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1.4牛顿运动定律的应用-共点力作用下物体的平衡专题讲义(补课用)
共点力作用下物体的平衡复习专题讲义 共点力作用下物体的平衡，是力学中的热门考点之一，在 理综物理高考选择题中，考查力学知识中，一般有一道最为可 能考的就是物体的平衡问题！ 一、共点力的判别： 物体同时受几个力的作用，如果这几个力都作用于物体的 同一点或者它们的作用线交于同一点，这几个力叫共点力． 这里要注意的是“同时作用”和“同一物体”两个条件， 而“力的作用线交于一点”和“同一
作用点”含义不同。当物 体可视为质点时，作用在该物体上的外力均可视为共点力：力 的作用线的交点既可以在物体内部，也可以在物体外部。 如图(a)所示，为一金属杆置于光滑的半球形碗中。杆受 重力及 A、 B 两点的支持力三个力的作用； N1 作用线过球心，N2 作用线垂直于杆，当杆 在作用线共面的三个非平行力作用下处于 平衡状态时，这三力的作用线必汇于一点，所以重力 G 的作用 线必过 N1、N2 的交点 0；图(b)为竖直墙面上挂一光滑球，它受 三个力：重力、墙面弹力和悬线拉力，由于球光滑，它们的作 用线必过球心。 二、共点力作用下物体的平衡条件：物体受到的合外力为零．即 F 合=0，即物体加速度 a=0。 值得强调的是：物体的平衡仅取决于合外力且 F 合=0，与物 体速度大小无关。不能认为速度为零物体就处于平衡状态。 三、平衡状态： 对质点是指静止状态或匀速直线运动状态，对转动的物体 是指静止状态或匀速转动状态。 (1)二力平衡特点：两个力必等大、反向、共线； (2)三力平衡特点： ①.三力汇交原理：当物体受到三个非平行的共点力作用 而平衡时，这三个力必交于一点； ②.若是非平行力，则三力作用线必交于一点，三力的矢 量图必为一个首尾相接的闭合三角形； ③.三力平衡时，任意两个力的矢量和一定与第三个力大 小相等，方向相反。 (3)多个力（三个力以上）平衡特点： ①.物体受到 N 个共点力作用而处于平衡状态时，取出其 中的一个力，则这个力必与剩下的（N-1）个力的合力等大反 向。 ②.多个力共同作用处于平衡状态时，这些力在任一方向 上的合力必为零；这些力依次首尾相接可组成一个闭合多边形。 ③.若采用正交分解法求平衡问题，则其平衡条件为：FX 合 =0，FY 合=0； (4)若物体有加速度，则在垂直加速度的方向上的合力为 零。 四、正交分解法解平衡问题： ①.优点：正交分解法是解共点力平衡问题的基本方法， 其优点是不受物体所受外力多少的限制。解题依据是根据平衡 条件，将各力分解到相互垂直的两个方向上。 ②.正交分解方向的确定：原则上可随意选取互相垂直的 两个方向；但是，为解题方便通常的做法是：①使所选取的方 向上有较多的力；②选取运动方向和与其相垂直的方向为正交 分解的两个方向。在直线运动中，运动方向上可以根据牛顿运 动定律列方程，与其相垂直的方向上受力平衡，可根据平衡条 件列方程。③使未知的力特别是不需要的未知力落在所选取的 方向上，从而可以方便快捷地求解。 ③.解题步骤：选取研究对象一受力分析一建立直角坐标 系一找角、分解力一列方程一求解。 五、动态平衡问题分析： 1.所谓动态平衡态：问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系 列的平衡状态中． 2．图解分析法： 对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析， 依据某一参量的变化，在同一图中做出物体在若干状态下力的 平衡图(力的平行四边形)，再由动态力的四边形各边长度变化 及角度变化确定力的大小及方向的变化情况． 动态平衡中各力的变化情况是一种常见类型．总结其特点 有：合力大小和方向不变；一个分力的方向不变，分析另一个 分力方向变化时两个分力大小的变化情况．用图解法具有简 单、直观的优点． 3.矢量三角形法： ①.如果物体在三个力作用下处于平衡状态，其中只有一 个力的大小和方向发生变化，而另外两个力中，一个大小、方 向均不变化；一个只有大小变化，方向不发生变化的情况。 ②.如果物体在三个力作用下处于平衡状态，其中一个力 的大小和方向发生变化时，物体受到的另外两个力中只有一个 大小和方向保持不变，另一个力的大小和方向也会发生变化的 情况下，考虑三角形的相似关系。 六、平衡的临界问题由某种物理现象变化为另一种物理现象或由某种物理状 态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，临 界状态可以理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的 状态。平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要发生 变化的状态。往往利用“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。 七、平衡的极值问题 极值是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出达到的 最大值或最小值。可分为简单极值问题和条件极值问题。 八、平衡条件解题的常用方法 （1）力的三角形法： 物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个 力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个 力矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为 零．利用三角形法，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等 数学知识可求得未知力． （2）力的合成法： 物体受三个力作用而平衡时，其中任意两个力的合力必跟 第三个力等大反向，可利用力的平行四边形定则，根据正弦定 理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解． （3）正交分解法将各个力分别分解到 X 轴上和 y 轴上，运用两坐标轴上的 合力等于零的条件，多用于三个以上共点力作用下的物体的平 衡．值得注意的是，对 x、y 方向选择时，尽可能使落在 x、y 轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。 九、平衡问题的情境与处理方法 （一） 、情境： l．一般平衡：物质受到若干个力而处于平衡状态．已知 其中一些力需求某个力，构建已知力与未知力之间的关系。 2.特殊平衡： （1） 动态平衡： 物体受到的若干个力中某些力在不断变化， 但物体的平衡状态不变．这类问题一般需把握动（如角度）与 不动（如重力）的因素及其影响关系． （2）临界平衡：当物体的平衡状态即将被破坏而尚未破坏 时对应的平衡．这类问题需把握一些特殊词语，如“恰” 、 “最 大” 、 “最小” 、 “至多”等隐含的物理意义和条件。 二、方法： 受力分析的对象有时是单个物体，有时是连接体．对单个 物体，如果受三个力或可简化为三个力的可以通过平行四边形 定则（或三角形定则）应用数学方法（如：拉密定理则、相似 三角形、三角函数或方程、菱形转化为直角三角形等）来处理．如果单个物体受到三个以上的力一般可利用物理方法（如 正交分解）来处理．对连接体问题可借助整体法和隔离法转化 为单个物体来分析处理．由于整体法和隔离法相互弥补（整体 法不需考虑内力，但也求不出内力，可利用隔离法求内力） ．所 以连接体问题一般既用到整体法也需用到隔离法．如果已知内 力一般先隔离再整体，如果内力未知一般完整体再隔离．这种 思想不仅适用于平衡状态下的连接体问题，也适用于有加速度 的连接体问题． 1．数学方法： （1）拉密定理：物体受三个共点力作用而处于平衡状态 时，各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦值成正比．如图 所示，其表达式为： sinF ? = sinF ? = sinF ?1 23123（2）相似三角形：在对力利用平行四边形（或三角形）定 则运算的过程中，如果三角形与已知边长（或边长比）的几何 三角形相似，则可利用相似三角形对应边成比例的性质求解 （3）函数式或方程： 如图所示，有：F3＝2 2 F ? F ? 2 F F sin ? 1 2 1 2 3。如果两个分力大小相等。则所作力的平行四边形是一个菱 形，而菱形的的条对角线相互垂直，可将菱形分成四个全等的 直角三角形，利用直角三角形的特殊角建立函数式。 2、物理方法（数学运算） ： 正交分解法可建立两个方程来求解两个未知力．用它来处 理平平问题的基本思路是： （1）确定研究对象进行受力分析并建立受力图； （2）建立直角坐标系．让尽可能多的力落在坐标轴上； （3）按先分解（把所有力分解在 x 轴．Y 轴上）再合成的思 想，根据 Fx=0 和 Fy=0 列方程组求解，并进行合理化讨论。 例题评析 题型一：活节平衡问题： 例 1. 如图所示，滑轮本身的质量忽略不计。安在一根轻 木杆 B 上，一根轻绳 Ac 绕过滑轮，A 端固定在墙上，且绳保持 水平，C 端下面挂一个重物，B0 与竖直方向夹角θ=45。 ，系统 保持平衡。若保持滑轮的位置不变，改变θ的大小，则滑轮受 到木杆的弹力大小变化情况是( )A．只有角θ变小，弹力才变大 B．只有角θ变大，弹力才变大 C．不论角θ变大或变小，弹力都变大D．不论角θ变大或变小，弹力都不变 解析：轻木杆 B 对滑轮轴 0 的弹力不一定沿着轻木杆 B 的线度本身，而应当是根据滑轮处于平衡状态来进行推断，从 而得出其方向和大小。 因 TA=Tc=G。所以，TA 和 Tc 夹角 90 不变，所以 TA 和 TC 对 滑轮作用力不变。而滑轮始终处于平衡，所以轻木杆 B 对滑轮 作用力不变。即与θ无关，选项 D 正确。 点评：由于节点是一个活节问题，绳 AC 各点的拉力大小 不变，即有 TA=Tc=G。又由于 TA 和 Tc 的方向不变，夹角 90 不 变，所以 TA 和 Tc 的合力不变，由三力平衡条件可知：木杆 B 对滑轮作用力始终与 TA 和 Tc 的合力大小相等，方向相反。故 轻木杆 B 对滑轮作用力不变。 变式题 1：如图 5-1 所示，质量不计的定滑轮以轻绳牵挂 在 B 点，另一条轻绳一端系重物 C，绕过定滑轮后，另一端固 定在墙上 A 点.若改变 B 点位置使定滑轮位置发生移动，但使 AO 段绳子始终保持水平， 则可以判断悬点 B 所受拉力 F 的大小 变化情况是（ ）0 0A.若 B 左移，F 将增大 B.若 B 右移，F 将增大 C.无论 B 左移还是右移，F 都保持不变D.无论 B 左移还是右移，F 都减小解析：因为 AO 段绳子保持水平，OC 段绳子始终竖直，且 同一根绳子中张力相等，即 OC、OA 两绳拉力的合力方向一定 与水平成 45°角斜向下不变.又因为平衡条件，OB 绳中拉力大 小方向也不变.正确选项为 C.答案：C 变式题 2：如图 5-19 所示，硬杆 BC 一端固定在墙上的 B 点，另一端装有滑轮 C，重物 D 用绳拴住通过滑轮固定于墙上 的 A 点.若杆、滑轮及绳的质量和摩擦均不计，将绳的固定端 从 A 点稍向下移，则在移动过程中（ ）A.绳的拉力、滑轮对绳的作用力都增大 B.绳的拉力减小，滑轮对绳的作用力增大 C.绳的拉力不变，滑轮对绳的作用力增大 D.绳的拉力、滑轮对绳的作用力都不变解析：设 AC 绳与竖直方向的夹角为α，以绳与滑轮相切 的点受力分析可知，切点处受三个力：竖直向下的拉力 TCD，斜 向左上方的拉力 TAC，斜向右上方的拉力 TBC。且 TAC=TCD=G。由这 三个力可构成一个封闭的三角形。由几何知识及正弦定理可 知：TCD/sin〔 （180 －α）/2〕=TBC/sinα. 由此可得：TBC=2Gsinα/2。当绳的固定端从 A 点稍向下 移时，α↑，sinα/2↑TBC↑。故选项 C 正确。 点评：这是一个典型的三力动态平衡问题，处理这类问 题的方法有多种，可以运用分解方法、合成法、封闭三角形法、 正交分解法、还可以运用图解法，此题运用图解法较简单，只 要画出动态力的矢量图即可找到答案。 变式题 3：已知如图 5-27，一根轻绳左端固定在水平天 花板上，依次穿过不计质量和摩擦的动滑轮和定滑轮后，悬挂 重 G1 的物体 A，在动滑轮下悬挂重 G2 的物体 B，系统处于静止 状态.求：0图 5-27 （1）若 G1=G2=10 N，静止时细绳与天花板间的夹角α.（2）若测得 G1=10N，α=37°，那么 G2 为多少？ 解析:(1)轻绳各处张力相等,G1=G2 时,3 个力的夹角必为 120°,即α=30° (2)由力的平衡条件知 2G1sinθ=G2 G2=12 N. 答案： （1）30° （2）12 N θ=37° G1=10 N变式题 4：如图所示，相距 4m 的两根柱子上拴着一根 5m 长的细绳，细绳上有一光滑的小滑轮，吊着 180N 的重物，静 止时 AO、BO 绳所受的拉力各是多大?（150N，150N）点评：在例 2 及变式题中，绳子的连接是“活节”问题， 整个绳子的个点的张力都相等。 若绳子的连接是“死节”问题， “死节”之外各段绳子的张力一般不相等。 题型二：死节平衡问题： 例 2. 用三根轻绳将质量为 m 的物块悬挂在空中，如图所 示．已知绳 ac 和 bc 与竖直方向的夹角分别为 30°和 60°， 则 ac 绳和 bc 绳中的拉力分别为（ ）解析： 首先， 以节点 C 为研究对象,受力分析如图 a 所示， 由平行四边形定则将 Ta、TB 合成，取其中的一个三角形，由数 学知识可得： Ta＝Tcos30 °＝mgcos30 °，TB＝Tsin30 °＝mgsin30 °，故 A 选项正确！ 点评：这是一个典型的三力平衡问题，物体在三个共点力 作用下处于平衡状态时，这三个共点力的图示可以围成一个矢 量三角形，所以在找到这三个力之后，除了用例题中的“合成 法”找三角形之外，还可以用“平移法”找三角形，如图 b 所 示. 变式题 1：如图 3 所示，将一物体用两根等长 OA、OB 绳 悬挂在半圆形架子上，B 点固定不动，在悬挂点 A 由位置 C 向 位置 D 移动的过程中，物体对 OA 绳的拉力变化是（） A.由小变大 C.先减小后增大 B.由大变小 D.先增大后减小解析:悬挂点 A 由位置 C 移动的过程中，每个位置都处在 平衡状态，合力为零。 以结点 O 为研究对象，受三个力的作用而处于平衡状态， 因此三个力必构成一个闭合矢量三角形。因重力的大小和方向C TB TA1ABTA2GTA TA3 4O GD图4始终不变，BO 绳的拉力方向不变，在 AO 绳由位置 C 到 D 移动 过程中可以做出一系列的闭合的三角形，如图 4 所示。由图可 知 OB 绳的拉力由小变大，OA 绳的拉力由大变小，当 OA 垂直于 OB 时绳 OA 的拉力达到最小值，此时，绳 OA 的接力由减小到增 大的临界点。则 C 正确。 点评：作矢量图时，每个三角形所表示重力边的长度、方 向都不变，TB 的方向不变，然后比较做出的各个三角形表示有 哪些不同。要特别注意是否存在极值和临界点，这是判断力变 化的切入点。 变式题 2：如图 4 所示，电灯挂于两墙之间更换原水平绳 OA，使结点 A 向上移动而保持 O 点不动，则 A 点上移时，OA 所 受的拉力如何变化？ ( 答案： OA 所受拉力先变小后变大的结 论。)AO图4图6变式题 3：用一根细绳沿水平方向把电灯拉至如图 5-14 所示的位置，细绳的一端固定在墙上的 O 点，此时电线 AB 与 OB 对灯的拉力分别是 F1、F2，如果把细绳固定在墙上的 O′点，则 F1 与 F2 的变化情况（）A.F1、F2 都增大 C.F1、F2 都减小B.F1 增大，F2 不变 D.F1 减小、F2 不变变式题 4：举重运动员在抓举比赛时，为了减小杠铃上升 的高度和便于发力，抓握杠铃的两手间要有较大距离，使两臂 上举后两臂间成钝角，手臂伸直后所受作用力沿手臂方向 .一 质量为 75 kg 的运动员， 在举起 125 kg 的杠铃时， 两臂成 120° 角，如图 5-4 则此时运动员的每只手臂对杠铃的作用力 F 及运 动员对地面的压力 T 的大小分别为（取 g=10 m/s ）?（2）图 5-4 A.F=1 250 N，T=2 000 N C.F=625 N，T=2 000 N B.F=1 250 N ，T=3 250 N D.F=722 N，T=2 194 N解析：对整体，竖直方向受两个力，系统重力和地面对人 的支持力 T′，这两个力为平衡力；对杠铃，受重力 G、人两臂的支持力 F，手臂支持力沿手臂伸长方向，移动 F 使杠铃受 力为共点力，如右图所示，两手臂支持力 F 互成 120°角，因 此杠铃重力 G 与 F 互成 120°角。故 A 选项正确。 变式题 5：如图 5-24 所示，矩形均匀薄板长 AC=60 cm， 宽 CD=10 cm.在 B 点以细线悬挂，板处于平衡，AB=35 cm，则 悬线和板边缘 CA 的夹角α=_____________.解析:矩形均匀薄板的重心在 AD 和 CE 交点 O 处，根据二 力平衡条件知重力 G 跟悬线拉力等大反向.如右图所示，由几 何知识得： tanα= OF =BFOF AB? AF=5 35 ? 30=1即α=45°.答案:45°变式题 6：一个重 G=60N 的物体放在水平地面上，受到 两个与水平面间夹角分别为 45 和 30 的斜向上拉力 F1 ＝ 2020 0N ， F2 ＝ 40N ，物体仍保持静止，则物体对地面的压力为________N；地面对物体的摩擦力为________N。 （答案：20N、 14.6N） 题型三：物体与接触面间的平衡问题：例 3.如图 5-26 所示， 把一个球放在 AB 和 CD 两个与纸面 垂直的光滑板之间，保持静止，AB 板是固定的，CD 板和 AB 板 活动连接，CD 板可绕通过 D 点并垂直于纸面的轴转动，在θ角 缓慢地由 0°增大到 90°的过程中，AB 板和 CD 板对球的支持 力的大小各怎样变化?图 5-26 解析：球的受力图如左下图所示，球在重力 G、AB 板的支 持力 F1、 CD 板的支持力 F2 这三个力作用下保持平衡， 利用平行 四边行定则作出 F1 和 F2 的合力 F，由平衡条件可知，F 与 G 大 小相等、方向相反，即 F 的大小和方向都是不变的，F1 的方向 是不变的，由几何关系可知，F1 和 F 的夹角保持不变；F2 和 F 的夹角等于θ，如左下图所示，从右下图中力的图示可知，在 θ角由 0°增大到 90°的过程中，F1 由零开始一直增大；F2 则 先是逐渐减小， 当 F1 和 F2 垂直时减到最小值， 然后又逐渐增大.变式题 1：如图所示，质量为 m 的球放在倾角为 a 的光滑斜 面上，试分析挡板 Ao 与斜面间的倾角 ? 多大时，Ao 所受压力 最小?解析：虽然题目问的是挡板 AO 的受力情况，但若直接以 挡板为研究对象， 因挡板所受力均为未知力， 将无法得出结论。 以球为研究对象。球所受重力 mg 产生的效果有两个：对 斜面产生了压力 F1，对挡板产生了压力 F2。根据重力产生的效 果将重力分解，如图所示。当挡板与斜面的夹角 ? 由图示位置 变化时，F1 大小改变，但方向不变，始终与斜面垂直，F2 的大 小、方向均改变(图中画出一系列虚线表示变化的 F2)。由图可 看出，当 F2 与 F1 垂直时，挡板 AO 所受压力最小，最小压力 F2= mgsin ? ． 点评：根据力的平行四力形法则或三角形法则，画一系列的图示在作题时是非常实用的。 变式题 2：如图 5 所示，水平地面放一个木板，上面放一 个木块，设木块对木板的压力为 N，木块所受的摩擦力为 f， 若使木板的 B 端逐渐升高时，木块仍静止，则 N 和 f 如何 变化？(答案：N 减小，f图5增大) B点评：当我们仔细分析上述各题中研究对象的受力情况， 并画出受力分析图，如果忽略物体的大小和形状，只画出其受 力示意图时，你会发现，原来它们有这样多的相似之处，且可 以用三力汇交原理轻松的分析并得出正确的结论。三力汇交原 理是指物体在受到三个力（或三个以上力）作用的情况下，常 常根据力的平行四边形法则把其中的两个力合成为一个力，然 后根据初中学过的二力平衡原理求解另一个力，从而达到把一 个复杂的问题简单化的目的（如图 6 所示，具体解法略） 。 变式题 3：一物体静止在与水平面夹角为θ的粗糙斜面 上，如图 5-17 所示.在θ逐渐增大而物体尚未发生滑动以前， 作用在物体上的摩擦力总是正比于（ A.θ C.cosθ B.sinθ D.tanθ ）解析：物体静止时，在斜面上，mgsinθ= f 静，不难看出：f 静∝sinθ。故 B 选项正确。 变式题 4：如图 5-23 所示，水平木板 AB 上放一质量为 m 的木块 C，现将 B 端缓慢抬起，当θ=θ1 时物体 C 仍相对木板 静止；当θ增大到θ2 时 C 刚要开始滑动；C 滑动后调整θ到θ3时，C 刚好匀速下滑.那么木块在木板上受的静摩擦力大小为_________，在θ角从 O 增到 90°的过程中木块 C 受到的最大 摩 擦 力 为 ___________ ， 木 块 与 木 板 间 的 动 摩 擦 因 数 为 ___________.（答案：mgsinθ1 mgsinθ2 tanθ3）变式题 5：如图 5-15 所示，将重物 P 放在粗糙的斜面上， 再用一力 F 拉它，重物 P 处于静止状态.重物 P 的受力情况可 能是（ ）图 5-15 A.拉力 F、重力、支持力 B.拉力 F 和重力 C.拉力 F、重力、支持力、沿斜面向上的摩擦力 D.拉力 F、重力、支持力、沿斜面向下的摩擦力题型四：最大值与最小值的平衡问题 例 4. 如图所示，a、b、c 三根绳子完全相同，其中 b 绳 水平，c 绳下挂一重物.若使重物加重，则这三根绳子中最先断 的是（ ） B.b 绳 D.无法确定A.a 绳 C.c 绳解析：完全相同的绳子能承受的最大拉力也相同，则哪 根绳子承受的拉力大，哪根就先断.结点 O 受三个力而平衡， 这三个力必组成闭合矢量三角形如右图所示.其中 FA 最大。所 以正确选项为 A。 变式题 1：(05 江西）在水平天花板下用绳 AC 和 BC 悬挂 着物体 m，绳与竖直方向的夹角分别为α = 37°和β = 53°， 且NACB 为 90°，如图 1-1-13 所示．绳 AC 能承受的最大拉力 为 100N，绳 BC 能承受的最大拉力为 180N．重物质量过大时会 使绳子拉断． 现悬挂物的质量 m 为 14kg． （g = 10m/s ， sin37° = 0.6，sin53° = 0.8）则有（ ）2A．AC 绳断，BC 不断 B．AC 不断，BC 绳断 C．AC 和 BC 绳都会断 D．AC 和 BC 绳都不会断 解析：对 C 点受力分析，在 C 点受三个力的作用，即竖直 向下的绳子的拉力 TG、沿 CB 的绳子的拉力 TCB、及沿 CA 的绳子 的拉力 TCA， 且 TG=G。 当 TCA=100N 时， 由平衡条件可知： TCAsin37° =TCBsin53 ° ， 解 得 ： TCB=75N
180N ， 两 绳 都 不 断 ， 此 时 ,TG=G=TCAcos37 ° +TCBcos53 ° =125N, 即 悬 挂 物 的 质 量m=12.5kg。当 TCB=180N 时，同理可得：TCA=240N100N，CA 的绳子要断,此时,TG=G=TCAcos37°+TCBcos53=300N,即悬挂物的质 量 m=30kg 。欲使两绳都不断，物体的重力不应超过 Gmax ，且 Gmax=125N，即悬挂物的质量 m 不超过 12.5kg。当 12.5kgm 30kg 时，CA 的绳子要断,而 BC 的绳子不断。当 m30kg 时， 两绳都断。所以当 m=14kg 时，故选项 A 正确。 变式题 2：如图所示，用绳 AC 和 BC 吊起一个物体，绳 AC 与竖直方向的夹角为 60°， 能承受的最大拉力为 100N 绳 BC 与竖直方向的夹角为 30°，能承受的最大拉力为 150N.欲使两 绳都不断，物体的重力不应超过多少?答案:173N 解析：对 C 点受力分析，在 C 点受三个力的作用，即竖直向下的绳子的拉力 TG、沿 CB 的绳子的拉力 TCB、 及沿 CA 的绳子的拉力 TCA， 且 TG=G。 当 TCA=100N 时，由平衡条件可知：TCAsin60°=TCBsin30°。解得：TCB=173N 150N， 显然， TCA ≠100N。 当 TCB=150N 时， 由平衡条件可知： TCAsin60° =TCBsin30°，解得：TCA=503 N100N，显然，当TCB=150N 时，绳子都不断。由此可知：Gmax=TG=TCAcos60°+TCBcos30°。解得： Gmax=1003 N。例 5.重为 G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ， 一人 欲用最小的作用力 F 使木板做匀速运动，则此最小作用力的大 小和方向应如何？Ry N f F θ xα F 2 F m i n F 1 m g解析：取物块为研究对象，在与水平面夹θ角斜向右上方 的拉力 F 作用下，物块沿水平面向右做匀速直线运动，此时， 物块的受力情况如图所示，建立起水平向右为 x 轴正方向、竖 直向上为 y 轴正方向的直角坐标系，沿两坐标轴方向列出平衡 方程为： Fcosθ－f=0；Fsinθ+N－mg=0.m g考虑到动摩擦力 f 与正压力 N 间的关系，又有 f=μN. 由上述三个方程消去未知量 N 和 f， 将 F 表示为θ的函数， 得： F=μmg/（cosθ+μsinθ） ， 对上述表达式作变换，又可表示为： F=? mg ， 2 cos( ?? ? )1 ? ?其中 tanα=μ.由此可知，当θ=arctanμ时，拉力 F 可取得最小值 Fmin=μmg/1? ? 2 .其实，此例题可用“几何方法”分析求解：对物块做匀 速直线运动时所受的四个力来说，重力 mg 的大小、方向均恒 定；拉力 F 的大小和方向均未确定；由于支持力 N 与动摩擦力 f 的比值是确定的，做其合力 R 的大小未确定而方向是确定的 （与竖直线夹α角） ，于是，把 N 与 f 合成为一个力 R，物块所 受的四个力即可等效地视为三个力 R、mg 和 F，而这三个力的 矢量关系可由图来表示。 由图便很容易得出结论：当拉力 F 与水平面夹角为 =tg μ时，将取得最小值 Fmin=mgsinα=―1α? mg1? ? 2点评：极值是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出 遭到的最大值或最小值。可分为简单极值问题和条件极值问题。 区分的依据就是是否受附加条件限制。 若受附加条件限制， 则为条件极值。 对三个以上的多力平衡问题，要灵活地选择解题方法， 避免不必要的繁琐的数学运算。 变式题 1：如图所示，物体放在水平面上，与水平面间的 动摩擦因数为μ,现施一与水平面θ角且斜向下的力 F 推物体， 问：θ角至少为多大时，无论 F 为多大均不能推动物体（设最 大静摩擦力等于滑动摩擦力）？N f θ F mg Fθ解析：设物体的质量为 m，静摩擦力为 f，现取刚好达到 最大静摩擦力时分析， 如图由平衡条件有 Fcosθ=μ （mg＋Fsin θ） ，F=μmg/(cos θ-μsinθ)该式中出现三个未知量，条件 缺少，但注意到题中“无论 F 多大???” ，可设想：当 F→∞ 时，必有右边分式的分母→ 0 ，即 cos θ－μ sin θ =0 ，得θ =arctan（ ?1 ） ，因此θ≥arctan（ ?1 ）即为所求。 ★变式题 2：如图所示，A、B 两个带有同种电荷的小球， 质量都是 m，用两根长为 L 的细丝线将这两球吊于 O 点，当把 球 A 固定点 O 的正下方时，球 B 偏转的角度α=60 ，求 A、B 两0球带电总量的最小值？T α L L B A m g0120 1200F F F解析：设 A、B 两球所带电荷量分别为 qA、qB，由题意知， 球 B 偏离竖直方向 60 后处于平衡状态， 以 B 为研究对象， 球B 受三个力的作用：重力 mg、线的拉力 T、A 对 B 的库仑力 F， 受力分析如图，由平衡条件得：F=mg 由库仑定律得 F= kqL q ，联立得 qAqB= mgL =常数，由上述推 k212 000AB2论可知， 当 q A? qB 一定时， qA＋qB 有最小值， 即 （ q A ＋q B ） min=2 题型五：连接体平衡问题：mgL 2 k例 6：如图所示，轻绳的两端分别系在圆环 A 和小球 B 上， 圆环 A 套在粗糙的水平直杆 MN 上，现用水平力 F 拉着绳子上 的一点 O，使小球 B 从图示实线位置缓慢上升到虚线位置，但 圆环 A 始终保持在原位置不动则在这一过程中，环对杆的摩擦 力 Ff 和环对杆的压力 FN 的变化情况 （ A.Ff 不变，FN 不变 B．Ff 增大，FN 不变 ）C．Ff 增大，FN 减小 D．Ff 不变，FN 减小 解析： 由整体法可知： 在竖直方向上， 杆的支持力 FN＇ =GA+GB , 即 FN＇不变，由牛顿第三定律可知：FN 也不变。在水平方向上， 环对杆的摩擦力 Ff=F。对 O 点受力分析可知，F 逐渐增大， （AO 绳的拉力 TAO 也增大）所以环对杆的摩擦力 Ff 增大。故 B 选项 正确。 点评：此题也可对环 A 和 O 点受力分析，设 AO 绳与竖直 方向的夹角为α，对 A，在竖直方向上：FN=TAOcosα+mAg ? ① 在水平方向上： Ff=TAOsinα?②.对 O，由三力平衡可知，这三个力可组成一个 封闭的直角三角形，由图可得： F=mBgtanα?③ TAO=mBg/cosα?④ .由①②③④可得：FN=mAg+mBg，Ff=mBgtanα。当α↑→ tanα↑→Ff↑→B 选项正确。 思考：若圆环 A 位置不固定且在任何位置都平衡，则情况 又如何？（答案不变）若水平直杆是光滑的，现用水平力 F 拉 着绳子上的一点 O，使小球 B 从图示实线位置缓慢上升到虚线 位置，则环 A 的加速度是多大？ 变式题 1： 有一个直角支架 AOB， AO 水平放置， 表面粗糙， OB 竖直向下，表面光滑，AO 上套有小环 P，OB 上套有小环 Q，两环质量均为 m，两环间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳 相连，并在某一位置平衡，如图。现将 P 环向左移一小段距离， 两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状 态比较， AO 杆对 P 环的支持力 N 和细绳上的拉力 T 的变化情况 是（ ）A．N 不变，T 变大 C．N 变大，T 变大B．N 不变，T 变小 D．N 变大，T 变小解析：隔离法：设 PQ 与 OA 的夹角为α，对 P 有： mg＋Tsinα=N 对 Q 有：Tsinα=mg 所以,N=2mg，即 N 不变，由 T=mg/sinα知，当α增大时， sinα增大，故 T 变小．答案为 B。 整体法：选 P、Q 整体为研究对象，在竖直方向上受到的 合外力为零，直接可得 N=2mg，再选 P 或 Q 中任一为研究对象， 受力分析可求出 T=mg/sinα 点评：为使解答简便，选取研究对象时，一般优先考虑整 体，若不能解答，再隔离考虑．变式题 2：轻绳一端系在质量为 m 的物体 A 上，另一端系 在一个套在粗糙竖直杆 MN 的圆环上。现用水平力 F 拉住绳子 上一点 O，使物体 A 从图中实线位置缓慢下降到虚线位置，但 圆环仍保持在原来位置不动。则在这一过程中，环对杆的摩擦 力 F1 和环对杆的压力 F2 的变化情况是（ A．F1 保持不变，F2 逐渐增大 B．F1 逐渐增大，F2 保持不变 C．F1 逐渐减小，F2 保持不变 D．F1 保持不变，F2 逐渐减小 变式题 3：如图所示，两个质量都是 m 的小球 A、B 用轻杆 连接后斜放在墙上处于平衡状态。已知竖直墙面光滑，水平地 面粗糙，现将 A 向上移动一小段距离，两球再次平衡，那么将 移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，地面对 B 球的支持 力 N 和轻杆上的压力 F 的变化情况是：( A.N 不变，F 变大 C.N 变大，F 变大 ) ）B.N 不变，F 变小 D.N 变大，F 变小A B变式题 3：如图 5-18 所示，A 静止在粗糙的水平地面上，地面对 A 的摩擦力为 f，支持力为 N′，若将 A 稍向右移动一 点，系统仍保持静止，则正确的是（ A.f、N′都增大 C.f 增大、N′减小 ）B.f、N′都减小 D.f 减小、N 增大图 5-18 解析：对 A 物体受力分析：A 物体受重力 G、地面对 A 竖 直向上的支持力 N′、绳子斜向上的拉力 T、地面对 A 的摩擦 力为 f。设 T 与竖直方向的夹角为α ，由平衡条件可知：N′ +Tcosα=mAg，Tsinα=f,又知：T=mBg，解得：N′=mAg－mBgcos α；f=mBgsinα,当 A 稍向右移动一点时，α↑→cosα↓、sin α↑→f↑、N′↑。故 A 选项正确。 例 7.在粗糙水平面上有一个三角形木块 a，在它的两个粗 糙斜面上分别放有质量为 m1 和 m2 的两个木块 b 和 c， 如图所示， 已知 m1＞m2，三木块均处于静止，则粗糙地面对于三角形木块 （ ） A．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向右 B．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向左C．有摩擦力作用，但摩擦力的方向不能确定 D．没有摩擦力的作用m1 b a c m2解析：由于三物体均静止，故可将三物体视为一个物体， 它静止于水平面上，必无摩擦力作用，故选 D． 思考：①若为 b、c 两个物体均匀速下滑，情况又如何？ ②若假定斜面是光滑的，b 物体所在的斜面倾斜角为α， c 物体所在的斜面倾斜角为β ，且α+β=90 ，三角形木块仍 处于静止状态，情况又如何你？ 分析：对 b 受重力和斜面的支持力 Fb,且 Fb=m1gcosα。 由牛顿第三定律可知：b 物体对斜面施于一个垂直于斜面斜向 下的反作用力，大小为 Fb＇=m1gcosα，这个力在水平向右方向 的分力为： Fb＇x=m1gsinαcosα 同理：c 物体对斜面施于一个垂直于斜面斜向下的反作 用力，大小为 Fc＇=m2gcosβ ，这个力在水平向左方向的分力 为：0Fc＇x=m2gsinβcosβ 由α+β=90 ，所以 Fc＇x=m2gsinβcosβ=m2gsinαcos α 因 m1＞m2，所以 Fb＇x＞Fc＇x，即三角形木块有向右运 动趋势，三角形木块必受水平向左的静摩擦力。 点评：本题若以三角形木块 a 为研究对象，分析 b 和 c 对它的弹力和摩擦力， 再求其合力来求解， 则把问题复杂化了． 变式题 1.用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来， 如 图 5-20 所示， 今对小球 a 持续施加一个向左偏下 30°的恒力， 并对小球 b 持续施加一个向右偏上 30°的同样大的恒力， 最后 达到平衡，表示平衡状态的图可能是（ ）0图 5-20图 5-21 解析： （方法一）用整体法求解以 a、b 两球及连接 a、b 球间的绳为一系统，因为施加 在 a、b 两球上的两个恒力 F 等值反向，所以这两个力的合力 为零，整个系统处于静止状态 .由于它们所受重力是竖直向下 的，所以连接悬挂点及 a 球的那段绳也必然是竖直的，所以， 四个图中只有 A 图正确. （方法二）用隔离法求解 我们也可以用隔离法对 a、b 小球进行受力分析，也会得 到同样的结论.以 C 图为例，列出两小球的水平平衡方程（β 为上段绳与竖直方向夹角，α为下段绳子与水平方向夹角） ： 对 a：F1cos30°=T1sinβ+T2?cosα 对 b：F2cos30°=T2cosα 因为 F1=F2,所以 T1?sinβ=0 而 T1≠0，所以β=0°，故只有 A 图正确. 答案：A变式题 2.如图所示，在两块相同的竖直木板之间的质量 均为 m 的 4 块相同的砖，用两个大小均为 F 的水平力压木板， 使砖静止不动，则第二块砖对第三块砖的摩擦力大小为（ A. 零 B.mg C.mg/2 D.2mg ）解析：设左、右木板对砖摩擦力为 f1，第 3 块砖对第 2块砖摩擦为 f2， 则对四块砖作整体有： 2f1=4mg， ∴ 对 1、2 块砖平衡有：f1+f2=2mg，∴f1=2mg。f2=0，故 B 正确。变式题 3.将长方形均匀木块锯成如图所示的三部分，其 中 B、C 两部分完全对称，现将三部分拼在一起放在粗糙水平 面上，当用与木块左侧垂直的水平向右力 F 作用时，木块恰能 向右匀速运动，且 A 与 B、A 与 C 均无相对滑动，图中的θ角 及 F 为已知，求 A 与 B 之间的压力为多少？θ F A C F1 θ fB f1B解析：设 B 部分的质量为 m，则 A 部分的质量为 2m，C 部分的质量为 m。 以 A、 B、 C 为整体受力分析可得： fA+fB+fC=F。 设动摩擦因数为μ， 即： fA=2μmg， fB=μmg， fC=μmg， 4μmg=F， 所以：fB=μmg=F/4。 隔离 B 受力分析示意图如下所示，因 B 平衡，F1=fBsinθ 即：F1=Fsinθ/4 点评：①对题中未给物体质量及考虑摩擦又未给摩擦因数 的问题，我们首先要假设出物体的质量及摩擦因数，然后用相 应的整体法和隔离法去分析。②本题也可以分别对 A、B 进行隔离研究，其解答过程相 当繁杂。 题型六：临界平衡问题 例 8.如图所示，水平面上两物体 ml、m2 经一细绳相连， 在水平力 F 的作用下处于静止状态，则连结两物体绳中的张力 可能为（ ） A．零；B．F/2； C．F；D．大于 F解析：当 m2 与平面间的摩擦力与 F 平衡时，绳中的张力 为零，所以 A 对；当 m2 与平面间的最大静摩擦力等于 F/2 时， 则绳中张力为 F/2，所以 B 对，当 m2 与平面间没有摩擦力时， 则绳中张力为 F， 所以 C 对， 绳中张力不会大于 F， 因而 D 错． 答 案：ABC 点评：要正确解答该题，必须对静摩擦力，最大静摩擦 力有深刻正确的理解。 变式题 1.（2013 高考）如图，在固定斜面上的一物块受 到一外力的作用，F 平行于斜面上。若要物块在斜面上保持静 止，F 的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为 F1 和 F2（F2＞0）.由此可求出 A．物块的质量B.斜面的倾角 C. 物块与斜面间的最大静摩擦力 D.物块对斜面的正压力 变式题 2.如图所示，两个完全相同的重为 G 的球，两球 与水平地面间的动摩擦因数都是μ，一根轻绳两端固接在两个 球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后， 两段绳间的夹角为θ。问当 F 至少多大时，两球将发生滑动？ 解析：首先选用整体法，由平衡条件得 F＋2N=2G ①再隔离任一球，由平衡条件得 Tsin(θ/2)=μN ①②③联立解之 ② 2?Tcos(θ/2)=F ③。 点评：两球刚好发生滑动的临界条件是水平拉力达到最大 静摩擦力 μN。 变式题 3.如图 2－24（a）所示，A、B 质量分别为 mA 和 mB， 叠放在倾角为θ的斜面上以相同的速度匀速下滑， 则 （ A.AB 间无摩擦力作用 B.B 受到的滑动摩擦力大小为（mA＋mB）gsinθ ）C.B 受到的静摩擦力大小为 mAgsinθ D.取下 A 物体后，B 物体仍能匀速下滑解析:隔离 A、B，A 受力和坐标轴如图（b）所示，由 平衡条件得： mAgsin θ － fA=0 ? ? ? ? ① 0????② B 受力和坐标轴如图（C）所示，由平衡条件得： mBgsinθ＋fA －fB=0?????③ NB 一 mBgcosθ―NA =0????④ A、B 相对静止，fA 为静摩擦力，B 在斜面上滑动，fB 为滑 动摩擦力 fB＝μNB????⑤ 联立①式～⑤式得：/ /NA 一 mAgcos θ ＝fA=mAgsinθ，fB=（mA 十 mB）gsinθ，μ=tgθ 取下 A 后，B 受到的滑动磨擦力为 fB＝μmBgcosθ=mBgsin θ， B 所受摩擦力仍等于重力沿斜面的下滑分力，所以 B 仍能作匀速直线运动? 综上所述，本题应选择（B） 、 （C ） 、 （D） 。 变式题 4.如图所示，设 A 重 10N，B 重 20N，A、B 间的动 摩擦因数为 0.1，B 与地面的摩擦因数为 0.2．问： （1）至少对 B 向左施多大的力，才能使 A、B 发生相对滑动？（2）若 A、B 间μ1=0.4，B 与地间μ2=0.l，则 F 多大才能产生相对滑动？FA B FA BT T fB fA A T解析： （1）设 A、B 恰好滑动，则 B 对地也要恰好滑动， 以 A、 B 整体为研究对象， 受力分析如图， 由平衡条件得： F=fB+2T, fB=μ2(mB+mA)g。 选 A 为研究对象， 由平衡条件有： T=fmax。 即， T=μ1mAg=10 ×0.1=1N，fB=μ2（mA+mB）g=30×0.2=6N。所以：F=8N。 （2）同理 F=11N。 点评：A、B 恰好滑动时，B 对地也要恰好滑动。当 A、B 恰好滑动时，绳对 A 的拉力 T 至少等于 AB 间的最大摩擦力,所 以 A、B 滑动时作用于 A 的最小拉力 T=μmAg。 变式题 5：如图:位于水平桌面上的物块 P，由跨过定滑轮 的轻绳与物块 Q 相连， 从滑轮到 P 到 Q 的两段绳都是水平的． 已知 Q 与 P 之间以及 P 与桌面之间的动摩擦因数都是μ，两物块 的质量都是 m，滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦都不计．若用一 水平向右的力 F 拉 P 使它做匀速运动，则 F 的大小为多少？Q P F F解析：对绳的拉力为 T，PQ 之间摩擦力为 f1，P 与地面 之间摩擦力为 f2 对 Q 进行受力分析: f1＝μmg 对 P 进行受力分析 联立得 F＝4μmg 点评：也可用整体法分析。 变式题 6：如图所示，物体 A、B 叠放在倾角α=37°的斜 面上，并通过细线跨过光滑滑轮相连，细线与斜面平行 .两物 体的质量分别为 mA=5kg， mB=10kg， A、 B 间动摩擦因数为μ1=0.1， B 与斜面间的动摩擦因数为μ2=0.2.现对 A 施一平行于斜面向 下的拉力 F、 ，使 A 平行于斜面向下匀速运动，求 F 的大小.答 案:62N. 提示：先整体后隔离或将 A、B 隔离分析。 f2＝μ?2mg T ＝f F＝T+ f1+ f2变式题 7：如图，一固定斜面上两个质量相同的小物块 A 和 B 紧挨着匀速下滑，A 与 B 的接触面光滑。已知 A 与斜面之 间的动摩擦因数是 B 与斜面之间动摩擦因数的 2 倍，斜面倾角 为α。B 与斜面之间的动摩擦因数是（ A. 2 tanα 3 2 B． cotα 3 D．cotα ）C．tanα解析： 以 A 和 B 为整体受力分析可知： fA+fB=2mgsinα ? ① fB=μmgcosα?② 2 = tanα 3 fA=2μmgcosα? ③由① ② ③ 得：μ即 A 项正确。变式题 8： 如图所示， 质量 m=5kg 的物体， 置于倾角θ=30° 的粗糙斜面块上，用一平行于斜面的大小为 30N 的力推物体， 使其沿斜面向上匀速运动.求地面对斜面块 M 的静摩擦力.解析： 对 m 和 M 组成的系统整体研究， 由平衡条件可知， f=Fcosθ=30×cos30°= 153N点评：若此题用隔离法解较复杂。 思考：①如果 F 水平作用于物体 m 上，物体沿斜面向上 做匀速运动， 斜面体静止， 求地面对斜面块 M 的静摩擦力 （30N） ②如果 F 与平行斜面斜向上成 30? 角的方向拉物体 m， 使物体沿斜面向上做匀速运动，斜面体静止，求地面对斜面块 M 的静摩擦力（15N） 变式题 9：如图 1-6 所示，斜面 A 放在水平地面上，物块 B 放在斜面上， 有一水平力 F 作用在 B 上时， A、 B 均保持静止. A 受到水平地面的静摩擦力为 f1 ，B 受到 A 的静摩擦力为 f2 ， 现使 F 逐渐增大，但仍使 A、B 处于静止状态，则（ A．f1、f2 一定都增大 C．f1 增大，f2 不一定增大 大 ）B．f1、f2 都不一定增大 D．f2 增大，f1 不一定变解析：将 A、B 视为“整体” ，对其进行受力分析如图 1 所示，根据物体的平衡条件∑F=0，有 G＝N，F=f1, f1 即为 A 受到水平地面的静摩擦力，所以 F 增大，则 f1 随之增大.将 B“隔离”出来分析，如图 2 所示，B 受到 G、N、F 和摩 擦力 f2（图中未画出）的作用，据物体平衡条件∑ F=0，有 N ＝FY＋GY，f2 在 x 方向上，可能有 GX＋f2＝FX 或 GX＝FX＋f2，所 以 f2 不一定增大， 答案：C. 点评： 将 B“隔离”出来分析，由于 FX 与 GX 的大小关系 不确定，因此摩擦力 f2 的方向有两种情况。因此静摩擦力的方 向判断是一个难点，注意其方向的多种可能性（多解问题） 。 变式题 10：A、B、C 三物块的质量分别为 M，m 和 m0，作 如图所示的联结．绳子不可伸长，且绳子和滑轮的质量、滑轮 的摩擦均可不计．若 B 随 A 一起沿水平桌面做匀速运动，则可 以断定（ ）A.物块 A 与桌面之间有摩擦力，大小为 m0g B.物块 A 与 B 之间有摩擦力，大小为 m0g C.桌面对 A，B 对 A，都有摩擦力，两者方向相同，合力为 mog D.桌面对 A，B 对 A，都有摩擦力，两者方向相反，合力为 m0g解析：将 A、B 视为“整体” ，对其进行受力分析，如图 ３所示，据物体平衡条件：∑F=0，有 T＝ｆ；隔离 C 分析，如 图４所示，有 T＝m0g，所以 f＝m0g，故 A 选项正确；隔离 B 分 析时，由于 B 匀速运动，其合外力为零，水平方向上不能有 A 对 B 的摩擦力，所以 B、C、D 选项错误！ ， 点评：不能把整体法和隔离法孤立起来，要将他们结合使 用，起到相辅相成的作用！ 变式题 11： 如图所示， 表面粗糙的固定斜面顶端安有滑轮， 两物块 P、Q 用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)P 悬于空中，Q 放在斜面上，均处于静止状态. 恒力推 Q 时，P、Q 静止不动，则（ A．Q 受到的摩擦力一定变小 变大 C．轻绳上拉力一定变小 D．轻绳上拉力一定不变 ） B．Q 受到的摩擦力一定 当用水平向左的解析：当用水平向左的恒力 F 推 Q 时，P、Q 仍处于平 衡状态.对 P 进行受力分析，如图所示据物体的平衡条件：∑F=0， 有 mg＝T,对 Q 进行受力分析(Q 受到的摩擦力未画出)，有 N＝ F1＋G1，由于（F2＋T）与 G2 的大小关系未知，所以有： （1）当（F2＋T）＜G2，ｆ与 F2 同向，有（F2＋T）＋ｆ＝ G2，则 F 增大，F2 增大，ｆ将随之减小. （2）当（F2＋T）＝G2 时，ｆ＝0， （3）当（F2＋T）＞G2，ｆ与 G2 同向，有（F2＋T）＝G2＋ ｆ，则 F 增大，F2 增大，ｆ随之增大； 综上所述，只有 D 选项正确！ 点评：此题要注意分析静摩擦力方向的变化情况！在解 题过程中遇到静摩擦力时，一定要十分小心静摩擦力方向的判 断，很多同学经常就“栽”在这里！ ！因此， （1）遇到静摩擦 力，要格外小心其方向的判断！ （2）建立合理的坐标系后，采 用正交分解法将各个不在坐标系上的力分解到坐标轴上，然后 根据平衡条件，就可以顺利的列出平衡方程进行求解. 这可以 说是一个很固定的解题模式。 变式题 12：一个质量 3kg 的物体，放在倾角α=30°的固 定斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为 ?= 丙三种情况下处于平衡状态的是 A．仅甲图 （ ）3 3，如图甲、乙、B．仅乙图 C．仅丙图 D．甲、乙、丙三图。 解析：当物体开始与斜面滑动时，拉力 F 必须满足： F≥mgsin30°+μmgcos30° 即 F≥mg=30N。而由图甲、乙、丙可知：物体仍处于静止 状态。故选项 D 正确。 变式题 13：一木块放在水平桌面上，在水平方向共受到 三个力即 F1、F2 和摩擦力作用，木块处于静止状态，其中 F1=10 N，F2=2 N.若撤去 F1，则木块在水平方向受到的合力为（ A.10 N，方向向左 C.2 N，方向向左 B.6 N，方向向左 D.零 ）解析：当木块受三个力作用而静止时，则： F1=F2+f 故 f=F1-F2=8 N 可知最大静摩擦力大于或等于 8 N 当撤去 F1 后，因为 F2=2 N，它小于最大静摩擦力，所以 此时物体水平向右受一个大小为 2 N 的静摩擦力，物体仍处于 静止状态，木块所受的合外力仍为零.故 D 选项正确。 变式题 14：劲度系数为 100N/ m 的弹 簧上端固定， 下端挂一个放在斜面上的物体。已知物体可在 PQ 两点间的任何位置处于静止 状态，如图所示。若物体与斜面间的最大静 摩擦力为 6N，则 P、Q 两点间的距离最大是 ________ cm . 解析：用假设法分析物体在 P 和 Q 位置处的受力情况。 假设物体在 P 处恰好开始滑动，弹簧的伸长最长，设为 XP，且 F 弹=mgsinα+fM=KXP.假设物体在 Q 处恰好开始滑动，弹簧的压 缩最短，设压缩量为 XQ，且 fM=mgsinα+F 弹，即 F 弹=fM-mgsin α=XQK。则 P、Q 两点间的距离最大为：XP+XQ=2fM/K=12cm。 变式题 15：如图，斜面的倾角为θ，物块 A、B 的质量分 别为 ml 和 m2，A 与斜面间的动摩擦因数为μ，滑轮的摩擦作用 不计。试问：m2 与 ml 的大小在满足什么条件,系统处于平衡状 态.解析： 物块 A 在斜面上除受重力 （G=m1g） 、 绳子的拉力 （T ） 和斜面的支持力（N）外，还受斜面的静摩擦力（f）作用。由 于系统保持静止， 滑轮的摩擦作用不计， 所以绳子的拉力 T=m2g。 ①当 T＝m2g=m1gsinθ时，A 不受斜面的摩擦力作用，f=0 ②当 T=m2g＞m1gsinθ时，且有沿斜面向上运动的趋势，A 将受沿斜面向下的静摩擦力作用，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，大小为μm1gsinθ，这样，要使系统静止，必须满足 的条件是：m2g≤m1gsinθ＋μm1gsinθ ③当 T=m2g＜m1gsinθ时，A 有下滑的趋势，A 将受到沿斜 面向上的静摩擦力作用，要使系统静止，必须满足的条件是： m2g≥m1gsinθ－μm1gsinθ 综上所述，要使系统静止，A、B 的质量关系应满足的条件 是： ml（sinθ＋μcosθ）≥m≥m1（sinθ－μcosθ） 题型七：其它型平衡问题： 例 9：在倾角为 30°的光滑斜面上放着一个质量 M=2 kg 的物体 A,由轻绳与质量为 m 的物体 B 相连,如图 5-9 所示,A 和 B 都处于静止状态,求 B 物体的质量.(g 取 10 N/kg)图 5-9 解析：将 A 物体所受的重力分解为沿斜面向下的分力 GA1 和垂直斜面向下的 GA2,则 GA1=Mgsin30°=2×10×0.5 N=10 N, 它与绳子对 A 物体的拉力 T 平衡,所以 T=GA1=10 N,对于物体 B: 绳子拉力 T 与重力 GB=mg 平衡,因此 GB=T=10 N，m=1 kg。答案： m=1 kg。变式题 1.为使重 300 N 的木柱直立于地面上，在柱的上 端拴有两根拉绳，如图 5-25 所示.已知水平绳的拉力 F=100 N， 试求：图 5-25 （1）斜绳 CA 的拉力； （2）木柱 AB 对地面的压力. 解析:如图：FAC=F cos 60?=2F=200 N.F 合=FACsin60°=200×3 2N=1003N=173.2 N即木板对地面压力为 173.2 N. 答案： （1）200 N （2）173.2 N变式题 2：斧的纵截面是一个等腰三角形，两侧面的夹角 为 2θ，在斧背上加一个直向下的力 F，使斧劈进木头，求斧 的两侧面对木头的压力. 解析：如图所示，斧对木头的竖直向下的作用力等于 F，这个力在垂直于两侧面的分力 f1 和 f2 就等于斧的侧面对木头的 压力，根据力的平行四边形定则可以知道，f1=f2，由于 f1sinθ=f2sinθ= F 所以 f1=f2=F 2 sin ?2我们看到，对一定的力 F 来说，θ角越小，力 f1 和 f2 越 大，这说明为什么越锋利的斧越容易劈开物体。 变式题 3：如图 5-7 所示，质量为 m、横截面为直角三角 形的物块 ABC，NABC=α，AB 边靠在竖直墙面上，F 是垂直于 斜 面 BC 的 推 力 . 现 物 块 静 止 不 动 ， 则 摩 擦 力 的 大 小 为 _____________.图 5-7 解析： 物块受力如下图所示.由平衡条件得 f=mg+Fsinα。 变式题 4：如图所示在倾角为 37°的斜面上，用沿斜面向上的 5N 的力拉着重 3N 的木块向上做匀速运动，则斜面对木 块的总作用力的方向是（ ） A．水平向左 C．沿斜面向下 B．垂直斜面向上 D．竖直向上解析：对木块受力分析可知：斜面对木块有两个力的作 用，支持力 FN=Gcos37 ° =2.4N ，滑动摩擦力 f=F-Gsin37 ° =3.2N。设斜面对木块的总作用力的方向与斜面的夹角为α， 则，tanα=FN/f=3/4。所以，α=37°。 即斜面对木块的总作用力的方向与水平地面平行。故选项 A 正 确。 变式题 5：五本书相叠放在水平桌面上，用水平力 F 拉中 间的书 C 但未拉动，各书均仍静止（如图） 。关于它们所受摩 擦力的情况，以下判断中正确的是 A.书 e 受一个摩擦力作用 B. 书 b 受到一个摩擦力作用 C. 书 c 受到两个摩擦力作用 D. 书 a 不受摩擦力作用 变式题 6： 重 G=100N 的木块放在倾角α=30°的玻璃板上， （ ）恰能匀速下滑． 若将玻璃板水平放置， 用跟水平方向成α=30° 角的斜向上拉力拉木块沿玻璃板匀速运动，则拉力 F=__________． （答案：50N．提示：木块匀速下滑时，Gsinα=μGcosα；得 μ=tgα．拉木块匀速运动时，应有 Fcosα=μ(G-Fsinα)） 变式题 7：如图所示，重 G=100N 的木块放在倾角θ=20° 的斜面上静止不动，现用平行于斜面底边、沿水平方向的外力 F 拉木块，则 F 为多少时，可使木块沿斜面匀速滑下，已知木 块与斜面间动摩擦因数μ =0.5 ，取 sin20 ° =0.34 ， cos20 ° =0.94．（ 32.4N．答案 ）：例 10：重 G=10N 的小球，用长为 L=1m 的细线挂在 A 点， 靠在半径 R=1.3m 的光滑大球面上．已知 A 点离球顶距离 d=0.7m，求小球对绳的拉力和对大球的压力各为多少？o解析：对球受力分析可知：三力可组成一个封闭的三角 形，这个三角形与几何三角形构成相似三角形。即有： T/G=L/(d+R)、FN/G=R/(d+R)，由此可得：T=5N、FN=6.5N。 变式题 1：如图所示，两个质量分别为 m、4m 的质点 AB 之 间用轻杆固结，并通过长 L 的轻绳挂在光滑的定滑轮上，求系 统平衡时 OA、OB 段绳长各为多少？F A m O T O/ mg B 4m 4mg F解析：分别以 A、B 为研究对象，作出受力图。此题中杆子处于自由状态， 故其杆子的弹力必沿杆子的方向。由力三角形与几何三角形相 似得：/ OO/ OA ? ， OO ? OB ，而 mg T 4mg TOA＋OB=L，故 OA= 4 L ， OB? 1 L5 5变式题 2：如图所示，竖直杆 CB 顶端有光滑轻质滑轮， 轻质杆 OA 自重不计，可绕 O 点自由转动，OA＝OB。当绳缓慢 放下，使NAOB 由 0 逐渐增大到 180 的过程中（不包括 0 和 180 下列说法正确的是（0） 0 0 0）A．绳上的拉力先逐渐增大后逐渐减小 B．杆上的压力先逐渐减小后逐渐增大 C．绳上的拉力越来越大，但不超过 2GD．杆上的压力大小始终等于 G解析：可先作出 A 结点处受力分析图如图所示，由于 A 结点静止，故有杆支持力 N 和绳拉力 T 的合力 G 和 G 大小相等 而平衡，这时必ΔOAB∽ΔANG 。由于 OA、 OB 长度始终和物重 G 相等，而绳的拉力 T 是越来越大，又由于 AB 始终小于 2OB， 所以绳的拉力 T 也始终小于 2G，故本题正确的答案是 CD。 变式题 3：如图所示，在竖直墙上用绝缘物固定一带电体 A，在其正上方的点 O 用长为 L 的绝缘丝悬挂一带电小球 B，由 于带电体间的相互排斥而使丝线成 B 角． 后由于漏电使 B 减小， 问此过程中丝线对带电小球的拉力的变化情况．/ /解析： 由受力分析可知，带电小球 B 受三个力的作用： 重力 G；线的拉力 T 及 A 的静电斥力 F，受力分析如图T OB ? ，这三个力组成的力三角形与△ABO 相似，可得 G 。 OA因 OA、OB 及 G 都是恒量，所以在此变化过程中丝线对小球的 拉力 T 保持不变。 点评：相似三角形法分析动态平衡问题： （1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定 力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似， 则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系， 从而达到求未知量的目的。 （2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的 大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。相似三角 形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的 受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。 变式题 4.如图所示， 一个重为 G 的小球套在竖直放置的半 径为 R 的光滑圆环上，一个劲度系数为 k，自然长度为 L（L＜ 2R）的轻质弹簧，一端与小球相连，另一端固定在大环的最高 点，求小球处于静止状态时，弹簧与竖直方向的夹角φ．解析：小球受力如图所示，有竖直向下的重力 G，弹簧的 弹力 F， 圆环的弹力 N，N 沿半径方向背离圆心 O． 利用合成法，将重力 G 和弹力 N 合成，合力 F 合应与弹簧 弹力 F 平衡观察发现，图中力的三角形△BCD 与△AOB 相似， 设 AB 长度为 l 由三角形相似有：mg = FAO AB=R mgl ，即得 F = l R kL kL ， φ = arcos 2(kR-G) 2(kR-G)另外由胡克定律有 F = k（l-L） ，而 l = 2Rcosφ 联立上述各式可得： cosφ =变式题 5.如图所示，A、B 两球用劲度系数为 k 的轻弹簧 相连，B 球用长为 L 的细绳悬于 0 点，A 球固定在 0 点正下方， 且 O、A 间的距离恰为 L，此时绳子所受的拉力为 F1，现把 A、 B 间的弹簧换成劲度系数为 k2 的轻弹簧，仍使系统平衡，此时 绳子所受的拉力为 F2， 则 F1 与 F2 大小之间的关系为 A．F1&F2 B． F1&F2 C．F1=F2 D．无法确定 ( C )例 11.如图所示， 一个半球形的碗放在桌面上， 碗口水平， O 点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗 口上，线的两端分别系有质量为 ml 和 mz 的小球，当它们处于平 衡状态时， 质量为 m1 的小球与 0 点的连线与水平线的夹角为α =60 ，两小球的质0量比为()解析：质量为 m1 的小球受力情况：重力 m1g，方向向 下；碗对小球的支持力 N，方向沿半径方向斜向上；绳对小球 的拉力 T，沿绳子方雨斜向上。利用分解法或合成法处理三力 平衡，并考虑 T=m2g，得 m2/m1=3/3。点评：1)解答本题只需由平时掌握的隔离体法，分别对 m1mz 进行受力分析。由平衡条件和牛顿第三定律即可求解。(2) 力的合成与分解也是解此题的核心之一。 例 12. 如图所示，六个力中相互间的夹角为 60°，则它 们的合力大小和方向如何？解析：观察到分别有三对力在同一条直线上，因此先将这三对力进行合成，且合力大小均为 3F，且这三个 3F 方向在 原来的 6F、5F、4F 方向上，因此与 6F 和 4F 同向的两个 3F 成 120°角，再求合力仍为 3F，方向与 5F 同向.答案：6F 与 5F 力同向 变式题 1：设有五个力同时作用在质点 P，它们的大小和 方向相当于正六边形的两条边和三条对角线，如图所示，这五 个力中的最小力的大小为 F，则这五个力的合力等于（F3）A、3FB、4FC、5FD、6FF2F4解析：由正六边形的特点可知，F1F5当最小的力为 F 时，最大的力为 2F， 不难推出 F1 与 F4 合力大小为 F3，即 2F，方向也与 F3 相同，F2 与 F5 的合力大小为 F3，即 2F，方向也与 F3 相同，故最后合力 为 6F。用力的三角形法则也可得出同样的结论。 例 13.一光滑圆环固定在竖直平面内， 环上套着两个小球A 和 B（中央有孔） ，A、B 间由细绳连接着，它们处于如图中所示位置时恰好都能保持静止状态。此情况下，B 球与环中心 O 处于同一水平面上，A、B 间的细绳呈伸直状态，与水平线成 30 夹角。已知 B 球的质量为 m，求细绳对 B 球的拉力和 A 球的 质量。0解析：对 B 球，受力分析如图所示。Tcos300=NAsin300 ????.①所以， T=2mg 对 A 球，受力分析如图 D-1 所示。在水平方向Tcos300=NAsin300 ????②在竖直方向：NAcos300=mAg+Tsin300 ???③由以上方程解得：mA=2m ★例 14.如图，原长分别为 L1-和 L2，劲度系数分别为 k1 和 k2 的轻质弹簧竖直地悬挂在天花板上， 两弹簧之间有一质量 为 m1 的物体，最下端挂着质量为 m2 的另一物体，整个装置处于 静止状态。现用一个质量为 m 的平板把下面的物体竖直地缓慢 地向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧原长之和，这 时托起平板竖直向上的力是多少？m2 上升的高度是多少？K1 m1k2x k1x m1F k2x (m2+m)gK2m1gm2解析：当两个弹簧的总长度等于两弹簧原长之和时，下 面弹簧的压缩量应等于上面弹簧的伸长量，设为 x。 对 m1 受力分析得：m1g=k1x+k2x????① 对平板和 m1 整体受力分析得： F=(m2+m)g+k2x?????②km g ? m g ?2 1 ①②联解得托起平板竖直向上的力 F＝ mg 2 k k 1? 21 ?m 2 )g 未托 m2 时，上面弹簧伸长量为 x1= (m ?????③k1下面弹簧伸长量为 x2= m 2 g ?????④k2托起 m2 时：m1 上升高度为：h1=x1-x??????⑤ m2 相对 m1 上升高度为：h2=x2+x???????⑥ m2 上升高度为：h=h1+h2???????????⑦g ( m? m ) g 2 2 ? 1 ③④⑤⑥⑦联解得 h= m k 2 k 1变式题 1.如图所示， 劲度系数为 k2 的轻质弹簧竖直放在桌面上，其上端压一质量为 m 的物块，另一劲度系数为 k1 的轻质 弹簧竖直地放在物块上面，其下端与物块上表面连接在一起要 2 想使物块在静止时，下面簧产生的弹力为物体重力的 ，应将 3 上面弹簧的上端 A 竖直向上提高多少距离？(答案： d = 5(k1+k2) mg/3k1k2 )变式题 2.如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用 轻质弹簧相连接的物块 A、B，它们的质量分别为 mA、mB，弹簧 的劲度系数为 k，C 为一固定挡板．系统处于静止状态．现开 始用一恒力 F 沿斜面方向拉物块 A 使之向上运动，求物块 B 刚 要离开 C 时物块 A 的加速度 a 和从开始到此时物块 A 的位移d． （重力加速度为 g）解析：系统静止时，弹簧处于压缩状态，分析 A 物体受力 可知：F1 = mAgsinθ，F1 为此时弹簧弹力，设此时弹簧压缩量为 x1，则 F1 = kx1，得 x1 =mAgsin ? k在恒力作用下，A 向上加速运动，弹簧由压缩状态逐渐变 为伸长状态．当 B 刚要离开 C 时，弹簧的伸长量设为 x2，分析B kx2 = mBgsinθ，得 x2 =设此时 A 的加速度为 amBgsinθ kF-mAgsinθ-kx2 = mAa，得 a =〔F-（mA+mB）gsinθ〕/mA A 与弹簧是连在一起的，弹簧长度的改变量即 A 上移的位移，故有 d = x1+x2，即： d =（mA+mB）gsinθ/K 例题 15.当物体从高空下落时，所受阻力会随物体的速度 增大而增大，因此经过下落一段距离后将匀速下落，这个速度 称为此物体下落的收尾速度。研究发现，在相同环境条件下， 球形物体的收尾速度仅与球的半径和质量有关．下表是某次研 究的实验数据 小球编号 小球的半径（× －3 10 m） 小球的质量（× －6 10 kg） 小球的收尾速 度（m/s） A 0.5 2 16 B 0.5 5 40 C 1.5 45 40 D 2 40 20 E 2.5 100 32（1）根据表中的数据，求出 B 球与 C 球在达到终极速度时 所受阻力之比．（2）根据表中的数据，归纳出球型物体所受阻力 f 与球的 速度大小及球的半径的关系（写出有关表达式、并求出比例系 数） ． （3）现将 C 号和 D 号小球用轻质细线连接，若它们在下落 时所受阻力与单独下落时的规律相同．让它们同时从足够高的 同一高度下落，试求出它们的收尾速度；并判断它们落地的顺 序（不需要写出判断理由） ． 解析： （1）球在达到终极速度时为平衡状态，有：f ＝mg 则：fB：fC ＝mB ：mC ，代入数据得：fB：fC＝1：9 （2）由表中 A、B 球的有关数据可得，阻力与速度成 正比；即：f∝ v, 由表中 B、C 球有关数据可得:阻力与球的 半径的平方成正比，即 f ＝5Ns/m ） （3）将 C 号和 D 号小球用细线连接后，其收尾速度应 满足 ：3? r2得f ? kvr2k＝4.9Ns/m3 （或 kmCg＋mDg＝fC ＋fD即: 27.2m/s 比较 C 号和 D 号小球的质量和半径， 可判断 C 球先落地．mCg ＋ mDg ＝ kv(rC2 ＋ rD2)代入数据得 v＝例 16.在广场游玩时，一个小孩将一个充有氢气的气球 用细绳系于一个小石块上，并将小石块放置于水平地面上．已 知小石块的质量为 m1，气球（含球内氢气）的质量为 m2，气球 体积为 V，空气密度为ρ（V 和ρ均视作不变量） ，风沿水平方 向吹，风速为υ．已知空气对气球的作用力 Ff = kυ（式中 k 为一已知系数，υ为气球相对空气的速度） ．开始时，小石块 静止在地面上，如图所示． （1）若风速υ在逐渐增大，小孩担心气球会连同小石块 一起被吹离地面，试判断是否会出现这一情况，并说明理由． （2）若细绳突然断开，已知气球飞上天空后，在气球所 经过的空间中的风速υ为不变量，求气球能达到的最大速度的 大小．解析： （1）小石块不会被风吹离地面．以气球和小石块 组成的系统为研究对象：地面对小石块支持力的大小为N ? ( m ? m ) g ? ? gV 恒定，跟风速 1 2v 无关．（2）气球的最大水平速度等于风速，即 vxm＝v． 当竖直方向的合力为零时，竖直分速度最大，即? gV ? ( m ? m ) g ? kv ? 01 2 ym? gV ? ( m ? m ) g 1 2 则v 气球能达到的最大速度的大小为 ? ym k ,gV ? ( m ? m ) g 2 2 2 2 1 2 v ? v ? v ? v ? [ ] m xm ym k?例 17.如图有一半径为 r = 0.2m 的圆柱体绕竖直轴 OO′ 以ω = 9rad/s 的角速度匀速转动．今用力 F 将质量为 1kg 的 物体 A 压在圆柱侧面，使其以 v0 = 2.4m/s 的速度匀速下降．若 物体 A 与圆柱面的摩擦因数μ = 0.25，求力 F 的大小． （已知 物体 A 在水平方向受光滑挡板的作用，不能随轴一起转动． ）解析：在水平方向圆柱体有垂直纸面向里的速度，A 相对 圆柱体有纸垂直纸面向外的速度为υ′， υ′ = ωr = 1.8m/s； 在竖直方向有向下的速度υ0 = 2.4m/sA 相对于圆柱体的合速度为υ = 3m/s合速度与竖直方向的夹角为θ，则 cosθ =υ0 4 = υ 5A 做匀速运动，竖直方向平衡，有 Ff cosθ = mg，得 Ff =mg = 12.5N cosθ另 Ff =μFN，FN =F，故 F =Ff ?= 50N例 18.如图所示，质量为 m 的物体放在水平放置的钢板 C 上，物体与钢板的动摩擦因数为μ，由于光滑导槽 AB 的控制， 该物体只能沿水平导槽运动，现使钢板以速度 v 向右运动，同 时用力 F 沿导槽方向拉动物体使其以速度 v1 沿槽运动， 则F的 大小( ) B、大于μmg D、不能确定V2 NA NA V1 NB － f 滑 N B FA、等于μmg C、小于μmgV解析：物体 m 竖直方向上重力与支持力相互平衡，水平面 上有 F、F 滑、NA、NB 四个力，物体 m 的运动状态是平衡态，NA 与 NB 的合力向右，大小为（NA－NB） ，F 与（NA－NB）的合力应等 于反方向的摩擦力 f 滑，由图可知，显然满足滑动摩擦力的方 向与合力运动方向相反的事实，故 C 项正确。 例 19.重力为 G 的均质杆一端放在粗糙的水平面上， 另一 端系在一条水平绳上，杆与水平面成α角，如图所示，已知水 平绳中的张力大小为 F1 ，求地面对杆下端的作用力大小和方向？F1 F βO O ααG解析：地面对杆的作用力是地面对杆的弹力和擦力的两个 力的合力，这样杆共受三个彼此不平行的作用力，根据三力汇 交原理知三力必为共点力，如图所示，设 F 与水平方向夹角为 β，根据平衡条件有：Fsinβ=G，Fcosβ=F1，解得 F= β=arctan FG12 2 G ?F 1，点评：物体在共面的三个力作用下处于平衡时，若三个力 不平行，则三个力必共点．这就是三力汇交原理。 例 20.质量为 m 的物体停放在粗糙斜面和竖直挡板之间， 如图所示，求物体所受的静摩擦力 f。N1 O M θ G G θ f N1 O θ N2 f解析：由于斜面的粗糙程度不确定，停放物体与竖直档 板间的接触挤压程度不确定，从而会形成静摩擦力答案的不确 定和多样性。（1）若物体与档板间无弹力，则重力和斜面的支持力 N1 的合 力将使物体产生下滑的趋势，因此斜面对物体产生沿面向上的 静摩擦 f，且 f=mgsinθ，如图 a 所示。 （2）若物体与档板间有很小的压力 N2，且 0& N2cosθ&mgsin θ，则物体仍有沿斜面向下滑动的趋势，所以静摩擦力的方向 沿斜面向上，其大小为 f=mgsinθ－N2cosθ。如图 b 所示。 （3）若放置时，物体与档板间的挤压程度刚好满足 N2cos θ =mgsinθ，则物体无运动趋势，即 f=0，如图 C 所示。 点评:这类条件开放型试题的一般求解方法是： （1）分析判断物理事件或现象发生条件的不确定性和开放性； （2）讨论确定各种可能的开放条件； （3）从每一个可能条件出分析、推理、求解。 例 21.建筑工地上的黄沙，堆成圆锥形，而不管如何堆， 其角度是不变的， 若测出其圆锥底的周长为 12.5m， 高为 1.5m， 如图 8 所示，试求： （1 ） 、黄沙之间的动摩擦因数； （2 ） 、若将该黄沙靠墙堆放，占场地的面 积至少为多少？ 解析： （1 ） 沙堆表面上的沙粒受到重力、弹力和摩擦力的作用而保持静止，则 mgsinθ=μmgcosθ ，即 μ=tanθ=h/R ，又因为 l=2πr θ=37°故μ=2hπ/l=0.75（2）因为黄沙是靠墙堆放的，只能堆成半圆锥，由于体积 不变，θ不变，要使占场地面积最小，则 RX 为最小，所以 hX= μRX ，由圆锥体的体积公式：V= πr h/3=μRX ×πRX /3 =μ πRX /3=πRX /4， 因为只能堆成半个圆锥，所以π RX /8= π R /43 3 3 3 2 2，又因为R=l/2π=2m ，所以 RX3=16m，占地面积 SX=πRX2/2=2π（4）1/3m参考题： 一、选择题： 1.关于平衡状态，下列说法中正确的是（ A. 当物体速度等于零时，物体处于平衡状态 B. 运动的物体一定不是处于平衡状态 C. 若物体的运动状态保持不变，则物体处于平衡状态 D.当物体处于平衡状态时，一定不受外力作用 2、一物体 m 放在粗糙的斜面上保持静止，先用水平力 F 推 m， 如图，当 F 由零逐渐增加但物体 m 仍保持静止状态的情况下， 则（ ） ）①物体 m 所受的静摩擦力逐渐减小到零 ②物体 m 所受的弹力逐渐增加 ③物体 m 所受的合力逐渐增加 ④物体 m 所受的合力不变 A. ①③ B. ③④ C. ①④ D.②④F A θ3、如图所示，C 是水平地面，A、B 是两个长方形木块，F 是作 用在物块 B 上的沿水平方向的力，物体 A 和 B 以相同的速度作 匀速直线运动，由此可知，A、B 间的动摩擦因数为μ1 和 B、C 间的动摩擦因数μ2 有可能是（ ① μ 1=0 μ 2=0 μ2≠0 A. ①③ C. ①④ B. ②③ D.②④C A B F） ④μ 1 ≠ 0②μ 1=0 μ 2 ≠ 0 ③μ 1 ≠ 0 μ 2=04. 2010? 江苏物理? 1 如图所示， 一块橡皮用细线悬挂于 O 点， 用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线 竖直，则橡皮运动的速度 （A）大小和方向均不变 （B）大小不变，方向改变 （C）大小改变，方向不变 （D）大小和方向均改变5. 2010?新课标?15 一根轻质弹簧一端固定，用大小为 F 1 的 力压弹簧的另一端，平衡时长度为 l 1 ；改用大小为 F 2 的力拉弹 簧，平衡时长度为 l 2 .弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹 簧的劲度系数为 A、 F 2 ? F 1l 2 ? l1B、 F 2 ?F1 l 2 ? l1C、 F 2 ?F1 l 2 ? l1D、 F 2 ? F 1l 2 ? l1 F1 l 2 ? l1解析： 根据胡克定律有：F ，F ， 解得： k= F 2 ? k ( l ? l ) k ( l ? l ) 1? 0 1 2? 2 06.2010?新课标?18 如图所示，一物块置于水平地面上.当用 与水平方向成 6 0 0 角的力 F 1 拉物块时，物块做匀速直线运动；当 改用与水平方向成 3 0 0 角的力 F 2 推物块时，物块仍做匀速直线运 动.若 F 1 和 F 2 的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为A、3 ?1B、 2 ?3C、3 2?1 2D、1-3 2解析：物体受重力 mg、支持力 N、摩擦力 f、已知力 F 处 于平衡，根据平衡条件，有0 0 ， F cos 60 ? ( mg ? F sin 60 ) 1 1?0 0 ，联立解得： ??2 ? 3 F cos 30 ? ( mg ? F sin 30 ) 2 2?7.（09?天津?1）物块静止在固定的斜面上，分别按图示的 方向对物块施加大小相等的力 F，A 中 F 垂直于斜面向上。B 中F 垂直于斜面向下，C 中 F 竖直向上，D 中 F 竖直向下，施力后 物块仍然静止，则物块所受的静摩擦力增大的是（ ）解析：四个图中都是静摩擦。A 图中 fA=Gsinθ；B 图中fB=Gsinθ；C 图中 fC=(G-F)sinθ；D 图中 fC=(G+F)sinθ。8.（09?江苏物理?2）用一根长 1m 的轻质细绳将一副质量为 1kg 的画框对称悬挂在墙壁上，已知绳能承受的最大张力为10 N， 为使绳不断裂， 画框上两个挂钉的间距最大为 （ g 取 10m/s2 ） ） A．3 2 m（B．2 2mC． 12mD．3 4m解析：熟练应用力的合成和分解以及合成与分解中的一 些规律，是解决本题的根本；一个大小方向确定的力分解为两个等大的力时，合力在分力的角平分线上，且两分力的夹角越 大，分力越大。题中当绳子拉力达到 F=10N 的时候，绳子间的 张角最大，即两个挂钉间的距离最大；画框受到重力和绳子的 拉力，三个力为共点力，受力如图。绳子与竖直方向的夹角为θ ， 绳 子 长 为 L0=1m, 则 有 mg ? 2 F cos ?， 两 个 挂 钉 的 间 距 离L?2? L 3 0 sin ?，解得 L ? 2 2m，A 项正确。9.（09?浙江?14）如图所示，质量为 m 的等边三棱柱静止在 水平放置的斜面上。 已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为 ?， 斜面的倾角为 30o ， 则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分 别为 A．3 2（2） B． 1 mg 和2mg 和 1 mg3 2 3 2mg1 C． mg 和 1 ?mg 2 2D． 3 mg 和2?mg10.(08?山东理综?16) 用轻弹簧竖直悬挂质量为 m 的物 体,静止时弹簧伸长量为 L.现用该弹簧沿斜面方向拉住质量为 2m 的物体,系统静止时弹簧伸长量也为 L.斜面倾角为 30 ,如图 所 （ 示 ） A.等于零 B.大小为 1 mg ,方向沿斜面向下20.则物体所受摩擦力C.大小为3 mg 2,方向沿斜面向上D.大小为 mg,方向沿斜面向上 解析 竖直悬挂时 mg=kL 沿斜面拉 2m 物体时,设物体受摩擦力为 f,方向沿斜面向下, 则 kL =2mgsin 30°+f 由①②得 f=0. 11.（09?北京?18）如图所示，将质量为 m 的滑块放在 倾角为 ? 的固定斜面上。 滑块与斜面之间的动摩擦因数为 ? 。 若 滑块与斜面之间的最大静摩擦力合滑动摩擦力大小相等，重力 加速度为 g，则 （ ） ②A．将滑块由静止释放，如果 ? ＞tan ? ，滑块将下滑 B．给滑块沿斜面向下的初速度，如果 ? ＜tan ? ，滑块将减 速下滑 C ．用平行于斜面向上的力拉滑块向上匀速滑动，如果?=tan ? ，拉力大小应是 2mgsin ? D ．用平行于斜面向下的力拉滑块向下匀速滑动，如果?=tan ? ，拉力大小应是 mgsin ?解析：对处于斜面上的物块受力分析，要使物块沿斜面 下滑则 mgsinθ&μmgcosθ，故μ&tanθ，故 AB 错误；若要使 物块在平行于斜面向上的拉力 F 的作用下沿斜面匀速上滑，由 平衡条件有：F-mgsinθ-μmgcosθ=0 故 F= mgsinθ+μmgcos θ，若μ=tanθ，则 mgsinθ=μmgcosθ， 即 F=2mgsinθ故 C 项正确；若要使物块在平行于斜面向下的拉力 F 作用下沿斜面 向下匀速滑动， 由平衡条件有： F+mgsinθ-μmgcosθ=0 则 F= μmgcosθ- mgsinθ 若μ=tanθ，则 mgsinθ=μmgcosθ，即 F=0，故 D 项错误。 12.(08?广东理科基础?6) 如图所示,质量为 m 的物体悬挂在 轻质支架上,斜梁 OB 与竖直方向的夹角为θ.设水平横梁 OA 和 斜梁 OB 作用于 O 点的弹力分别为 F1 和 F2,以下结果正确的是 ( ) B.F1= D.F2=mg sin ? mg cos ?A.F1=mgsinθ C.F2=mgcosθ解析： O 点受力如图所示.由图可知 F1=mgtanθ,F2=mg cos ?.13.（09?山东?16）如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心，一质量为 m 的小滑块，在水 平力 F 的作用下静止 P 点。设滑块所受支持力为 FN。OF 与水平 方向的夹角为 0。下列关系正确的是 A． F ?mg tan ?（ ）B．F＝mgtan ? C． FN ?mg tan ?D．FN=mgtan ? 解析：对小滑块受力分析如图所示，根据三角形定则可 得F ?mg ， FN ? mg ，所以 tan ? sin ?A 正确。考点：受力分析，正交分解或三角形定则。提示：支持力的方 向垂直于接触面，即指向圆心。正交分解列式求解也可。 14.（09?海南物理?3）两刚性球 a 和 b 的质量分别为 m a 和 m b 、 直径分别为 d a 个 d b ( d a & d b )。将 a、b 球依次放入一竖直放置、 内径为的平底圆筒内，如图所示。设 a、b 两球静止时对圆筒 侧面的压力大小分别为 f1 和 f2， 筒底所受的压力大小为 F ． 已 知重力加速度大小为 g。若所以接触都是光滑的，则 （? m ? m gf ? f A. F ? ? a b 1 2 ? m ? m g f ? f B． F ? ? a b 1 2 g ? F ? m ? m g f ? f C． m ? ? a a b 1 2 g ? F ? m ? m g , f ? f D． m ? ? a a b 1 2）解析：对两刚性球 a 和 b 整体分析，竖直方向平衡可知 F ＝（ m a ＋ m b ）g、水平方向平衡有 f 1 ＝f2。 15.(07?广东?5)如图所示,在倾角为θ的固定光滑斜面上,质 量为 m 的物体受外力 F1 和 F2 的作用,F1 方向水平向右,F2 方向竖 直向上.若物体静止在斜面上,则下列关系正确的是 ( )A.F1sinθ+F2cosθ=mgsinθ,F2≤mg B.F1cosθ+F2sinθ=mgsinθ,F2≤mg C.F1sinθ-F2cosθ=mgsinθ,F2≤mg D.F1cosθ-F2sinθ=mgsinθ,F2≤mg 解析：对 m 受力分析如图， m 处于平衡状态,则任意垂直的两个方向上合力都为零,在平行斜面方向上,有： mgsinθ=F1cosθ+F2sinθ,且 F2≤mg,故选 B. 16.(07?广东理科基础?4)受斜向上的恒定拉力作用 ,物体在 粗糙水平面上做匀速直线运动 ,则下列说法中正确的是 ( ) A.拉力在竖直方向的分量一定大于重力 B. C.拉力在水平方向的分量一定大于摩擦力 D.解析：物体做匀速直线运动 ,则在水平方向和竖直方向合 力等于零 . 在竖直方向上 , 拉力在竖直方向的分量与地面对物 体的支持力的合力一定等于重力,即拉力在竖直方向的分量一 定小于重力,在水平方向上,拉力的分量一定等于摩擦力. 17.(07?上海?10)如图所示,用两根细线把 A、B 两小球 悬挂在天花板上的同一点 O,并用第三根细线连接 A、 B 两小球, 然后用某个力 F 作用在小球 A 上,使三根细线均处于直线状态, 且 OB 细线恰好沿竖直方向,两小球均处于静止状态.则该力可 能为图中的（ ） A.F1 B.F2 C.F3 D.F4解析：OB 绳竖直,说明 B 球只受两个力作用,故 AB 间绳无 形变,所以 A 球受重力 G,OA 绳的拉力 T 和外力 F 作用,三个力 的合力为零,则外力 F 一定与重力和拉力 T 的合力大小相等、 方向相反,故 B、C 选项正确. 18.(07?山东理综?16)如图所示,物体 A 靠在竖直墙面上,在 力 F 作用下,A、B 保持静止.物体 B 的受力个数为（ ）A.2B.3C.4D.5解析：B 物体受四个力的作用,即重力、推力 F、物体 A 对 B 的 支持力和物体 A 对 B 的摩擦力. 19.(06?北京理综?19)木块 A、B 分别重 50 N 和 60 N,它们与 水平地面之间的动摩擦因数均为 0.25.夹在 A、 B 之间的轻弹簧 被压缩了 2 cm,弹簧的劲度系数为 400 N/m,系统置于水平地面 上静止不动.现用 F =1 N 的水平拉力作用在木块 B 上,如图所 示,力 F 作用后 （A.木块 A 所受摩擦力大小是 12.5 N B.木块 A 所受摩擦力大小是 11.5 N C.木块 B 所受摩擦力大小是 9 N D.木块 B 所受摩擦力大小是 7 N 解析 未加 F 时,木块 A 在水平面内受弹簧的弹力 F1 和静摩擦力 FA 作用,且 F1 = FA = kx =8 N,木块 B 在水平面内受弹簧弹力 F2 和静摩擦力 FB 作用,且 F2 = FB = kx =8 N,在木块 B 上施加 F =1 N 向右拉力后,由于 F2 + F &μGB, 故木块 B 所受摩擦力仍为静摩擦力,其大小 FB′ =F2 + F =9 N, 木块 A 的受力情况不变. 20.(05?辽宁大综合?36)两光滑平板 MO、NO 构成一具有固定 的夹角θ0=75°的 V 形槽,一球置于槽内,用θ表示 NO 板与水平 面之间的夹角,如图所示.若球对板 NO 压力的大小正好等于球所受重力的大小,则下列θ值中哪个是正确的（）A.15° B.30° C.45° D.60°解析:圆球受重力 mg 和两个挡板给它的支持力 FN、FM,由 于球对板 NO 压力的大小等于球的重力,所以板对小球的支持力 FN=mg,三力平衡,则必构成如图所示首尾相接的矢量三角形,由 于 FN=mg, 此 三 角 形 为 等 腰 三 角 形 , 设 底 角 为 β , 则 α +2 β =180°,又因为四边形内角和为 360°,则α+β+θ0=180°,θ0=75°,解得α=30°,由几何关系得θ=α=30°。21. 天津市五校 2010 届高三上学期期中联考如图 2 所示，用 细绳连接用同种材料制成的 a 和 b 两个物体。它们恰能沿斜 面向下作匀速运动，且绳子刚好伸直，关于 a、b 的受力情况 ( C )b a θ 图2A．a 受 3 个力，b 受 4 个力 B．a 受 4 个力，b 受 3 个力 C．a、b 均受 3 个力D．a、b 均受 4 个力 解析：绳子刚好伸直，意味着绳子的张力 T=0. 22.浙江省金华一中 2010 届高三 12 月联考如图所示，质量为 m1 的木块受到向右的拉力 F 的作用沿质量为 m2 的长木板向右滑 行，长木板保持静止状态。已知木块与长木板问的动摩擦因数 为μ1，长木板与地面间的动摩擦因数为μ2，则 （ BD ）A．长木板受到地面的摩擦力大小一定为μ2（m1+m2）g B．长木板受到地面的摩擦力大小一定为μ1m1g C．若改变 F 的大小，当 F&μ2（m1+m2）g 时，长木板将开始运 动 D．无论怎样改变 F 的大小，长木板都不可能运动23.浙江省温州市十校联合体 2010 届高三期中联考如图所示， 细而轻的绳两端，分别系有质量为 mA、mB 的球，mA 静止在光滑 半球形表面 P 点，已知过 P 点的半径与水平面夹角为 60°，则mA 和 mB 的关系是（ C ）A． m = mA A BB． m =AB3 m B 3 m AC． m = 2 mD． m =B24.江西省吉水中学高三 第二次月考物理试卷如图所示，在一 根水平的粗糙的直横梁上，套有两个质量均为 m 的铁环，两铁 环系有等长的细绳，共同拴着质量为 M 的小球，两铁环与小球 均保持静止，现使两铁环间距离增大少许，系统仍保持静止， 则水平横梁对铁环的支持力 FN 和摩擦力 f 将（ D ） A、FN 增大，f 不变 B、FN 增大，f 增大 C、FN 不变，f 不变 D、FN 不变，f 增大 解析：用整体法即可得 D 选项。M m m25.（合肥09高三教学检测） 某同学做“探索弹力和弹簧伸 长的关系”实验。他先把弹簧平放在桌面上使其自然伸长， 用直尺测出弹簧的原长 L0，再把弹簧竖直悬挂起来，挂上砝 码后测出弹簧伸长后的长度 L，把 L-L0作为弹簧的伸长 X，这 样操作，由于弹簧自身重力的影响，最后画出的图线可能是 下列所示图线的哪一个？ ( )解析：由于有重力，当不挂重物时也有形变。 答案：C 点评：对实验中的注意事项要熟练分析。 26.（广东理科基础 17）一个实验小组在“探究弹力和弹簧伸 长的关系”的实验中，使用两条不同的轻质弹簧 a 和 b，得到 弹力与弹簧长度的图象如图所示。下列表述正确的是 （ ）A．a 的原长比 b 的长 B．a 的劲度系数比 b 的大 C．a 的劲度系数比 b 的小 D．测得的弹力与弹簧的长度成正比 解析：图象中的斜率表示劲度系数，可知 a 的劲度系数比 b 的 大，B 正确；与 l的截据表示原长则 a 的原长比 b 的短，A 错。 答案：B 二、填空题：27.上海市六校 2010 届高三第一次联考一光滑半圆形圆环固定 在竖直平面内，环上套着一个质量为 m 的小球 P，用细绳相连 系于 A 点，处于平衡状态，如图所示。若细绳与水平面夹角为 30?，则细绳对小球的拉力 FT 为_______，环对小球的弹力 FN 为________。 答案：mg，3 mgPA30?OB28.几个同学合作如图甲所示装置探究“弹力和弹簧伸长的关 系” ，弹簧的上端与标尺的零刻度对齐，他先读出不挂钩码时 弹簧下端指针所指的标尺刻度，然后在弹簧下端挂上钩码，并 逐个增加钩码，依次读出指针所指的标尺刻度，所得数据列表 如下： （弹簧始终未超过弹性限度，重力加速度 g=9.8m/s ）2钩码质量 m/g 0 标尺刻度306090120150 11.7 9x/10 m-26.00 7.15 8.34 9.48 10.64⑴根据所测数据，在图乙所示的坐标纸上作出弹簧指针所指的 标尺刻度 x 与钩码质量 m 的关系曲线。⑵作出的图线与轴交点的纵坐标值的物理意义 是 ； 这 种 规 格 弹 簧 的 劲 度 系 数 k=N/m（保留三位有效数字） 。 解析：作图时注意坐标轴的物理量、单位、单位标度等。 答案：⑴⑵弹簧的自然长度（原长）为 6cm 三、计算题：26.029.如图所示，小球被轻质细绳系住斜吊着放在静止的光滑斜 面上，设小球质量 m=1kg，斜面倾角 ?? ，悬线与竖直方向夹 30 ? 角 ?? 30 ? ， 光 滑 斜 面 的 质 量 为 3kg ， 置 于 粗 糙 水 平 面 上．g=10m/s ．求： （1）悬线对小球拉力大小． （2）地面对斜面的摩擦力的大小和方向．2解析： （1）以小球为研究对象 受力分析如图 F=mg1 Tcos 30 ?? F 21 1 3 10 3 得T ? mg / cos 30 ? ? ? 1 ? 10 / N ? N 2 2 2 3（2）以小球和斜面整体为研究对象 受力分析如图 ∵系统静止10 3 1 5 3 ∴ f? T cos 60 ? ? ? N ? N 3 2 3方向水平向左 30.重 150N 的光滑球 A 悬空靠在墙和木板 B 之间，木板 B 的重 力为 1500N，且静止在水平地板上，如图所示，求： （1）墙和木块 B 所受压力各为多少？ （2）水平地板所受的压力和木块 B 所受的摩擦力各为多少？解 用析：小球 A 和木块 B 受力分析如图所示， N1、N2、N3、N1 分别表示木块对 A 的弹力、墙壁对 A 的支持力、地面对木块的支持 力和小球对木块的弹力。对小球 A：N1sin60°= N2 N1cos60°= GA 由以上两式得 N2=1503① ② N，N1=300N。? 150 根据作用力和反作用力，墙壁受到的压力 N N，木 3 2?? 块 B 所受到的压力 N N。 1 ?30031.光滑匀质圆球的直径 d=40 M，质量 M=20kg，悬线长 L=30 M，正方形物块 A 厚 b=10 M，质量 m=2kg，物体 A 与墙 之间的动摩擦因数μ=0.2。如图所示：现将物块 A 轻放于球和 墙之间后放手，取 g=10m/s 。 求：2(1)墙对 A 的摩擦力多大？ (2)加一个与墙平行的外力于物体 A 上，使物体 A 在未脱离圆 球前贴着墙沿水平方向做加速度 a=5m/s 的匀加速直线运动， 。 那么这个外力大小、方向如何？ 解析： （1）球与物 A 的受力图分别如图甲所示，对球有：2θ=3/4，N=Mgtanθ=150N， 对物 A 有：f 滑=μN=30Nmg， （1 分） f1=mg=20N。 所以物 A 静止，（2）A 沿水平方向运动，对着墙看作出 A 在竖直平面内的 受力图如右图乙所示，有：Fsinα=mg、Fcosα－μN=ma， ，解 得 F =205N， α=α=arctan 1 。232. 如图所示，劲度系数为 K2 的轻质弹簧，竖直放在桌面上， 上面压一块质量为 m 的物块，另一劲度系数为 K1 的轻质弹簧 竖直地放在物块上面，其下端与物块上表面连在一起，欲使物 块静止时，下面弹簧支承解析：这是一个胡克定律的应用和物体的平衡问题，关 键要找出提升量与弹簧始末状态形变量之间的关系。设弹簧 2 初态时形变量为△x2，末态时形变量为△x2′，则物体上升为： △x2-△x2′，在末态，弹簧 1 受拉力 mg/3，设形变量为△x1， 则点 A 竖直向上提升量 d=△x2+△x2-△x2′ 在末态时物块受力图如图所示，根据平衡条件和胡克定 律： F1+F2′=mg（l） 在初态时，弹簧 2 的弹力为： F2=mg=K2△x2（2） 在末态时，弹簧 2 的弹力为：由几何关系 d=△x1+△x2-△x2′ （5 ）点评：该题中由于两根弹簧都要发生形变，物理过程似乎 复杂， 把它分解为两弹簧的状态变化来研究， 问题就简单多了。 “化整为零”是求解综合物理题的一种常见方法。 33.如图 1 所示，光滑杆 AOB 水平放置，NAOB=60°，两杆上 分别套有质量均为 m 的小环，两环用橡皮绳连接，一恒力 F 作用于绳中点 C 沿NAOB 的角平分线水平向右移动，当两环受力 平衡时，杆对环的弹力为多大？解析： 该题涉及受力分析及平衡条件的应用。环 A 受三 个力，橡皮绳 AC 的拉力 T1，杆对环 A 的支持力 N，环 A 所受的 重力 mg，由平衡条件可知环 A 所受三个力必在同一平面内，故 可判断橡皮绳 AC 与杆垂直。由对称性可知NACB=120°，由此 得出 T1=F。 由 OA 的方向看，环 A 受力如图 2 所示，由平衡条件得：对结点 C 应用平衡条件：T1=F（2）点评：在临界平衡状态下，橡皮绳 AC 与杆垂直，此时 T1=F 是 隐含条件，抓住临界状态，挖掘隐含条件是求解本题的关键。 其次，要有空间的想象力，要把 A 环受力情况表现出来，必须 由 OA 的方向看才行。34.如图 1，重 G 的均匀链条挂在等高的两钩上，并与水平 方向成θ角，试求链条最低点处的张力。解析：对左半部链条由平衡条件：T1cosθ=T2. T1sinθ=G/2 解 得： T2 =G/2tanθ。 第二套：参考题： 一、选择题： 1.如图 2―2―8 所示，硬杆 BC 一端固定在墙上的 B 点， 另一端装有滑轮 C，重物 D 用绳拴住通过滑轮固定于墙上的 A 点.若杆、滑轮及绳的质量和摩擦均不计，将绳的固定端从 A图 2 ― 2― 8A. B. C. D. 解析：C 将绳的固定端从 A 点稍向下移的过程中，物体仍保持平衡，绳子对物体的拉力与重力平衡，则拉力不变 .又 因为两根绳子间的夹角逐渐变小，所以绳对滑轮的作用力增 大，据牛顿第三定律知，滑轮对绳的作用力增大. 2.如图 2―2―6 所示， 细绳 OA、 OB 共同吊起质量为 m 的物体.OA 与 OB 互相垂