对于实对称矩阵 A ，必存在正交矩阵 P 使P^{T}AP为对角矩阵,这样的 P 有几个？ - 知乎14被浏览1322分享邀请回答0添加评论分享收藏感谢收起后使用快捷导航没有帐号？
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··正交矩阵与实对称矩阵？··
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如果能找到一个正交矩阵Q，使得QTAQ=对角阵，那么A一定是实对称矩阵，对不对？为什么？
谢谢大虾O(∩_∩)O~
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哦，no，是实对称一定能写成这种形式
[ 本帖最后由 sdc2010 于
12:17 编辑 ]
专业课一道选择，A、一定B、不一定（我还纳闷C会是什么？），结果一看，一定不。
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不对 普通矩阵一样能找到一个可逆矩阵使它对角化 如果是正交矩阵只需要把可逆矩阵正交化就可以了 转换矩阵是正交矩阵不代表被转换矩阵一定是实对称矩阵 反过来 实对称矩阵的相似对角化也不一定非要正交矩阵
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显然不对，只要A有n个线性无关的解向量，就一定能写成你写的形式，显然这时的A不一定是实对称矩阵
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应该是对的吧，把Q-1乘到对角阵这边，然后取转置可以证得AT=A
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回复 6楼 zouxiaochuan 的帖子
我开始也是这么想的[em:18]
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原帖由 sdc2010 于
23:14 发表
我开始也是这么想的[em:18]
那后来呢？这样不可以说明A是对称阵么
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回复 8楼 ibluecoffee 的帖子
后来突然觉得楼下说的也有道理，但现在又觉得不太对，任何一个可对角化的矩阵都可以正交相似对角化吗？
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证明是对的 我错了 看下面的帖子 呵呵 没能从定义去推导一直是我弱点 老是从文字去理解 普通矩阵是找不到正交矩阵来使其对角化的
[ 本帖最后由 沙漠狂鹰 于
00:20 编辑 ]
真题小王子
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引言若A为n阶实对称矩阵，则有正交阵P使P－’AP一人，其中八是以A的n个特征值为对角元素的对角阵l‘］，当A有n个不同特征值时，各特征值对应的特征向量一定正交，将这n个特征向量进行单位化后所组成的矩阵即为所求的正交阵风当A的特征方程存在重根时，对应于重根的特征向量不一定是正交的，当特征向量不正交时，一般需进行施密特正交化，将重根对应的特征向量进行正交化．本又针对三阶实对称矩阵的特征方程存在二重根，四阶实对称矩阵存在三重根的情形，提出了不需要进行施密特正交化就可得到正交的特征向量的计算方法．三三阶实对称矩阵的特征方程存在二重根若A为三阶实对称矩阵、。是A的特征方程：卜～／E。卜0的二重根，则方阵A一任。的秩R（一人。E。广3－2—11‘］（民为三阶单位矩阵），从而与方程组：同解的等价方程组的有效方程只有一个，不妨设为：“X；＋＼X。＋、X；一0（2）当A为对角阵时，显然E。即为所求的正交阵，当A为非对角阵时，则式（2）中k；，k...&
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由一个单变量函数所自然引人的方阵函数早就是为人们所熟知的．例如，对于一般的方阵、指数函数的方阵函数、正弦函数的方阵函数以及对数函数的方阵函数等等．这里的基本工具是幂级数，也就是要求所讨论的是解析函数．对于任意的单变量函数，在一般的方阵集合上是不能定义相应的方阵函数的，例如平方根函数．或许正是由于这一点，人们把注意力转向可对角化方阵，特别在线性代数中定义了正则矩阵函数l'］．如果在m维内积空间上考虑，正则矩阵就是自共轭矩阵，特别在欧氏空间上就是实对称矩阵．在分析中，一个很自然的问题就是自共轭矩阵函数从原本的单变量函数继承了哪些分析性质．对于这个问题，至今作者仅见到了对于m次方根函数的讨论［'，'］，相应的结果在偏微分方程和随机微分方程中都有重要应用．本文对实对称矩阵函数的连续性作了讨论，并得到了一般结果，而方法完全是实分析的，这不同于以前所使用的基于复积分的方法．我们的结果对于自共轭矩阵函数也是成立的，证明完全一样．我们把叙述限制...&
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1引言与预备知识热在实数域R上,已经研究了对称矩阵、反对称矩阵[1,2].对这些类型矩阵的研究不仅获得了大量很好的结果,而且在信息论、优化理论、计算数学、信号分析等领域也获得了重要的应用[3,4].本文将这些矩阵作进一步推广,给出广义实对称矩阵的概念,并研究它的一些性质,而一些性质表明与通常的对称矩阵的性质有不一致的地方,如对称矩阵不同特征值的特征向量是正交的,而对广义实对称矩阵来说就不热热热热成立,同时也丰富了矩阵理论.为方便讨论,以Mn(R)(Mn(C))表示实数域R(复数域C)上一切n阶矩热热热阵的集合,I表示单位矩阵,若A∈Mn(R),则A的转置记为AT,Rn×1(Cn×1)表示所有n维实(复)列向量集合,B-表示矩阵B的共轭矩阵,(B-)T表示矩阵B的共轭转置矩阵,A表示n阶矩阵的行列式,B*表示B的伴随矩阵.热定义1[5]设矩阵A∈Mn(R).如果对任意0≠x热∈Rn×1,均有xTAx0,则称A是正定矩阵.热定义2设...&
(本文共4页)
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对于实对称矩阵同时选代法的注解徐金生（山西大学数学系，太原０３０００６）摘要文章给出了对于ｎ阶实对称矩阵同时选代法的条件的改进关键词实对称矩阵，同时选代法，改进中图法分类号Ｏ１５１．２１ｎ阶实对称矩阵的同时选代法也称为子空间选代法，它是乘幂法的直接推广，能同时求出按模较大的一些特征值和相应的特征向量，它是目前求解大型稀疏矩阵特征值问题的最有效的方法之一。当Ａ为ｎ阶实对称矩阵时，它的实特征值为λ１，λ２，…，λＰ－１，λＰ，λＰ＋１，…，λｎ－１，λｎ按如下次序排列为｜λ１｜≥｜λ２｜≥…≥｜λＰ－１｜≥｜λＰ｜＞｜λＰ＋１｜≥…｜λｎ－１｜≥｜λｎ｜相应的特征向量为Ｘ１，Ｘ２，…ＸＰ－１，ＸＰ，ＸＰ＋１…，Ｘｎ．重要论文［１］、书［２］，［３］，［４］中指出用同时选代法求ｎ阶实对称矩阵的ｐ个特征值λ１，λ２，…λＰ－１，λｐ和对应的特征向量Ｘ１，Ｘ２，…ＸＰ－１，ＸＰ的算法如下：（１）令初始矩阵Ｑ０?［ｑ１（０），ｑ２（０），…...&
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实对称矩阵的特征值为实数,且属于不同特征值的特征向量是正交的,要把一个实对称矩阵正交对角化,问题的关键是如何寻找属于同一特征值的正交特征向量.本文针对三阶实对称矩阵特征值的各种情况进行讨论,给出了正交对角化的新方法,方法简洁实用[1-3].本文中,E为单位矩阵.1 三阶实对称矩阵只有1个特征根若?是三阶实对称矩阵B的三重特征根,则矩阵B一定是数量矩阵[4].2 三阶实对称矩阵只有2个特征根若解方程组(1),得到X??2.因为?1,?2都满足??1 E?B?X?0,所以,?1,?2都是属于?1的特征向量,且若?2是方程组(1)的解,则必有?1·?2?0,所以?1与?2是正交的[5-7].同理,可由??2 E?B?X?0求得属于?2的特征向量?3,把?1,?2,?3分别单位化为?1,?2,?3,取正??1???0?10??交矩阵Q???1,?,?3?,则有Q TBQ000?.0?2??2???0 2 2???例1求正交矩阵Q,使得Q...&
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本文采用的术语和符号都是标准的,按照文献[1,2].任意一个实对称矩阵正交相似于对角矩阵,这是高等代数中的基本结论.在本文里,我们从明显不同于[1,2]的角度来重新证明这个结果,这个处理方式对高等代数的教学是有帮助的.定理设A是n阶实对称矩阵,则存在n阶实正交矩阵T,使得T′AT=λ1λ2?λ烄烆烌烎n,其中λi(i=1,2,…,n)是A的特征值.首先,我们用两种不同于[1,2]的方法来证明下面的预备性结果.引理1设A是n阶实对称矩阵,则A的特征值是实数.证法1假设λ=a+i b是A的特征值,其中a,b∈R且b≠0,则|λE-A|=|(a+i b)E-A|=|(aE-A)+i bE|=0.因此|((aE-A)+i bE)·((aE-A)-i bE)|=0,即|(aE-A)2+b2 E|=0.另一方面,注意到(aE-A)2=(aE-A)(aE-A)=(aE-A)′(aE-A)是半正定矩阵.因此当b≠0时,(aE-A)2+b2 E是...&
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已知三阶实对称矩阵A的每行元素之和都等于2,且R(2E+A)=1(1)求正交阵P,使得P-1AP为对角形矩阵?（2）求A的m次方,其中m是大于等于1的自然数
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首先A的各行元素和为2,说明有一个特征向量x1 = (1,1,1)^T,特征值为2又r(2E+A)
= 1,说明方程(A+2E)x = 0有两个线性无关解x2,x3,所以x2,x3是A的特征值为-2的特征向量.这样我们找出了所有特征向量和特征值.因为正交阵P的每一列都是A的特征向量,而上面我们已经知道A只有两个特征值.所有与x1垂直的向量肯定是特征值为-2的特征向量,换名话说,我们只要构造第一列与x1平行的正交矩阵P.比如说 P = 1/√3
1/√61/√3
1/√61/√3
-2/√6当然答案不唯一,你也可以用正交化的方法求一个.我们有A = PDP^-1,D = diag{2,-2,-2}为对角阵所以A^m = PD^mP^{-1}, D^m = diag{2^m, (-2)^m, (-2)^m}再把你求的P代进去算就可以了.
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