理论力学_甜梦文库
第四章 机械振动基础机械振动的特点：围绕其平衡位置往复运动。 学习目的：利用有益的振动，减少有害的振动。 振动系统包括：单自由度系统、多自由度系统和连续体等。§ 4－1 单自由度系统的自由振动 1.自由振动微分方程设弹簧原长为 l0 刚度系数为k? ? 在重力 P ? mg 的作用下弹簧的变形为 ? st这一位置为平衡位置 称为静变形?st ? P / k取重物的平衡位置点O为坐标原点取x 轴的正向铅直向下 则F ? ?k? ? ?k (?st ? x)其运动微分方程为d2 x m 2 ? P ? k (? st ? x) dt?st ? P / kd2 x m 2 ? ?kx dt上式表明： 物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离成正 比而与偏离方向相反的合力 恢复力 只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动2 ?0d2 x m 2 ? ?kx dtd x 2 ? ?0 x ? 0 dt 2－－无阻尼自由振动微分方程的标准形式2k ? m其解具有如下形式其中r为待定常数 本征方程 本征方程的两个根为x ? e rt2 r 2 ? ?0 ? 0r1 ? ?i?0r2 ? ?i?0r1和 r2 是两个共轭虚根微分方程的解为x ? C1 cos?0t ? C2 sin?0t其中 C1 和 令：C2是积分常数，由运动的起始条件确定A? C ?C2 1 2 2C1 tan? ? C2x ? Asin( 0t ? ? ) ?无阻尼自由振动是简谐振动2.无阻尼自由振动的特点（1）固有频率 若运动规律x( t ) 可以写为x(t ) ? x(t ? T )－－周期振动T为常数－－周期? 由式 x ? Asin( 0t ? ? )[?0 (t ? T ) ?? ] ? (?0t ? ? ) ? 2π自由振动的周期为 2π T? ?0 1 ?0 ? 2π ? 2π f T 1 其中 f ? －－振动的频率，表示每秒钟的振动次数。 T 由式2 ?0k ? mk ?0 ? m? 0 只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关而与运动的初始条件无关它是振动系统固有的特性所以称为固有角（圆）频率（一般也称固有频率） m=P/gk ? P / ?stk ?0 ? m?0 ?g? st（2）振幅与初相角x ? Asin( 0t ? ? ) ? A表示相对于振动中心点O的最大位移 －－振幅(?0t ? ? ) 表示质点在某瞬时t 的位置－－相位（或相位角）而θ表示质点运动的起始位置－－初相角x 设t= 0 时，? x0 ? ? ?0x ? Asin( 0t ? ? ) ?dx ?? ? A?0 cos( 0 t ? ? ) ? dt? 02 2 A ? x0 ? 2 ?0? 0 x0 tan ? ? ?03.弹簧的并联与串联（1）弹簧并联F1 ? k1? st在平衡时有F2 ? k2? stmg ? F1 ? F2 ? (k1 ? k2 )? st令k eq ? k1 ? k 2k eq －－等效弹簧刚度系数mg ? k eq ? st? st ? mg / k eq固有频率?0 ?k eq m?k1 ? k 2 m当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个 弹簧刚度系数的和。这个结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。（2）弹簧串联? st1 ?mg k1? st 2 ?mg k2两个弹簧总的静伸长? st ? ? st1 ? ? st 2 ? mg (1 1 ? ) k1 k 2若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为 k eq则有? st ? mg / k eq比较上面两式得1 1 1 ? ? k eq k1 k 2keqk1k 2 ? k1 ? k 2固有频率为?0 ?k eq m?k1k 2 m(k1 ? k 2 )当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度系数倒数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形4.其他类型的单自由振动系统图为一扭振系统 运动微分方程为d 2? J O 2 ? ?k t ? dt令2 ?0kt ? 则上式可变为 JOd 2? 2 ? ?0 ? ? 0 dt 2例 4－1 已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。 当物块下落高度h=0.1m时，撞于无质量的弹簧上， 并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k=0.8kN/m。 倾角 ? ? 30? 求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。解： 若物块平衡时，弹簧应有变形量mg sin? ?0 ? k 以物块平衡位置O为原点，取x轴如图，运动微分方程为d2x m 2 ? mg sin ? ? k (? 0 ? x) dtd2x m 2 ? ?kx dt通解为x ? Asin( 0t ? ? ) ?固有频率k 0.8N/m ?1000 ?0 ? ? ? 40rad/s m 0.5kg当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点0.5kg ? 9.8m/s 2 ? sin 30? x0 ? ?? 0 ? ? ? ?3.06 ? 10 ?3 m 0.8N/m ? 1000v0 ? 2gh ? 2 ? 9.8m/s2 ? 0.1m ? 1.4m/sA? x ?2 0?2 v0 2 0? 35.1mm? ? arctan?0 x0v0? ?0.087rad运动方程为x ? 35.1sin( 40t ? 0.087 )mm例 4－2已知：如图所示无重弹性梁，当中部放置质量m的物块时， 其静挠度为2mm，若将此物块在梁未变形位置处无初速释放。 求：系统的振动规律。解：此无重弹性梁相当于一弹簧,其静挠度相当于弹簧的静伸长则梁的刚度系数为 k ?mg? st取其平衡位置为坐标原点,x轴方向铅直向下 运动微分方程为d2 x m 2 ? mg ? k (? st ? x) ? ?kx dtk 设? ? m2 0d2x 2 ? ?0 x ? 0 dt 2x ? Asin( 0t ? ? ) ?固有频率k g ?0 ? ? ? 70rad/s m ? st在初瞬时t=0，物块位于未变形的梁上 其坐标 x0 ? ?? st ? ?2mm 重物初速度 ?0 ? 02 A ? x0 ? 则振幅为?2 v0 2 0? 2mmπ 2初相角? ? arctan?0 x0v0? arctan(??) ? ?最后得系统的自由振动规律为x ? ?2 cos( 70t )mm例 4－3 已知：图为一摆振系统，杆重不计球质量为m。摆对轴O 的转动惯量为J，弹簧刚度系数为k。杆于水平位置 平衡。 求：此系统微小振动的运动微分方程及振动固有频率。解：摆于水平平衡处，弹簧已有压缩量 ? 0? 由平衡方程 ? M O ( Fi ) ? 0mgl ? k? 0 d以平衡位置为原点， 摆绕轴O的转动微分方程为d 2? J 2 ? mgl ? k (? 0 ? ?d ) ? d dt d 2? J 2 ? ?kd 2? dtk ?0 ? d J例 4－4 已知：如图所示两个相同的塔轮，相啮合的齿轮半径 皆为R，半径为r的鼓轮上绕有细绳。轮I连一铅 直弹簧，轮II挂一重物，塔轮对轴的转动惯量皆 为J，弹簧刚度系数为k，重物质量为m。 求：此系统振动的固有频率。解：以系统平衡时重物的位置为原点，取x轴如图。 系统动能为? 1 2 1 x 2 ? T ? mx ? 2 ? J ( ) 2 2 r系统的势能为1 2 V ? kx 2不计摩擦，由系统的机械能守恒1 2 J 2 1 2 ? ? T ? V ? mx ? 2 x ? kx ? 常数 2 2 r上式两端对时间取一阶导数，得2J ? (m ? 2 ) ??x ? kxx ? 0 x? r2J (m ? 2 )?? ? kx ? 0 x r－－自由振动微分方程系统的固有频率为kr 2 ?0 ? mr2 ? 2 J§ 4－2 计算固有频率的能量法如图所示无阻尼振动系统当系统作自由振动时，运动规律为x ? Asin( 0t ?? ) ?速度为dx v? ? ?0 A cos(?0t ? ? ) dt在瞬时t 物块的动能为1 2 1 2 T ? mv ? m?0 A2 cos2 (?0t ? ? ) 2 2若选平衡位置为零势能点，有1 2 V ? k[( x ? ? st ) 2 ? ? st ] ? Px 2k? st ? P1 2 1 2 2 V ? kx ? kA sin (?0t ? ? ) 2 2对于有重力影响的弹性系统，如果以平 衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性力 势能之和，相当于由平衡位置处计算变形的 单独弹性力的势能。当物体处于平衡位置（振动中心）时，物块具有最大动能1 2 Tmax ? m?0 A2 2当物块处于偏离振动中心的极端位置时，系统具有最大势能1 2 Vmax ? kA 2由机械守恒定律Tmax ? Vmax可得系统的固有频率?0 ? k / m例 4－5 已知：如图振动系统中，摆杆OA对铰链点O的转动惯量J， 杆的点A和B各安置一个弹簧，刚度系数分别为k1 和 k 2 。系统在水平位置处于平衡。 求：系统作微振动时的固有频率。解：? ? Φ sin( 0t ? ? ) ?系统振动时摆杆的最大角速度 系统的最大动能为 选择平衡位置为零势能点 最大势能为? ?max ? ?0Φ1 2 Tmax ? J?0 Φ 2 2Vmax ?1 1 1 k1 (lΦ) 2 ? k 2 (dΦ) 2 ? (k1l 2 ? k 2 d 2 )Φ 2 2 2 2由机械能守恒定律有Tmax ? Vmax即1 2 2 1 J?0 Φ ? (k1l 2 ? k 2 d 2 )Φ 2 2 2解得固有频率?0 ?k1l 2 ? k 2 d 2 J例 4－6已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体， 在一半径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。解：? vO1 ? ( R ? r )?? ? ? (R ? r)? / r系统的动能为? 1 2 1 1 1 mr 2 ( R ? r )? 2 2 2 ? T ? mvO1 ? J O1? ? m[( R ? r )? ] ? ( )[ ] 2 2 2 2 2 r 3m ? ? ( R ? r )2? 2 4系统的势能为V ? mg( R ? r )(1 ? cos? ) ? 2mg( R ? r ) sin2?2当圆柱体作微振动时， 可认为 sin ? 2 2??1 V ? mg( R ? r )? 2 2? 设系统作自由振动时θ的变化规律为 ? ? Asin( 0t ? ? )3m 2 ( R ? r ) 2 ?0 A 2 则系统的最大动能 Tmax ? 4 1 2 系统的最大势能 Vmax ? mg( R ? r ) A 2 由机械守恒定律 有 Tmax ? Vmax解得系统的固有频率为2g ?0 ? 3( R ? r )§ 4－3 单自由度系统的有阻尼自由振动 1.阻尼阻尼－－振动过程中的阻力。 粘性阻尼－－当振动速度不大时，由于介质粘性引起的阻 力近似地与速度的一次方成正比。? ? Fd ? ?cv其中：c－－粘性阻力系数（简称为阻力系数） 以阻尼元件c表示。 弹性元件（k） 一般的机械振动系统 惯性元件（m） 阻尼元件（c）2.振动微分方程如以平衡位置为坐标原点， 在建立此系统的振动微分 方程时可以不再计入重力 的作用。在振动过程中作用在物块上的力有 ? （1）恢复力 F e Fe ? ?kx ? （2）粘性阻尼力F d Fd ? ?c? xdx ? ?c dt物块的运动微分方程为d2 x dx m 2 ? ?kx ? c dt dt令2 ?0k ? mc ?? 2m?0 －－固有角（圆）频率?－－阻尼系数d2 x dx 2 ? 2? ? ?0 x ? 0 dt dt 2－－有阻尼自由振动微分方程的标准形式x ? e rt 其解可设为本征方程r ? 2?r22 ? ?0?0方程的两个根为r1 ? ?? ? ?22 ? ?02 r2 ? ?? ? ? 2 ? ? 0通解为x ? C1er1t? C2 er2t3.欠阻尼状态 ? ? ?0 c ? 2 mk本方程的两个根为共轭复数欠阻尼状态r1 ? ?? ? i2 ?0??22 r2 ? ?? ? i ?0 ? ? 22 x ? Ae?? t sin( ?0 ? ? 2 t ? ? )2 ? d ? ?0 ? ? 2 令－－有阻尼自由振动的固有角频率x ? Ae ?? t sin(?dt ? ? )其中A和θ为两个积分常数，由运动的初始条件确定。设t=0， x ? x0 , ? ? ?0(v0 ? ? x0 )2 2 A ? x0 ? ?02 ? ? 2tan ? ?2 x0 ? 0 ? ? 2? 0 ? ?x0振动的振幅是随时间不断衰减的，称为衰减振动。 是否为周期振动呢？ 仍具有振动的特点。定义：质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置 所需要的时间称为衰减振动的周期， 记为TdTd ?2π?d?2π?02 ? ? 2令? c ζ? ? ?0 2 mkTd ? 2πζ 称为阻尼比? ?0 1 ? ( )2 ?0?2π?0 1 ? ζ 2Td ?T 1? ζ2f d ? f 1? ζ 2?d ? ?0 1? ζ 2x ? Ae ?? t sin(?dt ? ? )设在某瞬时t，振动达到的最大偏离值为A，Ai ? Ae ?? ti经过一个周期 Td 后－－相当振幅Ai ?1 ? Ae ?? (ti ?Td )Ai Ae ?? ti ? ? e? Td Ai ?1 Ae ?? ( ti ?Td )Λ ? ln－－减缩因数Ai 2πζ ? ? Td ? ? 2πζ 2 Ai ?1 1? ζ－－对数减缩，反映阻尼的参数。4.临界阻尼? ? ?0 (ζ ? 1)临界阻尼状态ccr ? 2 mkr1 ? ??微分方程的解为ccr－－临界阻力系数r2 ? ??是否具有振动的特点？本征方程的根为两个相等的实根x ? e ?? t (C1 ? C2t )其中C 1和 C2 为两个积分常数，由运动的起始条件决定。 物体的运动是随时间的增长而无限地趋向平衡位置因此运动已不具有振动的特点5.过阻尼状态? ? ?0 (ζ ? 1)过阻尼状态阻力系数c ? ccr本征方程的根为两个不等的实根r1 ? ?? ? ?22 ? ?02 r2 ? ?? ? ? 2 ? ? 0微分方程的解为x ? ?e?? t(C1e2 ? 2 ??0 t? C2e2 ? ? 2 ??0 t)其中C 1和 C2 为两个积分常数，由运动起始条件来确定运动图线如图不具有振动性质例 4－7 已知：如图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度系 数为kt，圆盘对杆轴的转动惯量J，如圆盘外缘受 到与转动速度成正比的切向阻力，而圆盘衰减扭 振的周期为 T 。d求：圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系解：设 M ? ?? ? 为阻力偶系数圆盘绕杆轴转动微分方程为?? ? J? ? ?kt? ? ??Td ?kt ?? ? ?? ?? ? ?0 J J2π kt ? 2 ?( ) J 2J???2 Td2 kt J ? 4π 2 J 2 Td例 4－8 已知：如图弹簧质量阻尼系统，其物体质量为0.05kg， 弹簧刚度系数k=2000N/m。使系统发生自由振 动，测得其相邻两个振幅比 Ai Ai ?1 ? 100 98 。 求：系统的临界阻力系数和阻力系数各为多少。解：对数减缩为Ai 100 Λ ? ln ? ln ? 0.0202 Ai ?1 98阻尼比为Λ ζ? ? 0.π系统的临界阻力系数为ccr ? 2 mk ? 2 0.05kg ? 2000 N/m ? 20 N ? s/m阻力系数c ? ζccr ? 0.0643 ? s/m N§ 4－4 单自由度系统的无阻尼受迫振动在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。 简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力F ? H sin( ?t ? ? )ω是激振力的角频率；其中：H称为激振力的力幅，即激振力的最大值；? 是激振力的初相角；1.振动微分方程取物块的平衡位置为坐标原点， x轴向下为正。 恢复力Fe ? ?kx质点的运动微分方程为d2 x m 2 ? ?kx ? H sin( t ? ? ) ? dt k H 2 令 ?0 ? ， h ? m md2 x 2 ? ?0 x ? h sin( t ? ? ) ? 2 dt齐次方程的通解为 设特解有如下形式 将x 2 代入方程x1 ? Asin( 0t ? ? ) ?x2 ? b sin( ?t ? ? )其中b为待定常数d2 x 2 ? ?0 x ? h sin( t ? ? ) ? 2 dt2 ? b? 2 sin( ?t ? ? ) ? b?0 sin( ?t ? ? ) ? h sin( ?t ? ? )h b? 2 ?0 ? ? 2全解为h x ? A sin( 0t ? ? ) ? 2 ? sin( t ? ? ) ? 2 ?0 ? ?上式表明无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。 第一部分是频率为固有频率的自由振动x1 ? Asin( 0t ? ? ) ?第二部分是频率为激振力频率的振动h x2 ? 2 sin( ? t ? ? ) 2 ?0 ? ?－－受迫振动2.受迫振动的振幅（1）若 ? ? 0即激振力为一恒力，此时并不振动所谓的振幅 b0 实为静力H 作用下的静变形h b? 2 ?0 ? ? 2（2）若 0 ? ? ? ?0H b0 ? 2 ? ?0 kh振幅b 随着频率ω单调上升 振幅 当ω接近 ?0 时， b 将趋于无穷大。（3）若 ? ? ?0h b? 2 ?0 ? ? 2b为负值b取其绝对值，而视受迫振动 x 2 ，与激振力反向h x2 ? 2 sin( ? t ? ? ? ? ) 2 ?0 ? ?随着激振力频率ω增大，振幅b 减小。 当ω趋于∞，振幅b 趋于零。振幅b与激振力频率ω之间的关系曲线称为振幅频率曲线， 又称为共振曲线。 将纵轴取为b ?? b0? 横轴取为 ? ? ?0振幅频率曲线如图所示3.共振现象当 ? ? ?0 时，即激振力频率等于系统的固有频率时， 振幅b在理论上应趋向无穷大，这种现象称为共振。 当 ? ? ?0 时h b? 2 ?0 ? ? 2没有意义微分方程式的特解应具有下面的形式x2 ? Bt cos( 0t ? ?) ?代入d2 x 2 ? ?0 x ? h sin( t ? ? ) ? 2 dtB ? ?h / 2?0共振时受迫振动的运动规律为x2 ? ?它的幅值为h 2?0t cos(?0 t ? ? )h 2? 0 tb?当 ? ? ?0 时，系统共振。 受迫振动的振幅随时间无限地增大。其运动图线如图所示例 4－9 已知：如图长为l无重杠杆OA，其一端O 铰支，另一端A水 平悬挂在刚度系数为k的弹簧上，杆的中点装有一质 量为m的小球，若在点A 加一激振力F ? F0 sin ? t， 1 其中激振力的频率 ? ? ?0，?0 为系统的固有频率 2 忽略阻尼。 求：系统的受迫振动规律。解：设任一瞬时刚杆的摆角为?系统的运动微分方程为1 2 ?? m( ) ? ? ?kl 2? ? F0 l sin?t 2令2 ?0kl 2 4k ? ? l m m( ) 2 2h?F0 l 4F ? 0 l 2 ml m( ) 22 ?? ? ? ?0 ? ? h sin ?t可得上述方程的特解，即受迫振动为h ?? 2 sin?t 2 ?0 ? ?将 ? ? ?0 代入上式1 24 F0 4 F0 h ?? sin? t ? ml sin? t ? sin? t 3 2 3 4k 3kl ?0 4 4 m例 4－10 已知：如图表示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上， 设电机的质量为 m1 ， 偏心块的质量为m 2 偏心矩为e， 弹性梁的刚度系数为k。 求：当电机以匀速角速度ω旋转时，系统的受迫振动规律。解：质点系包括电机和偏心块。 以平衡位置为坐标原点， 电机轴心的坐标为x。 质点系动量定理的微分方程d (? mi?ix ) ? ?kx dtd dx d [m1 ? m2 ( x ? e sin? t )] ? ?kx dt dt dtx 微分方程 (m1 ? m2 ) ?? ? kx ? m2 e? sin ? t2令H ? m2 e? 2m2 e? 2 h? m1 ? m2受迫振动振幅h m2 e? 2 b? 2 ? 2 ?0 ? ? k ? (m1 ? m2 )? 2上述振幅表达式表示的振幅频率曲线如图所示h m2 e? 2 x2 ? 2 sin ?t ? sin ?t 2 2 ?0 ? ? k ? (m1 ? m2 )?例 4－11已知：如图为一测振仪的简图，其中物块质量为m， 弹簧刚度系数k，测振仪放在振动物体表面， 将随物体而运动。设被测物体的振动规律为 s ? e sin ? t 求：测振仪中物块的运动微分方程及受迫振动规律。解：测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬挂点的运动规律是s ? e sin ? t取t=0时物块的平衡位置为坐标原点O 取x 轴如图? ? ? st ? x ? s（a）物块绝对运动的微分方程为m?? ? kx ? ke sin ? t x物块的受迫振动形式为 此时激振力的力幅为H=kex ? b sin ? th ke e b? 2 ? ? 2 2 2 ?0 ? ? m(? 0 ? ? ) 1 ? ( ? ) 2?0b为物块绝对运动的振幅由于测振仪壳体也在运动，其振幅为e。 记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅a ? b?e当?0 ?? ? 时 b ? 0 有a?e记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。§ 4－5 单自由度系统的有阻尼受迫振动选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下? 线性恢复力 F e? 粘性阻尼力F d ? 简谐激振力FFe ? ?kxdx Fd ? ?c? ? ?c dt F ? H sin ? td2 x dx 质点运动微分方程 m ? ?kx ? c ? H sin? t 2 dt dt k c H 2 ?0 ? 2? ? h? 令 m m md2 x dx 2 ? 2? ? ?0 x ? h sin? t dt dt 2－－有阻尼受迫振动微分方程的标准形式d2 x dx 2 ? 2? ? ?0 x ? h sin? t dt dt 2其解由两部分组成x ? x1 ? x2在欠阻尼 (? ? ?0 ) 的状态下有2 x1 ? Ae?? t sin( ?0 ? ? 2 t ? ? )x2 ? b sin( ? t ? ? )其中ε表示受迫振动的相位角落后于激振力的相位角2 ? b? 2 sin( ? t ? ? ) ? 2?b? cos(? t ? ? ) ? ?0 b sin( ? t ? ? ) ? h sin ? th sin ? t ? h sin[( ? t ? ? ) ? ? ] ? h cos ? sin( ? t ? ? ) ? h sin ? cos(? t ? ? )2 [b(?0 ? ? 2 ) ? h cos ? ] sin( ? t ? ? ) ? [2?b? ? h sin ? ] cos(? t ? ? ) ? 0对任意瞬时t，上式都必须是恒等式2 b(?0 ? ? 2 ) ? h cos ? ? 02?b? ? h sin? ? 0将上述两方程联立可解出 h b? 2 (?0 ? ? 2 ) 2 ? 4? 2? 22?? tan? ? 2 ?0 ? ? 2于是得方程的通解为2 x ? Ae?? t sin( ?0 ? ? 2 t ? ? ) ? b sin(? t ? ? )其中A和θ为积分常数，由运动的初始条件确定。2 x ? Ae?? t sin( ?0 ? ? 2 t ? ? ) ? b sin(? t ? ? )有阻尼受迫振动包括两部分?受迫振动 稳态过程衰减振动 过渡过程受简谐振动力作用的受迫振动仍然是谐振动。 振动频率＝激振力的频率?b?h2 (?0 ? ? 2 ) 2 ? 4? 2? 2影响振幅的因素：激振力的力幅、频率、m、k和c。 振幅频率关系曲线? 横轴表示频率比 s ? ?0纵轴表示振幅比 ? ?c ? ζ? ? ccr ? 0b b0（1）当 ? ?? ?0 时 当作无阻尼受迫振动处理。 （2）当 ? ? ?0 (即s ?1)时 阻尼增大，振幅下降。? ? ?02 ? 2? 2 ? ?0 1 ? 2? 2振幅b具有最大值 bmaxbmax ? h 2?2 ?0??2bmax ?b0 2ζ 1 ? ζ 2这时的频率称为共振频率。在一般情况下 阻尼比ζ ?? 1 共振频率? ? ?0b0 共振的振幅为 bmax ? 2ζ（3）当 ? ?? ?0 时阻尼对受迫振动的振幅影响也较小 将系统当作无阻尼系统处理x2 ? b sin( ? t ? ? )有阻尼受迫振动的相位角，总比激振力落后一个相 位角ε，ε称为相位差。tan? ? 2?? 2 ?0 ? ? 2相位差ε随激振力频率变化曲线如图例 4－12 已知：如图为一无重刚杆，其一端铰支，距铰支端l处有 一质量为m的质点，距2l处有一阻尼器，其阻力系 数为c，距3l处有一刚度系数为k的弹簧。并作用一 简谐激振力 F ? F0 sin? t 。刚杆在水平位置平衡。 试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率?0 以及当激振力频率ω等于 ?0 时质点的振幅。解：设刚杆摆角为θ，振动微分方程为? ? ml 2?? ? ?4cl 2? ? 9kl 2? ? 3F0l sin ? t?? ? 4c ? ? 9k ? ? 3F0 sin? t ? ? m m ml 3F0 9k 2c ?0 ? ，? ? ， h? m m ml令?0 即系统的固有频率。 当? ? ?0 时3F0 F0 m b? ? ? 2?? 0 4c?0 l 4cl k h质点的振幅F0 B ? lb ? 4cm k§ 4－6 转子的临界转速使转子发生激烈振动的特定转速－－临界转速。单圆盘转子：质量m，质心为C， 圆盘与轴的交点为A，偏心距为 e＝AC。圆盘角速度为? ，转轴 弯曲偏离原来的固定轴线，点O r 为z轴与圆盘的交点，A ? OA 。设转轴安装于圆盘的中点。圆盘惯性力： FI ? m? 2 ? OC弹性恢复力：F ? krAkrA ? m? 2 ? OC ? m? 2 (rA ? e)m? 2 e rA ? k ? m? 2k ? ?0 m? 2e rA ? 2 ?0 ? ? 2使转轴挠度异常增大的转动角速度 －－临界角速度。记为? cr 此时的转速称为临界转速。记为 ncr§ 4－7 隔振隔振：将振源和需要防振的物体之间用弹性元件和阻尼 元件进行隔离。 减振：使振动物体的振动减弱的措施。隔振分为主动隔振和被动隔振两类。1.主动隔振主动隔振是将振源与支持振源的基础 隔离开来。如图所示为主动隔振的简化模型。由振源产生的激振力F (t ) ? H sin ? t按有阻尼受迫振动的理论物块的振幅为b?h2 (?0? ? ) ? 4? ?2 2 22?b0 (1 ? s 2 ) 2 ? 4ζ 2 s 2弹簧变形而作用于基础上的力Fe ? kx ? kbsin( t ? ? ) ?通过阻尼元件作用于基础的力? Fd ? cx ? cb? cos( t ? ? ) ?这两部分力相位差为90°,而频率相同它们可以合成为一个同频率的合力，合力的最大值为FN max ? Fe2max ? Fd2max ? (kb) 2 ? (cb? ) 2FN max ? kb 1 ? 4ζ 2 s 2它与激振力的力幅H之比为FN m ax ?? ? H 1 ? 4ζ 2 s 2 (1 ? s 2 ) 2 ? 4ζ 2 s 2其中η称为力的传递率在不同阻尼情况下传递率η与频率比s 之间的关系曲线2.被动隔振将需要防振的物体与振源隔开称为被动隔振。 图为被动隔振的简化模型 设地基振动为简谐振动x1 ? d sin ? t将引起搁置在其上物体的振动， 这种激振称为位移激振。 质点运动微分方程为? ? m?? ? ?k ( x ? x1 ) ? c( x ? x1 ) x? m?? ? cx ? kx ? kx1 ? cx1 x ?将 x1 的表达式代入? m?? ? cx ? kx ? kd sin ? t ? c?d cos ? t x? m?? ? cx ? kx ? H sin( ? t ? ? ) x其中H ? d k ?c ?2 2 2c? ? ? arctan k方程的特解（稳态振动）为x ? b sin( ? t ? ? )k 2 ? c 2? 2 b?d (k ? m? 2 ) 2 ? c 2? 2写成纲量为1的形式b ?? ? ? d 1 ? 4ζ 2 s 2 (1 ? s 2 ) 2 ? 4ζ 2 s 2其中 ? ?是振动物体的位移与地基激振动位移之比 称为位移的传递率例 4－13 已知：如图为一汽车在波形路面行走的力学模型， 2π x 表示， 路面的波形用公式 y1 ? d sin l 其中幅度的d=25mm，波长l=5m，汽车质 量为m=3000kg，弹簧刚度系数为k=294kN/m， 忽略阻尼。 求：汽车以速度v=45km/h匀速前进时，车体的垂 直振幅为多少？汽车的临界速度为多少？解：x ? vt以汽车起始位置为坐标原点，路面波形方程可以写为 2π 2πv y1 ? d sin x ? d sin ?t l l 2πv ?? 令 则 y1 ? d sin ? t l 其中ω相当于位移激振频率??2πv 2π ?12.5m/s ? ? 5πrad/s l 5m系统的固有频率为?0 ?k ? m 294 N/m ? 1000 ? 9.9rad/s 3000 kgx激振频率与固有频率的频率比为 s ?? 5? ? ? 1.59 ?0 9.9求得位移传递率为 b 1 ?? ? ? ? 0.65 2 2 d (1 ? s ) 因此振幅 b ? ? ?d ? 0.65 ? 25mm ? 16.4mm 当 ? ? ?0 时系统发生共振 有 2πvcr ?? ? ?0 l 解得临界速度vcr ?l?0 5m ? 9.9rad/s ? ? 7.88m/s ? 28.4km/h 2? 2πrad§ 4－8 两个自由度系统的自由振动例子：汽车的振动两个物块的运动微分方程m1 ??1 ? ?k1 x1 ? k 2 ( x 2 ? x1 ) x m2 ??2 ? ? k 2 ( x 2 ? x1 ) xm??1 ? (k1 ? k 2 ) x1 ? k 2 x2 ? 0? x ? m2 ??2 ? k 2 x1 ? k 2 x2 ? 0 x ?上式是一个二阶线性齐次微分方程组 令b? k1 ? k 2 k k ，c? 2 ，d ? 2 m1 m1 m2??1 ? bx1 ? cx2 ? 0 ， ??2 ? dx1 ? dx 2 ? 0 x x上列方程组的解为x1 ? A sin( ? t ? ? ) ， x2 ? B sin( ? t ? ? )其中：A、B是振幅； ω为角频率将上式代入??1 ? bx1 ? cx2 ? 0 ， ??2 ? dx1 ? dx 2 ? 0 x x? A? 2 sin( ? t ? ? ) ? bA sin( ? t ? ? ) ? cB sin( ? t ? ? ) ? 0 ? B? 2 sin( ? t ? ? ) ? dA sin( ? t ? ? ) ? dB sin( ? t ? ? ) ? 0整理后得 (b ? ? 2 ) A ? cB ? 0 ， ? dA ? (d ? ? 2 ) B ? 0系统发生振动时，方程具有非零解则方程的系数行列式必须等于零b ??2 ?d ?c d ??2?0－－频率行列式? 4 ? (b ? d )? 2 ? d (b ? c) ? 0－－系统的本征方程，称为频率方程?12,2b?d b?d 2 ? ? ( ) ? d (b ? c) 2 2整理得?12,2b?d b?d 2 ? ? ( ) ? cd 2 2其中第一根 ? 1 较小，称为第一固有频率。 其中第二根 ?2 较大，称为第二固有频率。 结论 两个自由度系统具有两个固有频率，这两个固有频率 只与系统的质量和刚度等参数有关，而与振动的初始 条件无关。?12,2b?d b?d 2 ? ? ( ) ? cd 2 2(b ? ? 2 ) A ? cB ? 0 ， ? dA ? (d ? ? 2 ) B ? 0对应于频率? 1的振幅为 A，B1 1 对应于频率?2的振幅为 A2，B2A1 d ? ?12 c 1 ? ? ? 2 B1 b ? ?1 d ?12 A2 d ? ?2 c 1 ? ? ? 2 B2 b ? ?2 d ?2其中 ? 1和 ? 2 为比例常数对应于第一固有频率? 1 的振动称为第一主振动 它的运动规律为( ( x11) ? A1 sin( ?1t ? ?1 ) ， x21) ? ? 1 A1 sin( ?1t ? ?1 )对应于第二固有频率 ?2 的振动称为第二主振动它的运动规律为( ( x1 2) ? A2 sin( ?2t ? ? 2 ) ， x22) ? ? 2 A2 sin( ?2t ? ? 2 )b?d b?d 2 ? ( ) ? cd 2 2 2 A1 d ? ?12 c 1 A2 d ? ?2 c 1 ? ? ? ? ? ? 2 B1 b ? ?12 d ?1 B2 b ? ?2 d ?2?12,2 ?各个主振动中两个物块的振幅比 B1 b ? ?12 1 b ? d b?d 2 ?1 ? ? ? [ ? ( ) ? cd ] ? 0 A1 c c 2 22 B2 b ? ? 2 1 b ? d b?d 2 ?2 ? ? ? [ ? ( ) ? cd ] ? 0 A2 c c 2 2 图b表示在第一主振动中振动形状称为第一主振型 图c表示在第二主振动中振动形状 称为第二主振型 图c中的点C是始终不振动的节点主振型和固有频率一样都只与系统本身的参数有关 而与振动的初始条件无关因此主振型也叫固有振型. 自由振动微分方程的全解为 第一主振动与第二主振动的叠加 即 x1 ? A1 sin( ?1t ? ?1 ) ? A2 sin( ? 2 t ? ? 2 )x 2 ? ? 1 A1 sin( ?1t ? ?1 ) ? ? 2 A2 sin( ? 2 t ? ? 2 )其中包含4个待定常数 A1，A2，?1，? 2它们应由运动的4个初始条件? ? x10，x20，x10，x20确定例 4－14 已知：如图表示一具有两个集中质量 m，m2 的简支梁 1 在质量 m，m2 处梁的影响系数分别为 ?11，?22 1 和 ?12，?21 梁的质量忽略不计。 ， 求：系统的固有频率和主振型。解：这是两个自由度的振动系统 ??2 x x 惯性力分别为 m1??1 m2， 根据达朗贝尔原理和材料力学中的变形叠加原理 由两个惯性力在 m1和 m2 处产生的挠度分别为x1 ? ?11 (?m1 ??1 ) ? ?12 (?m2 ??2 ) x x x 2 ? ?21 (?m1 ??1 ) ? ?22 (?m2 ??2 ) x x整理得系统的运动微分方程?11m1 ??1 ? ?12 m2 ??2 ? x1 ? 0 ? x x ? ?21m1 ??1 ? ?22 m2 ??2 ? x2 ? 0? x x令（a）?12 m2 ?21m1 1 1 b? ，c? ，d ? ，e? （b） ?11m1 ?22 m2 ?11m1 ?22 m2则方程（a）可改写为??1 ? b??2 ? dx1 ? 0， x x设上述方程解的形式为c??1 ? ??2 ? ex2 ? 0 x x（c） （d）x1 ? Asin( ? t ? ? )， x2 ? B sin( ? t ? ? )将式（d）代入方程（c）得(d ? ? 2 ) A ? b? 2 B ? 0， ? c? 2 A ? (e ? ? 2 ) B ? 0频率方程为d ??2 ? c?2（e）? b? 2 e ??2?0将行列式展开，得(1? bc)?4 ? (d ? e)?2 ? ed ? 0解此代数方程， 得到关于频率 ?的两个根2?12, 2(d ? e) ? (d ? e) 2 ? 4(1 ? cb)de ? 2(1 ? cb)（f）整理得?12, 2(d ? e) ? (d ? e) 2 ? 4bcde ? 2(1 ? cb)2（g）可以证明? 的两个根都是正实根? 1和 ?2 为系统的两个固有频率振幅比为2 2 A1 b?1 e ? ?1 1 ? ? ? 2 2 B1 d ? ?1 ?1 c?1 2 2 A2 b?2 e ? ?2 1 ? ? ? 2 2 B2 d ? ?2 ?2 c?2（h）（i）同样可证明 ? 1 ? 0 和 ? 2 ? 0这样可以画出第一主振型和第二主振型如图b，c所示 l 1 l2 ? 设 m1 ? m2 ? m l1 ? l3 ? 4 2 则根据材料力学公式可计算出?11 ? ?22 ?12 ? ?219l 3 ? 768 EI 7l 3 ? 768 EI其中EI为梁截面的抗弯刚度将上式代入公式（b）得7 768EI c?b? ，e?d ? 9 9ml3再将上述表达式代入式（g）中得EI EI ?1 ? 6.928 ， ? 2 ? 19 .596 3 ml ml 3再由式（h）和（i）解得振幅比为 B1 B2 ?1 ? ? 1， ? 2 ? ? ?1 A1 A2 梁对于其中点具有对称和反对称的两个主振型例 4－15 已知：均质细杆质量为m，长为l，由两个刚度系数皆 为k的弹簧对称支承。 求：此系统的固有频率和固有振型。解：F1 ? kx1 ， F2 ? kx2此时细杆的质心坐标为1 xC ? ( x1 ? x2 ) 2（a）细杆绕质心C 的微小转角1 ? ? ( x1 ? x2 ) d（b）列出细杆的平面运动微分方程m??c ? ? F 1? F2 ? ?k ( x1 ? x 2 ) x d d d ?? J C ? ? ? F1 ? ? F2 ? ? ?k ? ?d 2 2 2将式（a）和式（b）代入上两式ml 2 注意 J C ? 则可整理为 12 ??1 ???2 ?bx1 ? bx2 ? 0 ， ??1 ???2 ?cx1 ? cx2 ? 0 x x x x2k 6kd 2 b? ，c? m ml2 只求系统的固有频率和固有振型时 可取振动的初始角θ=0 而设式（c）的解为 x1 ? A sin ? t ， x2 ? B sin ? t将上式代入式（c） 消去 sin ? t 得(b ? ? 2 )( A ? B) ? 0， (c ? ? 2 )( A ? B) ? 0（c）其中（d） （e）2k 6kd 2 2 ?12 ? b ? ， ?2 ? c ? （f） 2 m ml 2 当?1 ? b时 为使式（e）中两个方程都满足A1 ? B1这是对应于直杆上下平动的固有振型2 当? 2 ? c时 为使式（e）中两个方程都满足A2 ? ? B2这是对应于质心不动而绕质心转动的固有振型如果直接取质心位移 xC和绕质心的转角 ? 为系统的两个独立坐标则直杆的平面运动微分方程为d kd 2 ?? m??c ? ?2kxC ， J C? ? ?k ? d ? ? x ? 2 2（g）上式是对 xC 和 ? 互相独立的两个微分方程系统的两个固有振型随同质心的平移位移 xC 绕质心转动的角位移 ?xC 和 ?称为此系统的两个主坐标例 4－16 已知：如图起重机小车， 其质量为 m1 ? 2220 kg 在质心A处用绳悬挂一重物B，其质量为 m2 ? 2040 kg 左侧弹簧是一缓冲器，刚度系数为k=852.6kN/m， 设绳和弹簧质量均忽略不计。当小车连同重物B 以匀速度 v0 ? 1m/s 碰上缓冲器后。 求：小车和重物的运动。解：广义坐标：小车的水平位移x 绳AB偏离铅直的角度? 应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程 视小车和重物为两个质点 则系统动能为1 1 2 2 T ? m1vA ? m2vB 2 2? 其中 vA ? x2 2 ? ? ? ? vB ? vA ? vr2 ? 2v Avr cos ? ? x 2 ? l 2? 2 ? 2 xl? cos ?1 1 2 ? ?? ? T ? (m1 ? m2 ) x ? m2 (l 2? 2 ? 2l? x cos? ) 2 2系统的势能等于弹簧势能与重力势能的和V? 1 2 kx ? m2 gl(1 ? cos? ) 2?T ?T ?? ? ? ? ?m2 l? x sin ? ， ? m2 (l 2? ? lx cos ? ) ? ?? ?? d ?T ?V ?? ? ?? cos ? ? x? sin ? )， ?? ( ) ? m2 l (l? x ? m2 gl sin ? ? dt ?? ?? ?T ?T ? ? ? 0， ? (m1 ? m2 ) x ? m2 l? cos? ? ?x ?x d ?T ?V ?? ? ?? ? m2l? cos? ? m2l? 2 sin?， ( ) ? (m1 ? m2 ) x ? kx ? dt ?x ?x偏角? 很小，sin ? ? ? ， cos ? ? 1 如下线性微分方程组?? (m1 ? m2 ) ?? ? m2l? ? kx ? 0? x ? ?? ? g? ? 0 ?? ? l? x ??2 并略去 ?（a）设上述方程组的解为x ? A sin( ? t ? ? ) ， ? ? B sin( ? t ? ? )（b）将所设解（b）代入式（a）中 并令 m ? m1 ? m2(k ? m? 2 ) A ? m2 l? 2 B ? 0 ， ? ? 2 A ? ( g ? l? 2 ) B ? 0 （c）频率方程为(k ? m? 2 )( g ? l? 2 ) ? m2 l? 2 ? ? 2 ? 0或 令mg ? kl 2 kg ? ? ? ? ?0 m1l m1l4mg ? kl kg ? b， ?c m1l m1l? 4 ? b? 2 ? c ? 0?12 ?b b b b 2 ? ( ) 2 ? c ， ?2 ? ? ( ) 2 ? c 2 2 2 2代入题设数据，得系统的两个固有频率为?1 ? 0.836rad/s ， ?2 ? 19.6rad/s(k ? m? 2 ) A ? m2 l? 2 B ? 0 ， ? ? 2 A ? ( g ? l? 2 ) B ? 0B1 k ? m?12 ?12 ?1 ? ? ? ? 42.5 2 2 A1 m2 l?1 g ? l?12 2 B2 k ? m?2 ?2 ?2 ? ? ? ? ?0. A2 m2 l?2 g ? l?2系统的两个主振动为x1 ? A1 sin( 1t ? ?1 )， ?1 ? ?1 A1 sin( 1t ? ?1 ) ? ? ? ? x2 ? A2 sin( 2 t ? ? 2 )， ? 2 ? ?2 A2 sin( 2 t ? ? 2 )? ? ?（d）系统的振动规律为? ? ? ? ?1 A1 sin( 1t ? ?1 ) ? ?2 A2 sin( 2t ? ? 2 )? ? ?现在来确定 A1 ，A2 ，?1 ，? 2 4个数值 将式（e）取一阶导数得x ? A1 sin( 1t ? ?1 ) ? A2 sin( 2t ? ? 2 ) ? ?（e）? x ? A1?1 cos( 1t ? ?1 ) ? A2?2 cos( 2t ? ? 2 ) ? ? ? ? （f） ? ? ? ?1 A1?1 cos( 1t ? ?1 ) ? ?2 A2?2 cos( 2t ? ? 2 )? ? ?初始条件：t=0时 ? ? x0 ? 0 ，?0 ? 0 ，x0 ? ?0 ? 1m/s ，?0 ? 0将它们代入式（e）和（f）中 解得 ?1 ? ? 2 ? 0?0 ?2 ?0 ?1 A1 ? ? 0.002， A2 ? ? ? 0.051 ?1 (?2 ? ?1 ) ?2 (?2 ? ?1 )因此,小车和重物的运动规律为x ? 0.002sin0.836 ? 0.051 19.6t t sin? ? 0.085 sin 0.836t ? 0.0036 sin 19.6t§ 4－9 两个自由度系统的受迫振动? 动力减振器如图所示是一个无阻尼系统在主质量 m1 上作用有激振力 H sin ? t小质量m2 以刚度系数为k 2 的弹簧与主质量连接 可用来减小 m1 的振动，称为动力减振器。x1 －－ m1相对平衡位置的位移 相对平衡位置的位移x2 －－ m2建立两个质量的运动微分方程为 m1 ??1 ? ? k1 x1 ? k 2 ( x 2 ? x1 ) ? H sin ? t x m2 ??2 ? ? k 2 ( x 2 ? x1 ) x 令 k ? k2 k k H b? 1 ，c? 2，d ? 2，h? m1 m1 m2 m1则上式可简化为 ??1 ? bx1 ? cx2 ? h sin? t ? x ? ??2 ? dx1 ? dx2 ? 0 x ? 设上述方程一组特解为 x1 ? A sin ? t ， x2 ? B sin ? t 式中A和B为 m1 m2的振幅 是待定常数 和(b ? ? 2 ) A ? cB ? h， ? dA ? (d ? ? 2 ) B ? 0解上述代数方程组得h(d ? ? 2 ) A? (b ? ? 2 )(d ? ? 2 ) ? cdhd B? (b ? ? 2 )(d ? ? 2 ) ? cd下面分析受迫振动的振幅与激振频率之间的关系 （1）当激振频率 ? ? 0 时 周期 T ? ? 表示激振力变化及其缓慢，实际上相当于静力作用h H A? B? ? ? b0 b ? c k1－－力幅H的作用下主质量 m1的静位移（2）系统的频率方程为(b ? ? 2 ) A ? cB ? h， ? dA ? (d ? ? 2 ) B ? 0b ??2 ?d?c d ??2? (b ? ? 2 )(d ? ? 2 ) ? cd ? 0由此可解得系统的固有频率? 1和 ?2h(d ? ? 2 ) A? (b ? ? 2 )(d ? ? 2 ) ? cdhd B? (b ? ? 2 )(d ? ? 2 ) ? cd所以当激振频率? ? ?1 或 ? ? ?2 时 振幅A和B都成为无穷大，即系统发生共振。由此可见两个自由度系统有两个共振频率。（3）h(d ? ? 2 ) A? (b ? ? 2 )(d ? ? 2 ) ? cdB? hd (b ? ? 2 )(d ? ? 2 ) ? cdA d ??2 ? B d即二物块振幅之比与干扰力频率有关 不再是自由振动的主振型。2 A d ? ?12 d ? ?2 ? 或 B d d当 ? ? ?1 或 ?2 时当系统发生各阶共振时，受迫振动是各阶主振型。利用实验测固有频率和固有振型。实例： 设如图所示系统中，k1 ? k 2m1 ? 2m2k1 ? k 2 k2 k2 H b? ，c? ，d ? ，h? m1 m1 m2 m12 2 b ? d ? 2?0 ， c ? ?0其中?0 ?k1 是没有m2 时 m1主质量系统的固有频率b ??2 ?d ?c d ??2 ? (b ? ? 2 )(d ? ? 2 ) ? cd ? 02 2 2 ?12 ? 0.586?0 ， ?2 ? 3.41?0h(d ? ? 2 ) A? (b ? ? 2 )(d ? ? 2 ) ? cdhd B? (b ? ? 2 )(d ? ? 2 ) ? cdH b0 ? kA (b ? c)(1 ? ? 2 / d ) ?? ? ? 2 2 2 b0 b(1 ? ? / b)(1 ? ? / d ) ? c ? 1 ? 2? 2?1 ? ( ) ? ? 1 ? 2 ?0 ?1 ? 1 ? ( )2 2 ?0B 1 ?? ? b0 ? 1 ? 2 ? 2 ?1 ? ( ) ? 1? ? 2 ?0 ?振幅比αβ随频率比 ? / ?0 变化的关系曲线如图所示k2 ?? d ? m2即激振力频率等于减振器m2 本身的固有频率时 振幅A=0 而振幅B= b0 但与激振力反相位 此时质量m 2 振动而主质量m1 不动， 故称为动力减振如果一个振动系统受到一个频率不变的激振力作用而 发生振动，则可在这振动系统上安装一个动力减振器 来减小甚至消除这种振动。－－无阻尼减振器有阻尼动力减振器它的减振作用主要是靠阻尼元件在振动过程中， 吸收振动能量来达到减振的目的。此外还有冲击减振器 如图所示例 4－17 已知：电机的转速为1500r/min，由于转子不平衡使机壳 发生较大的振动，为减少机壳的振动，机壳上安 装数个如图的动力减振器，该减振器由一钢制圆 截面弹性杆和两个安装在杆两端重块组成，杆的 中部固定在机壳上，重块到中点的距离l可用螺杆 来调节，重块质量为m=5kg，圆杆的直径D=20mm。 问：重块距中点的距离l 应等于多少时减振器的减振 效果最好。解：电机机壳受迫振动的角频率为 n ? ? 2π f ? 2π ? 50π rad/s60螺杆的刚度系数k可由材料力学公式计算 有 k ?πD 4 其中 I ? 是螺杆截面惯性矩 64 E ? 2.1?10 5 MPa 是材料的弹性模量3El l3l为悬臂杆的杆长减振器自身的固有频率为令 ? ? ?0k 3E ? πD 4 ?0 ? ? m 64ml 3解得杆长3E ? πD4 3 ? 2.1?105 N/mm2 ? π ? (20mm)4 ?1000 l?3 ?3 ? 342mm 2 2 2 64m? 64 ? 5kg ? (50 rad/s) π
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