因为最近在看微分方程，想观察一下方程的斜率场，所以就想看看万能的Mathematica能不能画出微分方程的斜率场。百度了一下和自己也查看了一下Mathematica的官方文档，但是发现好像并没有想要的结果，网上找到很多都是先解出微分方程的解，然后再把解导入来画斜率场的。（好像Matlab可以，不过我没用过）
所以就在想有没有方法不用解微分方程，直接用微分方程作输入来画它的斜率场的方法。然后今天下课的时候回宿舍搞了一下，发现可行。所以下面就来跟大家分享一下。
首先要来的就是先做个理论的分析，来看看从理论上是否可行（该方法只对一阶常微分方程有效）
对于一阶常微分方程有
dydx=f(x,y)
熟悉微分方程的人可能已经对上面方程的几何意义非常熟悉了，左边即斜率，右端为定义在二维平面R2上的函数。几何意义非常明显，即
dydx=f(x0,y0)
其中(x0,y0)∈R2，因为上方程左端就是斜率，上面的一阶微分方程即确定了在平面R2某点的斜率。所以明显我们可以按照这样在平面上画出该方程的斜率场，而且满足斜率场的其中一条曲线也就是该微分方程的一个特解。
转化为Mathematica语言
下面就要把理论上的东西转化为实际在Mathematica上操作的语言。
我们通过查看Mathematica的官方文档，可以知道可以用来画向量场的函数有 StreamPlot[] 和 VectorPlot[] 两个，其中两个的差别只是一个是画流线，一个是画向量箭头的。现在开始在文章下面一直都是使用 StreamPlot[] 来进行画向量场。
不过现在有一个问题是，这两个函数的输入都是分开的，就是只接受输入向量x分量的函数，和y分量的函数，并不是单纯的接受微分方程的输入。而我们从微分方程里面知道的信息只有在某点的斜率，我们要把这个斜率的信息转化成向量的x分量，和y分量的信息。
所以请看下图
从上图我们看出，假设存在一向量，必有x跟y方向的分量有关系式
|v?&x||v?&|=cosθ
对于y分量有
|v?&y||v?&|=Sinθ
那么就是有|v?&x|=|v?&|*cosθ，其中θ就是在该点的斜率角。它的值可以通过取反三角函数得到即θ=Arctan(dydx)=Arctan(f(x,y))
再把上式代入x分量的式子，就有
|v?&x|=|v?&|*cos(Arctan(f(x,y)))
同理对于y方向，就有
|v?&y|=|v?&|*sin(Arctan(f(x,y)))
上面这个|v?&|是向量的长度，一般情况如果只是想考察向量的斜率方向，不关心斜率的大小可以取|v?&|=1即单位向量，那么向量场所有的向量都是长度为1的单位向量。
到目前为止就完成了从斜率角到向量x跟y方向分量函数的转化，利用计算机上面这个看似复杂，看到头大的公式也能很轻易的计算出来。
下面就把上面推出来的x和y方向的函数再Mathematica里面定义
In[1]= fx[z_] := Cos[ArcTan[z]]
In[2]= fy[z_] := Sin[ArcTan[z]]
然后定义完了之后，直接就可以调用StreamPlot[]来画斜率场了
In[3]= StreamPlot[{fx[z]], fy[z]}, {x, 0, 10}, {y, -5, 10}]
上面的Mathematica代码，后面两个花括号代表画的范围，前面的花括号代表x的分量函数，和y的分量函数。分量函数里面的z可以替换成你想要求斜率场的微分方程的右端函数。
下面以微分方程dydx=y2 为例子做一个测试，在Mathematica里面输入如下代码
StreamPlot[{fx[y^2], fy[ y^2]}, {x, 0, 10}, {y, -5, 5}]
我们都知道该微分方程的通解为
由Mathematica得到斜率场如下图:
加上斜率向量的大小
上面所做的都是在斜率向量的大小为单位长度的情况下做的，下面就来为斜率向量加上随角度大小变化而变化的长度。即斜率向量的大小是斜率角θ的函数。
|v?&|=|Arctan(f(x,y))|
那么上面推导出的x和y方向的函数，可以写为
|v?&x|=|Arctan(f(x,y))|*cos(Arctan(f(x,y)))
对于y方向同样有
|v?&y|=|Arctan(f(x,y))|*sin(Arctan(f(x,y)))
跟之前的公式一样这看起来很复杂的公式在计算机面前，根本不算什么。非常快就能够算出答案。
那么现在的斜率场就具有了随角度大小变化的向量大小了。
这也能在Mathematica里面体现出来，我们可以设置一个参数来使Mathematica根据向量的大小（范数）来着色，使斜率场更加直观，好看。
着色的代码如下
StreamPlot[{fx[y^2], fy[ y^2]}, {x, 0, 10}, {y, -5, 5},
StreamColorFunction -& Hue]
可以看到在上面的代码里面，设置了一个参数StreamColorFunction-&Hue，这个参数代表根据向量的大小来着色。
其他方程的斜率场
好的，用Mathematica画斜率场就到这里了。下面给大家看一下一些我个人认为很漂亮的微分方程的斜率场线
上图是方程dydx=sin(y)
上图是方程dydx=sin(yx)
上图是方程dydx=e-y
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怎样用Mathematica将一曲线系绘制在同一坐标中.比如一曲线系:y=ax^2+2aSin[x]-5.此曲线系依赖于参数a的变化,当a取一个区间内的一系列的的值时(有时甚至是多个参数),如何用Mathematica将这一系列的曲线绘制在同一坐标内.(而不是用Do循环一个坐标系中只画了一个曲线,最后却得到了许多坐标系,每个坐标系只有一个曲线)我看了刚才的那位朋友的答复，首先非常感谢．但是照您说的那样的话，还是得先将一系列的单个图象先画出来，最后用Show将它们统一起来．我想直接把它们画在同一坐标中．我试了这样的Plot[Table[ax^2+2aSin[x]-5,{a,1,5}],{x,-Pi,Pi}],但不行．我也用Do试过，只能得到一系列的坐标，每一个里只有一个曲线，
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先将a的一系列取值对应的函数都画出来,可以用Do[],也可以用Table[],然后用Show[]命令把这些图画在一起就行了.具体如何使用可以按F1查询.挺容易的.b = Table[Plot[a*x^2 + 2a*Sin[x] - 5,{x,-π,π},DisplayFunction -> Identity],{a,1,5}];Show[b,DisplayFunction -> $DisplayFunction];这样写就行了.
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