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因式分解（1）.15+2x-x的平方 （2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25 (3)X的4次-Y的四次 （4）A的3次加B的3次分之因式分解（1）.15+2x-x的平方（2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25(3)X的4次-Y的四次因式分解（4）A的3次加B的3次分之一（5）X的二分之一+X的二分之一=3,求（1）X的三次+X的负三次（2）X+X负一次-2分之X的平方-X的-2次-3的值
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多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
1．运用公式法
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如：
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再补充几个常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；
(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数；
(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数．
运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例1 分解因式：
(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；
(2)x3-8y3-z3-6xyz；
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；
(4)a7-a5b2+a2b5-b7．
解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
=-2xn-1yn(x2n-y2)2
=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．
(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．
(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
＝(a-b)2+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2．
本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下：
原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)
=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)
=(a2-b2)(a5+b5)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．
分析 我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性,现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导．
解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=〔(a+b)3+c3〕-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)〔(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．
说明 公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如：我们将公式(6)变形为
a3+b3+c3-3abc
显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立．
如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
分析 这个多项式的特点是：有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解．
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1),
说明 在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用．
2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
例4 分解因式：x3-9x+8．
分析 本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
说明 由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
例5 分解因式：
(1)x9+x6+x3-3；
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；
(4)a3b-ab3+a2+b2+1．
解 (1)将-3拆成-1-1-1．
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．
(2)将4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．
原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
=〔(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2
=〔(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2
=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．
(4)添加两项+ab-ab．
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b)〔b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．
说明 (4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验．
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰．
例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．
分析 将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．
解 设x2+x=y,则
原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．
说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试．
例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．
分析 先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合．
解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．
令y=2x2+5x+2,则
原式=y(y+1)-90=y2+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)
=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．
说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．
例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．
解 设x2+4x+8=y,则
原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x2+6x+8)(x2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．
说明 由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式．
例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．
解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2
=6〔(x4-2x2+1)+2x2〕+7x(x2-1)-36x2
=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2
=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2
=[2(x2-1)-3x〕〔3(x2-1)+8x]
=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
说明 本解法实际上是将x2-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体．
原式=x2[6(t2+2)+7t-36]
=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)
=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]
=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．
分析 本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式．
解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u,xy=v,则
原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)
=u4-6u2v+9v2
=(x2+2xy+y2-3xy)2
=(x2-xy+y2)2．练习一
1．分解因式：
(2)x10+x5-2；
(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．
2．分解因式：
(1)x3+3x2-4；
(2)x4-11x2y2+y2；
(3)x3+9x2+26x+24；
(4)x4-12x+323．
3．分解因式：
(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；
(2)x4+7x3+14x2+7x+1；
(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；
(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．
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X的二分之一+X的二分之一=3
什么意思？
X的二分之一次方加X的二分之一次方=3
你的意思是说√x+√x=3
那不就是2√x=3
我不会做！！才问的
我是怕你的题目错了，到时候就不好了
（5-x）（3+x)2
原式= (x+3)^2-(Y+4)^2=（x-Y-1）（x+Y+7)
（1）.15+2x-x的平方=(5-x)(3+x)（2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25=x²+6x+9+y²-8y+16=(x+3)²+(y-4)²(3)X的4次-Y的四次=(x²-y²)(x²+y²)=(x-y)(x+y)(x²+y²)（4）A的3次加B的-3次...
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2xy-x的平方-y的平方 分解因式4xy的平方-4x的平方y-y的3次方3-6x+3x的平方-a+2a的平方-a的3次方
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2xy-x²-y²=-(x²-2xy+y²)=-(x-y)²4xy²-4x²y-y³=y(4xy-4x²-y²)=-y(4x²-4xy+y²)=-y(2x-y)²3-6x+3x²=3(1-2x+x²)=3(1-x)²-a+2a²-a³=-a(1-2a+a²)=-a(1-a)²
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因式分解：（1）4x3-xy2（2）-3x3+6x2y-3xy2（3）m3（a-2）+m（2-a）
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（1）4x3-xy2=x（4x2-y2）=x（2x+y）（2x-y）；（2）-3x3+6x2y-3xy2=-3x（x2-2xy+y2）=-3x（x-y）2；（3）m3（a-2）+m（2-a）=m3（a-2）-m（a-2）=m（a-2）（m2-1）=m（a-2）（m+1）（m-1）．
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（1）先提取公因式4x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提取公因式-3x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（3）先提取公因式m（a-2），再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
考点点评：
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
扫描下载二维码分解因式x^4+x^3+2x^2-x+3
2x^4+3x^3-6x^2-3x+2
`x⁴+x³+2x²-x+3
=x²(x²-x+1)+2x³+x²-x+3
=x²(x²-x+1)+2x(x²-x+1)+3(x²-x+1)
=(x²-x+1)(x²+2x+3)
=(x²+Ax-1)(x²+Bx+2)
=x⁴+(a+b)x³+(ab+1)x²+(2a-b)x-2
a+b=0, ab+1=0, 2a-b=-3 ==> a=-1, b=1
=(x²-x-1)(x²+x+2)
`2x⁴+3x³-6x²-3x+2
=2(x&#x(x²-1)-6x²
=2(x&#x²)+3x(x²-1)-6x²+4x²
=2(x&#x²)+3x(x²-1)-2x²
=2(x²-1)²+3x(x²-1)-2x²
=[2(x²-1)-x](x²-1+2x)
=(2x²-x-2)(x²+2x-1)...
`x⁴+x³+2x²-x+3
=x²(x²-x+1)+2x³+x²-x+3
=x²(x²-x+1)+2x(x²-x+1)+3(x²-x+1)
=(x²-x+1)(x²+2x+3)
=(x²+Ax-1)(x²+Bx+2)
=x⁴+(a+b)x³+(ab+1)x²+(2a-b)x-2
a+b=0, ab+1=0, 2a-b=-3 ==> a=-1, b=1
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=2(x&#x(x²-1)-6x²
=2(x&#x²)+3x(x²-1)-6x²+4x²
=2(x&#x²)+3x(x²-1)-2x²
=2(x²-1)²+3x(x²-1)-2x²
=[2(x²-1)-x](x²-1+2x)
=(2x²-x-2)(x²+2x-1)
其他答案（共1个回答）
设x^4+x^3+2x^2-x+3
=(x^2+mx+1)(x^2+nx+3)
=x^4+(m+n)x^3+(mn+4)x^2+(3m+n)x+3，
比较系数，得
{m+n=1，mn+4=-2，3m+n=-1}
解得，m=-1，n=2，
∴x^4+3x^3+2x^2-x+3
=(x^2-x+1)(x^2+2x+3).
=(x^4+x^3+2x^2)-(x^3+x^2+2x)-(x^2+x+2)
=x^2(x^2+x+2)-x(x^2+x+2)-(x^2+x+2)
=(x^2+x+2)(x^2-x-1).
2x^4+3x^3-6x^2-3x+2
=(2x^4+4x^3-2x^2)-(x^3+2x^2-x)-(2x^2+4x-2)
=2x^2(x^2+2x-1)-x(x^2+2x-1)-2(x^2+2x-1)
=(x^2+2x-1)(2x^2-x-2)。
x^3+4x^2-x-1
=x(x^2-1)+(4x^2-1)
=x(x-1)(x+1)+(2x+1)(2x-1)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……+1/19-1/20
1.(x^2+4x+8)^2+3x(x^2+4x+8)+2x^2
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因式分解：（1）-3x3+6x2y-3xy2（2）x4-9x2（3）（a-2b）2-25b2（4）（m2-1）2+6（1-m2）+9．
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（1）-3x3+6x2y-3xy2=-3x（x2-2xy+y2）=-3x（x-y）2；（2）x4-9x2=x2（x2-9）=x2（x+3）（x-3）；（3）（a-2b）2-25b2=（a-2b+5b）（a-2b-5b）=（a+3b）（a-7b）；（4）（m2-1）2+6（1-m2）+9=（m2-1）2-6（m2-1）+9=（m2-1-3）2=（m2-4）2=（m+2）2（m-2）2．
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本题考点：
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考点点评：
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
3 3 6倍2+3 XY 2
= 3X（×2-2XY + Y 2） = 3X（XY）2
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