ? DYX DXY ? ? DYY ?T T YXDZZDXY ? E (( X ? E ( X ))(Y ? E (Y )) ) ? D若DXY=0，则X、Y表示为相互独立的观测量。二、观测值线性函数的方差已知： X那么：n ,1? [ X 1 , X 2 ,... X n ] , DXX , Z ? K X ? K 0T 1,1 1, n n ,1DZZ ? KDXX Kn ,1T证明：设： X ? [ X 1 , X 2 ,... X n ]T , E ( X ) ? ??1 , ? 2 ,...? n ? ? ? XDXX ? E ( X ? ? X )( X ? ? X )那么：DZZ? ? E?(Z ? ?T?停止 返回Z)( Z ? ? Z )T?DZZ ? E ( Z ? ? Z )( Z ? ? Z )X? ? ? E ?( KX ? K? )( KX ? K? ) ? ? E ?K ( X ? ? )( X ? ? ) K ? ? KE?( X ? ? )( X ? ? ) ?KT T X T T X X T T X X? KDXX KT停止返回例1: 设 y1 ? 2 x1 ? x2 y2 ? ? x1 ? 3x2 ，已知 2 求 F ? y ? y 的方差 ? F 。1 2D XX?3 1 ? ?? ?， 1 4 ? ?例2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已 知每公里观测中误差等于±5.0mm,欲使平差后 线路中点高程中误差不大于±10mm,问该路线长 度最多可达几公里?停止返回二、多个观测值线性函数的协方差阵已知： X ? [ X 1, X 2 ,... X n ]T , DXX ,n ,1Z1 ? k11 X 1 ? k12 X 2 ? ? k1n X n ? k10 Z 2 ? k21 X 1 ? k22 X 2 ? ? k2 n X n ? k20 ??????????????? Z t ? kt1 X 1 ? kt 2 X 2 ? ? ktn X n ? kt 0Z ? K X ? K0t ,1 t ,n n ,1 t ,1DZZ ? KDXX KY ? F X ? F0r ,1 r ,n n ,1 r ,1TDZF ? KDXX F ? ( DFZ )TT停止 返回例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三 个内角L1、L2、L3，其中误差为?，将闭合差平 均分配后各角的协方差阵。例4：设有函数， Z ? F1 X ? F1 Y 已知 DXXt ,1 t , n n ,1 t , r r ,1DYYDXY求 DZZDZXDZY停止返回四 、非线性函数的情况设有观测值X的非线性函数：Z ? f ( X ) ? f ( X 1 , X 2 ,? X n )已知：X ? [ X 1 , X 2 ,... X n ]T , DXX 求：DZZ n ,1 X 0 ? [ X 10 , X 20 ,... X n0 ]Tn ,1将Z按台劳级数在X0处展开：0 Z ? f ( X 10 , X 20 ,? X n )??f ?f ?f 0 0 0 ( )0 ( X 1 ? X 1 ) ? ( )0 ( X 2 ? X 2 ) ? ?( )0 ( X n ? X n ) ?X 1 ?X 2 ?X n ? (二次以上项）0 Z ? f ( X 10 , X 20 ,? X n )? n ?f ?f ?f ?f ( )0 X 1 ? ( )0 X 2 ? ?( )0 X n ? ? ( ) 0 X i0 ?X 1 ?X 2 ?X n i ?1 ?X i停止返回?f ?f ?f K ? (k 1 , k 2 ,? k n ) ?（ [ ） , ） （ )0 ] 0（ 0? ?X 1 ?X 2 ?X n?f k0 ? f ( X 1 , X 2 , ? X ) ? ? ( )0 X i0 i ?1 ?X i0 0 0 n nZ ? [k 1 , k 2 ,? kn ] X ? k0 ? KX ? k0n ,1DZZ ? KDXX KT例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知 点无误差，测角中误差为m?，边长中误差ms， 试推导P点的点位中误差。Bmpmu ms?AsP停止返回协方差传播应用步骤:根据实际情况确定观测值与函数,写出具 体表达式 ? 写出观测量的协方差阵 ? 对函数进行线性化 ? 协方差传播?停止返回协方差传播在测量中的应用一、水准测量的精度b2 a2(s)a2 a11（s)b aNbNb1BTP2 … TPN-1N(s)ATP1停止返回作业1、在高级水准点A、?（高程为真值）间布设水准路 线，如下图，路线长分别为 S ? 4km, S ? 3km, S ? 2km ，设 每公里观测高差的中误差为 m1 ? ?1.0mm ，试求：1 2 3（ 1 ）将闭合差按距离分配之后的 p1 、 p2 点间高差的中 误差； （2）分配闭合差后P1点的高程中误差。A P1 P2 B作业2、在相同条件下，观测两个角度?A=15?00?00?， ?B=75?00?00?，设对?A观测4个测回的测角精度（中误差） 为3?，问观测9个测回的精度为多少？停止返回第七节 权与定权的常用方法 一、权的定义设Li (i ? 1,2,..., n), 它们的方差为? ,2 i如选定任一常数? 0，则定义 :2 ?0 pi ? 2 ?i称为观测值Li的权。权与方差成反比。? ? ? 1 1 1 p1 : p2 : ? pn ? : :?: ? 2 : 2 :?: 2 ? ? ? ?1 ? 2 ?n2 0 2 1 2 0 2 2 2 0 2 n2 (一)权的大小随? 0 而变化，但权比不会发生变化。2 (二) 选定了? 0 ，即对应一组权。（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个?0。（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。二、单位权中误差? 0 称为单位权中误差，权等于1的观测值称为单位权观测值。三、常用的定权方法 1、水准测量的权c pi ? si或c pi ? Ni2、边角定权P? ? 1?? Ps ? 2 ?si i2? ? a ? (b ?10 ? si )2 si 2 ?62停止返回第八节 协因数与协因数传播律 一、协因数与协因数阵 2 2 设Li , L j 它们的方差为? i , ? j , 协方差为? ij令: 1 ? i2 Qii ? ? 2 pi ? 0 1 ? Q jj ? ? pj ?2 j 2 0Qii为Li的协因数。Q jj为L j的协因数。Qij为Li关于L j的协因数 或相关权倒数。1 ? ji Qij ? ? 2 pi ? 0变换形式为：2 ? i2 ? ? 0 Qii 2 ?2 ? ? j 0 Q jj 2 ? ji ? ? 0 Qij不难得出：DXX?? 12 ? 12 ? ? 1n ? ?Q11 Q12 ? Q1n ? ? ? ?Q ? 2 Q22 ? Q2 n ? ? 21 ? 2 ? ? 2 n ? 2 ? 21 ? ? ??0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?Qn1 Qn 2 ? Qnn ? ?? n1 ? n 2 ? ? n ? ?DXX ? ? QXX2 0QXX为协因数阵QXX?Q11 Q12 ? Q1n ? ?Q ? Q22 ? Q2 n ? 21 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Qn1 Qn 2 ? Qnn ?特点：I 对称，对角元素为权倒数 II 正定III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当为等精度观测，单位阵。二、权阵?1 PLL ? QLLPLL QLL ? E第一节 测量平差概述第二节 测量平差的数学模型第三节 参数估计与最小二乘原理停止返回一、必要观测、多余观测?确定平面三角形的形状观测三个内角的任意两个即可,称其必要 元素个数为2，必要元素有 C32种选择?????确定平面三角形的形状与大小6个元素中必须有选择地观测三个内角与 三条边的三个元素，因此，其必要元素 个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1 1 1 2 3 ? C3 C3 ? C3 个角度、三个边。 C32C3 s1s2?s3停止?返回?确定如图四点的相对高度关系A 必须有选择地观测6个高差中的3个， 其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、 h2、h3或h1、h2、h4等 h6 h5h1 h2 D h4Bh3必要观测: 能够唯一确定一个几何模型所必要的观测一般用t表示。C特点: 给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。确定几何模型最大独立观测个数停止 返回确定几何模型最大独立观测个数为t, 那么再多进行一个观测就 相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。 观测值: 为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际 观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。n&t，则无法确定模型n=t，唯一确定模型，不能发现粗差。 n&t,，可以确定模型，还可以发现粗差。多余观测: 观测值的个数n与必要观测个数t之差 一般用r表示，r=n-t。停止返回二、测量平差必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观 测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。?n?3t?2~r ? n ?t ?1? ? ? ? ? ? 180??h1~~实际上： ?? ? ? ? ? 180?A? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 180?Bn?6~~h6 h5 D h4h2 h3h1? h 2? h6 ? 0 h1? h 2? h6 ? 0h 2? h3? h 4 ? 0 h 2? h3? h 4 ? 0~ ~ ~~ ~~t ?3~r ? n?t ? 3Ch 6? h 4 ? h5 ? 0 h 6? h 4 ? h5 ? 0第二节 测量平差的数学模型一、条件平差法以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。F ? F ( L)r ,1 n ,1~A? ? W ? 0即为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多 余观测数r，即条件方程个数。二、间接平差法选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测 量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式， 以此为平差的函数模型，成为间接平差法。n ,1L ? F(X )t ,1~? ? Bx ? l停止返回上式就是间接平差的函数模型。尽管间接平差法 是选了t个独立参数，但多余观测数不随平差不同 而异，其自由度仍是r=n-t。三、 附有参数的条件平差法设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则 可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参 数，而0&u&t，每增设一个参数应增加一个条件方程。 以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有 参数的条件平差法。F ? F ( L, X )c ,1 n ,1 u ,1~~A? ? Bx ? W ? 0上式为附有参数的条件平差法的函数模型。 此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数 由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。停止 返回四、 附有限制条件的间接平差法如果进行间接平差，就要选出t个独立量为平差参数，按每一 个观测值与所选参数间函数关系，组成n个观测方程。如果 在平差问题中，不是选t个而是选定u&t个参数，其中包含t个 独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦 即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数 之间应满足的关系。在选定u&t个参数进行平差时，除了建立 n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此平差方 法为附有限制件的间接平差法。n ,1L ? F(X )u ,1 ~~?( X ) ? 0s ,1 u ,1? ? Bx ? l Cx ? Wx ? 0停止 返回五、 平差的随机模型函数模型数学模型随机模型： D2 2 ??0 Q ??0 P ?1停止返回第三节 函数模型的线性化条件方程的综合形式为：~ ~F ? F ( L, X )c ,1 n ,1 u ,1X 为了线性化，取X的近似值：取 L 的初值：~0X ?X ?x0 ~~L L ? L? ?将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及 以上项：F ? F ( L ? ? , X ? x ) ? F ( L, X ) ?0?F ?L~ L, X 0???F1 ? L2 ?F2 ? L2 ? ?Fn ? L2~ ~ ~?F ?X~ L, X 0x?F1 ?X2 ?F2 ?X2 ? ?Fn ?X2~ ~ ~? ?F1 ? ~ ? ? L1 ? ?F ?F ? ~2 A? ~ ? ? L1 c ,n ?L ? ? ? ? ?Fn ? ~ ? ? L1? ?F1 ?F1 ? ? ? ~ ~ ? ?? X 1 ? Ln? ? ?F2 ?F2 ? ?F ? ~ ? B? ~ ?? ~ ? L n ? c ,u ? X ? ? X 1 ? ? ? ? ? ? ?Fn ?Fn ? ? ? ~ ~ ? ?? X 1 ? L n ? L, X 0?F1 ? ~ ? ?Xu? ?F2 ? ? ~ ? ?Xu? ? ? ? ?Fn ? ? ~ ? ? X u ? L, X 0 ?F ? F ( L ? ?, X ? x) ? F ( L, X 0 ) ? A? ? Bx停止 返回一、条件平差法A? ? W ? 0? W ? F ( L)二、间接平差法L ? L ? ? ? F ( X 0 ) ? Bx~? ? Bx ? l? l ? F(X 0) ? L三、 附有参数的条件平差法A? ? Bx ? W ? 0四、 附有限制条件的间接平差法n ,1L ? F(X )u ,1 ~~?( X ) ? 0s ,1 u ,1? ? Bx ? l Cx ? Wx ? 0第四节 参数估计与最小二乘原理一、 参数估计及其最优性质对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差 为例： A? ? W ? 0 条件的个数r=n-t &n，即方程的个数少，求解的参数多，方程多 解。其它模型同。 为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差 所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻 求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模 型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。 数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏 性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘 估计。停止 返回例：匀速运动的质点在时刻?的位置y表示为：0? ? ?0实际上：~~y ? ? ?? ? y? ? ? ? ? ? ?~~~~y~~~为了求? 与 ? , 在 ? 1，? 2， ?? n测定其位置， 得y1 , y2 ? yn , 则：? i ? ? ? ? ? ? yi , (i ? 1,2? n)~~写成矩阵：? y1 ? ?1 ? 1 ? ? ?1 ? ~ ?y ? ?1 ? ? ~ ?? ? ? ? 2? 2? ? ? Y ? ? 2 ?, B ? ? , X ? ?? , ? ? ~ ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? yn ? ?1 ? n ? ?? n ?? ? B X ?Y~间接平差函数模型yy ? ? ?? ?vi ? ? iyi?????o2 i ? ?2 v ? ( ? ? ? ? ? y ) ? min ? ? i i?i?则：V V ? ( B X ? Y ) ( B X ? Y ) ? minT T??? v1 ? ?v ? 令：V ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?v n ?二、 最小二乘原理按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方 和达到最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最 小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释，两种估计 准则的估值相同。 设观测向量为L，L为n维随机正态向量，其数学期望与方差分 别为：? ?1 ? ?? ? ? L ? E ( L) ? ? 2 ? ??? ? ? ? ?n ??? 12 ? 12 ? ? 1n ? ? ? 2 ? 21 ? 2 ? ? 12 ? ? D ? DLL ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ?? n1 ? n 2 ? ? n ?停止 返回其似然函数为：G?1 (2? )n/2DT ?1 1 ? exp ? ( L ? ? ) D ( L ? ? L )? L 2 1/ 2以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与E（?）=0得：~ ~ ? 1 ? T ?1 G? exp ?? 2 ( L ? B X ) D ( L ? B X ) ? 1/ 2 n/2 ? ? (2? ) D1ln G ? ? ln( 2? )n/2D1/ 2~ ~ 1 T ?1 ? (L ? B X ) D (L ? B X ) 2~按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大值时的 X 作为X的估计量。停止返回由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小 ~ 值时，lnG才能取得极大值，换言之， X 的估计量应满足如下 条件：( L ? B X )T D ?1 ( L ? B X ) ? 最小2 2 ?1 2 由于D ? DLL ? ? 0 Q ? ?0 P ，? 0 为常数，则：??( L ? B X )T P( L ? B X ) ? 最小??设V是?的估值，则V ? B X ? L, 有：V T PV ? 最小即最小二乘原则。停止 返回?第 四 章 条件 平 差第一节 条件平差原理第二节 条件方程第三节 精度评定 第四节 水准网平差示例停止 返回第一节 条件平差原理一、基础方程和它的解数学模型A? ? W ? 0 ? W ? F ( L) 2 2 D ??0 Q ??0 P ?1V T PV ? 最小r ?n n?1A V ?W ? 0r ?1T T按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：? ? V PV ? 2 K ( AV ? W ) ? minK r?1 ? [ka kb ?kr ]T停止 返回求其一阶偏导数，并令其为0：d? ? 2V T P ? 2 K T A ? 0 dV PV ? A KTV ? P A K ? QA KT T?1V ? QA KTr?n n?1A V ?W ? 0r?1?1 K ? ( AQAT ) ?1W ? N aa W( AQAT ) r?r K r?1 ? W ? 0上式也称为法方程式停止 返回二、条件平差的计算步骤1. 根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的 个数等于多余观测数r。 2. 根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式， 法方程的个数等于多余观测数r。3. 解算法方程，求出联系数K值。4. 将K值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值 L ? L ? V 5. 为了检查平差计算的正确性，常用平差值 L重新列出平差 值条件方程式，看其是否满足方程。^^停止返回例1：对图中三个内角进行观测，得：L1 ? 42o12?20??,o ? ? ? L2 ? 78 09 09 , L1 ? 59 38?40??, 按条件平差求三内角的 o平差值。L2Ah1 h4 CDh2L1L3h3B例2：图中, A, B为已知水准点，其高成为：H A ? 12.013m, H B ? 10.013m, 为了确定C , D点的高程，观测了四段高差 高差观测值与水准路线的距离如下：h1 ? ?1.004m, S1 ? 2km, h2 ? ?1.516m, S 2 ? 1km h3 ? ?2.512m, S3 ? 2km, h4 ? ?1.520m, S1 ? 1.5km 求C和D点高程的平差值。Ah1 h4Ch2Dh3B作业：一条闭合水准路线，已知A点的高成为16.330m, 水准路线上有三个固定点1， 2， 3，高差与测站数如图示 采用条件平差求各点高程的平差值。h1=+1.596m n1=3 1 h2=-0.231m h4=-5.642m n4=6n2=42 h3=+4.256m n3=123第二节 条件方程一、水准网p ? 网点数 ? t ? p ? 1 ? q? ?q ? 多余的独立起算数据 C ? r ? n?t列条件的原则： 1、闭合水准路线 2、附合水准路线 包含的线路数最少为原则停止返回Ah1C Eh6 h7 h2 h3A h6 h7h1 h3D OGh4h5h2Fh5D B h8h4Ct ? 7 ?1? 3 ? 3 C ? r ? n?t ? 7?3? 4h1? h 2? h3? ( H C ? H A ) ? 0 h1? h6? h7? ( H B ? H A ) ? 0 h7? h5? h 4? ( H D ? H B ) ? 0 h 2? h5? h6 ? 0~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~Bt ? 5 ?1 ? 4 C ? r ? n ?t ?8?4 ? 4h 6? h5? h 7 ? 0 h1? h 3? h 6 ? 0 h 3? h 2 ? h 4 ? 0 h 4 ? h8 ? h 5 ? 0~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~返回停止二、测角网p ? 网点数 ? t ? 2 p ? 4 ? q? ?q ? 多余的独立起算数据 C ? r ? n?t4个必要的起算数据为： 一个已知点（2个坐标） 一个方位（1个） 一个尺度（1个停止 返回两已知点（4个坐标）停止返回列条件的原则： 将复杂图形分解成典型图形。 条件类型：图形条件、圆周条件 、极条件、固定方位条 件、固定边长条件、固定坐标条件三角形t ? 2*3 ? 4 ? 2 r ? 3? 2 ?1大地四边形中心多边形扇形t ? 2*4 ? 4 ? 4 r ? 8?4 ? 4t ? 2 * 7 ? 4 ? 10 r ? 18 ? 10 ? 8 ?k ?2t ? 2*5 ? 4 ? 6 r ? 11 ? 6 ? 5 ? k ?1A1 2 3C4 5 6 7 8D14B15 162217 21189 19 10 11S、TGE2013 12F第三节 精度评定一、计算单位权中误差V PV ?0 ? ? r二、协因数阵?T停止返回第四节 水准网平差示例例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3 是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按条 件平差求各点的高称平差值。路线号 1 2 3 观测高差 （m） +1.359 +2.009 +0.363 路线长度 （km） 1.1 1.7 2.3 A 已知高程 （m) h1 P1 h6 P345 6+1.012+0.657 +0.2382.72.4 1.4HA=5.016 HB=6.016h2h5h3h77-0.5952.5P2停止h4B返回解：1、列条件方程t ? 5 ?1?1 ? 3 C ? r ? n?t ? 7?3? 4h1? h 2? h5 ? 0 h 3? h 4 ? h5 ? 0 h3 ? h6 ? h7 ? 0 h 2? h 4 ? 0~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~v1 ? v 2 ? v5 ? 7 ? 0 v 3 ? v 4 ? v5 ? 8 ? 0 v3 ? v6 ? v7 ? 6 ? 0 v2 ? v4 ? 3 ? 0停止返回?1 ? 1 ?0 0 A? ? ?0 0 ? ?0 11 0 0? 1 ? 1 1 0 0? ? 1 0 0 1 1? ? 0 ? 1 0 0 0? 0 0? ? 7? ? ? 8? W ?? ? ? ? 6? ? ? ? ? 3?2、定权取C=1，则：?1.1 ? ? ? 1.7 ? ? 2.3 ? ? ? ? Q ? P ?1 ? ? 2.7 ? ? ? 2.4 ? ? 1.4 ? ? ? ? 2 . 6 ? ?3、形成法方程? 5.2 2.4 0 ? 1.7? ? k1? ?? 7? ? 2.4 7.4 2.3 2.7 ? ?k 2? ? ? 8? ? ?? ? ? ? ? ? 0 2.3 6.3 0 ? ? k 3? ? ? 6? ? 0 ? ?? ? ? ? ? 1 . 7 2 . 7 0 4 . 1 ? ? ?k 4? ? ? 3?停止返回4、解算法方程K T ? [?0.2226 ? 1.4028 ? 0.8]T5、计算改正数V ? [?0.2 2.9 ? 4.2 ? 0.1 ? 3.9 ? 0.6 ? 1.2]T (mm)6、计算平差值L ? [1.9?0.35881.01190.65310.2374? 0.5962]T (m)7、计算高程平差值??H P1 ? H A ? L1 ? 3.3748mH P 2 ? H A ? L2 ? 7.0279m?H P 3 ? H B ? L7 ? 6.6121m停止返回作业1： 如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、 P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度 及观测高差列入下表 B线号 1 2 高差（m） 1.100 2.398 路线长度 （km） 4 2 点号 A B 高程（m） 5.000 3.9532 4A P1 5 P2 6??1oo34 5 60.2001.000 3.404 3.45242 2 4C7.650o P33? C试用条件平差法求P1、P3、P3点高程的平差值 。第 五 章 间 接 平 差第一节 间接平差原理 第二节 误差方程 第三节 精度评定 第四节 平差示例停止返回第一节 间接平差原理一、基础方程和它的解V T PV ? 最小V ? Bx ? l按函数极值的求法，极值函数：? ? V T PV ? ( Bx ? l )T P( Bx ? l ) ? min求其一阶偏导数，并令其为0：2V T PB ? 0BT PV ? 0停止 返回代入误差方程：( B PB) x ? B Pl ? 0T T即为法方程式x ? ( B PB) B PlT T??1停止返回二、间接平差法平差步骤1、选择t个独立的未知参数2、将每个观测值表示成未知参数的函数，形成误差方程。3、形成法方程4、求解法方程5、计算改正数6、精度评定第二节 误差方程一、确定待定参数的个数 水准网 测角网t ? p ?1? q t ? 2p ? 4 ? q测边网 t ? 2p ? 3? q 边角网 t ? 3P ? 3 采用GPS尺度与方位 GPS网 停止 t ? 3P ? 7 不采用GPS尺度与方位返回二、参数的选取高程控制网：待定点的高程 平面控制网：待定点的二维坐标 三维控制网：待定点的三维坐标停止返回三、误差方程的组成1、水准路线的误差方程i X ihij j XjVij ? x j ? xi ? (hij ? ( X ? X ))0 j 0 i当i点已知时： Vij ? x j ? (hij ? ( X ? X i ))0 j当j点已知时： Vij ? ? xi ? (hij ? ( X j ? X ))0 i停止 返回2、方向的误差方程设j、k的坐标为未知参数：X jY j X k YkN零方向Z j ――定向角未知数即：零方向的方位角 jk的方位角为：~ ~ ~ZjL jkj X j YjkX k YkL jl~ j j ~? jk ? Z j ? L jk ? arctg (Y k ?Y Xk? X~~)停止l返回L jk ? arctg (~Y k ?Y Xk? X~ ~~~j j)?Zj ? f ?Zj~~为非线性函数，要进行线性化。0 0 0 对上式在初始近似值 X 0 Y X Y j j k k 处进行 Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：L jk ? V jk?f ?f ? ?z j ? xj ? yj ?X j ?Y j Yk0 ? Y j0?f ?f 0 ? xk ? xk ? arctg ( 0 ) ? Z j ?X k ?Yk Xk ? X 0 j停止 返回(Yk ? Y j )( ?1) ? 2 (Yk ? Y j ) (Xk ? X j ) ?f ? ? 2 2 ( X k ? X j ) ? (Yk ? Y j ) Yk ? Y j 2 ?X j 1? ( ) Xk ? X j?Y jk sin ? jk ? 2 ? S jk S jk停止返回(Yk ? Y j ) ? 2 (Yk ? Y j ) (Xk ? X j ) ?f ?? ? 2 2 ( X k ? X j ) ? (Yk ? Y j ) Yk ? Y j 2 ?X k 1? ( ) Xk ? X j???Y jk S2 jk??sin ? jk S jk停止返回1 ? (Xk ? X j ) ?f ? Yk ? Y j 2 ?Y j 1? ( ) Xk ? X j?? (Xk ? X j ) ( X k ? X j ) ? (Yk ? Y j )2 2?? ?X jk S2 jk??cos ? jk S jk停止返回1 (Xk ? X j ) ?f ? Yk ? Y j 2 ?Yk 1? ( ) Xk ? X j?(Xk ? X j ) ( X k ? X j ) ? (Yk ? Y j )2 2??X jk S2 jk?cos ? jk S jk停止返回L jk ? V jk ?f ? ?X k?f ?f ? ?z j ? xj ? ?X j ?Y j停止X 0Y 0返回yj Yk0 ? Y j00 ) ? Z 0 j?f x ? X 0Y 0 k ?Ykx ? arctg ( X 0Y 0 kxj ?0 Xk ?XjL jk ? V jk ? ? z j ? ? sin ? 0 jk S0 jk xk ?sin ? 0 jk S0 jkcos ? 0 jk S0 jkyj0 ) ? Z 0 jcos ? 0 jk S0 jkxk ? arctg ( cos ? 0 jk S0 jkYk0 ? Y j00 Xk ?XjV jk ? ? z j ? ? sin ? 0 jk S0 jksin ? 0 jk S0 jkxj ?yj Yk0 ? Y j00 ) ? Z 0 jxk ?cos ? 0 jk S0 jkxk ? L jk ? arctg (0 Xk ?Xj当j点已知时：sin ? 0 jk S0 jkV jk ? ? z j ?xk ?cos ? 0 jk S0 jk 0xk? L jk ? arctg (Yk0 ? Y j0 X ?X0 k 0 j)?Zj停止返回当k点已知时：V jk ? ? z j ? sin ? 0 jk S0 jk 0 k 0 kxj ?0 j 0 jcos ? 0 jk S0 jk 0yj? L jk ? arctg (Y ?YX ?X)?Zj停止返回2、距离的误差方程设j、k的坐标为未知参数：X jY j X k Ykjk的距离为：j X j YjS jkkX k YkS jk ?~( X k ? X j ) ? (Y k ? Y j ) 22~~~~停止返回为非线性函数，要进行线性化。0 0 0 对上式在初始近似值 X 0 Y X j j k Yk 处进行 Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：S jk ? V jk?f ?f ? xj ? yj ?X j ?Y j ( X k ? X j ) 2 ? (Y ? Y j ) 2~ 0 ~ 0 ~ 0 k ~ 0?f ?f ? xk ? xk ? ?X k ?Yk停止返回?f ? ?X j ??? 2( X k ? X j ) 2 ( X k ? X j ) ? (Y k ? Y j )2 2?X jk S? ? cos ? jk ? 2(Y k ? Y j )?f ? ?Y j ??2 ( X k ? X j ) ? (Y k ? Y j )22?Y jk S? ? sin ? jk停止 返回?f ? ?X k ? ?X jk S2( X k ? X j ) 2 ( X k ? X j ) ? (Y k ? Y j )2 2? cos ? jk 2(Y k ? Y j ) 2 ( X k ? X j ) ? (Y k ? Y j )2 2?f ? ?Yk ? ?Y jk S? sin ? jk停止 返回S jk ? V jk ? ? ?f ? ?X k?f ?X jxj ? X 0Y 0?f ?Y j停止X 0Y 0 ~ 0返回yj~ 0 ~ 0 k ~ 0?f x ? X 0Y 0 k ?Yk~ 0 ~ 0X Y00xk ?( X k ? X j ) 2 ? (Y ? Y j ) 2?( X k ? X j ) 2 ? (Yk0 ? Y j ) 2~ ~ 0jk jk jk jk S jk ? V jk ? ? cos ? 0 x j ? sin ? 0 y j ? cos ? 0 xk ? sin ? 0 yk?( X k ? X j ) 2 ? (Yk0 ? Y j ) 2 ? S jk~ 0 ~ 0 ~ ~ 0jk jk jk jk V jk ? ? cos ? 0 x j ? sin ? 0 y j ? cos ? 0 xk ? sin ? 0 yk当j点已知时：? ( X k ? X j ) 2 ? (Yk0 ? Y j ) 2 ? S jk~ 0 ~ 0 ~ ~ 0jk jk V jk ? ? cos ? 0 xk ? sin ? 0 yk当k点已知时：? ( X k ? X j ) 2 ? (Yk0 ? Y j ) 2 ? S jk~ 0 ~ 0 ~ ~ 0jk jk V jk ? ? cos ? 0 x j ? sin ? 0 yj停止返回第三节 精度评定一、计算单位权中误差V PV ?0 ? ? r二、协因数阵x ? ( BT PB) ?1 BT Pl Q? ? ? ( BT PB) ?1 BT PQPB ( BT PB) ?1 ? ( BT PB) ?1xx ??T停止返回第四节 平差示例测角网间接平差算例：16 15C7B18 31714 1 12P213 10 5 8 49 6P1D211A 设有一测角三角网，A、B、C、D为已知点，P1、P2为待 定点，同精度观测了18个角度，按间接平差求平差后P1、 P2点的坐标及精度。已知数据见下表。停止 返回点名坐标（m）X（m)Y（m)边长方位角A B C D A 角度 编号 1 2 3 4 5 649.55 14.6396.50 23.19 角度 编号 7 8 9 10 11 12 32.16 °39’38. 4& 34°40’56.3& 95°53’29.1& 216°49’06. 5& 观测值 46°38’56.4& 66°34’54.7& 66°46’08.2& 29°58’35.5& 120°08’31. 1& 29°52’55.4& 停止 返回观测值126°14’24.1& 23°39’46.9& 30°05’46.7& 117°22’46.2& 31°26’50.0& 31°10’22.6&10156.11 角度 观测值 编号 22°02’43.0& 130°03’14.2& 27°53’59.3& 65°55’00.8& 67°02’49.4& 47°02’11.4& 13 14 15 16 17 18解：n=18, t=2*6-4-4=4, r=18-4=14 设P1、P2点的坐标作为未知参数X1、Y1、X2、Y2， 根据前方交会可以求出P1、P2的近似坐标：X 10 ? 13188.61m0 X2 ? 13188.61mY10 ? 37334.97m Y20 ? 37334.97m根据角度的误差方程： 0 0 0 sin ? 0 sin ? cos ? cos ? jk ji jk ji V jik ? ( ? ) x ? ( ? )yj j 0 0 0 0 S jk S ji S jk S ji? sin ? 0 jk S0 jkxk ?cos ? 0 jk S0 jkxk ?sin ? 0 ji S0 jixi ?cos ? 0 ji S0 jiyi? L jik ? L0jik停止 返回? V1 ? ? ? 5.16 ?V 2 ? ? ? 2.46 ? ? ? ?V3 ? ? ? 3.15 ? ? ? ?V 4 ? ? ? 0.00 ?V5 ? ? ? 0.00 ? ? ? V 6 ? ? ? ? 0.00 ?V7 ? ? ? 0.00 ? ? ? V 8 ? ? ? ? 0.00 ?V9 ? ? ? 0.00 ? ? ? ? V 10 ? ? ? ? 2.62 ?V 11? ? ? 2.46 ? ? ? ?V 12? ? ? 0.16 ?V 13? ? ? 2.62 ? ? ? ?V 14? ? ? 2.33 ? ? ? V 15 ? ? ? ? 0.29 ?V 16? ? ? 0.29 ? ? ? V 17 ? ? ? ? 3.44 ? ? ?V 18? ? ? ? 3.15? 0.18 ? 1.32 ? 1.50 ? 0.00 ? 0.00 ? 0.00 ? 0.00 ? 0.00 ? 0.00 ? 0.89 ? 1.32 ? 2.21 ? 0.89 ? ? ? ? 2.60 3.49 3.49 4.99? 0.00 ? 0.00 ? 0.00 ? 3.53 ? 0.33 ? 3.20 ? 2.45 ? 5.65 ? 3.20 ? 2.29 ? 0.33 ? 2.62 ? 0.17 ? ? ? ? 2.60 2.45 0.00 0.00? 1.50? 0.00? 0.00? ? ? 0.2 ? ? ? 0.6 ? ? 0.00? ? ? ? ? 0.00? ? ? 3.1 ? ? ? ? ? 4.77? ? ? 0.9 ? ? ? 0.5 ? ? 3.47 ? ? ? ? ? 1.30 ? ? 2 . 6 ? ? ? ? 3.1 ? ? 1.30 ? ? ? ? ? 0.00? ? x1 ? ? 8 . 5 ? ? ? ? ? ? 1.9 ? ? 1.30 ? y1 ? ? ? ? ?? ? 2.58? ? x 2 ? ? 1 . 2 ? ? ? ? ? ? ? 3.47 ? y 2 ? ? 2.9 ? ? ? ? ? 0.89 ? ? ? 3.3 ? ? ? 4.0 ? ? 2.19 ? ? ? ? ? 0.89 ? ? ? 8.5 ? ? ? ? ? 1.30 ? ? 13 . 2 ? ? ? ? 9.6 ? ? 0.00? ? ? ? ? 0.00? ? 10 . 7 ? ? ? ? ? 0.00? ? ? 3.1 ? ?VBx停止l返回停止返回定权，P为单位阵，形成法方程为：? ? 94.61 ? ? 22.11 ? ? ? 11.45 ? ? ? 6.96 ? 22.11 70.51 ? 6.95 ? 8.42 ? 11.45 ? 6.95 96.09 ? 20.21 ? 6.96 ? ? x1 ? ? ? 43.52 ? ? 8.42 ? ? y1? ? 178.81 ? ?? ? ? ? ? ? 20.21? ? x 2 ? ? ? 120.11? ?? ? ? ? 66.63 ? ? y 2? ? ? 30.07 ?? x1 ? ? ? 94.61 ? y1? ? ? 22.11 ? ??? ? x 2 ? ? ? 11.45 ? ? ? ? y 2? ? ? 6.96 ? 0.4 ? ? 0.0023 ? ? 0.4 0.4 0.0023? 22.11 70.51 ? 6.95 ? 8.42 0.4 0.1? 11.45 ? 6.95 96.09 ? 20.21 0.2? ? 0.0041? ? 0.0169?? 6.96 ? ? 8.42 ? ? ? 20.21? ? 66.63 ??1? ? 43.52 ? ? 178.81 ? ? ?? ? ? 120.11? ? ? ? ? 30.07 ?? ? 43.52 ? ? ? 0.1030? ? 178.81 ? ? ? 2.3208? ? ??? ? ? ? 120.11? ? ? 1.2069 ? ? ? ? ? ? 30 . 07 ? 0 . 5348 ? ? ? ?? X 1? ?13188.61? ? ? 0.1030? ? Y 1 ? ?37334.97? ? ? 2.3208? ? ??? ??? ? / 10 ? ? X 2? ?15578.61? ? ? 1.2069 ? ? ? ? ? ? ? Y 2 44391 . 03 ? 0 . 5348 ? ? ? ? ? ??13188.60 ? ?37335.20? ? ? ?15578.49 ? ? ? 44390 . 98 ? ?精度评定：V T PV 22.28 ?0 ? ? ?? ? ?1.3& r 14?? x1 ? ?1.3 0.0121 ? ?0.14dm?? y1 ? ?1.3 0.0161 ? ?0.16dm??? p1 ? ? 0.142 ? 0.162 ? ?0.21dm?? x 2 ? ?1.3 0.0117 ? ?0.14dm ? ? p 2 ? ? 0.142 ? 0.172 ? ?0.22dm ? ? y 2 ? ?1.3 0.0169 ? ?0.17dm停止 返回例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3 是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间 接平差求各点的高程平差值。路线号 观测高差 （m） 路线长度 （km） 已知高程 （m) A HA=5.016 HB=6.016 h5 h2 P2 P1 h1 h6 P312 3+1.359+2.009 +0.3631.11.7 2.3h3h745 6 7+1.012+0.657 +0.238 -0.5952.72.4 1.4 2.5h4B解：1、列误差方程 n=7, t=5-1-1=3, r=7-3=4 设P1、P2点的高程为未知参数0 X1 ? H A ? h1X1?X 2 求相应的近似值0 X3 ? H B ? h7?0 X2 ? H A ? h2列误差方程：v1 ? x1 ? 0 v5 ? ? x1 ? x2 ? 7 ? ? ? v2 ? x2 ? 0 h1 ? v6 ? ? x1 ? x3 ? 8 v3 ? x1 ? 4 A v4 ? x2 ? 3 v7 ? ? x3 ? 0h2 P2 h4? ???P1 h6 P3?h5h3h7B写成矩阵的形式：? v1 ? ? 1 ?v ? ? 0 ? 2? ? ? v3 ? ? 1 ? ? ? ? v4 ? ? ? 0 ? v5 ? ? ? 1 ? ? ? ?v6 ? ? ? 1 ? ?0 ?v7 ? ? ? 0 1 0 1 1 0 0 0? ? 0? ? 0? 0? ? ?? ? ? ? 0 ? ? x1 ? ?4? ?? ? ? ? ? 0 ? x2 ? ? 3? ??? 0 ? ? x3 ? ?7? ?? ? ? ? ? ? 1? ?2? ? ? 1? ? ? 0? ?定权，取C=1? 0.91? ?0.59 ? ? ? ? 0.43? ? ? 0 . 37 ? ? ?0.42 ? ? ? ? 0.71? ? ? 0.38? ?? 2.47 ? 0.42 ? ? 0.42 1.38 ? 0 ? ? ? 0.71? ?x ? ? 0.71? ? 1 ? ?0.59? ? ? ? x ? ? ? 4.05? 0 ? ? ?2 ? ? ? 1.09 ? ? ? x3 ? ? ?1.42 ? ? ? ? ? ?? ?x ? ? ?1 ? ?0.5320 ? x ? ? ?0.1619 ? ?2 ? ? ? x3 ? ? ? 0.3465 ? ? ? ?0.9 0.10550.3465? ? ? 0.258? 0.1055? ? 2.860 ? ?? ? 1.1432 ? ?? ? 1.100 ? ?? v1 ? ? ? 0.3? ? ?v ? ? 2.9 ? ?X ? 2? ? ? ? 1 6 . 3748 ? ? ? ? ? ? v3 ? ? ? 4.3? ? X ? ? ?7.0279? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? v ? 0 . 1 4? ? ? ? 6 . 6121 ? ? ?X3? ? ? ? v5 ? ? ? 3.9? ? ? ? ? ? ? ? ? ?v6 ? ? ? 0.6? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.1? ? ?? ? ? ? ? 0 0.5320 ? ?1.6mm ? ?v7 ? ? ? X1 ? ? ?? ? ? ? ? 0.7739 ? ?1.9mm ? T ? V PV 19.75 ? ? X2 ? ? ? 0 ?0 ? ? ?? ? 2.2mm ?? ? ? ? 0 1.1432 ? ?2.35mm? ? r 4 ? ? X3 ? ? ? ?例： 如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、 P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度 及观测高差列入下表AB P1 2?线号 1 2高差（m） 1.652 -0.418路线长度 （km） 4.5 3.1点号 A B高程（m） 34.788 35.259?1P23o6 4o34 5 60.7141.243 -0.577 -0.7863.43.8 4.2 2.5C37.825o P35? C试用间接平差法求P1、P3、P3点高程的平差值估算精度 。解：1、列误差方程 n=6, t=6-1-2=3, r=6-3=3设P1、P2、P3点的高程为未知参数 求相应的近似值0 X1 ? H A ? h1 ? 34.788 ? 1.652 ? 36.4400 ? X2 ? H B ? h3 ? 35.259 ? 0.714 ? 35.973X1?X2?X3?AB?1P12P23X0 3? H C ? h5 ? 37.825 ? 0.577 ? 37.2480 0? ?1 ? 0 ? ?v ? ? ? 1 1 ? 49 ? 0? ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? x 1 0 ?? 1 ? ? 0 ? ? v3 ? ? 0 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? x ? v 0 ? 1 1 ? 32 2 4 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? v5 ? ? 0 0 1 ? ? x3 ? ? 0 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? v 1 0 ? 1 22 ? 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1o6 4o列误差方程：? v ?o P35? C0 0? ? v1 ? ? 1 ? 0 ? ?v ? ? ? 1 1 ? ? 49 ? 0 ? 2? ? ?? ? ? ? ? 1 0 ? ? x1 ? ? 0 ? ? v3 ? ? 0 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? x ? v 0 ? 1 1 ? 32 ? 4? ? ? ? ?2 ? ? ? ? v5 ? ? 0 0 1 ? ? x3 ? ? 0 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 22 ? v 1 0 ? 1 ? 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?定权，取C=1?0.22 0.00 0.00 ? 0.32 0.00 ? 0.29 ? P?? 对 ? ? 称 ? ? 0.00 0.00 0.00? 0.00 0.00 0.00? ? 0.00 0.00 0.00? ? 0.26 0.00 0.00? 0.23 0.00? ? 0.40?? 0.94 BT PB x ? BT Pl ? N x ? w ? ? ? 0.32 ? ? ? ? 0.40^ ^? 0.32 0.87 ? 0.26? ?x ? ? 0.40? ? 1 ? ? ? 6.88 ? ? ? ? 0.26 ? x2 ? ? ? 24.00 ? ? 0 ?? ? ? ? ? 0.89 ? ? ? x3 ? ? ?? 17.12? ? ? ? ? ?? ?x ? ?1.9235 ? ?1 ? ? x ? ? N ?1W ? ?1.0582 ? ? ?2 ? ? ? x3 ? ?1.1736 ? ? ? ?1.6 1.01361.1736? ? ? 6.88 ? ? ? 7.9 ? 1.0136? ? 24.00 ? ? ? 19.6 ? mm ?? ? ? ? 1.9472? ?? ? ? 17.12? ? ? ? ? 17.1? ?? ? ? ^ ?X ? ? X 10 ? ? x ? 1 1 ?36.440? ?? 0.0079? ? 36.4321? ? ? ? ? ? ? ^ ? ? X ? ? ? X 0 ? ? ? x ? ? ?35.973? ? ? 0.0196 ? ? ?35.6626?m ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?2 ? ? ? X 3 ? ? X 0 ? ? x3 ? ? ?37.248? ? ? ? ? 0.0171? ? ? ?37.2309? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ?? v1 ? ? ? 7.9 ? ?v ? ? ? 21.5? ? 2? ? ? ? v3 ? ? 19.6 ? ? ? ? ? ? v ? 4 . 7 ? 4? ? ? mm ? v5 ? ? ? 17.1? ? ? ? ? v ? 12 . 8 ? 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?V T PV 65.54 ?0 ? ? ?? ? 4.67mm r 3??? ? ??? 1.9235 ? ?6.48mm? ? ? X?1 ? ? ?0 ?? ? ? ? ?? 1.8416 ? ?6.34mm? ? ? X 2 ? ? ?0 ?? ? ? ?? 0 1.9472 ? ?6.51mm? ? ? X3 ? ? ? ?^ ?h ? ? 1.652 ? ? ? 7.9 ? ? 1.6441 ? 1 ?^ ? ? ? ? ? ? ? 0.4395? ?h 2 ? ? ? 0.418? ? ? 21.5? ? ? ? ^ ? ? 0.714 ? ? 19.6 ? ? 0.7336 ? 3? ?h ^ ? ? ? ? ? ? ?h 4 ? ? ? 1.243 ? ? ? ? 4.7 ? / 1000 ? ? 1.2383 ? m ?^ ? ? ? ? ? ? ? 0.5941? ? h 5 ? ? ? 0.577? ? ? 17.1? ? ? ? ^ ? ? ? 0.786? ? ? 12.8? ? 0 . 7988 ? ? ?h 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?第 六 章 附有参数的条件平差第一节 基础方程和它的解第二节 精度评定停止返回一、测量平差方法回顾（1）条件平差法观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t， 条件方程个数c。c?n n?1A V ?W ? 0c?1在最小二乘原则下有：AQA K ? W ? 0TK ? ( AQA ) WT2 ?0 ??1V ? QA KTL ? L ?V停止 返回?V T PV r（2）间接平差法观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t， 设t个相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n, 即n个误差方程： ?V ? B x? ln?1 n?t t ?1n?1?在最小二乘原则下有：( B PB) x ? B Pl ? 0T T?x ? ( BT PB) ?1 BT Pl? ?2 0V T PV rQ? ? ? ( BT PB) ?1xx（3） 附有参数的条件平差法设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数， 则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量 作为参数，而0&u&t，每增设一个参数应增加一个条 件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模 型，称为附有参数的条件平差法。c?n n?1A ? ? B x ?W ? 0c?u u?1 c?1?上式为附有参数的条件平差法的函数模型。 此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数 由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。停止 返回设定未知参数的目的： （1）为了方便列立条件。（2）为了在条件平差过程中，直接估计一些量以及其精度。如：16 15C7B18 31714P21310 5 8 49 6P1112D211A如图：126条件平差：n?6 t ? 2? 4 ? 4 ? 4 c ? r ? 6?4 ? 2其中：? ? ? ?345?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 6 ? 180?其它条件如何列？设未知参数X1n?6 t ? 2? 4 ? 4 ? 4 u ?1? ? ? ?126X13c ? n ? u ? t ? r ? u ? 2 ?1 ? 345?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 6 ? 180? ? 4 ? ? 5 ? X 1 ? 180? ? ? ? ? ?sin( ? 3 ? ? 4 ) sin( ? 2 ) sin( X 1 ) sin( ?1 ) sin( ? 6 ? X 1 ) sin( ? 4 )? ? ? ????1u?2 c ? n?u ?t ? r ?u ? 2?2 ? 4?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 6 ? 180 ? 4 ? ? 5 ? X 1 ? 180? ? 2 ? ? 6 ? X 1 ? X 2 ? 180?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?126X1X2345特点：方程中即有观 测量又有未知参数。 采用改正数表示。?sin( ? 3 ? ? 4 ) sin( ? 2 ) sin( X 1 ) sin( ?1 ) sin( ? 6 ? X 1 ) sin( ? 4 )? ? ? ?????1将观测值的估值写成观测值与改正数之和，对非线性条 件进行线性化，可形成基础方程。二、 基础方程和它的解基础方程：c?n n?1A V ? B x ?W ? 0c?u u?1 c?1?V T PV ? 最小按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：? ? V T PV ? 2 K T ( AV ? Bx ? W ) ? minK T ? [k a kb ? kc ]T停止 返回求其一阶偏导数，并令其为0：?? ? 2V T P ? 2 K T A ? 0 ?V PV ? AT K ?? ?x?? ?2k T B ? 0B T K ? 0 V ? P ?1 AT K ? QAT K? ? ? AV ? B x ? W ? 0 ? T 联立 ? B K ? 0 ?V ? QAT K ? ?AQA K ? B x ? W ? 0T?BT K ? 0即为法方程式停止返回将法方程写成矩阵的形式：? AQA ? T B ?TB ? ? K ? ?W ? ?? ? ? ? ? ? ? 0 0 ?? x ? ? 0 ?TP?Q?1? K ? ? AQA ? ?x? ? ? T B ? ? ?也可分别求解：T ?1 ?B ? ?W ? ? ? ? 0? ? 0 ?? ?1 aa ??1K ? ( AQA ) (W ? B x) ? N (W ? B x) x ? ( B N B) B N W ? N B N WT T T ?1 aa ?1 ?1 aa ?1 bb ?1 aa?1 V ? QAT N aa (W ? B x)?X ? X ?x0??第二节 精度评定一、计算单位权中误差V PV ?0 ? ? r?T二、协因数阵三、平差值函数的协因数? ? ? ( L, X )d? ??????线性化：????LLL?d L?????d X ) ? F d L? F d XT T x????XLX XLQ? ? ? F T Q? ? F ? F T Q? ? Fx ? FxT Q ? ? F ? FxT Q ? ? FxTXX四、附有参数的条件平差的计算步骤1. 根据平差问题的具体情况，设定参数（相互独立，个数小 于t，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r 与设定未知参数之和。2. 根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式。 3. 解算法方程，求出联系数K与x值。 4. 将K与x值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值与 L ? L ?V ^ 参数平差值。 L 5. 精度评定。 6. 为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差 值条件方程式，看其是否满足方程。^第 七 章 附有限制条件的间接平差第一节 基础方程和它的解第二节 精度评定停止返回一、 基础方程和它的解间接平差：观测数为n，必要观测数为t，多余观 测数r=n-t，设t个相互独立的未知参数，则条件个 数c=n+t-t=n，即n个误差方程：V ? B x? ln?1T?n?t t ?1n?1T( B PB) x ? B Pl ? 0T?N aa ? ( B PB) ? 0从而可以唯一求出 x 由于未知参数u&t，则u个未知参数间肯定存在u-t个 函数关系，称为约束条件。?( u ?t ),1? ( x) ? 0? n?u u?1 n?1?V ? B x? l联 合n?1( u ?t ),1? ( x) ? 0?基础方程s ? u ?t基础方程线性化形式：V T PV ? 最小V ? B x? ln?1??n?u u?1n?1n? nPs?u u?1C x ? Wx ? 0s?1按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：? ? V PV ? 2 K (C x ? Wx ) ? minT Ts?停止返回求其一阶偏导数，并令其为0：???? 2V T PB ? 2 K T s C ? 0?x T T B PV ? C K s ? 0法方程式T T T ? ? B PBx ? C K s ? B Pl ? 0 ? ? ?Cx ? Wx ? 0 ? ? T T N x ? C K ? B Pl ? 0 s ? bb ? ? ?C x ? W ? 0 x ?停止返回写成矩阵形式：? N bb ? ? C? T ? ? ? B Pl ? C ? x ??0 ?? ? ? ? 0 ? ? K s ? ? Wx ? ? ? T? ? ? ?N x ? ? ? ? bb C ? ? K ? s ? ?C ? ? B Pl ? ? ? ? 0 ? ? Wx ?T T?1显式表示：K s ? (CN b b C ) (CN W ? Wx )T ?1 ?1 ? N cc (CN bb W ? Wx )?1?1?1 bbx ? N bb ( B Pl ? C K s )T T??1第二节 精度评定一、计算单位权中误差V PV ?0 ? ? r二、协因数阵?T停止返回三、平差值函数的协因数? ? ?(X )d? ?????? ?X?d X) ? F d XT??Q? ? ? F T Q ? ? F??XX四、附有限制条件平差的间接平差计算步骤1. 根据平差问题的具体情况，设定参数，列出误差方程式与 限制条件。 2. 根据观测值的权组成法方程式。 3. 解算法方程，求出联系数X与K值。 4. 将K与x值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值与 ^ 参数平差值。 L ? L ?V 5. 精度评定。L^例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3 是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间 接平差求各点的高程平差值。路线号 观测高差 （m） 路线长度 （km） 已知高程 （m) A HA=5.016 hAB=1.000 h5 h2 P2 h3 P1 h1h6 P312 3+1.359+2.009 +0.3631.11.7 2.3h745 6 7+1.012+0.657 +0.238 -0.5952.72.4 1.4 2.5h4B解：1、列误差方程 n=7, t=5-1-1=3, r=7-3=4? ?U=4，S=1设B、P1、P2、P3点的高程为未知参数 相应的近似值X 1 ? H A ?1? 0X1X2X3h1?X4P1 h6 P3?0 X2 ? H A ? h1 0 X3 ? H A ? h2Ah5 h2 h3 h7X0 4? X0 1? h7列误差方程：P2h4B定权，取C=1? v1 ? ? 0 1 ?v ? ? 0 0 ? 2? ? ?v3 ? ?? 1 1 ? ? ? ? v4 ? ? ? ? 1 0 ?v5 ? ? 0 ? 1 ? ? ? ?v6 ? ? 0 ? 1 ?v ? ? 1 0 ? 7? ? 0 1 0 1 1 0 0 ? ? ?0 ? ? ? x ? ?0 ? ? ? ?1 ? ? ? 0 ? ? x2 ? ? 4 ? ?? ? ? ? ? 0 ? ? x ? ? ? 3? 3 ? ? ?7 ? ? 0? ? ? x4 ? ? ? 1 ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 1? ? ?0 ? 0 0? 0.91? ?0.59 ? ? ? ? 0.43? ? ? 0 . 37 ? ? ?0.42 ? ? ? ? 0.71? ? ? 0.38? ?限制条件：x1 ? 0?? v1 ? ? ? 0.3? ? ? ? ?v ? ? 2.9 ? ??? ? 2? ? ? ? ? ? x ? 2? 0 . 000 ? ? v3 ? ? ? 4.3? ??? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 0.258? ? ?x ? v ? 0 . 1 4? ? ? ? ? ? ? ?x ? 2 . 860 ? ? v5 ? ? ? 3.9? ? ?4 ? ? ? 1.100 ? ? ?v ? ? ? 0.6? ?x ? ? ? 5? ? 6? ? ? ? ? ? 1.1? ? ?v7 ? ? ??H A ? ? ? ? ?5.0160? ? X 1 ? ?6.0160? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 6.3748 ?X ? ?X ? ?7.0279? ? ? ?3 ? ? ? 6.6121? ? ?X ? ? ? 4??? ? ? ?? 0.5320 ? ?1.6mm ? ? 0 ? ? T ? ? ? X 1 ? V PV 19.75 ?0 ? ? ?? ? 2.2mm ?? ? ? ? ? ? 0 0.7739 ? ?1.9mm ? ? r 4 ? X2 ? ? ? ?? ? ? ?? 0 1.1432 ? ?2.35mm? ? ? X3 ? ? ? ?第 八 章 概括平差函数模型第一节 概述 第二节 基础方程和它的解 第三节 精度评定停止返回一、平差模型的回顾（1）条件平差法观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t， 条件方程个数c。 ~F ( L) ? 0c?n n?1A V ?W ? 0c?1（2）间接平差法观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t， 设t个相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n, 即n个误差方程： ?L ? F(X )~~V ? B x? ln?1 n?t t ?1n?1停止返回（3） 附有参数的条件平差法观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个 条件方程，现有u个独立量作为参数，而0&u&t，方 程总数c=r+u个。F ( L, X ) ? 0~~（4）附有限制条件的间接平差法观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t， 现有u个参数u&t，包含t个独立参数，则条件个数 r+u,其中，有s个限制条件：L ? F(X )~~?( X ) ? 0~停止返回二、条件方程式形式F ( L) ? 0 F ( L, X ) ? 0L ? F(X )~ ~~~~一般条件方程式,用C表 示个数 限制条件式? (X ) ? 0~停止返回（1）条件平差法:u ? 0, c ? n ? t ? r（2）间接平差法:u ? t, c ? r ? u ? n ? t ? t ? n（3） 附有参数的条件平差法u ? t, c ? r ? u（4）附有限制条件的间接平差法u ? t , r ? u ? c ? s, c ? r ? u ? s ? n停止 返回三、概括平差模型的引入对于一个几何模型，独立参数的个数u 满足：u?0条件平差0?u ?t 0?u ?t附有参数的条件 平差u ?t间接平差停止返回对于一个几何模型，可选参数的个数u： 包含独立参 数数=tu?t相关 概括平差u?0u ?t附有限制条件 的间接平差u ?t包含独立参 数数&t停止返回四、概括平差模型 观测数为n，必要观测数为t，多余观测 数r=n-t，现有u个参数，则条件个数r+u, 其中，设u 个参数中其中可以形成s个限 制条件，一般条件个数为：c=r+u-s:F ( L, X ) ? 0c ,1 ~ ~线性化?( X ) ? 0s ,1~c?n n?1 ?A V ? B x ?W ? 0c?u u?1 c?1?s?u u?1C x ? Wx ? 0s?1c+s=r+u停止 返回第二节 基础方程和它的解一、基础方程：V T PV ? 最小c?n n?1 ?A V ? B x ?W ? 0c?u u?1 c?1?B?0 C ?0条件平差s?u u?1C x ? Wx ? 0s?1c ? r u?0V T PV ? 最小r ?n n?1A V ?W ? 0r ?1V T PV ? 最小c?n n?1 ?A V ? B x ?W ? 0c?u u?1 c?1?A ? ?I u ? t c ? r ? u ? s C ? 0 独立 ? r ? t ? nV T PV ? 最小间接平差n?1s?u u?1C x ? Wx ? 0s?1V ? B x ?W ? 0n?t t ?1 n?1?V T PV ? 最小c?n n?1 ?A V ? B x ?W ? 0c?u u?1 c?1?c ? r ?u ?s u ? t C ?0 ? r ?u 独立V T PV ? 最小附有参数的 条件平差c?n n?1s?u u?1C x ? Wx ? 0s?1A V ? B x ?W ? 0c?u u?1 c?1?V T PV ? 最小c?n n?1 ?A V ? B x ?W ? 0c?u u?1 c?1?s?u u?1C x ? Wx ? 0A ? ?Iu ?t包含 t个 独立s?1c ? r ?u ?s附有限制 条件的间 接平差V ? B x ?W ? 0n?1 n?u u?1 n?1s?u u?1V T PV ?? 最小?C x ? Wx ? 0s?1二、基础方程的解：V T PV ? 最小c?n n?1 ?A V ? B x ?W ? 0c?u u?1 c?1?s?u u?1C x ? Wx ? 0s?1按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：? ? V PV ? 2 K ( AV ? B x ? W ) ? 2 K (C x ? Wx ) ? minT T Ts???? ? 2V T P ? 2 K T A ? 0 ?V PV ? AT K?? ?x?T ? ?2 K T B ? 2 K s C ?0BT K ? C T K s ? 0? PV ? AT K ? 0 ? ? ? AV ? B x ? W ? 0 ? T T B K ? C Ks ? 0 ? ? ? ?C x ? Wx ? 0 ? ?V ? QAT K 代入第二式得：? T AQA K ? B x? W ? 0 ? ? T T B K ? C Ks ? 0 ? ? ? C x ? Wx ? 0 ? ?? ? ? N aa K ? B x ? W ? 0 ? ? T T B K ? C Ks ? 0 ? ? ? C x ? Wx ? 0 ? ?? ? N aa K ? B x ? W ? 0 ? ? T T B K ? C Ks ? 0 ? ? ? C x ? Wx ? 0 ? ?K ? N (W ? B x)代入2式：?1 aa?B N?T?1 aa?1 B x ? C T K s ? BT N aa W ?0??1 ?1 x ? ( B T N aa B ) ?1 ( C T K s ? B T N aa W)?1 T ? Nb ( C K s ? We ) b?1 CN bb (C T K s ? We ) ? Wx ? 0?1 T ?1 ?1 K s ? (CN b C ) ( W ? CN We ) x b bb ?1 ? N cc (Wx ? CN b We ) b?1 ?1 x ? ( B T N aa B ) ?1 ( C T K s ? B T N aa W) ??1?1 T ? Nb ( C K s ? We ) b?1 aa ?K ? N (W ? B x)?1 T ?1 ?1 K s ? (CN b C ) ( W ? CN We ) x b bb ?1 ? N cc (Wx ? CN b We ) b??1?1 ?1 x ? ( B T N aa B ) ?1 ( C T K s ? B T N aa W)?1 T ? Nb ( C K s ? We ) bK ? N (W ? B x)?1 aa?B?0 C ?0条件平差c ? r u?0?1 K ? N aa W?1 T ?1 ?1 K s ? (CN b C ) ( W ? CN We ) x b bb ?1 ? N cc (Wx ? CN b We ) b??1?1 ?1 x ? ( B T N aa B ) ?1 ( C T K s ? B T N aa W)?1 T ? Nb ( C K s ? We ) bK ? N (W ? B x)?1 aa?A ? ?I u ? t c ? r ? u ? s ? r ? t ? n C ?0 独立?1 N aa ? ( AQAT ) ?1 ? (Q) ?1 ? P间接平差?1 ?1 x ? ( B T N aa B ) ?1 ( C T K s ? B T N aa W)?? ( B T P B ) ?1 ( B T P W )?1 T ?1 ?1 K s ? (CN b C ) ( W ? CN We ) x b bb ?1 ? N cc (Wx ? CN b We ) b??1?1 ?1 x ? ( B T N aa B ) ?1 ( C T K s ? B T N aa W)?1 T ? Nb ( C K s ? We ) bK ? N (W ? B x)?1 aa?c ? r ?u ?s u ? t C ?0 ? r ?u 独立附有参数的 条件平差?1 K ? ( AQAT ) ?1 (W ? B x) ? N aa (W ? B x) ?1 ?1 ?1 T ?1 x ? ( BT N aa B) ?1 BT N aa W ? N bb B N aa W ? ? ??1 T ?1 ?1 K s ? (CN b C ) ( W ? CN We ) x b bb ?1 ? N cc (Wx ? CN b We ) b??1?1 ?1 x ? ( B T N aa B ) ?1 ( C T K s ? B T N aa W)?1 T ? Nb ( C K s ? We ) bK ? N (W ? B x)?1 aa?A ? ?Iu ?t包含 t个 独立c ? r ?u ?s附有限制条件的 间接平差?1 N aa ?P?1 T ?1 ?1 K s ? (CN b C ) ( W ? CN x bb W ) b ?1 ?1 ? N cc (Wx ? CN bb W)?1 x ? N bb ( BT PW ? C T K s )?第三节 精度评定一、计算单位权中误差V PV ?0 ? ? r二、协因数阵?T停止返回第九章 误差椭圆第一节 概述 第二节 点位误差 第三节 误差曲线停止返回
x?y第一节：概述P ( x, y )P ' ( x, y )~~ ~P ' ( x, y )?u真位置?xP ( x, y )A~ ~?P?s平差后 位置?x ? x ? x ?P 2 ? ?x 2 ? ?y 2 ?y ? y ? y 点位真位差o~y? ? E[( x ? E ( x)) ] ? E[( x ? x) 2 ] ? E[?x 2 ]2 x 2 y 2~? ? E[( y ? E ( y )) ] ? E[( y ? y ) 2 ] ? E[?y 2 ]2~对 ?P 2 ? ?x 2 ? ?y 2 两边取数学期望：E(?P ) ? E(?x ) ? E(?y ) ? ? ? ?2 2 2 2 x2 y点位方差2 2 ?p ? ? x2 ? ? y?P ? ?x' ??y'2 22xX/?y' P' ( x' , y ' )?u同理：2 2 ?p ? ? x2' ? ? y '?x'P( x', y')A?P~ ~?s?点位中误差与坐标系的选择无关。? ? ? ??2 p 2 s2 u? s 称为纵向（中）误差 o ? u 称为横向（中）误差y y/第二节 点位误差 一、 点位误差的计算? ? ? ? ? ? ? Qxx ? ? Qyy ? ? (Qxx ? Qyy )2 p 2 x 2 y 2 0 2 0 2 0在平面网的间接平差中，设点的坐标为未知参数：? ? X ? ?X 1 Y1 X 2 Y 2 ? ? X u Y u ? ? ?? ? ? ? ? ? ?TQ?XX??Q ? ? ? X1 X1 ? ? ? QY 1 X1 ? ? ? ?Q ? ? ? ? X i X1 ? Q? ? ? Yi X1 ? ? ?Q? ? ? X u Y1 ?Q? ? ? Y u1 X 1Q? Q?X 1Y1??? Q? ? Q?X1 X i??Q? Q?X 1Y i??? Q? ? Q?X1 X u??Y1Y1Y1 X iY1Y iY1 X u? Q? ? Q??X i Y1? ? ? Q? ? ? Q??Xi Xi? Q? ? Q??XiYi? ? ? Q? ? ? Q??Xi XuY i Y1Yi XiYiYiYi Xu? Q? ? Q??X u Y1? ? ? Q? ? ? Q???Xu Xi? Q? ? Q??XuYi? ? ? Q? ? ? Q??Xu XuY u Y1Yu XiYuYiYu Xu? ? Q? ? ? Y1Y u ? ? ? Q? ? ? X i Yu ? Q? ? ? YiYu ? ? ? Q? ? ? X u Yu ? Q? ? ? YuYu ? Q?X 1 Yu?? ? ?^ 2? Xi2 ??0 (Q ? ??Xi Xi) ) ? Q??^ 2? Yi2 ??0 ( ?Q ? 2 ??0 (Q ? ?YiYi?^ 2PXi Xi?YiYi)测角网间接平差算例：16 15C7B18 31714 1 12P213 10 5 8 49 6P1D211A 设有一测角三角网，A、B、C、D为已知点，P1、P2为待 定点，同精度观测了18个角度，按间接平差求平差后P1、 P2点的点位精度。停止 返回停止返回平差得：QXX? 0.4 ?? ?0.0023 ? ?0.00250.1 0.30.4 0.10.2? ? 0.0041? ? 0.0169?V T PV 22.28 ?0 ? ? ?? ? ?1.3& r 14?? x1 ? ?1.3 0.0121 ? ?0.14dm?? y1 ? ?1.3 0.0161 ? ?0.16dm? x 2 ? ?1.3 0.0117 ? ?0.14dm? y 2 ? ?1.3 0.0169 ? ?0.17dm??? p1 ? ? 0.142 ? 0.162 ? ?0.21dm??? p 2 ? ? 0.142 ? 0.172 ? ?0.22dm?停止返回二、任意方向的位差x??x?yp??? ? pp?? ? p??p??? ? ?x cos ? ? ?y sin ??p2 2 ?? ??0 Q?? ?p ???p ????y? 02 (Qxx cos 2 ? ? Qyy sin 2 ? ? Qxy sin( 2? )第三节 误差曲线xE?OPyF第四节 误差椭圆xE?EoP D?yF
更多相关文档