知识点梳理
1.抛钢镚实验、掷骰子实验和转盘实验，能够列出简单实验的所有可能发生的结果，每个结果发生的可能性都相等。
2.用列举法求简单事件发生的可能性，可以用数值表示及其表示方法。
用枚举,列表,画树状图等方法,统计简单事件发生的各种可能的结果数。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“抛硬币．（1）任意抛一枚硬币，落地以后，正面朝上的可能性是多...”，相似的试题还有：
抛掷一枚硬币，正面朝上的可能能性是二分之一．_____．
小明玩抛硬币的游戏，规则是：将一枚硬币抛起，落下后正面朝上就向前走15步，背面朝上就向后退10步．小明一共抛了10次硬币，结果向前走了50步，硬币正面朝上有_____次，背面朝上有_____次．
抛一枚硬币，连续5次正面朝上，第6次抛出，正面朝上的可能性是()机遇与混沌
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机遇与混沌
机遇与混沌
[法]大卫?吕埃勒著刘式达梁爽李滇林译
出版说明自中西文明发生碰撞以来，百余年的中国现代文化建设即无可避免地担负起双重使命。梳理和探究西方文明的根源及脉络，已成为我们理解并提升自身要义的借镜，整理和传承中国文明的传统，更是我们实现并弘扬自身价值的根本。此二者的交汇，乃是塑造现代中国之精神品格的必由进路。世纪出版集团倾力编辑世纪人文系列丛书之宗旨亦在于此。世纪人文系列丛书包涵"世纪文库"、"世纪前沿"、"袖珍经典"、"大学经典"及"开放人文"五个界面，各成系列，相得益彰。"厘清西方思想脉络，更新中国学术传统"，为"世纪文库"之编辑指针。文库分为中西两大书系。中学书系由清末民初开始，全面整理中国近现代以来的学术著作，以期为今人反思现代中国的社会和精神处境铺建思考的进阶；西学书系旨在从西方文明的整体进程出发，系统译介自古希腊罗马以降的经典文献，借此展现西方思想传统的生发流变过程，从而为我们返回现代中国之核心问题奠定坚实的文本基础。与之呼应，"世纪前沿"着重关注二战以来全球范围内学术思想的重要论题与最新进展，展示各学科领域的新近成果和当代文化思潮演化的各种向度。"袖珍经典"则以相对简约的形式，收录名家大师们在体裁和风格上独具特色的经典作品，阐幽发微，意趣兼得。遵循现代人文教育和公民教育的理念，秉承"通达民情，化育人心"的中国传统教育精神，"大学经典"依据中西文明传统的知识谱系及其价值内涵，将人类历史上具有人文内涵的经典作品编辑成为大学教育的基础读本，应时代所需，顺时势所趋，为塑造现代中国人的人文素养、公民意识和国家精神倾力尽心。"开放人文"旨在提供全景式的人文阅读平台，从文学、历史、艺术、科学等多个面向调动读者的阅读愉悦，寓学于乐，寓乐于心，为广大读者陶冶心性，培植情操。"大学之道，在明明德，在新民，在止于至善"（《大学》）。温古知今，止于至善，是人类得以理解生命价值的人文情怀，亦是文明得以传承和发展的精神契机。欲实现中华民族的伟大复兴，必先培育中华民族的文化精神I由此，我们深知现代中国出版人的职责所在，以我之不懈努力，做一代又一代中国人的文化脊梁。上海世纪出版集团世纪人文系列丛书编辑委员会2005年1月绪言Suamhabetfortunarationem"机遇有其原因"，佩特罗尼乌斯（Petronius)说。但我们也许会问：什么原因？并且，什么是机遇呢？机遇是怎么出现的？未来如何不可预测？物理学和数学对这些问题给出了一些答案。答案是谨慎的，且有时只是试探性的，但仍然值得了解，这些正是本书的主题。物理学定律是确定性的。那么，机遇又是如何进入到对宇宙的描述中去的昵？正如将要看到的那样，它通过许多途径表现自己。我们还将看到，未来的可预测性(predictability)受到严格的局限。我对于机遇和不可预测性(unpredictability)各个方面的介绍将大部分遵循公认的（或可接受的）科学思想，无论新旧。特别是，我将详细探*拉丁文：机遇有其原因。——译者I络言I讨混沌这一现代思想。所釆用的方式肯定是非专业的，可以在本书中找到的少量方程都能够被忽略而不必担心会有多少损失。原则上，中学物理和数学就足以用来理解本书的正文部分了。然而，我在尾注中就不大受限制了：它们的范围从非专业的注释，到针对我的那些同行们的非常专业的参考文献。提到科学同行，他们中一些人将会因为我对科学家和科研领域不那么辉煌的描述而感到不安。对此，我并无歉意：如果科学是对真理的探讨，那么对于科学是如何做出来的，难道不应该讲真话吗？1990年夏于Bures-sur-YvetteI机遇与混沌I致谢在写作本书过程中，我得益于与许多同行的讨论。他们之中，我特别感激戈尔茨坦（ShellyGoldstein),尽管他或许会对我最终写就的文本感到沮丧。尼古拉-出了有用的建议。怀特曼（ArthurWightman)和沃德（LauraKangWafd)为捍卫英语而高贵地战斗。上田魄亮（YoshisukeUeda)和兰福德（OscarLanford)再现了精美的计算机图形结果后，德尔诺伊斯（HelgaDernois)沉着而坚毅地将相当凌乱的手稿打印出来o谢他们所有这些人|致谢|绪害致谢1.机遇2.数学和物理学3*概率4.抽彩和星象5.经典决定论6.博弈7-初条件敏感依赖性8.阿达马、迪昂和庞加莱9-潘流：模态10，湍流：奇怪吸引子11，混沌：一个新的范式12.混沌：影响13.经济学89&14.&历史的演化94&15-&量子：概念框架102&16.&量子：清点状态108&17.&m114&18.&不可逆性120&19-&平銜态统计力学127&20.&沸腾的水和地狱之门134&21.&信息141&22.&(算法）复杂性148&23,&复杂性与哥德尔定理155&24.&性的真意161&25.&智能167&26.&结语：科学机遢与混沌11.机遇巨型计算机有朝一日很快就会开始与数学家竞争，且也许就此而使数学家永远失业。至少我是对我杰出的同行——比利时数学家德利涅（PierreDeligne)这么说的。为了惹恼他，我提到了一些已经在下棋方面表现极佳的机器，和只有在计算机的帮助下才能完成的四色定理的证明。1当然，目前的机器还只是用于从事重复性的甚至有点愚蠢的工作。但没有理由认为它们不能变得更加灵活和万用，不能以更快的速度和更高的精度模仿人的智能行为。这样在50或100(也许200)年内，不仅计算机会帮助数学家工作，而且我们还会发现它们能够采取主动，引入新的富有成果的定义，提出假设，然后得到远远超出人类智慧能力之外的定理证明。毕竟，我们的大脑并不是以推演数学为目的、而是以帮助我们打猎、觅食、打仗和维持社会关系为目的的自然演化塑造出来的。当然，德利涅对于我有关数学未来的想法并没有显出很大的热情。稍微迟疑了一会儿，他告诉我只有那些他独自能够全部理解的1.机遇|结果才能使他感兴趣。他说，这就排除了一方面在计箅机的帮助下得到的定理，另一方面一些得自许多数学家的工作，而非一个人能够完成的非常长的数学证明。他这里暗指那个著名的有关简单有限群分类的定理证明。2这个证明由许多部分组成，长达5000多页。基于我刚才所说的，人们可以很容易地描绘出一幅关于科学现状及其未来的不祥景象。确实，如果对于一个数学家来说，独自精通一个问题——仅仅一个定理证明——变得很难的话，那么他在科学上其他学科的同行们的情况会更糟。无论是物理学家还是医生，为了更有效地工作，必须借助于他们所不能理解的工具。科学是无所不在的，但效力于它的人却是专业化的，而且他们的见解常常有限。毫无疑问，自从科学诞生以来，科学研究的智力和社会背景都巳经改变了很多。现在我们所谓的科学家当时被称为哲学家，他们努力想得到对我们这个世界的全局认识，得到自然事物的综合认识。伟大的牛顿（IsaacNewton)就曾特别地致力于数学、物理、金丹术、神学以及和预言有关的历史研究。3难道我们巳经放弃孕育了科学的哲学探索吗？从来没有，哲学探索虽然用了新的方法但仍然是一切的中心。这就是我将要在这本小册子里所要努力说明的。因此，这里的讨论将没有科学超凡的技术本领，没有火箭和粒子加速器，没有医学突破和核危机，也没有形而上学。我将带上17世纪或18世纪诚实人的哲学眼镜，来回顾20世纪的科学成就。我的回威将以机遇（chance)为向导——字面上讲一"B为机遇研究是我将追随的线索。机遇、不确定性和盲目的运气，不是很消极的概念吗？它们不都是些属于占卜术士的而不属于科学家的范畴吗？事实上，对机遇|机遢与棍池1的科学探索是可行的，它起始于帕斯卡（BlaisePascal)、费马（PierreFermat)、惠更斯（ChristiaanHuygens)和伯努利（JacquesBernoulli)^机遇游戏的分析。在这些分析的基础上诞生了概率运算，其长期被认为是数学的一个小分支。概率运箅的一个中心事实是，如果大量重复抛掷一枚硬币，那么正面向上（或反面向上）的比例将接近50%o在这个例子中，虽然每次抛硬币的结果是完全不确定的，但是大量拋掷却会产生一个大致确定的结果。这种当我们观测大量亊件或大系统时从不确定（uncertainty)到大致确定（nearcertainty)的转变，是机遇研究的一个基本主题在1900年左右，许多物理学家和化学家仍然否认物质是由原子和分子组成的。另外有一些则早已接受了这样的事实：在一升空气中有多得难以置信的分子，它们沿各个方向高速运动，并以非常可怕的无序状态相互碰撞。这种被称为分子混沌（molecularchaos)的无序（disorder)是存在于小体积中的大量随机性（randomness)-或机遇。有多少随机性？有多少机遇？这些问题非常有意义，而奥地利人玻尔兹曼（LudwigBoltzmann)和美国人吉布斯（J*WillardGibbs)在1900年左右创立的物理学的一个分支——统计力学一给出了一个答案。一定温度下，一升空气或一千克铅中的机遇量可以用这一升空气或一千克铅中的嫡（entropy)来衡量，现在我们已经有办法很精确地确定这些熵的大小。我们发现机遇是可以被驯服的，它对于认识物质至关重要你或许会因此而认为随机或偶然发生的事都没有什么意义。稍微思考一下就会发现事实不是这样的：在一个给定的人群中血型是随机分布的，但是在输血时是A+还是O-并不是没有意义的。美数学家香1.机遇(informationtheory)允许我们计算原则上有意义的消息（messages)中所蕴涵的信息（information)。我们将要看到，一条消息中的平均信息被定义成是一组可能消息中机遇（或随机性）的总量。为了表明这是一个自然的定义，请注意通过选择一条消息，人们就破坏了这一组可能消息中所呈现的随机性。因此，信息理论就和统计力学一样，也与计算随机性的总量有关。所以这两个理论是紧密相关的。谈到有意义的消息，我想谈谈一些载有特别重要信息的消息：遗传消息（geneticmessages)。如今，公认的事实是，动物和植物的遗传特征由染色体中的DNA传递。DNA(脱氧核糖核酸）也存在于细菌和病毒中（在有些病毒中，它被核糖核酸所替代）。DNA被证明是—条由四种元素组成的长链，这四种元素可以用A，T，G，C四个字母代表。因此，遗传特征就是用这个四字母字母表写成的长长的消息串。当细胞分裂的时候，这些消息被复制，并伴随一些随机的错误,这些错误就是所谓的突变（mutations)。因此，这些新的细胞或个体就和它们的祖先有了一点儿不同，从而更能够或不太能够存活和繁衍。然后，自然选择保留一些个体，而淘汰掉不太适应或不太幸运的那些个体。所以，关于生命的基本问题可以表述为，在有机遇存在的情况下，遗传消息的创造和传递。生命起源和物种演化的重要问题并没有因此而解决，但是通过用信息的创造和传递来表述这些问题，我们将获得一些具有启发性的观点以及一些相当明确的结论。但是在探索机遇在生命过程中的创造性作用之前，我想带领你，我的读者，去长途巡看其他相当多的问题。我们将讨论统计力学和信息论,我们将谈到湍流、混沌以及机遇在量子力学和博弈论中的作用。我们还会扯开话题，去谈谈历史决定论、黑洞、算法复I机遇与混沌1杂性等等。我们这个长长的巡游将沿着两大智力领域间的边界线进行，一边是严格的数学，另一边是包括所有自然科学的广义上的物理学。同时，密切关注以其勇敢和常常悲惨的努力去领会事物本质的人类心智（或大脑）的活动，也将会很有趣。在机遇问题之外，我们还会试着去了解数学的奇妙，物理世界的奇妙和我们人类心智的奇妙之间的某种三角关系。作为开始，我想讨论一下数学和物理学的一些游戏规则。注押：1*四色定理。设想我们有一张地图或一个地球仪，上面标示着不同的国家。为了简单起见，我们假设没有海洋。并且，各个国家之间彼此相连（而不是由相互分离的一块一块组成的）。我们想给每个国家标上某种颜色，从而使具有共同边界的两个国家的颜色不同。（我们允许边界上只有有限的几个共同点的两个国家颜色相同。）我们需要多少种颜色呢？、答案是：，论何种情况y，四种颜色就足够了。这就是四色定理。、文是：K.AppeiandW*Haken,"Everyplanarmapisfourcolorable,PartI：Discharging,"IlliniosJ,Math.21(1977)：429-490^K.Appei,W.Haken,andJ.Koch,"Everyplanarmapisfourcolorable,Partn：Reducibility,"IlliniosJ.Math.21(—567。更多的普及说明，请参看K.AppeiandW.Haken,"Thesolutionofthefour-color-mapproblem,"ScientificAmerican,October1977,pp,108-121；K.AppeiandW.Haken,"Thefourcolorproofsuffices,"TheMathematicalIntelligencer8(1986)：10?20&2.有关列举简单有限群问题的简要介绍，请参看J.H.Conway,"MonstersandMoonshine,"77icMutemaficaZ/nteHigcncer2(—171。应该指出的是，简单有限?的H^^S？，』S权^I是韦斯特福尔（R,WestfaU)所^的NeveratRest(Cambridge.CambridgeUniversityPress,1980)。牛顿各种智力爱好之间的相互影响是令人着迷的。这些爱好包括从数学、物理学上最伟大的成就，到有关金丹术、历史和宗教等会导致其声名狼藉的臁想（以现在的标准来看）。对牛顿智力成果进行审查，裁定出—些优秀的，剰下的最好忘掉，这似乎是一个相当吸引人的主意。然而，如果想要了解牛顿头脑中智力创造的发展过程，我们不能遗忘他的那些不光彩的臃想。在他想樓取宇宙意义的欲望中，对预言或金丹术研究的重要性绝不亚于他在万有引力或微积分学上的工作。显然，有关牛顿的头脑是如何运作的，还有很多有待了解。韦斯特福尔的书中似乎显现了这样一个不幸的亊实：伟大的牛顿显然没有任何可以辨认得出的幽默感。|1.机通|2.数学和物理学数学才能常常发展于年龄比较小的时候。这是个普遍的现象，俄罗斯著名数学家柯尔莫哥洛夫（AndreiN.Kolmogorov)添加了一个奇特的见解。他认为，恰恰就在数学才能开始显现的时候一个人自身的正常心理发展就停止了。照这样说，柯尔莫哥洛夫给自己的心理年龄是12岁。而他给他的同胞，很长一段时间都是苏联科学院里非常有实力和受到敬畏的成员，维诺格拉多夫（IvanM.Vinogradov)的心理年龄，只有8岁。按照柯尔莫哥洛夫的说法，维诺格拉多夫院士8岁的年龄正相应于小男孩扯掉蝴蝶翅膀，把旧铁罐儿系在猫尾巴上的时候。或许为柯尔莫哥洛夫的理论找一些反例并不难，1但这个理论显然常常都是对的。想起一个同事的极端例子：他的心理年龄只有6岁左右，这就引来了一些实际问题，例如当他不得不单独旅行的时候。这位同事作为一名数学家，表现得相当不错，但我想，在攻击性要强得多的物理学界，他是难以生存的。|机遇与混?^是什么使数学如此特殊，如此不同于其他科学领域？数学理论的出发点，由对确定数量的一些数，对象（不用数学对象，我们也可以用词汇或短语，因为在某种意义上这正说明了它们是些什么）的若干基本断言组成。从基本假设开始，人们力图通过纯粹的逻辑推出被称为定理的新的断言。数学中用到的词汇可能是熟悉的，例如"点"和"空间"，但在倣数学时，重要的是不要太相信平常直觉的知识，事实上只能用到开始的时候给出的几个基本断言。如果你决定用"椅子"和"桌子"代替"点"和"空间"，它是完全可以接受的，甚至在某些情况下它可以是个不错的主意：数学家们并不反对进行这种转换。如果你喜欢，数学工作其实类似于依照非常严格的规则进行的语法练习。从已经选择出来的基本断言开始，数学家构造出一连串进一步的断言，直至一个看起来特别精妙的断言产生。然后，数学家的同事们被邀请去看这个新近产生的断言，他们会赞美它说-"这是个漂亮的定理。"那一连串中间的断言构成了定理的证明，而能够被清楚而简明地表述出来的定理常常需要一个格外长的证明。证明的长度正是数学的兴趣所在，并且事实上在哲学上具有基本的重要意义。有关证明长度的问题与箅法复杂性（algorithmiccomplexity)和哥德尔定理（G6del'stheorem)有关，这两个问题将在下面的章节讨论。2因为数学证明很长，所以要捏造它们也很困难。数学家要构造一长串没有任何错误的断言，留意自己正在做什么，正要去什么地方。要寻求各种方法使自己能够推断什么为真、什么为假、什么有用、什么无用，使自已能够确信那些应该引人的定义；使自己能够确信正是那些关键的断言将可以让他以一种自然的方式建立一个理论。你不应该以为数学游戏是任意和没有根据的。不同的数学理论|2.数学和物邇学|之间有很多的联系：一个理论的对象也许在另一个理论中找到了解释，接着它导致了一些富有成效的新观点。数学有着深刻的统一性。数学不仅仅只是一些诸如集合论、拓扑学和代数学等，各自都有着自己基本假设的孤立理论的集合，而是一个统一的整体。数学是一个大王国，这个王国属于那些有先见之明的人。那些拥有数学直觉的先知们以他们的才能而具备了远远优于他们那些盲目同时代人的感觉。他们感觉非数学家们就好像喷气机飞行员感觉地面上的人们，或古时候英国人感觉欧洲大陆上的人们一样。数学是一种智力的瑜珈，强求、严格和禁欲。而一个数学家，一个真正数学家在他的这门艺术中倾注甚多。语言的或非语言的，有意识的或无意识的，相异的概念和奇怪的关系充斥了他的思想。[我们常常可以看到无意识在数学发现中起作用：庞加莱（HenriPoincar6)曾经记述过一个这方面的漂亮例子。]3由于数学思想的绽放而引起的心智人侵，以及这种思想的不可思议，使得数学家稍稍有异于其余人，而人们也就可以理解(像柯尔莫哥洛夫提出的那样）他的心理发展有时可能会受到抑制。那么物理学家又是怎样的呢？数学家和物理学家常常表现得像一对有敌意的兄弟，并趋向于夸大他们的差别。但是正像伽利略(Galileo)已经指出的那样，数学是物理学的语言，4而且一位理论物理学家总是某种程度上的数学家。实际上，阿基米德（Archimedes)、牛顿和其他许多科学家对物理学和数学都有着辉煌的贡献。事实在于物理学是和数学紧密相联的，但也有着显著的不同。现在就让我试着做一番解释。物理学的目的，是使围绕着我们的世界有意义。典型地讲，如果你是一个物理学家，你不会力图同时理解每一件事情。你情愿逐|机通与浪滩|个地去考察实在（reality)的不同片段。你将对给定的实在片段进行理想化，并尝试用一种数学理论去描述它。因此，你从选择"^类现象开始，然后定义出那类现象可操作的物理概念。这样就明确了描述这类现象的物理框架，接着你还得选择一个数学理论，并在这个数学理论的对象和物理概念之间建立起一种对应关系。5正是这种对应关系构成了物理理论。从原则上讲，物理理论从物理量和数学量之间产生的那个对应关系越精确，所能描述的一组现象越广泛，当然它也就越好。但是在实践中，数学的可处理性也非常重要，对于一个给定的应用，当他择性理论更为凌乱，并不真的更加精确的时候，物理学家通常会选择使用简单而方便的那一个理论。最好能够意识到，物理概念的操作定义并不是一种形式定义。随着我们认识的发展，我们可以进一步分析这些操作定义，但比起它们所联系的数学理论，它们仍是不太精确的。例如，当描述化学实验时，你会想要详细说明那些相当纯的反应物，在某些情况下，你也许还会提出更加精炼的要求，严格限制具有灾难性催化作用的杂质的数量。但如果你坚持要预先知道每种可能杂质的精确数量，也就不必做任何实验了。如果你研究物理学，你马上就必须面对那个表观悖论：你手头可以把握的对物理对象的控制少于你对并不实际存在的数学对象的控制。这对一些人来说是非常令人气愤的，事实上，这也就是为什么他们选择成为数学家而不是物理学家的一个基本原因。物理理论的一个普通例子，就是我所谓的掷骰子游戏理论(theoryofthegameofdice)0人们力求认识的那个实在片段，即当进行掷骰子的游戏时，我们观察到了什么。这个理论中的一个操作上定义的概念是独立性（independence)的概念：如果在两次投掷之间充分地摇动骰子的话，我们就说相继的这两次投掷是独立的。这里|2.数学和物理学|是这个理论预测的一个例子：当独立大量投掷两个骰子时，其结果数字之和为3(即一个骰子是1，另一个是2)的概率约为1八8。现在我们总结一下。将数学理论粘接在物理实在片段上，我们就得到了一种物理理论。已经有了许多这样的物理理论，它们涵盖了大量不同的现象。而且对于某种给定的现象，通常可以有几种不同的理论。一些较好的情形是，通过近似（通常是不受约束的近似）人们可以从一个理论过渡到另一个理论。而在其他一些情形下，不同物理理论之间的对应关系会因为它们基于不一致或表观矛盾的物理概念而引起严重的概念麻烦。总之，从一个理论跳到另一个理论是做物理学之术的一个重要部分。职业物理学家们会说他们正考虑量子修正或非相对论性极限，或者他们根本什么也不说，因为他们所釆纳的观点是"在事物的情境中一目了然的"。在这种情况下，物理学话语听起来即使不是完全混乱，也常常可能有点儿语无伦次。物理学家如何在这样一片混乱中找到他们的道路昵？要回答这个问题，你必须记住，因为物理学描述着我们生活于其中的唯一一个物理宇宙，所以它具有根本统一性。数学的统一性归因于不同数学理论之间的逻辑关系。物理理论则恰恰相反，它们并不需要逻辑上的一致性；它们具有统一性，是因为它们描述着同一个物理实在。物理学家对他们力图描述的那个实在通常没有关于存在性的怀疑。他们常常需要几种逻辑上不相容的理论去覆盖对某个给定类型现象的描述。他们对这种不一致性当然感到惋惜，但还是不会走到将不相容理论的任何一个丢弃的地步。他们除非找到能够以统一的方式说明所有观测事实的一种更好的理论，否则会一直保留这些不相容的理论。最后给出一些告诫。不要从事于关于物理学是决定性的还是概1机遇与馄沌I然性的，是定域的还是非定域的等等这类一般的抽象讨论。这些问题的答案依赖于所考察的物理理论，在那些理论中是如何引入决定论(determinism)、机遇或定域性（locality)的。有意义的物理讨论总是需要一个可操作的背景。无论它是由现有理论提供的，还是你不得不自己提出的对于至少是原则上可完成实验的足够明晰的描述。注释：1.数学家们事实上是有些异类的人群。这意味着：一些数学家以非常直截了当的方式处理问题，并将其成功归因于他们了不起的专业能力。另一些则翻来覆去地观察、直到他们找到一个可以使问题轻松解决的精妙窍门儿。（注意，这样的精妙窍门儿并不总是存在的。）因此，并非所有的数学家都是一个样子的，甚至其中一些看上去一点儿都不像数学家。但数学家之间常有一种家族的氛围。更普遍地，这种氛围存在于职业科学家之间。它甚至真实可觉。我在陌生的地方参加科学会议，已经不止一次是通过在街上跟随一位看起来像袅同行的人来找到我的目的地。其他人也深有同感。2.参看第22章和第23章。简言之，哥德尔不完全性定理所述如下。关于整数1，2,3，...，在公认的基本断言的框架内，哥德尔指出一些断言既不能被证明，也不能被否证：这些是不可判定的（undecidable)断言。即使人们增加基本断言的数量，但总是存在一些不可判定的断言。3.参看H.P6incar6,"L'inventionmath&natique"(数学创造），ScineceetAUthode的第3章（Paris:ErnestFlammarion,1980),英译本：ScienceandMethod(NewYork:Dover,1952)。另见J*Hadamard,ThePsychologyofInventionintheMathematicalField(Princeton:PrincetonUniversityPress,1945,再版，增订脤，NewYork:Dover,1949)0庞加莱探讨了一个例子：他不再有意识地思考的一个问题，它的解后来突然十分清晰地在他脑海中展现出来。显然，是某种无意识的工作在进行着。这种工作所涉及的，与其说是深层的无意识，不如说是弗洛伊德所谓的前意识。但贴上像前意识这样的标签，对解释所发生的这些事似乎于事无补。我想，无意识或前意识在科学发现中的作用对许多科学家来说都是熟悉的，但对此的真正理解却还未能实现。4.以下是摘自伽利略的&gpatore(1623)中的一段："哲学是写在一本永远在我们眼前展开的非常巨著上的（我指的是宇宙），但如果人们没有先学会著书所用的语言，认识拼写所用的字符，书的内容将无法被理解。它是用数学语言写就的，字符就是三角形、圆，和其他几何图形…一"5.物理理论的数学远远超出了运算中定义过的量，引人了还不能直接观測到的物质，甚至在原则上也是如此。当然，引入不可观测的物质是件非常微妙的事儿，从哲学的立场出发，人们也许被怂恿去拒绝它。但哲学上这种先验态度，至少在一些情况下，显出是一种有害的思想。例如，物理学家丘（GeoffreyChew)在20世纪50年代后期建议，粒子物理学家应该致力于研究一种所谓S矩阵的数学对象（它与实验量的关系非常密切），而不用理会不可观测的*子场。丘的想法在某种意义上是很有道理的。然而，事实表明，对场的考察已硕果累累（无论在丘的建议之前还是之后）。并且，我们决不希望没有它们。|2.数学和物理学3?概对机遇的科学解释，肇始于我们引入概率之时。概率的物理概念似乎是清楚而基本直观的概念，但这决不意味着这个概念是容易整理和公式化的。从直觉到科学，我们永远要非常小心谨慎地走。现在让我们更仔细地考察这个问U今天下午十有八九要下雨，所以我要带上雨伞。"这种涉及到概率的说法在我们做决定时总是有用的。将要下雨的概率估计为9/10,或90%，或0.9。一般说来，概率计算从0到100%，或用更加数学的语言，则是从0到1。概率0(0%)相当于不可能性，概率1(100%)相当于确定性。如果一个事件的概率既不是0也不是1，那么这个事件就是不确定的，但我们对于这个事件的不确定性是不完全的。例如，一个概率为0，000001(即百万分之一次机会）的事件是非常不可能发生的我们工作的成功依赖于环境，有些环境是确定的，有些则不是og此，正确估计不确定环境的概率是非常重要的，这就需要概率的物机遇与混沌I理理论（physicaltheoryofprobabilities)c我坚持要求它是一个物理的理论，是因为仅仅能够计算概率是不够的。我们还必须在操作上使我们的结果能够与物理实在相比较。如果我们对与物理实在的关系问题不给予充分的注意，我们很容易就会被诱入自相矛盾的圈套。因此，我们应该对像"今天下午会下雨的概率是0.9"这样的说法多加留神。退一步说，这个断言的操作含义并不明确，因此，它在这个问题上的地位也就有些可疑。我们现在考虑下列断言："当我向上抛硬币时，这枚硬币落下来正面向上的概率是0.5。"这话听上去显然是有道理的，至少在我抛出硬币之前是这样，但当硬币已经落下以后，它显然就是错误的了，因为这时不确定性已经消失。在什么时刻，硬币决定了落下时会是正面或是反面？假设你接受经典决定论的原理，那么宇宙在一个时来时将会是哪一面在宇宙创立之初就已被决定了！这是否意味着我们不得不放弃概率，或是说我们只有在用量子理论取代经典理论的时候才可以提到它？不是的！这不是研究物理学的方式。合理的态度是在非常不受限制的框架内引进概率，根本不提经典力学或量子力学。在数学上和可操作上明确了我们的概念以后，我们将以更有利的地位来讨论概率与决定论、量子力学等等的关系。关于引入概率，下面是我所想要捍卫的哲学立场。对于各种不同类型的现象(前面我所称的"实在片段"），都涉及概率的理想化。因为这些理想化有用，所以它们引起了人们的兴趣：它们可以帮助我们知道掷硬币时出现正面或反面的概率是相等的。它们可以帮助我们知道，如果你掷一枚硬币20次，每次都是正面的概率小于百万分之一。估箅概率有某种更为实质性的东西，因而它取代了不明确的|3,概率"机遇"。我们下面的任务就是给出这某种东西在逻辑和操作上一致的结构。如果不熟悉概率论（或一般硬科学），你会发现本章的其余部分有点令人生畏。尽管如此，绝不要跳过它！我希望能够概述一个物理理论的例子：操作上定义的物理概念、数学理论，以及物理概念和数学概念之间的关系。概率的物理理论正是我所希望描述的。从任何标准讲，它都是一个非常简单的物理理论。概率论是摆弄像意味着事件的概率是90%概率（)=0.9这样的断言的艺术。从数学的观点来看，事件只是一个应当按照一定规则加以处理的符号。而在一个物理理想化框架内，事件"^"真的是一个事件，诸如"今天下午要下雨"，这必须在操作上加以明确。（例如，我可能决定下午去散散步，而如果下雨了的话，我会注意到的。像物理学通常的情况那样，这个操作定义有些不太严密：在今天下午结束之前，我可能被一辆卡车撞倒，这就结束了我的气象观测。）从数学的观点来看，事件"非只是一个新的符号集合。而在我们想考察的所有物理理想化中，事件"非对应于事件决不发生这样一个事实。在上述例子中，"非A"就是指"今天下午不下雨"。除了以外，我们现在引入一个新事件。从数学的观点来看，这就允许我们引进新的符号集合，即或B"和"A与B"。这些新的符号集合仍然是一些事件。在物理理想化中，可能意味着"今天下午没有雨，但是有雪"或"我掉在地上的那片面包涂奶油的一面朝下"。而事件或物理上对应于发生|机遇与混沌|或发生，或和都发生。事件和则对应于和都发生。现在我们可以通过列出三个基本断言（即规则），来完成概率的数学表述：(1)概率（"非A")-1—概率（)(2)若VT和是不相容的，则概率（或B")=概率（)+概率（)(3)若和是独立的，则概率（"A与)-概率（M")x概率（)。我们过一会回来讨论这三个规则，但需要留意它们涉及了两个还未定义的新概念：不相容事件和独立事件。在一部关于概率的论著中，应该介绍一些有关如何处理非（non)、与（and)及或（or)的规则，并介绍不相容事件和独立事件等数学概念。还应该加上一些有关无穷事件集合的基本断言。这些确实都重要，但对我们打算做的事情来说不大要紧，因此我们将略过它们。我们刚刚一概略地但并非不正确地——干掉了概率计算的数学基础。1现在剰下的同样重要的任务，是明确概率的物理框架。说得更确切些，是各种各样的物理框架，因为概率会在各种全然不同的情况下出现，且操作定义必须按情况逐个地给出。这里我们将就自己的要求作一些一般的讨论。在物理理想化中，如果两个事件不能同时发生，它们就被称为是不相容的。假设事件和分别是"今天下午要下雨"和"今天下午没有雨，但有雪"。那么和是不相容的，而规则(2)指出要将它们的概率相加：90%下雨的机遇加上5%无雨有雪的机遇，得到下雨或下雪的机遇是95%。这在直观上是令人满意的。|3,概率|如果两个事件之间"毫无关系"，就被称为是独立的，即指这样的事实：平均来说，一个事件的实现对另一事件的实现没有影响。假设事件和分别是"今天下午要下雨"和"我掉在地上的那片面包涂奶油的一面朝下"。我认为这两个事件之间毫无关系，相互独立。运用规则（3),它们的概率应该相乘：下雨的概率90%乘以把奶油涂在地板上的概率50%，得出两件亊都发生的概率为45%。这在直观上是令人满意的：要下雨的概率有90%，面包掉在地上涂奶油的一面会朝下的概率有一半，那么室外既下雨、奶油又在地板上的概率就有45%。2于是我们就证明了规则（2)和（3)在直观上是合理的。至于规则(1)，它不过指出，如果下雨的概率是90%，那么不下雨的概率就是10%，这几乎是无可辩驳的。在我们刚刚讨论的各种概念中，独立性的概念显然是最难处理的。经验和常识告诉我们有些事件是相互独立的，但偶尔也会有和常识相反的意外。因此，我们应该证明假设为相互独立事件的概率遵循规则（3)的规律。并且也应该对操作定义加以非常仔细的斟酌。才能认为这些投掷是独立的。很好，我们现在知道该如何摆弄概率了，但我们还不知道它们在操作上对应于什么！以下就是决定的概率的方法：在可能发生的条件下进行大量独立的实验，然后观测"^"实际出现的比例：这个比例就是的概率。（对数学家而言，"大量的"实验意味着令一个数趋向于无穷大。）例如，如果你抛掷一枚硬币大量次数，那么正面朝上的情况大概有一半，即相当于0*5的概率。现在我们已经有了漂亮的操作定义，我们会问事件"今天下午要|机遢与浪？6|下雨"的概率指的到底是什么。事实上，要大量地独立重复"这个下午"显然是困难的。某些纯粹主义者（purists)就会因此而说所讨论的概率毫无意义。然而，我们也许能够赋予它一个含义，例如在计箅机上进行大量（与我们目前所知道的气象知识相一致）的数值模拟，找出模拟得到下雨结果的比例。如果我们得出下雨的概率是90%,连纯粹主义者也会带上他们的雨伞。注释：1.由柯尔莫哥洛夫莫立的概率微积分学的数学基础，在数学上是值得尊敬的。(正是同一个人，我们在第2章的开头讨论了他有关数学家心理的理论、在后面我们还会提到他的淌流理论。）权威的参考文献是A，N.Kolmogorov,GrundbegriffederWahrscheinlichkeitsrechnung,Erg,Math,(Berlin:Springer,1933)，英译本：FoundationsoftheTheoryofProbability(NewYorktChelsea,1950)。2.我们一定要给出事件独立性的物理定义。但是，称"相互之间没有什么关系"的两个事件是独立的，这几乎不能被称为操作定义。在特定情况下提出搡作定义，其有效性可以通过结果检验，这最好被称为是一条形而上的原则。但为什么不使用独立性的数学定义[基本上就是断言(3)],并通过统计检验核证？原则上，这是表达事物的一个简洁方式，也是教科书上所用的方式，但它不是实际中使用的方式。亊实上，统计检验的耗费巨大，且常常没有什么说服力。因此，科学家们首先凭着两个亊件相互之间没有什么关系，猜測它们是独立的。然后考虑独立性被破坏的可能原因。只有到最后，他们才会求助于统计检验。|3.概率|4.抽彩和星象上一章我用数学的基本规则、操作定义等等介绍了概率的概念，你也许怀疑所有那些谨慎的防范措施是否真的都必要。毕竟，我所讲的那些可以被归纳成寥寥数语：不相容事件的概率相加（得到或事件的概率），独立事件的概率相乘(得到与事件的概率），以及事件（在大量独立试验中）发生的比例就是这个事件的概率。只要稍加思考，这些都是相当清楚的，而且这些问题不应该引起争论。然而，当人们看到（在其他一些事件中）抽彩和占星的成功时，就会仔细衡量，关于概率，许多人的行为和所谓科学思维所规定的到底有怎样的不同。抽彩是社会上少数特权阶层欣然接受的一种抽税方式。你买的或许相当便宜的彩票，是你想发财的一个小小的希望。但中头彩的概率是非常低的：它是一种（像你在街上走的时候被一个落下的物体击中那样的）你通常都会忽略的小概率事件。事实上，无论收益是多是少，平均来说，都不能补偿你买彩票所付出的代价，而且概率的计算表明，如果你经常买彩票，那你实际上肯定输钱。让我们看看稍1机邋与混滩|稍简化了的抽彩，其中得奖的概率是10%,而你赢得的数目是彩票价格的5倍。在大量抽彩之后，你赢的比例接近1八0，而由于你赢得的数目是彩票价格的5倍，所以你总的收益大约是总花费额的一半。因此净收益是负的：你损失了约一半的钱。总之，你买的彩票越多，你损失的钱也就越多，并且对于更加复杂的抽彩，这个结论仍然是正确的，因为所有那些抽彩游戏都是出于组织者的利益，为了能从参与者那儿汲取钱财而设计的。1现在我想谈谈星象，为此，我需要一个概率计算的断言，事实上它只是上一章规则（3)的一个重新表述。这个断言是-(4)如果和是独立的，那么概率（，已知发生）=概率（)。换句话说，已知亊件发生，根本不能告诉我们任何关于的事情，而后一事件的概率仍然等于概率（)。在和独立的假设下，这是正确的。（如果事件"^"和"『不是独立的，我们说它们之间有相关，或它们相关联。）为感兴趣的读者的利益着想，规则（4)的证明在注释中给出。2现在我们可以讨论星象问题了。它比抽彩更微妙、更有趣，因为我们在这里不能马上看出概率所起的作用。典型地说，星象告诉你，如果你是狮子座的，行星的布局在这周对你有利，你在爱情和博弈方面将会很幸运，但如果你是双鱼座的，无论如何你都要避免乘飞机旅行，老老实实呆在家里，当心身体。天文学家和物理学家会反驳，是狮子座的"和"X将在这周的博弈中中奖"两个事件是独立的。类似地，"X是双鱼座的"和"如果％在这周乘飞机旅行就会出亊"也是独立的。事实上，没有比这些更能说明两个亊件之间毫无关系更妙的例子了，即从概率论观点来看，它们是相互独立的。|4.抽彩和星象|因此，我们可以运用上述的规则（4),给出结论：不管X是否是狮子座的，X在博弈中中奖的概率都是一样的，类似地，对于双鱼座和其他任何星座的人来说，乘飞机旅行的危险性都是一样的。总而言之，星象是完全没用的。那么，事情就这样判决且不允许上诉了吗？还不是的，因为占星术的拥护者恰恰要否认，"X是狮子座的"和"义将在这周的博弈中中奖"两个事件是独立的。他们还能给出一份既是杰出的天文学家（astronomers)又是占星术士（astrologers)的人的名单，例如喜帕恰斯（Hipparchus)、托勒玫（Ptolemy)和开普勒（Kepler)。结束这种争论最好的方法是根据实验：有人发现在星象和实在之间有显著的统计相关吗？答案是否定的，且彻底摧毁了占星术。但必须说明，科学家怀疑占星术是出于不同的理由：科学改变了我们对宇宙的认识，使得在古代可以被接受的相关性，现在与我们对宇宙结构和物理规律本质的认识不相容了。占星术和星象能够和古代的科学相吻合，但它们不符合当今的科学。然而，情况并非如此简单，并且值得认真讨论。我们知道，由于宇宙万物之间存在着力（万有引力），所以金星、火星、木星和土星都对我们这个古老的行星——地球——施加着某种影响。非常明显，这些影响都很小，因此人们可能以为它们对人类日常生活进程的影响是零。这是不正确的！事实上，某些物理现象，例如气象现象，对扰动显得非常敏感，因而一个很小的诱因在一段时间以后都会产生重大的影响。因此也就有理由相信，金星或其他任何行星的位置会对天气的演化产生不可忽略的影响。事实上，如我们下面将要看到的，证据在于今天下午是否下雨，除了许多其他因素以外，还会依赖于几周前金星万有引力的影响！而且如果我们考虑得仔细会发现，1机遇与混吨|告诉我们金星对天气有影响的这个观点，还妨碍了我们了解这种影响到底是什么。换句话说，就我们概率论的作用而言，今天下午下雨和金星在这儿或在那儿的事实仍然是两个独立的事件。当然，所有这些都与常识相一致，但还是比我们可能会有的天真想像要微妙得多(见注释中的讨论）。3让我们继续讨论。是否存在这样的情况：恒星和行星对我们的曰常亊物有着特殊的影响，从而导致了从概率论观点来看有意义的相关性？让我们想像一位有些疯狂的天文学家，他会根据自己对金星的观测，而变成虐待狂去犯罪；这不就是根据某种星象而给出的有意义的相关吗？这种设想并非完全荒诞不经：仔细观测着金星周期的古代玛雅人，也是狂热的人类牺牲者(他们用燧石做成的小刀将受害者的胸膛切开，然后扯出心脏，并将其烧成灰烬）。这意味着人类智力的介入提供了一个可以在先验毫无关系的"事件"之间引入相关性的机制。那么，我们怎么才能确定两个事件之间真的是相互独立的昵？事实上，现代科学家的优势就是，对于宇宙是如何形成的已经有了相当详细的认识，对它是如何运作的也已有了充分的认识。因此，我们对于何种相关存在，何种相关不存在，已经有了相当准确的意见。例如，我们知道化学反应速度可能相当程度上会受到微量杂质的影响，但不会受到月相的影响。如果有疑问，我们可以检验。智力因素能够导致另外一些出乎意料的相关，但这些相关能够做什么也受到了限制。"如果你是狮子座的，这周你在爱情和博弈方面将会很幸运。"我们能对行星的位置与x(天宫图的读者）的个人生活之间的相关说些什么呢？如上所述，如果涉及到智力的因素，这种相关就不是不可能的（玛雅神父或疯狂的天文学家）。而对于其余情况，我们可以|4.抽彩和扈象|排除此种相关的存在。我们的祖先带着大量的"智力因素"一"#仙、魔鬼、小精灵一在宇宙中生活，而科学极大地打击了它们。神仙们是死的……而人的干预并不能改善X在"博弈中的运气"。(我们设立了规则，不允许十足的欺骗。）那么，是狮子座的和在本周的博弈中有好运就显然是两个独立的事件，统计研究将能够明确地证实这一点。但X在爱情方面的运气又如何昵？这里人的干预就不仅仅只是可能的了，简直就是必然的，因为就是我们这位朋友X(天宫图的读者）的干预，只要他或她是有些容易轻信的。相信这周"在爱情中有好运"增强了我们的自信心，从而让我们走运，这确实是人的本性。不可避免的结论是，基于我们视为"暗示"或神谕的偶然巧合，我们常常会做出一些非理性的决定。这种非理性的行为远非总是有害的：避免从梯子下走过是非理性的迷信，但也箅是合理的小心。进而，我们将要看到，博弈论告诉我们，随机地做某些决定也是有益的。最后，以为我们有能力理性地决定自己的所有行为根本就是一个错觉。尽管如此，具备有关概率的正确思想，能够帮助我们避免比较严重的错误。看到那些最负担不起的人们在抽彩和类似的博弈中输掉钱财，非常令人悲伤。而说到星象，我得承认，有一阵子我很喜欢读有关的文章。对出门远行，浪漫偶遇，或惊人遗产等等的预言有某种近乎诗意的东西，而只要你对这些预言别太认真，它们几乎都是无害的。然而，面对某些商业企业根据星象做出雇用决定的事实，人们当然可以感到愤怒。这种"星象"歧视比单纯的愚蠢还要坏，它是彻头彻尾的欺骗。I机通与混沌I注释：1.事实上，偶尔买一次彩票（或是赌上一小笔），如果你从中获得了适当的消遣的话，也许无可厚非。经济学教科书上讨论了它的逻辑性，以及保险业上的相关问题（为什么即使你知道保险公司从你身上获得了不公平的利润，买保险仍然是有意义的呢）。我们已经指出的是，抱着发财的希望而购买大量的彩票不是一个好主意。2.在次数为W的大量试验中，令事件M"发生的次数为JV(&1)，和都发生的次数为W(A与B)。已知已经发生的情况下，的概率应该近似为N(A与B)N(A)'它等于NCA与fl)二NCA)N：N、因此，也就约等于概率（VI与J3")+概率（*VT：)。那么，有理由给出如下定义概率（，巳知"4"发生）=概蜃^！冗"\(这就是所谓条件概率。）如果和是独立的，断言(3)就意味着等式的右边为概率（M")x概率（"g")―mm(f)概率（UA"X—TO半v。这就证明了(4)。3.关于天气会敏感依赖于几周前金星的位置，而统计上却独立于它是怎么回亊，让我在这里给出一个简要的学术讨论。令x为在一定条件下，即宇宙中，或一更好的说法是一宇宙的理想化中，系统的某个初始状态，它描述在其他事物中，金星的位置和你所在之处的天气。如果初始状态*指的是几周前的状况，那么今天下午的状况就是状态这里尸称作时间演化算子，它是我们系统状态（对应于从几周前到今天下午的时间演化）空间的变换。集合^代表我们系统可能的初始条件，但我们不能辨别它们：这就说明了我们不能完全精确知道初始条件。（为了讨论，我们可以假设不能完全精确知道的只是金星的初始位置。）今天下午天气的不同可能性，由集合中所有的集合，i实上它将能够覆盖天气所有不同的可能性。现在，令B是描述今天下午下雨这一状态的集合。的部分会落在B中，部分会在它之外，因此，几周前金星的影响也就妨碍了我们预測今天下午是否下雨。（你所在的地方）今夭下午有雨、并且和我们所了解的几周前（金星）的状况相一致的宇宙状态是交集（/f&onB中的点。我们能就这个交集说些什么呢？为了能够展开讨论，我们利用这样一个事实：对于许多时间演化，都存在一个不随时间演化而改变的自然概率测度w，用以描述各种事件的概率。例如，w(广A)=m(A)就是与我们的初条件相关联的事件"^"的概率。进而，m((/M)n就是几周前事件Mw和今天下午事件都发生的概率。在许多情况下，对于f很大的时候，都会有m((/'&4)n丑）?m(&4)x/n(B)0这一所谓31合的特性表示集合/fA是如此卷绕，以至于它在B中的部分与B的大小[用m(B)度量]成正比。如果从概率的角度解释上述混合特性，我们看到它给出的结果与今天下午下雨和几周前金爵的位S之间（在统计上)相互独立的假设完全一致。=0的现象在专业上是一个次要的困难，取个适当的极限就可以解决。]|4.抽彩和星象|上述统计独立性的理由，当然不能令一个要求证明的数学家满意。而我们根本不能给出证明：这问题简直太难了。如果你是一位物理学家，就不会介意没有数学证明，但你会要求一些别的东西。首先，你会要求找到在我们这个问题中初条件敏感依赖性的证据，并且想知道"几周"到底是几周（这将在下面的章节中讨论）。然后，你会想精确地定义金星的位置的含义(如果你不太仔细，金星的位置与一年中的时间，以及由此而生的季节性天气相关联）。你还要考察混合的问题。由于直接攻克这个问题非常困难，你会尝试假设下雨和金星的位置之间的统计独立性，看看能出什么差错。可能出现的差错，就是依据对金星的观测修改了天气的智力因素。但就目前的技术而言，这不太可能。最后，如果这件事儿足够有趣，你会着手于关于天气和金星位置之间独立性的一系列观测和统计检验。我们的讨论至少还有一个问题尚待解决：我们所谓的智力因素指的是什么呢？在这—点上，我们能说的只是智力因素引人了在其他情况下你丝毫预料不到的相关性。如果你想一下，这并不是智能的一个有害的特征。机a与混沌15.经典决定论时间流逝，是我们理解这个世界的一个基本方面。我们巳经看到，机遇是我们理解世界的另一个基本方面。这两个方面如何相互吻合呢？掷硬币之前，我估计出现得到正面或反面的概率都是50%。然后，我掷出硬币，结果（镰如说）是正面。那么硬币在什么时刻决定了正面朝上？我们已经向自己提出过这个问题，但是回答它并不太容易：在这儿我们面临着用几个不同的物理理论描述的那些"实在片段"中的一个，而且这些不同理论之间的联系是有点儿生硬的。我们前面讨论了描述机遇的理论一概率的物理理论。对于时间的描述，则更为棘手一些，因为至少有两个不同的理论任我们选用-经典力学和量子力学。我们暂时忘记掷硬币的问题，来讨论力学。力学一无论经典力学还是量子力学一的宏愿就是要告诉我们宇宙是如何随时间演化的。因此，力学必须描述行星围绕太阳的运动，以及电子围绕原子核的运动。而尽管对于大的物体，经典理论给出了漂亮的结果，但,|5.经典决定论|在原子水平上它就变得不合适了，必须用量子理论代替。所以，量子力学比经典力学更加正确，但用起它来却也更加微妙和困难。事实上，无论经典的还是量子的理论都不适用于接近光速运动的物体，在这种情况下，我们必须使用爱因斯坦（Einstein)的相对论（狭义相对论，或者如果我们想描述引力的话，就用广义相对论）。但是，你也许会提醒我，为什么只停留在经典力学或量子力学上？难道我们不是更想用能够将所有量子效应和相对论性效应都考虑进去的完美力学吗？毕竟，令我们感兴趣的是和它的真实存在完全一样的宇宙，而不是这种或那种经典的或量子的理想化。让我们仔细考虑一下这个重要的问题。首先，不得不面对现实：我们还没有完美的力学（truemechanics)。在我写这本书的时候，我们还没有一个能够与我们所知的全部物理世界（相对性、量子、基本粒子属性，以及万有引力）相一致的统一理论。每个物理学家都希望看到有这样一个统一理论可供我们使用，而这也可能有朝一日就会实现，但现在还仅仅是一个希望。即使这些理论中的一个已经被认为将来会成为我们所希望的那一个，但现在它还不能在我们计箅基本粒子的质量以及它们的相互作用等方面的工作上起到作用。我们目前所能尽力做的，就是使用一个有些近似的力学。本章，我们将采用经典力学。以后我们将看到量子力学乃基于有点儿不太直观的物理概念。量子力学与机遇的关系也就因此更难以分析。一切似乎都表明完美力学的物理概念将很难用直觉去把握。因此，用经典力学一以其清晰的物理概念一去研究机遇和时间之间的关系也就很合理了。如上所述，力学的宏愿是要告诉我们宇宙是如何随时间演化的。此外，力学还必须描述行星围绕太阳的运动，描述由火箭发射的空间运载工具的轨道，描述黏性流体的流动。总之，力学必须描述物理|机遇与混沛|系统的时间演化（timeevolution)0牛顿是第一个真正了解该如何做这件事的人。让我们用比牛顿所用的更为现代的语言来说明，在某个时刻物理系统的状态是由系统中物质所集中的那些点的位置和速度给出的。因此，我们必须给出行星的位置和速度，给出我们感兴趣的空间运载工具的位置和速度，给出组成流动黏性流体的所有点的位置和速度。（在最后一个例子中有无穷多个点，因此要考虑无穷多个位置和速度。）按照牛顿力学，如果知道了一个物理系统现在某个给定时刻——让我们称之为初始时刻——的状态(位置和速度），我们就知道了它在其他任何时刻的状态。这个认识是如何获得的呢？这里需要一个新的概念，即作用于系统的力。对于一个给定的系统，每一个瞬间的力是由这个瞬间系统的状态决定的。例如，两个天体间的引力和这两个天体间距离的平方成反比。现在牛顿告诉我们，系统状态随时间的变化和作用于这个系统的力有关。（这种关系由牛顿方程加以表达。P已知一个系统的初始状态，我们就可以由此确定系统状态是如何随时间变化，从而就如我们宣称的那样，确定了其他任何时刻系统的状态。我们刚刚用几句话展现了普适思想的那个伟大的里程碑——现在也被称为经典力学的牛顿力学。对经典力学的认真研究，需要用到在这里我们无法给出的数学工具。但我们可以对牛顿理论做一些有趣的评述，而无需涉及详细的数学讨论。首先让我们注意，牛顿的思想使他的许多同时代人大为震惊，特别是笛卡儿（Ren6Descartes),他就不能接受在天体间"远程力"的概念。他觉得这个思想是荒谬的、非理性的。根据牛顿的观点，物理学就是将数学理论粘接在实在片段之上，以这个方式再现观测事实。但对笛卡儿来|5，经典决定论|说，这个方法太不严格了。他希望有一个只存在相互接触的力，像一个齿轮和另一个齿轮之间的那样，而没有远程力的机械论(mechanistic)解释。物理学的发展已经说明牛顿（而不是笛卡儿）是正确的，试想后者会如何看待不能同时确定一个粒子的位置和速度的量子力学呢？回到牛顿力学，我们发现它给出的是完全确定的世界图景：如果我们知道宇宙在某个(任意选择的）初始时刻的状态，我们就应该能够确定它在其他任何时刻的状态。拉普拉斯（Laplace)(如果你喜欢，可以称PierreSimon,MarquisdeLaplace)曾经给出过一段关于决定论的优美而著名的表述：/一种智慧，如果它能够知道，使得自然界生机勃勃的所有的力，以及构成自然的所有元素各自的状态，在某个给定瞬时的全部情况，进而，如果它足够庞大以至于可以分析所有这些数据，那么，它将可以用同一个公式囊括宇宙中最庞大物体和最微小原子的运动：对它来说，没有什么事情是不确定的，无论将来还是过去都将呈现在它眼中。已经能够造就完美天文学的人类的头脑，寐胧地显现了这种智慧的样子。2拉普拉斯的这段话几乎有种神学的味道，并且肯定会引出各种疑问。决定论和人的自由意志能相容吗？它和机遇能相容吗？我们先讨论机遇，再简要考察有关自由意志的繁杂问题。乍一看，拉普拉斯的决定论没有给机遇留下任何余地。如果我向空中抛出一枚硬币，经典力学的定律就确定无疑地决定了它落下来的方式以及落下后的结果。由于机遇和概率实际上在我们|机遇与浪纯i对自然界的认识中起到了非常重要的作用，所以我们也许就想驳倒决定论。然而实际上，我将要指出，使机遇与决定论对峙而形成的困境在很大程度上是一个假问题（falseproblem)0在这里，让我试着对如何避免这个问题给出一些简要说明，而更为详细的研究将留待后面的章节讨论。首先要注意的是在机遇与决定论之间不存在什么逻辑不相容性。实质上，系统在初始时刻的状态并非精确给定的，而是随机的(random).用更加专业的话来说就是，我们系统的初始状态具有某种概率分布。如果情况是这样，那么系统在其他任何时刻的状态也都将是随机的，它的随机性（randomness)将由新的概率分布来描述，而这个概率分布能够通过运用力学定律被确定地推演出来。实际上，系统在初始时刻的状态绝不可能被完全精确地获知：我们不得不允许在初始状态中有那么一点儿的随机性。我们将会看到，初始的那么二点儿随机性会在后来给出许多的随机性（或许多的不确定性）。所以我们看到，实际上决定论并不排斥机遇。所有我们能说的就是，我们可以在完全不提及机遇或随机性的情况下提出经典力学^果我们是如此希望提出它的话。后面我们将看到，对于量子力学这个结论就不成立了。物理实在的两个理想化也许就是因此而在概念上完全不同了，尽管它们对于一大类现象的预测简直完全一样。机遇和决定论之间的关系已经是许多讨论的对象，最近更成为托姆（Ren6Thom)和普利高津（IlyaPrigogine)之间3激烈论战的主题。这两位先生的哲学思想确实存在着激烈冲突。但有趣的是，当人们提及可观测现象的细节时，在严肃的科学家之间就不再有什么可争执的了。（如果还有对立的话，那些对立也许就更有趣了。）让我们注5,经典决定论意托姆的主张，他认为由于科学的任务是要阐明规律，所以对于宇宙时间演化的科学研究就必定要给出一个确定性的表述。不过，它并不一定就是拉普拉斯决定论。我们可能可以非常成功地获取一些决定着某些概率分布的确定性定律；但机遇和随机性决不是如此容易回避的！然而，论及机遇与决定论对峙的困境，以及相关的自由意志问题，托姆的意见还是非常重要的。亊实上，托姆告诉我们的是，这个问题不能通过对这一个或那一个力学的选择来解决，因为本质上，力学就是确定性的。自由意志（freewill)是一个伤脑筋的问题，但不能留着它不做讨论。在这里，让我简要地给出量子力学的奠基人之一薛定谔（ErwinSchrddinger)从事的学科所维护的一个观点。4量子力学留给机遇的作用唤起了人们的希望，正如薛定谔所指出的，这个力学，比起拉普拉斯决定论来，将能够更好地与我们关于自由意志的思想相吻合。但是，他说这种希望只是一个错觉。薛考谔首先注意到，根本没有起源于其他人自由意志的真正问题：我们能够接受所有关于他们的决定的一个完全确定的解释。引起困难的原因在于，决定论和我们的自由意志之间的表观矛盾。数个可能性同时向我们开放，而我们从中选择一个以确保自己的责任，这个事实深刻地显现了上述矛盾的特征。将机遇引人物理定律完全不能帮助我们解决这个矛盾。实际上，我们能说，我们是用做出随机选择来确保自己的责任的吗？事实上，我们的选择自由常常都是虛幻的。薛定谔举例，设想你和一些重要但讨厌的人一起出席一个正式的社交宴会。（很显然，他经常受到这种款待，比他应该得到的要多。）他说，你可以考虑跳上桌子，然后开始跳舞，打破玻璃杯和盘子，但是你绝不会那么倣，你也就不能说你运用了自己的自由意志。在别的一些情况下，选择确实i机遢与混滩|被做出了，但也许是负责而痛苦的选择，这样的选择当然不具有随意做出的特点。总之，在理解自由意志方面，机遇帮不了我们，而无论是在自由意志和经典力学之间，还是在自由意志和量子力学之间，薛定谔都没有看到有矛盾存在。和自由意志有关的是古老的神学问题，得救预定论(predestination):是否上帝已经事先决定，哪些灵魂会被拯救，哪些会被打人地狱？这是基督教的重大问题：在这里，和自由意志相对立的不是决定论，而是上帝的全知全能。拒绝得救预定论似乎限制了神的力量，但接受它又似乎使精神努力变得徒劳。得救预定论教条受到奥古斯丁（SaintAugustine,354?430)、阿奎那（SaintThomasAquinas,)、新教改革者加尔文(JeanCalvin,)以及17世纪詹森教派信徒们(Jansenists)的捍卫。而官方天主教会的态度是谨慎的，总是不愿承认立场强硬的得救预定论学说。如今，曾经一度对智力生活是如此重要的有关得救预定论的争论，正渐渐成为过去。时间正把成千上万页用中世纪拉丁文写成的神学辩论埋葬进湮没的沙砾。这些古老的问题尚未被解决，但，渐渐地，它们越来越没有意义，它们被遗忘，它们消失了……我个人对于自由意志的看法是与可计箅性（compiitability)问题联系在一起的。关于这一点，我们将在下面的章节中讨论。为了突出问题，我想谈谈有些人（预言者）的悖论（paradox):他们用物理定律的决定论预言未来，然后再用自由意志反驳自己的预言。这个悖论在预言者能够给出精确得令人难以置信的预言的科幻小说中显得尤其迫切。[想想赫伯特（FrankHerbert)的《沙丘》和阿西莫夫（IsaacAsimov)的織地》吧。]我们如何处理这个悖论？我们要么抛弃决定论，要么抛弃自由意志，但还有第三种可能：我们可以怀疑任何一|5,经典决定论个能够预言得如此之好以至于产生悖论的预言者的能力。注意，如果一个预言者以破坏对某个确定系统的预测来制造悖论，那么这个预言者也必定是所涉及系统的一部分。这就意味着这个系统可能相当复杂。所以，对该系统未来的精确预言很可能需要庞大的计箅能力，这个任务很轻易地就超出了我们这位预言者的能力所及。以上讨论只是对于一个没有经过精确表述的问题的有点儿不太严格的论证，但我认为它还是确认了为什么我们不能控制未来的原因（或原因之一）。这种情况类似于哥德尔不完全性定理。在那儿，同样是对一个悖论的思索导致了如下证明：某些断言的真假不可被判定，因为要做出一个这样的判定所需的时间将长得令我们一筹莫展。简言之，令我们的自由意志成为一个有意义概念的，正是这个宇宙的复杂性，或更确切地说，是我们自身的复杂性。注释：1.牛頓方程：考虑质量为mw(正数），位置为xi，.■?，Jtw(三维空间向量）的W个点；则牛顿方程为mij^x,=Fi(i=1，…，JV)，其中，R是第i个质点所受到的外力（一个三维向量）。我们只单独提到了一个牛顿方程，但实际上有3W个，因为在每个位置上都有3个分量。万有引力写为其中y是万有引力常量。这种力是用于研究诸如行皇围绕太阳旋转这样的运动的。如果已知在某个初始时刻的位置&和速度dxi/df,那么原则上说，从牛顿方程推导出它们在另一个时刻的位置和速度是可能的。我用了凍則上这个词，是因为对于所有初条件来说，万有引力的牛顿方程并不保证其解的存在性和唯一性。并且，当W等于3或是更大的时候，方程就得不到具有显式解析形式的解，对于它们的研究变得非常敏感和棘手。2.P,S.Laplace,Essaiphitosophiquesurlesprobabililit^s(PCourcier,1814).3.R,Thom,"Halteauhasard'silenceaubruit(，mortauxparasites)"，EdgarNtorin,tfAu-deladud^terminisnie:Ledialoguedel'ordreetdud6sordre"，IlyaPrigogine,"Lai,histoire…etdesertion."这些文章1980年发表于法文杂志D6fc?f(no.3andno.6),并且托姆在印好发行的版本中漏掉了"mortauxparasites"。这些文章连同其|机遇与混沌|他―些文章，女口今再版于合集Laquerelledud^terminisme：Philosophicdelascienced，aujourd，hui(Paris:GaUimard,1990)中。4,E.Schrodinger,"Indeterminismandfreewill,"Nature,July4，1936，pp,13?！4'这篇论文重印于E.Schrodinger，GesammelteAbhandlungen(Vienna：Vieweg,1984),voK4，pp,364?365。I5.经典决定论I6.博弈一般的骰子都有完全相同的六个面，分别标明从1到6六个数字。为了产生随机数字，若能找到完全相同的十个面分别标明了从0到9十个数字的骰子就方便了。实际上，并不存在有十个面的正多面体，但有20个面的（二十面体），我们只要在相对的两个面上写上相同的数字就可以了。投掷一次这样的二十面体骰子，可以产生从0到9中的一个数宇。而每个数字出现的概率都相同，均是1/10。而且，我们可以使相继的投掷都是相互独立的，从而以这种方式得到一系列独立的数字。这种掷骰子游戏的概率理论使我们可以去计箅前几章所讨论的各种概率。例如，三次相继投掷的结果相加为2的概率是6八000。所有这些并不非常令人激动。但你也许会为这些打印出的"随机数"(randomnumbers),即上述随机数字（randomdigits)，所组成的序列感到惊奇，像7.?.。拥有这样的一个序列似乎完全没什么用。但在这一章中，我将到博弈论(g?metheory)中去1机遢与馄沌1做一次小小的游览，并证明与上述恰恰相反的观点。这是一个你知道的游戏。我（在背后）把一个弹子握在左手或者右手，然后伸出拳头给你看，你要猜出弹子在我的哪只拳头中。我们进行许多次这个游戏，记下结果。最后计箅出你猜对了多少次，猜错了多少次，并用钱、啤酒或其他什么东西结箅你输赢的差额。假设我们俩都想赢，而且两人都绝顶聪明。如果我总是把弹子放在同一只手中或只是简单地交替变化，你很快就会注意到并赢了我。事实上，任何我试图设计的这种机械的策略，最终都会被你看穿。是否这就是说你必然会赢了？不是的！如果我以1/2的概率随机地把弹子放在任何一只手中，并且使相继的选择之间相互独立，那么你大约会猜对一半儿，平均来说，你既不赢也不输。你会猜对一半儿（即概率是1/2)是很显然的。只要说明我手的选择和你的猜测是独立亊件，就可以令人信服地证明这一点。注意，对我来说，"相当随机地"把弹子放在左手或右手是不够好的。对一只手的任何偏好，或在相继选择间的任何关联，都将对我不利，从长远来看，你都将会赢了我。当然，我可能很聪明，诱使你做出错误的选择，结果你输了。但你不难用随机的猜测来对付我。现在，我如何以1/2的概率做出左右手的独立的相继选择呢？嗯，如果有一个随机数组成的序列，我可以设定，偶数对应右手，奇数对应左手，这就得到了解决问题的诀窍。然而，要记住一个基本的事情：我手的选择和你的猜测应该是独立事件。因此，你应该对我的随机数序列一无所知，而我也应该不给你任何有关我把弹子放在哪只手里的暗示。特别是，我不应该发送任何可能对你的猜测有用的心灵感应的消息。对于这最后一点，（恰恰就是我们所讨论的这种|6.博弃|游戏的）有关实验已经做了，它们明确地显示不存在任何心灵感应(telepathy)。所以，私人拥有的随机数字序列终究是一份有用的财产。无可否认，如何获得一个随机数字序列的问题仍需进一步的讨论，不过我们会在以后对它进行充分论述。目前，还是让我们再多考虑一下博弈的问题。博弈过程中随机行为（randombehavior)的有用性，对于哲学和实用来说，都是一个重要的观察结果[基本上归功于法国人博雷尔(EmileBorel)和匈牙利-美国人冯?诺伊曼（JohnvonNeumann)]。当然，如果你和某人合作，通常还是让行动有规律可循会比较好一些。但在竞争的情况下，最佳策略常常都涉及随机的不可预测行为(unpredictablebehavior)0让我们考虑这样一种"游戏"：我有从各种行动中选择其一的权力，而你在不知道我会如何行动的情况下，决定你自己的行动，这个游戏的结果（即，我付给你多少钱，或是你付给我多少钱）由这两个行动决定。例如，我的行动是选择一只手放进一个弹子，而你的行动是猜测弹子在哪只手中。如果你猜对了，我给你1美元，如果你猜错了，你给我些什么（1美元，或其他什么东西）。另一个游戏将使我到战场上去，躲进一个掩体，而你则开着一架小飞机在天空盘旋，扔下炸弹，试图命中我。对于我来说，一个自然的想法就是选择附近最好的掩体，躲藏进去。但你也会很自然地想到，去找出最好的掩体，然后炸毁它……所以我若躲藏在第二好的掩体中不是就更好了吗？如果我们都非常聪明，我们就都会去用概率策略（Probabilisticstrategies)。我将计箅出躲藏在各个可能的掩体中的概率，即总体上最能让我幸存下来的机遇值，然后抛一枚硬币1机遇与混滩|(或用一张随机数的列表）去决定躲在哪儿。类似地，你也想把炸弹扔在总体上让你最有可能命中我的地方。这听起来也许有点儿疯狂，但如果我们俩都很聪明，且都依"理性"行事的话，这将是我们应该做的。当然，如果我不能保持我行动的隐蔽性，你将能够做得更好，而且你应该千方百计地防止我洞悉你的轰炸意图。在日常生活中，你会发现你的老板、你的爱人，或你的政府常常试图操纵你。他们推荐给你这样一种做选择的"游戏"，它的两个选项中的一个显然是更可取的。刚刚选了那个合理的选择，你就面临着新的一轮游戏了。很快你就会发现，你的那个合理选择带来了一些你从来也不想要的东西：你中了圈套。为了避免这种情况，记住略微离奇的行动也许是最佳策略。你做出一些次最优选择(suboptimalchoices)而失去的东西，将因为保持着更大的自由而得到补偿。当然，这种思想不仅仅只是离奇地行动而已，还要按照特定的概率策略去做。这种概率策略恰恰涉及到一些我们现在想要计箅的概率。这里有一个由下面这个支付表(tableof/?wfi&)决定的特定游戏。^你的选择我的选择&1&2&3&41&0&1&3&12&—1&10&4&23&7&-2&3&7我有几种选择（比如说3种），你也有几种（比如4种），我们相互独立地做出各自的选择。（这些选择类似于隐蔽在某个确定的掩体里，或在一种纸牌游戏中打出某一^确定的牌。）当我们两人都做出选择以后，就按上表支付一定的报酬。例如，我选2，你选4，你就|6.博弈得付我2美元。如果我选3，你选2，那么报酬为负2美元，即我付给你2美元。假设我以某种概率做出我的3种选择，你也以某种概率做出你的4种选择。那么所有这些概率就决定了一个确定的平均支付（或期望支付），当然你将尽力使这个平均支付最小，而我将努力使它最大。1928年，冯*诺伊曼证明了，你最小时我最大和我最大时你最小是一样的（这就是著名的极小极大定理）。1这就意味着，因为我们两人都是非常聪明的对局者，所以我们恰恰在怎样才能使结果不一致的方面达成一致0我将不再深入计算你我的选择的概率以及平均支付的详细数学问题。这个问题属于所谓线性规划（linearprogramming)的一种普通的问题类型，且当可供你我选择的选项都很少的时候，这个问题并不太困难。一旦支付表变得庞大，问题就变得更困难了。我们将在以后评述线性规划问题如何之难。如上所述，博弈论是个美妙的数学理论，它显示了拥有一个产生随机数字的神秘来源是一件多么有用的亊情。但或许我们生活在一个没有任何随机的确定性宇宙中。少了上帝以私人专线向我们发送随机数字，我们该怎么办？我们也许可以转动骰子或投掷硬币，并在某些操作上被定义的条件下，断言这样就产生了随机选择。但在某些情况下，我们将不得不去查明这种随机性是如何产生的。这是件有点儿复杂的事情，我们将用下面几章来阐明它。注释：1.极小极大定理。我们考虑有限零和两人对策。有这样两个局中人，A和5。A可以在M个选择(分别标明1，...，M)中任选其一，而B有个选择（分别标明1，?*?，|机遇与混沌1A0。对策称为有限，是指M和W是有限的。局中人A的选择i和局中人B的选择j使局中人A得到局中人S得到-K0，。对策是零和的，指一个局中人所得数*II就是另一个局中人所失。现在假设局中人A挑选他的选择的概率是/^，….，Pm^局中人S，她的选择概率是&，…，qNo那么，局中人A的平均支付为AfN局中人B的所得即是上式的负值。对于局中人B所最不可能选择的g们，局中人A将努力使他的平均支付尽可能地大。这就给出(^，—??，qNKp、,咖…，p^HKyp^"(1)ij局中人B的相应所得为(Pi,—?'，Pm)(&，匪…，QN)ZZ^K^Pi^i匪…，PM)(q1,^…，卜(2)极小极大定理指出（1)式是(2〉式的负值，即.minmax2^/C/yp{qj=maxmin^^piq-,(3)其中，取极小和极大的条件是^，...，PM，q,.....且=D幻=I注意：若局中人A和B没有用这些概率策略，而是坚持以炖枰的策略取代，那他们之间就没有极小极大定理，因为一般情况下minmaxKj;^maxminKu。然而，这种情况下，局中人的一方就会发现转用概率策略有利可图。极小极大定理的得出，应归功于冯?诺伊曼（J.v.NeumannandO,Morgenstern,TheoryofGamesandEconomicBehav/or[Princeton：PrincetonUniversityPress,1944])。我们如何得到给局中人A和^提供了最优策略的巧和力，以及（3)式中的/C值？这些量都由以下线性条件决定：《K(i=1,…，M)&K(j"，…，N)'1求解这一系列线性等式和不等式，是一个线性規划问题。对于正文中给出的那个支付表的特定情况，可以算出^=0,p2=0.45,/&3=0.55，q,=0.6,qz=0.4,q3^q4^0,K=3,4。X尺，9o-Io&\I6.博穽7.初条件敏感依赖性你一定还记得发明了国际象棋游戏的那个智者的故事。作为奖赏，他要求国王在棋盘的第一个方格中放1颗谷粒，在第二个方格中放2颗，在第三个方格中放4颗……依此类推，每个方格中的谷粒都是前一个的两倍。一开始国王认为这是一个非常合适的奖赏，直到后来他发现需要的谷量是如此巨大，以至于不仅他，世界上任何一个国王都无法提供得出。这是很容易验证的：如果你倍增10次，下一次就与1024相乘，如果你倍增20次，下一次就乘以比100万还大的数，依此类推。一个量在一定时间以后翻倍，然后又在同样的时间间隔后再翻倍，这样一次又一次反复进行，这就被称为指数增长。正像我们刚刚看到的，它马上就变得非常巨大。指数增长也称为常数率增长：如果以5%的常数率在银行里存钱，只要你可以忽略税收和通货膨胀，大约14年后这笔存款就是原来的两倍了。这种增长类型是很平常的，而且在现实世界中普遍存在，……但从来都不能维持很长的时间。|机遇与混？e|当你试着让一枝铅笔的笔尖立着使它保持平衡时，我们可以用指数增长的思想来理解所发生的事情。除非你作弊，否则不会成功。这是因为你永远不能使这枝铅笔恰恰处于平衡状态，任何偏离都将使铅笔倒向这一边或那一边。如果人们用经典力学定律来研究铅笔倒下的问题（我们将不这么做），他们会发现，铅笔以指数速度迅速地倒下（这是个近似，至少在刚刚开始倒下的时候是这样的）。因此，铅笔对平衡位置的偏离在某个时间间隔内将增长一倍，相同一个时间间隔内再增长一倍，依此类推，很快铅笔就平躺在桌子上了。我们对铅笔的讨论给出了一个对初条件的敏慼依赖性（sensitivedependenceoninitialcondition)的例子。这意味着，在0时刻（即铅笔的初始位置或初始速度）系统状态的一个微小变化，将导致后来随时间指数增长的变化。一个很小的原因（smallcause)(把铅笔向右或向左轻轻推一推），将引起很大的结果（bigeffeCt)。似乎这种情况要发生（小原因产生大结果），人们在初始时刻需要有一种特殊的状态，像铅笔在笔尖上的不稳定平衡状态。反之亦成立：许多物理系直觉的，数学家和物理学家们为了搞清楚这究竞是怎么回事颇费了一番工夫0我们看另外一个例子一有圆形或凸起障碍物的台球游戏。像物理学家常做的那样，我们对这个系统进行一些理想化：我们不考虑"自旋"，忽略摩擦，并且假设碰撞是弹性的。我们感兴趣的是台球中心的运动，只要没有碰撞，它们就是匀速直线运动。当台球与陣碍物碰撞时，我们代以考虑台球中心被一个较大的降碍物（障碍物一定要比台球的半径大——见图7.1)反弹。台球中心被一个障碍物反弹回来的轨迹，和光线被镜子反射的路径完全相同（这就是所谓弹|7.初条件敏感依《性|性碰撞的含义）。现在，有了这个和镜子的类比，我们就处于有利地位，可以来讨论台球问题初条件的变化了。图7.1—个有凸起障碍物的台球桌，台球从左下角开始运动，图中（用实线）标出了台球中心的运动轨迹。一个虚拟台球以稍微不同的方向（虚线）出发。几次碰撞以后，两条轨迹彼此不再有什么关系了。由此，我们假设在同一张台球桌上有一个真实的和一个虚拟的球。我们同时击打它们，使它们具有相同的速度，但运动方向稍有不同。因此真实球和虚拟球的轨迹之间就有了某个角度——我们夸大地称这个角为Ct——而这两个球之间距离随时间成正比增长。注意，这种随时间成正比的增长不是我们早先讨论过的那种距离的爆发性指数增长。如果1秒钟以后真实球和虚拟球的中心之间相距1微米（千分之一毫米），那么20秒钟后，它们也仅仅相距20微米（仍然是个很小的量）。稍稍想一下就知道，在台球桌直边上的反弹不会改变台球的状况：反弹后轨迹间的夹角仍然是同一个角a,真实球和虚拟球间的距离仍保持随时间成正比增长。请记住，台球在台球桌边上的反弹|机遇与混沌|和光在镜面上的反射服从相同的定律：只要镜子是平直的，我们就别期望有任何非常有趣的事情发生。但是我们说过在台球桌上有圆形障碍物，它们相当于一些凸面镜。如果你在凸面镜里看自己，你知道它的效果和平面镜不同。有什么不同，在光学教程中会有讨论，基本情况如下所述：如果你投一束有夹角ct的光到凸面镜上，反射光束会有一个比a大的不同的夹角一我们令其为ot'。为了使事情简化，我们假设a'是ot的两倍。（我们下面将要看到，这是有些过于简化。）让我们回到带有圆形障碍物的台球桌，回到我们一个真实、一个虚拟的两个台球上。最初，两个球之间轨迹的夹角是ct，且当它们碰到台球桌的直边时，反射没有改变这个角度。然而，两球碰到一个圆形障碍物之后，它们的轨迹就散开了，形成了是最初夹角ct两倍的cx'。又一次和圆形障碍物的碰撞，将使轨迹间的夹角变为4ct。10次碰撞以后，轨迹间的夹角就是1024ot了，依此类推。如，果我们每秒碰撞一次，那么，真实球和虚拟球轨迹之间的夹角就随时间指数地增长。实际上，从数学上很容易说明，只要两球间的距离还是很小的量，距离就也随时间指数地增长、由此，我们就得到了对初条件的敏慼依類性。现在，假设经过安排可以使真实球和虚拟球中心间的距离每秒增长一倍，那么，10秒钟以后,原来1微米的距离就增加到1024微米"^一大约1毫米。20(或30)秒以后，两球间的距离将超过1米（或1千米）！但是，这是些毫无意义的废话：台球桌并没有那么大。产生这些废话的原因是，我们过于简化的模型假设经过圆形障碍物的反弹，这两个台球轨迹间的夹角要增长一倍，但仍保持是个小量。不过，只要这两条轨迹非常靠近，这个假设就是近似正确的。但随后|7.初条件敏感依精性|43它就失效了："真实"轨迹打中了一个障碍物，而"虚拟"轨迹完全碰不着它（或反之亦然）。现在，让我归纳一下我们关于一个台球在有圆形障碍物的台球桌上运动的结果。如果同时观察一个"真实"球和一个"虚拟"球在初条件稍稍有些不同的情况下的运动，我们会看到，在一段时间里，这两个球的运动通常随时间指数地分离，然后一个球打中了一个陣碍物，而另一个球没打中，从此这两个球的运动就不再有什么关系了。诚实起见，我必须说明"虚拟"球有一些例外的初条件，它们可以使这两个球的运动不会按指数分离：例如，虚拟球在真实球后面1毫米的地方以完全相同的轨迹跟随着它。无论如何，这都是一种例外，通常这两条轨迹是要如断言的那样分离的。在离开这个话题之前，让我强调一下，我上面所展示的仅仅是关于台球的一个启发式讨论。这意味着，我让事情看起来可信，但没有给出证明。重要的是，人们要能依着同样的思路，对有着圆形障碍物的台球，完成完全严格的数学分析。这个分析[归功于俄罗斯数学家西奈（YakovG.Sinai),2后来其他许多人追随了他]确实非常困难。一般而言，具初条件敏感依赖性系统的数学讨论都是不容易的，这就解释了为什么物理学家直到相当近才开始对这种系统感兴趣。注释：1.真实小球和虚拟小球之间距离的增长（=距离对时间的导数）与它们轨迹间的夹角成正比。因此，两个小球之间的距离以指数积分为推算量。这里再一次出现了（取决于一个附加常数的)指数：1机遇与混沌IAeaJd5=—(e015―1)。Ja0当然，每秒钟一次撞击的假设是一个近似，即便如此，角度的增长也只是大约为指数的。但我们论点的唯一严重的困难是，它只适用于小球间距&f艮小的情况。2.Ya.G.Sinai,"Dynamicalsystemswithelasticreflections,"UspekhiMat.Nauk25，no.2(1970)：137—192;英译本：RussianMath.Surveys25，no,2(1970)：137?189，这是原始论文（十分专门），之后就相继出现了其他许多作者的很多篇别的文章。7.初条件敏感依餓性|8.阿达马、迪昂和庞加莱我希望在上一章中我巳经令你相信台球遇到凸起障碍物时会有奇怪的事情发生。设想我对初条件作一些小小的修改，用一个稍微不同的"虚拟"球的位置和方向代替"真实"球的位置和射出方向。那么，最初彼此非常接近的"真实"和"虚拟"球的两条轨迹，后来会愈来愈迅速地分离，直到它们之间变得再也没有什么关系。这就是我们所谓的对初条件的敏感依赖性。概念上说，这是一个非常重要的发现。我们台球的运动由初条件精确地决定，但在预测其轨迹方面仍受到根本的限制。我们有决定论，但也有长期的不可预测性。这是因为我们对初条件的了解带有一定的不精确性：我们不能把"真实"初条件与许多非常接近它的"假想"初条件区分开来。因此，我们就不知道哪一种可能的预测是正确的。但如果连台球的运动都是不可预测的，那么行星的运动、天气的演化、帝国的兴衰又会如何呢？这是非常有趣的问题，而答案，如我们将要看到的，它们各自不同。行星运动在几个世纪的时间里都是可以预测的，而天|机遢与混滩I气演化的预报则最多只在一到两周内有效。要去讨论帝国的兴衰和人类的历史就的确显得有些野心勃勃了，但即便如此要得到一些结论也还是可能的，它们都朝向不可预测性。人们可以体会，当科学家们意识到这都是他们力所能及的一些问题的时候，那种热切的心情。不过，我们仍须谨慎行事。如果你具备一个科学家的批判性思维的话，在允许我着手考虑人类未来的可预测性之前，你会希望就台球问题再倣几点澄清。例如，在研究台球运动的时候，我们忽略了摩擦。我们可以这样做吗？这类问题在物理学的研究中总是存在：某个理想化模型是可以接受的吗？这里，摩擦的存在意味着台球最终将要停止下来。但是如果台球在运动变得不可预测以后很久才停下来，那么这种无摩擦的理想化模型就是可用的。现在我们必须面临一个更为严峻的问题：初条件敏感依赖性到底有多么普遍？我们巳经考虑了一个特殊的系统，有凸起障碍物的台球游戏，并且已经论证了初条件非常微小的一点儿不确定性将会导致长期的不可预测性。是大多数系统都像这样，还是这个系统只是一个特例？我所谓的"系统"，是指没有摩擦的力学系统，或存在摩擦，但同时还带有能量来源可以补偿由于摩擦而耗散的能量的系统，或更一般地带有电的或化学成分的系统等等。重要的是，我们有明确定义的所谓确定性时间演化。数学家们因此就说我们有了一个动力系统（dynamicalsystem)e行星沿着轨道绕恒星运行，就形成了一个动力系统(一个基本无摩擦的力学系统）。由螺旋桨搅拌着的黏性流体，也是一个动力系统（因为有摩擦，所以这种情况叫做"耗散"动力系统）。如果我们能够找到一种使人类历史成为确定性时间演化的合适的理想化模型，那么它也是一个动力系统。|8.阿达马、迪昂和庞加莱|但让我们回到我们的问题上来：初条件敏感依赖性是动力系统的特例还是通则？通常情况下，有没有长期可预测性？事实上，各种可能性都存在。在一些情况下，并不存在初条件敏感依赖性（想像一个有摩擦的单摆，它会以非常可预言的方式趋向静止）。而在另一些阻碍物的台球游戏的情形，而你不得不承认，这并不是一个完全例外的情况）。最后，有许多动力系统都是这样的，它们对某些初条件存在长期可预测性，而对另一些则不然。一方面，所有可能性都存在也许听起来有些令人失望。另一方面，设想如果我们可以辨别出哪些系统有初条件敏感依赖性，并且断定对这些系统多长时间的预测是人们可以相信的，那我们就真的获知了一些关于事物本质的有用东西了。在这一点上，从历史的观点出发考察对初条件的敏感依赖性也许是个很好的想法。当然，人们在几千年前就已经了解，小原因可以产生大结果，因此未来很难预测。相对新的东西是这样一个证明-对于某些系统，初条件的微小变化常常使预测结果变得如此不同，以致一会儿以后，预测事实上已经没用了。这一证明是由法国数学家阿达马（JacquesHadamard)在19世纪末给出的1(当时他大约30岁；他很高寿，死于1963年）。阿达马所考察的系统是一种奇怪的台球游戏，它的台球桌不是平坦的，而是扭曲了的负曲率表面。人们研究质点在这种表面上的无摩擦运动。因此，阿达马的台球游戏在学术上的术语是负曲率表面上的测地流（geodesicflow)0这种测地流在数学上相当容易处理，2阿达马已经将对初条件的敏感依赖性证明为一个定理。（这个证明比相应于有凸起障碍物的台球游戏的证明要简单得多。相对而言，很迟|机通与混ffil才得到对后者的证明^20世纪70年代由西奈给出。）法国物理学家迪昂（PierreDuhem)是了解阿达马结果的重要哲学意义的人之一。（迪昂在许多领域都具有领先他那个时代的想法，尽管他的政治观点明显是反动的。）在1906年出版的一本科普读物中，迪昂写了其中的一节，标题是"数学演绎永远无用的一个例子"。3所讨论的数学演绎，如他所解释的，是阿达马台球桌上轨迹的计箅。其所以"永远无用"，是因为必然存在初条件的微小不确定性，而如果我们等待足够长的时间，它就会导致所预测的轨迹的大的不确定性，从而使预测毫无意义。另一位法国科学家，当时写了一些关于科学的哲学书籍，他就是著名的数学家庞加莱。在1908年出版的ScienceetMethode(《科学与方法》）一书4中，他以相当非专门的方式讨论了不可预测性问题。他没有引用阿达马或相关的数学[但请记住庞加莱创立了动力系统理论（theoryofdynamicalsystems)，并且比其他任何人都更了解这一学科]。庞加莱的基本观点是，长期不可预测性调和了机邁和确定性。下面是一段相当干脆的表述：被我们忽略了的非常微小的原因决定着我们不能忽略的可观的结果，而事后我们说这个结果归因于机遇。庞加莱非常清楚，对于描述物理世界，概率是多么地有用。他知道机遇是日常生活的一部分。由于他也相信经典决定论（在他那个时代还没有量子不确定性），所以他想了解机遇是如何溜进来的。显然，他对这个问题考虑得很多，且提出了几个回答。换句话说，庞加莱看到了几条途径，通过它们，世界的经典决定论描述可以自然而然地导致概率的理想化。其中之一就是通过对初条件的敏感依赖性。°I8.阿达马、迪昂和庞加莱|庞加莱讨论了两个初条件敏感依赖性的例子。第一个是，由向各个方向飞速运动并不停碰撞的许多分子组成的气体。庞加莱断言这些碰撞产生了对初条件的敏感依赖性。（它类似于台球撞上凸起障碍物的情形。）气体中碰撞的不可预测性，证明了概率描述的正确性。庞加莱的第二个例子是气象学，他论证了天气预报著名的不可信性是