已知函数fx lnx a x在x＝a点的某的邻域可导，那么此已知函数fx lnx a x在x ＝a处连续吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-08-15 13:19 标签： 已知函数f x lnx a x
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设f(x)=(x-a)φ (x),其中函数φ (x)在x=a处连续,证明f(x)在x=a处可导,并求其导数
豪哥威武877198
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f'(a⁻)=lim[x→a⁻][f(x)-f(a)]/(x-a)=lim[x→a⁻](x-a)φ(x)/(x-a)=lim[x→a⁻]φ(x)=φ(a)f'(a⁺)=lim[x→a⁺][f(x)-f(a)]/(x-a)=lim[x→a⁺](x-a)φ(x)/(x-a)=lim[x→a⁺]φ(x)=φ(a)f'(a⁻)=f'(a⁺)=φ(a),左右导数相等,所以f(x)在x=a处可导,且f'(a)=φ(a)
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下列命题正确的是（　　）A．若函数f（x）在x=a处连续，则函数f（x）在x=a的邻域内连续B．若函数f（x）在x=a处可导，则函数f（x）在x=a的邻域内可导C．若函数f（x）处处可导，则其导函数处处连续D．若函数f（x）在x=a处连续，在其去心邻域内可导，且f′（x）存在，则f（x）在x=a处可导
血魔炀0128
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选项D正确：由微分中值定理得f（x）-f（a）=f′（ξ）（x-a），其中ξ介于a与x之间．因为存在，所以==存在，故f（x）在x=a处可导．选项A、B、C均不正确．A的反例：令f（x）=3，&&x为无理数，则f（x）仅在x=0处连续，其他点处均间断．B的反例：取f（x）同A，则函数f（x）仅在x=0处可导；因为该函数在除x=0外的点处均间断，故也不可导．C的反例，令f（x）=2sin1x，&&x≠00，&&x＝0，则f（x）处处可导，且f′（x）=，但是不存在，所以f′（x）在x=0处不连续．综上，正确选项为D．故选：D．
利用微分中值定理以及导数的定义可以证明选项D成立；选取特殊函数，可以说明选项A、B、C均不正确．
本题考点：
微分中值定理的综合应用．
考点点评：
本题考查了导数的定义以及微分中值定理的应用，具有一定的综合性．对于错误的选项，能够举出反例，以便更好的理解函数连续、可导的定义、性质以及之间的关系．
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不是。如f(x)在0点附近，有理点=0，无理点=x^2
ls这个函数除了原点，处处不连续，何谈可导呢？可导，某一领域内肯定连续。领域是要多小有多小。
lim(x-&0)|f(x)/x|&=lim(x-&0)|x|=0从而f'(0)=lim(x-&0)f(x)/x=0
回复：4楼正确
回复：4楼晕，这不是恰好可导也连续吗？不能证明在某点可导但某一领域内不连续啊。
从导数定义出发x趋近x0，lim [f(x)-f(x0)](x-x0)存在那么必有lim [f(x)-f(x0)]=0连续就是在某点的某个领域连续的意思啊，再怎么举例子，不可能推翻导数和连续的定义吧？
回复：6楼2l的例子在0点连续且可导，但在其它点均不连续。验证不难，你再仔细看看
我靠，这个是定理呀！可导就一定连续，连续不一定可导！郁闷！
2L正解只在一点可导
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可导就可连续是指在某个点上可以导，则在该点上是连续的。记住是该点上是连续的，并不是说在其领域中连续.
回复：8楼我是说从定义出发。孤立点何来连续？导数你说的那个情况，0点处是连续也可导，但并不是孤立点，是在一个领域上连续的，只不过领域是无限小的。 没见过对于孤立点有连续的说法一切从极限定义出发是最准确的
冲激函数在0点貌似是一个孤立的间断点，但是处处连续且可导，这作何解？ 至于那个问题，有理数的稠密性知道，任意两个有理数之间有无限多个无理数及有理数。怎么就不存在这样的邻域呢？只不过这个邻域的半径是无限小罢了。 孤立点就是没有邻域的，同时也是没有连续这个概念的。无邻域就没有连续的概念。
回复：12楼感觉你把概念弄混淆了。某个点的领域是指包含这个点的开集，领域一旦确定，领域的大小就确定了。什么叫做领域无限小，请给领域无限小的定义。2l的例子，连续点只有0点，你说在0点一个领域内连续，就是说这个领域就是单点集{0}了？你认为单点集是开集？孤立点是相对某个**来说的，不知道你说的孤立点是什么意思。2l的f在R上都有定义，是没有孤立点的。冲激函数是在0点函数值为无穷大其它点等于0的函数？它并不是实数上的函数，在0点也不连续，怎么会处处连续？
回复：14楼用反证法证明假设在某一邻域内的有理数上连续，那么0到这个有理数之间有无穷多个无理数，因而这点不连续……这证明似乎是有道理我曾经在图书馆里看到一本书，专门讲了这个问题。还是回去查查那本书。回来把标准解答发上来。
今天早上专门跑了趟图书馆。确实是只在一点连续无法推出在邻域连续。书上举了一个类似的例子。给的解释是：邻域半径δ必须是一个确定的值，而非变量。从确定的δ出发，由于δ和0之间有无穷多个有理数和无理数，因而找不到这样的δ。因此不存在这样的邻域。
反例：设f(x)=x，显然，f'(0)=1，我们希望构造出来的这个新函数在x=0时导数也为1，设g(x)=x+1是某个函数h(x)的导函数，可见h'(0)=g(0)=1，求h(x)并保证h(0)=f(0)=0，可得，h(x)=1/2x^2+x，这是一个二次函数，和f(x)在0点相切。作新函数F(x)，使得在x=±1/n，F(x)=h(x)；否则F(x)=f(x)。可见在x=0处F(x)可导，但是在任何一个邻域内都不连续也不可导
是的　　　我是萌萌的小凤凰
可到必连续
可导只能保证这一点连续，不能保证存在领域连续。如y=x^2
x是有理数 y=x^3 x是无理数这个函数在0点是可导且连续的，但不存在（0，a)上连续，
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若函数在X0可导,那么是否一定存在某邻域,函数在其中每一点都可导?若函数在X0可导,那么是否一定存在某邻域,函数在这个邻域中每一点都可导?这个命题成立吗?如果成立请给出证明,如果不成立,请举出反例.
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不成立,例如y=绝对值x,在x=0是不可导,但是其邻域的其他点可导,同理在x属于（0,E）,e 为大于0任意值,y可导,但是在x=0处不可导
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不成立，如y=x^2,x为有理数，y=-x^2,x为无理数，则显然y在0点倒数存在且为0，而在0点的任意领域内，由于y不连续，故倒数不存在。
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设f（x）在x=a的某个邻域内有定义，则f（x）在x=a处可导的一个充分条件是（　　）A. -f（a）存在B. 存在C. 存在D. 存在
小汐子JS32
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∵存在为连续的充分条件，∵连续不一定可导，例如：f（x）=|x|在x=0处不可导．∴A选项不正确∵′(a)∴存在是f（x）在x=a处可导的充要条件，∴B选项不正确∵=′(a)2∴C选项不正确∴根据排除法得到D选项正确故选：D
其他类似问题
根据函数可导必连续，但连续不一定可导，进行排除即可．
本题考点：
导数的概念．
考点点评：
注意：如果一个函数可导，其必然连续；但反之，如果一个函数连续，则不一定可导．
这个选D,它符合定义
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