微积分的出现源于极限论，而极限的描述借助于“不等式”。“微分”（导数）和“积分”（定积分）一开始只是两个种重要的“极限问题”：微分学研究的是“函数的变化量与自变量的变化量比值的极限”问题，几何上描述为“函数曲线在某点的切线的斜率”问题，其中这个切线就是割线取极限得到的；而积分学研究的是如何“在某个区间内用无限小分割的矩形的面积和来近似函数曲线与x轴围成的面积”，即“Riemann和”，需要注意的是，“Riemann和”是一个极限值。从公式上来看，如下：
df(x)dx=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx∫baf(x)dx=limλ→0+∑i=0n[f(ξi)*Δxi]
既然微分和积分都是极限问题，那么它们之间是否有联系呢？答案是肯定的。天才数学家们在微分和积分这两条平行发展的“极限问题研究”的道路之间架起了一座桥梁，那就是“”。本文主要分享我在学习《微积分B》7-3节“Newton-Leibniz公式”的体会，并使用pyhon对一些知识点进行扩展和辅助求解课后练习题。
注：除了Newton-Leibniz公式，微分中值定理也是微积分中的一座桥梁，它建立了“函数”与“导数”之间的不严格定量关系（Newton-Leibniz公式是严格定量关系），特别地，在极限情况下非常有用。
一、变上限积分
要讲Newton-Leibniz公式，必须先讲“变上限积分”，因为Newton-Leibniz公式是在研究“变上限积分”的时候提炼出来的，也是以“变限积分”的形式来描述的。
1，变上限积分不是积分
变上限积分这个名字有很大的欺骗性，它本质是一个函数，而不是一个积分。它描述的是：对于给定函数（曲线），它在给定左区间（左端点）时的积分值与右端点取值的对应关系（映射）。如下图所示：
形象点说，就是上图中的面积与x的坐标之间的对应关系（映射），我们可以把这个对应关系记作S=F(x)，则有：
F(x)=S=∫xaf(t)dt
这就是变上限积分。很明显，它本质上是一个函数，只是这个函数比较特别，它的表达式中含有积分符号，而且自变量是积分上限。
注：上图画图代码参考
2，定积分的路径和方向
有了变上限积分，很容易能想到变下限积分，甚至上下限都是x的函数的“变限积分”。其中：
∫axf(t)dt=-∫xaf(t)dt
这个公式看似简单，却不太好证明，也不能直接从“面积法”上感受到。原课程是应用∫abf(x)dx=-∫baf(x)dx来证明的，我觉得不太彻底，因为这条性质本身就让人疑惑。可惜我没有想到更彻底的证明办法，但是我想到了一个直观的现象来辅助理解：
“Math is fun”上用“水龙头与水缸”（）的例子来演示曲线与曲线的积分：
如上图，∫baf(x)dx表示时间正向流动时，我们观察到的水缸中的水随时间的变化情况——水量越来越多。如果时间倒流呢？或者说我们把影片倒过来放映，你会发现水缸中的水越来越少了。而这个时间倒流，就相当于∫abf(x)dx。
很显然，积分的方向相反（时间流向），积分结果相反，但绝对值相等。更进一步，我们可以想象一下：如果时间变快了，会产生什么现象？是不是和使用快进模式看电影的感觉一样？甚至时间流逝不是恒速而是变速的时候，又会怎么样？
3，上限变量的复合
有了上面时间流动的例子，再来理解变上限积分的上限是x的函数时的表达式就相对容易了。比如：
F(x)=∫g(x)cf(t)=∫g(x)g(a)f(t)dt
我还是以“看电影”为例：看电影的时候，同时存在两个时间标尺（坐标轴），电影中的时间尺（t轴）和现实中的时间尺（x轴）。如果我们选择正常播放，那么这两个时间尺（坐标轴）的映射关系是x(t)=t，如果我们选择2倍快进播放，那么这个映射关系就是x(t)=2t，我们可以发挥想象，建立任意的x(t)=g(t)的映射关系。将上面的公式进行拆分：
?????y=F(x)y=∫g(x)g(a)f(t)dt???(1)???(2)
将(1)式和(2)式分别画成图，如下：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Polygon
import sympy as sp
u = sp.Symbol('u')
def func(t):
return np.sqrt(1 - (t / b) ** 2)
def inte(x):
return sp.integrate(sp.sqrt(1 - (u / b) ** 2), (u, 0, x ** 2))
a, x = 1, 3.6
t = np.linspace(0, b)
y = func(t)
t2 = np.sqrt(t)
y2 = [inte(n) for n in t2]
fig, axes = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(12, 4))
plt.plot(t, y, 'r', linewidth=2)
plt.ylim(ymin=0)
axes[0].plot(t2, y2, 'g', linewidth=2)
axes[0].text(0.5 * (a + x), 5, r"$y=F(x)$",
horizontalalignment='center', fontsize=20)
axes[1].text(0.5 * (a + x ** 2), 0.4, r"$S=\int_a^{x^2} \sqrt{1-(\frac{t}{4})^{2}}\mathrm{d}t$",
horizontalalignment='center', fontsize=20)
it = np.linspace(a, x ** 2)
iy = func(it)
verts = [(a, 0)] + list(zip(it, iy)) + [(x ** 2, 0)]
poly = Polygon(verts, facecolor='0.9', edgecolor='0.5')
axes[1].add_patch(poly)
for ax in axes:
ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['top'].set_visible(False)
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.set_yticks([])
axes[0].set_xlabel('x', fontsize=20)
axes[1].set_xlabel('t', fontsize=20)
plt.show()
从图形上来看，上限的变换，实际上就是坐标轴的变换（时间流逝的速度的变化）。我们常用的坐标是线性坐标，即x(t)=t，而实际上，我们也可以取对数坐标x(t)=log(t)，甚至任意坐标x(t)=g(t)，反映到变上限积分中就是∫g(x)af(t)dt，因为变上限积分本质上是一个函数，它的自变量是上限x，而不是积分元t。从函数复合的角度来看，坐标轴的变换就是自变量的复合。
此外，下面这个结论非常有用：
F′(x)=ddx∫g(x)af(t)dt=f[g(x)]
本质上来说，换元法也是坐标变换，因此，在进行换元时，积分元t被替换成u后（t=φ(u),u=φ-1(t)），积分限也需要进行相应的替换，x变成φ-1(x)。
∫g(x)g(a)f(t)dt=∫g[φ-1(x)]g[φ-1(a)]f[φ(u)]φ′(u)du
再看上面的图，设t=4sin(u),u=arcsin(t)4，则
S=∫(arcsin(u)4)2arcsin(a)41-(sin(u))2-----------√du
简单来说，从t坐标系到x坐标系的映射关系是x(t)=g(t)，那么从u坐标系到x坐标系的映射关系则是：
x=g(t)=g[φ-1(u)]
还是以“看电影”为例，如果在摄像的时候使用的不是标准速度的摄像机，而是高速或慢速摄像机，那么在放映的时候就需要进行反向的调节，才能看到原始过程。
5，可导、连续、可积
不知道大家有没有在google map上观看过海岸线？受显示器大小的限制，每次我们只能看到一屏大小的内容，但是可以通过调节google map的缩放比例，既可以看整个美洲大陆的海岸线，也可以看某个城市的某段海岸线，比如“三藩市”。如果把海岸线比作函数曲线，那每一级的放大，就相当于求导，而原本光滑的海岸线在放大之后，你会发现越来越曲折。有了这么一个比喻，我们很容易记住以下几个结论（原课程给出了证明）：
1）∫xaf(t)dt&f(x)&f′(x)，其中大于号表示函数曲线的性质更好。
2）C′[a,b]?C[a,b[?R[a,b]，即“函数可导必连续，函数连续必可积”。
3）设F(x)=∫xaf(t)dt，若f∈R[a,b]，则F∈C[a,b]；若f∈C[a,b]，则F∈C′[a,b]，且F′(x)=f(x)。
如果说求导相当于放大观察点（微观化），那么积分相当于缩小观察区域（宏观化）。
6，超越初等函数库（举例）
在学习“不定积分”的时候，我们就发现很多初等函数的不定积分计算不出来，比如∫e-x2dx，它的原函数就不能用初等函数表示出来。但是，函数描述的是一个集合到另一个集合的映射关系，能不能用初等函数将这种映射关系表示出来并非必要条件，甚至能不能写出表达式也不是必要条件。有了变上限积分（函数），我们再来看：
F(x)=∫xae-t2dt
1）对于任意给定的x，都有唯一的F(x)与之对应。
2）单调性。F′(x)=e-x2&0，单增。
3）凸性。F′′(x)=-2xe-x2，显然(-∞,0]上凸，[0,+∞)下凸。
4）极值。F′(x)=e-x2≠0，结合单调性等，它无极值。
5）Taylor展开。x = 0 处的展开式如下：
F′(x)=e-x2=1-x21!+x42!+???+(-1)nn!x2n+o(x2n)
F(x)=x-x33!+x55*2!+???+(-1)n(2n+1)*n!x2n+1+o(x2n+1)
6）无穷小的阶。
由Taylor开展式可知，limx→0F(x)=0，则
limx→0F(x)xn=limx→0e-x2nxn-1=1
上面应用了L’Hospital法则。
综上，变上限积分让我们超越了“初等函数库”，打开了一片新的函数世界。
7,两个典型例题的理解
课程中有两个典型例题，我觉得不是那么直观就能理解的，特此分享一下我的理解思路。
limx→0∫x0[∫0sin(u)tdt]dux3=limx→0∫0sin(x)tdt3x2
这一步变换，除用到L’Hospital法则时，我们需要先判断它是00型外，最重要的是真正理解“变上限积分的本质是函数”，将上式先写成这个样子才能理解这个变换，而不会迷失在不同的积分元中。
limx→0∫x0[∫0sin(u)tdt]dux3=limx→0∫x0g(u)dux3=limx→0g(x)3x2
F(x)=∫xax1-t2dt-------√=x∫xa1-t2dt-------√
这一步的变换，我无法将它当成理所当然。
我想到了两个办法：一是记住一个结论“将被积函数中任何与积分元无关的变量当作常量”。另一个方法，就是“面积法”。先回到这道题，这个变换相当于将“求Riemann和的和式里乘以x”变为“求出Riemann和后对总面积再乘以x”。更通俗一点说：前一个式子对将每个小矩形的高h(i)=1-ξ2i-----√变为x*h(i)，然后再求和；后一个式子则是对总面积S直接乘以x。公式表示为：
∫xaf(x)dx=limλ→0+∑i=0n[x1-ξ2i-----√*Δxi]=x*limλ→0+∑i=0n[1-ξ2i-----√*Δxi]
二、Newton-Leibniz公式
1，Newton-Leibniz公式
设f∈C[a,b]，G(x)是f(x)在区间[a,b]上的（任何）一个原函数，则
∫baf(x)dx=G(b)-G(a)
注意前提条件是：f∈C[a,b]
2，两个扩展
1）Newton-Leibniz公式对于可积且有原函数的函数f(x)也是成立的。因此，在使用换元法时，φ′(t)∈C[α,β]可以放宽到φ′(t)∈R[α,β]
2）定积分记号∫baf(x)dx是Leibniz创造的，他的原意是“dx是无穷小区间的长度”，这个表述实际上缺少逻辑基础，但是这个记号具有清楚的直观意义，因此Cauchy在重新定义积分之后保留了这个记号。因此，∫baf(x)dx是一个整体记号，其中dx与f(x)dx不能简单地看作自变量的微分与原函数的微分（尽管F′(x)=f(x)）。
3，不定积分与定积分
现在再来比较一下“不定积分”与“定积分”。
1）一般意义
定积分就是计算“Riemann和”；不定积分则是“求导的逆运算”。
对于“定积分”，只要f(x)在区间[a,b]的间断点不太多，则f(x)可积（反例是Dirichlet函数）；而对于“不定积分”，f(x)在[a,b]上有第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点），则f(x)的原函数不存在。
显然：不定积分要求的条件更严格。
4，意义总结
Newton-Leibniz公式将求定积分（Riemann和）的问题转变为求原函数（求导的逆运算）的问题，不仅简化了许多复杂定积分的计算，而且在积分学与微分学之间建立了一座桥梁，从此“微积分”变成了一门统一的学科。因此，Newton-Leibniz公式也称为“微积分学基本定理”。
看一个典型的例子：
limn→+∞(nn2+12+nn2+22+???+nn2+n2)=?
分析：对于类似这样的“n项求和问题”，计算起来比较复杂。而有了Newton-Leibniz公式后，我们先将它转换为某种“Riemann和”的形式，再套用Newton-Leibniz公式，试试求出原函数。如此一来，我们就把一个复杂的“n项求和”运算转变为了一个2项减法运算了，简单了许多。
limn→+∞(nn2+12+nn2+22+???+nn2+n2)=limn→+∞1n(11+(1n)2+11+(2n)2+???+11+(nn)2)=limn→+∞1n∑i=1n11+(in)2=∫10dx1+x2=π4
前面说了：求导相是微观化的方法，积分是宏观化的方法。对于有些问题，我们过于纠缠于细节和局部，会发现很能求解，但是，如果能从宏观的角度来看，那么会容易得多，比如上面这个例题。而Newton-Leibniz公式提供了这么一个从“微观”到“宏观”的途径和方法。
在现实世界中，我们会碰到很多类似的问题，比如：热力学中直接研究液体“分子碰撞”（布朗运动）会非常复杂，而跳出分子层面直接看“内能”（温度）就容易多了。
三、定积分的计算
1，一般套路
简单计算用Newton-Leibniz公式，复杂的用换元法和分部积分法。但是，在应用Newton-Leibniz公式需要注意f∈C[a,b]这个前提条件；而在换元和分部积分时则需要注意积分限的变化。
2，定积分的性质
合理利用定积分的性质和函数的性质，能够简化运算。比如：
1）三角函数正交性；
2）奇函数在对称区间积分为0，偶函数在对称区间积分相等；
3）周期函数在各周期内积分相等；
3，分部积分对积分限的处理
分部积分不改变积分限
四、课后练习
Exercise 7-3-2
T：关于∫xaf(t)dt的说法正确的是：
A.它是f(x)的某一个原函数；
B.它是f(x)的某一类原函数；
C.它不一定是f(x)的原函数；
D.若它是f(x)的原函数，则f(x)连续；
答：这一题考察“定积分与不定积分的关系”。首先，不定积分的原函数存在的条件比定积分可积的条件要严格，f(x)不一定存在“原函数”，比如它在这个区间上有第一类间断点。其次，如果f(x)有原函数，那么f(x)一定连续吗？前面已经介绍了C′[a,b]?C[a,b[?R[a,b]，如果f(x)有第二类间断的，它还是可以有原函数的，比如这个函数：
f(x)=???2x*sin(1x)-cos(1x),0,x≠0x=0
F(x)=???x2*sin(1x),0,x≠0x=0
Exercise 7-3-3
ddx∫cos(x)1xf(t)dt=?
解：先应用Newton-Leibniz公式，再复合函数求导
ddx∫cos(x)1xf(t)dt=ddx{G[cos(x)]-G(1x)}
但是，这个解法不够严谨，在应用Newton-Leibniz公式时，并不确定f(t)是否连续。前面在讲变上限积分的上限复合时，提到了一个重要的结论，在这种情况下可以用了：
F′(x)=ddx∫g(x)af(t)dt=f[g(x)]
下面用Python求解
from sympy import *
init_printing()
x, t = symbols('x t')
f = Function('f')
diff(integrate(f(t), (t, 1/x, cos(x))), x)
-f(cos(x))sin(x)+∫cos(x)1x0dt+1x2f(1x)
Exercise 7-3-8
T：设F(x)=1x-a∫xaf(t)dt，其中f(x)∈C[a,b]，且在(a,b)内可导，又f′(x)≤0，则：
1）F(x)在(a,b)内二阶可导；
2）F(x)在(a,b)内单调递减；
3）limx→a+F(x)=f(a)
解：第一条比较明显，是正确的。第三条用导数的定义式也可以得出。关键是第二条。
F′(x)=-1(x-a)2∫xaf(t)dt+f(x)x-a=1(x-a)2[(x-a)f(x)-∫xaf(t)dt]
又f′(x)≤0，f(x)单减，上式中括弧中的式子按面积法进行比较，肯定小于0。
Exercise 7-3-1b
ddx∫cos(x)sin(x)cos(πt2)dt=?
在x=0点的值
解：这一题直接用Python是算不出来的，可以利用Exercise 7-3-3的结论，然后代入求解
Exercise 7-3-3b
limx→0(∫x0et2dt)2∫x0te2t2dt=?
解：这一题直接用Python是算不出来的，需要先用L’Hospital法则
from sympy import *
init_printing()
x, t, a = symbols('x t a')
f = a / cos(t)
g = a * tan(t) / (a / cos(t)) ** 4
Df = diff(f, t)
g = a * tan(t) / (a / cos(t)) ** 4 * Df
integrate(g, (t, 0 , pi/3))
x = Symbol('x')
f = x / (1 + sqrt(1 + x))
integrate(f, (x, 0 , 3))
x = Symbol('x')
f = (1 + log(x)) / x
integrate(f, (x, 1 , E))
x, t = symbols('x t')
f = 2 * sin(t)
Df = diff(f, t)
g = 2 ** 3 * cos(t) ** 3 * Df
integrate(g, (t, 0 , pi/2))
x = Symbol('x')
f = sqrt(x) / (1 + x * sqrt(x))
integrate(f, (x, 0 , 4))
x, t = symbols('x t')
f = 1 / cos(t)
Df = diff(f, t)
g = f / tan(t) * Df
integrate(g, (t, acos(1) , acos(1/2)))
x = Symbol('x')
f = 1 / (1 + cos(x) ** 2)
integrate(f, (x, 0, 2 * pi))
x = Symbol('x')
integrate(x, (x, 0, 1)) + integrate(x ** 2, (x, 1, 2))
x = Symbol('x')
integrate(3 - 2 * x, (x, 0, 1)) + 1 + integrate(2 * x - 3, (x, 2, 3))
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(0, 2 * np.pi, np.pi / 180)
y = np.abs(np.sin(x - np.pi))
plt.plot(x, y)
l = plt.axhline(color='red')
plt.show()
from sympy import *
init_printing()
x = Symbol('x')
2 * integrate(sin(x), (x, 0, pi))
x = Symbol('x')
f = x * sin(x) ** 2 / (1 + sin(x))
integrate(f, (x, 0, pi))
-π22+2π+2iπ
x = Symbol('x')
f = log(1 + x ** 2)
integrate(f, (x, 0, 1))
-2+log(2)+π2
x = Symbol('x')
f = x * atan(x)
integrate(f, (x, 0, 1))
x = Symbol('x')
f = x ** 3 * E ** (- x ** 2)
integrate(f, (x, 0, 1))
x = Symbol('x')
f = E ** x * sin(2 *
integrate(f, (x, 0, pi))
x = Symbol('x')
f = x ** 2 * asin(x)
integrate(f, (x, 0, 1)), integrate(f, (x, 0, 1)).evalf()
(-29+π6,0.077)
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你可能喜欢请问这个级数怎么求是收敛还是发散？？求详细的解答过程，能最先给出详细解答的送上考元20，谢谢！！题目如下图所示：
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求极限时，你的分母中少了n
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你可以把分子上的 3的n次方看作是x的n次方，然后就变成了幂级数。
再求此幂级数的收敛域，3应该在收敛域中！
刚才我上面做错了，应该从分母中提出个（-1）的n次方，放到外面去，就变为了交错级数。
再用莱布尼茨准则两条件证明之。
感谢您积极参与论坛交流
zytiti 发表于
刚才我上面做错了，应该从分母中提出个（-1）的n次方，放到外面去，就变为了交错级数。
再用莱布尼茨准则两 ...
感谢回答，但你的想法貌似不对。
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magic9901 发表于
你这个是什么判别法，我怎么没学过？
我也想知道1楼是什么方法，没见过啊！
zytiti 发表于
求极限时，你的分母中少了n
嗯，是的，是这样解，多谢！！！考元给你。
lzc 发表于
你这个是什么判别法，我怎么没学过？
这是数学分析中的一个级数判别法，在一般的数学分析教材中都可以找到。
Th（Raabe判别法）设∑a(n)是一个正项级数，若存在正整数N(0)及常数r使得
（1）当n&N(0)时，n(1-a(n+1)/a(n))&r&1，则级数收敛；
（2）当n&N(0)时，n(1-a(n+1)/a(n))≤1，则级数发散。
共收到 9 条回复导读：因不等式与不等式等价，故当n＞N时，所有的点都落在开区间(a-ε，a+ε)内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。⑸、数列的有界性：对于数列列，若存在着正数M，使得一切是无界的。都满足不等式││≤M，则称数是有界的，若正数M不存在，则可说数列定理：若数列收敛，那末数列一定有界。注：有界的数
因不等式与不等式等价，故当n＞N时，所有的点都落在开区间(a-ε，a+ε)内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。 注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。
⑸、数列的有界性：对于数列列，若存在着正数M，使得一切是无界的。 都满足不等式││≤M，则称数是有界的，若正数M不存在，则可说数列定理：若数列收敛，那末数列一定有界。 注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。例：数列
1，-1，1，-1，?，(-1)n+1，?
是有界的，但它是发散的。 10、函数的极限 前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取 1→∞内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限. 函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢 ? 下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念! ⑴、函数的极限(分两种情况) a):自变量趋向无穷大时函数的极限 定义：设函数，若对于任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在着正数X，使得对于适合不等式 的一切x，所对应的函数值都满足不等式
那末常数A就叫做函数当x→∞时的极限，记作： 下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下： 数列的极限的定义 函数的极限的定义
11 存在函数存在数列与常数A，任给一正数ε＞0，与常数A，任给一正数ε＞0，总可找到一正数X，对于适合的总可找到一正整数N，对于n＞N的所有都满足一切x，都满足，函数＜ε则称数列，当x→∞时收敛于A记：当x→∞时的极限为A，记：。 。
从上表我们发现了什么 ？？试思考之 b):自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子. 例：函数，当x→1时函数值的变化趋势如何？函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，都有无穷多个点，为此我们把x→1时函数值的变化趋势用表列出,如下图:
从中我们可以看出x→1时，→2.而且只要x与1有多接近，就与2有多接近.或说：只要函数与2只差一个微量ε，就一定可以找到一个δ，当＜δ时满足＜δ定义：设在某点x0的某个去心邻域内有定义，且存在数A，如果对任意给定的ε(不论其多么小)，总存在正数δ，当0＜＜δ时，＜ε则称函数当x→x0时存在极限，且极限为A，记：。 注：在定义中为什么是在去心邻域内呢？这是因为我们只讨论x→x0的过程，与x=x0出的情况无关。此定义的核心问题是：对给出的ε，是否存在正数δ，使其在去心邻域内的x均满足不等式。 有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是怎样的呢？
a):先任取ε＞0；
b):写出不等式＜ε；
c):解不等式能否得出去心邻域0＜＜δ，若能； ＜δ时，＜ε成立，因此
d):则对于任给的ε＞0，总能找出δ，当0＜.。
11、函数极限的运算规则 前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。 ⑴、函数极限的运算规则
若已知x→x0(或x→∞)时，. 则：
在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。 例题：求 解答：
例题：求 此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。
13 解答： 注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。 12、函数极限的存在准则 学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。
我们先来看一个例子： 例：符号函数为念。
对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概定义：如果x仅从左侧(x＜x0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的左极限.记： 与常量A无限接近，则称A为函数当时如果x仅从右侧(x＞x0)趋近x0时，函数的右极限.记：注：只有当x→x0时，函数 函数极限的存在准则
的左、右极限存在且相等，方称在x→x0时有极限
准则一：对于点x0的某一邻域内的一切x，x0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的一切x)有≤≤，且， 那末存在，且等于A 注：此准则也就是夹逼准则. 准则二：单调有界的函数必有极限. 注：有极限的函数不一定单调有界 两个重要的极限
一： 注：其中e为无理数，它的值为：e=2.045... 二： 注：在此我们对这两个重要极限不加以证明. 注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们. 例题：求 解答：令，则x=-2t，因为x→∞，故t→∞， 则 注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x→∞时，若用t代换1/x，则t→0. 13、无穷大量和无穷小量
无穷大量 我们先来看一个例子： 已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。为此我们可定义如下：设有函数y=的数)，总可找到正数δ，当 时，，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大成立，则称函数当时为无穷大量。 记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的） 无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，同样我们可以给出当x→∞时，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函 15 包含总结汇报、旅游景点、出国留学、文档下载、专业文献、外语学习、行业论文以及2011高等数学教材word版等内容。本文共10页
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