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【金版教程】2015届高考物理大一轮总复习 第一章 第1讲 机械振动 新人教版选修3-4
选考部分 选修3-4第一章 机械振动 机械波考纲下载 1.简谐运动Ⅰ 2．简谐运动的公式和图象 Ⅱ 3．单摆、单摆的周期公式Ⅰ 4．受迫振动和共振Ⅰ 5．机械波Ⅰ 6．横波和纵波Ⅰ 7．横波的图象 Ⅱ 8．波速、波长和频率(周期)的关 系 Ⅱ 9．波的干涉和衍射现象Ⅰ 10．多普勒效应 Ⅰ 实验一：探究单摆的运动、用单 摆测定重
力加速度考情上线 1.能够应用简谐运动的特点、公式 和图象分析并解决问题． 2．知道单摆、单摆周期公式的应 用以及单摆的实验探究． 3．掌握波长、频率和波速的关系 及相关计算，并注意计算结果的 多解性． 4．高考中对本专题的考查形式主 要有两种：一是借助振动图象、 波的图象或两者结合，考查简谐 运动的特点及波速、波长和频率 的关系；二是通过实验和计算， 考查简谐运动公式、规律的运用.第1讲机械振动01主干回顾固基础知识点1 1. 概念简谐运动Ⅰ 成正比并且方向总指向物体在跟偏离平衡位置的 位移 平衡位置的回复力作用下的振动，叫做简谐运动．2. 描述简谐运动的物理量 (1)位移 方向为从 平衡位置 (2)速度 描述振子在振动过程中经过某一位置或在某一时刻运动的 快慢．在所建立的坐标轴上，速度的正、负号表示振子运动方 向与坐标轴的正方向相同或相反． 指向振子所在的位置，大小为 平衡位置 到该位置的距离，其最大值为振幅． ____________(3)加速度 k 根据牛顿第二定律， 做简谐运动的物体的加速度 a＝－mx. 由此可知， 加速度的大小跟 位移 大小成正比， 其方向与位移 方向总是 相反 ．(4)回复力①定义：使物体返回到 平衡位置②方向：时刻指向 平衡位置 ．的力．③来源：振动物体所受的沿 振动 方向的合力．(5)振幅、周期(频率)、相位 ①振幅：反映振动质点 振动强弱 量．的物理量，它是标②周期和频率：描述 振动快慢 的物理量，其大小由振动系统本身来决定，与 振幅 无 关 ． 也 叫 做 固 有 周 期 和 固 有 频 率． ③相位：用来描述周期性运动在各个 时刻 所 处 的 不 同 状 态的物理量，其单位为弧度.知识点2简谐运动的公式和图象Ⅱ1. 表达式(1)动力学表达式：F＝ －kx ，其中“－”表示回复力与 位移的方向相反． (2)运动学表达式：x＝ 初相 叫做 ． Asin(ωt＋φ) ，其中A代表振幅， ω ＝ 2πf 表示简谐运动的快慢， (ωt ＋ φ) 代表简谐运动的相位， φ2.简谐运动的图象 (1)振动图象表示的是简谐运动的质点 某时刻 的 位 移 与 时间的关系，是一条正弦(或余弦)曲线，如图所示．(2)由振动图象可以确定质点振动的 振幅 和 周 期 ， 以 及 任意时刻质点的位移、振动方向和加速度的方向．如图所示，t1 时刻质点P的运动方向沿 x轴负向 ．(3)两种不同计时点的图象表达①从 平衡位置 开始计时，函数表达式为 x＝ Asinωt ，图象如图甲所示．②从 最大位移处 开始计时，函数表达式为 x ＝Acosωt，图 象如图乙所示．知识点3单摆、周期公式Ⅰ简谐运动的两种模型： 模型 弹簧振子 单摆示意图模型弹簧振子 (1)弹簧质量可忽略单摆 (1)摆线为不可伸缩的轻细 线简谐运动条件 (2)无摩擦等_____ 阻力 (3)在弹簧弹性限度内(2)无空气阻力(3)最大摆角_____ 很小 摆球 重力 沿与摆线垂直 方向的分力回复力弹簧的 弹力 提供模型 平衡位置 周期弹簧振子 弹簧处于 原长 处 与 振幅 无关单摆 最低 点l 2π g T＝_______弹性势能与动能的相能量转化互转化， 机械能 守 化， 机械能 守恒 恒重力势能与动能的相互转知识点4受迫振动和共振 振幅逐渐减小Ⅰ1. 阻尼振动(1)定义：的振动．(2)原因：振动系统要 克服阻力做功 ，其 机械能减少 ， 导致 振幅减小 ． (3)功能关系：系统减少的机械能用于克服阻力做功．2. 受迫振动 (1)定义：在外界周期性驱动力作用下的振动． (2)频率特征： 受迫振动的频率等于f驱，与f固无关 ． (3)振幅特征：驱动力的频率越接近固有频率，振幅越大， 当 f 驱 ＝ f 固 时，振幅最大，这种现象叫做共振．受迫振动达到稳 定时，驱动力对系统所做的功及时补偿了系统因克服阻力做功 而损失的机械能，振幅保持不变．3. 自由振动、受迫振动和共振的比较振动类型 项目 受力情况 自由振动 仅受回复力 受迫振动 受到周期性驱 动力作用 由驱动力的周 期和频率决定 由产生驱动力 的物体提供 机械工作时底 座发生的振动 共振 受到周期性驱动 力作用 T驱 ＝ T固 f驱 ＝ f固 振动物体获得的 能量最大 共振筛，转速计由系统本身的性 振动周期和 质决定，即固有 频率 周期和固有频率 振动能量 常见例子 无阻尼自由振动 物体的机械能不 变 弹簧振子，单摆4. 共振曲线 如图所示的共振曲线，曲线表示受迫振动的振幅A(纵坐标)随驱动力频率f(横坐标)的变化而变化．驱动力的频率f跟振动系统的固有频率 f0 相差越小，振幅越大；驱动力的频率 f 等于振动 系统的固有频率f0时，振幅最大．知识点5实验：探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度1. 实验原理 由单摆的周期公式 T＝2π l 4π2 g，可得出 g＝ T2 l，测出单摆的摆长 l 和振动周期 T，就可求出当地的重力加速度 g. 2. 实验器材 单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表．3. 实验步骤 (1)做单摆：取约1 m长的细丝线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让 摆球自然下垂，如图所示．(2)测摆长： 用毫米刻度尺量出摆线长 L(精确到毫米)， 用游标卡尺测出 D 小球直径 D，则单摆的摆长 l＝L＋ . 2 (3)测周期： 将单摆从平衡位置拉开一个角度 (小于 10° )，然后释放小 球， 记下单摆摆动 30～50 次的总时间， 算出平均每摆动一次的 时间，即为单摆的振动周期．(4)改变摆长，重做几次实验． (5)数据处理： 4π2l ①公式法：g＝ 2 . T ②图象法：画 l－T2 图象． l Δl g＝4π k，k＝ 2＝ 2. T ΔT24. 注意事项 (1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定． (2)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于10°.(3)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数． (4)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长L，用游标卡 尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝L＋r. (5)选用一米左右的细线．一、基础知识题组 1. [简谐运动的平衡位置]简谐运动的平衡位置是指( A. 速度为零的位置 B. 回复力为零的位置 )C. 加速度为零的位置D. 位移最大的位置解析： 简谐运动的物体，平衡位置是回复力为零的位置， 而合外力是否为零，不同的系统是不同的，因此加速度不一定 为零，比如单摆在平衡位置时存在向心加速度．简谐运动的物 体经过平衡位置时速度最大，位移为零． 答案：B2. [简谐运动的图象]悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期为 2 s，从最低点的位置向上运动时开始计时，它的振动图象如图 所示，由图可知( )A. t＝1.25 s时振子的加速度为正，速度为正 B. t＝1.7 s时振子的加速度为负，速度为负 C. t＝1.0 s时振子的速度为零，加速度为负的最大值 D. t＝1.5 s时振子的速度为零，加速度为负的最大值解析： 弹簧振子振动时，加速度的方向总是指向平衡位置，且在最大位移处，加速度值最大，在平衡位置处加速度的值为0，由图可知，t＝1.25 s时，振子的加速度为负，t＝1.7 s时 振子的加速度为正，t＝1.5 s时振子的加速度为零，故A、B、D 均错误，只有C正确． 答案：C3. [类单摆问题的分析]如图所示，光滑槽的半径R远大于小 球运动的弧长，今有两个小球(视为质点)同时由静止释放，其中 甲球开始时离圆槽最低点O较远些．则它们第一次相遇的地点是在()A. O点 B. O点偏左 C. O点偏右 D. 无法确定，因为两小球的质量关系未知解析：由于光滑槽的半径远大于小球运动的弧长，所以两 小球的运动与单摆摆球在 θ&10° 时所做运动相同．即这两个小 球都做简谐运动， 且其等效摆长相等， 都等效于以圆心为悬点、 以槽的半径为摆长的单摆．由 T＝2π R g 知两球从最大位置到T 达最低点所经过的时间是相同的，都是 ，故小球第一次相遇 4 的地点是在 O 点，故选项 A 正确．答案：A4. [简谐运动公式理解](多选)某质点做简谐运动， 其位移随 π 时间变化的关系式为 x＝Asin t, 则质点( 4 A. 第 1 s 末与第 3 s 末的位移相同 B. 第 1 s 末与第 3 s 末的速度相同 C. 第 3 s 末至第 5 s 末的位移方向都相同 D. 第 3 s 末至第 5 s 末的速度方向都相同 )π 2π 解析： ①由关系式可知 ω＝ rad/s， T＝ ω ＝8 s, 将 t＝1 s 4 和 t＝3 s 代入关系式中求得两时刻位移相同，A 对；②作出质 点的振动图象，由图象可以看 出，第 1 s 末和第 3 s 末的速度 方向不同，B 错；③由图象可 知，第 3 s 末至第 4 s 末质点的 位移方向与第 4 s 末至第 5 s 末 质点的位移方向相反，而速度的方向相同，故 C 错、D 对． 答案：AD5. [受迫振动和共振的理解][2013?泰安模拟](多选)如图所示 是一个单摆做受迫振动时的共振曲线，表示振幅A与驱动力的频率f的关系．下列说法正确的是()A. 摆长约为10 cm B. 摆长约为1 mC. 若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动D. 若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动解析：根据图象可看出单摆的固有频率为0.5 Hz，即周期为2 s ．根据周期公式很容易算出摆长约为 1 m ，故 A 错误， B 正 确；若增大摆长，单摆周期将变长，固有频率变小，所以共振 曲线的“峰”将向左移动，C错误，D正确． 答案：BD二、规律方法题组 6. [简谐运动与力学知识结合](多选)如图所示两木块A和B叠 放在光滑水平面上，质量分别为 m 和 M ， A 与 B 之间的最大静摩 擦力为Ffm，B与劲度系数为k的轻质弹簧连接构成弹簧振子，为使A和B在振动过程中不发生相对滑动，则()?M＋m? A. 它们的振幅不能大于 kM Ffm ?M＋m? B. 它们的振幅不能大于 km Ffm Ffm C. 它们的最大加速度不能大于 M Ffm D. 它们的最大加速度不能大于 m解析：为使 A 和 B 在振动过程中不发生相对滑动，在最大 振幅时， 是加速度的最大时刻， 这时对 A 研究则有： Ffm＝mam， Ffm 得 am＝ m ，故 C 错误，D 正确；对整体研究，最大振幅即为 ?M＋m? 弹簧的最大形变量，kA＝(M＋m)am，得 A＝ km Ffm，A 错 误，B 正确．答案：BD1．简谐运动的概念：如果质点的位移与时间的关系遵从正 弦函数的规律，即它的振动图象(x－t)图象是一条正弦曲线这样 的振动叫简谐运动．描述简谐运动的物理量有振幅 A、周期T、频率f等．2.回复力F＝－kx.回复力为效果力． 3. 振动图象表示质点离开平衡位置的位移随时间变化的规 律，它不是质点的运动轨迹．02典例突破知规律考点1 简谐运动的五个特征考点解读： 1. 动力学特征 F＝－ kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反， k是 比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．2. 运动学特征简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方 向相反，为变加速运动，远离平衡位置时， x 、 F 、 a 、 Ep 均增 大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反．3. 运动的周期性特征相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同．4．对称性特征 T ?2n＋1?T (1)相隔 或 (n 为正整数)的两个时刻，振子位置关 2 2 于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反．(2) 如 图 所 示 ， 振 子 经 过 关 于 平 衡 位 置 O 对 称 的 两 点 P 、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等．(3) 振子由 P 到 O 所用时间等于由 O 到 P′ 所用时间，即 tPO ＝tOP′.(4) 振子往复过程中通过同一段路程 ( 如 OP 段 ) 所用时间相 等，即tOP＝tPO.5. 能量特征振动的能量包括动能 Ek和势能 Ep ，简谐运动过程中，系统 动能与势能相互转化，系统的机械能守恒．典例透析如右图所示，两木块的质量为m、M，中间弹簧的劲度系数为 k ，弹簧下端与 M 连接， m 与弹簧不连接，现将 m 下压一段距 离释放，它就上下做简谐运动，振动过程中，m始终没有离开弹 簧，试求： (1)m振动的振幅的最大值；(2)m以最大振幅振动时，M对地面的最大压力．[解题探究] 情况？(1)m振动的振幅达到最大值时，弹簧处于什么提示：由于m始终没有离开弹簧，m上升到最高位置时，弹簧处于原长状态．(2)什么时候M对地面的压力最大？ 提示：弹簧对M压力最大时，M对地面的压力最大，即弹簧 形变量最大时，弹簧对M压力最大，所以m振动到最低点时，M 对地面的压力最大．[尝试解答]mg (1) k(2)Mg＋2mg要使 m 振动过程中始终不离开弹簧， m 振动的最大振幅对 应 m 振到最高点时弹簧处于原长状态．m 振动到最低点时，弹 簧对 M 的压力最大，M 对地面的压力也最大． (1)在平衡位置时，设弹簧的压缩量为 x0， 有：kx0＝mg. 要使 m 振动过程中不离开弹簧， m 振动的最高点不能高于 mg 弹簧原长处，所以 m 振动的振幅的最大值 A＝x0＝ k .(2)m 以最大振幅 A 振动时，振动到最低点，弹簧的压缩量 2mg 最大，为 2A＝2x0＝ k ， 对 M 受力分析可得： 2mg FN＝Mg＋k? k ＝Mg＋2mg， 由牛顿第三定律得 M 对地面的最大压力为 Mg＋2mg.分析简谐运动的技巧 (1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移 为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增 大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化．另外，各矢量均在其值为零时改变方向．(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性．[变式训练] (多选)一简谐振子沿 x 轴振动，平衡位置在坐标原点．t＝0 4 时刻振子的位移 x＝－0.1 m；t＝ s 时刻 x＝0.1 m；t＝4 s 时 3 刻 x＝0.1 m．该振子的振幅和周期可能为( 8 A. 0.1 m, s 3 8 C. 0.2 m， s 3 B. 0.1 m, 8 s D. 0.2 m,8 s )4 解析：在 t＝ s 和 t＝4 s 两时刻振子的位移相同，第一种 3 4 情况是当此时间差是周期的整数倍时有： 4 s－ s＝nT，当 n 3 8 ＝1 时 T＝ s．振幅可以是 0.1 m，也可以是 0.2 m．因此 A、 3 C 正确．4 第二种情况是此时间差不是周期的整数倍时，有：( －0) s 3 4 T ＋(4－ ) s＝nT＋ ，当 n＝0 时 T＝8 s，且由于 Δt2 是 Δt1 的二 3 2 倍，说明振幅是该位移的二倍，为 0.2 m．所以 D 正确．答案：ACD考点2简谐运动的图象的应用考点解读：1. 图象特征 (1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，是正弦曲线还 是余弦曲线取决于质点初始时刻的位置．(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹． (3)任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子 的速度大小．正负表示速度的方向，正时沿x轴正方向，负时沿 x轴负方向．2.图象信息(1)由图象可以看出质点振动的振幅、周期．(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移． (3)可以确定某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向． ①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置， 故回复力和加速度的方向在图象上总是指向t轴．②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，若下一时刻位移增加，速度方向就是远离 t轴；若下一 时刻位移减小，速度方向就是指向t轴．(4)可以确定某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速 度、动能、势能等的变化情况．典例透析 [2012?北京高考]一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿 x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移 x 与 时间t关系的图象是( )[解题探究]经过四分之一周期，振子的位移是多少？提示：由于经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最 大加速度，则其位移为负的最大值．[尝试解答]选A.弹簧振子做简谐运动，由回复力公式F＝－kx，结合牛顿第 二定律F＝ma可知，经四分之一的周期有沿x轴正方向的最大加 速度，则其位移为负的最大值．t＝0时刻振子应该自平衡位置向 x轴负向运动．故选项A正确．解决简谐运动图象问题应注意三点 (1)简谐运动的图象不是振动质点的轨迹，它表示的是振动物体的位移随时间变化的规律；(2)因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象 上总是指向t轴； (3)速度方向可以通过下一个时刻位移的变化来判定，下一 个时刻位移如果增加，振动质点的速度方向就远离 t轴，下一个时刻的位移如果减小，振动质点的速度方向就指向t轴．[变式训练]1. 一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则(同，则Δt一定等于T的整数倍)A. 若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的位移大小相等、方向相B. 若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的速度大小相等、方向相反，则Δt －定等于T/2的整数倍 C. 若 Δt ＝ T，则在 t 时刻和 (t＋ Δt)时刻振子运动的加速度一 定相等 D. 若Δt＝T/2，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等解析： 此题若用图象法来解决将更直观、方便．设弹簧振 子的振动图象如图所示． B 、 C 两点的位移大小相等、方向相同，但B、C两点的时间间隔Δt≠nT(n＝1,2,3，?)，A错误；B、C两点的速度大小相等、方向相反，但Δt≠nT/2(n＝1,2,3，?)， B错误；因为A、D两点的时间间隔 Δt＝T，A、 D两点的位移大小和方向均相等，所以A、D两点的加速度一定相等，C正确；A、C两点的时间间隔Δt＝T/2，A点与C点位移大小相等、方向相反， 在A点弹簧是伸长的，在C点弹簧是压缩的，所以在A、C两点弹 簧的形变量大小相同，而弹簧的长度不相等，D错误． 答案：C2. 如图所示为某弹簧振子在 0 ～ 5 s内的振动图象，由图可 知，下列说法中正确的是( )A. 振动周期为5 s，振幅为8 cm B. 第2 s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值C. 第3 s末振子的速度为正向的最大值D. 从第1 s末到第2 s末振子在做加速运动解析： 根据图象可知，弹簧振子的周期 T＝ 4 s，振幅A＝ 8cm，选项A错误；第2 s末振子到达负向最大位移位置，速度为零，加速度最大，且沿x轴正方向，选项B错误；第3 s末振子经 过平衡位置，速度达到最大，且向 x 轴正方向运动，选项 C 正 确；从第1 s末到第2 s末振子经过平衡位置向下运动到达负向最 大位移位置，速度逐渐减小，选项D错误．答案：C考点 3用单摆测定重力加速度考点解读： 1. 对单摆问题的理解 单摆是一理想化模型，其周期为 T＝2π l g(摆角很小)，在振幅较小时与单摆的振幅 A、摆球质量 m 无关，公式中的 g 由 单摆所在的空间位置决定．2. 等效摆长及等效重力加速度 (1)l――等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离．如图甲所示的双线摆的摆长 l ＝ r＋Lcosα.乙图中小球 ( 可看作质点 )在半径为R的光滑圆槽中靠近A点振动，其等效摆长为l＝R.(2)g――等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关． GM ①在不同星球表面：g＝ 2 ； R ②单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为 g ＝g0＋a 和 g＝g0－a.典例透析 [2012?天津高考 ]某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素．(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝 的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示．这样做的目的是________(填字母代号)．A．保证摆动过程中摆长不变 B．可使周期测量得更加准确 C．需要改变摆长时便于调节 D．保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.9990 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则该摆球的直径为 ________mm，单摆摆长为________m.(3)下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始， A 、 B 、 C 均为 30 次全振动的图象，已知 sin5°＝ 0.087 ， sin15°＝ 0.26 ， 这 四 种 操 作 过 程 合 乎 实 验 要 求 且 误 差 最 小 的 是 ________(填字母代号)．
[解题探究](1)关于单摆的摆长及悬点有何要求？提示：单摆的摆长应远大于摆球的直径，悬点必须固定． (2)游标卡尺应当怎样读数？ 提示：游标卡尺的读数L＝L0＋kn，其中L0为主尺的刻度，k为游标尺的精确度，n为与主尺对齐的游标尺上的刻度线．(3)单摆的摆角及计时有何要求？ 提示： 单摆的摆角应不大于 10°，要从摆球经过最低点时 开始计时．[尝试解答](1)AC (2)12.00.9930(3)A(1)实验中要注意减小实验误差和便于实验操作，题目中的 措施可以保证摆动过程中摆长不变，并且便于改变摆长，故选 项 A、C 正确． (2)游标卡尺主尺上的读数为 12.0 mm，游标尺上第 0 条刻 度线与主尺刻度线对齐，所以游标卡尺的读数为 12.0 mm＋0 12.0×10 D ＝12.0 mm，单摆的摆长为 l＝L－ ＝0.9990 m－ 2 2 ＝0.9930 m－3m(3)用单摆测量周期时，为了减小误差，需使摆角小于5°，且从摆球经过最低点时开始计数，故振幅A≤lsin5°＝8.7 cm， 只有选项A符合要求．(1)本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要 求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的振动等．(2)本实验的偶然误差主要来自时间的测量，因此，要从摆 球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计振动次数． (3)利用图象法处理数据具有形象、直观的特点，同时也能 减小实验误差，利用图象解题时要特别注意图象的斜率及截距的应用．[变式训练] 1. 某实验小组在进行“用单摆测定重力加速度”的实验中，已知单摆在摆动过程中的摆角小于 10°，在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为 1，到第 n次经过 最低点所用的时间为 t；在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺 测得摆球悬挂后的摆线长 (从悬点到摆球的最上端)为L，再用螺 旋测微器测得摆球的直径为d(读数如图)．(1)该单摆在摆动过程中的周期表达式为T＝________；(2)用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式g＝________； (3)从图可知，摆球的直径为________mm；(4)实验结束后，某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大，其原因可能是下述原因中的________． A. 单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了 B. 把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间 C. 以摆线长做为摆长来计算D. 以摆线长与摆球的直径之和做为摆长来计算(5)某同学在实验中，测量6种不同摆长情况下单摆的振动周期，记录表格如下：l/m T/s T2/s2 0.4 1.26 1.59 0.5 1.42 2.02 0.8 1.79 3.20 0.9 1.90 3.61 1.0 2.00 4.00 1.2 2.20 4.84以l为横坐标、T2为纵坐标，作出T2－l图线，并利用此图线求重力加速度g.n－1 解析：(1)根据记数的方式可知，全振动的次数 N＝ ， 2 t 2t 所以周期 T＝N＝ . n－1 d 4π2l (2)摆长 l＝L＋ ，将 T 和 l 代入 g＝ 2 ， 2 T d π ?n－1? ?L＋ ? 2 得 g＝ . t22 2(3)直径 d＝5.5 mm＋0.01×48.0 mm＝5.980 mm.4π2l (4)根据 g＝ 2 分析， 对选项 A， 当悬点松动， 摆线增长后， T 而代入公式中的 l 偏小， 故 g 偏小， A 错误； 对选项 B， T 变小， g 偏大，B 正确；对选项 C，l 变小，g 应偏小，C 错误；对选 项 D，l 变大，g 偏大，D 正确．(5) 由单摆周期公式可得 T2 ＝ 4π2l 2 ， 所以 T －l 图线是过坐标原点 g 4π2 的一条直线，直线斜率是 k＝ g ， 4π2 g ＝ k . 在图线上取相距较远的两2 2 T － T 2 1 2 点(l1，T2 ) ， ( l ， T ) ，则 k ＝ ， 1 2 2 l2－l14π2?l2－l1? 所以 g＝ 2 2 .作出图象如图所示． T2－T14.00－1.59 由直线上的点 (0.4,1.59) 和 (1.0,4.00) 可求出 k ＝ 1.0－0.4 4π2 4×3.14 ≈4, g＝ k ＝ m/s2≈9.86 m/s2. 4 d 2 2 π ?n－1? ?L＋ ? 2 2t 答案：(1) (2) t2 n－1(3)5.980 (4)BD (5)图见解析，9.86 m/s222. 如图所示，某同学采用双线摆和光电计数器测量重力加速度．已知每根悬线长 l ，两悬点间相距 s ，金属小球半径为 r ，AB为光电计数器．现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线(光束)位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数 器计数一次，显示为“ 1”，同时由零开始计时，而后每当小球 经过O点时，计数器都要计数一次．当计数器上显示的计数次数 刚 好 为 n 时 ， 计 时 时 间 为 t. 由 此 可 知 双 线 摆 的 振 动 周 期 T 为________ ； 计 算 重 力 加 速 度 g 时 ， 双 线 摆 的 等 效 摆 长 L 为________；最后依据公式g＝________，代入周期T和等效摆长L 的值即可求出重力加速度．解析：注意计数器开始计时以后，每两次经过平衡位置才 t 2t 算一个周期，T＝ ＝ ，等效摆长如图，所以 n－1 n－1 2L＝l′＋r＝2 2 s 4π L 2 l － ＋r，g＝ 2 . 4 T2t 答案： n－12 s l2－ ＋ r 44π2L T2