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& 2016届高三数学一轮阶段性测试题6《数列》（含解析）新人教B版
2016届高三数学一轮阶段性测试题6《数列》（含解析）新人教B版
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资料概述与简介
阶段性测试题六(数　列)
本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第卷(选择题　共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2014·浙江台州中学期中)公差不为0的等差数列{an}的前21项的和等于前8项的和．若a8＋ak＝0，则k＝(　　)
A．20　　 B．21　　　　C．22　　 D．23
[解析]　由条件知S21＝S8，a9＋a10＋…＋a21＝0，
a15＝0，a8＋ak＝2a15＝0，k＝22.
2．(文)(2014·抚顺市六校联合体期中)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9的值等于(　　)
A．54　　 B．45　　　　C．36　　 D．27
[解析]　2a8＝a5＋a11,2a8＝6＋a11，a5＝6，
S9＝9a5＝54.
(理)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，a2＝1，前6项的方差为，则a3S3的值为(　　)
A．－9　　 B．3　　 　　C．±9　　 D．9
[解析]　数列{an}的前6项为1－d,1,1＋d,1＋2d,1＋3d,1＋4d，＝1＋d，
由条件知，S2＝[(1－d－)2＋(1－)2＋(1＋d－)2＋(1＋2d－)2＋(1＋3d－)2＋(1＋4d－)2]
＝d2＝，d2＝4，d＝±2，
a2＝1，当d＝2时，a1＝－1，a3＝3，S3＝3，a3S3＝9，
当d＝－2时，a1＝3，a3＝－1，S3＝3，a3S3＝9，故选D.
3．(2015·大连市二十中期中)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)
A．31 B．32　　C．63 D．64
[解析]　由等比数列的性质知，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，
(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，
4．(2015·江西南昌市二中月考)已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0)，则数列{an}(　　)
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或者是等差数列，或者是等比数列
D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
[解析]　当a＝1时数列{an}为等差数列，当a为其他不等于0和1的值时，{an}为等比数列．
5．(文)(2015·江西三县联考)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，nN*，则a101的值为(　　)
A．49　 　 　 B．50　 　 　　　C．51　 　 　 D．52
[解析]　an＋1－an＝，{an}是等差数列，
an＝2＋(n－1)＝(n＋3)．
(理)(2015·遵义航天中学二模)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(nN*)，则该数列的通项公式为(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
[解析]　＝＋，数列{}是等差数列，
a1＝1，a2＝，＝n，an＝，故选A.
6．(2015·山师大附中月考)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数为f (x)＝2x＋1，则数列{}(nN*)的前n项和是(　　)
[解析]　f (x)＝mxm－1＋a，a＝1，m＝2，f(x)＝x2＋x，
＝＝－，Sn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝.
7．(文)(2015·成都市树德中学期中)已知等差数列{an}的公差d<0，若a4·a6＝24，a2＋a8＝10，则该数列的前n项和Sn的最大值为(　　)
A．50 B．40　　C．45 D．35
[解析]　a4＋a6＝a2＋a8＝10，a4·a6＝24，d0，a1＝1.
(2)a＋an＝2Sn，
∴a＋an＋1＝2Sn＋1，
②－得，(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0，
an>0，an＋1＋an>0，
an＋1－an＝1，
an＝1＋1×(n－1)＝n.
n＝1时b1＝1<符合；n≥2时，
<＝＝2(－)，
<1＋2(－＋…＋－)<1＋＝.
Tn＝b1＋b2＋…＋bn<.
(理)(2015·深圳五校联考)已知数列{an}满足a1＝，an＝2－(n≥2)，Sn是数列{bn}的前n项和，且有＝1＋bn.
(1)证明：数列{}为等差数列；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)设cn＝，记数列{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn<1.
[解析]　(1)证明：an＝(n≥2)，
an－1＝－1＝，
＝＝＝＋1(n≥2)，
－＝1(n≥2)，
数列{}是以＝2为首项，1为公差的等差数列．
(2)当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(2＋bn)－(2＋bn－1)＝bn－bn－1，
即＝(n≥2)，
×××…×＝×××…×，＝n·2n－1，
b1＝2，bn＝n·2n(n≥2)．
当n＝1时，b1＝S1＝2，bn＝n·2n.
(3)由(1)知：＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
an－1＝，an＝.
cn＝＝＝－
Tn＝i＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－<1.
19．(本小题满分12分)(2014·北京朝阳区期中)如果项数均为n(n≥2，nN*)的两个数列{an}，{bn}满足ak－bk＝k(k＝1,2，…，n)，且集合{a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn}＝{1,2,3，…，2n}，则称数列{an}，{bn}是一对“n项相关数列”．
(1)设{an}，{bn}是一对“4项相关数列”，求a1＋a2＋a3＋a4和b1＋b2＋b3＋b4的值，并写出一对“4项相关数列”{an}，{bn}；
(2)是否存在“15项相关数列”{an}，{bn}？若存在，试写出一对{an}，{bn}；若不存在，请说明理由；
(3)对于确定的n，若存在“n项相关数列”，试证明符合条件的“n项相关数列”有偶数对．
[解析]　(1)依题意，a1－b1＝1，a2－b2＝2，a3－b3＝3，a4－b4＝4，相加得，
a1＋a2＋a3＋a4－(b1＋b2＋b3＋b4)＝10，
又a1＋a2＋a3＋a4＋b1＋b2＋b3＋b4＝36，
则a1＋a2＋a3＋a4＝23，b1＋b2＋b3＋b4＝13.
“4项相关数列”{an}：8,4,6,5；{bn}：7,2,3,1(不唯一)．
(2)不存在．
假设存在“15项相关数列”{an}，{bn}，
则a1－b1＝1，a2－b2＝2，…，a15－b15＝15，各式相加得，
(a1＋a2＋…＋a15)－(b1＋b2＋…＋b15)＝120，
又由已知a1＋a2＋…＋a15＋b1＋b2＋…＋b15＝1＋2＋…＋30＝465，
两式相加得，2(a1＋a2＋…＋a15)＝585，显然不可能，所以假设不成立，
从而不存在“15项相关数列”{an}，{bn}．
(3)对于确定的n，任取一对“n项相关数列”{an}，{bn}，
令ck＝2n＋1－bk，dk＝2n＋1－ak(k＝1,2，…，n)，
先证{cn}，{dn}也必为“n项相关数列”．
因为ck－dk＝(2n＋1－bk)－(2n＋1－ak)＝ak－bk＝k(k＝1,2，…，n)，
又因为{a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn}＝{1,2,3,4，…，2n}，很显然有：
{(2n＋1)－a1，(2n＋1)－a2，…，(2n＋1)－an，(2n＋1)－b1，(2n＋1)－b2，…，(2n＋1)－bn|＝{1,2,3，…，2n}，
所以{cn}，{dn}也必为“n项相关数列”．
再证数列{cn}与{an}是不同的数列．
假设{cn}与{an}相同，则{cn}的第二项c2＝2n＋1－b2＝a2，
又a2－b2＝2，则2b2＝2n－1，即b2＝，显然矛盾．
从而，符合条件的“n项相关数列”有偶数对．
20．(本小题满分12分)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)现在市面上有普通型汽车(以汽油为燃料)和电动型汽车两种．某品牌普通型汽车车价为12万元，第一年汽油的消费为6000元，随着汽油价格的不断上升，汽油的消费每年以20%的速度增长．其他费用(保险及维修费用等)第一年为5000元，以后每年递增2000元．而电动汽车由于节能环保，越来越受到社会认可．某品牌电动车在某市上市，车价为25万元，购买时一次性享受国家补贴价6万元和该市市政府补贴价4万元．电动汽车动力不靠燃油，而靠电池．电动车使用的普通锂电池平均使用寿命大约两年(也即两年需更换电池一次)，电池价格为1万元，电动汽车的其他费用每年约为5000元．
(1)求使用n年，普通型汽车的总耗资费Sn(万元)的表达式(总耗资费＝车价＋汽油费＋其他费用)；
(2)比较两种汽车各使用10年的总耗资费用．
(参考数据：(1.24≈2.1　1.25≈2.5　1.29≈5.2　1.210≈6.2)
[解析]　(1)依题意，普通型每年的汽油费用为一个首项为0.6万元，公比为1.2的等比数列，
使用n年，汽油费用共计
0．6(1＋1.2＋1.22＋…＋1.2n－1)＝
＝3(1.2n－1)，
其他费用为一个首项为0.5万元，公差为0.2万元的等差数列，故使用n年其他费用共计0.5＋(0.5＋0.2)＋…＋[0.5＋0.2(n－1)]＝0.5n＋×0.2＝0.1n2＋0.4n，
Sn＝12＋3×1.2n－3＋0.1n2＋0.4n＝3×1.2n＋0.1n2＋0.4n＋9(万元)．
(2)由(1)知Sn＝3×1.2n＋0.1n2＋0.4n＋9，
S10＝3×1.210＋0.1×102＋0.4×10＋9≈3×6.2＋10＋13＝41.6(万元)，
又设T10为电动型汽车使用10年的总耗资费用，
则T10＝25－6－4＋×1＋0.5×10＝25(万元)，
41．6－25＝16.6(万元)，
使用10年，普通汽车比电动型汽车多花费16.6万元．
答：(1)使用n年，普通型汽车的总耗资费用Sn＝3×1.2n＋0.1n2＋0.4n＋9，
(2)使用10年，普通型汽车比电动型汽车多花费16.6万元．
21．(本小题满分12分)(文)(2015·安徽示范高中联考)数列{an}是公比为的等比数列，且1－a2是a1与1＋a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1＝8，其前n项和Tn满足Tn＝nλ·bn＋1(λ为常数，且λ≠1)．
(1)求数列{an}的通项公式及λ的值；
(2)比较＋＋＋…＋与Sn的大小．
[解析]　(1)由题意得，(1－a2)2＝a1(1＋a3)，
(1－a1q)2＝a1(1＋a1q2)，
q＝，a1＝，an＝()n.
∴λ＝，d＝8，bn＝8n，
Tn＝4n(n＋1)．
(2)令Cn＝＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)，
Sn＝＝1－()n，
Sn＝[1－()n]，≤Sn<，
(1)求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn；
(2)设Pn＝b1＋b4＋b7＋…＋b3n－2，Qn＝b10＋b12＋b14＋…＋b2n＋8，其中nN＋，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明．
[解析]　(1)设{an}的公比为q，由a3＝a1q2得，q2＝＝9，q＝±3.
当q＝－3时，a1＋a2＋a3＝2－6＋18＝1420矛盾．
当q＝3时，a1＋a2＋a3＝2＋6＋18＝26>20，符合题意．
设{bn}的公差为d，由b1＋b2＋b3＋b4＝26得，4b1＋d＝26，
又b1＝2，d＝3，bn＝3n－1.
Sn＝＝n2＋n.
(2)b1、b4、b7，…，b3n－2组成公差为3d的等差数列，
Pn＝nb1＋·3d＝n2－n.
b10，b12，b14，b2n＋8组成公差为2d的等差数列，
Qn＝nb10＋·2d＝3n2＋26n，
Pn－Qn＝n(n－19)，
故当n≥20时，Pn>Qn；当n＝19时，Pn＝Qn；当n≤18时，Pn0)，且a3是6a1与a2的等差中项．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)当n＝1时，S1＝a(S1－a1＋1)，a1＝a.
当n≥2时，Sn＝a(Sn－an＋1)
Sn－1＝a(Sn－1－an－1＋1)
①－得，an＝a×an－1，
故数列{an}是首项为a1＝a，公比为a的等比数列，
an＝a×an－1＝an，
故a2＝a2，a3＝a3，
由a3是6a1与a2的等差中项可得2a3＝6a1＋a2，即2a3＝6a＋a2，
因为a>0，所以2a2－a－6＝0，即(2a＋3)(a－2)＝0，
解得a＝2或a＝－(舍去)．
(2)把an＝2n代入bn＝anlog2an，得bn＝2nlog22n＝n·2n，
Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
∴2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，
－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
Tn＝－2n＋1＋2＋n·2n＋1＝(n－1)·2n＋1＋2.
(理)(2015·山东烟台期中)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝2Sn＋2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}的各项均为正数，且bn是与的等比中项，求bn的前n项和Tn.
[解析]　(1)当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋2得an＝2Sn－1＋2，两式相减得，an＋1－an＝2an，＝3(n≥2)．
当n＝1时，a2＝2S1＋2＝2a1＋2＝6，
＝3，an＝2×3n－1.
(2)由条件知b＝·＝，
bn>0，bn＝.
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减得，Tn＝＋＋＋…＋－＝(1－)－＝－.
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已知数列an=-n2+12n-7,求数列最大项的方法
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an=-n^2+12n-7=-(n^2-12n+36)+29=-(n-6)^2+29显然,当n=6时,an取得最大值29
思路呢？普及一下一般方法吧
先暂时将n视作连续变量x，显然f(x)=-x^2+12x-7的图像是开口向下的抛物线，其最大值在顶点处取得。因为n只能取正整数，如果求出顶点的横坐标x0恰好是正整数，则问题已经解决。否则需要在上述基础上作修正。一般说来，如果x0>1，首先找出满足不等式n<x0<n+1的整数n，为叙述方便记m=n+1，则最大值在m、n中与x0距离较小的一个数上取得；如果x0≤1，则最大值在n=1处取得。
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例2：（1）设不等式2（log12x）2+9log12x+9≤0时，求f(x)=log2(x2)&#8226;(log2x8)的最大值和最小值．（2）设f（x）=|lgx|，a、b是满足f(a)=f(b)=2f(a+b2)的实数，其中0＜a＜b①求证：a＜1＜b；②求证：2＜4b-b2＜3．
分析：（1）、由不等式2（log12x）2+9log12x+9≤0，可知-3≤log12x≤-32，从而导出32≤log2x≤3．再由f(x)=log2(x2)&#8226;(log2x8)=（log2x-1）&#8226;（log2x-3）=（log2x）2-4log2x+3=（log2x-2）2-1可以导出f（x）最大值和最小值．（2）：①由f（x）=|lgx|，f（a）=f（b）可知|lga|=|lgb|．再由0＜a＜b，y=lgx是增函数，可知-lga=lgb，由此可证a＜1＜b．②由f(a)=f(b)=2f(a+b2)可知1a=b=(a+b)24，由此可证2＜4b-b2＜3．解答：解：（1）、∵不等式2（log12x）2+9log12x+9≤0，∴-3≤log12x≤-32，∴22≤&x≤8．∴32≤log2x≤3．∴f(x)=log2(x2)&#8226;(log2x8)=（log2x-1）&#8226;（log2x-3）=（log2x）2-4log2x+3=（log2x-2）2-1．故当log2x=2时，f(x)=log2(x2)&#8226;(log2x8)的最小值是-1；当log2x=0时，f(x)=log2(x2)&#8226;(log2x8)的最大值是3．（2）、①证明：∵f（x）=|lgx|，f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|．∵0＜a＜b，y=lgx是增函数，∴-lga=lgb，故a＜1＜b．②证明：∵-lga=lgb，∴lg1a=lgb，∴ab=1，∵0＜a＜b，∴a+b2＞ab=1．∵f(a)=f(b)=2f(a+b2)，∴lg1a=lgb=lg(a+b2)2，∴1a=b=(a+b)24．∴4b=(1b+b)2=1b2+b2+2，∴4b-b2=&1b2+2，∵b＞1，∴2＜4b-b2＜3．点评：注意对数的性质运用及对数方程的解法．
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例3．设f（x）=x2-x+m，log2f（a）=2，f（log2a）=m，a＞0且a≠1解不等式组2x)＞f(1)f(1)＞log2f(x)．
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例 已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，设向量=(sinx,2)，=(2sin,x)，=(cos2x,1)，=(1,2)，当x∈[0,π]时，求不等式f(·)＞f(·)的解集.
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来源：2010年高考数学专项复习：对数函数（解析版）
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例2：（1）设不等式2（）2+9+9≤0时，求的最大值和最小值．（2）设f（x）=|lgx|，a、b是满足的实数，其中0＜a＜b①求证：a＜1＜b；②求证：2＜4b-b2＜3．
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已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，满足关系Sn=2an-2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=1(log2an)2，求证：对任意正整数n，总有Tn＜2；（Ⅲ）在正数数列{cn}中，设(cn)n+1=n+12n+1an+1(n∈N*)，求数列{lncn}中的最大项
（Ⅰ）∵Sn=2an-2（n∈N*），①∴Sn-1=2an-1-2（n≥2，n∈N*）②（1分）①-②，得an=2an-2an-1．（n≥2，n∈N*）∵an≠0，∴anan-1=2.（n≥2，n∈N*）即数列{an}是等比数列．（3分）∵a1=S1，∴a1=2a1-2，即a1=2．∴an=2n．（n∈N*）（5分）（Ⅱ）证明：∵对任意正整数n，总有bn=1(log2an)2=1n2.（6分）∴Tn=112+122+…+1n2≤1+11&#&#8226;3+…+1(n-1)n=1+1-12+12-13+…+1n-1-1n＜2（9分）（Ⅲ）由（cn）n+1=n+12n+1an+1（n∈N*）知lncn=ln(n-1)n+1令f(x)=lnxx，则f′(x)=1x&#8226;x-1nxx2=1-lnxx2.∵在区间（0，e）上，f'（x）＞0，在区间（e，+∞）上，f'（x）＜0．在区间（e，+∞）上f（x）为单调递减函数．（12分）∴n≥2且n∈N*时，|lncn|是递减数列．又lnc1＜lnc2，∴数列|lncn|中的最大项为lnc2=13ln3.（14分）
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例2．已知数列{an}的通项公式是n=2n3n+1(n∈N*，n≤8)，则下列各数是否为数列中的项？如果是，是第几项？如果不是，为什么？（1）（2）
科目：高中数学
来源：江西省赣县中学2011届高三适应性考试数学理科试题
已知数列{an}的通项为an＝3n＋8，下列各选项中的数为数列{an}中的项的是
科目：高中数学
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例2．已知数列{an}的通项公式是，则下列各数是否为数列中的项？如果是，是第几项？如果不是，为什么？（1）（2）
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例2．已知数列{an}的通项公式是，则下列各数是否为数列中的项？如果是，是第几项？如果不是，为什么？（1）（2）
科目：高中数学
题型：单选题
已知数列{an}的通项为an＝3n+8，下列各选项中的数为数列{an}中的项的是A.8B.16C.32D.36
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九章数列第1讲数列的基本概念1．数列3,5,9,17,33，…，的通项公式a..九章数列第1讲数列的基本概念1．数列3,5,9,17,33，…，的通项公式an＝()A．2nB．2n＋1C．2n－1D．2n＋12．若an＝－2n2＋29n＋3，则数列{an}中的最大项是()A．107B．108C．108D．1093【名师优题】2015年高考数学（理）总复习课时检测：第九章数列相关文档专题docdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdoc
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