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新人教版九年级上 第22章一元二次方程 整章教案和作业练习.doc 48页
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第二十二章
一元二次方程
单元要点分析
1．本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．
2．本单元在教材中的地位与作用．
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
1．知识与技能
了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
2．过程与方法
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac&0，b2-4ac=0，b2-4ac&0．
（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
1．一元二次方程配方法解题．
2．用公式法解一元二次方程时的讨论．
3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．
2．用配方法解一元二次方程的步骤．
3．解一元二次方程公式法的推导．
本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：
一元二次方程
降次──解一元二次方程
实际问题与一元二次方程
发现一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．
了解一元二次方程的概念；一般式ax2+b“执竿进屋”
笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。
有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。
借问竿长多少数，谁人算出我佩服。
如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，长为_______尺，
根据题意，得________．
整理、化简，得：__________．
问题（2）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．
如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．
整理得：_________．
问题（3）有一面积为54m2的式ax2+x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是ax2+bx+c=
例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）
将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+x2+bx+c=0（a≠0）的形式．
三、巩固练习
补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程
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2014年九年级上册数学精品教案.doc55页
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第二十二章? 一元二次方程
??? 单元要点分析
??? 教材内容
??? 1．本单元教学的主要内容．
??? 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．
??? 2．本单元在教材中的地位与作用．
??? 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二
次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
??? 教学目标
??? 1．知识与技能
??? 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方
法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
??? 2．过程与方法
??? （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
??? （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
??? （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
??? （4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c 0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac 0，b2-4ac 0，b2-4ac 0．
??? （5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
??? （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．
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《人教版九年级上、下册全书教案》
第二十一章
1．本单元教学的主要内容：
二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．
2．本单元在教材中的地位和作用：
二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．
1．知识与技能
（1）理解二次根式的概念．
（2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．
（3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·；
=（a≥0，b&0），=（a≥0，b&0）．
（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．
2．过程与方法
（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．
（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算．
（3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．
（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，
达到对二次根式进行计算和化简的目的．
3．情感、态度与价值观
通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）及其运用．
2．二次根式乘除法的规定及其运用．
3．最简二次根式的概念．
4．二次根式的加减运算．
1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．
2．二次根式的乘法、除法的条件限制．
3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．
1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．
2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神．
单元课时划分
本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：
二次根式的乘法
二次根式的加减
教学活动、习题课、小结
二次根式
第一课时
二次根式的概念及其运用
理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
教学重难点关键
1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：
问题1：已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________．
问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．
问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．
老师点评：
问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=，所以所求点的坐标（，）．
问题2：由勾股定理得AB=
问题3：由方差的概念得S= .
二、探索新知
很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
（学生活动）议一议：
1．-1有算术平方根吗？
2．0的算术平方根是多少？
3．当a&0，有意义吗？
老师点评:（略）
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x&0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
分析：二次
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河南省实验中学资料 第一章 轴对称与轴对称图形 1.1 我们身边的轴对称图形 教学目标： 1、观察、感受生活中的轴对称图形，认识轴对称图形。 2、能判断一个图形是否是轴对称图形。 3、理解两个图形关于某条直线成轴对称的意义。 4、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。 5、理解并能应用轴对称的有关性质。 教学重点： 1、能判断一个图形是否是轴对称图形。 2、轴对称的有关性质。 难点： 1、判断一个图形是否是轴对称图形。 2、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。 教学过程： 一、情境导入 教师展示图片：五角星、脸谱、正方形、禁行标志、山水倒映等。 学生欣赏，思考：这些图形有什么特点？ 二、探究新知 1、生活中有许多奇妙的对称，如从镜子里看到自己的像;把手掌盖在 镜子上，镜子里的手与自己的手完全重合在一起；这些都是对称， 你还能举出例子吗？ 学生分组思考、讨论、交流，选代表发言。 教师巡回指导、点评。 2、动手做一做：用直尺和圆规在纸上作出一个梯形，并把纸上的梯 形剪下来，沿上底和下底的中点的连线对折，直线两旁的部分能 完全重合吗？ 学生活动：观察、小结特点。 3、教师给出轴对称图形的定义。 问题： ⑴“完全重合”是什么意思？ ⑵这条直线可能不经过这个图形本身吗？ ⑶圆的直径是圆的对称轴吗? 学生分组思考、讨论、交流，选代表发言,教师点评。 ⑴指形状相同，大小相等。 ⑵不能，因为这条直线必须把这个图形分成能充分重合的两部分，则河南实验中学资料 -1-必然经过这个图形的本身。 ⑶不是，因为圆的直径是线段，而不是直线，应说直径所在的直线或 经过圆心的直线。 4、猜想归纳： 正三角形有几条对称轴？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？从 中可以得到什么结论？ 学生思考、讨论、交流。 5、你还能举出生活中轴对称图形的例子吗？ 6、教科书第五页图 1-6⑴⑵两个图，问题：想一想，每组图形中，左 边图形沿虚线对折后与右边的图形有着怎样的关系？ 7、教师给出两个图形关于某条直线成轴对称的定义。 8、你还能举出生活中两个图形关于某条直线成轴对称的例子吗？ 思考：轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称有什么异同？ 学生思考、分组讨论、交流。 教师引导小结。 三、巩固反馈 1 、 26 个 英 文 大 写 字 母 中 ， 是 轴 对 称 图 形 的 是 ________________________。 2、中华民族是一个有着五千年文明历史的古老民族，在她灿烂的文 化中，汉字是其中一朵瑰丽的奇葩，请写出几个是轴对称的汉字______________________。 3、关于奥运会五环图案有下列各说法：①它不是轴对称图形；②它 是轴对称图形， 只有一条对称轴③它是轴对称图形， 有无数条对称轴， 其中正确的是______。从轴对称的角度，你觉得哪些图形比较独特？简要说明你的理由。 5、画出一个只有三条对称轴的轴对称图形。ABCD河南实验中学资料-2-6、上面哪一个选项的右边图形与左边图形成轴对称？ 四、课堂小结 学完本节，你有什么收获？ 五、作业设计 1、必做题：教科书第 6 页练习题 1-4 题。 2、选做题：G A K B F E C H D把长方形纸片折叠，使边 CD 落在 EF 处，折痕为 KH，则与梯 形 CDGH 成轴对称的图形是（ ） 。 A、 梯形 ABHG B、 梯形 ABKG C、 梯形 EFGH D、 梯形 EFKH1.2 线段的垂直平分线 教学目标： 1、通过折叠的方式认识线段的轴对称性。 2、理解并能运用线段垂直平分线的性质。 教学重点：引导学生了解有关线段垂直平分线的知识。 难点：运用线段垂直平分线的性质解决问题。 教学过程： 一、自主探索MAOBN河南实验中学资料-3-在纸上画一条线段 AB,通过对折使点 A 与点 B 重合，独立解决以下 问题： 1、将纸展开后铺平，记折痕所在的直线为 MN，直线 MN 与线段 AB 的交点为 O，线段 AO 与 BO 的长度有什么关系？ ________________________________________ 2、直线 MN 与线段 AB 有怎样的位置关系？ _______________________________________ 3、由以上 1、2，直线 MN 叫做线段 AB 的______________。 4、线段 AB 是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ ______________________________________________ 5、在直线 MN 上任取一点 P，连接 PA 与 PB，如果把这张纸沿直线 MN 对折，PA 与 PB 重合吗？ __________________________________________________ 6、在直线 MN 上再取另一点 Q，连接 QA 与 QB，把这张纸沿直线 MN 对折，QA 与 QB 重合吗？ ________________________________________________ 7、由以上 5、6，你有什么结论？ _______________________________________ 8、尝试用尺规作图的方法作出线段 AB 的垂直平分线。 ________________________________________________ 二、小组合作 任意画一个三角形，用圆规和直尺作出它的三条边的垂直平分线，有 什么发现？ ___________________________________________________________ ______ 三、学以致用A N D P C M B1、点 P、C、D 是线段 AB 的垂直平分线上的三点，分别连接 PA、 PB，AC、BC，AD、BD，指出图中所有相等的线段。 2、任意画一条线段，用直尺和圆规把它四等分。 3、A B 要在 A、B、C 三个村庄之间修一座变电站，使 它到三个村河南实验中学资料 -4-庄的距离 相等， 你能在图中找出点 O 的位置吗？ C 四、达标反馈，当堂训练M M D P D C B A B N C E N A1、如上左图，直线 MN 和 DE 分别是线段 AB、BC 的垂直平分线， 它们交于点 P，请问：PA 和 PC 相等吗？ 2、如上右图，AB=AC，MN 垂直平分 AB,若 AB=6，BC=4,求△DBC 的周长。A A B B D E C3、如上左图，在直线上求作一点 P，使 PA=PB. 4、如上右图，∠BAC=120°, ∠C=30°,DE 是线段 AC 的垂直平分 线，求∠BAD 的度数。 五、课堂小结 本节课主要学习了： 1、线段垂直平分线的知识。 2、线段的垂直平分线的点到线段两短点的距离相等。河南实验中学资料 -5-3、利用线段的垂直平分线的点到线段两短点的距离相等解决实际问 题。 六、作业设计 3、必做题：教科书第 10 页习题 A 组 1-2 题,B1-2 题。 4、选做题：A a) 用直尺和圆规分别作出线段 AB 与 BC 的垂直平分线； b) 你有什么发现？ B C1.3 角的平分线 教学目标： 1、通过折叠的方式认识角的轴对称性。 2、理解并能运用角的平分线的性质。 3、会画已知角的平分线。 教学重点：引导学生了解有关线角平分线的知识。 难点：运用角平分线的性质解决问题。 ： 教学过程： 一、自主探索BDAC在纸上画∠BAC ,把它剪下来并对折，使角的两边重合，然后把纸铺 平，独立解决以下问题： 1、角是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ _______________________________________________ 2、尝试用尺规作图的方法作出∠BAC 的平分线 AD。 ___________________________________________________ 3、 AD 上任取一点 P， 在 作出点 P 到∠BAC 两边的垂线段 PM 与 PN，河南实验中学资料 -6-垂足分别为点 M 和点 N，如果把∠BAC 沿 AD 折叠，线段 PM 与 PN 重合吗？由此，你能得出什么结论？ ___________________________________________________________ 4、在 AD 上另取另一点 Q，重复上述操作，你还能得出同样的结论 吗？ ___________________________________________________________ 二、小组合作 1、任意作一个锐角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线， 你有什么发现？ ___________________________________________________________ 2、任意作一个直角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线， 你有什么发现 ___________________________________________________________ 3、任意作一个钝 角三角形， 用直尺和圆规作出它的三条角平分线， 你有什么发现？ 猜想结论： ___________________________________________________________ 三、学以致用 天泉农副产品集散地 M 位于三个村庄 A、B、C 之间，其位置到三条 公路 AB、AC、BC 的距离相等，你能找到 M 的位置吗？CAB四、达标反馈，当堂训练河南实验中学资料-7-y Ax O D BNA MBa) 如上左图，在直角坐标系中，AD 是 Rt△OAB 的角平分线， 点 D 到 AB 的距离是 2，求点 D 的坐标。 b) 如上右图，若点 M 在∠ANB 的角平分线上，∠A=∠B=90°, 那 么 你 有 怎 样 的 结 论 ？ ________________________________________________ 若点 N 在∠AMB 的角平分线上， ∠A=∠B=90°,那么你有怎 样的结论？ _____________________________________________________A C D C B O B D A3、如上左图，△ABC 中,∠A=90°,BD 平分∠ABC,AD=3cm,BC=10cm, 求△BDC 的面积。河南实验中学资料-8-4、如上右图，已知∠AOB 和 C、D 两点，是否能找到一点 P，使得 点 P 到 OA、OB 的距离相等，而且 P 点到 C、D 两点的距离相等。五、课堂小结 这节课你有哪些收获？ ___________________________________________________________ 六、 作业设置 1、必做题：教科书第 12 页 A 组、B 组。 2、选做题：铁 路 P M区公路§1.4 等腰三角形导学案 （泰山版八年级上册） 一、 学习目标 1、 经历探索等腰三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的轴 对称性、等腰三角形“三线合一” 、等腰三角形的两个底角 相等等性质。 2、 经历探索等边三角形的轴对称性和内角性质的过程，掌握 这个性质，并会作出合理的说明。 3、 掌握已知底边和底边上的高用尺规作等腰三角形的方法。 二、 学习重点、难点 重点：等腰三角形与等边三角形的性质 难点：等腰三角形的性质的运用 三、 学习过程 （一） 情境导入 瓦工师傅盖房时，看房梁是否水平，有时就用一块等腰三河南实验中学资料 -9-角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好 经过三角板底边的中点，房梁就是水平的。为什么？你想 知道其中的奥秘吗？学了本节后你将恍然大悟。 （二） 自主学习 自学课本 P13――P16“挑战自我” ，解答下列问题： 1. 我们知道等腰三角形是轴对称图形， 它底边上的高线所 在的直线式它的对称轴， 那么沿着对称轴将等腰三角形 对折，对称轴两旁的部分能重合，如下图，仔细观察， 你能得到哪些结论？说说你的想法.ABDC2. 等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？等边 三角形是等腰三角形吗？它与等腰三角形相比有何特 别之处？3. 如图，∠B=∠C,AB=3.6cm，则 AC=――――――――.A（三） 合作探究 探究点一：等腰三角形的性质 例 1 等腰三角形中有一个角为 80?.求另外两个角的度 数. 总结：BC河南实验中学资料- 10 -探究点二：等边三角形的性质 例2 试说明“等边三角形的每个内角都等于 60?” 小组合作：用一张正方形的纸折出一个等边三角形. 探究点三：尺规作等腰三角形 例3 已知一个等腰三角形的底边和腰，你能作出这个三 角形吗？如果一直底边和底边上的高呢？（四） 练习达标 1. 等腰三角形的两边长分别是 6cm、3cm，则该等腰三角 形的周长是（ ） A. 9 cm B. 12 cm C. 12 cm 或 15 cm D. 15 cm 2. 等腰三角形的一个角为 30?，则它的底角为（ ） A. 30? B. 75? C. 30?或 75? D. 15? 3 如 图 ， 在 Δ ABC 中 ， D 、 E 是 BC 边 上 的 两 点 ， 且 AD=BD=DE=AE=CE，求∠B、∠BAC 的度数.A（五） 课堂小结 B D E 这一节你学会了什么？ （六） 拓展提升 1. 如图所示， ∠B=∠C ， 平分∠BAC 交 BC 于 D， ABC AD Δ 的周长为 36cm，Δ ADC 的周长为 30cm，那么 AD 的长 为――――――cm.CA河南实验中学资料- 11 -BDC2、如图，Δ ABC 为等边三角形，∠1=∠2=∠3，试说明 Δ DEF 为等边三角形.A3D2E1F CB四. 作业§1.5 成轴对称图形的性质导学案 （泰山版八年级上册） 一、学习目标 1、经历探索轴对称图形的性质的过程，理解连接对应点的线 被对称轴平分、对应线段相等、对应角相等的性质. 2、会画出与已知图形关于某条直线对称的图形. 二、学习重点、难点 重点：轴对称图形的性质 难点：利用轴对称图形的性质作对称图形 三、学习过程 （一）情景导入河南实验中学资料 - 12 -同学们， 今年的 10 月 1 日是我们伟大的祖国 60 周岁的生日， 全国上下正洋溢在一片欢歌笑语的海洋里，都在为母亲的生日 积极地做准备，你做了什么准备呢？不如我们现在来叠五角星 吧。你还记得怎么叠吗？跟老师一起做??好了，五角星叠好 了.请同学们想一想，这种折纸叠正五角星的方法，其中隐含着 什么数学道理？（二）自主学习 自学课本 P17----P19 例二，完成下列问题： 1.――――――――――的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 2.成轴对称的两个图形，在大小和形状方面有怎样的关 系？你是怎么知道的？3.请你画出下图中点 A 关于直线的对称点 A .‘A4.轴对称图形的对应线段、对应角有怎样的关系？ （三）合作探究 探究点一：成轴对称图形的性质 要求： 明确成轴对称图形的对应点连线被对称轴垂直平分， 对应线段相等，对应角相等. 同桌合作解决课本 P18 例 1.探究点二：运用轴对称的性质作一个图形关于某条直线的 轴对称图形. 自学例二，然后小组交流纠错.河南实验中学资料 - 13 -【动手实践】画出下列图案的另一半，直线 l 是对称轴. A B C（四） 练习达标 l 利用 10 分钟的时间完成课本 P18 练习和 P19 练习 （五）课堂小结 谈谈你的收获. （六）拓展提升 1.课本 P20 习题 A 组 2. 将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示的图形， 已知∠CED’=80?,则∠AED 的大小是（ ） A 40? B 50? C 60? D 80? D E D’ CAB3.如图是由三个小正方形组成的图形， 请你在图中补画一个 小正方形，是补画后的图形为轴对称图形.河南实验中学资料- 14 -四、作业 §1.6 镜面对称导学案 （泰山版八年级上册） 一、学习目标 1、结合现实生活中的实例，了解镜面对称及其应用，欣赏镜面 对称图形； 2、思考并探索镜面对称下图形的变化. 二、学习重点、难点 重点：镜面对称及其应用 难点：镜面对称下图形的变化 三、学习过程 （一）情景导入 自远古以来， 对称的形式被认为是和谐、 美丽并且真实的. 不论在自然界里还是在建筑中，不论在艺术中还是在科学 中， 甚至最普通的日常生活用品中， 对称的形式都随处可见. 山倒影在湖中，这是多么令人难忘的对称景象. 学好对称，对我们认识图形来说是很重要.（此处建议老 师们适当准备一些相关的图片，以激发学生的学习兴趣。 ） （二）自主学习 自学课本 P21――P22，解决下列问题： 1、物体与它在镜子里的像成镜面对称，它们的大小、形 状相同吗？ 2、一次晚会上，主持人出了一道题目： “如何把式子 2+3=8 变成一个真正的等式？”你能吗？ （三）合作探究 探究点：镜面对称的原理及判断方法 认真阅读课本的“小资料”“实验与探究” 、 ，结合自己的 生活经历，同桌互助总结镜面对称的原理. （四）练习达标 1、课本“挑战自我”. 2、P24 练习与习题 A 组 （五）课堂小结 说说镜面对称的原理及判别方法 （六）拓展提升 1、课本 P22 习题 B 组河南实验中学资料 - 15 -2、宋代理学家邵康写有一首五言绝句： “一去二三里，烟 村四五家，楼台七八座，八九十枝花.”把这首诗写在一张 纸上，并将写字的一面平行对折镜面.在这首诗的所有字中 中，镜子中的像与原字一样的是―――――――――――. 四、作业§1.7 简单的图案设计导学案 （泰山版八年级上册） 一、学习目标 1、欣赏生活中的轴对称图案，能分析它是由哪些简单几何图形 组成的. 2、能利用简单几何图形设计轴对称图案，体验数学活动的乐趣， 培养学生的创新意识. 二、学习重点、难点 设计图案 三、学习过程 （一）情境导入 同学们都知道，我们潍坊是一个风筝之都。同学们你放过吗？ 回想一下你玩的风筝的样子，在于其他同学交流一下，你会有更多的 发现。其实，这些美丽的风筝你都能设计出来，甚至有可能还要美。 怎么样，想不想自己做一个风筝？想，那就来好好的学习一下本节知 识吧。 （二）自主学习 看课本 P25-------P26,依次解决相关问题. (三)合作探究 利用轴对称进行简单的图案设计 （四）练习达标 课本 P25――――P26 练习和习题. （五）拓展提升 练习册 5、6 两题 （六）作业河南实验中学资料- 16 -第一章综合检测一、选择题（每题 3′，共 30′） 1、下列图形中一定是轴对称的图形是（ ） 。 A、梯形 B、直角三角形 C、角 D、平行四边形 2、等腰三角形的一个内角是 50°，则另外两个角的度数分别是 （ ） 。 A、65° 65°B、50°80°C、65°65°或 50°80°D、50° 50° 3、如果等腰三角形的两边长是 6 和 3，那么它的周长是（ ） 。 A、9 B、12 C、12 或 15 D、15 4、到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ） 。 A、三条角平分线的交点 B、三条中线的交点 C、三条高的交点 D、三 条边的垂直平分线的交点 5、 等腰三角形的一个外角等于 100°， 则与它不相邻的两个内角的度 数分别为（ ） 。 A、40° 40°B、80°20° C、50°50°D、 50° 50°或 80°20 ° 6、∠AOB 的平分线上一点 P 到 OA 的距离为 5,Q 是 OB 上任一点，则 （ ） 。 A、PQ&5 B、PQ≥5 C、PQ&5 D、PQ≤5 7、下列轴对称的图形中，对称轴最少的是（ ） 。 A、等边三角形 B、等腰梯形 C、正方形 D、圆 8、已知等腰△AOB 的底边=8cm，且AC-BC=5cm，则腰 AC 的长为 （ ） 。 A、13 cm 或 3 cm B、3 cm C、13 cm D、8 cm 或 6 cm 9、 如图， 在△ABC 中， AB=AC,∠A=36°,BD、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，且相交于点 F，则图中的等腰三角形有（ ） 。 A、6 个 B、7 个 C、8 个 D、9 个A D C BE河南实验中学资料- 17 -10、下列说法错误的是（ ） A、等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴 B、等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴 C、等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴 D、等腰三角形定有三条对称轴 二、填空题（每题 3′，共 30′） 1、 △ABC 中， 垂直平分 AC， AC 交于点 E ， BC 交于点 D， C=15， DE 与 与 ∠ ∠BAD=60，则△ABC 是 三角形。 2、∠AOB 内部有一点 P，分别作出点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2， 连接 P1P2，分别交 OA、OB、于点 M、N，若 P1P2=5cm，则△PMN 的周长 为 。 3、已知点 P 到 X 轴 Y 轴的距离分别是 2 和 3，且点 P 关于 X 轴对称 的点在第四象限，则点 P 的坐标是 。 4、等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，则这个三角形 的底角为 。 5、数轴上表示 1 和 3 的点分别为点 A 和点 B，点 B 关于点 A 的对称 点为点 C，则点 C 所表示的数是 。 6、已知点 P、Q 关于直线 x=1 对称，点 P 的横坐标为-2，点 Q 的纵坐 标是-3, 则点 P 的纵坐标为 ,点 Q 的横坐标是（ ） ， PQ= 。 7、如图，已知，D 是 BC 边上的一点，若 AD=BD,AB=AC=CD,则∠ BAC= .AB DC8、如果△ABC 和△A’B’C’关于直线 l 成轴对称，且∠A=50°,∠ B’=70°,那么∠C= 。 9、 △ABC 中,AD 为角平分线， DE⊥AB 于 E， DF⊥AC 于 F， AB=10 厘米， AC =8 厘米，△ABC 的面积为 45 平方厘米，则 DE 的长为 。 10、△ABC 中，D 为 AB 的中点，且 CD=AD=BD，则∠ACB= 。 三、解答题(每题 10′，共 40′） 1、如下左图，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线交 AC 于点 D，连接 BD. ⑴如果 CE=4,△BDC 的周长为 18，求 BD 的长。 ⑵如果∠ADM=50°，∠ABD=20°，求∠A 的度数。河南实验中学资料 - 18 -AM M C A NPBBN2、如上右图，△PAB 中，MN 是 AB 的垂直平分线，比较 PA、PB。E3、如左上图，在△ABC 中，AB=AC,E 在 CA 的延长线上，∠AEF=∠AFE， AD 是高，是说明 EF 与 BC 的位置关系，并说明理由。4、如右上图，在等边△ABC 中，E 为 AC 边上的中点 CE=CD，试确定 E EB 和 DE 的大小关系，并说明理由。A F E B D C B B B B C D A河南实验中学资料- 19 -参考答案 1.1 巩固反馈答案： 1、略。2、田、山、串、王等 3、②。4、第 5、9、10 个不是轴对称 图形。5、略。6、B。 作业设计答案： 1、略。2、C。 1.2 达标反馈，当堂训练答案： 1、PA=PC。2、10。3、90°。 作业设计答案：2、PA=PC 1.3 达标反馈，当堂训练答案： 1、D（2，0） 。2、AM=BM；NA =NB。3、15cm2。4、略。 1.4 “自主学习|”第 3 题 AC=3.6cm “练习达标”1.D 2.C 3.∠B=30? ∠BAC=120? “拓展提升”1.AD=12cm 2.提示：利用三角形的外角性质 1.5 “拓展提升”2.B 3.开放题，答案不唯一. 1.6 “拓展提升” 2.一，二，三，十 第一章综合检测答案部分 一、1、C2、C3、D4、A5、D6、B7、B8、C9、C10、D 二、1、直角 2、5 3、P（3，2） 4、62、5°或 22、5° 5、-1 6、-3，2，4 7、108° 8、60° 9、5 10、90° 三、1、⑴、BD=5⑵80°2、PA&PB 3、EF⊥BC 4、EB=DE河南实验中学资料- 20 -第二章乘法公式与因式分解 2.1 平方差公式【教学内容】 ：17.1 平方差公式 【学习目标】 ： 1．记住平方差公式并会进行运用。 2．能用几何拼图的方式验证平方差公式。 【学习重点和难点】 ： 重点：平方差公式，平方差公式的几何拼图验证及其应用。 难点：平方差公式的几何拼图验证及其应用 【教学方法】 ：创设情境―自主探究―合作交流―拓展提高． 【教学准备】:多媒体课件＋导学案 【导学流程】 ： 一、 创设问题情境，引入新课。 请同学们与我一起观看这幅图片， 它是有一些美丽的长方形 花坛组成，如果每幅图案的长方形的长为（a+b）米，宽为（a-b） 米，它的面积为多少呢？ 同学们会很快地回答为： （a+b）(a-b),那么如何计算呢？ 这是初一我们学习的内容，多项式乘以多项式。为了更好 地巩固以前学过的内容，同学们拿出我们刚发的导学案，做一下 导学案上的题目。 【温故知新】 请同学们用 3 分钟的时间独立完成下列问题。 通过计算， 你能发现它们的规律吗？ （1）(x+1)(x-1)= （2）(m+2)(m-2)= （3）(2x+1)(2x-1)＝ 根据大家作出的结果，你能猜想（a+b） a－b）的结果是多 （ 少吗？小组讨论交流，大胆猜测。 为了验证大家猜想的结果，我们再计算：河南实验中学资料 - 21 -（a+b） a－b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2． （ 得出平方差公式 （a+b） a－b）= a2－b2． （ 即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差． 引出本节课的学习内容 明确本节的学习目标。 二、 自主学习一： 自学任务： 1、学生自学课本 34 页。 2、通过自学，能通过所计算的式子总结规律，推导公式，进而找出 公式的结构特点。 3、能够通过图形验证公式。 在学习过程中，学生互相之间探索交流，教师精讲点拨。 平方差公式： （a＋b） （a－b）＝a2－b2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。 平方差公式结构特征： （引导学生探索归纳，大胆发言） 教师归纳概括： ① 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一 项互为相反数。 ② 右边是乘式中两项的平方差。 即相同的平方与相反项的平方的差。 为了更好地证明该定理的正确性，设计用动画的形式直观地说明 平方差公式的正确性。（见多媒体课件） 2.1 平方差公式河南实验中学资料- 22 -你能根据下图中的面积说明平方差公式吗？ a a+b a-b a b b b b　　 (a ? b)(a ? b)　 a 2 ? b 2 ?学生观察图形，计算阴影部分的面积．经过思考可以发现： 左边图形的面积： a+b） a－b） （ （ ． 右边旋转以后的图形的面积为： a2－b2） （ ． 这两部分面积应该是相等的，即（a+b） a－b）= a2－b2． （ 教师活动: 引导学生细心观察，自主探索，发现规律，进行归纳，初步感受 平方差公式． 在本活动中教师主要关注： （1）学生能否自己主动参与探索过程； （2）学生在交流中所投入的情感和态度． 学生活动: 为了让学生进一步理解该公式， 能更好地运用该公式， 我又设计 了下面的练习。 （见多媒体课件）河南实验中学资料 - 23 -会填会选我最棒： 1. 参照平方差公式“ a+b） a－b）= a2－b2． （ （ ”填空 （1）(t+s)(t-s)= (3) (1+n)(1-n)= (2) (4) (3m+2n)(3m-2n)= (10+5)(10-5)＝2、判断下列式子是否可用平方差公式。 (1) (3) (-a+b)(a+b) (-a+b)(a-b) (2) (-2a+b)(-2a-b) (4) (a+b)(a-c)三、自主学习二： 请同学们用 5 分钟的时间看课本 35 页的例 1 和例 2.要求如下： （1）记住利用平方差公式进行计算的方法和步骤。 （2）理解只有符合公式要求的乘法才能运用公式简化运算。其 余的运算仍按乘法法则计算。 （3） 看完后， 用８分钟的时间独立完成导学案上的 1 和 2 两题。 1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ A.（x+1） （1+x） ； C.（－a+b） a－b） （ ； 2.运用平方差公式进行计算： （1） （3x+4）(3x-4) （2） (3a+2b)(2b-3a) （3）(-4x-3y)(-4x+3y) （4）51?49 （5） (a+1)(4a-1)-(2a+1)(2a-1) 学生活动： 【合作交流】 ：先小组内交流，由组长公布解题步骤和答案，小组内 解决不了的问题由组长提交班内交流， 如再有疑问由老 师点拨精讲 。河南实验中学资料 - 24 -）B.（2x-5）(2x+5) D.（x2－y） x+y2） （ ；【归纳总结】:由学生总结本节学习内容,并归纳出知识要点。以便于 同学在做题时能正确运用平方差公式. 四、知识应用 【题组训练】 ：(学生用 8 分钟时间独立完成下列题目)： 1. 下面各式的计算对不对，如果不对，应当怎样改正？ （1） （x＋2）(x-2)=x2-2 ( ) 2 （2） (-3a-2)(3a-2)=9a -4 ( ) 2. 运用平方差公式进行计算： （1） （a+3b）(a-3b) (2) (3+2a)(-3+2a) (3) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) (4) 58?62 (5) (m+3)(m-3)(m2+9) 五、归纳总结： 通过本节课的学习我有哪些收获？由学生总结解题步骤，不全 面的老师点拨。进一步加深对平方差公式的记忆和理解。 【达标测评】: 学生用 5 分钟独立完成，然后同位互改试卷。 运用平方差公式计算下列公式： 1. (2x-3y)(2x+3y) 2. (-2m-5)(2m-5) 3. 105?95 4. (ab+1)(ab-1) 六、应用提高、拓展创新： 【拓展提高】 ：运用平方差公式计算： (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) 七、布置作业： 1、课本 35 页练习 1 题。 2、课本 36 页习题 A 组。 3、课本 36 页习题 B 组。 （选作）河南实验中学资料- 25 -2．2完全平方公式（一）【学习目标】 1、记住完全平方公式并会灵活应用。 2、能用几何拼图的形式验证完全平方公式。 【学习重点】 完全平方公式的灵活应用。 【学习难点】 理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算． 【学习准备】 多媒体课件 【教学方法】 创设情境―自主探究―合作交流―拓展提高 【导学流程】 一、提出问题，创设情境 [师]请同学们探究下列问题： 一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿 出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩 子，老人就给每个孩子两块塘，? （1）第一天有 a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多 少块糖？ （2）第二天有 b 个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多 少块糖？ （3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些 孩子多少块糖？ （4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总 数哪个多？多多少？为什么？ 学生互相讨论交流。 [生]（1）第一天老人一共给了这些孩子 a2 糖． （2）第二天老人一共给了这些孩子 b2 糖． （3）第三天老人一共给了这些孩子（a+b）2 糖． （4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总 数比较，应用减法．即： （a+b）2-（a2+b2） 我们上一节学了平方差公式即（a+b） （a-b）=a2-b2，现在遇到了河南实验中学资料 - 26 -两个数的和的平方，这正是我们这节课要研究的问题。 明确本节的学习目标。 计算下列各式，你能发现什么规律？ （1） （p+1）2=（p+1） （p+1）=_______； 2 （2） （m+2） =_______； （3） （p-1）2=（p-1） （p-1）=________； 2 （4） （m-2） =________； （5） （a+b）2=________； （6） （a-b）2=________． 学生独立尝试，大胆猜测。 二、独立探究，探索交流 自学任务： 1、自学课本 36 页。 2、通过自学，掌握完全平方公式的推导过程、结构特点。 3、会用几何图形解释完全平方公式。 学生自学， 自学过程中小组之间互相交流。 分钟后检查自学效果。 6 自学检测： 1、完全平方公式文字叙述： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们 的积的 2 倍． 符号叙述： （a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2 2、从几何角度去解释完全平方差公式． 你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？小组讨论交流，积极发言。 三、精讲点拨，提高升华 请同学们总结完全平方公式的结构特征。河南实验中学资料 - 27 -公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项 是左边二项式中每一项的平方． 而另一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍。 我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母 或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式。 四、达标检测： 1、下列式子符合完全平方公式形式的是（ ） 2 2 2 2 2 2 A、a +ab+b B、a +2a+2 C、a -2b+b D、a +2a+1 五、自主学习二： 1、自学课本 37 页、38 页。 2、通过自学，会灵活应用完全平方公式进行计算。 达标检测： ： 1、判断下列各式是否正确，如果错误并加以改正： (1) (2a?1)2＝2a2?2a+1; （2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (?a?1)2＝?a2?2a?1. 2、应用完全平方公式计算： 1 （1） （4m+n）2 （2） （y- ）2 2 2 （3） （-a-b） （4） （b-a）2 3、运用完全平方公式计算： （1）1022 （2）992 六、课堂总结： 你学会了什么？完全平方公式与平方差公式有什么区别？讨 论交流。 完全平方公式和平方差公式不同： 1、形式不同 2、结果不同： 完全平方公式的结果 是三项， 即 (a ?b)2＝a2 ?2ab+b2; 平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a?b)＝a2?b2. 七、拓展应用： 2 １、计算(2a+b+c) 2 2 2、要使 x +6x+a 成为形如(x-b) 的完全平方公式，求 a,b. 八、作业： 1、课本 38 页练习 1、2、3 题 。河南实验中学资料 - 28 -2、习题 40 页 A 组。 3、习题 40 页 B 组 3、4 题。 （选作）2.2 乘法公式复习课【学习目标】 1、熟记平方差公式和完全平方公式。 2、综合应用平方差公式和完全平方公式进行多项式的运算。 【重点】乘法公式的综合应用 【难点】乘法公式的综合应用 【学习准备】多媒体课件 【学习方法】自主探究学习法 【导学流程】 一、 创设情境，复习引入 回顾与思考： 1、平方差公式及结构特征，应用平方差公式应注意什么问题？ 2、完全平方公式及结构特征，在什么情况下可以应用？ 3、练一练：(1) (a ? 2)(a ? 2) 1 (2) ( x ? 2 y ) 2 2 1 1 (3) (? x ? 2 y )(? x ? 2 y ) 2 2 2 2 (4) (n ? 1) ? n (5) (2m-5n) 2 (6) ( x ? 4 y ? 6 z )( x ? 4 y ? 6 z ) 3 (7) (2m-3n)(m+ n) 2 2 (8) (-2p-3q)河南实验中学资料 - 29 -本节课继续乘法公式的学习，引出课题，明确本节的学习目标。 二、 学生自学： 自学任务： 1、自学课本 38 页。 2、通过自学明确平方差公式和完全平方公式的选择应用及综合应 用。 自学检测： 1、想一想：(a+b+c)2= 2、想一想：(a+b+c)(a+b-c)= 根据自学情况，互相讨论交流，大胆尝试。 三、 展示反馈： 展示经过学生探索交流后的结果，不同小组的学生分别展示。 (a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+c2+2(a+b)c=a2+b2+2ab+c2+2ac+2bc (a+b+c)(a+b-c)=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)2-c2=a2+b2+2ab-c2 四、 精讲点拨： 1、平方差公式的结构特点：左边是两个二项式的积，两个二项式中， 一项相同，另一项互为相反数；右边是两个因式中相同项的平方减去 互为相反数的项的平方。 2、完全平方公式的结构特点：左边是两数和或差的平方，右边是两 个数的平方和加上（或减去）这两数乘积的 2 倍。 3.运用公式计算时，先将要计算的代数式写成公式的原始形式，然后 再一步步计算. 4.解题时，要认真分析题目的结构特点，合理安排运算顺序，灵活运 用公式，可使解题时快速、简洁。 五、达标测评： 1、下列等式是否成立? 说明理由． (1) (?4a+1)2=(1?4a)2； (2) (?4a?1)2=(4a+1)2； (3) (4a?1)(1?4a)＝(4a?1)(4a?1)＝(4a?1)2； (4) (4a?1)(?1?4a)＝(4a?1)(4a+1). 2、指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a?1)2＝2a2?2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； 2 2 (3) (?a?1) ＝?a ?2a?1. 3、计算： （1）98?102 （2）?2005河南实验中学资料 - 30 -（3）若 x -y =12,x+y=6,求 x,y 的值。 六、课堂小结：引导学生对本节知识进行总结。 七、拓展提高: 1、回答下列问题： （1）a2+b2 加上什么式子可以得到(a+b)2？ (2)a2+b2 加上什么式子可以得到(a-b)2？ (3)a2+ab+b2 加上什么式子可以得到(a-b)2？ 2、已知（a+b）2=1， （a-b）2=25，求 a2+b2+ab 的值. 八、布置作业： 1、课本 40 页练习 1、2 题。 2、课本 40 页习题 B 组 1、2 题。 （选作）222.3 用提公因式法进行因式分解【学习目标】 1、掌握因式分解、公因式的定义，能够透彻理解。 2、会用提公因式法分解因式。 3、在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化 归的思想方法． 【学习重点】 会用提公因式法分解因式 【学习难点】 如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式 【教学准备】 多媒体课件 【学习方法】自主探究学习法 【导学流程】 一、提出问题，创设情境 [师]请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快。 （1）20?（-3）2+60?（-3） 2 2 （2）101 -99 2 2 （3）57 +2?57?43+43 （学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式） [师]在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者河南实验中学资料 - 31 -逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时 也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式， 这就是我们从今天 开始要探究的内容──因式分解。引入新课，同时明确本节的学习 目标。 二、自主学习： 自学任务： 1、学生自学课本 41 页。 2、通过自学，明确因式分解的定义，公因式的定义。 学生自学，分析讨论，探究新知． 把下列多项式写成整式的乘积的形式 （1）x2+x=_________ （2）x2-1=_________ （3）am+bm+cm=__________ [生]根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算： （1）x2+x=x（x+1） （2）x2-1=（x+1） （x-1） （3）am+bm+cm=m（a+b+c） 三、精讲点拨： 教师精讲点拨因式分解的定义。 像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个 多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式． 可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形， 所以需要逆向 思维． 再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点． [生]我发现（1）中各项都有一个公共的因式 x， （2）中各项都有 一个公共因式 m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式 呢？ [师]你分析得合情合理． 因为 ma+mb+mc=m（a+b+c） ． 于是就把 ma+mb+mc 分解成两个因式乘积的形式， ?其中一个因式 是各项的公因式 m，另一个因式 a+b+c 是 ma+mb+mc 除以 m 所得的商， ?像这种分解因式的方法叫做提公因式法． 四、应用检测： 3 2 3 1、把 8a b -12ab c 分解因式． 2、把 2a（b+c）-3（b+c）分解因式． 3、把 3x3-6xy+x 分解因式． 4、把-4a3+16a2-18a 分解因式．河南实验中学资料 - 32 -5、把 6（x-2）+x（2-x）分解因式． （让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成， 然后与同伴交流 解题心得，?教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行 适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结） 1、解：8a3b2+12ab2c=4ab2?2a2+4ab2?3bc=4ab2（2a2+3bc） ． 总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行．可 以概括为一句话：括号里面分到“底” ，这里的底是不能再分解为止． 2、 解：2a（b+c）-3（b+c）=（b+c） （2a-3） ． 总结：公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考 虑直接提出． 3、解：3x2-6xy+x=x?3x-x?6y+x?1=x（3x-6y+1） ． 总结：1 作为项的系数，通常可以省略，?但如果单独成一项时， 它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏 1． 4、解：-4a3+16a2-18a =-（4a3-16a2+18a） =-2a（2a2-8a+9） 注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号， 使括号内的第一项的系数是正的．在提出“－”号时，多项式的各项 都要变号．可以用一句话概括：首项有负常提负． 5、 解：6（x-2）+x（2-x） =6（x-2）-x（x-2） =（x-2） （6-x） ． 总结：有时多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中一些 项变形后，?但可以发现公因式，然后再提取公因式． 五、课堂小结： 今天我们学习了提公因式法分解因式．同学们在理解的基础上， 可以用四句顺口溜来总结记忆用提公因式法分解因式的技巧． 各项有“公”先提“公” ， 首项有负常提负． 某项提出莫漏 1． 括号里面分到“底” ．引导学生归纳。 六、拓展提高： 3 -4 ? 3 +10 ? 3 是 7 的倍数吗？为什么？ 七、布置作业： 1、课本 42 页练习。 2、课本 42 页习题 A 组 1、2、3 题。 题选作） （3200 199 198河南实验中学资料- 33 -2.4 用公式法进行因式分解（一）【学习目标】 1．能说出平方差公式的特点。 2．能较熟练地应用平方差公式分解因式。 【重点】 应用平方差公式分解因式。 【难点】 灵活应用公式和提公因式法分解因式， 并理解因式分解的要求． 【教学准备】多媒体课件 【教学方法】自主探究学习法 【导学流程】 一、提出问题，创设情境 出示投影片，让学生思考下列问题． 问题 1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？ 问题 2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？ 问题 3：你能将 a2-b2 分解因式吗？你是如何思考的？ 二、学生自学，尝试探究 自学任务： 1、自学课本 43 页和 44 页的例 1. 2、通过自学，掌握因式分解的平方差公式的结构特点。 3、会应用平方差公式进行多项式的因式分解。 结合提出的问题，学生自学。教师进行适当的点拨指导。 说明： 1．多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，?也就是把一个多 项式化成了几个整式的积的形式． 2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果 没有公因式，?就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．河南实验中学资料 - 34 -3．对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行 因式分解． 4、要将 a2-b2 进行因式分解，可以发现它没有公因式，?不能用 提公因式法分解因式， 但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方 差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式： a2-b2=（a+b） （a-b） ． 多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如 果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结 果，这种分解因式的方法称为运用公式法。今天我们就来学习利用平 方差公式分解因式，明确本节的学习目标。 自学检测，展示反馈： 1、观察平方差公式：a2-b2=（a+b） （a-b）的项、指数、符号有什么 特点？ （让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论） 2、 填空： （1）4a2=（ ）2； 4 （2） b2=（ ）2； 9 （3）0.16a4=（ ）2； （4）1.21a2b2=（ ）2； 1 （5）2 x4=（ ）2； 4 4 （6）5 x4y2=（ ）2． 9 [做以上填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平 方的形式．?也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的 复习，避免出现 4a2=（4a）2?这一类错误] 3、分解因式 （1）4x2-9 （2） （x+p）2-（x+q） 三、教师精讲，达标检测 因式分解的平方差公式的结构特点： （1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反． （2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式 是这两数的差． 在乘法公式中， “平方差”是计算结果，而在分解因式，?“平方 差”是得分解因式的多项式． 由此可知如果多项式是两数差的形式， 并且这两个数又都可以写河南实验中学资料 - 35 -成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式． 达标检测： 1、把下列各式分解因式 （1）36（x+y）2-49（x-y）2 （2） （x-1）+b2（1-x） （3） 2+x+1）2-1 （x （4）( x ? y)2 ( x ? y)2 ． 4 42、分解因式 （1）x4-y4（2）a3b-ab解： （1）x4-y4 =（x2+y2） 2-y2） （x 2 2 =（x +y ） （x+y） （x-y） ．? 3 2 （2）a b-ab=ab（a -1）=ab（a+1） （a-1） ． 学生解题中可能发生如下错误： （1）系数变形时计算错误； （2）结果不化简； （3）化简时去括号发生符号错误． 最后教师归纳： （1）多项式分解因式的结果要化简： （2）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项。 四、课堂小结： 引导学生总结本节的学习内容，强调注意的问题。 1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式。 2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式。 3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，?则需 要进一步分解因式，直到每个多项式因式都不能分解为止。 五、拓展提高： 给出下列算式， 2 3 -12=8?1,52-32=16=8?2,72-52=24=8?3,92-72=32=8?4,--（1）观察上面一系列式子你能发现什么规律？用含 n 的式子表示出 来。 2 2 （2）根据你发现的规律，求
的值。 六、课后作业 1．课本 44 页练习 1 题。河南实验中学资料 - 36 -2、课本 46 页习题 A 组 1、4 题。 题选作） （4 2．预习“用完全平方公式分解因式” 。2.4 用公式法进行因式分解（二）【学习目标】 1、理解完全平方公式的结构特点。 2、能较熟悉地运用完全平方公式分解因式。 3、能灵活应用提公因式法、公式法分解因式。 4、通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步 培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳 总结的能力． 【重点】 用完全平方公式分解因式． 【难点】 灵活应用完全平方公式分解因式． 【教学方法】自主探究合作学习法 【学习准备】多媒体课件 【导学流程】 一、提出问题，创设情境 问题 1： 根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法， ?分析和 推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分 解因式的多项式具有什么特点？ 问题 2：把下列各式分解因式． （1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2 引入本节的课题，明确本节的学习目标。 二、学生自学，独立探究 自学任务： 1、自学课本 43 页、44 页例 2。 2、通过自学，掌握因式分解的完全平方公式的结构特点。 3、会应用完全平方公式把多项式因式分解。 自学检测： 1、因式分解的完全平方公式的表述：河南实验中学资料 - 37 -两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的 2 倍，?等于 这两个数的和（或差）的平方． 2 2、 完全平方公式的符号表示． 即： 2+2ab+b2= a （a+b）， 2-2ab+b2= a 2 （a-b） ． 3、下列各式是不是完全平方式？ （1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 1 （3）4a2+2ab+ b2 4 2 2 （4）a -ab+b （5）x2-6x-9 （6）a2+a+0.25 （放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的） 。 4、把 3 题中是完全平方式的进行因式分解。 结果： （1）a2-4a+4=a2-2?2?a+22=（a-2）2 1 1 1 1 （3）4a2+2ab+ b2=（2a）2+2?2a? b+（ b）2=（2a+ b）2 4 2 2 2 2 2 2 2 （6）a +a+0.25=a +2?a?0.5+0.5 =（a+0.5） （2）（4）（5）都不是． 、 、 三、精讲点拨，拓展提高。 方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式， 其中有两个数的平方和还有这两个数的积的 2 倍或这两个数的积的 2 倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差） 的平方。从而达到因式分解的目的。 应用展示： 1、分解因式： （1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y2 2、分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2 （2） （a+b）2-12（a+b）+36 学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然 后与同伴交流、总结解题经验． 解： （1）16x2+24x+9 2 2 =（4x） +2?4x?3+3 2 =（4x+3） ． 解： （2）-x2+4xy-4y2=-（x2-4xy+4y2） =-[x2-2?x?2y+（2y）]2河南实验中学资料 - 38 -=-（x-2y） ． 练一练： 把下列多项式分解因式： （1）6a-a2-9； （2）-8ab-16a2-b2； （3）2a2-a3-a； （4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2 四、课堂小结 学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个 总结吗？ （引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能 力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分 知识有一个清晰的了解）2五、达标测评： 1、把下列各式因式分解： (1)m4+2m2+1 (2)14a-1-49a2 (3)(x2-2x)2+2(x2-2x)+1 2、若(m-1)2 与 n2-8n+16 互为相反数，求 m,n 的值。 六、拓展提高: 在多项式 4x2+1 中， 添加一个单项式使之能用完全平方公式来分解 因式，试一下，看有几种添法？（至少写两种） 七、课后作业 1、课本 44 练习 2 题。 2、习题 46 页 A 组 2、3 题。 题选作） （32.4 因式分解复习课河南实验中学资料 - 39 -【学习目标】 1.使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法。 2.提高学生因式分解的基本运算技能。 3.能熟练使用几种因式分解方法分解多项式。 【学习重点】复习综合应用提公因式法，运用公式法分解因式。 【学习难点】利用分解因式进行计算。 【学习准备】多媒体课件 【学习方法】采用讲练结合法，以学生练习为主，教师作适当讲解。 【导学流程】 一、课前准备，复习回顾 1、你学过哪些因式分解的方法？举一个例子说明其中用到了 哪些方法？ 2、你认为分解因式与整式的乘法之间有什么关系？ 二、学生自学，探索提高: 课本 45 页。通过自学，复习回顾因式分解的各种方法，会进行综 合应用。 三、知识点展示及反馈： （一） 、因式分解的意义： 1、下列各等式中，哪些从左边到右边的变形属于因式分解？ ⑴x 2y 1 ? ? ( x ? 2 y) ； a a a⑵ ax ? ay ? 1 ? a( x ? y) ? 1 ； ⑶ x2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)( x ? 1) ； ⑷2a??2b??2?(a ? b) ．让生观察思考，互相交流讨论，口答完成．解：⑷ ． 通过本题练习，让生明确：因式分解是将“整式和”化为“整式 积”的恒等变形，它与整式乘法是互为逆变形关系． 2、检验下列因式分解是否正确： ⑴ ?a 2 ? a ? ?a(a ? 1) ；⑵ 4 p3 ? p ? p(4 p 2 ? 1) ； ⑶ 2 x2 ? xy ? y 2 ? (2 x ? y)( x ? y) ．河南实验中学资料 - 40 -让生观察思考，同桌互查，口答完成．解：⑴ ⑵错，⑶正确． 通过本题练习，让生明确：因式分解必须保证使等式成立（如⑴ 就不正确） ，且当各个因式不能继续分解时才能结束解题（如⑵还需 继续进行分解． ） （二） 、因式分解的方法： 3、下列各式变形正确的是（ A． ?a ? b ? ?(a ? b) C． (?a ? b)2 ? ?(a ? b)2 ） B． b ? a ? ?(a ? b) D． (b ? a)2 ? ?(a ? b)2让生观察思考后，师指定个别生回答．解：B． 通过本题练习，让生明确：对一个式子添了带负号的括号，也就 是对该式提取了 ?1．a 让 生 进 一 步 理 解 二 项式 的 变 号 法 则 ： (b ? a )2n? 1 ? ? ( ? b )2n? 1， (b ? a)2 n ? (a ? b)2 n ．4、 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A． x 2 ? 4 y 2 B． ?9y 2 ? x 2 C． ? x 2 ? 4 y 2）D． x ? 4 y 2让生观察思考后，自主发言回答．解：B． 精讲：通过本题练习，让生明确，如果一个多项式可以转化为a2 ? b2 的形式，那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式．5、在等式左边的括号内填上适当的代数式，使之成为完全平方式， 再在等式右边的括号内填入适当的代数式： ⑴ x2 ? ( ⑵ 16a 4 ? 24a 2 ? (2 ) ? 3 y6 ?( )2 ．)2 ．)?(生各自尝试解答后再作发言交流．河南实验中学资料 - 41 -解：⑴ x 2 ? ( ?12xy ) ? 36 y 2 ? ( x ? 6 y ) 2 ． ⑵ 16a 4 ? 24a 2 ? ( 9 ) ? ( 4x2 ? 3 ) 2 ． 精讲：通过本题练习，让生进一步明确，形如 a2 ? 2ab ? b2 的多项 式叫做完全平方式，完全平方式可以用完全平方公式a 2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2 分解因式．6、分解因式： ⑴ 6 x3 y 2 ? 3xy 3 ? 3xy 2 (2 x2 ? y) ． ⑵ ?2a2 ? 2ab ? 6a ? ?2a(a ? b ? 3) ． ⑶ 2 x2 ? 5x ? 3 ? (2x ? 1)( x ? 3) ．1? 1 ? ⑷ 16 x ? 4 x ? ? ? 4 x ? ? ． 2? 4 ?22⑸ ?2a2 ? 8b2 ? ?2(a2 ? 4b2 ) ? ?2(a ? 2b)(a ? 2b) . 或 ?2a2 ? 8b2 ? 8b2 ? 2a 2 ? 2(4b2 ? a2 ) ? 2(2b ? a)(2b ? a) . ⑹ x3 y ? 10 x2 y 2 ? 25xy3 ? xy( x2 ? 10 xy ? 25 y 2 ) ? xy( x ? 5 y)2 ． ⑺ b2 ? 4a2 ? 4a ? 1? b2 ? (4a2 ? 4a ? 1) ? b2 ? (2a ? 1)2 ? [b ? (2a ? 1)][b ? (2a ? 1)]? (b ? 2a ? 1)(b ? 2a ? 1) ．⑻ ( x ? 3)( x ? 5) ? x2 ? 9? ( x ? 3)( x ? 5) ? ( x ? 3)( x ? 3) ? ( x ? 3)[( x ? 5) ? ( x ? 3)]? ( x ? 3)(2 x ? 8) ? 2( x ? 3)( x ? 4) .各题都由生自愿上台板演， 其余生笔练完成． 然后师引导生评析、河南实验中学资料 - 42 -纠错． 在评析、纠错过程中，师应结合各题的具体情况落实所运用的有 关知识，并强调注意点． 对于⑴， 师可让生说明如何确定应提取的公因式以及提取公因式 法的一般步骤． 对于⑵，师应强调：当多项式的首项的系数为负时，通常应当提 取负因数，此时剩下的各项都要改变符号． 对于⑶， 师应让生明确对于一个无公因式且不是完全平方式的三 项式，常考虑用十字相乘法分解因式． 对于⑸，师应强调：分解因式的一般步骤是先考虑用提取公因式 法，再考虑用别的方法． 对于⑺，师应让生明确对于一个无公因式且项数超过三的多项 式， 常考虑用分组分解法分解因式． 本题的分解过程中用了整体思想． 对于⑻，师应强调：当原多项式中含有括号时，应先考虑保留括 号是否有用．另外每个因式必须分解彻底．本题的分解过程中也用了 整体思想． 最后，师可引导生归纳因式分解的一般思路步骤： 一看有无公因式，二对乘法各公式，三用十字相乘凑，四想如何 来分组．每个因式细检点，分解必须到最末． 通过本题练习，让生进一步明确因式分解的思路步骤，进一步掌 握因式分解的方法． （三） 、因式分解的作用： 7、已知 a ? b ? 2 ， ab ? ?3 ，求 a3b ? a 2b2 ? ab3 的值． 选两个生自愿上台板演，其余生笔练，完成后师引导生评析、纠 错．河南实验中学资料 - 43 -1 21 2一解：∵ a ? b ? 2 ，∴ b ? 2 ? a ． ∵ ab ? ?3 ， a(2 ? a) ? ?3 ． 0 ? a2 ? 2a ? 3 ． 0 ? (a ? 3)(a ? 1) ． ∴ ∴ ∴ ∴a ? 3 或 a ? ?1 ．∴当 a ? 3 时 b ? 2 ? 3 ? ?1 ，1 3 1 1 1 27 3 a b ? a 2b2 ? ab3 ? ? 33 ? (?1) ? 32 ? (?1)2 ? ? 3 ? (?1)3 ? ? ? 9 ? ? ?15 ? 9 ? ?6 2 2 2 2 2 2二解：∵ a ? b ? 2 ， ab ? ?3 ， ∴1 3 1 1 1 1 a b ? a 2b2 ? ab3 ? ab(a 2 ? 2ab ? b2 ) ? ab(a ? b)2 ? ? (?3) ? 22 ? ?6 2 2 2 2 2师可引导生对不同的解法作出比较， 体会因式分解在求代数的值 方面的妙用． 通过本题练习，让生进一步明确：利用因式分解有时可使求代 数的值更简便． 四、小结： 先由生畅谈本节课的收获，师作适当引导或补充。 五、达标检测： 1、辨析题 下列哪些式子的变形是因式分解？ （1）x2C4y2=（x+2y）（xC2y） （2）x（3x+2y）=3x2+2xy （3）4m2C6mn+9n2 =2m（2mC3n）+9n2 （4）m2+6mn+9n2=（m+3n）2 2、把下列各式因式分解： （1）x2+14x+49 （2）7x2C63 （3）y C9（x+y）2 2（4）（x+y） C14（x+y）+492（5）16C（2a+3b）2 （6）a4C8a2b2+16b4 3、在一个半径为 R 的圆形钢板上，冲去半径为 r 的四个小圆．河南实验中学资料 - 44 -（1）用代数式表示剩余部分的面积； （2）用简便方法计算：当 R=7.5，r=1.25 时，剩余部分的面积． 六、拓展提升： 在日常生活中如取款、 上网等都需要密码， 有一种用 “因式分解” 4 法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式 x Cy4，因式分解 的结果是（xCy）（x+y）（x2+y2），若取 x=9，y=9 时，则各个因式 的值是 （xCy） （x+y） =0， =18， 2+y2） （x =162， 于是就可以把 “018162” 3 2 作为一个六位数的密码。对于多项式 4x Cxy ，取 x=10，y=10 时，上 述方法产生的密码可以是 ． 七、作业： 1、课本 46 页练习 1、2 题。 2、课本 46 页习题 B 组 1、2 题。（2 题选作）第二章学情检测（总分：120 分）一、相信你的选择（每题 3 分，共 30 分） 1、下列各式中可以运用平方差公式计算的是（ ） A.（-a+4c） （a-4c） B.（x-2y） （2x+y） C.（-3a-1）(1-3a) 1 1 D.（- x-y） （ x+y） 2 2 2、若 4x2+12xy+m 是一个完全平方式，则 m 的值为（ ） 2 2 2 2 A..y B..3y C．9y D．36y 3、计算（a+b） （-a-b）的结果是（ ） 2 2 A．a -b B．-a2-b2 C．a2-2ab+b2 D．-a2-2ab-b2 4、设（3m+2n）2=（3m-2n）2+P，则 P 的值是（ ）河南实验中学资料 - 45 -A．12mn B．24mn C．6mn D．48mn 2 2 5、若 x -kxy+9y 是一个完全平方式，则 k 值为（ ） A．3 B．6 C．±6 D．±81 2 2 6、已知 a +b =25，且 ab=12，则 a+b 的值是（ ） A． 37 B．± 37 C．7 D．±77、从边长为 a 的正方形中去掉一个边长为 b 的小正方形，如图，然后 将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是 （ ） 2 A． a ? b 2 ? (a ? b)( a ? b) C． (a ? b)2 ? a 2 ? 2ab ? b2 8、下列分解因式正确的是（ A. x 3 ? x ? x( x 2 ? 1) B． (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 D． a 2 ? ab ? a(a ? b) ） B. m 2 ? m ? 6 ? (m ? 3)(m ? 2) D. x 2 ? y 2 ? ( x ? y)( x ? y) D． 5 )C. (a ? 4)( a ? 4) ? a 2 ? 16 9、若 a 为整数，则 a 2 ? a 一定能被（ A． 2 B． 3 A 、正数 B、负数 C 、零）整除 C． 4 2 2 10、无论 x,y 取何值，x +y -2x+12y+40 的值都是( D、非负数 二、试试你的身手（每小题 4 分，共 20 分）1 1 11、计算（ a+3b）2-（ a-3b）2=________________. 3 312、分解因式： 4a 2 ? 9b 2 ＝________________. 13 、 如 果 （ 2a ＋ 2b ＋ 1 ） (2a ＋ 2b － 1)=63 ， 那 么 a ＋ b 的 值 为 ． 2 13、多项式 4x +1 加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，? 请你写出符合条件的这个单项式是___________． 15、若 x2+4x-4 的值为 0，则 3x2+12x-5 的值为___________. 三、挑战你的技能（共 70 分）河南实验中学资料 - 46 -16．(24 分)计算： （1） （a1 2 1 1 ） （a2+ ）2（a+ ）2 2 4 21 1 （2） 100 ? 99 2 2（3） （3a-b+c） （3a+b-c） ；（4） （a+b）2（a2-2ab+b2）17．分解因式(18 分) ①ax 2 ? 16ay 2② ? 2a3 ? 12a 2 ? 18a③ a 2 ? 2ab ? b2 ? 1河南实验中学资料- 47 -18. (8 分)把 20cm 长的一根铁丝分成两段， 将每一段围成一个正方形， 如果这两个正方形的面积之差是 5cm2，求这两段铁丝的长．19． 分）探索： （8( x ? 1)( x ? 1 ? x 2 ? 1 ）( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) ? x 3 ? 1( x ? 1)( x 3 ? x 2 ? x ? 1) ? x 4 ? 1 ( x ? 1)( x 4 ? x 3 ? x 2 ? x ? 1) ? x 5 ? 1．．． ．．． ①试求 2 6 ? 25 ? 2 4 ? 23 ? 2 2 ? 2 ? 1 的值②判断 2 2008 ? 2 2007 ? 2 2006 ? ? ? 2 2 ? 2 ? 1的值的个位数是几？20、 分）已知 m+n=10,mn=24,求（1）m2+n2； （6 （2） （m-n）2 的值．21 、（ 6 分 ） 观 察 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 ?? （1）根据以上规律，猜测 1+3+5+7+?+（2n-1）=__________． （2）用文字语言叙述你所发现的规律：___________．河南实验中学资料- 48 -附答案： 2.1 自主学习一： 1、 （1）t2-s2(2)9m2-4n2(3)1-n2(4)75 2、 （2）可用平方差公式 （1） 自主学习二: a) B b) （1）9x2-16（2）4b2-9a2（3）16x2-9y2(4)a 知识应用： 1、(1)? 应为 x2-4 (2)? 应为 4-9a22、 （1）a2-9b2(2)4a2-9(3)3x2-5x-10(4)-81河南实验中学资料 - 49 -达标测评： 1、4x2-9y2 2、25-4m2 3、9975 4、a2b2-1 拓展提高：216-1 2.2.1 达标检测： 1、D 自主学习二： 达标检测： 1、 （1）?（2）?（3）? 2、 （1）16m2+n2+8mn (2)y2+0.25-y (3)a2+b2+2ab (4)b2+a2-2ab 3、 （1）10404 （2）9801 拓展应用： （1）4a2+b2+c2+4ab+4ac+2bc (2)a=9 b=-3 2.3 拓展提高： 3200-4 ? 3199+10 ? （32-4?3+10） = 199 198 所以 3 -4 ? 3 +10 ? 3 是 7 的倍数。 2.4.1 达标检测： （1）(13x-y)(-x+13y) (2)(x-1)(1-b)(1+b) (3)x(x+1)(x2+x+2) (4)-xy 拓展提高： （1）(2n+1)2-(2n-1)2=8n （2）8032河南实验中学资料 - 50 -第二章 乘法公式与因式分解学情检测答案 一、1、C 2、C 3、D 4、B 5、C 6、D 7、A 8、B 9、A 10、A 二、11、4ab 12、(2a+3b)(2a-3b) 13、+4,-4 14、4x 或-4x 或 4x4 15、7 1 1 8 三、16、 （1）a + ― - ― a4 256 8 3 （2）9999 ― (3)a2-b2-c2+2bc 4 4 4 (4) a +b -2a2b2 17、 （1） a(x+4y)(x-4y) (2) -2a(a-3)2 (3) (a-b-1)(a-b+1) 18、81 79 ―cm， ―cm 8 8 7 19、(1)2 -1 (2)22009-1 个位数字是 1 20、 （1）52 （2）4 21、 （1）n2 (2)从 1 开始的连续几个奇数的和等于这些奇数的个数的平方。第三章 分式3.1 分式的基本性质（1）导学案 学习目标：1. 能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式 的模型思想。 2.了解分式的概念，明确分式与整式的区别。 3.学生掌握分式有意义、无意义和值为零的识别方法，并能熟练 解决有关问题。 教学重点、难点：正确理解分式的意义，分式是否有意义的条件 及分式的值为零的条件。 导学流程：河南实验中学资料 - 51 -一、情景导航1、2004 年 4 月全国铁路进行了第 5 次提速，如果列车原来行驶的平 均速度为 a 千米／时，自 2004 年 4 月起提速 20 千米／时。 请回答下列问题（用代数式表示） 。 （1）火车原来行驶的平均速度为___________千米／时，提速后 火车行驶的平均速度为______________千米／时。 (2)已知甲乙两地相距 l 千米， 提速后这列火车从甲地到乙地共行 驶的时间是___________时，原来所用的时间是__________时. (3)火车提速后，从甲地驶往乙地的时间缩短了________时。2、 青藏铁路是世界上海拔最高的高原铁路，据新华网 （）2003 年 12 月 18 日报道，铁路建设者已经在 海拔 4905 米的风火山上顺利修建了隧道，并铺设了铁轨，风火山隧 道全长 1338 米，施工时如果甲、乙两个工程队分别从隧道两端同时 掘进，甲队每天掘进 a 米，乙队每天掘进 b 米。 请回答下列问题（用代数式表示） 。 （1） 、甲、乙两队每天共掘进________米. （2） 、经过______天可以将隧道打通。二、合作探究（一）1、 （1）以上两个问题中出现的代数式中整式有______________; 不是整式的是__________________________. （2） 这几个不是整式的代数式与整式有什么区别？他们有什么共同 特点？与同学交流自己的发现。 2、请你填一填： （1）如果 A、B 都是整式可以把 A÷B 表示成 式，当 B 中含有___________ 时，把A 的形 BA 叫做分式，其中 A 叫做分式的 B ____________，B 叫做分式的__________________。 （2）试举出三个分式的例子_________ 、_______________ 、 _______________。合作探究（二）小组讨论交流： （1）对于一个分式，其分母的取值是否可以为 0？为什么？河南实验中学资料 - 52 -（2）对于一个分式，其分子的值是否可以为 0？若可以，应满足什么 条件？小小展示台：A 是分式的条件是： B A B、 有意义的条件是： B A C、 的值为 0 的条件是： BA、3、自学例 1、例 2.要注意解题步骤。三、当堂训练1、天泉村修建一条长 480 米的渠道，原计划每天挖 x 米，开工后 每天比原计划少挖 20 米，完成这项任务实际用了多少天？ 1 2 b 5 2、填空：在代数式 x 2 － a ； b ＋ ； ； 2 3 3 x?3 x?3 1 x ； ； 中______________________________是整 5 2 2b 式，________________________是分式。 3、当 x 取什么值时，下列分式有意义？当 x 取什么值时，下列分 式的值是 0？ x?6 2 x ? 36 （1） （2） 2x ? 6 x 3、当 x =-4， y =-2 时，求分式x ? 3y 的值。 y?x四、谈谈自己的收获 这节课我学到了（小组内交流） ：五、达标检测：1、下列代数式 分式有（ ）- 53 -b 1 ； ab a 3；1 ； 4? x2x ? 1?；1 2 ― 中 2 t河南实验中学资料A、1 个 B、2 个 2、下列说法正确的是（ ） A、如果 A,B 都是整式，那么 分式的值就为零C、3 个D、4 个A 就是分式 B、只要分式的分子为零，则 B 2x x不是分式，而是整C、只要分式的分母为零，则分式必无意义 D、 式 3、要使分式 A、 1 4、要使分式 式x2 ?1 有意义，则 x 的取值范围应是（ x2 ?1B、―1 C、 ? 1 D、任意实数）2x ? 4 的值为零， x 的值应为_________________________.。 x ?1x－1 无意义， x 应满足的条件是______________；要使分 2 x－3六、能力提高1、当 x 取什么值时，分式x ?2 ( x ? 2)( x ? 3)的值为零？2、轮船在静水中的航行速度是 a 千米/时，水的流速是 b 千米/时，轮船逆 水航 S 千米需要多长时间？如果 a =20，b =2，c =120，计算轮船逆水航行需要 的时间。3.1 分式的基本性质（2） 学习目标：1、理解分式的基本性质。 2、会用分式的基本性质进行简单恒等变形。 3、比较分数与分式的基本性质，体会类比思想方法。河南实验中学资料 - 54 -教学重点：分式的基本性质及简单运用是本节重点。 教学难点：利用分式的基本性质进行恒等变形。 导学流程： 一、学习与探究 1 2 b 5 x?3 （一） 知识回顾： 下列代数式 x 2 － a ； + ； 1、 ； ； b 2 3 3 x?3 5 1 x ； 中 整 式 有 __________________________ 分 式 有 2 2b _______________________. 2、当 x =_________时，分式x2 ? 4 无意义；当 x =____________时分 x?2式的值为零；当 x =_________时分式有意义。(同桌交流自己的结果) 探究一： 1、观察下列等式的右边是怎样从左边得到的？你能用分数的基本性 质解释吗? 3 1 （ 1 ） 等 式 = 的 右 边 是 怎 样 从 左 边 得 到 的 ？ 6 2 （ ） ?6 2 （ 2 ） 等 式 = 的 右 边 是 怎 样 从 左 边 得 到 的 ？ 5 ? 15 （ ） 1 2、若 a 、 x 、 y 都是不为 0 的数，将 的分子与分母都乘以 y ，得到 xy y 1 ，则分式 与 相等吗？ xy xy x将分式2x 2 2x 2 的分子与分母都除以 x ， 得到 ， 分式 与 相等吗？ ax a ax a结论是： ___________________________________________________________ 思考：类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？思考 后，小组内交流自己的观点。 小小展示台：分式的分子与分母都 ____________________ 同一个 ______________________的整式， 分式的值_________,这个性质叫做 A A?? ? A A?? ? 分式的基本性质。用式子表示是 = ； = （其中 M ．．．．．．． B B?? ? B B ?? ?河南实验中学资料 - 55 -是____________的整式） 。 对应训练一：看谁学得好 下列各式相等吗？为什么？ 2 2a （1 ） 与 2 3a 3a（2）a ? ab b ? 1 与 ac c探究二： 1、下列变换中，括号内填入的是什么？ （1）x2 xy=??xy 2观察等式的分母从左边到右边乘以 y ，由分式的基本性质可知，分子也乘以 y ，所以空内应填 x 2 y 。 （2） 边的？ 小小展示台：解答这类分母变换，求分子怎样变换的题的一般方法是 _____________________________________________.。 （3）?? a?b = ab ab?a ? b?观察等式的分母是怎样由左边变换到右??h=?h ?a观察等式的分子是怎样由右边变换到左边的？（4）12 a 36 a = 7x ? ?观察等式的分子是怎样由左边变换到右边的？与同学讨论后归纳总结：解答这类分子变换，求分母怎样变换的题的 一般方法是 _____________________________________________.。 （二）自学 P54 例 4 自学要求：1、弄清符号是怎样变化的及变化的理论根据。 2、自学后归纳总结： （1）当分子、分母都含有负号时，分子、分母 应同________________,使分式的值不变，且分子分母都不含负 号。 （1） 当分子或分母含有负号时，利用分式的基本性质及有关法则， 把分子或分母的符号变为___________的符号。 （与同学交流自河南实验中学资料 - 56 -己的发现） 对应训练二： 不改变分式的值， 使下列分式的分子与分母都不含 “－” 号。 （口答） （1）a ? 2b（2）? 4x 2 ? 9y（3 ）?a?b b二、当堂训练 1、下面各组中的分式相等吗？为什么？ 2m ? 2n a ? ab b ? 1 m?n （1） 与 （2） 与 2a ac c a a ?a ?a a （3） 与 （4） 与? b ?b b b 2、下面的式子正确吗？为什么？ 2x 6m ? 12 n m ? 2n x （1） = （2） = x ? 1 2x ? 1 8m ? 12 n 2m ? 3n 3、在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立。 （1）16ax 2??=a x（2）x ?1 1 = x2 ?1 ? ?（3）2p ? ? = 10 q 5aq四、交流提高：比一比谁的收获大。 我学到了： 五、当堂检测 1 、 分 式 的 基 本 性 质 是 ： 分 式 的 分 式 的 分 母 都 _________________________,分式的值不变。 2x ? y 2、 如果把分式 中的正数 x, y 都扩大到原来的 2 倍， 那么分式的 3x 值（ ） A、不变 B、扩大到原来的 2 倍 1 1 C、缩小到原来的 D、缩小到原来的 2 4 3、下列各式变形正确的有 （ ） ?m?n m?n ?m?n m?n ?m?n m?n （1） （2） （3） ? ?? ? m m m m ?m m A、 0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 4、不改变分式的值，将河南实验中学资料0.1x ? 0.3 y 的分子、分母中各项的系数都化 0.5 x ? 0.02 y- 57 -为整数为___________________.。 六、拓展提升 不改变分式的值，使 正。? a2 ? a ?1 的分子、分母的最高次项的符号为 ? 4 ? a ? 3a 23.2 分式的约分 学习目标：1、理解分式的约分和最简分式的意义，明确分式约分的 理论依据。 2、能够熟练掌握约分的方法。 3、通过与分数的约分作比较，进一步体会类比的思想方 法。 教学重点难点：掌握约分的方法及最简分式的意义。 导学过程： 一、知识回顾: 在下面的括号内填上适当的整式使等式成立： （1）x4 ? ? = x2 y y（2）b( a ? b) a ? b = ?? ab二、合作探究 探究一 1、把下列分数化简 8 15 =______________-(2) =____________ 12 20 这种化简的方法是分数的约分，分数约分的关键是确定分子、分母的 ________________________。 2、依照分数约分的方法，化简下列分式： （ 1 ）2b 2a=__________(2)a2 2a 3=___________(3)xy =___________ 4y2这样做的依据是____________________________________。河南实验中学资料 - 58 -思考：请类比分数的约分试着说出什么是分式的约分，分式约分的依 据是什么？（与同学交流自己的发现） 小小展示台：分式的约分是根据_____________________________， 把一个分式的分子、分母中的____________约去。 探究二（试一试，你准行！ ） 导学例 12x 2 y （1） 分子、分母的最大公约数是_______， x 2 y 与 axy 2 的公因 2 4axy式是___________,因此分子、分母的公因式是____________。 所以2x 2 y 2 xy ? x x = = 2 2 xy ? 2ay 2 ay 4axy你能归纳分子分母是单项式时约分的步骤吗？ 小小展示台：分子分母都是单项式的分式约分时，先约简系数，再约 去相同字幕的最低次幂。 （2）a 2 b ? ab2 分子 a 2 b ? ab2 分解因式为__________________； a 2 ? ab分母 a 2 ? ab 分解因式为_________________； 分子分母的公因式为_____________________。 所以a 2b ? ab2 a 2 ? ab=ab?a ? b ? a?a ? b ?a ?a ? b ? ? b a ?a ? b ?==b 请总结规律：分式的分子分母是多项式约分时，先分解因式，再找 出分子分母的___________________，最后约去________________。 （阅读） ：在这节课我们得到的分式：河南实验中学资料 - 59 -x x 1 ， ， ，它们的分 2a 4 y 2ay 2子分母，除以 1 以外都没有其他的公因式，像这样的分式叫做最简分 式。 对应训练一： 1、下面的约分正确的吗？如果不正确请说明理由。 （1）x?a a = x?b b（2）h2 ? k h ? k = h ?1 h ?1（3）x 6x y2 2=1 6 xy 22、下列分式中最简分式是（a?b A、 b?ax2 ? y2 B、 x? y）x2 ? 4 C、 x?2D、2?a a ? 4a ? 42三、自学 P57 例 2自学要求：1、注意解题步骤。 2、 不明白的问题小组内讨论解决。对应训练二：做下列整式的除法。 （1） 5ab 2 ? ?? 15abc? （2） ?6 x 3 y ? 4 x 2 y 2 ? ? ?? 2 x 2 y ?四、课堂小结：小组内交流看谁的收获多。五、达标检测： 1、下面约分正确的是（ （1）3b 2 =3 b2）am ? 2 =0 2 ? am（2）（3）2a ? 3b 1 ? 3b = 6a 3b a?b 6 a?b ， ， ， 2 中，最简分式有 2a a?b 2a ? 6 a ? b2 ___________________________。 3、约分：2、在分式（1）? 112 x 2 y 2 ? 40 axy5（2）2ab ? b 2 4a 2 ? b 2 ? 4ab（3）m 2 ? 3m 9 ? m2河南实验中学资料- 60 -能力提高： 请判断下列约分正确吗？ （1）?x ? 1?2 = 1 2 x x?1 ? x ?(2)?1 ? x ??1 ? x ? =1 ? x ?1 ? x ?(3)2?x ? 1? 3?1 ? x ?33?2 3归纳总结： x ? 1 = ? ?1 ? x ??x ? 1?2 = ?1 ? x ?2?x ? 1?3= D 1? x??3练习约分： （1）2x ? 4 x ? x?2 4 ? x2(2)m 2 ? 2m ? 1 m ? 4 ? 2 4?m m ?13.3 分式的乘法与除法学习目标：1、使学生理解并掌握分式的乘除法则运用法则进行运算。 2、经历探索分式乘除法运算法则，进一步渗透类比转化 思想。 教学重点：掌握分式的乘除法运算。 教学难点：分子、分母为多项式的分式乘除法运算。 导学过程 一、合作探究： 2 4 2? 4 8 5 2 5 ? 2 10 1、观察下列运算： ? ? ? ? ? ? 3 5 3 ? 5 15 7 9 7 ? 9 63 2 4 2 5 10 5 2 5 9 5 ? 9 45 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 3 4 12 7 9 7 2 7 ? 2 14 请回想：分数的乘法法则是_______________________________； 分数的除法法则是_____________________________________。 2、类比分数乘除法的运算法则，计算下列各式：河南实验中学资料- 61 -b d （1） ? a c（2）b d ? a c请猜想：分数的乘、除法则和分式的乘法、除法法则类似，你能说出 分式的乘法与除法法则吗？（小组内讨论） 小小展示台： 1、两个分式相乘，把分子相乘的__________作为积的_________，把 分母相乘的_________作为积的__________。 用符号表示：a c ? ? b d?? ??2、两个分式相除，把除式的分子和分母__________位置后再与被除 式__________________。 用符号表示; a c ? =_________=__________ b d 快乐体验： 1、请自己设计两个分式。 2、尝试求你所设计的两个分式的积和商。 二、例题讲解 （一）例 1、计算 （1） 解： （1）2mn 6m ? 3m 2 5n(2)4y 3x?16 y 2 ? 9x 22mn 6m ? 2 5n 3m 2mn ? 6m = （分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分 3m 2 ? 5n母） =4n （约分） 5（2）4 y 16 y 2 ? 3x ? 9 x 2请说出每一步的依据=河南实验中学资料4 y ? 9x 2 ? ( 3x 16 y 2- 62 -)=-4 y ? 9x 2 ( 3 x ? 16 y 2)=-3x 4y()对应训练一： （开心练习） m n 计算 ： （1） ? n m(2)4 3 ? x xa2 a (3) 2 ? 2 b b(4)a ?1 b ? a a ?1（二）自学例 2.计算：a ?1 a （1） ? 2 a ?1 a ?1a 2 ? 4b 2 a ? 2b （2） ? 3ab 2a（提示：在进行分式的乘法运算时，如果分子与分母是多项式，应当 先进行因式分解，再按照分式的乘法运算） ．．．．．．． 自学要求：1、自己试着写出解题过程。 2、说出每一步的依据。对应训练二：2a ? 4 a ? 2 计算： （1） ? x 2xx2 ?1 2x (2) ? x x ?13、有疑难问题小组内讨论解决。 三、当堂训练河南实验中学资料 - 63 -1、计算： （1）8x 3 y ? 9 y 2x2（2）3bc ? 2ab ? 5a 2 3c 2(3)(-4ab) ?2b ax(4)2 x ? 3x ? 5y 4y2x ? 4 x 2、 （1） ? x?2 4 ? x2（2）a 2 ? 4b 2 2b ? a ? 3ab 2a四、能力提高 1、阅读（n n n n n ? n ? n n3 ）3= ? ? = = m m m m m ? m ? m m3kn n ? n ? ? ? n nk ? n ? n n = k (k 为正整数) ? ? = ? ....... = m ? ? m m ? m ? ????? m ? m ? ? ? m mk以上两式是分式的乘方运算，仔细观察所得的结果，试总结出分式的 乘方法则：______________________________________________. 2、计算 （1）? y ? ? ? ? ? 2x ?2? ? 2a ? (2) ? 2 ? ? c ?33.4 分式的通分 学习目标：1、理解通分和最简公分母的意义。河南实验中学资料 - 64 -2、会将几个分母不同的分式通分。 教学重点：确定最简公分母。 教学难点：分母是多项式的分式通分。 学习与探究： 一、知识回顾 1、约分（1）? 7x3 y 2 21x 2 y 4（2）a2 ? 4 ab ? 2b想一想上面的两道题是怎样进行约分的，约分的依据是 _________________________