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三角函数知识点复习1111
三角函数总复习一、基础知识点回顾正角 推广 负角 零角 角度制 角的度量 弧度制 角的概念 定义 三角函数终边相同的角 象限角 坐标上的角角度制与弧度制的换算三角函数的符号同角三角函数的基本关系和诱导公式 定义域、值域、单调性、 奇偶性、周期 倍角公
式性质三 角 函 数 图 像两角和与差的正弦、 余弦、正切、余切公式半角公式 万能公式二、考试内容： 1、角的概念的推广和弧度制． 2、任意角的三角函数与单位圆中的三角函数线． 3、同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦、正切的诱导公式． 4、两角和差的正弦、余弦、正切公式;二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式． 5、正弦函数、余弦函数 y=Asin(ω x+φ ),y=Acos(ω x+φ )的图像和性质;正切函数 y=Atan(ω x+φ )的图像和性质; 6、正弦定理,余弦定理运用和解斜三角形；已知三角函数值求角。 三、考纲要求： 1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌 握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小 正周期的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角与半角的正弦、 余弦、正切公式。 4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。 5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦 函数，余弦函数和函数 y=Asin(wx+φ )的简图，理解 A、W、φ 的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinx、arccosx、arctgx 表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决 三角形的计算问题。 8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能 运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。 9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。 四、知识结构（一）三角函数的概念1.角的概念的推广： (1)定义：一条射线 OA 由原来的位置 OA，绕着它的端点 O 按一定方向（逆时针或顺 时针）旋转到另一位置 OB 形成角α 。其中射线 OA 叫角α 的始边，射线 OB 叫角α 的终 边，端点 O 叫角α 的顶点。 (2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1）； ） 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2）． ） 当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角。 （1）（2）正角：按逆时针方向旋转形成的角任意角负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不做旋转时形成的角(3)象限角：由角的终边所在位置确定。象限角：第一象限角的集合 ? x | 2k? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? ；第二象限角的集合 ? x | 2k? ? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? ? ? ? ?? 2 ??2?第三象限角的集合 ? x | 2k? ? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? ；第四象限角的集合 ? x | 2k? ? ? ? x ? 2k? , k ? Z ? ? ? ? ?? 2 ??2?第一象限角：2kπ ＜α ＜2kπ +? 2 ,k∈Z? 第二象限角：2kπ + 2 ＜α ＜2kπ +π ,k∈Z3? 第三象限角：2kπ +π ＜α ＜2kπ + 2 ,k∈Z 3? 第四象限角：2kπ + 2 ＜α ＜2kπ +2π ,k∈Z(4)终边相同的角：0 一般地，所有与α 角终边相同的角，连同α 角在内，可以表示为可构成集合 ? | ? ? k ? 360 ? ? , k ? Z 或???? | ? ? 2k? ? ? , k ? Z? 即 S={(5)特殊角的集合：轴 线 角β | β =α +k?3600,K∈ Z}终边在 x 轴上角的集合 ?? | ? ? k? , k ? Z? , 终边在 y 轴上角的集合 ?? | ? ? ? ? k? , k ? Z ? , ? ?? 2 ?终边在坐标轴上角的集合 ?? | ? ? k? , k ? Z ?? ? 2 ? ?终边在 X 轴上角：{β | β =K?1800 = kπ ，K∈Z}；? 终边在 Y 轴上角：{β | β =90 +K?180 = 2 + kπ ，K∈Z} ? 终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α ｜α ＝kπ + 4 ，k∈Z｝ ? 终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α ｜α ＝kπ - 4 ，k∈Z｝ ? 终边在四个象限角平分线上角的集合｛α ｜α ＝kπ 4 ，k∈Z｝0 0（6）终边相同的角集合具体内容归纳： ①与 ? （0°≤ ? ＜360° ）终边相同的角的集合（角 ? 与角 ? 的终边重合） ? | ? ? k ? 360? ? ? , k ? Z ：??▲y2 sinx 1 cosx cosx 4②终边在 x 轴上的角的集合： ? | ? ? k ?180 , k ? Z??? ? ? ?4 cosx cosx 13 sinx③终边在 y 轴上的角的集合： ? | ? ? k ?180 ? 90 , k ? Z? ??x④终边在坐标轴上的角的集合： ? | ? ? k ? 90? , k ? Z??sinxsinx 3⑤终边在 y=x 轴上的角的集合： ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z?2⑥终边在 y ? ?x 轴上的角的集合： ? | ? ? k ?180 ? 45 , k ? Z? ??SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域⑦若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称，则角 ? 与角 ? 的关系： ? ? 360? k ? ? ⑧若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称，则角 ? 与角 ? 的关系： ? ? 360? k ? 180? ? ? ⑨若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上，则角 ? 与角 ? 的关系： ? ? 180? k ? ? ⑩角 ? 与角 ? 的终边互相垂直，则角 ? 与角 ? 的关系： ? ? 360? k ? ? ? 90?2.弧度制： (1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。(2)角度与弧度的互化：角度、弧度的换算关系： ≈0.01745（rad）, 注意： （a）正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. ( b) 360° ? 180° ? 1°=0..30°=57°18′ =2 =180 1? ?360? ? 2? rad ,?rad? 180 ? 1rad ? ? ? ? ? ? ≈57.30°=57°18@；?(3)两个公式： 设扇形的弧长为 l ,圆心角为 ? (rad ) ,半径为 r ， 为圆心角弧度数， α 则有:扇形弧长： l ? r ? ?；扇形面积：S= S ? lr ? r 2 ? ?y3、三角函数定义： 设 ? 是一个任意角、 O 为坐标原点, 在 ? 的终边上任取异于原点O 一点 P,点 P（x,y）与原点的距离为 OP ? r ,则oa的 终边P（x,y) r1 21 2xy r r x y x sin ? ? ； cos ? ? ； tan ? ? ； cot? ? ； sec ? ? ； csc? ? r x r x y y（1）正弦值：关于 Y 轴对称角（互补角 ? ? 360? k ? 180? ? ? ）正弦值相等。? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) ? sinα=sin(180-α );(2)余弦值：关于 X 轴对称角（相反角即负角 ? ? 360? k ? ? ）余弦值相等。Cos(-α )= Cosα 即 ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) ? Cos(-α )= Cosα 。 y(3)正切值（或余切值） ：关于原点成中心对称角正切值（或余切值）相等。 即 ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) ? tan(180+α )=tanα ; cot(180+α )=cotα x 4、三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦）y y16. 几个重要结论 : (1)y+ + o x 正弦、余割- + o - + x余弦、正割y- + o x + 正切、余切(2)y|sinx|&|cosx| sinx&cosxO x |cosx|&|sinx| O |cosx|&|sinx| xcosx&sinx |sinx|&|cosx| ? (3) 若 o&x& ,则sinx&x&tanx 2y B P α O M A x S Tsin ? (cos ? )cos? (sec ? )?2 ,t a n （ cot ? ） ?5、三角函数线： 当 0& ? & 正弦线： sin ? =MP;有: sin ? & ? & tan ? .正切线： tan ? = AT.余弦线： cos ? =OM;如下图，sinα =MP, cosα =OM, tgα =AT,ctgα =BS6、特殊角的三角函数值：30° 45° 60° 0° 0 90° 1 180° 0 270° －1 15° 75°sin ?1 22 2 2 213 21 26? 2 4 6? 2 42- 36? 2 4 6? 2 42+ 3cos?tan ?cot ?3 2 3 310－103003 3 (二)同角三角函数的基本关系与诱导公式31002+ 3sin2- 3cos1、同角三角函数的基本关系式: （1）倒数关系： tan ? ? cot ? ? 1 ;cs c ?s i n ?1 ; ? ?s ec ?co s ?1 . ? ?tan 1 cot（2）商的关系： tan ? ? sin ? , cot ? ? cos ? . cos ? sin ? （3）平方关系： sin ? ? cos ? ? 1 ; sec 2 ? ? tan2 ? ? 1 ; csc 2 ? ? cot2 ? ? 12 2seccsc2、诱导公式 函数x ???2 ? ?? ??sin x （正弦） cos x （余弦） cos? ? sin ?tan x （正切） ? tan ?cot x （余切） ? cot ?cos?? sin ?? sin ?? cot ?? tan ?? tan ?? cot ?? cos?? sin ?3? ?? 2? cos?? sin ?? cot ?? tan ?? tan ?? cot ?2? ? ?注意： （1）诱导公式可概括为 k ?cos? ?2? ? 的各三角函数值的化简公式。? 的奇数倍和偶数倍,变与不变是指 2 函数名称的变化,若是奇数倍,则函数名称变为相应的余名函数,若是偶数倍,则函数名称不变；符号 看象限是指把 ? 看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。在运用诱导公式过程中注意两点： 一是函数名称是否改变,二是正负号的确定原则。 （3） 诱导公式（详细总结） ： 1） 负角公式： sin(- ? )=-sin ? ;cos(- ? )=cos ? ;tan(- ? )=tan ? ;cot(- ? )=cot ? .(四象限角) 2) 中心对称公式：sin(180+ ? )=-sin ? ；cos(180+ ? )=-cos ? ； tan(180+ ? )=tan ? ； cot(180+ ? )= cot ? .(180+ ? 三象限角) (3)Y 轴对称公式： sin(180- ? )=sin ? ；cos(180- ? )=-cos ? ；(180- ? 二象限角) tan(180- ? )=-tan ? ； cot(180- ? )= -cot ? .（2）记忆规律：奇变偶不变,符号看象限。其中的奇、偶是指（4）三角变名公式： sin(90+ ? )=cos ? ；cos(90+ ? )=-sin ? ；tan(90+ ? )=-cot ? ； cot(90+ ? )= -tan ? .(二象限角) sin(90- ? )=cos ? ；cos(90- ? )=sin ? ；tan(90- ? )=cot ? ； cot(90- ? )= tan ? .(一象限角) sin(270+ ? )=-cos ? ；cos(270+ ? )=sin ? ；tan(270+ ? )=-cot ? cot(270+ ? )= -tan ? .(四象限角) sin(270- ? )=cos ? ；cos(270- ? )=-sin ? ；tan(270- ? )=-cot ? cot(270- ? )= -tan ? .(二象限角) （5）终边相等角公式：sin(360+ ? )=sin ? ；cos(360+ ? )=cos ? ；tan(360+ ? )=tan ? ； cot(360+ ? )= cot ? . sin(360- ? )= sin(- ? )=-sin ? ；cos(360- ? )= cos(- ? )=cos ? ； tan(360- ? )= tan(- ? )=-tan ? ； cot(360- ? )= cot(- ? )= -cot ?公式组一 sinx?cscx=1 cosx?secx=1 tanx?cotx=1 tanx= x=sin x cos x cos x sin x公式组二公式组三sin2x+cos2x=1sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x 2 2 1+tan x =sec x tan(2k? ? x) ? tan x 1+cot2x=csc2x cot(2k? ? x) ? cot xsin(? x ) ? ? sin x cos(? x ) ? cos x tan(? x ) ? ? tan x cot(? x ) ? ? cot x公式组四公式组五公式组六sin(? ? x) ? ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? tan x cot(? ? x) ? cot xsin(2? ? x) ? ? sin x cos(2? ? x) ? cos x tan(2? ? x) ? ? tan x cot(2? ? x) ? ? cot xsin( ? x) ? sin x ? cos( ? x) ? ? cos x ? tan( ? x) ? ? tan x ? cot( ? x) ? ? cot x ?(三)两角和与差的三角函数 1、两角和与差的三角函数公式：sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?,cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?,tan(? ? ? ) ?tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?。2、两角和与差具体三角函数公式两角和公式 两角差公式tan( ? ? ) ? ?tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?tan( ? ? ) ? ?tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?sin( ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ?cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ?sin( ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ?cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ?3、二倍角公式和半角公式 二倍角公式 半角公式sin 2? ? 2 sin ? cos ?cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ?sin?2?2????1 ? cos? 21 ? cos? 2costan 2? ?2 tan? 1 ? tan2 ?? 1 ? cos? sin? 1 ? cos? tan ? ? ? ? 2 1 ? cos? 1 ? cos? sin?4、万能公式sin? ?2 tan?21 ? tan 2?2cos? ?1 ? tan 2 1 ? tan 2? ?2 2t an? ?2 t an?21 ? t an2二倍角公式与万能公式?2sin 2? ? 2 sin ? cos ? ?2 2 22 tan ? 1 ? tan 2 ?2；1 ? tan 2 ? cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2cos ? ? 1 ? 1 ? 2sin ? ? 1 ? tan 2 ?；tan 2? ?2 tan ? 1 ? tan 2 ?5、积化和差公式：1 ?s i n?? ? ? ? ? s i n?? ? ? ?? 2 1 ?s i n?? ? ? ? ? s i n?? ? ? ?? co s? s i n ? ? 2 1 ?co s?? ? ? ? ? co s?? ? ? ?? co s? co s ? ? 2 1 s i n? s i n ? ? ? ?co s?? ? ? ? ? co s?? ? ? ?? 2 s i n? co s ? ?5、和差化积公式：sin? ? sin ? ? 2 sin? ?? ??? cos 2 2? ?? ? ?? cos 2 2sin? ? sin ? ? 2 cos? ?? ? ?? sin 2 2? ?? ??? sin 2 2cos? ? cos ? ? 2 coscos? ? cos ? ? ?2 sin注意：熟悉以下公式变形 (1) tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ?(2) sin2? ?1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ; cos 2 ? ? 2 22 （3） 1 ? cos ? ? 2 cos?2,1 ? cos ? ? 2 sin 22?2? ? ? ? ? cos （4） 1 ? sin ? ? ? sin ? 2 2? ?令? ? ?? (5) sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? sin 2? ? 2sin ? cos ?令? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ??? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? tan ? ? tan ? 1+cos2? 　　　　　　　 cos 2 ?＝ ? 1 ? tan ? tan ? 2 1 ? cos2? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2 ?＝ ? sin 2 2 tan ? 　　　 2? ? tan 1 ? tan 2 ? 　 ?? ? ? ? ? tan（6）注意“凑角”运用： ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ??2?? ??2?? ? ? ? ?? ? ? ? ,求值时,特别注意角的范围及符号。 4? 4 ?例如：已知 ?、? ? ?3 ? ? 12 ?? ? 3? ? ? ? ，? ?， ?? ? ? ? ? ? ,sin ? ? ? ? ? , 则 cos ? ? ? ? ? ? sin 5 4 ? 13 4? ? 4 ? ? ?（7）辅助角公式的运用： a sin ? ? b cos ? ?a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?b .如： a等。? ?? ? ?? sin ? ? 3 cos ? ? 2sin ?? ? ? , 3 sin ? ? cos ? ? 2sin ?? ? ? , sin ? ? cos? ? 2 sin ?? ? ? ? ? ? 3? 6? ? ? ? 4?（8）几种常用变换思想： ①变不同角为同角 ②变不同函数为同名函数 ③见高次降幂(四)三角函数图象一、三角函数的图象及性质 表（1） 函 图 象 数y ? sin xyy ? tan xy ? cos xyy3? ?2o? 2?3? 22?xo? 22?xo? 2?3? 2x定义域 值 域RR? ? ? ? x | x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?R 奇函数 无界函数[?1,1]奇函数[?1,1]偶函数奇偶性 有界性 最小正 周 期sin x ? 12?cos x ? 12??单 调 区 间? ?? ? 增区间 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ? (k ? Z ) ? 3? ? ? 减区间 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2 ? ? (k ? Z )x ? k? ?增区间? 2k? ? ? , 2k? ? (k ? Z ) 减区间? 2k? , 2k? ? ? ? (k ? Z )x ? k? (k ? Z )? ?? ? 增区间? k? ? , k? ? ? 2 2? ? (k ? Z )无对称轴?2对称轴 对 中 称 心(k ? Z )? k? ,0?? k ? Z ?x ? 2 k? ?? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? 2 ? ?? k? ? , 0??k ? Z ? ? ? 2 ??2? k ? Z ?时， ? k ? Z ?时，x ? 2k? ? k ? Z ? 时， x ? ? 2k ? 1? ? ? k ? Z ? 时， ymin ? ?1 ymax ? 1;无最值最值ymax ? 1; x ? 2 k? ? ymin ? ?1?2表（2） (? ? 0, A ? 0)函数y ? Asin ??x ? ? ?y ? A cos ??x ? ? ?y ? A tan ??x ? ? ?2k? ? ? ? 2? ? ? ,k ?Z? ?x | x ? 2? ? ?定义域 值 域RR[? A, A][? A, A]R 时 是? ? k? ? k ? Z ? 时是奇函数,? ? k? ?奇偶性 有界性 最小正 周 期 数。? ? k? ??2?k ? Z ??2?k ? Z ? 时 是 偶 函奇 函 数 , ? ? k? ? k ? Z ? 时 是偶函数。? ? k? ? k ? Z ? 时是奇函数无界函数A sin ?? x ? ? ? ? AA cos ?? x ? ? ? ? A2? ?2? ?? ?单 调 区 间? 4k? ? ? ? 2? 4k? ? ? ? 2? ? 增区间 ? , ? 增区间 ? 2k? ? ? ? ? , 2k? ? ? ? 2? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? (k ? Z )减区间 ? 2k? ? ? ? 2? 2k? ? ? ? 2? ? (k ? Z )减区间 增区间 ? , ? 2? 2? ? ? ? 4k? ? ? ? 2? 4k? ? 3? ? 2? ? , ( k ? Z ) ? 2 k? ? ? , 2 k? ? ? ? ? ? k ? Z ( k ? Z ) ? ? ? 2? 2? ? ? ?? ? ? ? ? ?x? 2k? ? ? ? 2? (k ? Z ) 2? x? k? ? ? (k ? Z )对称轴?无对称轴对 中称 心? k? ? ? ? , 0??k ? Z ? ? ? ? ?? 2k? ? ? ? 2? ? , 0??k ? Z ? ? 2? ? ?? k? ? 2? ? , 0??k ? Z ? ? ? 2? ?最值? k ? Z ?时， 4k? ? ? ? 2? ? x? ? k ? Z ?时， ymax ? A; 2? ymax ? A; (2k? ? ? ) ? ? x? ?k ? Z ? 4k? ? ? ? 2? ? x? ? k ? Z ?时， 时，y min ? ? A 2? y min ? ? Ax?? ?2 k? ? ?无最值注： （1）注意会解三角函数在区间上的值域（或范围）如：求 sin ? ? ???? ?? ? ,? ? ? 0, ? 上的取值范围。 4? ? 2?（2）注意求单调区间时的整体意识。如：求 y ? sin ? 2 x ?? ???? 的单调增区间,在 ?0, 2? ? 上的单调增区间。而 6??? ?? ?? ? ? ? y ? sin ? ? 2 x ? 求单调增区间时,先化成 y ? ? sin ? 2 x ? ? 的形式,再求 y ? sin ? 2 x ? ? 的单调递减区间。 6? 6? ?6 ? ? ?（3）求对称轴、对称中心时,注意整体意识,同时 y ? sin x、y ? cos x 在对称轴处取最值。 二、图象变换：函数 y ? A sin ??x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0 ? 的图象可由 y ? sin x 的图象做如下变换得到 1、先相位变换 周期变换 振幅变换y ? sin xy ? sin ? x ? ? ? ：把 y ? sin x 图象上所有的点向左（ ? ? 0 ） 或向右（ ? ? 0 ）平移 ?个单位。y ? sin ?? x ? ? ? ： 把 y ? sin? x ? ? ? 图 象 上 各 点的 横 坐 标伸 长（ 0 ? ? ? 1 ） 或 缩短（ ? ? 1 ）到原来的1?倍,纵坐标不变。y ? Asin ??x ? ? ? ： 把 y ? si n? x ? ? ? 图 象 上 各 点 的 纵 坐 标 伸 长 （ A ? 1 ） 或 缩 短2、先周期变换 相位变换 （ 0 ? A ? 1 ）到原来的 A 倍,横坐标不变。 振幅变换y ? sin xy ? sin ? x ：把 y ? sin x 图象上各点的横坐标伸长（ 0 ? ? ? 1 ）或缩短（ ? ? 1 ）到原来的1?倍,纵坐标不变。y ? sin ?? x ? ? ? ：把 y ? sin ? x 图象上所有的点向左（ ? ? 0 ）或向右（ ? ? 0 ）平移单位.? 个 ?y ? Asin ??x ? ? ? ：把 y ? sin ? x ? ? ? 图象上各点的纵坐标伸长（ A ? 1 ）或缩短（ 0 ? A ? 1 ）到原来的 A 倍,横坐标不变。 3、 注意： （1） 要会画 y ? Asin ??x ? ? ? 在一个周期的图象： （即五点作图法： t ? ? x ? ? ? 0, ? , ? , 3? , 2? , 求相应的 x 设2 2值和对应的 y 值,描点作图）如 y ? 2sin ? 2 x ?? ???? ,在 ? 0, ? ? 上的图象的画法。 6?（2）注意图象变换时①先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区别。 ②要先使函数名称相同再变换。 如：为得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? ? 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象向? ? ? 3?平移个单位。1 （3） T ? 2? , f ? （频率） 。注意 y ? Asin ??x ? ? ? 、 y ? Acos ??x ? ? ? 相邻两对称轴间的距离为 T ? ? 。 T 2 ? ?（4）已知图象求解析式时注意：看振幅求 A ,看周期求 ? ,看特殊点求 ? （通常是最大值或最小值时的位置）（5）已知变换求解析式时,注意只能对自变量 x 进行变换。三、方法技巧归纳： 1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、 商数关系、 平方关系,用三角函数的定义反复证明强 化记忆,这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立,记忆方法可概括为“奇变 偶不变,符号看象限”,变与不变是相对于奇偶关系的函数而言的 2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中,显得十分重要,根据三角函数的,可简记 为“一全正,二正弦,三两切,四余弦”,其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦 值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正 3. 在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时,要注意用是否“同角”来区分 和选用公式,注意切化弦、 “1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用,在利用诱导公式进行三角 式的化简、求值时,要注意正负号的选取 4.求三角函数值域的常用方法： 求三角函数值域除了判别式、 重要不等式、 单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下方法： （1）将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域； （2）利用 sin x, cos x 的有界性求值域； （3）换元法,利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性,不能只注意换元,不注意等价性 5、三角函数图象的作法： １） 、几何法： ２） 、描点法及其特例――五点作图法（正、余弦曲线） ，三点二线作图法（正、余切曲线）. ３） 、利用图象变换作三角函数图象． 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 函数 y＝Asin（ω x＋φ）的振幅|A|，周期 T ? 2? ，频率 f|? |? 1 |? | ? T 2?，相位 ? x ? ? ; 初相 ? （即当 x＝0 时的相位）（当 A＞0，ω ＞0 时以上公式可去绝对值符号） ． ， 由 y＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当 0＜|A|＜1） 到原来的|A|倍，得到 y＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换． （用 y/A 替换 y） 由 y＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω |＜1）或缩短（|ω |＞1）到原 来的 | 1 | 倍，得到 y＝sinω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换．(用ω x 替换 x)?由 y＝sinx 的图象上所有的点向左（当 φ＞0）或向右（当 φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到 y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移．(用 x＋φ 替换 x) 由 y＝sinx 的图象上所有的点向上（当 b＞0）或向下（当 b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到 y＝sinx＋b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移． （用 y+(-b)替换 y） 由 y＝sinx 的图象利用图象变换作函数 y＝Asin（ω x＋φ） （A＞0，ω ＞0） （x∈R）的图象， 要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。5. 三角函数的图象与性质 1）列表综合三个三角函数 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的图象与性质,并挖掘： ?最值的情况；?了解周期函数和最小正周期的意义．会求 y ? A sin(? x ? ? ) 的周期,或者经过简单 的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况； ?会从图象归纳对称轴和对称中心；y ? sin x 的对称轴是 x ? k? ? 2 (k ? Z ) ,对称中心是 (k? , 0) (k ? Z ) ；y ? cos x 的对称轴是 x ? k? (k ? Z ) ,对称中心是 (k? ? 2 , 0) (k ? Z )??y ? tan x 的对称中心是 (k? , 0)(k ? Z ) 2 注意加了绝对值后的情况变化.?写单调区间注意 ? ? 0 . 2） 了解正弦、 余弦、 正切函数的图象的画法,会用 “五点法” 画正弦、 余弦函数和函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,并能由图象写出解析式．?“五点法”作图的列表方式； ?求解析式 y ? A sin(? x ? ? ) 时初相 ? 的确定方法：代（最高、低）点法、公式 3）正弦型函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象变换方法如下： 1、先平移后伸缩x1 ? ?? ?.y ? s i xn的图象??????? ?向左(? &0)或向右(? ?0) 平移 ? 个单位长度得y ? sin( x ? ? )横坐标伸长(0&? &1)或缩短(? &1) ?????????? 1的图象到原来的 (纵坐标不变) ?得y ? sin(? x ? ? )的图象纵坐标伸长(A?1)或缩短(0&A&1) ????????? ? 为原来的A倍 ( 横坐标不变 )得y ? A sin(? x ? ? )的图象向上 ( k ? 0) 或向下( k ? 0) ??????? ? 平移 k 个单位长度得y ? A sin( x ? ? ) ? k的图象．2、先伸缩后平移y ? sin x纵坐标伸长( A?1)或缩短(0? A?1) ????????? y ? A sin x ? 为原来的A倍(横坐标不变) 的图象 得 的图象向左(? ? 0)或向右(? ? 0) ??????? ? ? 平移横坐标伸长(0?? ?1)或缩短(? ?1) ?????????? 1 到原来的 (纵坐标不变) ?得y ? A sin(? x)的图象?个单位得y ? A sin x(? x ? ? )的图象向上 ( k ?0)或向下( k ?0) ??????? ? 平移 k 个单位长度得y ? A sin(? x ? ? ) ? k的图象．(五)解斜三角形：在解三角形时，常用定理及公式如下表： 名 称 公 式 内角和定理 A+B+C=π 变 形A B ? C ? 2 + 2 ＝ 2 2 ，2A+2B＝2π -Cb2 ? c2 ? a2 2bc cosA=余弦定理a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosCa2 ? c2 ? b2 2ac cosB= a2 ? b2 ? c2 2ab cosC正弦定理a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 为Δ ABC 的外接圆半径a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa b c sinA= 2 R ,sinB= 2 R ,sinC= 2 R射影定理acosB+bcosA=c acosC+cosA=b bcosC+ccosB=a ① ①1 1 1 SΔ = 2 aha= 2 bhb= 2 chc②SΔ1 1 1 = 2 absinC= 2 acsinB= 2 bcsinA abc ③SΔ = 4 R2S △ sinA= ab 2S △ sinB= ac面积公式④SΔ1 = P( P ? a)(P ? b)(P ? c) (P= 22S △ sinC= ab(a+b+c))1 ⑤SΔ = 2 (a+b+c)r(r 为Δ ABC 内切圆半径)(六).反三角函数：1.函数 y＝sinx， ? x ? ?? ? ， ? ? 的反函数叫做反正弦函数，记作 y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］ ， ? ? ?? ? ? 2 2 ?? ? ??值域是 ?－? ， ? ． ?? ? 2 2? ?2.函数 y＝cosx， （x∈［0，π ］ ）的反应函数叫做反余弦函数，记作 y＝arccosx，它的定义域是［－ 1，1］ ，值域是［0，π ］ ． 3.函数 y＝tanx，? x ? ? ? ? ， ? ? 的反函数叫做反正切函数， 记作 y＝arctanx， 它的定义域是 （－∞， ＋∞） ， ? ? ?? ? ? ?? ? 2 2 ??值域是 ? ? ? ， ? ． ? ? ?? 2 2?4.函数 y＝ctgx， ［x∈（0，π ） ］的反函数叫做反余切函数，记作 y＝arcctgx，它的定义域是（－∞， ＋∞） ，值域是（0，π ） ．反三角函数注意点：1. 反三角函数：?反正弦函数 y ? arcsin x 是奇函数，故 arcsin(? x) ? ? arcsin x ， x ? ?? 1,1?（一定要注明定义域， 若 x ? ?? ?,??? ，没有 x 与 y 一一对应，故 y ? sin x 无反函数） 注： sin(arcsinx) ? x ， x ? ?? 1,1? ， arcsin x ? ?? ? , ? ? . ? 2 2? ? ? ?反余弦函数 y ? arccos x 非奇非偶，但有 arccos(? x) ? arccos(x) ? ? ? 2k? ， x ? ?? 1,1? . 注：① cos(arccosx) ? x ， x ? ?? 1,1? ， arccosx ? ?0, ? ?. ② y ? cos x 是偶函数， y ? arccos x 非奇非偶，而 y ? sin x 和 y ? arcsin x 为奇函数. ?反正切函数： y ? arctan x ，定义域 (??,??) ，值域（ ?arctan( x) ? ? arctanx ， x ? (??,??) . ?? ?， na t c , ） y ?ar 2 2x 是奇函数，注： tan(arctan ) ? x ， x ? (??,??) . x ?反余切函数： y ? arc cot x ，定义域 (??,??) ，值域（ ?? ?a t r c ， , ） y?c o 2 2x 是非奇非偶.arc cot(? x) ? arc cot(x) ? ? ? 2k? ， x ? (??,??) .注：① cot(arc cot x) ? x ， x ? (??,??) .1 ② y ? arcsin x 与 y ? arcsin( ? x) 互为奇函数， y ? arctan x 同理为奇而 y ? arccos x 与 y ? arccot x 非奇非偶但满足arccos(? x) ? arccos x ? ? ? 2k? , x ? [?1,1]arccot x ? arccot(? x) ? ? ? 2k? , x ? [?1,1] .? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a 的取值范围解集a 的取值范围解集① sin x ? a 的解集② c o s ? a 的解集 xa ＞1?a ＞1?a =1a ＜1?x | x ? 2k? ? arcsina, k ? Z ?a =1?x | x ? 2k? ? arccos a, k ? Z ??x | x ? k? ? ??1?karcsina, k ? Z?a＜1?x | x ? k? ? arccosa, k ? Z ?③ tan x ? a 的解集： ?x | x ? k? ? arctan a, k ? Z ? ③ cot x ? a 的解集： ?x | x ? k? ? arc cot a, k ? Z ?名 反正弦函数 称 y=sinx(x∈? ? 〔- 2 , 2 〕的反反余弦涵数反正切函数 y=tgx(x∈反余切函数y=ctgx(x∈(0, π ))的反函数， 叫做反 余切函 数，记作 x=arcctgyy=cosx(x∈〔0,π 〕) 的反函数，叫做反 余 弦函数，记作 x=arccosy定 义? ? (- 2 , 2 )的反函 数，叫做反正 弦函数，记作 x=arcsiny arcsinx 表示属函数， 叫做反正 切函数，记作 x=arctgy arctgx 表示属arccosx 表示属于［0， π］ ，且余弦值等于 x 的角理 解? ? 于［- 2 , 2 ］且正arcctgx 表示属 ? ? 于( - 2 ， 2 )， 且正切值等于 x 的角 值等于 x 的角于(0， )且余切 π弦值等于 x 的角图 像定 义 值 值 域 单 在〔-1，1〕上是 在［-1，1］上是减函 性 调 增函数 性 质 奇 arcsin(-x)=-ar 偶 csinx 性 周 期 性 tg(arctgx)=x( sin(arcsinx)=x 恒等 式 (x∈［-1，1］) arcsin(sinx)=x? ? (x∈［- 2 , 2 ］)［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)? ? ［- 2 ， 2 ］［0，π ］? ? (- 2 ， 2 )(0，π )在(-∞，+∞) 上是增 数在(-∞，+∞)上 是减函数数arccos(-x)=π -arccosxarctg(-x)=-ar ctgxarcctg(-x)=π -arcctgx都不是同期函数cos(arccosx)=x(x∈ ［-1,1］)arccos(cos x)=x(x∈［0,π ］)x∈ R)arctg(tgx)= x（x∈? ? (- 2 , 2 )）ctg(arcctgx)=x (x∈ R)arcctg(ctgx) =x(x∈(0,π ))互余 恒等 式? arcsinx+arccosx= 2 (x∈［-1,1］) ? arctgx+arcctgx= 2 (X∈R)11.三角方程： (1)最简单三角方程的解集： 方 程 ｜a｜ Φ ＞1 ｜a｜ sinx=a =1 ｜a｜ ｛x｜x=kπ +(-1)karcsina,k∈z｝ ＜1 ｜a｜ Φ ＞1 ｜a｜ cosx=a =1 ｜a｜ ｛x｜x=2kπ ±arccosa,k∈z｝ ＜1 tgx=a ctgx=a ｛x｜x=kπ +arctga,k∈z｝ ｛x｜x=kπ +arcctga,k∈z｝ ｛x｜x=2kπ +arccosa,k∈z｝ ｛x｜x=2kπ +arcsina,k∈z｝ 方程的解集(2)简单三角方程：转化为最简单三角（四）三角函数常用知识总结及运用1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形 成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的 起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边在第 几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1） ? 终边与 ? 终边相同( ? 的终边在 ? 终边所在射线上) ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) ，注意：相等的角的终边一 定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 ? 1825 的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧?度。 （答： ?25 ；??5 ? 36）（2） ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k? (k ?Z) . （3） ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) . （4） ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . （5） ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) .? ? k? ? , k ? Z 2 （6） ? 终边在 x 轴上的角可表示为： ? ? k? , k ? Z ； ? 终边在 y 轴上的角可表示为： ； ? 终边k? ,k ?Z 2 .如?在坐标轴上的角可表示为：2k? ???? ? 的终边与 6 的终边关于直线 y ? x 对称，则 ? ＝____________。 （答：?3, k?Z?）?4、 ? 与 2 的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 ? 是第二象限角，则 2 是第_____象限角（答： 一、三） 5.弧长公式： l ?| ? | R ，扇形面积公式：? S ? 1 lR ? 1 | ? | R 2 2 2 ，1 弧度(1rad) ? 57.3 .如已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。 （答：2 cm ） 6、任意角的三角函数的定义：2 2 设 ? 是任意一个角，P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点（异于原点） ，它与原点的距离是 r ? x ? y ? 0 ，2那么sin ? ?x y x y , cos ? ? tan ? ? , ? x ? 0 ? cot ? ? y r r， x ，( y ? 0) ，sec ? ?r r csc ? ? ? y ? 0 ? y x ? x ? 0? ， 。注意：三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关。7 如（1）已知角 ? 的终边经过点 P(5，－12)，则 sin ? ? cos ? 的值为＿＿。 （答： 13 ） ； ?（2）设 ? 是第三、四象限角，sin ? ?2m ? 3 3 ) 4 ? m ，则 m 的取值范围是_______（答： （－1， 2 ） ；y B P α O M A x S T| sin ? | cos? ? ?0 ? sin ? | cos? | （3）若 ，试判断 cot(sin? ) ? tan(cos ) 的符号（答：负）7.三角函数线的特征： 三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式 正弦线 MP “站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 余弦线 OM 、 “躺在 x 轴上(起点是原点)” 、 正切线 AT“站在点 A(1, 0) 处(起点是 A )”.。?如（1）若?8?? ? 0，则 sin ? ,cos ? , tan ? 的大小关系为_____(答： tan ? ? sin ? ? cos ? )；（2）若 ? 为锐角，则 ? ,sin ? , tan ? 的大小关系为_______ （答： sin ? ? ? ? tan ? ） ；（3）函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg(2 sin x ? 3) 的定义域是_______（答： 8.特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° 0° 0 90° 1 180° 0(2k? ??3, 2 k? ?2? ](k ? Z ) 3270° －115°75°sin ?1 22 23 21 26? 2 46? 2 4cos?3 23 312 210－106? 2 42- 36? 2 42+ 3tan ?33 300cot ?31002+ 32- 39. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： sin2? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec2 ?,1 ? cot 2 ? ? csc2 ?sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?（2）倒数关系：sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1,tan ? ?（3）商数关系：同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关 系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数 值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角 形求出此三角函数值的绝对值。y?如（1）函数sin ? ? tan ? cos ? ? cot ? 的值的符号为____（答：大于 0） ；2（2）若 0 ? 2 x ? 2? ，则使 1 ? sin 2x ? cos2x 成立的 x 的取值范围是____[0,（答：?3 [ ?,?] 4 ? 4 ） ；]sin ? ?（3）已知m?3 4 ? 2m ? 5 cos ? ? ( ?? ??) ? m?5 ， m?5 2 ，则 tan ? ＝____（答： 12 ） ；5 13 tan ? sin ? ? 3 cos ? ? ? ?1 2 （4）已知 tan ? ? 1 ，则 sin ? ? cos ? ＝____； sin ? ? sin ? cos? ? 2 ＝_________（答： 3 ； 5 ） ；（5）已知 sin 200 ? a ，则 tan160 等于? ??A、a 1? a2aB、 1 ? a2?C、1? a 2 a1? a 2 a D、 （答：B） ；? （6）已知 f (cos x) ? cos3x ，则 f (sin 30 ) 的值为______（答：－1） 。k ? ?? 10.三角函数诱导公式（ 2 ）的本质是：奇变偶不变（对 k 而言，指 k 取奇数或偶数） ，符号看象限（看原函数，同时可把 ? 看成是锐角）.诱导公式的应 用是求任意角的三角函数值，其一般步骤： （1）负角变正角，再写成 2k ? + ? , 0 ? ? ? 2? ；(2)转化为锐角三角 函数。cos如（1）9? 7? 2 3 ? tan(? ) ? sin 21? ? 4 6 3 ） 的值为________（答： 2 ； sin( 540 ? ? ? ) ? ? 4 ? s ( 5 ， 则 c o ? ? 2 7 )0? ______ ， 若 ? 为 第 二 象 限 角 ， 则（ 2 ） 已 知[sin( ? ? ? ) ? cos(? ? 360? )]2 180 4 3 ? ? ? ? tan( 180 ? ? ) ________。 （答： 5 ； 100 ）11、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数 y ? sin x 和余弦函数y ? cos x 图象的作图方法：五点法：先取横坐?标分别为 0， 2 内的图象。,? ,3? , 2? 2 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期12、正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质： （1）定义域：都是 R。??1,1? ，对 y ? sin （2）值域：都是x ，当x ? 2k ? ??2?k ?Z ?y 时， 取最大值 1；当x ? 2k ? ?3? ?k ? Z ? 2 时，y 取最小值－1；对 y ? cos x ，当 x ? 2k? ? k ? Z ? 时， y 取最大值 1，当 x ? 2k? ? ? ? k ? Z ? 时， y 取最小值－1。? 1 1 3 ? y ? a ? b sin(3x ? ) a ? ,b ?1 b 6 的最大值为 2 ， 2 如 （1） 若函数 最小值为 2 ， a ? __， ? ＿ 则 （答： 或 b ? ?1 ） ；（2）函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x （x ? [?? ?, ] 2 2 ）的值域是____（答：[－1, 2]） ；（3）若 2? ? ? ? ? ，则 y ? cos ? ? 6 sin ? 的最大值和最小值分别是____ 、_____（答：7；－5） ；f ( x) ? 2cos x sin( x ? ) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 的最小值是_____，此时 x ＝__________（答：2； 3 （4）函数 k? ???12(k ? Z )） ；sin ? cos ? ?（5）己知 （6）若 sin21 1 [0, ] 2 ，求 t ? sin ? cos? 的变化范围（答： 2 ） ；? ? 2 sin 2 ? ? 2 cos? ，求 y ? sin 2 ? ? sin 2 ? 的最大、最小值（答： ymax ? 1 ， ymin ? 2 2 ? 2 ） 。y ? cos x 的最小正周期都是 2 ? ； f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 和 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) ②特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？ （3） 周期性： y ? sin x 、 ①T?的最小正周期都是2? |? | 。f ( x) ? sin如(1)若?x3 ，则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2003) ＝___（答：0） ；44 (2) 函数 f ( x) ? cos x ?2sin x cos x ? sin x 的最小正周期为____（答： ? ） ；f ( x) ? 2 sin( x ? ) 2 5 ，若对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立，则 | x1 ? x2 | 的最小值为 (3) 设函数____（答：2）??? k? ,0?? k ? Z ? ，对称轴是直线 （4）奇偶性与对称性：正弦函数 y ? sin x( x ? R) 是奇函数，对称中心是x ? k? ??2?k ? Z ?? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? 2 ? ；余弦函数 y ? cos x ( x ? R )是偶函数，对称中心是 ? ，对称轴是直线x ? k? ? k ? Z ?交点） 。（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，对称中心为图象与 x 轴的? 5? ? y ? sin ? ? 2x ? ? 2 ? 的奇偶性是______（答：偶函数） 如（1）函数 ；3 （2）已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin x ? 1( a,b 为常数） ，且 f ( 5 ) ? 7 ，则 f ( ?5 ) ? ______（答：－5） ；（ 3 ） 函 数 y ? 2 co sx( sinx ? co sx) 的 图 象 的 对 称 中 心 和 对 称 轴 分 别 是 __________ 、 ____________ （ 答 ：(k? ? k? ? ? ,1 )( k ? Z ) x ? ? (k ?Z ) 2 8 2 8 、 ） ；（4）已知 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3cos( x ? ? ) 为偶函数，求 ? 的值。 （答：? ? k? ??6(k ?Z )）? ?? ? 3? ? ? ? y ? sin x在 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? ? 2 2? 2 2? ? （5）单调性： 上单调递增，在 ? 单调递?2k? ,2k? ? ? ?? k ? Z ? 上单调递减，在 ?2k? ? ? ,2k? ? 2? ?? k ? Z ? 上单调递增。特别提醒， 减； y ? cos x 在别忘了 k ? Z ！ 13、形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数：f ?（1）几个物理量：AD振幅；1 T D频率（周期的倒数） ? x ? ? D相位； ? D初相； ；期确定；（2）函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定：A 由最值确定； ? 由周? 由图象? | ? |? ) f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 ， 2 的 上的特殊点确定， 如15 ? f ( x) ? 2sin( x ? ) f ( x) ＝_____（答： 2 3 ） ；（3）函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法：图象如图所示，则①“五点法”DD设 X ? ? x ? ? ，令 X ＝0， 2?,? ,3? , 2? 2 求出相应的 x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 （4）函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系： ①函数 y ? sin x 的图象纵坐标不变，横坐标向左（? &0）或向右（ ? &0）平移 | ? | 个单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的1图象；②函数 函数y ? sin ? x ? ? ?图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ? ，得到函数y ? sin ?? x ? ? ?的图象；③y ? sin ?? x ? ? ?图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象；④函y ? Asin ??x ? ? ? ? k 数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的横坐标不变，纵坐标向上（ k ? 0 ）或向下（ k ? 0 ） ，得到 的 y ? sin ?? x ? y ? sin ?? x ? ? ?图象。要特别注意，若由得到? | 的图象，则向左或向右平移应平移 ? 个单位，|y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 4 4 如 （1） 函数 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的图象？ （答：??? ? y ? 2sin(2 x ? ) 4 的图象，再向左平移 8 个单位得 y ? 2sin 2 x 的图象，横坐标扩大到原来 向上平移 1 个单位得1 y ? 2sin x 的图象，最后将纵坐标缩小到原来的 2 即得 y ? sin x 的图象） 的 2 倍得 ；? x ? x y ? cos( ? ) y ? sin 2 4 的图象，只需把函数 2 的图象向___平移____个单位（答：左； 2 ） (2) 要得到函数 ；y ? 2sin(2x ? 7? ? ) ?1 a 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？ 3 图像，按向量（3）将函数? a ? (? , ?1) a ；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量 6 若唯一，求出 ） ；（4）若函数 是??f ? x ? ? cos x ? sin x ? x ? ? 0, 2? ??（答： [1, 2) ）的图象与直线 y ? k 有且仅有四个不同的交点，则 k 的取值范围（5）研究函数 y ? A sin(? x ? ? ) 性质的方法：类比于研究 y ? sin x 的性质，只需将 y ? A sin(? x ? ? ) 中的? x ? ? 看成 y ? sin x 中的 x ，但在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区间时，要特别注意 A 和 ? 的符号，通过诱导公式先将 ? 化正。y ? sin( ?2x ?如（1）函数?3 的递减区间是______（答：)[ k? ?5 ? ? ,k? ? ]( k ? Z ) 12 12 ） ；x ? 3 3? y ? log 1 cos( ? ) [ 6 k? ? ? , 6 k? ? ]( k ? Z ) 3 4 的递减区间是_______（答： 4 4 2 （2） ） ；（3）设函数f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,??2?? ??2 的图象关于直线)x?2? 3 对称，它的周期是 ? ，则1 f ( x)的图象过点 (0, ) 2 A、f ( x)的图象的一个对称中心 是(5? 2? [ , ] f ( x) 在区间 12 3 上是减函数 B、5? ,0) 12C、D、 f ( x ) 的最大值是 A（答：C） ；?? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 3 ? 给出下列结论： ? （4）对于函数x?①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线?12 成轴对称；? ? ③ 图象可由 函数 y ? 2sin 2 x 的 图像向 左平移 3 个 单位得 到；④ 图像向左 平移 12 个 单位， 即得到函 数y ? 2cos 2 x 的图像。其中正确结论是_______（答：②④） ；? f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象与直线 y ? 1 的交点中，距离最近两点间的距离为 3 ，那么此函数的 （5）已知函数周期是_______（答： ? ） 14、正切函数 y ? tan x 的图象和性质：{x | x ?（1）定义域：?2? k? , k ? Z }。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？（2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：是周期函数且周期是 ? ，它与直线y ? a 的两个相邻交点之间的距离是一个周期 ? 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响： 一般说来， 某一周期函数解析式加绝对值或平方， 其周期性是： 弦减半、 切不变． 既 为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如 但y ? sin 2 x, y ? sin x的周期都是 ? ,y ? sin x? cos x? ? 1 ? y ?| 2sin(3 x ? ) ? |, y ?| 2sin(3 x ? ) ? 2 | 6 2 6 的周期为 2 ，而 ， y ?| tan x | 的周期不变；? k? ? ,0? ? ? 2 ? ? k ? Z ? ，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类： （4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是一类是图象与 x 轴的交点，另一类是渐近线与 x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 2 ? （5）单调性：正切函数在开区间 ? 2 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图：15、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? sin 2? ? 2sin ? cos ? ?令? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ??? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? tan ? ? tan ? 1+cos2? 　　　　　　　 cos 2 ?＝ ? 1 ? tan ? tan ? 2 1 ? cos2? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2 ?＝ ? sin 2 2 tan ? 　　　 2? ? tan 1 ? tan 2 ? 　 ?? ? ? ? ? tan1 如（1）下列各式中，值为 2 的是? ? A、 sin15 cos 15cos 2B、?12? sin 2?12tan 22.5? 2 ? C、 1 ? tan 22.51 ? cos 30? 2 D、） （答：C） ；（答：C） ；（2）命题 P： tan( A ? B ) ? 0 ，命题 Q： tan A ? tan B ? 0 ，则 P 是 Q 的是（ A、充要条件 B、充分不必要条件C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? )sin ? ?（3）已知3 7 5 ，那么 cos 2? 的值为____（答： 25 ） ；1 3 ? ? sin 80? 的值是______（答：4） （4） sin 10 ；a? 3 1 ? a2 0 0 (5)已知 tan110 ? a ，求 tan 50 的值（用 a 表示）甲求得的结果是 1 ? 3a ，乙求得的结果是 2a ，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对） 16. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是： 一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的 核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? ， 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ， 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ， ? ? ? ? 2 ????2 ? ??? ??2，??2? ?? ? ?? 2 ?等） ，tan(? ? ? ) ?如（1）已知2 3 ? 1 ? tan( ? ? ) ? tan(? ? ) 5， 4 4 ，那么 4 的值是_____（答： 22 ） ；0?? ?（2）已知?2?? ??，且cos( ? ??2)??490 1 ? 2 sin( ? ? ) ? 9， 2 3 ，求 cos( ? ? ? ) 的值（答： 729 ） ；（ 3） 已知 ? , ? 为 锐 角， sin ? ? x,cos ? ? y ，cos(? ? ? ) ? ?3 5 ， 则 y 与 x 的 函数 关系 为______ （ 答：y??3 4 3 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) 5 5 5 ）(2)三角函数名互化(切割化弦)： 如（1）求值 sin50 (1 ? 3 tan10 ) （答：1） ；? ?1 sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? 3 ，求 tan( ? ? 2? ) 的值（答： 8 ） （2）已知 1 ? cos 2?(3)公式变形使用（ tan ? ? tan ?? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ?。如（1）已知 A、B 为锐角，且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ，则 cos( A ? B) ＝_____（答：?2 2 ） ；(2)设 ?ABC 中， tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B ， 边）sin Acos A ?3 4 ，则此三角形是____三角形（答：等c o 2s? ?(4) 三 角 函 数 次 数 的 降 升 ( 降 幂 公 式 ：1? c o s 2 ? 1 ? cos 2? sin 2 ? ? 2 2 ， 与升幂公式：1? c o s 2 ??22 c o s1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? )。 ?，3 2? ?( ? , ? )如(1)若1 1 1 1 ? ? ? cos 2? sin 2） ，化简 2 2 2 2 为_____（答： ；2（2）函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3cos x?5 ? 5? 3( x ? R ) [ k? ? ,k? ? ]( k ? Z ) 2 12 12 的单调递增区间为___________（答： ）sin ? ? tan ? cot ? ? csc ? （答： sin ? ） ；(1) 式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 如（1） tan ? (cos ? ? sin ? )?1 ? sin ? 1 ? 2sin（2）求证：2?2?1 ? tan 1 ? tan? ?22；2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?1 ? ? cos 2 x 2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4 （3）化简： （答： 2 ）1 2(6)常值变换主要指“1”的变换（ 1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x ? tan x ? cot x2 2 2 23 ? tan ? ? sin ? ?? 2 2 4 2 等） ，如已知 tan ? ? 2 ，求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ? （答： 5 ）.sin (7)正余弦“三兄妹― sin x ? cos x、 x cos x ”的内存联系DD“知一求二” ，如（1）若 sin x ? cos x ? t ，则 sin x cos x ?t 2 ?1 2 )，特别提醒：这里 t ?[? 2, 2] ； __（答： （2）若 ?? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 14? 7 3 ） 2 ，求 tan ? 的值。 （答： ； ?? ? sin 2? ? 2sin 2 ? ? k ( ?? ? ) 4 2 ，试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值（答： 1 ? k ） 1 ? tan ? （3）已知 。17、辅助角公式中辅助角的确定： 定， ? 角的值由 如 （1）若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解，则 c 的取值范围是___________.（答：[－2,2]） ；a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ?(其中 ? 角所在的象限由 a, b 的符号确tan ? ?b a 确定)在求最值、化简时起着重要作用。3 （2）当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时， tan x 的值是______(答： 2 )； ?（3）如果f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?)是奇函数，则 tan ? =(答：－2)；3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? 2 （4）求值： sin 20 ? cos 20? ________(答：32)2知识内容注意方面：① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反； y ? ? cosx 与 y ? cos x 的单调性也同样相反.一般地，若 y ? f (x) 在y▲[a, b] 上递增（减） ，则 y ? ? f (x) 在 [a, b] 上递减（增）.② y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? .x O? ③ y ? sin( x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) （ ? ? 0 ）的周期 T ?y ? tan2??.x 的周期为 2 ? （ ? T? ? T ? 2? ，如图，翻折无效）. 2 ?? ④ y ? sin( x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ??2( c s （k?Z ） ，对称中心（ k? ,0 ） y ? o ；?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k?（k?Z ） ，对称中心（ k? ? 1 ? ,0 ） y ? a ； n t(2?x ? ? ) 的对称中心（k? ,0 ）. 2?2y ? cos2x ?原点对称 ? y ? ? cos(?2x) ? ? cos2x ?? ?tan ⑤当 tan? ? ? ? 1, ? ? ? ? k? ??2tan (k ? Z ) ； tan? ? ? ? ?1, ? ? ? ? k? ?(k ? Z ) .⑥ y ? cos x 与 y ? sin? x ? ? ? 2k? ? 是同一函数,而 y ? (?x ? ? ) 是偶函数，则 ? ? 2 ? ?1 y ? (?x ? ? ) ? sin(?x ? k? ? ? ) ? ? cos( ?x) . 2⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.（× [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域， y ? tan x 为增函数， ） 同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是 f (x) 具有奇偶性的必要不充分条件. （奇偶性的两个条件： 一是定义域关于原点对称 （奇 偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数： f (? x) ? f ( x) ，奇函数： f (? x) ? ? f ( x) ）1 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： y ? tan x 是奇函数， y ? tan( x ? ? ) 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称） 3奇函数特有性质：若 0 ? x 的定义域，则 f (x) 一定有 f (0) ? 0 .（ 0 ? x 的定义域，则无此性质）▲⑨ y ? sin x 不是周期函数； y ? sin x 为周期函数（ T ? ? ） ； ； ； y ? cos x 是周期函数（如图） y ? cos x 为周期函数（ T ? ? ）y▲yx1/2 xy=cos|x|图象1 ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： y ? cos 2 x ? 的周期为 ? （如图） 2y=|cos2x+1/2|图象y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .⑩ y ? a cos? ? b sin ? ? a 2 ?b 2 sin( ? ? ) ? cos? ? ? 二、三角恒等式. 组一 组二nb 有 a 2 ?b 2 ? y . acos? cos 2? cos 4? ... cos 2 n ? ?sin 2 n ?1? 2 n ?1 sin??? sin? 2 sinnsin3? ? 3 sin? ? 4 sin3 ? cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos??2nsin2 ? ? sin2 ? ? sin?? ? ? ? sin?? ? ? ? ? cos2 ? ? cos2 ?? cos 2k ?1?k? cos?2cos?4cos?8? cos2n? cos(x ? kd ) ? cos x ? cos(x ? d ) ? ? ? cos(x ? nd) ?k ?0nsin((n ? 1)d ) cos(x ? nd ) sin d? sin(x ? kd ) ? sin x ? sin(x ? d ) ? ? ? sin(x ? nd) ?k ?0nsin((n ? 1)d ) sin(x ? nd ) sin dtan( ? ? ? ? ) ? ?tan? ? tan ? ? tan ? ? tan? tan ? tan ? 1 ? tan? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan?组三 三角函数不等式sin x ＜ x ＜ tan x, x ? (0,?2)f ( x) ?sin x 在 (0, ? ) 上是减函数 x若 A ? B ? C ? ? ，则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 yz cos A ? 2 xz cos B ? 2 xy cos C 11．三角函数同角关系中，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的 范围，并进行定号”； 12．三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限． 13．三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数（常值）的变换，其核心是“角的变换”! 角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的 变换． 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? ，2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ， 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ，等．? ? ? ? 2?? ??2，???2? ????2? ?? ? ?? 2 ?常值变换主要指“1”的变换：1 ? sin 2 x ? cos2 x ? tan x ? cot x ? tan ? ? sin ? ? cos 0 ?? 等． 4 2三角式变换主要有： 三角函数名互化 （切割化弦） 三角函数次数的降升 、 （降次、 升次） 运算结构的转化 、 （和 式与积式的互化） ．解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变 形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次． 注意： （差） 和 角的函数结构与符号特征； 余弦倍角公式的三种形式选用； （升次） 降次 公式中的符号特征． “正sin 余 弦 ? 三 兄 妹 ― sin x ? cos x、 x cos x ? 的 联 系 ” （ 常 和 三 角 换 元 法 联 系 在 一 起t ?s i n x ? c ?[ ? o s x2 ,2 x , sx i n ] ?． c o s）辅助角公式中辅助角的确定：a sin x ? b cos x ? 定， ? 角的值由 tan ? ?a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ?（其中 ? 角所在的象限由 a, b 的符号确b 确定）在求最值、化简时起着重要作用．尤其是两者系数绝对值之比为 1或 3 的情 a2 2 2形． A sin x ? B cos x ? C 有实数解 ? A ? B ? C ． 14．三角函数性质、图像及其变换： （1）三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性 （2）三角函数图像及其几何性质：（3）三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换． （4）三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法（五点横坐标成等差数列）和变换法． 15、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系 作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。 （2）诱导公式： 诱导公式可用概括为：奇变偶不变，符号看象限。 作用：“去负――脱周――化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数――去负；利用三角函 数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o,360o)或[0o,180o)内的三角函数 ――脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数――化锐.（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用： ①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。 注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。 ②求任意角的三角函数值。 步骤： ③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个． 步骤： ①确定角所在的象限； ②如函数值为正，先求出对应的锐角；如函数值为负，先求出与其绝对值 应的锐角； ③根据角所在的象限， ④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。 16、三角恒等变换： 三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换， 提高三角变换能力， 要学会创设条件， 灵活运用三角公式， 掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍 半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、 割为弦，变异名为同名。 （3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值 （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降 幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，常用升幂化为有理式， 常用升幂公式有： ； ； （5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 （6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化， 特殊值与特殊角的三角函数互化。3.周期函数： (1)定义：对于函数 y=f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得 x 取定义域内的任 意值时，都有 f (x+T)=f(x)，那么函数 y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数 T 叫做 这个函数的一个周期，如 果 T 中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做这个函 数的最小正周期。(2)几个常见结论： ①如果 T 是函数 y=f(x)的一个周期，那么 kT(k∈Z，且 k≠0)也是 y=f(x)的周 期。T②如果 T 是函数 y=f(x)的一个周期，那么 ? 也是 y=f( ? x)( ? ≠0)的周期。 ③一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数 y=f(x)=c。 4.三角函数定义： (1)定义：设α 是一个任意大小的角，P(x，y)是角α 终边上任意一点，它与原 点的距离｜PO ｜ =r,那么角α 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是 sinx r y x y r α = r ,cosα = r ,tgα = x ,ctgα = y ,Secα = x ,cscα = y (如上图)。特殊角的三角函数值：30° 45° 60° 0° 0 1 0 0 90° 1 0 180° 0 －1 0 0 270° －1 0 15° 75°sin ?1 2cos?tan ?cot ?3 23 32 2 2 21 13 2 1 26? 2 4 6? 2 42- 3 2+ 36? 2 4 6? 2 42+ 3 2- 333 33(2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如下图)(3)同角三角函数的基本关系式： 倒数关系：sinα ?cscα =1,cosα ?secα =1,tgα ?ctgα =1sin a cos a 商数关系：tgα = cos a ,ctgα = sin a平方关系：sin2α +cos2α =1,1+tg2α =sec2α ,1+ctg2α =csc2α (4)诱导公式： 2kπ + α 正弦 余弦 正切 余切 -α α sinα cosα tgα ctgα -sinα cosα -tgα -ctgα π -α sinα -cosα -tgα -ctgα π +α -sinα -cosα tgα ctgα 2π -α -sinα cosα -tgα -ctgα? 2 -α? 2 +αcosα sinα ctgα tgαcosα -sinα -ctgα -tgα上述公式可以总结为：奇变偶不变，符号看象限。 5.已知三角函数值求角 6.三角函数的图象和性质： (1)三角函数线： 如下图，sinα =MP,cosα =OM,tgα =AT,ctgα =BS10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：y ? sin xy ? cos xy ? tan xy ? cot xy ? A sin??x ? ? ?（A、 ? ＞0）定义域 值域 周期性 奇偶性R[?1,?1]R[?1,?1]1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?R??x | x ? R且x ? k? , k ? Z ? R?R?? A, A?2?2?2??奇函数偶函数奇函数奇函数当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数[??2? 2k? ,[?2k ? 1?? , ? ? ? ? ； ? ? ? k? , ? k? ? 2 2k? ] ? 2 ??k? , ?k ? 1?? ? 上 为 减?2? 2k? ]上 为 增 函 上 为 增 函 数 函数（ k ? Z ） 数 （k?Z ）上为增函 [2k? , 数 ； ?2k ? 1?? ] 单调性 ? 上为减函 [ ? 2k? , 数 2 3? （k?Z ） ? 2k? ]2? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ?? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ?? ? 2 ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? ??? ? ( A), ? ? ? ? 3 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? 2 ???上为增函数；?上为减函 数 （k?Z ）上 为 减 函 数 （k ?Z ）注意：①y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反； y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相反.一般地，▲若 y ? f (x) 在 [a, b] 上递增（减） ，则 y ? ? f (x) 在 [a, b] 上递减（增）. ②y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? .? ③y ? sin( x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) （ ? ? 0 ）的周期 T ?y ? tan x 22?Oyx?.的周期为 2 ? （ T ?? ? T ? 2? ?，如图，翻折无效）.?? ④y ? sin( x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ? （ k ? Z ） ，对称中心（ k? ,0 ） y ?(sc ?x ? ? ) 的对称轴方程是 ； o2x ? k?（k?Z ） ，对称中心（ k? ? 1 ? ,0 ） y ? n ； a ( t2?x ? ? ) 的对称中心（k? ,0 ）. 2y ? cos 2x ?原点对称 ? y ? ? cos(?2x) ? ? cos 2x ?? ?tan tan ⑤ tan? ? ? ? 1, ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) ； tan? ? ? ? ?1, ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) . 当??22⑥y ? cos x 与 y ? sin? x ? ???2? ? 2k? ? 是同一函数,而 y ? (?x ? ? ) 是偶函数，则 ?1 y ? (?x ? ? ) ? sin(?x ? k? ? ? ) ? ? cos( ?x) . 2⑦ 函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.（× [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域， y ? tan x ） 为增函数，同样也是错误的]. ⑧ 定义域关于原点对称是 f (x) 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关 于原点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数： f (? x) ?f ( x) ，奇函数： f (? x) ? ? f ( x) ）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： y ? tan x 是奇函数， y ? tan( x ? 1 ? ) 是非奇非偶.（定义域不关于3原点对称） 奇函数特有性质：若 0 ? x 的定义域，则 f (x) 一定有 f (0) ? 0 .（ 0 ? x 的定义域，则无此性质）▲⑨y ? sin x 不是周期函数； y ? sin x 为周期函数（ T ? ? ） ； ； y ? cos x 是周期函数（如图） y ? cos x1 y ? cos 2 x ? 2y▲yx1/2 x为周期函数（ T ? ? ） ；y=cos|x|图象的周期为 ? （如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：y=|cos2x+1/2|图象y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .⑩y ? a cos? ? b sin ? ? a 2 ?b 2 sin( ? ? ) ? cos? ? ?b 有 a 2 ?b 2 ? y . a(2)三角函数的图像和性质： 函 数 图 y=sinx y=cosx y=tgx y=ctgx像 ｛x｜x∈R 且 x 定义 R 域 R? ≠kπ + 2 ,k∈｛x｜x∈R 且 x ≠kπ ,k∈Z｝Z｝值 ［-1，1］? x=2kπ + 2 时［-1,1 ］ R x=2kπ 时 无最大值 ymax=1x=2kπ 无最小值 +π 时 ymin=-1 无最小值 R 无最大值ymax=1? x=2kπ - 2 时ymin=-1 域 周期 周期为 2π 性 奇偶 奇函数 性 在［2kπ 单? - 2 ,2kπ ? + 2 ］上都是周期为 2π周期为π周期为π偶函数奇函数奇涵数在 ［2kπ -π ， 2kπ ］ 上都是 增函数；在 ［2kπ ，2k? 在(kπ - 2 ，k? π + 2 ) 内都在(kπ ，kπ + π )内都是减 函数(k∈Z)调增函数； 在 ［2kπ? 3 + 2 ,2kπ + 2π +π ］上都 是增函数(k∈ 是减函数(k ∈Z) Z)性π］ 上都是减 函数(k∈Z)7.函数 y=Asin(wx+φ )的图像： 函数 y=Asin(wx+φ )的图像可以通过下列两种方式得到： (1)(1) y=sinx??＜0??? ? ? ,图像右移? ??＞0,图像左移 ?y=sin(x+φ )w＞1,横坐标缩短为原来的?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10＜w＜1,横坐标伸长为原来的 w 倍1 倍 wy=sin(wx+φ )?0＜A?,纵坐标缩短为原来的 A倍? ? ＜1 ??????A＞1,纵坐标伸长为原来的 A倍y=Asin(wx+φ )1 倍 w w 倍w＞1,横坐标缩短为原来的(2) y=sinx?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10＜w＜1,横坐标伸长为原来的?＞0,图像左移?wy=sin(wx)????? ? ? ??＜0,图像右移w? ＜1 ????? ? y=sin(w x+φ ) ?0＜A?,纵坐标缩短为原来 A倍? y= Asin(wx+φ ) 8.两角和与差的三角函数： (1)常用公式： 两角和与差的公式： sin(α ±β )＝sinα cosβ ±cosα sinβ ， cos(α ±β )=cosα cosβ sinα sinβ ，tga ? tg? tg(α ±β )= 1 ? tgatg?A＞1,纵坐标伸长为原来 A倍倍角公式： sin2α =2sinα cosα ， cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ，2tga 2 tg2α = 1 ? tg a .半角公式：1 ? cos a a 2 sin 2 =± ,1 ? cos a a 2 cos 2 =± ,1 ? cosa sin a 1 ? cosa a ? ? sin a . tg 2 =± 1 ? cosa 1 ? cosa积化和差公式：1 sinα cosβ = 2 〔sin(α +β )+sin(α -β )〕, 1 cosα sinβ = 2 〔sin(α +β )-sin(α -β )〕 1 cosα cosβ = 2 〔cos(α +β )+cos(α -β )〕, 1 sinα sinβ =- 2 〔cos(α +β )-cos(α -β )〕和差化积公式：a?? a?? cos 2 , sinα +sinβ =2sin 2 a?? a?? sin 2 sinα -sinβ =2cos 2 a?? a?? cos 2 , cosα +cosβ =2cos 2 a?? a?? sin 2 cosα -cosβ =-2sin 2万能公式：a a 2tg 2 2 a a a 1 ? tg 2 1 ? tg 2 1 ? tg 2 2 ，cosα = 2 ,tgα = 2 sinα = 2tg 1 ? tg 2 a 2(2)各公式间的内在联系：(3)应注意的几个问题： ①凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。 ②灵活理解各公式间的和差倍半的关系。 ③在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。sin 2 a 1 ? cos 2a 1 ? cos 2a 2 2 2 2 ④常具的变形公式有：cosα = 2 sin a ,sin α = ,cos α = ,tgα +tgβ ＝tg(α +β )(1-tgα tgβ ).2 2 ⑤asinα +bcosα = a ? b sin(α +φ ).(其中φ 所在位置由 a，b 的符号确定，b φ 的值由 tgφ = a 确定)。9.解斜三角形：在解三角形时，常用定理及公式如下表： 名 称 公 式 变 形内角和定 A+B+C=π 理A B ? C ? 2 + 2 ＝ 2 2 ，2A+2B＝2π -Ca2=b2+c2-2bccosA 余弦定理 b =a +c -2accosB c2=a2+b2-2abcosC2 2 2b2 ? c2 ? a2 2bc cosA= a2 ? c2 ? b2 2ac cosB= a2 ? b2 ? c2 2ab cosC正弦定理a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin Ca=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa b c sinA= 2 R ,sinB= 2 R ,sinC= 2 R为Δ ABC 的外接圆半径 acosB+bcosA=c 射影定理 acosC+cosA=b bcosC+ccosB=a1 1 1 ② ① SΔ = 2 aha= 2 bhb= 2 chc②SΔ1 1 1 = 2 absinC= 2 acsinB= 2 bcsinA2S △ sinA= ab 2S △ sinB= ac 2S △ sinC= ab面积公式abc ③SΔ = 4 R④SΔ = P(P ? a)(P ? b)(P ? c) (P= 2 (a+b+c))11 ⑤SΔ = 2 (a+b+c)r(r 为Δ ABC 内切圆半径) 10.反三角函数： 名 反正弦函数 称 y=sinx(x∈? ? 〔- 2 , 2 〕的反反余弦涵数反正切函数 y=tgx(x∈反余切函数y=ctgx(x∈(0, π ))的反函数， 叫做反 余切函 数，记作 x=arcctgyy=cosx(x∈〔0,π 〕) 的反函数，叫做反 余 弦函数，记作 x=arccosy定 义? ? (- 2 , 2 )的反函 数，叫做反正 弦函数，记作 x=arcsiny arcsinx 表示属函数， 叫做反正 切函数，记作 x=arctgy arctgx 表示属arccosx 表示属于［0， π］ ，且余弦值等于 x 的角理 解? ? 于［- 2 , 2 ］且正arcctgx 表示属 ? ? 于( - 2 ， 2 )， 且正切值等于 x 的角 值等于 x 的角于(0， )且余切 π弦值等于 x 的角图 像定 ［-1，1］ 性 义 ［-1，1］ (-∞，+∞) (-∞，+∞)值 质 值 域 单 在〔-1，1〕上是 在［-1，1］上是减函 调 增函数 性 奇 arcsin(-x)=-ar 偶 csinx 性 周 期 性 tg(arctgx)=x( sin(arcsinx)=x 恒等 式 (x∈［-1，1］) arcsin(sinx)=x? ? (x∈［- 2 , 2 ］)? ? ［- 2 ， 2 ］［0，π ］? ? (- 2 ， 2 )(0，π )在(-∞，+∞) 上是增 数在(-∞，+∞)上 是减函数数arccos(-x)=π -arccosxarctg(-x)=-ar ctgxarcctg(-x)=π -arcctgx都不是同期函数cos(arccosx)=x(x∈ ［-1,1］)arccos(cos x)=x(x∈［0,π ］)x∈ R)arctg(tgx)= x（x∈? ? (- 2 , 2 )）ctg(arcctgx)=x (x∈ R)arcctg(ctgx) =x(x∈(0,π ))互余 恒等 式 11.三角方程： (1)最简单三角方程的解集： 方 程 方程的解集? arcsinx+arccosx= 2 (x∈［-1,1］) ? arctgx+arcctgx= 2 (X∈R)｜a｜ Φ ＞1 ｜a｜ sinx=a =1 ｜a｜ ｛x｜x=kπ +(-1)karcsina,k∈z｝ ＜1 ｜a｜ Φ ＞1 ｜a｜ cosx=a =1 ｜a｜ ｛x｜x=2kπ ±arccosa,k∈z｝ ＜1 tgx=a ctgx=a ｛x｜x=kπ +arctga,k∈z｝ ｛x｜x=kπ +arcctga,k∈z｝ ｛x｜x=2kπ +arccosa,k∈z｝ ｛x｜x=2kπ +arcsina,k∈z｝(2)简单三角方程：转化为最简单三角方程。 三、知识点、能力点提示 三角函数是中学数学的主要内容之一，也是每年高考的必考内容，其主要内容 由以下三部分构成：三角函数的定义，图像和性质；三角恒等变形；反三角函数。 在高考中，第二部分为主要内容，进行重点考查，当然也不放弃前后两部的考查， 对近几年高考试题进行分析后，可以看出：对三角函数的考查主要有两种方式：单 独考查三角函数或与其它学科综合考查，前一部分通常是容易题或中等题，而后一 部分有一定难度。 下面对常见考点作简单分析： 1.角、三角函数定义的考点：这是对三角基础知识的直接考查，一般不会单独 成题，更多地是结合其它方面的内容(如：三角恒等变形，三角函数性质等)对多个 知识点作综合考查。 2.三角函数图像的考查：通常有三种方式：由图像到解析式：由图像到性质； 图像的应用。3.三角函数性质的考查 (1)定义域和值域： (2)周期性：通常结合恒等变形考查如何求三角函数的最小正周期，或考查与周 期性相关的 问题，如：设 f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当 0≤x ≤1 时，f(x)=x，则 f(7.5)=( ) (3)单调性：通常以处理最值问题的形式出现，总与恒等变形联系在一起，一般 地二次函数 ，对数函数等的最值问题相结合。 4.三角恒等变形：以化简、求值、证明等各种题型出现，以题中通常考查和、 差、倍、半 各公式的运用，大题中通常考查和积互化公式的运用，这是三角函数的 重要内容。 5.反三角函数：对这部分的考查多属于容易题或中档题，重点是反三角函数的 定义和性质。 6.代数、三角、解几、立几，不等式等的综合考查。 进行三角恒等变形是处在三角问题最常用的技能，下面分析几种常见的解题思 路： 1.角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为 同角。 2.函数名的变换：观察、比较题设与结论之间，等号的左右两边的函数名差异， 化异名为同 名。? ? 3 3.常数的变换：常用方式有 1=sin α +cos α =sec α -tg α =tg 4 , 2 =sin 3 等。2 2 2 24.次数的变化：常用方式是升次或降次：主要公式是二倍角的余弦公式及其逆 向使用。 5.结构变化：对条件，结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变除为 乘，或求差等 6.和积互化：这既是一种基本技能，也是一种常见解题思路，且应用比较广泛。 7.综合运用上述各种方式。 例 1 sin600°的值是( )1 A. 2 1 B.- 23 C. 2D.-3 2解：sin600°=sin(360°+240°)=sin240° =sin(180°+60°)=-sin60°3 =- 2∴应选 D.1 例 2 已知 sinθ +cosθ = 5 ,θ ∈(0,π ),则 ctgθ 的值是_______. 1 1 12 2 2 解:sinθ +cosθ = 5 ?(sinθ +cosθ ) =( 5 ) ?sinθ ?cosθ =- 25 .1 12 ∴sinθ 和 cosθ 是方程 t - 5 t- 25 =0, 即方程 25t2-5t-12=0 的两根. 4 3 2 25t -5t-12=(5t+3)(5t-4)=0 的两根为 t1= 5 ,t2=- 5 .2∵θ ∈(0.π )? sinθ ＞0.4 3 ∴sinθ = 5 ,从而 cosθ =- 5 , cos ? 3 ∴ctgθ = sin ? .=- 4 . 3 应填- 4 .例 3 tg20°+tg40°+ 3 tg20°?tg40°的值是tg 20? ? tg 40? 解：∵ 3 =tg60°=tg(20°+40°)= 1 ? tg 20?tg 40? ,.∴tg20°+tg40°= 3 (1-tg20°?tg 40°). ∴原式= 3 (1-tg20°?tg40°)+ = 3 应填 3 .5? ? 例 4 求值：cos 8 ?cos 8 = 5? ? 解：cos 8 ?cos 83 t g20°?tg40°.1 3? ? 1 2 2 = 2 (cos 4 +cos 2 )= 2 (- 2 +0)=- 4 .例5(x∈R),有下列命题： ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是π 的整数倍；? ②y=f(x)的表达可以改写为 y=4cos(2x- 6 )； ? ③y=f(x)的图像关于点(- 6 ,0)对称； ? ④y=f(x)的图像关于直线 x=- 6 对称；? 关于函数 f(x)=4sin(2x+ 3 )其中正确命题的序号是_______. (注：把你认为正确的命题序号都填上) 解：分别讨论四个命题.? ? ① 令 4sin(2x+ 3 )=0, 得 2x+ 3 =k πk? ? ? (k ∈ Z), ? x= 2 6 (k ∈ Z), 设k1? ? k 2? ? ? ? x1= 2 6 ,x2= 2 6 ,k1≠k2,k1,k2∈Z,则 f(x1)=f(x2)=0,? 但 x1-x2= 2 (k1-k2),当 k1-k2 为奇数时，x1- x2 不是π 的整数倍∴命题①不正确.? ? ? ? ? ②y=f(x)=4sin(2x+ 3 )=4cos［ 2 -(2x+ 3 )］=4cos(-2x+ 6 )=4cos(2x- 6 )∵命题②正确 ③根据? 2x+ 30? -6? 2? 12π2? 63? 27? 122π5? 6x y040-40? 作出 y=f(x)=4sin(2x+ 3 )的草图，如图? 由图知，f(x)的图像关于点(- 6 ，0)对称，∴命题③正确? ④由图知，y=f(x)的图像不关于直线 x=- 6 对称∴命题④不正确 应填②、③ 例6 解：利用积化和差公式(注：今后高考试卷中会印写公式)，得1 ? ? y= 2 sin(2x- 6 )+sin( - 6 ) 1 ? 1 = 2 sin(2x- 6 )- 4 .? 函数 y=sin(x- 6 )?cosx 的最小值是_______.? ∵sin(2x- 6 )∈［-1,1］, 3 ∴ymin=- 4 .3 应填- 4 .例71 1 如图，函数 y=tg( 2 x- 3 π )在一个周期内的图像是()1 1 1 2? 解：y=tg( 2 - 3 )=tg［ 2 (x- 3 )］2? 1 因为它的周期为 2 ＝2π ，从而 B，D 错；又当 x= 3 时，y=0，从而 C 错。应选 A。?例8在直角三角形中，两锐角为 A 和 B，则 sinA?sinB()1 A.有最大值 2 和最小值 0 1 B.有最大值 2 但无最小值C.既无最大值也无最小值 D.有最大值 1 但无最小值? 解：∵A+B= 2 .1 ∴sinA?sinB=sinA?cosA= 2 sin2A, ? A∈(0, 2 ) ?2A∈(0,π ) 1 ∴sinAcosA 有最大值 2 但无最小值.应选 B. 例 9 求函数 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2 的最大值1 ? cos 2 x 2 解：∵2sinxcosx=sin2x,sin x+cos x=1,cos x=2 2 2∴y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x1 ? cos 2 x 2 =1+sin2x+2?=sin2x+cos2x+2? ? = 2 (sin2x?cos 4 +cos 2x?sin 4 )+2? = 2 sin(2x+ 4 )+2 ? ? ∴当 2x+ 4 = 2 +2kπ 时,ymax=2+ 2 ? 即 x= 8 +Kπ (K∈Z)，y 的最大值为 2+ 2 24 a 例 10 已知α 是第三象限角，且 sinα =- 25 则 tg 2 =( ) 4 3 3 4 A. 3 B. 4 C.- 4 D.- 3 a 2tg 2 24 a 1 ? tg 2 2 ,sinα =- 25 , 解：∵sinα = a 2tg 2 24 2 a 1 ? tg 2. ∴- 25 = a a 2 化简得 12tg 2 +25tg 2 +12=0， a a 即(4tg 2 +3)(3tg 2 +4)=0. a 3 a 3 解出 tg 2 =- 4 ,tg 2 =- 4 . 3? 又已知α 是第三象限角，即α ∈(π +2kπ ， 2 +2kπ )， a ? 3? ∴ 2 ∈( 2 +kπ ， 4 +kπ )， a ∴tg 2 ∈(-∞，-1)， a 4 a ∴tg 2 =- 3 (舍去 tg 2 =-1 ).应选 D. 例 11 sin220°+cos280 °+ 3 sin20°?cos80°= 解：sina220°+cos280°+ 3 sin20°?cos80°1 ? cos 40? 1 ? cos160? 3 ? 2 2 2 ?2sin20°?cos80° = + 1 3 =1- 2 (cos40°+cos20°)+ 2 (sin100°-sin60°) 3 3 =1-cos30°cos10°+ 2 cos10°- 4.1 =4 1 应填 4 .例 12 求 sin220°+cos250 °＋sin20°?cos50°的值 解:sin220°+cos250°+sin20°cos50° =sin220°+sin240°+sin20°sin40° =(sin20°+sin40°)2-sin20°sin40°1 =(2sin30°cos10°) + 2 (cos60°-cos20°) cos 20 ? ? 1 1 1 ? ( ? cos 20 ?) 2 2 2 =2.3 =4 3 应填 4 .例 13 cos275°＋cos215 °＋cos75°?cos15°的值等于(6 A. 23 B. 2 5 C. 4)3 D.1+ 4解：cos275°+cos215°＋cos75°cos15°1 =(sin 15°+cos 15°)+ 2 sin15 ° 1 5 =1+ 4 = 4 .2 2应选 C.? 例 14 已知 ctg 2 =3,则 cosθ = ? 1 解：由已知有 tg 2 = 3 .1 9 ?4 2 1 5 ? 1? 1 ? tg 2 9 2= ∴cosθ = .1 ? tg 2.?1?例 15 已知 tgA+ctgA=m,则 sin2A= 解：tgA+ctgA=m ?tg2A+1=mtgA2tgA 2tgA 2 ? ? 2 ∴ sin2A= 1 ? tg A m tgA m ..例 16 已知 sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b. (1)b≠0 时，求 tg3A 的值(用 a、b 表示)； (2)求(1+2cos2A)2（用 a、b 表示）. 解：(1)利用和差化积公式可得：a=sin3A(1+2cos2A), b=cos3A(1+2cos2A),a ∴tg3A= b .(2)由上可知 ab=sin3Acos3A(1+2cos2A)22 ab ∴(1+2cos2A) = sin 6 A .2a b ? 2ab 2tg 3 A a a2 ? b2 1 ? ( )2 2 b 又 sin6A= 1 ? tg 3 A = , 2 ab 2 ab 2 2 2 ∴(1+2cos2A) = a ? b =a2+b2. 2?例 17 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为(5 ?1 A.arccos 2 1? 5 C.arccos 2 5 ?1 B.arcsin 2 1? 5 D.arcsin 2)解：不妨设此直角三角形三内角为 A、B、C 且 A＜B＜C=90°. 由已知，sinA,sinB,sin90°=1 成等比数列， ∴sin2B=sinA 又 A+B=90°，得 sinB=cosA, ∴cos2A=sinA,1-sin2A=sinA， 即 sin2A+sinA-1=0. 解出?1? 5 sinA= 2?1? 5 (舍去 sinA= 2 )5 ?1 ∴A=arcsin 2 ,应选 B. 例 18 如图，若 sin2x＞cos2x，则 x 的取值范围是().3? ? A.｛x｜2kπ - 4 ＜x＜2kπ + 4 ,k∈Z｝ ? 5? B.｛x｜2kπ + 4 ＜x＜2kπ + 4 ,k∈Z｝? ? C.｛x｜kπ - 4 ＜x＜kπ + 4 ,k∈Z｝ ? 3? D.x｜kπ + 4 ＜x＜kπ + 4 ,k∈Z}解：由于 sin2x 和 cos2x 的周期都是π ，故可先研 究在［0,π ］上不等式的解. 在同一坐标系在区间［0，π ］上作出 sinx 和 cosx 的 图像.? ? 把［ 2 ，π ］的 cosx 的图像沿 x 轴 上翻后，求出两曲线交点的横坐标为 x1= 4 ,x2 3? ? 3? ＝ 4 . ∴在( 4 +2kπ ， 4 +2kπ )上有 sin2x＞cos2x.应选 D. 例 19 下列四个命题中的假命题是( ) A.存在这样的α 和β 的值，使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ B.不存在无穷多个α 和β 的值，使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ C.对于任意的α 和β ，使得 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ D.不存在这样的α 和β 的值，使得 cos(α +β )≠cosα cosβ -sinα sinβ 解：C 是两角和的余弦展开公式，当然正确，从而 D 也正确 . 对于 A，取α =β =0，则 cos(0+0)=cos0cos0+sin0sin0,∴A 正确. 对于 B，取α =β =2kπ ，k∈Z，则 cos(2kπ +cos2kπ )=cos2kπ cos2kπ +sin2kπ sin2kπ , ∴B.不正确. 应选 B. 例 20 解不等式(arctgx)2-3arctgx+2＞0. 解： 〔(arctgx)-1〕 〔(arctgx)-2〕＞0. ∴arctgx＜1 或 arctgx＞2.? ? 又- 2 ＜arctgx＜ 2 . ? ∴- 2 ＜arctgx＜1,即有-∞＜x＜tg 1.例 21 满足 arccos(1-x)≥arccosx 的 x 的取值范围是(1 A.［-1,- 2 ］ 1 C.［0, 2 ］ 1 B.［- 2 ,0 ］ 1 D.［ 2 ,1］)解：反余弦函数的定义域为［-1,1］,且为减函数.?? 1 ? 1 ? x ? 1 ? 1 ? ? ?? 1 ? x ? 1　　　 ? x ? 1 2 ? ? ∴ ?1 ? x ? x应选 D. 例 22 求α +β (用反三角函数表示).7 已知 cos2α = 25 ,? 5 α ∈(0, 2 ),sinβ =- 13 ,β3? ∈(π , 2 )4 12 1 ? cos 2a 3 ? 2 5 ,从而 cosα = 5 ,且 cosβ =- 13 解：由题设得 sinα =又α +β ∈(π ,2π )?(α +β -π )∈(0,π ),33 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ =- 65 . 33 ∴cos(α +β -π )=cos〔π - (α +β )〕=- 65 . 33 ∴-π +(α +β )=arccos 65 33 即α +β =π +arccos 65例 23 ( ) A.无穷多个 B.2 个 C.1 个 解：作出函数草图可知有 2 个交点.1 记函数 y= x 的图像为 l1，y=arctgx 的图像为 l2，那么 l1 和 l2 的交点个数是D.0 个? 1 又 x:0→ 2 时,arctgx:0→+∞, x :+ ∞→0.∴x＞0 时，l1 和 l2 有一个交点.1 又 arctgx 和 x 都是奇函数，∴x＜0 时，l1 和 l2 也有一个交点.应选 B.【同步达纲练习】 1.以下命题中正确的命题是( ) (A)终边相同的角一定相等 (B)若 sinα ≥0，那么α 是第一或第二象限的角 (C)若角α 与β 的终边关于 x 轴对称，那么α +β ＝0(D)若α 为钝角，则 cosα ＜0 (考查象限角的概念) 2.扇形圆心角为 60°，半径为 a，则扇形内切圆面积与扇形面积之比是( ) (A)1∶3 (B)2∶3 (C)4∶3 (D)4∶9 (考查扇形面积公式)? 2 ? 4 3.若 sin 2 = 5 ,cos 2 =- 5 ,则θ 角的终边在()(A)第一象限(D)第四象限 (考查象限角与三角函数值的符号) 2 2 2 4.sin 1°+sin 2°+?+sin 90°的值属于区间( ) (A)（43，44］ (B)（44，45］ (C)（45，46］ (D)（46，47］ (考查同角三角函数的关系及三角函数的有界性)a 5.已知 2sinα =1+cosα ,那么 tg 2 ( ) 1 1 (A)等于 2 (B)等于 2 或不存在(B)第二象限(C)第三象限(C)等于 2(D)等于 2 或不存在 (考查三角函数公式的应用)? ? loga sin ? loga cos ? 6.己知 0＜a＜1， 4 ＜α ＜ 2 ，则下列元数 M= (sin ? ) ,N= (cos ?) ,P= (cos ?) 的大小关系是( ) (A)M＞N＞P (B)M＞P＞N (C)M＜N＜P (D)M＜P＜N (考查对数函数，指数函数的单调性，同角三角函数关系) 7.若 f(sinx)=sin3x,则 cos3x 等于( ) (A)f(cosx) (B)-f(cosx) (C)f(sinx) (D)-f(sinx) (考查诱导公式与函数解析式) 8.方程 sinx=lgx 的实根个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都错 (考查三角函数与对数函数的图像) 9.下面的 4 条直线中， 是函数 y=2 2 cos2x-2sinxcosx- 3 的图像的对称轴的是(? (A)x= 65? (B)x= 12 2? (C)x= 3 5? (D)x=- 12loga sin ?)(考查三角函数图像的特征) 10.如图是周期为 2π 的三角函数 y=f(x)的图像， 那么 f(x)的解析式可以写成( )(A)f(x)=sin(1+x) (B)f(x)=-sin(1+x) (C)f(x)=sin(x-1) (D)f(x)=sin(1-x) (考查三角函数的图像与解析式)x 11.函数 f(x)=cos 2 ,则下列等式中成立的是()(A)f(2π -x)=f(x) (C)f(-x)=f(x)(B)f(2π +x)=f(x) (D)f(-x)=-f(x) (考查余弦函数的奇偶性，对称性) )? 12.函数 y=sin( 3 -2x)+cos2x 的最小正周期是( ? (A) 2 (B)π (C)2π (D)4π(考查三角函数的周期和恒等变形)? ? 13.设函数 y=sin(ω x- 5 )?cos(ω x+ 3 )的最小正周期为 2，且 ω ＞0，是ω 的值为( (A)1) (B)π? (C) 2? (D) 4(考查三角函数的性质，同角三角函数关系) 14.若 a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，则下列不等式中成立的是( )6 (A)a＞ 2 ＞b b (B)a＜ 2 ＜b b (C)a＜b＜ 2 6 (D)b＜a＜ 2(考查辅助角公式，三角函数的单调性) 15.下列四个命题中的假命题是( ) (A)存在这样的α 和β 的值，使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ (B)不存在无穷多个α 和β 的值，使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ (C)对于任意的α 和β ，都有 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ (D)不存在这样的α 和β 的值，使得 cos(α +β )≠cosα cosβ -sinα sinβ (考查公式的记忆，理解和逻辑语言的理解) 2 16.tgα 、tgβ 是方程 7x -8x+1=0 的二根，则8 1 sin (α +β )- 7 sin(α +β )cos(α +β )+ 7 cos2(α +β )的值是(2)1 (A) 31 (B) 521 (C) 721 (D) 9(考查两角和的正切公式，同角三角函数关系及有关求值) 17.已知 cos α -cos β =m,则 sin(α +β )?sin(α -β )＝( ) (A)-m (B)mm (C)- 2 m (D) 2(考查同角三角函数关系，两角差的余弦公式)? 18.函数 f(x)=sin2x+5cos( 4 -x)+3 的最小值是( 9 (A)-3 (B)-6 (C)- 8 (D)-1sin x cos x tgx ctgx ? ? ? sin x cos x tgx ctgx)(考查同角三角函数关系，半角公式，万能公式) 19.函数 y= (A) ｛-2,4｝ 的值域是( ) (B) ｛-2,0,4｝ (C) ｛-2,0,2,4｝ (D) ｛-4,-2,0,4｝ (考查同角三角函数关系)5 4 20. 在 △ ABC 中 ， (1) 已 知 tgA= 12 sinB= 5 ， 则 ∠ C 有 且 只 有 一 解 ， (2) 已 知 12 3 tgA= 5 ,sinB= 5 ,则∠C 有且只有一 解，其中正确的是( )(A)只有(1)(B)只有(2)(C)(1)与(2)都正确 (D)(1)与(2)均不正确 (考查综合有关公式，灵活处理三角形中的计算)? 21.已知不等边△ABC 中，sinA=sinB，则下列等式：①A=B;②A+B= 2 ;③A+B= π ;④ ? A-B= 2 ,其中可能成立的是( )(A)①、②(B)①、③(C)①、②、④ (D)②、③、④ (考查三角形的内角和定理及角的正弦值关系)22.给出下列四个命题： ①若 sin2A=sin2B，则△ABC 是等腰三角形； ②若 sinA=cosB，则△ABC 是直角三角形； ③若 sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC 是钝角三角形； ④若 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，则△ABC 是等边三角形，以上命题正确的个数 是( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 (考查灵活运用公式判断三角形形状和判断正误的能力) 23.函数 y=cosx(π ≤x≤2π )的反函数是( ) (A)y= π +arccosx -arccosx5 (B)y= 2 π -arcsinx 3 (C)y= 2 π +arcsinx(D)y= π(考查反函数的求法，诱导公式，反三角弦函数定义) 24.下列各组函数中表示同一函数的一组是( ) (A)y=arcsin(cosx)与 y=arccos(sinx) (B)y=sin(arccosx)与 y=cos(arcsinx)1 (C)y=arctgx 与 y=arcctg x(D)y=sin(arcsinx)与 y=tg(arctgx) (考查有关反三角恒等式及其运算，函数的定义)1 2