斐波那契数列通项公式是怎样推导出来的？ - 知乎190被浏览51911分享邀请回答Simplify[{{1, 0}}.Transpose[Eigenvectors[{{0, 1}, {1, 1}}]].MatrixPower[DiagonalMatrix[Eigenvalues[{{0, 1}, {1, 1}}]], n].Inverse[Transpose[Eigenvectors[{{0, 1}, {1, 1}}]]].{0, 1}]
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已知数列{an}的通项公式为an=n2n 求数列{an}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：北京期中题
解：Sn=1×2+2×22+3×23+…+n2n ∴2Sn=1×22+2×23+3×24…+（n﹣1）2n+n2 n+1 两式相减得﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n2 n+1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&=&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&=（1﹣n）2 n+1﹣2 ∴Sn=（n﹣1）2 n+1+2
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}的通项公式为an=n2n求数列{an}的前n项和Sn．-高一数学..”主要考查你对&&数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
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623335490655392695256468447316809746数列通项公式的求法（高三文科专题复习教学设计）；云南民族中学邓和秀；?考纲解读；数列是中学数学知识的重要组成部分；?重点、难点分析；由于等差、等比数列是两类最基本的数列，所以是数列；由于数列的表现形式各异，构成规律多样复杂，所以求；1、了解递推公式是给出数列的一种方法，理解并掌握；3、通过阶梯性练习，培养学生的知识、方法的迁移能；4、在情感上，培养学生主动探
数列通项公式的求法（高三文科专题复习教学设计）
云南民族中学
? 考纲解读
数列是中学数学知识的重要组成部分。一方面,数列作为一种特殊的函数，与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。对数列的研究是以通项公式，前n项和公式，等差等比等知识为发散点展开发散思维训练的。在数列的考察中体现了函数与方程，化归与转化，分类讨论，猜想与归纳等数学思想，以及待定系数法、换元法（构造新数列）、反证法的运用。高考中，灵活应用通项公式，前n项和公式及两种数列的性质是考察的重点，是对学生进行计算，推理等基本训练的重要题材。
? 重点、难点分析
由于等差、等比数列是两类最基本的数列，所以是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点。而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上，也就是说，要把不同的递推关系，经过适当的变形手段，构造出新的特殊数列，转化成比较熟悉的等差数列或等比数列进行求解.
由于数列的表现形式各异，构成规律多样复杂，所以求数列通项的方法也呈现多元化。数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈，特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列的通项公式是数列的灵魂，通项公式一定，数列就随之而定。 ? 教学目标：
1、了解递推公式是给出数列的一种方法，理解并掌握数列通项公式的求法 2、通过学习，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；并提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、通过阶梯性练习，培养学生的知识、方法的迁移能力
4、在情感上，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 ? 教学设计：
小试牛刀：
1.（2009北京文）若数列{an}满足：a1?1,an?1?2an(n?N?)，则a5?
8项的和S8?（用数字作答）
2、已知数列?an?中,a1=1, an+1=an+2n,求求?an?的通项公式．
n?1，，23，?）3．（07北京15）数列?an?中，，且a1，a2，a3a1?2，an?1?an?cn（c是常数，
成公比不为1的等比数列．
（I）求c的值；
（II）求?an?的通项公式．
4、已知数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn?
bn?2?2bn?1?bn?0(n?N)，且b3?11
，数列{bn}满足
，前9项和为153；
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）设cn?
(2an?11)(2bn?1)
，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn?
一切n?N*都成立的最大正整数k的值；（选做）
学生做，教师巡视，鼓励多种方法。先展示学生有代表性的解题思路及过程（正确与典型错误），教师再根据情况点评。关键是讲定义法的推导过程，让学生领悟累加与累乘的思想。重点讲清“累加、累乘”和定义法的联系与区别，让学生自己感悟，明白公式法只是累加与累乘的特殊情况。即等差与等比数列除了可用公式法外，一定可以用累加或累乘求出通项公式。
归纳提升(学生自己归纳出公式法和累加、累乘求通项公式的适用情况) 一、通项公式法：即递推关系为an+1=an +d（d为常数）或an?1?f(n)?q（q为常数）时，可由定义判断数列?an?为等差（比），故直接使用等差等比数列的通项公式即可。 二、累加与累乘法（注意检验n=1）即递推关系式为an+1=an+f(n)或an?1?f(n)?an时可用累加累乘。
三、通用公式法：利用sn和n、an的关系求an，
当n≥2 时, an=sn-sn-1（注意检验n=1）
再接再厉：
1、（08四川16）设数列?an?中，a1?2,an?1?an?n?1，则通项an? ___________。 2、已知数列?an?的首项a1?
，前n项和Sn?n2an?n?1?．
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设b1?0，bn?
?n?2?，Tn为数列?bn?的前n项和，求证：Tn
．（选作）
3、（2009全国卷Ⅱ理）设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a1?1,Sn?1?4an?2
（I）设bn?an?1?2an，证明数列{bn}是等比数列
（II）求数列{an}的通项公式。
拓展延伸（两项递推）：
1、（07全国2，21）设数列{an}的首项a1∈
(0,1), an=
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn?an?2an，求证bn&bn?1，其中n为正整数。
2、在数列{an }中,a1=2,an+1=4an-3n+1,求数列{an }的通项公式。 3、（06全国Ⅰ19）在数列?an?中，a1?1，an?1?2an?2n．
（Ⅰ）设bn?
，n=2,3,4?
．证明：数列?bn?是等差数列；
（Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn． 四、构造法（教师引导学生归纳）
（一）递推关系式为an+1=pan+q (p,q为常数) 注意该关系式与等差和等比数列的定义式的联系与区别，以此引导学生构造新的特殊数列{an+x}，
设递推式可化为an+1+x=p(an+x),再用待定系数法求出x。
（二）递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数) 关键是分析其结构特点，引导学生分析与（一）的联系与区别，进而构造新数列{an+nx}。
思路：设递推式可化为an+1+（n+1）x=p(an+nx), 再用待定系数法求出x。
（三）递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)思路：在an+1=pan+qn两边同时除以qn+1(或qn)得
, 构造数列{bn}, 使bn=
,可得bn+1=
，化归为类型（一）
超越梦想（三项递推根据情况选作） eg1、数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*).
（I）证明：数列?an?1?an?是等比数列；（II）求数列?an?的通项公式； （II）若数列?bn?满足4b?14b?1...4b
?(an?1)n(n?N),证明?bn?是等差数列。
eg2、数列?an?满足a1?
(1) 求数列?an?的通项公式； (2) 求数列?nan?的前n项和Sn； (3) 已知不等式ln(1?x)?
对x?0成立，
教师点拨：构造法的本质是想办法构造新数列使之成为等差或等比（又称待定系数法）
注：原计划该专题课堂教学3课时，实际课时4课时。另在作业布置时还让学生自己对近三年的全国1卷和2卷的数列题进行归纳总结。
三亿文库包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、外语学习资料、专业论文、高等教育、中学教育、应用写作文书、文学作品欣赏、数列通项公式的求法(教学设计)78等内容。　
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数列通项公式的求法(有答案)
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